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3.
Derivadas
y gráficas de funciones
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
1. Tasa de variación de una
función
2. Derivada de una función
3. Cálculo de derivadas
4. Interpretación geométrica de
la derivada
5. Aplicaciones económicas de
las derivadas I
6. Características globales y
locales de las gráficas
7. Funciones polinómicas
8. Funciones racionales
9. Continuidad, discontinuidad y
límites de funciones
10. Aplicaciones económicas de
las derivadas II
86
Derivadas y gráficas de funciones
1.- TASA DE VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN
 ABRIL
La temperatura a diferentes horas de un día del mes de abril, en una ciudad costera, ha sido:
Hora
Temperatura º C
9
8
10
9
11
9
12
11
13
14
14
15
15
17
16
15
17
12
18
9
¿Cuál es la variación de temperatura cada dos horas?. ¿Y entre las 10 y las 15 horas?.
 TEMPERATURAS
El día 1 de mayo de 1993 se registraron en Alcalá de Henares las siguientes temperaturas :
Hora
2 4 6 8 10 12 14 16
Temperatura (ºC) 15 12 11 13 16 20 24 25
a) Calcula la tasa de variación de la temperatura entre las 2 y las 8 horas.
b) Halla la tasa de variación de la temperatura entre las 6 y las 16 horas.
a) La tasa de variación de la temperatura es la diferencia entre las temperaturas inicial y
final. Así :
Si a las 2 la temperatura es 15º
y a las 8 la temperatura es 13º
 la diferencia es 13º-15º = 2º
Es decir, la temperatura ha bajado 2º C. Luego la tasa de variación de temperatura es de
2º C.
b) Si a las 6 h la temperatura es 11º
y a las 16 h la temperatura es 25º  La diferencia es 25º11º = 14º
Es decir, la temperatura ha subido 14º C. Luego la tasa de variación de temperatura es
de 14º C. En general :
Tasa de variación de temperatura entre los instantes t1 y t2 = Temperatura en el instante
t2 (temperatura final)  temperatura en el instante t1 (temperatura inicial).
TASA DE VARIACIÓN MEDIA
En general, dada una función y = f(x) llamamos tasa de variación media de f en el intervalo
[a, b] y lo representamos así: tvm[a, b], al cociente:
tvm[a, b] =
f(b)- f(a)
b-a
siendo f(a) y f(b) los valores que toma la función en los extremos a y b del intervalo.
En un diagrama sagital, la tvm viene dada como un cociente de segmentos paralelos. En un
diagrama cartesiano la tvm viene dada como un cociente de segmentos perpendiculares
que mide la inclinación de la recta secante PQ. Es decir,
La tasa de variación media de f en [a, b] es la pendiente de la secante PQ, siendo P(a,
f(a)) y Q(b, f(b)).
87
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
 TASA DE VARIACIÓN MEDIA
a) Representa gráficamente la función f(x) = 2x+3 y determina la variación media de f en los
intervalos [3, 1], [0, 1] y [2, 9/2]
b) Representa gráficamente la función f(x) = x 2  2x  2 y determina la variación media de f en los
intervalos [4, 2], [2, 1] y [2, 2.5]. ¿Qué conclusiones obtienes ?.
a) Para dibujar la gráfica construimos la tabla de valores:
x
1
0
f(x)=2x+3
5
3
1
1
Usando los siguientes diagramas sagitales, calculamos las
tasas de variación media:
 tvm[3, 1]=
 tvm[0, 1]=
f( 1)  f( 3) 5  9
4


 2
 1  ( 3)
1 3
2
f(1) f(0) 1  3 2


 2
10
10
1
 tvm[2, 9/2]=
f(9/2) f(2) 6  (1) 6  1 5



 2
9/2  2
4'5  2
4'5  2 2'5
Se observa que la tvm coincide en todos los casos con la pendiente de la recta, 2.
En general, la tvm de una recta en cualquier intervalo coincide con la pendiente o
inclinación de dicha recta.
b) Para dibujar la gráfica construimos la tabla de valores:
x f(x)=x2+2x2
1
3
2
2
1
3
0
2
1
1
88
Derivadas y gráficas de funciones
El vértice de la parábola es el punto (1, 3).
Utilizando los siguientes diagramas sagitales, obtenemos:
 tvm[4, 2]=
 tvm[2, 1]=
f( 2)  f( 4) 2  6 8


 4
 2  ( 4)
24
2
f( 1)  f( 2) 3  (2) 3  2 1



 1
 1  ( 2)
 1  (2)  1  2 1
 tvm[2, 2.5]=
f(2,5) f(2) 9,25  6 3,25


 6,5
2,5  2
2,5  2
0,5
En este caso, la tvm depende del intervalo elegido, no es constante.
 COHETE ESPACIAL
Al lanzar cierto cohete, la relación entre el tiempo (en minutos) y la distancia recorrida ( en km) viene
dada por la función d = t 2  10t . Calcula la velocidad media en el primer minuto y en los intervalos de
tiempo 1, 2, 2, 3, 1, 10 . Su velocidad, al alejarse de la Tierra, ¿aumenta o disminuye?.
 AMEBAS
En un laboratorio se cultivan amebas que, como sabes, se reproducen por bipartición, y se está
estudiando la evolución del número de amebas del cultivo con el paso del tiempo. Se ha obtenido la
siguiente tabla:
Tiempo (horas) 0
1
2
3
t
Amebas (miles) 1 1001 3001 6001 1+500 t+500 t2
Calcula la velocidad media de reproducción en la primera hora, la velocidad media entre la segunda y
la tercera hora y la velocidad media entre la tercera y la décima hora.
 AUTOMOVILES
x2
+ 3 , donde
100
y se expresa en decenas de miles de euros, y x representa el número de unidades fabricadas en un
día. En la actualidad se están fabricando 20 automóviles diarios, y se está pensando en duplicar la
producción. ¿Cuál es la tasa de variación media de los costes de producción en ese intervalo?.
Una fábrica de automóviles tiene unos costes de producción dados por la función: y =
89
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
 PNB
El Producto Nacional Bruto de cierto país entre 1945 y 1965 responde a la función:
PNB = 3 + 0,2 t + 0,01t 2 , en miles de millones de dólares, donde t se mide en años, desde 0 hasta 20.
Halla el incremento medio anual del PNB en ese intervalo de tiempo.
 COSTES E INGRESOS
Una empresa fabrica y vende x unidades de su producto cada mes. Las funciones de costes e
x2
x2
;
.
Halla
las
variaciones
I(x) = 10x 
500
100
respectivas de costes e ingresos cuando la producción pasa de 100 a 101 unidades. Los resultados
obtenidos son sólo aproximados. ¿Por qué?. ¿Cómo se pueden obtener de forma rigurosa?.
ingresos son, respectivamente: C(x) = 75 + 5x +
 COSTES DE PRODUCCION
Los costes de producción de una fábrica responden a la expresión:
C(x) = 0,002 x 3  0,5 x 2 + 50 x + 2000, donde x es el número de unidades producidas, y C(x) se mide en
decenas de euros. Se pide:
a) El incremento producido en los costes cuando se pasa de fabricar 10 a fabricar 20 unidades del
artículo.
b) El coste producido por cada unidad adicional entre 10 y 20.
c) El coste de la decimoprimera unidad.

CONSUMO
La relación entre el precio de un bien de consumo y el número de unidades demandadas de este
500
bien, viene dado por la fórmula x 
. Determina la variación del número de unidades
p2
demandadas por unidad de variación del precio, cuando éste pasa de 16 a 25. ¿Cuál es, en ese caso,
la variación del ingreso obtenido?.
90
Derivadas y gráficas de funciones
 NUEVO VIRUS
En un experimento médico, una colonia de bacterias se exponen a la acción de un nuevo virus. El
2
número de bacterias presentes, en función del tiempo es: N(t) = 5000 e 4+4 t  t , donde t se mide en
horas.
a) ¿Cuál es el número de bacterias después de 5 horas de estar presentes los
virus?.
b) ¿Cómo cambia el número de bacterias después de 10 horas?.
c) Expresa la respuesta a la pregunta anterior en forma de tanto por ciento de
bacterias.

COMUNIDAD RURAL
La población de una pequeña comunidad rural varía de acuerdo con la función y 
10000
. Halla
1  4  e 0,1 t
el incremento de población en los primeros 10 años, y en los primeros 5 años. Halla, en ambos casos,
los correspondientes incrementos medios anuales de población.
2.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
 TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA
2
a) Determina la variación media de la función f(x) = x +2x2 en los siguientes intervalos :
[0, 1], [0, 0.1], [0, 0.01] y [0, 0.001].
¿Qué le ocurre a la tasa de variación media de f en el intervalo [0, b] cuando b0 ?.
2
b) Determina la variación media de la función f(x) = x +2x2 en los siguientes intervalos :
[-1, 0], [-0.1, 0], [-0.01, 0], [-0.001, 0] y [-0.0001, 0].
¿Qué le ocurre a la tasa de variación media de f en el intervalo [a, 0] cuando a0 ?.
a) Se cumple f(0)=2, f(0,1)=1’79, f(0,01)=1,9799, f(0,001)=1,997999. Por lo tanto:
tvm[0, 1]=
f(1) f(0) 1  ( 2) 1+ 2


3
10
10
1
tvm[0, 0.1]=
f(0,1) f(0) 1,79  ( 2) 0,21


 2,1
0,1  0
0,1  0
0,1
tvm[0, 0.01]=
f(0,01) f(0) 1,9799 ( 2) 0,0201


 2,01
0,01  0
0,01  0
0,01
tvm[0, 0.001]=
f(0,001) f(0) 1,997999 ( 2) 0,002001


 2,001
0,001 0
0,001 0
0,001
Cuando b0 se cumple que tvm[0, b] 2. Se dice que la tasa de variación instantánea
(tvi) o derivada de la función f en el punto x = 0 es 2 y se representa así :
f(b) f(0)
f ‘ (0) = lim tvm[0, b]= lim
2
b 0
b 0
b 0
En general, dada una función y = f(x), se llama tasa de variación instantánea (t v i ) o
derivada de la función f en el punto x = a al límite de la tasa de variación media en el
intervalo [a, b] cuando ba. Se representa por f ‘(a). Así :
f(b)  f(a)
ba
ba
f ’(a)= lim tvm[a, b]= lim
ba
91
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
b) Se cumple que f(1)=3, f(0,1)=2,19, f(0,01)=2,0199, f(0,001)=2,001999. Por lo
tanto :
tvm[1, 0]=1, tvm[0.1, 0]=1,9, tvm[0.01, 0]=1,99, tvm[0.001, 0]=1,999
Cuando a0, se cumple que tvm[a, 0] 2. Se dice que la tasa de variación instantánea
o derivada de f en el punto x=0 es 2 y se representa así :
f(0) f(a)
2
0a
a 0
f ‘(0)= lim tvm[a, 0]= lim
a 0
Es frecuente hacer el cambio de variable b = a + h, de manera que h = b  a. Así,
cuando ba, resulta que h0. Con ello la expresión de la derivada de y=f(x) en el punto
x=a se convierte en :
f(b) f(a)
f(a+ h)  f(a)
f(a+ h)  f(a)
 lim
 lim
ba
a+h  a
h
ba
h0
h0
f ‘(a)= lim
Por lo tanto, para calcular la derivada de la función y=f(x) en el punto x=a hay que seguir
los siguientes pasos :
1º) Calcular la tasa de variación media de f en el intervalo [a, a+h]
tvm[a, a+h]=
f(a+ h)  f(a) f(a+ h)  f(a)

a+h  a
h
2º) Calcular el límite de la tasa de variación media de f en [a, a+h] cuando h 0
f(a+ h)  f(a)
h
h 0
f ‘(a) = lim
c) Calcula la tasa de variación instantánea o derivada de la función f(x) = 2x+3 en el punto x = 2.
2
d) Calcula la tasa de variación instantánea o derivada de la función f(x) = x +2x2 en el punto x = 0.
c)
Calculamos las tasas de variación media en los intervalos [2, b] cuando
b2. Por tratarse de una recta de pendiente 2, se cumple (puedes comprobarlo):
tvm[2, 3]=2 ; tvm[2, 2.1]=2 ; tvm[2, 2.01] ; tvm[2, 2.001]=2
f(b)  f(2)
 2
b2
b2
b2
Podemos comprobar este resultado usando el procedimiento descrito anteriormente
Por lo tanto,
f ‘(2) = lim tvm[2, b]= lim
1º) Calculamos la tvm de f en el intervalo [2, 2+h]
Por lo tanto : tvm[2, 2+h]=
92
f(2+ h) - f(2) 1  2h  (1) 2h


 2
h
h
h
Derivadas y gráficas de funciones
2º) Calculamos el límite de las tvm[2, 2+h] cuando h 0
f ‘(2)= lim tvm[2, 2+h]= lim
h 0
h 0
f(2+ h)  f(2)
 lim ( 2) = 2
h
h0
d) Hemos visto en los apartados (a) y (b) que f ‘(0)=2. Comprobemos este resultado usando
el segundo procedimiento :
1º) Calculamos la tasa de variación media en el intervalo [0, 0+h].
Por lo tanto :
tvm[0, 0+h]=
f(0+ h)  f(0) h 2  2h  2  ( 2) h 2  2h h(h+ 2)



 h+2
h
h
h
h
2º) Calculamos el límite de la tvm[0, 0+h] cuando h0
f ‘(0)= lim tvm[0, 0+h]= lim
h 0
h 0
f(0+ h)  f(0)
 lim (h+2)= 2  f ‘(0)=2
h
h 0
 PRECIO DE UN PRODUCTO
El precio por unidad de cierto producto, medido en unidades monetarias arbitrarias, p, se relaciona
con la demanda que experimenta ese producto, medida en unidades, x, por medio de la función:
2
p = 500  x .
Halla la tasa de variación media del precio del producto, respecto de su demanda, desde una
demanda de 10 unidades hasta una de : a) 20 ; b) 15 ; c) 12.
¿Cuál es la tasa de variación instantánea para x=10 ?.
Se cumple que:
p(20)  p(10) 100  400 300


