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Guı́a de Rudimentos acerca de Polinomios
Profesor Ricardo Santander Baeza
25 de Septiembre del 2015
1. Algunas sugerencias
• Lea cuidadosamente el problema
• Reconozca lo que es información (dato), de lo que es ”incognita”, o lo que a usted se le consulta.
• Trate de entender en la forma más clara para usted, lo que se le pide, en particular si puede usar ”sinónimos”, que
le permitan facilitar su respuesta, cuanto mejor!. Este acto nunca esta de más.
• Analice sus datos extrayendo la información que corresponde, orientado por su entendimiento de lo que debe probar.
2. Objetivos
◦
◦
◦
◦
Estimular la comprensión de lectura en problemas matemáticos
Clasificar después de leer el problema, entre información y resultado pedido.
Estimular el uso de una sintaxis adecuada en la resolución de problemas que envuelven conceptos matemáticos
Aprender a generar un algoritmo eficaz (ojalá eficiente), para responder al problema planteado.
3. Pseudo División de Polinomios
3.1. Una Motivación.
84
:
21 =
(−) 4 · 21
−−
0
(resto)
4
Es decir,
84 =
4 · 21
Observen ahora lo siguiente:
8 · 101 + 4 · 100
:
2 · 101 + 1 · 100
1
0
(−) 8 · 10 + 4 · 10
−−−−−−−
0
(resto)
=
4 · 100
Luego,
8 · 101 + 4 · 100
(4 · 100 ) · (2 · 101 + 1 · 100 )
=
Consideremos ahora los polinomios. p(x) = 8 · x1 + 4 · x0 y q(x) = 2 · x1 + 1 · x0 entonces podemos emular el proceso
anterior como sigue:
8 · x1 + 4 · x0
(−)
8 · x1 + 4 · x0
−−−−−−−
0
2 · x1 + 1 · x0
:
(resto)
O sea que
8x + 4
= 4(2x + 1)
Estudiemos un segundo caso:
1001
9 · 11
−−−
11
(−) 1 · 11
−−−
0
:
11 =
(−)
(resto)
1
91
=
4 · x0
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2
Ası́ que
3
1001 = 91 · 11
O sea que si definimos los polinomios p(x) = x + 1 y q(x) = x + 1 entonces tenemos el proceso
x3 + 1
:
x+1 =
(−) x3 + x2
−−−
−x2 + 1
(−) −x2 − x
−−−
x+1
(−)
x+1
−−−
0
(resto)
x2 − x + 1
O sea que
x3 + 1 =
(x + 1)(x2 − x + 1)
3.2. Realice las divisiones que se indican.
(1) (x2 − 7x − 78) ÷ (x + 6)
(2) (2x3 + x2 − 3x + 1) ÷ (x2 + x − 1)
(3) (5a3 + 7a2 − 2a − 9) ÷ (a2 + 3a − 4)
(4) (2n4 + 3n3 − 2n2 + 3n − 4) ÷ (n2 + 1)
(5) (x5 + 1) ÷ (x + 1)
(6) (x5 − 1) ÷ (x − 1)
4. Raı́ces de un polinomio
4.1. Motivación. Recordamos que si p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · + an xn entonces
(1) p(c) = a0 + a1 c + a2 c2 + a3 c3 + · · · + an cn , para cada c ∈ R
(2) p(c) = 0 ⇐⇒ (x − c) divide p(x) ⇐⇒ el resto de la división p(x) ÷ (x − c) es 0.
En tal caso decimos que c es una raı́z ó un cero ó un valor de anulamiento del polinomio en el conjunto especificado.
Consideremos los siguientes “Ejemplos”, con el objetivo de intentar descomponer en factores usando un pseudo algoritmo
de la división.
(1) Si p(x) = x3 − 1 entonces p(1) = 13 − 1 = 0, luego podemos dividir:
x3 − 1
(−) x3 − x2
−−−
x2 − 1
(−) x2 − x
−−−
x−1
(−) x − 1
−−−
0
: x − 1 = x2 + x + 1
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3
Y conseguimos, x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1)
(2) Si p(x, y) = x3 − y 3 entonces p(y, y) = y 3 − y 3 = 0, luego podemos dividir:
(−)
x3 − y 3
(−)
x3 − x2 y
−−−
x2 y − y 3
(−)
x2 y − xy 2
−−−
xy 2 − y 3
: x − y = x2 + xy + y 2
xy 2 − y 3
−−−
0
Es decir, x3 − y 3 = (x − y)(x2 + xy + y 2 )
(3) En general, xn − y n = (x − y)(xn−1 + xn−2 y + xn−3 y 2 + · · · + y n−1 )
(4) Extendamos esta idea para el caso h(x, y) =
• a=
√
x ⇐⇒ x = a2
• a2 − b 2
∧
b=
√
√
x − y, como sigue
√
y ⇐⇒ y = b2
= (a − b)(a + b) =⇒ x − y
√
√ √
√
= ( x − y)( x + y)
(5) Como, xn − y n = (x − y)(xn−1 + xn−2 y + xn−3 y 2 + · · · + y n−1 ) entonces para a = xn y b = y n tenemos la fórmula:
√
√
√
√
√
√
√
√
n
n
n
n
a − b = ( n a − b)(( n a)n−1 + ( n a)n−2 ( b) + ( n a)n−3 ( b)2 + · · · + ( b)n−1 )
4.2. Factorización directa de trinomios. Descomponga en factores
(1) p(x) = x5 − x
(2) p(x) = 2x3 + 6x2 + 10x
(3) p(x) = 2x3 + 6x2 − 10x
(4) p(x) = x4 − 5x2 − 36
(5) p(x, y) = 3xy + 15x − 2y − 10
(6) p(x) = 2xy + 6x + y + 3
4.3. Factorización de trinomios usando sustitución. Ideas para resolver
Consideremos el trinomio; p(x) = (x − 2)2 + 3(x − 2) − 10 entonces podemos desarrollar el siguiente procedimiento o
algoritmo:
• Sea u = x − 2
• Sustituyendo en p(x) tenemos que
p(x) = (x − 2)2 + 3(x − 2) − 10 ⇐⇒ q(u) = u2 + 3u − 10
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4
• Resolvemos la ecuación de segundo grado para la variable u.
