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Introducción a la teoría ergódica I I
Renato Iturriaga
Puebla 2015
Teoría de la Medida
σ álgebras
σ álgebras
X un conjunto
σ álgebras
X un conjunto
Una familia A de subconjuntos de X no vacia es σ -álgebra si
σ álgebras
X un conjunto
Una familia A de subconjuntos de X no vacia es σ -álgebra si
X ∈A
σ álgebras
X un conjunto
Una familia A de subconjuntos de X no vacia es σ -álgebra si
X ∈A
A ∈ A ⇒ Ac ∈ A
σ álgebras
X un conjunto
Una familia A de subconjuntos de X no vacia es σ -álgebra si
X ∈A
A ∈ A ⇒ Ac ∈ A
Si Ai es una familia numerable de conjuntos en A entonces ∪i Ai
esta en A.
Algebra de Borel
Algebra de Borel
Si A1 y A2 son dos σ algebras la interseccion tambien lo es.
Algebra de Borel
Si A1 y A2 son dos σ algebras la interseccion tambien lo es.
Dado B cualquier familia de subconjuntos podemos considerar la
sigma algebra mas pequeña que lo contenga.
Algebra de Borel
Si A1 y A2 son dos σ algebras la interseccion tambien lo es.
Dado B cualquier familia de subconjuntos podemos considerar la
sigma algebra mas pequeña que lo contenga.
Si X es un espacio topologico, la sigma algebra de Borel es la mas
pequeña que contiene a los abiertos.
Funciones medibles
Funciones medibles
Sean (X , A) y (Y , B) dos espacios con sus respectivas σ -álgebras.
Funciones medibles
Sean (X , A) y (Y , B) dos espacios con sus respectivas σ -álgebras.
Una funcion F : X → Y es medible si
Funciones medibles
Sean (X , A) y (Y , B) dos espacios con sus respectivas σ -álgebras.
Una funcion F : X → Y es medible si
F −1 (B ) esta en A siempre que B este en B
Funciones medibles
Sean (X , A) y (Y , B) dos espacios con sus respectivas σ -álgebras.
Una funcion F : X → Y es medible si
F −1 (B ) esta en A siempre que B este en B
T :X →X
Funciones medibles
Sean (X , A) y (Y , B) dos espacios con sus respectivas σ -álgebras.
Una funcion F : X → Y es medible si
F −1 (B ) esta en A siempre que B este en B
T :X →X
f :X →R
Medidas
Medidas
Sea A es una σ -álgebra
Medidas
Sea A es una σ -álgebra
Una medida es una función
µ : A → [0, ∞]
tal que
Medidas
Sea A es una σ -álgebra
Una medida es una función
µ : A → [0, ∞]
tal que
Para toda familia numerable de subconjuntos ajenos Ai en A vale
que
X
µ(∪Ai ) =
µ(Ai )
Funciones integrables
Funciones integrables
La funcion caracteristica de un conjunto A es
(
χA ( x ) =
0
if x ∈ Ac
1
if x ∈ A
Funciones integrables
La funcion caracteristica de un conjunto A es
(
χA ( x ) =
0
if x ∈ Ac
1
if x ∈ A
Una funcion f es simple si
f =
X
λi χBi
Funciones integrables
La funcion caracteristica de un conjunto A es
(
χA ( x ) =
0
if x ∈ Ac
1
if x ∈ A
Una funcion f es simple si
f =
X
λi χBi
Su integral
Z
fd µ =
X
λi µ(Bi )
Funciones integrables
La funcion caracteristica de un conjunto A es
(
χA ( x ) =
0
if x ∈ Ac
1
if x ∈ A
Una funcion f es simple si
f =
X
λi χBi
Su integral
Z
fd µ =
X
λi µ(Bi )
En el caso general aproximamos por funciones simples.