 30
20  10
20  10
10
p(15)  p(10) 275  400 125
b) tvm [10, 15]=


 25
15  10
15  10
5
p(12)  p(10) 356  400 44
c) tvm [10, 12]=


 22
12  10
12  10
2
a) tvm [10, 20]=
Para calcular la tvi para x=10, procedemos de la siguiente forma:
1º) Hallamos la tvm en el intervalo [10, 10+h]
93
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
2
2
2
p(10+h)=500  (10+h) = 500  100  20h h = 400  20h  h . Por lo tanto:
tvm[10,10+h]=

p(10+ h)  p(10) 400  20h  h 2  400  20h  h 2



h
h
h
h(20+ h)
 (20  h)
h
 tvm [10, 10+h]=(20+h)
2º) Calculamos el límite de la tvm[10, 10+h] cuando h 0.
p(10 + h)  p(10)
 lim (20+h)=20 p’(10)=20. Observa
h
h 0
que las tasas de variación media calculadas anteriormente permitían conjeturar este
resultado.
P’(10)= lim tvm[10,10+h ]= lim
h 0
h 0
DERIVADAS CON LA CALCULADORA GRÁFICA
Podemos utilizar la función nDeriv( de la calculadora gráfica TI83 para obtener el valor de
la derivada de una función en un punto. Para ello hay que pulsar la tecla [MATH], con lo que
se visualiza el menú MATH. En dicho menú se encuentra la función nDeriv(.
La sintaxis de esta función es: nDeriv(expresión, variable, valor), aunque también se puede
precisar el error de la estimación mediante nDeriv(expresión, variable, valor, error).
Ejemplo 1.- Calcula la derivada de la función f ( x)  x 2 en el punto x=5.
Pulsamos la secuencia de teclas: MATH] [8] [X,T,] [ x 2 ] [  ] [X,T,] [  ] [5] [ ) ] [ENTER].
Observa que el resultado es 10, que coincide con el valor que obtendríamos aplicando la
definición de derivada.
Ejemplo 2.- Calcula la derivada de la función f ( x)  x 3 en el punto x=5.
Pulsamos la secuencia de teclas: [MATH] [8] [X,T,] [] [3] [  ] [X,T,] [  ] [5] [ ) ] [ENTER].
Observa que el resultado es 75.000001.
nd
En cambio, si pulsamos la secuencia [2 ] [ENTER] para activar la función ENTRY con la
que recuperamos la expresión anterior y pulsamos [] [DEL] [  ] [0.0001] [ ) ] [ENTER],
obtenemos como resultado 75. De donde deducimos que la derivada de la función en x=5
es f ' (5)  75 .
94
Derivadas y gráficas de funciones

LANZAMIENTO DE UNA PIEDRA
Se ha lanzado verticalmente hacia arriba una piedra. La altura en metros alcanzada al cabo de t
segundos viene dada por la expresión: e  f(t)  20 t  2t 2 .
a) Halla la velocidad media en el intervalo de tiempo comprendido entre t=0 y t=5.
b) ¿En algún momento la velocidad de la piedra ha sido de 15 m/s ?. Si es así, ¿a qué altura
sucedió?.
 PRECIO Y DEMANDA
El precio por unidad de cierto producto, medido en unidades monetarias arbitrarias, p, se relaciona
con la demanda que experimenta ese producto, medida en unidades, x, por medio de la función:
p = 500  x 2 .
Halla la tasa de variación media del precio del producto, respecto de su demanda, desde una
demanda de 10 unidades hasta una de:
a) 20;
b) 15;
c) 12;
d) 11;
e) 10,5;
f) 10,1;
g) 10,001.
¿Qué sentido tienen las tres últimas preguntas?.
 CINTAS DE CASETTE
Una empresa fabrica cintas vírgenes de casette. El coste, C, de producir las cintas en unidades
monetarias arbitrarias, se relaciona con el número diario de cintas fabricadas, x, por medio de la
función: C=0,04  x 2+2000 .
Halla la tasa de variación media de los costes respecto de la producción, al pasar de:
a) 100 a 120;
b) 100 a 110;
c) 100 a 105;
d) 100 a 101.
¿Cuál es la tasa de variación instantánea de los costes, para x = 100 ?.
 COMUNIDAD
La población de cierta comunidad evoluciona de acuerdo con la expresión:
P(t) = 15000 + 2000 t  240 t 2 , donde t se mide en años y P significa número de habitantes.
Calcula la variación media anual entre los tiempos:
a) t1 = 2, t2 = 5
b) t1 = 2, t2 = 4
c) t1 = 2, t2 = 3
d) t1 = 2, t2 =2,5
e) t1 = 2, t2 = 2,25
f) t1 = 2, t2 = 2 + h
Calcula la variación media anual en el instante t = 2 años.
95
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
 BACTERIAS
Una población de bacterias crece de forma que su número en función del tiempo t en meses, viene
dada por la función: f(t)=2000 e t 1 , si t >1.
a) Calcula la tasa de variación media de la población en los intervalos [1, 2] y [1, 3].
b) Calcula la tasa de variación instantánea en t = 3.
2
a) Se cumple que f(1)=2000, f(2)=2000e, f(3)=2000e . Por lo tanto :
tvm[1, 2]=
f(2) f(1) 2000e  2000

 2000(e  1)  3436 '5637  3437
2 1
2 1
tvm[1, 3]=
f(3)  f(1) 2000e2  2000

 1000(e2  1)  6389'0561  6389
31
31
b) Para calcular la tvi en x=3 procedemos de la siguiente forma:
1º) Hallamos la tvm en el intervalo [3, 3+h]
tvm[3, 3+h]=
de donde:
f(3+ h)  f(3) 2000e3+h1  2000e2 2000e2  eh  2000e2
,


h
h
h
tvm[3, 3+h]=
2000e 2  (eh  1)
h
2º) Hallamos el límite de la tvm[3, 3+h] cuando h 0. Para ello hay que calcular
previamente
eh 1
para lo que completaremos la tabla:
h
h 0
lim
h
eh 1
h
1
1,7182818
0,1
1,0517092
0,01 1,0050167
0,001
1,0005
0,0001 1,00005
Cuando h0, se cumple que
2000e 2  (eh  1)
2
=2000 e =14778.112  14778
h
h 0
f ‘(3)= lim tvm[3, 3+h]= lim
h 0
96
eh 1
eh 1
1, es decir: lim
=1. Por lo tanto:
h
h
h 0
Derivadas y gráficas de funciones
3.- CÁLCULO DE DERIVADAS
 DERIVADAS DE FUNCIONES POLINÓMICAS
Haciendo corresponder a cada punto la derivada de la función en ese punto, podemos
construir para cada función f, una función f‘, llamada FUNCIÓN DERIVADA DE LA
FUNCIÓN f.
x
f ‘ (x)
Esta función se suele representar indistintamente por los siguientes símbolos:
y’ = f ‘ (x) = D f(x) =
dy df

dx dx
a) Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones :
FUNCIÓN
DERIVADA
2
f(x)=x
f ’(x)=
3
f(x)=x
f ‘(x)=
f(x)=x
f ‘(x)=
f(x)=x
f ‘(x)=
4
5
f(x)=x
f ‘(x)=
n
¿Cuál es la función derivada de f(x)=x ?.
 Derivada de f(x) = x
f(x+ h)  f(x) x + h  x h

  1
h
h
h
f ‘(x)= lim tvm[x, x+h]= lim 1 = 1
tvm[x, x+h]=
h 0
h 0
La derivada de la función f(x) = x es f ‘(x) = 1
 Derivada de f(x) = x
2
f(x+ h)  f(x) (x+ h) 2  x 2 x 2  2xh + h 2  x 2 2xh + h 2




h
h
h
h
tvm[x, x+h]=
h(2x+ h)
Por lo tanto : tvm[x, x+h]=2x+h. Entonces:
 2x + h
h
f ‘(x)= lim tvm [x, x+h]= lim (2x+h)=2x
=
h 0
h 0
2
La derivada de la función f(x)=x es igual a f ‘(x)=2x
 Derivada de f(x) = x
3
3
3
2
2
3
f(x+h)=(x+h) =x +3x h+3xh +h
tvm[x, x+h]=

f(x+ h) - f(x) x 3 + 3x 2 h + 3xh 2 + h 3  x 3 3 x 2 h + 3xh 2 + h 3
=


h
h
h
h(3x 2 + 3xh + h 2 )
 3 x 2  3 xh + h 2
h
Por lo tanto:
2
2
f ‘(x)= lim tvm[x, x+h]= lim (3x + 3xh + h ) =3x
h 0
2
h 0
3
2
4
3
La derivada de la función f(x) = x es igual a f ‘(x) = 3x
De la misma forma se cumple que :
La derivada de la función f(x) = x es igual a f ‘(x) = 4x
5
La derivada de la función f(x) = x es igual a f ‘(x) = 5x
4
En general se cumple que:
La derivada de la función f(x) = x n es igual a f ‘(x) = n x n1
97
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
b) Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones:
FUNCIÓN
DERIVADA
g(x)=70x k(x)=8x
g ‘(x)=
k ‘(x)=
2
f(x)=70x+8x
f ‘(x)=
2
¿Cuál es la función derivada de g(x)=km(x) ?. ¿Y la función derivada de f(x)=g(x)+h(x) ?.
 Derivada de g(x) =70x
tvm[x, x+h]=
g (x+ h)  g(x) 70(x+ h)  70x 70 x +70h  70x 70h



 70
h
h
h
h
g’(x)= lim tvm[x, x+h]= lim 70 = 70
h 0
h 0
La derivada de la función g(x) =70x es igual a g’(x) =70
Se observa que D (70 x) =70 D(x)
 Derivada de k(x) =8x
tvm [x, x+h]=

2
k(x + h)  k(x) 8(x+ h) 2  8 x 2 8( x 2  2 xh + h 2  x 2 )



h
h
h
8(2xh + h 2 ) 8 h(2x+ h)

 8(2 x + h)
h
h
Por lo tanto:
k’(x)= lim tvm [x, x+h]= lim 8(2x+h)=82x=16x
h 0
h 0
2
La derivada de la función k(x) =8x es igual a k’(x) =16x
2
2
Se observa que D(8x ) =8D(x )

Derivada de f(x) = 70x+8x
tvm [x, x+h]=
=
2
f(x+ h)  f(x) 70(x+ h) + 8(x+ h) 2  70x  8x 2 70h + 16xh + 8h 2
=


h
h
h
h(70 + 16x + 8h)
 70  16 x + 8h
h
Por lo tanto:
f ‘(x)= lim tvm[x, x+h]= lim (70+16x+8h)=70+16x
h 0
h 0
2
La derivada de la función f(x) = 70x + 8x es igual a f ‘(x) = 70+16x
2
2
Se observa que D(70x + 8x ) = D(70x) + D(8x )
En general se cumple:
La derivada de la función g(x) = km(x) es igual a g’(x) = km’(x)
La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de
la constante por la derivada de la función.
La derivada de f(x) = g(x) + h(x) es igual a f’(x) = g’(x) + h’(x)
La derivada de la suma de funciones es igual a la suma de las derivadas.
98
Derivadas y gráficas de funciones
c) Utilizando los resultados anteriores, escribe las funciones derivadas de las siguientes funciones :
2
5
3
2
f(x)=5x 7x +3x+12 ;
g(x)= x 6 + x12  4x15 ;
h(x)=(2x+1)(x1)
3
6
2
SOLUCIONES : f ‘(x)=15x 14x+3 ;
2
5
11
g’(x)=4x +10x 60x
14
2
h(x)=(2x+1)(x1)=2x +x2x1=2x x1  h’(x)=4x1
 BENEFICIO
Una empresa ha determinado que su beneficio, en decenas de euros, se relaciona con el número de
2
unidades producidas por medio de la expresión B(x)=300x-3x .
a) Halla la derivada de la función.
b) Halla la derivada de la función cuando la producción es de 40 unidades.
c) Determina la producción que hace nulo el beneficio.
2
a) La derivada de la función B(x)=300x3x es igual a B’(x)=3006x
b) Cuando la producción es x = 40, resulta B’(40)=300640=60
2
c) Hacemos B=0  300x3x =0  3x(100x)=0  x=0
Hay dos soluciones: x=0 y x=100.
x=100
 COSTE DE PRODUCCIÓN
2
El coste de producción de una empresa viene dado por la expresión C(x) = 900 + 0,8 x , donde x es
el número de unidades producidas y c se mide en euros.
a) Halla la derivada de la función de coste.
b) ¿Cuál es el coste que corresponde a 100 unidades producidas ?.
c) ¿Qué representa C(0) ?.
2
a) La derivada de la función C(x)=900+0,8x es igual a C’(x)=1,6x
2
b) Si x=100, entonces C(100)=900+0,8100 = 8900
c) C(0) representa el coste que corresponde a una producción nula, es decir, son los
costes fijos de la empresa, independientemente de las unidades producidas.
99
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
 EPIDEMIA
El número de personas atacadas cada día por una determinada enfermedad viene dado por la
2
función f(x) = x +40 x + 84,
donde x es el número de días transcurridos desde que se inició.
Calcula :
a) El número de días que deben transcurrir para que desaparezca la enfermedad.
b) La tasa de propagación de la enfermedad al cabo de 5 días.
c) El momento en que la enfermedad deja de crecer.
d) El número de días que deben pasar para que la enfermedad se extinga a razón de 32 personas
día.
2
a) Para que desaparezca la enfermedad debe ser f(x)=0  x +40x+84=0 
40  1600 + 336 40  1936 40  44  42



2
2
2
 2
Deben transcurrir 42 días.
 x=
2
b) La derivada de la función f(x) = x +40x+84 es f ‘(x) = 2x+40.
La tasa de propagación de la enfermedad al cabo de 5 días es: f ‘(5)=25+40=30
Es decir, se está propagando a razón de 30 personas día.
c) El momento en que la enfermedad deja de crecer es el valor de x correspondiente al
vértice de la parábola :
xV = 
b
40