q(u) = 0
√
9 + 40
⇐⇒ u =
2
−3 ± 7
⇐⇒ u =
 2

u = 2
⇐⇒ u =
∨


u = −5
−3 ±
⇐⇒ q(2) = 0 ∨ q(−5) = 0
⇐⇒ q(u) = (u − 2)(u + 5)
• Volvemos a la variable original y obtenemos:
p(x)
=
=
((x − 2) − 2)((x − 2) + 5)
(x − 4)(x + 3)
Usando el procedimiento anterior factorice los siguientes:
(1) p(x) = (x − 3)2 + 10(x − 3) + 24
(2) p(x) = (x + 1)2 − 8(x + 1) + 15
(3) p(x) = (2x + 1)2 + 3(2x + 1) − 28
(4) p(x) = (3x − 2)2 − 5(3x − 2) − 36
(5) p(x) = 6(x − 4)2 + 7(x − 4) − 3
4.4. Ecuaciones con radicales. Resuelva las ecuaciones
(1)
√
(2)
√
(3)
√
3
(4)
√
3
(5)
√
3
x+2=7−
√
x+9
x2 + 13x + 37 = 1
x+1=4
3x − 1 = −4
3x − 1 =
√
3
2 − 5x
5. Ejercicios Misceláneos
5.1. Motivación. Dado el polinomio p(x) = x3 + kx2 + 3x − 1 entonces
(1) determine el conjunto
S =
(2) determine si es posible el polinomio p(x)
Una Solución: Observamos lo siguiente:
{k ∈ R | p(1) = 0}
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k ∈ S ⇐⇒
⇐⇒
5
k ∈ R ∧ p(1) = 0
k ∈ R ∧ p(x) = (x − 1)s(x); ( Para algún s(x); s(x) ∈ R[x]) (∗)
Luego, de (∗) sigue que debemos dividir p(x) por el polinomio q(x) = x − 1 y “muy importante o más bien fundamental,
el resto de dicha división debe ser 0”
Por tanto, manos a la obra y dividamos los polinomios, en cuestión.
(−)
x3 + kx2 + 3x − 1
: x − 1 = x2 + (k + 1)x + (k + 4)
(−)
x3 − x2
−−−−−−−−−
(k + 1)x2 + 3x − 1
(−)
(k + 1)x2 − (k + 1)x
−−−−−−−−−
(k + 4)x − 1
(k + 4)x − (k + 4)
− − − − − − −−
k+3
Luego, tenemos como producto de la división que:
x3 + kx2 + 3x − 1 = (x − 1)(x2 + (k + 1)x + (k + 4)) + k + 3
| {z }
Resto
Pero, el resto debe ser 0, ası́ que k + 3 = 0, y luego k = −3
Una solución alternativa
k ∈ S ⇐⇒ k ∈ R ∧ p(1) = 0
Luego, para k ∈ S tenemos por definición,
p(1) =
13 + k · 12 + 3 · 1 − 1 = 0 = 1 + k + 3 − 1 = k + 3
Y por k ∈ S
p(1) = 0
⇐⇒ k + 3 = 0 ⇐⇒ k = −3
Ası́ que, para responder
S =
{−3}
Finalmente para En cualquier caso, el polinomio p(x) es de la forma
p(x)
= x3 − 3x2 + 3x − 1
Y por supuesto usted verifica (comprueba su trabajo) que p(1) = 1 − 3 + 3 − 1 = 0
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6
5.2. Ejercicios Propuestos.
(1) Dado el polinomio p(x) = 2x4 + kx − 3 ∈ R[x] entonces
(a) Determine el conjunto
S =
(b) Determine si es posible p(x)
{k ∈ R | p(1) = 0}
(2) Dado el polinomio p(x) = x4 + k 2 x2 + kx + 1 ∈ R[x] entonces
(a) Determine el conjunto
S =
(b) Determine si es posible p(x)
{k ∈ R | p(1) = 0}
(3) Dado el polinomio p(x) = 2x2 + 4x − 7 ∈ R[x] entonces determine el conjunto
S = {k ∈ R | p(k) = 9}
(4) Determine un polinomio p(x) ∈ R[x] tal que p(2) = p(−3) = p(−1) = 0
(5) Si p(x) = a3 x3 + a2 x2 + 3x − 6 ∈ R[x] entonces determine p(x) si p(−1) = p(1) = 0
(6) Si (x − 2) y (x + 1) dividen al polinomio p(x) = x3 − (k + m)x2 − (k − m)x − 3 entonces si es posible determine al
polinomio p(x).
Buen Trabajo !!!