Funciones integrables
La funcion caracteristica de un conjunto A es
(
χA ( x ) =
0
if x ∈ Ac
1
if x ∈ A
Una funcion f es simple si
f =
X
λi χBi
Su integral
Z
fd µ =
X
λi µ(Bi )
En el caso general
R aproximamos por funciones simples.
fn (x ) → f (x ) y |fn − fm |d µ → 0
Transformaciones que preservan medida
Transformaciones que preservan medida
(X , A, µ) un espacio de medida finita (de probabilidad )
Transformaciones que preservan medida
(X , A, µ) un espacio de medida finita (de probabilidad )
T : X → X preserva medida si
Transformaciones que preservan medida
(X , A, µ) un espacio de medida finita (de probabilidad )
T : X → X preserva medida si
µ(T −1 (A)) = µ(A).
Transformaciones que preservan medida
(X , A, µ) un espacio de medida finita (de probabilidad )
T : X → X preserva medida si
µ(T −1 (A)) = µ(A).
El tema de la teoria ergódica es la dinamica de las transformaciones
que preservan medida.
Poincare
Poincare
Poincare
Casi todos los puntos regresan.
Poincare
Casi todos los puntos regresan.
Casi todos los puntos son recurrentes.
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplos
σ algebra de Borel, Medida la longitud de arco
Ejemplos
σ algebra de Borel, Medida la longitud de arco
Rotacion por angulo α
Dos casos
Dos casos
Por una rotación multiplo racional de 2π
Dos casos
Por una rotación multiplo racional de 2π
Dos casos
Por una rotación multiplo racional de 2π
2
5
todas las órbitas tienen periodo 5 y dan dos vueltas.
Dos casos
Por una rotación multiplo racional de 2π
2
5
todas las órbitas tienen periodo 5 y dan dos vueltas.
Irracional
Dos casos
Por una rotación multiplo racional de 2π
2
5
todas las órbitas tienen periodo 5 y dan dos vueltas.
Irracional
Todas las orbitas son densas (Ejercicio)
Transformaciones expansoras
Transformaciones expansoras
Pensemos el circulo como los numeros complejos de norma 1
Transformaciones expansoras
Pensemos el circulo como los numeros complejos de norma 1
z → z2
Transformaciones expansoras
Pensemos el circulo como los numeros complejos de norma 1
z → z2
Es como la multiplicación por 2
Transformaciones expansoras
Pensemos el circulo como los numeros complejos de norma 1
z → z2
Es como la multiplicación por 2
Hay orbitas periodicas, hay orbitas densas, hay orbitas recurrentes y
otras que no
Mas dimensiones
Mas dimensiones
Campos vectoriales
Campos vectoriales
Dado un campo F (p) = (v1 (p), ..., vn (p))
Campos vectoriales
Dado un campo F (p) = (v1 (p), ..., vn (p))
Campos vectoriales
Dado un campo F (p) = (v1 (p), ..., vn (p))
Flujo φt (p) preserva el volumen si la divergencia es cero.
Campos vectoriales
Dado un campo F (p) = (v1 (p), ..., vn (p))
Flujo φt (p) preserva el volumen si la divergencia es cero.
Ejercicio
Teorema de Poincare (metrico)
Teorema de Poincare (metrico)
Sea T : X → X una transformacion que preserva una medida de
probabilidad. Entonces para todo conjunto medible A, el conjunto A0
de los x en A que regresan un numero infinito de veces tiene la
misma medida.
Teorema de Poincare (metrico)
Sea T : X → X una transformacion que preserva una medida de
probabilidad. Entonces para todo conjunto medible A, el conjunto A0
de los x en A que regresan un numero infinito de veces tiene la
misma medida.
Sea Cn el conjunto de los x en A que no regresan despues de
tiempo n
Teorema de Poincare (metrico)
Sea T : X → X una transformacion que preserva una medida de
probabilidad. Entonces para todo conjunto medible A, el conjunto A0
de los x en A que regresan un numero infinito de veces tiene la
misma medida.
Sea Cn el conjunto de los x en A que no regresan despues de
tiempo n
Como Cn ⊂
µ(Cn ) ≤ µ(
S
k ≥0
S
T −k A \
T −k A,
S
k ≥n
T −k A) − µ(
k ≥0
S
k ≥n
T −k A).
Teorema de Poincare (metrico)
Sea T : X → X una transformacion que preserva una medida de
probabilidad. Entonces para todo conjunto medible A, el conjunto A0
de los x en A que regresan un numero infinito de veces tiene la
misma medida.