 20 
2a
2(-1)
Deja de crecer a los 20 días de iniciarse.
d) La enfermedad debe extinguirse a razón de 32 personas día, es decir la velocidad de
propagación debe ser de 32 personas día. Por tanto, debe ser f ‘(x)=32
f ‘(x)=2x+40=32 2x=8
 x=4  Deben transcurrir 4 días.
 BENEFICIO DE UNA VENTA
La función de beneficio B, de la venta de un producto, se relaciona con el número de unidades
2
vendidas x por medio de la función:
B=40x-x -300
a) ¿Qué representa el término independiente, -300 ?.
b) ¿Cuál es el beneficio derivado de la venta de x=5 unidades ?.
c) ¿Cómo varia el beneficio al pasar de 5 unidades a 10 ?
d) ¿Cuál es la derivada de la función beneficio respecto del número de artículos vendidos ?.
e) ¿Se produce siempre beneficio, sea cual sea el número de unidades vendidas ?.
100
Derivadas y gráficas de funciones
a) El término independiente representa el beneficio que se obtiene cuando x=0, es decir,
cuando no se venden unidades. Es, por tanto, el coste fijo de la empresa, ya que es
negativo.
2
b) Si x=5  B(5)=4055 -300=125  Hay una pérdida de 125
c) Si x=10  B(10)=400100300=0  El beneficio pasa de 125 a 0. Por lo tanto,
aumenta 125 unidades.
d) B=40xx2300  B’=402x (tasa de variación instantánea en función de x).
2
e) Se producen beneficios si B>0. Resolviendo la ecuación B=0  x -40x+300=0 
40  1600 - 1200 40  20  30
x=
 B es positivo si 10 < x < 30


2
2
 10
 DERIVADAS DE FUNCIONES NO POLINÓMICAS
a) Calcula las derivadas de las siguientes funciones : y =
derivada de y =
1
xn
1
1
1
; y = 2 ; y = 3 . ¿Cuál es la función
x
x
x
?. ¿Existen las derivadas de estas funciones en el punto x=0 ?.
a) Para resolver el ejercicio utilizaremos la siguiente propiedad de las potencias:
1
a m 
am
1
1
-1 1
2
y=  x 1  Derivando como una potencia : y’=(1)x  = x  =
x
x2
1
1
La derivada de y =
es igual a y’=
x
x2
1
2
2
2 1
3
y = 2 = x   Derivando como una potencia : y’=(2)x   = 2x = 3
x
x
2
1
La derivada de y =
es igual a y’= 3
x
x2
1
3
3
3 1
4
y = 3 = x   Derivando como una potencia : y’=(3)x   = 3x  =
x
x4
La derivada de y =
En general:
1
x3
es igual a y’=
La derivada de y =
1
xn
3
x4
es igual a y’=
n
x n+1
Las derivadas de estas funciones no existen para x=0, ya que no se puede dividir entre
cero.
b) Calcula las derivadas de las siguientes funciones :
función derivada de y =
n
y=
x ;
y=
3
x ;
y =
4
x . ¿Cuál es la
x m ?. ¿Existen las derivadas de estas funciones en el punto x =0 ?.
101
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
m
n
b) Usaremos la siguiente propiedad de las potencias: a n  a m
1
y= x = x 2
1
1
1 1 1 
1
1
 y ‘ = x2  x 2 

1
2
2
2 x
2x 2
1
La derivada de y = x es igual a y ‘ =
2 x
La derivada de la raíz cuadrada es igual a uno partido por el doble de dicha raíz.
1
3
3
y= x = x
1
2
1 1 1 
 y’ = x 3  x 3 
3
3
1
2
1

3
3 x2
3x 3
La derivada de y = 3 x es igual a y’ =
1
1
3
1 4 1 1  4
4
4
y= x = x  y’= x
 x

4
4
1
3
4
4x
La derivada de y = 4 x es igual a y’ =
1
3
3 x2

1
4
4 x3
1
4 3
4 x
La derivada de la función y = n x es igual a y’ =
1
n n 1
n x
Las derivadas de estas funciones no existen para x=0, porque no se puede dividir entre
cero.
m
n m
Si y= x  x n
mn
m
1 m
m
 y’ = x n  x n
n
n
3
33
c) Usando los resultados anteriores, calcula la derivada de la función: y=0,3x5 
2 x 
x2
5
x2
2
33 2
3
x  0'3x5  3x 2  2 x  x 3
SOLUCIÓN: y = 0,3x  2  2 x 
5
5
x
1
1
2 
6
1
2
4
3
 x 3  1'5 x4 


y’ = 1,5 x + 6x  + 2
3
3
2 x 5
x 5 x
5
3
x
 FUNCIONES COMPUESTAS
Tu calculadora dispone de la tecla log y de la tecla
. Con ellas puedes obtener valores
de las funciones logaritmica decimal y raíz cuadrada. La secuencia
4 log
significa
log 4
Es decir, hemos calculado el logaritmo decimal de un número y, a continuación, la raiz
cuadrada del resultado. Si en lugar de actuar sobre 4 actuamos sobre un número
cualquiera, x, obtendremos la función
log x . Podemos expresar el proceso en dos etapas:
x  log x 
102
log x
Derivadas y gráficas de funciones
En definitiva hemos compuesto las funciones log y
función compuesta la llamaremos
actuar s sobre x.
. Si llamamos: log = s,
= r , a la
r  s : (r  s)(x) = rsx, r actúa sobre el resultado de
En general, dadas dos funciones, f y g, se llama función compuesta de f y g, y se designa
por g o f a la función que transforma x en g  f x  . Se lee f compuesto con g, ya que f
actúa en primer lugar.
x  f(x)  g  f x 
f
g
g f
Calcula las funciones compuestas (g  f)(x) y (f  g)(x) en los siguientes casos:
2
x
a) f(x)=x , g(x)=log x
b) f(x)=e , g(x)=x
2
c) f(x)=ln x, g(x)=2
x
Comprueba que en cada caso obtienes funciones diferentes, es decir que no se cumple la propiedad
conmutativa para la composición de funciones.
 DOS COMPUESTAS
2
Dadas las funciones f(x)=x , g(x)=x+1,
escribe las dos funciones compuestas que se pueden
formar con ellas y estudia el dominio de definición de cada una de dichas funciones compuestas.
 OPERACIONES
Dadas las funciones f(x) = x 2  2x, g(x) = 4x  5 , halla:
b) (f  g)(x);
a) (f + g)(x);
c) (f  g)(x);
d) (g  f)(x)
Calcula, en cada caso, el valor de la función resultante en el punto x = 2.
 REGLA DE LA CADENA
2
3
Para calcular la derivada de la función y=(x +2x+2) puedes desarrollar previamente la
potencia del polinomio y derivar el polinomio resultante. Pero este procedimiento no es muy
útil si el exponente de la potencia es elevado.
x  u =g(x)  y=f(u)=f(g(x))
Dada la función compuesta:
h=fog
se cumple que y’ = h’(x)=(f o g)’(x)=f ’(g(x))g’(x)
También se puede expresar así : y’=f’(u)u’
Esta técnica para calcular derivadas se conoce como regla de la cadena.
2
3
2
Para calcular la derivada de y=(x +2x+2) puedes hacer u=x +2x+2, con lo que la función
3
se transforma en y=u . La derivada de esta función es
2
2
y’=3u u’
siendo u’ la derivada de la función u=x +2x+2, esto es u’ =2x+2.
Por tanto :
2
2
2
y’=3u u’=3(x +2x+2) (2x+2)
Utilizando la regla de la cadena, calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones:
3
a) y=(x +4x3)
4
2 3
b) y=(1xx )
c) y=(2x 5x)4
3
d) y= (x +1) 2 + 2
103
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
3
a) Haciendo u=x +4x3, tenemos y=u
3
3
3
2
y’=4u u’=4(x +4x3) (3x +4)
2
b) Haciendo u=1xx , tenemos y=u
2
2 2
y’=3u u’=3(1xx ) (12x)
4
3
2
, u’=3x +4. Aplicando la regla de la cadena:
,
u’=12x. Aplicando la regla de la cadena:
c) Haciendo u=2x 5x, tenemos y =u ,
4 1
3
5
2
y’=4u  u’=4(2x 5x) (6x 5)
u’=6x 5. Aplicando la regla de la cadena:
3
-4
2
2
2
d) Haciendo u=(x+1) +2=x +2x+3, tenemos y= u , u’=2x+2. Aplicando la regla de la
2x + 2
x +1
1

 u' =
cadena:
y’=
2 u
2 (x+ 1) 2 + 2
(x+ 1) 2 + 2
 DERIVADA DE UN PRODUCTO Y DE UN COCIENTE
La derivada de un producto no es el producto de las derivadas, como puedes comprobar al
derivar
la
función
y=3x.
En
efecto,
D(3x) =3,
D(3) =0,
D(x)=1.
Como
D(3)D(x)=01=03=D(3x), resulta que D(3x)  D(3)D(x).
La derivada de un producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera por la
segunda sin derivar, más la primera sin derivar por la derivada de la segunda. Es decir :
Si y = f(x)g(x) entonces y’ = f ’(x) g(x) + f(x)g’(x)
a) Utilizando esta propiedad, calcula las derivadas de las siguientes funciones :
3 2
1) y=(2x+1) x 2 +1
2) y=(x+1) x
2x


1) y’=(2x+1)’ x 2 + 1  (2 x  1)   x 2  1 ' =2 x 2  1  (2 x + 1)
=


2 x2 1
 2 x2 1 
2
2
x(2x + 1)
x2 1

2( x 2 + 1) + x(2x + 1)
x2 1
3

4x2  x+ 2
x 2 +1
2
2) y’=3(x+1) x + (x+1) 2x = (x+1) x (3x +2 (x+1))
Para calcular la derivada de un cociente, basta escribir éste en forma de producto y
aplicar la regla de derivación de un producto :
f(x) =
g(x)
1
 g(x) 
 g(x)  h(x)1  Usando la regla del producto, obtenemos
h(x)
h(x)
f ’(x)=g’(x) h(x) +g(x) (1)h(x) h’(x)=
1
2
g' (x) g(x) h' (x) g' (x)h(x)  g(x)h' (x)


h(x)
h(x)2
h(x)2
La derivada de un cociente es igual a un cociente cuyo denominador es el cuadrado del
denominador y cuyo numerador es la derivada del numerador por el denominador sin
derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador. Es decir:
Si y=
g(x)
h(x)
entonces y’=
g' (x)h(x)  g(x)h' (x)
h(x)2
b) Utiliza la propiedad anterior para calcular las derivadas de las siguientes funciones:
x (2x + 1)
x
x
1) y =
2) y =
3) y =
1+ x 2
x
x+2
104
Derivadas y gráficas de funciones
1) y’=
1  (1+ x 2 )  x  2 x
1+ x 2 2
 x
2 x
2
4 x  1
1  x 2 2

 x 2  x
2 x
x

x  2  2x 2  x
3) y’=

1 x2
2
1
1 x - x 
2) y’=


x2
2
2

2x  x
2x  x

x
2x  x

1
2 x
8 x  2  2 x 2  x
1
x2
2 x  2
x2


2 7 x  2x 2
2  x  2   x  2
DERIVADA
x2
en el punto x = 2. Explica de forma intuitiva la relación
x2
entre la derivada y el límite de la tasa de variación media, indicando lo que significa el valor obtenido
de la derivada de la función f(x) en x = 2.
Obtén la derivada de la función f(x) 
 DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
La derivada de la función exponencial de e es ella misma. Es decir:
Si y = e
x
Aplicando la regla de la cadena, Si y = e
entonces y’ = e
f(x)
entonces
x
y’ = e
f(x)
f’(x)
x
Para calcular la derivada de la función exponencial de cualquier base y=a la expresaremos
como función exponencial de base e. Así:
x
u
y =a =e . Para determinar el exponente u tomamos logaritmos neperianos:
x
u
Por lo tanto, y = a =e
 ln a = axln a
Por lo tanto:
ln a =ln e  x ln a = u.
y’ = e
x ln a
x
Si y = a
x
entonces
Aplicando la regla de la cadena: Si y = a
f(x)
x ln a
. Usando la regla anterior:
x
y’ = a ln a
entonces
y’ = a
f(x)
f ’(x)ln a
a) Calcula las derivadas de las siguientes funciones :
1) y=x10
x
3
2) y=x 3
x
x
x
3) y= e
x+1
x
1) y’=110 +x10 ln10 = 10 (1 + x ln10)
2
x
2) y’=3x - 3 ln 3
3) y’= e x+1 
1
2 x +1
Para calcular la derivada de la función logarítmica, basta tener en cuenta que dicha función
es la inversa de la función exponencial. Así :
105
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
y
y
y=lnx  e =x  Derivando : e y’=1  y’=
1
e
y

1
x
Por lo tanto:
1
x
Si y = lnx entonces y’=
Aplicando la regla de la cadena :
Si y = ln f(x)
entonces
y’=
f ' (x)
f(x)
Para calcular la derivada de la función logarítmica de cualquier base, usaremos su
relación con la función exponencial de base a. Así:
y
1
y
y = log a x  a =x  Derivando : a y’lna = 1  y’=
Si y= log a x
Aplicando la regla de la cadena :
y
a  ln a
entonces y’=

1
Luego :
x  ln a
1
x  ln a
Si y= loga f(x) entonces y’=
f ' (x)
f(x) ln a
b) Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
2
1) y=ln x
4) y=
2) y=
2) y’=

1 ln x
1+ ln x
1) y’=2lnx
x 1
log 2 x

5) y= log 3 x 2 1
3) y= e
ln x
6) y=ln
x 1
x 1
1 2 lnx
=
x
x
1  log 2 x  (x  1) 
(log2 x) 2
3) y’= e ln x 
1
x ln2  x ln2 log 2 x  x + 1
x ln2 (log2 x) 2
1
e ln x

2 ln x x 2 x ln x
1

1
1
1 1
1 1
2
-  (1+ ln x)  (1  ln x) 
  ln x   ln x
x
x
x
x
x
x
x



4) y’=
2
2
(1  ln x)
(1+ ln x)
(1  ln x) 2
2
2
=
Luego y’=
2
x(1+ ln x)
x(1+ ln x) 2
5) y’=
6) y’=

2x
2
(x  1) ln3
2
1 1  x  1  1  x  1
x 1 x 1
2



. Luego y ' 
2
2
2
x 1




x

1

x

1
x  1
x 1
x 1
x 1
LOGARITMO


Calcula la derivada de la función f(x)  ln x 2  1 .
106
Derivadas y gráficas de funciones

