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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA YCC..
CALCULO APLICADO
.
Prof.J.Inostroza L.
GUIA #12 : INTEGRALES MÚLTIPLE Y DE LINEA
1.-Calcule las integrales y grafique el dominio de integración
a) X X Ýx + yÞdxdy
1
1
0
y
1
x
0
x
cÞX X 4 Ýy ? xÞdydx
y
bÞX X Ýx + yÞdxdy
1
0 0
1
x3
0
0
y
dÞX X e x dydx
2.-Invierta el orden de integración y calcule:
^
^ Seny
y
x
a) X X
0
dydx
bÞX
1 dxdy
y 1+x 4
cÞX X
1
0
^
0
^
Xy Senx 2 dxdy.
^
dÞX X 4
1
0 arctgy
Secxdxdy
3.- Con integración doble,calcule el area plana limitada por las curvas:
a) y=2x+3 ; y=6x-x 2
bÞ y = Ýx ? 1Þ2 ; y = Ýx + 1Þ2 ; y = 0.
cÞ y = x 2 + 1; y = 9 ? x 2
d) y = x; y = 2x; xy = 2.
4.- Mediante integración doble ,encuentre el volúmen del sólido,bajo la superficie z =
f(x, y) sobre la región D en el plano xy.
a) z = 2x + 3y ; D:áx = 0, x = 3, y = 0; y = 2â
bÞ z = 1+x 2 + y 2 ; D : áy = x; y = 2 ? x 2 â
c) z = 1+x+y; D:áx = 1; y = 0; y = x 2 â
dÞ z= 4x 2 + y 2 ; D : áx = y = 0; 2x + y = 2â
5.- Usando coordenadas polares,calcule las siguentes integrales,graficando el dominio
a)X X
1
0
0
1?y 2
dxdy
1+x 2 +y 2
1
0
x
4?x 2
Ýx 2 + y 2 Þ 2 dydx.
dÞX X
1?y 2
SenÝx 2 + y 2 Þdxdy.
2
0
c)X X x 2 dydx, .
1
bÞX X
0
1
0
0
3
6.- Calcular el area de las figuras planas dadas en polares:
a) Interior a _ = 1
y
exterior a _ = 2SenS.
b) Interior a _ = 2 + CosS y exterior a _ = 2.
c) Interior a _ = 1-2SenS.
d) Interior a _ = 1 + CosS y _ = a.
e) Interior a _ = 1 + 3CosS y exterior a _ = 2.
7.-Describa el volúmen acotado por las superficies y expréselo como integral triple:
a) z = y ; y = x 2 ; y = 4 ; z = 0.
b) z = x 2 + y 2 ;
c) z
d) y = z 2 ; z = y 2 ; x + y + z = 2; x = 0.
= x 2 ; y + z = 4; y = 0;
x + y = 1; x = y = z = 1.
8.-Haga un gráfico de los volúmenes,acotados por las superficies:
b) z = x 2 + y 2 ;
c) z = x 2 + y 2 ;
z = x2 + y2,
z = 0;
x 2 + y 2 = 2y; . ?
d) z + x 2 =4;
y +z = 4;
e) y = 2 - z 2 ;
y= z 2 ;
f) y2 + z 2 =1 ;
g) z = x 2 ;
y=0;
x+ z = 4;
x +y +z =2;
z = x3;
z= 0
z = 0.
x =0.
y= z 2 ;
y= 0.
9.- Las siguentes integrales representan volúmen:Grafíquelo y calcúlelo.
a)X X
1
4?z
0
1?z
X2 dxdy dz.
3
z
b)X X 3 X
1
0
2
2x x+y
0
x
cÞX X 2 X
4?x
z
0
0
10.- Haciendo cambio de coordenadas en la integral triple,calcule el volúmen:
a) Interior a la esfera centrada radio 4 y al cilindro recto circular centrado radio1.
b) Interior a : x 2 + y2 + z 2 = 4;
y
x 2 + y 2 ? 2y = 0
c) Bajo el paraboloide: z = x 2 + y 2
y sobre z = 2x.
d) Bajo el paraboloide: z = x 2 + y 2
y la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2.
dxdy
D Ýx 2 +y 2 Þ2
11)Calcule: XX
x 2 + y 2 =2y;
; si D está acotada por: x 2 + y 2 = 2x;
x 2 + y 2 = 8y; Haciendo el cambio: u =
x 2 + y 2 = 6x
2x
x 2 +y 2
;v =
12) Calcule el área de la región acotada por : y = x 2 ; y = 2x 2 ; x = 4y2 ; x= y2 .
13.- Calcular el area de la superficie:
a) Del plano z = x + 3y; y dentro de
x2
4
+
y2
9
= 1.
b)Del paraboloide z = 9 ? x 2 ? y 2 ; y sobre z =5
2y
x 2 +y 2
;
c) De z = x + y2 ; con 0² x ² 1; 0 ² y ² 2.
d) Del plano 2x + 3y + z = 6; primer octante.
e) De la elipse intersección: entre x 2 + y 2 = 2; y el plano 2x+3y +z = 6.
f) De z = x 2 + y 2 ; cortada por el cilindro x 2 + y 2 = 4.
g) Del paraboloide z = 16 - x 2 ?y2 ; sobre el plano xy.
14- Calcule las integrales de línea sobre la curva C.
a) [ Ýx + y 2 Þdx + Ýx 2 + yÞdy.
C : |x| ² 1; |y| ² 1.
C
b)[ Ýx 2 ? y 2 Þdx +xy dy C: y³ x 2 y² x.
C
c)[ xydx + x 2 dy
C: ( y = x 2 Þ W Ýx = y 2 Þ.
C
d) [ x 2dy - y2 dx.
CF;es el primer cuadrante de la curva :_ = Sen2S.
C
15.- Determine,si existe,el potencial de las funciones:
a) F(x,y) = áx 3 +
y
x
, y 2 Lnxâ
b)F(x,y) = (3x 2 y 3 + y 4 , 3x 3 y 2 + y 4 + 4xy 3 Þ
c)F(x,y) = ( 2xy ?
3y 2
x4
,
2y
x3
?
x2
y2
+
1
y
Þ.
16.- Determine ,si existe,el potencial de los siguentes campos vectoriales:
a) F(x,y,z) = (yz , xz , xy ).
b) F(x,y,z) = (2x - y -z ;2y -x-;2z -x).
c) F(x,y,z) = (yCosz-yze x , xCosz ? ze x , ?xySenz ? ye x Þ.
17.- Calcule las siguentes integrales curvilíneas:
a)X Ýy 2 + 2xyÞdx + (x 2 + 2xyÞdy. Entre (0,0) y (1,2)
C
b) X Ý2xe y dx + x 2 e y dy. Entre (0,0) y (1,-1).
C
c) X Ýe y + ye x Þdx + Ýe x + xeyÞdy Entre (0,0) y (1,-1).
C
d)
XC ÝSeny + +yCosxÞdx + ÝSenx + xCosyÞdy.
Entre (^/2, ^/2Þ y (^, ^Þ.
K K K K K K K K K K K K K K K K K K 5555555555555555555 K K K K K K K K K K K K K K K K