Sea Cn el conjunto de los x en A que no regresan despues de
tiempo n
Como Cn ⊂
µ(Cn ) ≤ µ(
S
T −k A \
k ≥0
S
k ≥n
T −k A) − µ(
k ≥0
Pero
S
k ≥n
T −k A,
S
T −k A = T −n
S
T −k A).
k ≥n
S
k ≥0
T −k A y µ(
S
k ≥0
T −k A) = µ(
S
k ≥n
T −k A).
Teorema de Poincare (Topologico)
Teorema de Poincare (Topologico)
Sea X un espacio topologico separable, y µ una medida invariante
por una transformación continua T , entonces casi todo punto es
recurrente.
Teorema de Poincare (Topologico)
Sea X un espacio topologico separable, y µ una medida invariante
por una transformación continua T , entonces casi todo punto es
recurrente.
Conjunto limite
ω(x ) = {y : existe una subsucesión limk →∞ T jk (x ) = y }
Teorema de Poincare (Topologico)
Sea X un espacio topologico separable, y µ una medida invariante
por una transformación continua T , entonces casi todo punto es
recurrente.
Conjunto limite
ω(x ) = {y : existe una subsucesión limk →∞ T jk (x ) = y }
Recurrente x ∈ ω(x )
Teorema de Poincare (Topologico)
Sea X un espacio topologico separable, y µ una medida invariante
por una transformación continua T , entonces casi todo punto es
recurrente.
Conjunto limite
ω(x ) = {y : existe una subsucesión limk →∞ T jk (x ) = y }
Recurrente x ∈ ω(x )
µ({x : x ∈ ω(x )}) = 1
Existencia de Medidas invariantes
Existencia de Medidas invariantes
Si X es un espacio metrico compacto y T : X → X es continua
siempre hay medidas invariantes.
Existencia de Medidas invariantes
Si X es un espacio metrico compacto y T : X → X es continua
siempre hay medidas invariantes.
M(X ) el conjunto de probabilidades.
Existencia de Medidas invariantes
Si X es un espacio metrico compacto y T : X → X es continua
siempre hay medidas invariantes.
M(X ) el conjunto de probabilidades.
La base de vecindades
Z
Vφ, (µ) = {ν : |
X
define una topologia compacta
Z
φd µ −
φd ν| ≤ }
X
Existencia de Medidas invariantes
Si X es un espacio metrico compacto y T : X → X es continua
siempre hay medidas invariantes.
M(X ) el conjunto de probabilidades.
La base de vecindades
Z
Vφ, (µ) = {ν : |
Z
φd µ −
X
φd ν| ≤ }
X
define una topologia compacta
Definimos T ∗ : M(X ) → M(X )
T ∗ (µ)(A) = µ(T −1 (A)
Existencia de Medidas invariantes
Si X es un espacio metrico compacto y T : X → X es continua
siempre hay medidas invariantes.
M(X ) el conjunto de probabilidades.
La base de vecindades
Z
Vφ, (µ) = {ν : |
Z
φd µ −
X
φd ν| ≤ }
X
define una topologia compacta
Definimos T ∗ : M(X ) → M(X )
T ∗ (µ)(A) = µ(T −1 (A)
T ∗ es continua y tiene un punto fijo
Idea de la demostracion
Idea de la demostracion
Sea µ ∈ M(X )
Idea de la demostracion
Sea µ ∈ M(X )
Tomamos los promedios
µn =
1 n−1 ∗j
Σ T µ.
n j =0
Idea de la demostracion
Sea µ ∈ M(X )
Tomamos los promedios
µn =
1 n−1 ∗j
Σ T µ.
n j =0
Hay una subsucesion convergente
ν = lim µnm
m→∞
Idea de la demostracion
Sea µ ∈ M(X )
Tomamos los promedios
µn =
1 n−1 ∗j
Σ T µ.
n j =0
Hay una subsucesion convergente
ν = lim µnm
m→∞
1 nm ∗j +1
Σ T
µ
m→∞ nm j =0
1
= lim
(µ + Σnj =m1 T ∗j µ + T ∗nm +1 µ − µ) = ν
m→∞ nm
T ∗ ν = lim