EXPANSIÓN DE UN RUMOR
Un rumor se expande de acuerdo con la expresión x 
1
, donde x es el número de
1  100  e at b 
personas de una comunidad, en tanto por uno, a las que ha llegado el rumor; t se expresa en años y
a, b son constantes. Determina el ritmo de propagación del rumor y el tiempo que debe transcurrir
para que el 90 por 100 de la comunidad lo conozca.
DERIVADAS CON DERIVE
El programa DERIVE PARA WINDOWS está especialmente diseñado para calcular
derivadas. Veamos como se utiliza en casos concretos.
Haz clic en Inicio / Programas / Derive para Windows / Derive para Windows. Observa
que se abre la ventana de Derive, que presenta una fila de menús y una barra de
herramientas.
Los menús disponibles son: Archivo, Edición, Editar(Autor), Simplificar, Resolver,
Cálculo, Definir, Opciones, Ventana, Ayuda. Efectúa un paseo con el ratón por cada uno
de los menús.
La barra de herramientas consta de los siguientes botones: Nuevo, Abrir, Guardar,
Imprimir, Borrar expresiones, Recuperar, Renumerar, Editar expresión, Editar un
vector, Editar una matriz, Simplificar, Aproximar, Resolver, Sustituir variables,
Calcular límites, Calcular derivadas, Calcular integrales, Calcular sumatorios, Calcular
productos, Gráficos 2D, Gráficos 3D. Sitúa el puntero del ratón sobre cada uno de los
botones y aparecerá una pista junto con una descripción en la barra de estado.
Veamos como se puede usar DERIVE para calcular derivadas:
Ejemplo 1.- Calcula la derivada de la función y  x 5  3x 4  5x 2  10 x  3
Haz clic en el botón Editar expresión. En la caja de texto escribe la fórmula de la función:
x  5  3x  4  5x  2  10 x  3 . La función  aparece en el teclado y se activa al pulsar el
siguiente carácter (igual que el acento). Observa que únicamente se pone el segundo
miembro de la función. Haz clic en el botón Sí.
Selecciona la expresión (si no lo está ya) y haz clic en el botón  (Calcular derivadas). En
la siguiente ventana, haz clic en el botón Simplificar y observa el resultado.
107
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Ejemplo 2.- Calcula la derivada de y  x 5  3x 4  5x 2  10 x  3 en el punto x = 2.
Selecciona la derivada de la función (ya obtenida en el ejemplo anterior) y haz clic en el
botón SUB (Sustituir variables). En la caja de texto Sustitución, introduce 2 y haz clic en
Simplificar. Observa que el resultado es 6.
ACTIVIDADES
Utilizando DERIVE, calcula las siguientes derivadas:
a) y  3x 2  10 x  3
b) y  5 x 6 
x3
f) y  e 2 x 7
d) y 
2
x 1
e) y  ln x 2
3 4
x  2x 3  x
4
c) y  x 3


g) y  5 x x 2  3x  1
Calcula la derivada de las siguientes funciones en el punto que se indica:
b) y  lnx  3 en x = 2.
a) y  x 6  5x  3 en x = 1
4.- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
 SECANTES Y TANGENTES
La inclinación de una recta viene dada por su pendiente m que es el coeficiente de x en su
ecuación y=mx+n. Según que m sea positiva, cero o negativa obtenemos rectas de
diferente inclinación:
m>0
pendiente positiva
108
m=0
pendiente nula
m<0
pendiente negativa
Derivadas y gráficas de funciones
En una gráfica cartesiana la tvm de la función
y=f(x) es un cociente de segmentos que mide la
inclinación o pendiente de la secante PQ.
Cuando b se acerca más y más a a, la tvm se
acerca más y más a la derivada de la función,
ya que
f(b)- f(a)
b-a
ba
f ’(x)= lim tvm[a, b] = lim
ba
Pero si ba, entonces el punto Q se acerca cada vez
al punto P, de manera que las pendientes de las
secantes PQ se aproximan cada vez más a la pendiente
recta tangente en el punto P.
más
de la
Podemos concluir que:
La derivada de la función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente a
la gráfica de la función en dicho punto.
La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función y=f(x) en el punto x=a puede
determinarse con la condición de que su pendiente sea m = f ‘(a), y de que pase por el
punto P(a, f(a)).
Su ecuación será del tipo y=mx+n. Como la pendiente es m =f ’(a), será
y = f ‘(a) x + n
Para hallar n exigimos que la recta pase por el punto P.
Por pasar por dicho punto, si x=a, debe ser y=f(a).
Luego sustituyendo:
f(a) = f ‘(a) a + n  n = f(a)  f ‘(a) a
La ecuación de la recta será:
y = f ‘(a) x + f(a)  f ‘(a) a =f ‘(a) (xa) +f(a)
suele expresar así:
y  f(a) = f ‘(a) (x  a)
que se
RECTA TANGENTE EN P(a, f(a))
2
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x)=x 4x+5 en el punto de abcisa
1
x=1. Ídem para la función f(x)=
.
1+ x 2
2
a) Recta tangente a la función f(x)=x 4x+5 para x=1. Su ecuación será y=mx+n, siendo
m=f ‘(1).
2
Si f(x)= x 4x+5, entonces f ‘(x)=2x-4. Por lo tanto m=f ‘(1)=214=2.
La recta tangente es y=2x+n. Para hallar n exigimos que dicha recta pase por el punto
de tangencia P que corresponde a x=1.
2
Si x=1, entonces y=f(1)=1 41+5=2  El punto de tangencia es P(1, 2).
Si x=1, y=2. Sustituyendo en la ecuación, tenemos: 2=21+n  n=4.
La recta tangente es y = 2 x + 4
109
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
b) Recta tangente a la función f(x) =
1
para x=1. Su ecuación será y=mx+n, siendo
1+ x 2
m=f ‘(1).
Si f(x) =
1
1+ x 2
, entonces f ' (x) =
2
Por tanto, m=f ‘(1)=
2

2x
(1+ x 2 )2
.
1
2 1
 La recta tangente es y =  x + n

2
4
2
(1+ 1)
El punto de tangencia se obtiene así:
1
1
1
  El punto de tangencia es P(1, )
2
1+ 1 2
Exigimos que la recta pase por este punto: si x=1, y=1/2. Luego sustituyendo en la
1 1
ecuación queda: =
 1  n  n=1
2
2
1
La recta tangente es y =
x +1
2
Si x =1, entonces y=f(1)=
 TANGENTES
a) Halla la ecuación de la recta tangente a f(x)=
1
1+ x 2
en el punto de abcisa x=0.
3
b) Calcula las tangentes a la curva f(x)=x 2x, paralelas a la recta y=x.
2
c) Dada la función f(x)=1x+x , calcula mediante límites f ’(2). ¿Qué significado tiene f ‘(2) ?. Deduce
el punto de corte de la recta tangente a la curva en x=2, con el eje OX.
a) La recta tangente es y=mx+n, siendo m=f ‘(0). Se cumple que f ‘(x)=
2x
(1+ x 2 )2
m=f ‘(0)=0  La recta tangente es y=n. Hallamos n con la condición de que pase por el
punto de tangencia que es P(0, 1). Debe ser y=1, luego n=1.
La recta tangente para x=0 es y=1
b) Como las rectas tangentes han de ser paralelas a y=x, su pendiente debe ser m=1.
2
2
2
2
Ahora bien, m=f ‘(x)=3x 2. Luego : 3x 2=1  3x =3  x =1  x=1, x=1.
Los puntos de tangencia correspondientes a estos valores de x son : (1,1) y (1, 1).
Como m=1, las rectas tangentes son y=x+n. Hallamos n con la condición de que pasen por
sus respectivos puntos de tangencia :
La que pasa por (1,1)  1=1+n  n=2  y=x2
La que pasa por (1,1)  1=1+n  n=2  y=x+2
Las rectas buscadas son y =x2, y=x+2.
c) tvm[2, 2+h]=
f(2+ h)  f(2) 1  (2+ h) + (2+ h) 2  3 3 + 3h + h 2  3 3h + h 2



h
h
h
h
h(3+ h)
 3 + h  f ‘(2)= lim tvm[2, 2+h]= lim (3+h)=3
h
h0
h0
f ‘(2) representa la pendiente de la recta tangente a la función en x=2. Dicha recta será y=f
‘(2)x+n, osea y=3x+n. Como f(2)=3, el punto de tangencia es P(2, 3). Hallamos n para que la
recta pase por dicho punto  3=32+n n=3
=
La recta buscada es y=3x3
110
Derivadas y gráficas de funciones
TANGENTE CON DERIVE
Veamos como usar el programa DERIVE para obtener la ecuación de la recta tangente a la
gráfica de una función.
Ejemplo.- Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función y  2 x  e x en
el punto x = 0.
Una vez iniciado el programa, haz clic en el botón Editar expresión. En la caja de texto
introduce la expresión 2 xe  x y pulsa el botón Sí. Haz clic en el botón  (Calcular derivadas)
y haz clic en Sí. Haz clic en el botón  (Simplificar) y comprueba que el resultado es
e x  2 x  2 .
Con la derivada seleccionada, haz clic en el botón SUB (Sustituir variables), escribe en
Sustitución un 0 y pulsa el botón Simplificar. Comprueba que el resultado es 2. Por tanto,
deducimos que la recta tangente es y=2x.
Para salir de dudas, podemos representar gráficamente la función y la recta y=2x.
Selecciona la expresión de la función 2 x  e x y haz clic
en el botón Gráficos 2D. Haz clic en el botón
Representar. Haz clic en el botón Ventana Algebra,
selecciona la expresión de la recta 2x (si no está,
introdúcela en el Editor de expresiones). Haz clic en el
botón Gráficos 2D y haz clic en el botón Representar.
Comprueba que la recta es tangente a la función en el
origen de coordenadas.

TANGENTE 1
La recta de pendiente 3 que pasa por el punto (0, 2) es tangente a la curva y  x 3 . Calcula las
coordenadas del punto de tangencia.

TANGENTE 2
Dada la curva de ecuación y  x 3  26  x , calcula las rectas tangentes a la misma, que sean
paralelas a la recta de ecuación y = x.
111
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
5.- APLICACIONES ECONÓMICAS DE LAS DERIVADAS I
RENTA PER CÁPITA
La renta per cápita de un país es el cociente entre el producto nacional bruto y la población
PNB
del país. Es decir: RPC 
, donde RPC=renta per cápita, PNB=producto nacional bruto,
P
P=población.
RAZON DE CAMBIO
La razón de cambio de una magnitud, M(t), se define como su derivada respecto al tiempo.
Es decir: razón de cambio = M ' (t ) .
RAZÓN DE CAMBIO PORCENTUAL
La razón de cambio porcentual de una magnitud, M(t), se define como el cociente de su
razón de cambio entre dicha magnitud, expresado en porcentaje. Es decir: razón de cambio
M ' (t )
porcentual =
100 .
M
 PNB
El PNB de un país, a partir de 1975, se puede calcular por medio de la fórmula: f(x) = t 2 + 5t + 200 en
miles de millones de dólares. La variable t se mide en años a partir de 1975. Se pide:
a) El incremento del PNB de 1975 1980.
b) La razón de cambio del PNB de 1975 a 1980.
c) La razón de cambio porcentual del PNB en 1975.

RENTA PER CÁPITA
La renta per cápita de un país, al cabo de t años, viene dada por: R(t)  10000  100  t  50  t 2 dólares;
y su población por: P(t)  5  0,1t  0,01t 2 millones de personas. Determina la razón de cambio del
PNB en el instante t.

El
IMPUESTO MUNICIPAL
impuesto
municipal
sobre
la
propiedad
inmobiliaria
responde
2
a
la
fórmula
T(t)  15t  30t  10000 cents, donde t se mide en años, a partir del momento presente. Calcula:
a) El ritmo de crecimiento de la tasa.
b) El ritmo de crecimiento porcentual de la tasa.
c) El valor de ambos dentro de un año, dentro de cinco y dentro de diez.
112
Derivadas y gráficas de funciones
ELASTICIDAD
En el mercado de productos de consumo existe una ley de comportamiento implícita:
cuando el precio de un artículo aumenta, la cantidad vendida de ese artículo (demanda),
var iación de x x
disminuye, es decir, el cociente
, donde p es el precio de cada unidad

var iación de p p
del artículo, es negativo.
Se llama elasticidad de la demanda respecto del precio del precio al límite del cociente
entre los incrementos porcentuales de la demanda y del precio, cuando este último tiene a
0, es decir:
x
p
x p dx
E x  p   lim x   lim
 
x p 0 p x dp
p 0 p
p
Del mismo modo se podría haber definido otra elasticidad, si las variables que intervienen
son distintas.
En general, la elasticidad será negativa, pero, excepcionalmente, puede ser positiva,
cuando el incremento del precio del artículo origine un aumento en su consumo.
Cuando el cambio porcentual en la demanda es mayor que el cambio porcentual en el
precio, la elasticidad es, en valor absoluto, mayor que 1; decimos entonces que la demanda
es elástica respecto del precio; si ocurre lo contrario, la elasticidad es, en valor absoluto,
menor que 1, la demanda es inelástica. Por último, si ambos cambios porcentuales son
iguales, la elasticidad es igual a 1, y hablamos de elasticidad unitaria. Si la elasticidad
fuese positiva, hablaríamos de elasticidad anormal.

ELASTICIDAD 1
La relación entre demanda y precio, para cierto artículo, viene dada por la función: x  50  2  p .
Halla la elasticidad de la demanda respecto del precio y explica cómo es ésta, según los valores de p.

ELASTICIDAD 2
Estudia la elasticidad de la demanda respecto del precio, para un artículo cuyo precio inicial es 50, si
la relación entre demanda y precio viene dada por la función: x  100  p  p 2 .

ELASTICIDAD 3
Estudia la elasticidad de la demanda respecto al precio si entre ambas variables existe la relación
k
, donde k y n son constantes. Indica cómo varía la elasticidad según los valores que tomen las
x
pn
constantes.
113
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

ELASTICIDAD 4
La relación demandaprecio de cierto artículo de consumo es x(p)  5000  30p 2 , donde p se expresa
en decenas de euros y x en unidades.
a) ¿Cuántas unidades se venden a 10000 cents. por unidad?.
b) Halla la elasticidad de la demanda respecto del precio.
c) ¿Cuánto vale la demanda si p=5?.
d) ¿Cuánto vale la elasticidad en este último caso?.

ELASTICIDAD 5
La función de demanda de cierto artículo de consumo viene dada por: x  300  6p1 2 , donde p se
mide en decenas de euros y x en unidades. Halla la elasticidad de la demanda y cómo es ésta si
p=10.

ELASTICIDAD 6
La función de demanda de cierto artículo es D(p) 
1000
. donde p se expresa en decenas de euros.
p 1
Estudia la elasticidad de la demanda.

ELASTICIDAD DEL COSTE
Si se define elasticidad del coste de producción C(x), de manera análoga a como se ha definido
elasticidad de la demanda, encuentra una relación entre elasticidad del coste y coste marginal.
6.- CARACTERÍSTICAS GLOBALES LOCALES DE LAS GRÁFICAS

VALOR DE UNA EMPRESA
El valor, en decenas de millones de euros, de una empresa en función del tiempo, t, viene dado por
f(t)  9  t  22 , con 0  t  4,5. Deduce en qué valor de t la empresa alcanzó su máximo valor y en
qué valor de t tuvo su valor mínimo.

MÁXIMO BENEFICIO


1
 x 2  100x  1600 representa el beneficio, expresado en decenas de miles de
90
euros, que obtiene una empresa por la fabricación de x unidades de un determinado producto.
La función f(x) 
a) Representa gráficamente dicha función.
b) ¿Cuántas unidades hay que fabricar para que no se produzcan pérdidas?.
c) ¿Cuál es el mayor beneficio posible?. ¿Cuántas unidades deben fabricarse para obtenerlo?.
114
Derivadas y gráficas de funciones

BENEFICIOS
Una empresa ha estimado que los ingresos y los gastos anuales (en céntimos) que genera la
fabricación y venta de x unidades de un determinado producto, vienen dados por las siguientes
funciones:
Ingresos: I(x)  28x 2  36000x
Gastos: G(x)  44x 2  12000x  700000
Determina, justificando las respuestas:
a) La función que define el beneficio anual.
b) El número de unidades que hay que vender para que el beneficio sea máximo.
c) El valor de dicho beneficio máximo.

INGRESOS
Una compañía de transportes ha comprobado que el número de viajeros diarios depende del precio
del billete, según la función: n(p)  3000  6p , donde n(p) es el número de viajeros cuando p es el
precio del billete.
a) Halla la función que da los ingresos diarios, I, de la empresa en función del precio del billete, p.
b) Halla el precio del billete que hace máximos dichos ingresos.
c) ¿A cuánto ascenderán dichos ingresos máximos?.
Justifica las respuestas.

BENEFICIOS
El dueño de un manantial de agua llega a la conclusión de que, si el precio a que vende la botella es
x céntimos, sus beneficios vendrán dados por la fórmula B  10x  x 2  21 en miles de céntimos por
día. Representa la función preciobeneficio e indica cuál será el precio de la botella para obtener el
beneficio máximo.

PARÁBOLA
De la función f(x)  x 2  a  x  b , se sabe que tiene un mínimo en x = 2 y que su gráfica pasa por el
punto (2, 2). ¿Cuánto vale la función en x = 1 ?.
115
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
 PENDIENTES, CRECIMIENTO Y DERIVADAS
Según como sea la pendiente de la tangente a la gráfica (es decir, según como sea el signo
de la derivada), la función tendrá una forma u otra. Por lo tanto, la derivada nos permite
averiguar la forma de la función.
Sea y=f(x) una función derivable. Si la función y=f(x) es creciente en un intervalo, la
derivada de la función es positiva, y’ > 0, ya que la tangente a la gráfica tiene pendiente
positiva.
Recíprocamente, si la derivada es positiva, y’ > 0, entonces la tangente a la gráfica tiene
pendiente positiva y la gráfica es creciente en dicho intervalo. En general:
Si la función y = f(x) es derivable, entonces se verifica:
y = f(x) es creciente en [a, b]  f ‘(x) >0 para x en [a, b]
y = f(x) es decreciente en [a, b]  f ’(x) <0 para x en [a, b]
Si x0 es un punto de máximo o mínimo relativo de la función, la recta tangente a la gráfica en
dicho punto es horizontal, es decir de pendiente nula. Luego debe ser f ‘(x0)=0. Es decir:
Si x0 es un punto de máximo o mínimo relativo de y = f(x) entonces f ‘(x 0) = 0
El recíproco no es cierto. Puede ser f ‘(x)=0 y no haber máximo ni mínimo.
Los valores de x que cumplen la ecuación f ‘(x)=0 se llaman valores críticos. Los máximos y
mínimos hay que localizarlos entre los valores críticos. Para ello se pueden usar dos
criterios :
Criterio de la primera derivada
Si x0 es un punto de máximo relativo la función es
creciente en x0-h y es decreciente en x0+h. Y
recíprocamente.
Si x0 es un punto de mínimo relativo, la función es
decreciente en x0-h y es creciente en x0+h. Y
recíprocamente.
Podemos concluir pues que:
Sea y = f(x) una función derivable. Sea x0 un punto tal de f ‘(x0)=0. Entonces:
a) x0 es un máximo relativo  f ‘(x0-h)>0 y f ‘(x0+h)<0
b) x0 es un mínimo relativo  f ‘(x0-h)<0 y f ‘(x0+h)>0
116
Derivadas y gráficas de funciones
Criterio de la segunda derivada
Sea y = f(x) una función que admite segunda derivada.
Si x0 es un punto de máximo relativo, se cumple que f ‘(x 0-h)>0 y f ‘(x0+h)<0. Es decir f ‘
pasa de positiva a negativa, o sea es decreciente, luego su derivada f ‘’ es negativa. Y
viceversa
Si x0 es un punto de mínimo relativo, se cumple que f ‘(x0-h)<0 y f ‘(x0+h)>0. Es decir, f ‘
pasa de negativa a positiva, o sea es creciente. Luego su derivada, f ‘’ es positiva. Y
viceversa. Por lo tanto :
Sea y = f(x) una función con segunda derivada. Sea x0 un punto tal que f ‘(x0) = 0.
a) x0 es un máximo relativo  f ‘’(x0) < 0
b) x0 es un mínimo relativo  f ‘’(x0) > 0
Ejemplo: Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y
4
mínimos de la función f(x) = x+
x
f ‘(x)=1
4
x2

x2  4
x2
2
 0  x  4 =0  x=2 ó x=2. Luego para x=2 ó x=2 hay posibles
máximos o mínimos relativos. Usaremos el criterio de la 1ª derivada.
(x  2)(x + 2)
2
Podemos escribir f ‘(x)=
, de manera que al ser x >0, el signo de f‘(x)
2
x
dependerá del signo de x 2 y x+2. Estudiaremos, pues, el signo de f ‘(x) completando la
siguiente tabla:
INTERVALO
x<-2
-2<x<0
0<x<2
x>2
Por lo tanto:
x+2
+
SIGNO DE
2
x-2 x
+
+
+
+
+
+
+
COMPORTAMIENTO
f ‘(x)
+
+
CRECE
DECRECE
DECRECE
CRECE
En x=2 hay un MAXIMO RELATIVO y f(2)=0
En x=2 hay un MINIMO RELATIVO y f(2)=0
Para obtener más información sobre la gráfica, hallaremos los puntos de corte con los ejes:
La ecuación del eje OY es x = 0. La ecuación del eje OX es y = 0.
Para hallar los puntos de corte de la función y = f(x) con el eje de ordenadas hay que
y = f(x) 
resolver el sistema

x=0 
Para hallar los puntos de corte de la función y = f(x) con el eje de abcisas hay que resolver
y = f(x )
el sistema

y=0 
En nuestro caso procedemos así:
4
2
EJE X : f(x)=0  x+  0  x +4=0  No hay solución  No corta al eje X
x
EJE Y: x=0  f(0)=No existe, no se puede dividir entre 0.  No corta al eje Y.
117
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Llamamos asíntota a una recta a la que se acerca la curva cada vez más, sin llegar a
tocarla.
Asíntotas verticales: Se determinan hallando los valores de x que anulan el denominador.
4
Por ejemplo, la función y = tiene como asíntota vertical la recta de ecuación x = 0 (eje
x
de ordenadas), ya que se cumple:
y  - .
Si x  0 + , entonces y  + y si x  0- , entonces
Asíntotas horizontales: Se determinan estudiando el comportamiento de la función para
valores de x alejados de 0. La recta de ecuación y = a es una ásíntota horizontal de la
función si: cuando x + y cuando x  - , ocurre que y  a+ o bien y  a- . Por
ejemplo, la función
y=
2x
tiene como asíntota horizontal la recta y = 2, ya que si
x +1
x  +, y  2 - y si x  -, y  2+ .
Asintotas oblícuas: Se determinan también estudiando el comportamiento de la función
x2
,
x +1
empezamos efectuando la división de polinomios, obteniendo x-1 como cociente y resto 1.
para valores de x alejados de 0. Para hallar las asíntotas oblicuas de la función y =
Teniendo en cuenta que DIVIDENDO = DIVISOR x COCIENTE + RESTO, resulta
x 2 = x + 1x - 1 + 1 , de donde obtenemos:
y=
x2
1
= x - 1 +
x+1
x +1
1
tiende a 0, de forma que la función se
x+1
comporta como la recta y = x - 1, ya que se acerca a ella cada vez más. Decimos entonces
que la recta de ecuación y = x - 1 es una asíntota oblícua de la curva.
Para valores de x alejados de 0, el cociente
Hallemos las asíntotas de la función f(x) = x+
4
x
Si xoo, entonces la función se comporta como la recta y=x, ya que 1 / x 0. Luego la
recta y=x es una asíntota oblicua de la curva.
Si x0+, entonces y+oo. Si x0, entonces y-oo
El eje de las Y(de ecuación x=0) es una asíntota vertical de la curva.
La gráfica de la función es la siguiente:
118
Derivadas y gráficas de funciones
Una función es convexa en un punto P si su gráfica está situada por encima de la recta
tangente en dicho punto. En caso contrario, es decir si la gráfica queda por debajo de la
recta tangente, se dice que la función es cóncava.
convexa
cóncava
Sea y = f(x) una función que admite segunda derivada en el intervalo (a, b).
a) y = f(x) es convexa en (a, b)  f ‘’ (x)>0 para a<x<b
b) y = f(x) es cóncava en (a, b)  f ‘’ (x)<0 para a<x<b
4
, cuya gráfica ya hemos obtenido, vemos que es
x
convexa para valores positivos de x , y cóncava para valores negativos. Comprobemos esto
con las derivadas:
Por ejemplo, para la función f(x) = x+
f(x) = x+
4
4  2x
8
4
 f ' ( x)  1 
 f ' ' ( x) 
. Entonces:

2
4
x
x
x
x3
f es convexa  f ’’(x)>0  x>0
f es cóncava  f ‘’(x)<0  x<0, lo que confirma la conjetura.
Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos y representa
gráficamente las siguientes funciones:
1
3
2
2
4
1) f(x)=x 6x +9x4
2) f(x)=2x x
3) f(x)=x+
x
2
2
2
1) f’(x)=3x 12x+9=0  3(x 4x+3)=0  x 4x+3=0  x=3 ó x=1 valores críticos.
Usaremos el criterio de la segunda derivada.
f’’(x)=6x12 
f ’’(3)=6312=6>0  (3, 4) MÍNIMO RELATIVO
f ‘’ (1)=6112=6<0  (1, 0) MÁXIMO RELATIVO
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son:
INTERVALO
x<1
1<x<3
x>3
COMPORTAMIENTO
CRECE
DECRECE
CRECE
Hallemos los puntos de corte con los ejes:
3
2
EJE X: f(x)=0  x 6x +9x4=0  Una solución es x=1. Por Ruffini:
1
1
1
6
9 4
1 5 4
5 4 0
2
x 5x+4=0  x=4, x=1  Corta al eje X en los puntos (4, 0) y (1, 0).
EJE Y: x=0  y=4 Corta al eje Y en el punto (0, 4)
119
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
La gráfica de la función es la siguiente:
3
2
2) f’(x)=4x4x =0  4x(1x )=0  x=0, x=1, x=1 (valores críticos).
Usaremos el criterio de la segunda derivada:
f ‘’(x)=4 12x
2
f ’’(0)=4>0  (0, 0) MINIMO RELATIVO
f ‘’(1)=8<0  (1, 1) MÁXIMO RELATIVO
f ‘’(1)=8<0  (1, 1) MÁXIMO RELATIVO
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son los siguientes:
INTERVALO
x<1
1<x<0
0<x<1
x>1
COMPORTAMIENTO
CRECE
DECRECE
CRECE
DECRECE
Hallemos los puntos de corte con los ejes:
2
4
2
2
EJE X: f(x)=0  2x x =0  x (2x )=0  x=0, x= 2 , x= 2
Corta al eje X en los puntos (0, 0), ( 2 , 0) y ( 2 , 0).
EJE Y: x=0  f(0)=0  Corta al eje Y en el punto (0, 0)
La gráfica de la función es la siguiente:
3) f ‘(x)=1
1
x2
=0  1=
1
x2
 x2=1  x=1, x=1
valores críticos.
Usaremos el criterio de la primera derivada, completando la siguiente tabla:
INTERVALO
x<1
1<x<0
0<x<1
x>1
120
SIGNO DE f ‘ COMPORTAMIENTO
+
CRECE
DECRECE

DECRECE

+
CRECE
Derivadas y gráficas de funciones
(1, 2) MÁXIMO RELATIVO
(1, 2) MÍNIMO RELATIVO
Por lo tanto:
Hallemos los puntos de corte con los ejes:
x2  1
1
2
0 
 0  x +1=0 No tiene solución.
x
x
Luego no corta al eje X.
EJE X: f(x)=0  x+
EJE Y: x=0  No hay solución, ya que no se puede dividir entre 0.
Luego no corta al eje Y.
Si xoo, la función se comporta como la recta y=x, ya que
1
0.
x
La recta y=x es asíntota oblicua de la curva.
Si x0+, entonces y+oo. Si x0, entonces yoo
El eje Y (de ecuación x=0 ) es asíntota vertical de la curva.
La gráfica de la función es la siguiente:
7.- FUNCIONES POLINÓMICAS
 NACIMIENTOS
En cierta zona rural, el número de nacimientos, N, en función del tiempo, medido en años, t, viene
2
dado por la función
N=85+(t-10) . Dentro de cinco años, ¿el número de nacimientos estará en
línea creciente o en línea decreciente?.
2
2
2
N=85+(t10) =85+t 20t+100=t 20t+185 N’=2t20
Si t=5, entonces N’(5)=2520=10<0  N decreciente.
El número de nacimientos está en línea decreciente.
 PERIÓDICO LOCAL
Un periódico local tiene una tirada que evoluciona de acuerdo con la fórmula N(t)  80t 2  200t  12000
ejemplares diarios, donde t se mide en años.
a) Dentro de un año la tirada ¿está creciendo o decreciendo?.
b) ¿Y dentro de cuatro años?.
c) Calcula el incremento de la tirada durante el sexto año.
121
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
GRÁFICAS CON LA CALCULADORA GRÁFICA
Veamos a continuación cómo utilizar la calculadora gráfica para representar gráficamente
funciones.
Ejemplo 1.- Representa gráficamente la función f ( x)  0,2 x 3  2 x  6 . Determina el valor
de la función para x=3. Halla los puntos de corte con los ejes, intervalos de
crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos. Calcula la pendiente de
la recta tangente a la gráfica en los puntos x=3, x=1, x=0, x=1, x=2 y x=4.
Haz clic en la tecla Y= . Aparece el menú de introducción de funciones, con el cursor en Y1=.
Si hubiese una función, puedes borrarla pulsando [CLEAR]. Introduce la fórmula de la
función: [0.2] [X, T, ] [] [3] [] [2] [X,T,] [+] [6].
nd
Para obtener una tabla de valores de la función, basta pulsar [2 ] [GRAPH] para activar la
función TABLE. Aparece una tabla de valores definida para valores enteros de x. En esta
tabla puedes comprobar que f(3)=5,4.
Para visualizar la gráfica de la función, pulsa [ZOOM] [6] para activar la opción de zoom
estándar, Zstandard. Observa el resultado.
También puedes obtener el valor de la función en x=3 de la siguiente forma: Pulsa la
nd
secuencia [2 ] [TRACE] para abrir el menú CALC. Pulsa [1] para activar la opción value.
Aparece la ventana gráfica con la expresión Eval X=. Introduce el valor de x, en este caso, 3
y pulsa [ENTER]. En pantalla aparece el correspondiente valor de la función Y=5,4 y el
cursor se sitúa sobre la gráfica en el punto (3, 5.4).
Para hallar el punto de corte de la gráfica con el eje de ordenadas, basta obtener el valor de
nd
la función para x=0. Pulsa [2 ] [TRACE] para abrir el menú CALC. Pulsa [1] para activar la
opción value, e introduce el valor de x, en este caso 0. Pulsa [ENTER]. El resultado es que
la gráfica corta al eje OY en el punto (0, 6).
nd
Para hallar los puntos de corte con el eje de abcisas OX, pulsa [2 ] [TRACE] para abrir el
menú CALC. Pulsa [2] para activar la opción zero. Esta función busca un cero de la función
en un intervalo. Aparece en la pantalla gráfica la expresión Lower Bound?: Introduce el
extremo inferior del intervalo, por ejemplo 5 y pulsa [ENTER]. Aparece el mensaje Upper
Bound?: Introduce el extremo superior del intervalo, por ejemplo 3 y pulsa [ENTER].
Aparece el mensaje Guess?. Introduce un valor de x cercano a la raíz, por ejemplo, 4 y
pulsa [ENTER]. Tras unos segundos aparecen en pantalla las coordenadas del punto de
corte (4,150639, 0) y el cursor se sitúa en dicho punto.
En lugar de introducir a través del teclado los extremos inferior y superior del intervalo que
contiene a la raíz, podrías haber utilizado las teclas de cursor [] [ENTER] y [] [ENTER]
para señalar dos puntos de la gráfica situados a ambos lados de la raíz.
nd
Para hallar los máximos y mínimos procedemos de la siguiente forma. Pulsa [2 ] [TRACE]
para abrir el menú CALC. Pulsa [3] para seleccionar la opción minimum. Esta función
calcula el mínimo de la función en un intervalo dado. Aparece la ventana gráfica con el
mensaje Left Bound?. Introduce el extremo inferior del intervalo, por ejemplo, 1 y pulsa
[ENTER]. Aparece el mensaje Right Bound?. Introduce el extremo superior del intervalo,
por ejemplo, 3 y pulsa [ENTER]. Aparece el mensaje Guess?. Introduce un valor cercano al
mínimo de la función, por ejemplo, 2 y pulsa [ENTER]. Tras unos segundos, se muestra el
mínimo local de la función (1,8257428, 3,5656775), mientras el cursor se sitúa en dicho
punto. De forma similar puedes obtener el máximo local de la función, eligiendo en el menú
CALC la opción maximum. Comprueba que el máximo relativo es el punto de coordenadas
(1,825743, 8,4343225). Podemos concluir que, aproximadamente:
122
Derivadas y gráficas de funciones
mínimo relativo (1,8, 3,6)
máximo relativo (1,8, 8,4)
Por tanto, y observando la gráfica de la función, deducimos que:
f es creciente en el intervalo ,  1,8  1,8,  
f es decreciente en el intervalo 1,8, 1,8
Como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto es la derivada
de la función en dicho punto, podemos obtener los valores pedidos utilizando el siguiente
nd
procedimiento. Pulsa [2 ] [TRACE] para abrir el menú CALC. Pulsa [6] para activar la
opción dy/dx. Aparece la gráfica de la función. Desplaza el cursor mediante las teclas [] y
[] hasta el punto de abcisa x=3, o pulsa directamente [3] [ENTER]. Observa que el
resultado es dy/dx=3,4000002. Podemos concluir, pues, que aproximadamente la pendiente
de la tangente en x=3 es dy/dx=3,4. Utilizando el mismo procedimiento, comprueba que:
pendiente de la tangente en
es
x = 1
dy/dx = 1,4
x=0
dy/dx = 2
x=2
dy/dx = 0,4
x=4
dy/dx = 7,6
Ejemplo 2.- Halla los puntos de corte de las gráficas de las funciones y  x 2 e
y  0.2 x 3  2 x  6 . Representa gráficamente dichas funciones.
Como ya tenemos dibujada la gráfica de la cúbica, sólo falta dibujar la parábola. Para
ello, pulsa la tecla [Y=] para activar el menú de funciones e introduce en la línea Y2= la
2
fórmula de la función, [X, T, ] [x ]. A continuación pulsa [ZOOM] [6] para activar la
opción Zstandard. Aparecen las dos gráficas.
En la ventana estándar observamos que las curvas se cortan en dos puntos. Para
nd
determinar exactamente las coordenadas procedemos de la siguiente forma. Pulsa [2 ]
[TRACE] para abrir el menú CALC. Pulsa [5] para activar la opción intersect. Aparece la
ventana gráfica con el mensaje First curve?. Utiliza las teclas [] y [] para situar el
cursor en una de las curvas y pulsa [ENTER]. Aparece el mensaje Second curve?.
Utilizando las teclas [] y [], sitúa el cursor en la otra curva y pulsa [ENTER]. A
continuación, utiliza las teclas [] o [] para situar el cursor lo más cerca posible del
punto de intersección situado a la izquierda y pulsa [ENTER]. Comprueba que el punto
de corte es (2,72214, 7,4100442). Es decir, aproximadamente, 2,7, 7,4 . Utilizando el
mismo procedimiento, comprueba que el punto de corte de la derecha tiene,
aproximadamente, coordenadas 1,9, 3,6 .
La forma de las gráficas parece sugerir que hay un tercer punto de corte para un valor de
x mayor que 2. Para verificar la conjetura, modificaremos los parámetros de la ventana
gráfica. Pulsa [WINDOW]. Utilizando la tecla [], sitúa el cursor en la línea Ymin y pulsa
[5]. Sitúa el cursor en Ymax e introduce [50]. A continuación pulsa la tecla [GRAPH].
Observa que, efectivamente, las curvas se cortan en un tercer punto. Utilizando la
función intersect del menú CALC, comprueba que el punto de corte es,
aproximadamente, el de coordenadas 5,8, 34 .
123
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

CÚBICA
Se considera la función f(x)  2x 3  21x 2  60x  32 .
a) Halla sus máximos y mínimos.
b) Determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c) Represéntala gráficamente.

GRÁFICA
2 3
x , calcula los puntos de corte con los ejes, intervalos de crecimiento y
3
decrecimiento, intervalos de concavidad y convexidad, asíntotas. Representa gráficamente f(x).
Dada la función f(x)  x 2 

COSTES DE ALMACENAMIENTO
En su modelo para los costes de almacenamiento y transporte de materiales para un proceso de
114 

manufactura, Lancaster (1976) obtiene la siguiente función de coste: C(x)  100  100  9x 
,
x 

donde C(x) es el coste total (en dólares) de almacenamiento y transporte (durante tres meses) de x
toneladas de material.
a) ¿Qué cantidad de materiales hace que el coste sea mínimo?.
b) ¿Cuáles son las asíntotas de esta función?
c) Representa dicha función para los valores de x0.
8.- FUNCIONES RACIONALES

FUNCIÓN RACIONAL 1
Dada la función f(x) 
x
:
x4
a) Determina los cortes con los ejes, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y sus asíntotas.
b) ¿Existe algún máximo?. ¿Existe algún mínimo?. Justifica la respuesta.
c) Representa su gráfica.
124
Derivadas y gráficas de funciones

FUNCIÓN RACIONAL 2
Sea la función f(x) 
2x
1 x 2
.
a) Halla la ecuación de la recta tangente en el punto (2,  4 3 ).
b) Halla sus asíntotas, máximos, mínimos, intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c) Represéntala gráficamente.
Una función y = f(x) es IMPAR si cumple f(x) = f(x) para todo punto x de su dominio. La
gráfica de una función impar es SIMÉTRICA RESPECTO DEL ORIGEN DE
COORDENADAS.
Una función y = f(x) es PAR si cumple f(x) = f(x) para todo punto x de su dominio. La
gráfica de una función par es SIMÉTRICA RESPECTO DEL EJE DE ORDENADAS.

FUNCIÓN RACIONAL 3
Representa gráficamente la curva y 
x
1 x 2
, encontrando:
a) Dominio, cortes con los ejes y simetrías.
b) Asíntotas y regiones.
c) ¿Cuántos extremos tendrá, al menos, la curva y de qué tipo?. Hállalos.

FUNCIÓN RACIONAL 4
Sea la función f(x) 
x2
. Determina:
4x
a) Su dominio de definición.
b) Sus asíntotas.
c) Situación de la curva en relación a sus asíntotas.
d) Máximos y mínimos.
e) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
GRÁFICAS CON DERIVE
Podemos utilizar el programa DERIVE para representar gráficamente funciones.
Ejemplo.- Representa la gráfica de la función y 
x3
, obteniendo dominio e
x 2 1
imagen, asíntotas, simetrías, puntos de corte con los ejes, intervalos de
crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, intervalos de concavidad
y convexidad.
125
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Una vez iniciado el programa, haz clic en el botón Editar expresión y, en la caja de texto,
introduce la expresión x  3 / ( x  2  1) . Haz clic en el botón Sí. A continuación, con dicha
expresión seleccionada, haz clic en el botón Gráficos 2D y haz clic en el botón
Representar. Si es necesario, utiliza los botones de Zoom de la barra de herramientas de
gráficos para visualizar mejor la gráfica.
Asíntotas: Puedes comprobar visualmente que las asíntotas verticales son las rectas x= 1
y x=1 (Esto también lo puedes ver algebraicamente, al resolver la ecuación que resulta al
igualar a 0 el denominador, x 2  1  0 ).
En la gráfica vemos que no la curva no tiene asíntotas horizontales. Para comprobarlo,
calculemos lim
x3
x3
. Haz clic en el botón Ventana Algebra, selecciona la
x  x 2  1
x 2 1
fórmula de la función y haz clic en el botón lim (Calcular límite). En la caja de texto Punto
Límite introduce  (utiliza para ello el panel de símbolos). Haz clic en Simplificar. Observa
x3
  . Por lo
que el resultado es . De la misma forma, puedes comprobar que lim
x  x 2  1
tanto, no tiene asíntotas horizontales.
x 
y lim
Para hallar las asíntotas oblicuas, primero efectuamos la división de polinomios. Selecciona
la fórmula de la función y elige el comando Expandir del menú Simplificar. En la siguiente
ventana activa la opción Trivial y haz clic en Expandir. El resultado indica que
x
x3
x
 0 . Por
 x
. Utilizando la técnica anterior puedes comprobar que lim
2
2
2
x  x  1
x 1
x 1
lo tanto, cuando x, la función se comporta como la recta y = x. Es decir, la recta y = x
es una asíntota oblicua de la curva.
Vamos a dibujar las asíntotas en la ventana Gráficos 2D. Para ello introduce en el Editor de
expresiones las fórmulas x=1, x=1, y=x. Selecciona cada una de las expresiones y haz clic
en Representar, una vez abierta la ventana Gráficos 2D.
Dominio e imagen: Observando el gráfico vemos que Dom(f)=R{1, 1}, Im(f)=(, +).
Simetrías: Se trata de una función impar, porque es simétrica respecto del origen.
126
Derivadas y gráficas de funciones
Puntos de corte con los ejes: Vemos que solamente corta a los ejes en (0, 0).
Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: Vemos en la gráfica que la función
presenta un máximo entre x=2 y x=1. Para obtenerlo, hallaremos los puntos críticos (que
anulan la primera derivada). Selecciona la fórmula de la función y haz clic en el botón 
(Calcular derivada). Haz clic en Simplificar. Observa que la derivada de la función es
y '

 . Con la derivada seleccionada, haz clic en el botón Resolver de la barra de
x2 x2 3
x 1
2
2
herramientas y obtendrás como puntos críticos [x=0, x= 3 , x= 3 ]. Evidentemente, para
x= 3 la función tiene un máximo relativo y para x= 3 un mínimo relativo. Para x=0 no
hay máximo ni mínimo. Para hallar los correspondientes valores de la función, selecciona la
fórmula de la función y haz clic en el botón SUB (Sustituir variables). En la caja
Sustitución introduce  3 y haz clic en Simplificar. Obtendrás  3 3 / 2 . Por lo tanto, el


máximo relativo es el punto  3 ,  3 3 / 2 . De forma análoga obtenemos que el mínimo
relativo es el punto
 3, 3

3 / 2 . Como consecuencia, puedes comprobar viendo la gráfica

  3,   y la función es decreciente en el
de la función que es creciente en  ,  3 




intervalo  3,  1   1, 1  1, 3 .
Concavidad y convexidad: Calculamos primero la segunda derivada. Selecciona la
fórmula de la función y haz clic en el botón  (Calcular derivada). En la siguiente ventana
introduce Orden 2 y haz clic en Simplificar. Observa que la segunda derivada es
2 x2 x  3
y ''
. Con la segunda derivada seleccionada, elige el menú Resolver /
3
2
x 1
Algebraicamente. En la siguiente ventana completa la inecuación, añadiendo al final de la
caja de texto la expresión >0 y haz clic en Simplificar. Obtendrás que la segunda derivada
es positiva en los intervalos [x>1, 1<x<0]. De la misma forma puedes resolver la inecuación
2 x2 x  3
 0 y comprobar que la segunda derivada es negativa en los intervalos [x< 1,
3
x 2 1
0<x<1]. Por lo tanto, la función es convexa en 1, 0  1,   y es cóncava en




, 1  0, 1 . Esta conclusión también la puedes comprobar directamente en la gráfica de
la función.

FUNCIÓN RACIONAL 5
Considera la función: f(x) 
x 2  4x  4
. Halla el dominio de definición, los puntos de corte con los
x 2 1
ejes, las posibles asíntotas, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los posibles
máximos y mínimos. Haz después un esquema sencillo de la gráfica de esta función.

FUNCIÓN RACIONAL 6
Sea la función f(x) 
x
x  12
.
a) Calcula sus asíntotas.
b) Calcula sus extremos y puntos de inflexión.
c) Represéntala gráficamente (basándote en los resultados de los apartados anteriores y cualquier
otro que puedas necesitar).
127
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

FUNCIÓN RACIONAL 7
Se considera la función f(x) 
x
2
x 4
. Se pide:
a) Dominio de la función, puntos de corte con los ejes y simetrías.
b) Asíntotas y regiones de existencia de la gráfica.
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos, si los hay.
d) Representación gráfica aproximada.

ESPECIE PROTEGIDA
Las conclusiones de un estudio establecen que el número de individuos de una determinada
población de una especie protegida vendrá dado, durante los próximos años, por la función
15000  t  10000
, siendo t el número de años transcurridos.
f(t) 
2 t  2
a) Calcula el tamaño actual de la población.
b) ¿Cómo evoluciona el tamaño de la población entre los años 4 y 9?.
c) Si esta función fuese válida indefinidamente, ¿se estabilizaría el tamaño de la población?.
Justifica la respuesta.

REBOTES
Se deja caer una bola de goma desde una altura de 243 metros. Cada vez que
toca tierra, rebota y recorre una distancia igual a las dos terceras partes de la
altura desde la que ha caído la última vez.
a) ¿Desde qué altura ha caído la bola cuando ha tocado tierra por sexta vez?.
b) ¿Qué distancia ha recorrido desde que se ha dejado caer hasta que ha tocado
tierra por sexta vez?.
128
Derivadas y gráficas de funciones

SIDA
Algunos expertos estimaron, a comienzos de los años noventa, que el sida crecía a razón del 20%
anual. Si suponemos que en esta fecha, en una determinada ciudad, había 1000 enfermos de sida y
la fórmula del crecimiento viene dada por E(t)  1000  1  0,20t :
a) ¿Cuántos hubo a comienzos de 1993?. ¿Y en el año 2000?.
b) ¿Cuánto tarda en duplicarse el número de afectados?.

UNA FUNCIÓN
Dada una función f(x)  2x 2  4  ln x , se pide:
a) ¿Cuál es el dominio de definición de f(x)?.
b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x). Razona si existen máximo y
mínimo y, en caso afirmativo, calcúlalos.
c) Determina los intervalos de concavidad y convexidad de f(x). Razona si existen puntos de
inflexión y, en caso afirmativo, calcúlalos.
d) Determina, si existen, las asíntotas de f(x).
9.- CONTINUIDAD, DISCONTINUIDAD Y LÍMITES DE FUNCIONES
 EL TELÉFONO
Para que comience a funcionar un teléfono público se necesita una moneda de 5 céntimos; al cabo
de tres minutos, para continuar la comunicación, se tiene que introducir otra moneda de 5 céntimos
que permite hablar durante los tres minutos siguientes, y así sucesivamente.
Haz una gráfica que nos permita ver cómo varía el precio de una llamada telefónica (Y) según su
duración (X).
La gráfica de la función obtenida presenta “saltos” en los puntos x = 3, x = 6, x = 9, etc. a
2
diferencia de lo que ocurre con la función y = x , que no presenta saltos en ningún punto.
Utiliza tu calculadora para completar la tabla que sigue:
x
2
y=x
2,9
2,99
2,999
2,9999
3
3,0001
3,001
3,01
3,1
Comprueba que cuando x tiende a 3, bien por la derecha o bien por la izquierda, los
valores de y tienden al valor que toma la función cuando x = 3. Se dice entonces que la
2
función y = x es continua en x = 3. En realidad, dicha función es continua para todos los
valores de x.
129
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
En cambio, en la gráfica de la llamada telefónica, cuando x tiende a 3 por la izquierda, los
valores de y tienden a 5, mientras que cuando x tiende a 3 por la derecha, los valores de
y tienden a 10. Esto puedes comprobarlo observando la gráfica y completando la siguiente
tabla:
x
y
2,9
2,99
2,999
2,9999
3
3,0001
3,001
3,01
3,1
Por lo tanto, la función que representa esta situación no es continua en x = 3. Comprueba
que tampoco es continua en x = 6, x = 9, x = 12, x = 15, ...
En general, una función y = f(x) es continua en x = a, si cuando x tiende a a, bien por
la izquierda, o bien por la derecha, f(x) tiende a f(a). En caso contrario, se dice que
es discontinua en x = a.
Representa gráficamente las siguientes funciones, indicando los puntos de discontinuidad, si tienen:
 2x, si 0  x  1
a) y = 
 2 - x, si 1 < x  2

 x, si x  4
b) y =  2

 x , si x > 4

 x + 2, si x  3
c) y =  2

 x , si x > 3
 MAS FUNCIONES
Dibuja las gráficas de las siguientes funciones y estudia su continuidad:

x 2 , si 0  x  2
a) y = 

4 - x, si 2 < x  4

 2 - x 2 , si x  0

b) y =  2, si 0 < x  2
 2x - 2, si x > 2

 0, si x  0

c) y =  x 2 , si 0 < x  3
 6 + x, si x  3

CONSUMO DE ELECTRICIDAD
La gráfica siguiente representa el consumo de electricidad (en miles de kwh) de cierta empresa, en
función de la hora del día. Determina su expresión analítica.
130
Derivadas y gráficas de funciones

DEPORTE
El rendimiento físico ante determinado esfuerzo muscular (evaluado en una escala
de 0 a 100) de cierto deportista de élite durante un tiempo de 60 minutos, viene
dado a través de la función:
  t  t  20

R(t)   75
 100  5 6  t

si 0  t  15
si 15  t  30
si 30  t  60
a) Representa dicha función.
b) Interpreta la gráfica obtenida.
A TROZOS CON LA CALCULADORA GRÁFICA
Podemos utilizar la calculadora gráfica TI83 para representar gráficamente
funciones definidas a intervalos.
Ejemplo.- La multa por exceso de velocidad en una carretera con un límite de 45 km
por hora es de 50 ; más 5  por cada km desde 46 hasta 55 km por hora; más 10 
por cada km desde 56 s 65 km por hora; más 20  por cada km a partir de 66 km por
hora. Representa gráficamente la función a intervalos que describe el importe de la
multa.
La expresión de la multa (Y) como función de los km por hora (X) es:
 0,
 50  5  X  45,

Y 
 50  5 10  10  X  55,

 50  5 10  10 10  20  X  65,
 0,
 50  5  X  45,

o lo que es lo mismo: Y  
 100  10  X  55,

 200  20  X  65,
si 0  X  45
si 45  X  55
si 55  X  65
si X  65
si 0  X  45
si 45  X  55
si 55  X  65
si X  65
Para introducirla en la calculadora seguimos los siguientes pasos:
Pulsa [MODE]. Selecciona Func y los parámetros por defecto. Pulsa [Y=]. Desactiva todas
las funciones y los gráficos estadísticos. Utiliza las operaciones del menú TEST (que se
nd
abre pulsando [2 ] [MATH]) para introducir la función que describe la multa. La función se
introduce así:
131
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Y1 = (50 + 5(X45)) (45<X) (X  55) + (100 + 10(X55)) (55<X) (X  65) + (200+ 20(X65))
(X>65)
nd
Para ver una tabla de valores de la función, pulsa [2 ] [GRAPH] para abrir el menú TABLE.
Con las teclas de cursor puedes recorrer la tabla.
nd
Pulsa [WINDOW] y define Xmin=2, Xscl=10, Ymin=5 e Yscl=10. Pulsa [2 ] [MODE] para
activar la opción QUIT. En la ventana inicial pulsa la secuencia de teclas [1] [STO] [VARS]
[1] para activar la opción Window. Con el cursor selecciona X y pulsa [ENTER]. Pulsa
[ENTER] para confirmar. De esta forma hemos especificado la distancia horizontal entre los
pixeles adyacentes en 1 unidad. De la misma forma introduce en la pantalla principal 5Y
como distancia vertical entre los pixeles adyacentes. Pulsa [TRACE] para visualizar el
gráfico.
¿A qué velocidad la multa es superior a 250 ?.

MATERIAL FOTOGRÁFICO
Cierta empresa de material fotográfico oferta una máquina que es capaz de revelar y pasar a papel
15,5 fotografías por minuto. Sin embargo, sus cualidades se van deteriorando con el tiempo de forma
que el número de fotografías por minuto será función de la antigüedad de la máquina de acuerdo a la
siguiente expresión (F(x) representa el número de fotografías por minuto cuando la máquina tiene x
años):
 15,5  1,1x

F(x)   5x  45

 x2
si 0  x  5
si x  5
a) Estudia la continuidad de la función F.
b) Comprueba que el número de fotografías por minuto decrece con la antigüedad de la máquina.
Justifica que si tiene más de 5 años revelará menos de 10 fotografías por minuto.
c) Justifica que, por muy vieja que sea la máquina, no revelará menos de 5 fotografías por minuto.

¿CONTINUA?
 x2 4

, si x  2
Halla el valor de k para que la función f(x)   x  2
sea continua en x=2.
 k,
si
x


2


PRUEBA DE ATLETISMO
Se ha investigado el tiempo (T, en minutos) que se tarda en realizar cierta prueba de atletismo en
función del tiempo de entrenamiento de los deportistas (x, en días), obteniéndose que:
 300

 x  30
T(x)  
1125

2

 x  25  x  15
si 0  x  30
si x  30
a) Justifica que la función T es continua en todo su dominio.
b) ¿Se puede afirmar que cuanto más se entrene un deportista menor será el tiempo en realizar la
prueba?. ¿Algún deportista tardará más de 10 minutos en finalizar la prueba?.
c) Por mucho que se entrene un deportista, ¿será capaz de hacer la prueba en menos de 1 minuto?.
¿Y en menos de 2 minutos?.
132
Derivadas y gráficas de funciones
A TROZOS CON FUNCIONS I GRÀFICS
El programa FUNCIONS I GRÀFICS está especialmente diseñado para dibujar gráficas de
funciones. Veamos su utilidad para dibujar funciones definidas por intervalos.
Haz clic en Inicio / Programas / Aplicacions PIE / Funcions i Gràfics. Observa que en la
ventana del programa aparece una barra con los siguientes menús: Arxiu, Edició,
Visualitzar, Escalazoom, Funcions, Punts, Ajuda. Con el ratón efectúa un paseo por los
menús y observa las distintas opciones.
La ventana presenta también una barra de herramientas con los siguientes botones:

Esborrar pantalla

Esborrar funció

Aspecte i colors

Escala: extrems inicials

Zooom in: marcar la zona rectangular

Zoom out: centre el de la pantalla

Funcions definides a intervals

Composició de funcions

Imatges d’x mitjançant una funció

Portar gràfics al portaretalls

Ajuda
Ejemplo 1.- Dibuja la gráfica de la función f ( x)  0,5 x 3  4 x  7 . Halla la imagen del
punto x=2 y la antimagen del punto y=10
En la caja de introducción de funciones escribe la fórmula de la función: 0,5 x  3  4 x  7 y
pulsa ENTER. Observa la gráfica obtenida.
Para hallar la imagen de x=2, haz clic en el botón Imatges d’x mitjançant una funció. En la
caja x del cuadro de diálogo escribe 2 y pulsa ENTER. Observa que en la caja f(x) se
muestra la imagen de x y en el gráfico se señala el punto correspondiente.
Para hallar la antimagen de y=10, selecciona Antimages en la lista desplegable del cuadro
de diálogo Punts. En la caja f(x) introduce el valor 10 y pulsa ENTER. Observa que en la
caja x aparece el valor de la antimagen, 2,329 y se señala el punto sobre el gráfico.
133
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
x2
. ¿Cuál es la imagen de x=3?.
x3
¿Cuál es la antimagen de y=1?. ¿Cuáles son las asíntotas de la función?.
¿Cuál es el dominio?. ¿Cuál es el conjunto imagen?.
Ejemplo 2.- Dibuja la gráfica de la función f ( x) 
Haz clic en el botón Esborrar pantalla. En la caja de introducción de funciones, escribe la
fórmula de la función: x  2 / x  3 y pulsa ENTER. Observa la gráfica obtenida.
Para hallar la imagen de x=3 procedemos como antes. Observa que ahora el programa no
da una respuesta en la caja f(x), únicamente dibuja una recta vertical y nos invita a que
desplacemos dicha recta con el ratón, si queremos. Evidentemente, la imagen de x=3 no
existe. La recta x=3 es una asíntota vertical y el dominio de la función no contiene a x=3. Es
decir, Dom( f )  , 3  3,   . La función es discontinua en x=3.
Para hallar la antimagen de y=1 procedemos igual que antes. De nuevo la caja x aparece en
blanco y se dibuja sobre el gráfico una recta horizontal por y=1, invitándonos el programa a
desplazarla. Evidentemente, la antimagen de y=1 no existe. La recta y=1 es una asíntota
horizontal y el conjunto imagen de la función no contiene a y=1. Es decir,
Im( f )  , 1  1,   .
Ejemplo 3.- Dibuja
la
gráfica
de
la

 x  1, si x  1
función f ( x)   2
.

 x  2, si x  1
Estudia
su
continuidad en el punto x = 1.
Haz clic en el botón Esborrar pantalla. Haz clic en el botón Funcions definides a
intervals. En el siguiente cuadro de diálogo, observa que podemos definir hasta cinco
funciones diferentes. Estando activada la opción FT1(x), introduce en la primera caja de la
primera fila la definición de la función en el primer intervalo: x+1. En el segundo panel de
desigualdades de dicha fila, selecciona <=, y en la última caja de texto de dicha fila, escribe
1. En la primera caja de la segunda fila introduce la definición de la función en el segundo
intervalo: x  2  2 . En la siguiente caja de texto introduce un 1, para completar la
desigualdad 1<x. Pulsa ENTER y aparecerá la gráfica de la función. Observa que dicha
función es discontinua en el punto x = 1.
ACTIVIDADES
1.-
Representa
gráficamente
la
función

  x  2, si x  2
f ( x)   2
.

 x  4 x, si x  2
Estudia
su
continuidad en el punto x = 2.

 x 2  4,
2.- Dibuja la gráfica de la función f ( x)  

 x  1,
en el punto x = 2 ?.
si x  2
si x  2

 3x  2,

2.- Representa gráficamente la función f ( x)    2,
 4

,
 x2
de esta función.
134
. ¿Es continua esta función
si x  0
si x  0 . Estudia la continuidad
si x  0
Derivadas y gráficas de funciones
A TROZOS CON DERIVE
Podemos utilizar el programa DERIVE para representar gráficamente funciones definidas a
intervalos.

 x  4, si x  1
Ejemplo.- Representa gráficamente la función f ( x)   2
. ¿Es continua

 x  3, si x  1
en el punto x = 1 ?.
Una vez iniciado el programa, haz clic en el botón Editar expresión y en la caja de texto


escribe la expresión x  4  chi  , x,  1  x  2  3 chi  1, x,  . Pulsa el botón Sí. Haz clic
en el botón Gráficos 2D y haz clic en Representar. Observa que la gráfica obtenida es
discontinua en el punto x = 1.
ACTIVIDADES

si x  1
 x2,
a) Representa la gráfica de la función f ( x)  
. Estudia su continuidad en el

  x  2, si x  1
punto x = 1.
si x  3
 x  3,
 2
b) Representa gráficamente la función f ( x)   x  4,
si  3  x  3 . Estudia su
  2 x  11, si x  3

continuidad en los puntos x = 3 y x = 3.
FUNCIONES VALOR ABSOLUTO
 x, si x  0
La función valor absoluto de x se define de la siguiente forma: x  
. Por
  x, si x  0
ejemplo, 3  3 ,  3  3 . Veamos como se puede utilizar el programa DERIVE para
representar gráficamente funciones valor absoluto.
Ejemplo 1.-
Representa gráficamente la función
 x, si x  0
f ( x)  x  
. ¿Es
  x, si x  0
continua en el punto x = 0 ?.
En la ventana de Álgebra, haz clic en el botón Editar expresión. En la caja de texto
correspondiente escribe la expresión abs(x) y haz clic en Sí. Abre la ventana gráfica
haciendo clic en el botón Gráficos 2D y selecciona Edición / Borrar gráfica / Última. A
continuación haz clic en el botón Representar. La gráfica obtenida es continua en el punto x
= 0, si bien no es derivable en dicho punto, por tener dos tangentes en el origen.
135
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Ejemplo 2.-
Representa gráficamente la función f ( x)  x 2  2 x  3 . ¿Es continua?.
¿Es derivable?.
Borra la última gráfica, mediante el comando Edición / Borrar gráfica / Última. A
continuación haz clic en el botón Ventana Álgebra.
En la ventana de Álgebra, haz clic en el botón Editar expresión. En la caja de texto


correspondiente, escribe la expresión abs x  2  2 x  3 y haz clic en Sí. Abre la ventana
gráfica haciendo clic en el botón Gráficos 2D y haz clic en Representar. Observa que la
gráfica obtenida es continua en todos sus puntos, pero no es derivable en los puntos x = 3
y x = 1.
ACTIVIDAD
Representa la función f ( x)  x 2  4 . Estudia su continuidad y derivabilidad.

A TROZOS
 x  1 , si x  1

Dada la función f(x)   2 x , si 1  x  4
 a,
si 4  x

a) Dibuja su gráfica.
b) Estudia su continuidad y halla a para que sea continua en x = 4.
c) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Halla la pendiente de la recta tangente a f(x) en x=3 y en x=5.

¿CRECIENTE?
Considera la función y 
el punto de abcisa x = 1.
136
x2
. Averigua para qué valores del parámetro a la función es creciente en
xa
Derivadas y gráficas de funciones

CINCO TROZOS
 x,
 0,

Representa gráficamente la función: f(x)    1,
  2,

 0,
si  3  x  0
si 0  x  1
si 1  x  2
si 2  x  3
si x  3 ó
x 3
a) ¿En qué puntos es continua la función?.
b) ¿Cuál es la gráfica de la función f(x) ?.
 TRES TROZOS
Observando la gráfica, justifica los siguientes apartados:
a) Tipo de discontinuidad en x=2 y en x=4.
b) ¿Existe un a tal que lim f(x)   ?.
x a
xa
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos relativos.
 LÍMITES
1) Dada la función y=f(x) cuya gráfica es la de la figura adjunta, calcula los siguientes límites:
a) lim f(x)
x
b) lim f(x)
x  2
c) lim f(x)
x 0
d) lim f(x)
x2
137
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
2) Esta es la gráfica de una función y=f(x). Calcula estos límites:
a)

lim f(x)
b) lim f(x)
x  
x  2
c) lim f(x)
d) lim f(x)
x 0
x2
e)
lim f(x)
x  
CÁLCULO DE LÍMITES
LÍMITES DE FUNCIONES RACIONALES
x2  x
Ejemplo 1.- Calcula lim
x 2 x 2  2 x  3
Sustituimos x=2 en la fórmula de la función. Así:
lim
x2  x
x 2 x 2  2 x  3

22  2
2
2  22 3
Ejemplo 2.- Calcula lim

6
 2
3
x2  x
x 1 x 2  2 x  3
Si sustituimos x=1 obtenemos la indeterminación 0 / 0. Para resolverla factorizamos el
numerador y el denominador, dividiendo por (x(1))=(x+1). Así:
x2  x
x2  2 x  3

x  1  x 
x  1  x  3
Ejemplo 3.- Calcula lim
x1
x
x2  x
x
1 1
. Luego: lim 2
 lim


x 3
x

3

4 4
x1 x  2 x  3 x1
x3  5 x 2  7 x  3
x3  x 2  x  1
Si sustituimos x=1 obtenemos la indeterminación 0 / 0. Para resolverla factorizamos el
numerador y el denominador, dividiendo por (x+1) usando la regla de Ruffini las veces que
sea necesario.
lim
x3  5 x 2  7 x  3
x1 x3  x 2  x  1
 lim
x  1  x2  4 x  3  lim x2  4 x  3 
x1
x1
x  1  x2  1
x2  1
 lim
x  1  x  3 
x1 x  1  x  1
 1
lim
x3
x1 x  1

2
 1
2
2x 


Ejemplo 4.- Calcula lim 
x 1  x  1 x 2  1 
Si sustituimos x=1 obtenemos la indeterminación   . Para resolverla, efectuamos la
diferencia de fracciones:
 1
 x 1
2x 
2x 
 x 1
- x - 1
1
1
  lim 
  lim
lim 


 lim
 lim

2
x 2  1  x1  x 2  1 x 2  1  x1 x2  1 x1 x  1  x  1 x1 x  1
x1  x  1
138
Derivadas y gráficas de funciones
LÍMITES DE FUNCIONES IRRACIONALES
Ejemplo.- Calcula lim
x 0
7x  7
x
Si sustituimos x=0 obtenemos una indeterminación 0 / 0. Para resolverla, multiplicamos y
dividimos por la expresión conjugada del numerador:
7x  7
 lim
x
x0
x0
lim
 lim
x0 x 
 7  x  7   7  x  7  
x 7  x  7
7 x7
0
 7  x  7   xlim
1
7x  7

1
2 7
Calcula los siguientes límites de funciones:
a) lim
x2
x2  5x  6
x2 x  2  x  1
x  3  x  2
b) lim
x 2
 x2
x2  2x 
d) lim 

x 1 
x  x  1


e) lim
x 3
x9 x  9
 1
x 1 

c) lim 

x5  x  5 x2  25 
f) lim
x2
x  7 3
x 2
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
De una función f(x) se sabe que está definida en el intervalo [0, 4] y que la gráfica de su derivada
f ' (x) es la línea quebrada que une los puntos (0, 1), (2, 1) y (4, 1). Halla razonadamente los
intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x) y sus extremos relativos.

DOS FUNCIONES
De dos funciones, f y g, se sabe que la representación gráfica de sus funciones derivadas es una
recta que pasa por los puntos (0, 2) y (2, 0) ( para la derivada de f ) y una parábola que corta al eje
OX en (0, 0) y (4, 0) y tiene por vértice (2, 1) ( para la derivada de g ). Utilizando las gráficas de tales
derivadas:
a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de f y g.
b) Determina, si existen, máximos y mínimos de f y g.

MÁXIMO ABSOLUTO

 2x  4, si 0  x  4
Averigua razonadamente dónde alcanza el máximo absoluto la función: f(x)   2
.

 x  4, si 4  x  8

MÁS TROZOS
 x 2  2x  1,


Sea f(x)   2x  2,

  x 2  8x,

si x  1
si  1  x  2
si x  2
a) Estudia su continuidad y derivabilidad.
b) Representa gráficamente la función y, a la vista de su gráfica, determina sus máximos y mínimos
relativos, así como el crecimiento y decrecimiento.
139
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
10.- APLICACIONES ECONÓMICAS DE LAS DERIVADAS II
MARGINALIDAD
En Economía se utiliza con frecuencia el concepto de marginalidad, aplicado a distintas
cuestiones. Por ejemplo, el coste marginal de fabricación de un producto es el incremento
de coste que se produce cuando se aumenta la producción en una cantidad pequeña.
Como, con frecuencia, el incremento de producción se realiza de unidad en unidad, se habla
del incremento de coste por la última unidad fabricada.
Del mismo modo se hablaría del incremento de los ingresos por la última unidad vendida:
ingreso marginal. En ambos casos, y en todos aquellos en que se utilice el término
marginal, se trata de la derivada de la función de que se esté tratando (función de costes,
función de ingresos, etc.) respecto de la variable producción, que se mide en unidades
fabricadas:
dC
dx
dI
Ingreso marginal: I ' 
dx
Coste marginal: C ' 
x = número de unidades fabricadas
x = número de unidades vendidas
Ejemplo.- La función de costes de cierto producto viene dada por la expresión:
C ( x)  3  10 x  x 2 , donde C se expresa en decenas de euros, y x en unidades.
Halla el coste marginal.
El coste marginal es: C ' ( x)  10  2 x . En Economía las funciones tienen un campo de
validez que es restringido respecto al dominio de definición de la función. En este caso, la
función es válida desde x=0 hasta x=5; a partir de ahí, observamos que C’(x)<0, por tanto el
coste marginal C(x) es decreciente, es decir, disminuyen los costes de fabricación, lo que es
absurdo si se está fabricando más. Se cumple que C(0)=3, lo que representa los gastos fijos
de producción, independientes de la fabricación o no del producto (sueldos, amortización de
maquinaria, etc.).

COSTE MARGINAL
La función de costes de fabricación de un producto viene dada por la expresión: C(x)  2  8x  x 2 .
Halla el coste marginal del producto y su valor cuando se pasa de una producción 1 a una producción
2. ¿Cuál es el límite de validez de la función de costes?.

INGRESO MARGINAL
La función de ingresos por la venta de un producto de consumo viene dada por la expresión:
I(x)  10x  0,01x 2 . Halla el ingreso marginal. ¿Cuánto vale I(0)?. Este último resultado, ¿será siempre
el mismo, sea cual sea la forma de la función de ingresos?.
140
Derivadas y gráficas de funciones

BENEFICIO MARGINAL
Las funciones de ingresos y gastos correspondientes a cierto producto de consumo son,
respectivamente: I(x)  80x  0,1x 2 ; C(x)  5000  20x . Halla la función beneficio y el beneficio
marginal. ¿Para qué valores de x están definidas estas funciones?.

MARGINALIDAD 1
La función de costes, en decenas de euros, de una empresa es, en relación con el volumen de la
producción, C(x)  60  30x  x 2 . Determina la función de coste marginal y halla éste cuando el
volumen de producción corresponde a x = 1, x = 2, x = 3.

MARGINALIDAD 2
La función de costes de cierto producto de consumo es:
C(x)  2x  5 , mientras que la
correspondiente función de ingresos, es I(x)  8x  x 2 , donde x se mide en miles de unidades
producidas y tanto C como I, en decenas de miles de euros. Halla:
a) El coste marginal;
b) El ingreso marginal;
c) La función de beneficio;
d) El beneficio marginal;
e) Los valores de todas las funciones para x=3, x=4.

MARGINALIDAD 3
La función de costes de cierto producto de consumo es C(x)  50x  40000 y la relación entre precio y
demanda p(x)  100  0,01x , donde x se expresa en unidades y p y C, en decenas de euros:
a) Halla la función de ingresos;
b) Halla la función de beneficios;
c) Halla el coste marginal, el ingreso marginal y el beneficio marginal.

ORDENADORES
Los costes derivados de la fabricación de ordenadores personales de alto nivel obedecen a la fórmula
C(x)  5x 2  10x  200 decenas de euros, donde x es el número de ordenadores fabricados.
a) Halla el coste marginal correspondiente a la vigésimo primera unidad fabricada.
b) Halla el beneficio marginal obtenido por dicha unidad, si se vende a 5000 euros.
141
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
FUNCIÓN DE UTILIDAD
La función de utilidad de una empresa se define como la diferencia entre sus ingresos o
beneficios y pérdidas o costes.

UTILIDAD
La utilidad de una compañía financiera viene dada por la función U(t)  10  t 2  t  236 miles de
dólares, donde t=0 es la fecha de constitución de la empresa. Determina la utilidad marginal y la
utilidad porcentual marginal.
 MARGINALIDAD Y UTILIDAD
La función de costes de determinado artículo es C(x)  30  10x  2x 2 , en miles de céntimos, mientras
que el precio unitario de dicho artículo obedece a la p(x)  60  2x , donde p se mide en céntimos.
Determina:
a) Los dominios de definición de ambas funciones.
b) El coste marginal.
c) La función de ingreso.
d) La función de utilidad.
e) El ingreso marginal.
f)
La utilidad marginal.
g) La utilidad máxima.
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