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Gravedad inducida y
entropía de entrelazamiento
holográfica
Mariano Chernicoff
Facultad de Ciencias, UNAM
(Trabajo en progreso, en colaboración con Joan Camps (DAMTP))
Plan de la plática
1. Entropía de entrelazamiento
2. La herramienta: AdS/CFT
3. El escenario: Randall-Sundrum
4. Resultados
5. Comentarios finales
Entropía de Entrelazamiento
¿Qué es la entropía de entrelazamiento?
Si dividimos un sistema cuántico en dos partes, la entropía de
entrelazamiento nos da una medida de cuanta correlación existe entre
los dos subsistemas.
Entropía de Entrelazamiento
¿Qué es la entropía de entrelazamiento?
Siendo un poco más precisos, cuando dividimos un sistema cuántico en
dos partes A y B , el espacio de Hilbert total se factoriza en
Htot = HA ⌦ HB
Por ejemplo, en cadenas de spin:
Total
A
B
Entropía de Entrelazamiento
¿Qué es la entropía de entrelazamiento?
Siendo un poco más precisos, cuando dividimos un sistema cuántico en
dos partes A y B , el espacio de Hilbert total se factoriza en
Htot = HA ⌦ HB
Definimos la matriz de densidad reducida ⇢A para A como:
⇢A = TrB ⇢tot
Ahora utilizamos este resultado para definir la entropía de entrelazamiento
como
SA =
TrA ⇢A log ⇢A
(entropía de Vonn-Neumann)
En una QFT, usualmente lo que hacemos es
L
A
B
⌃
Integramos los grados de libertad que están fuera de A y por tanto
los grados de libertad restantes quedan descritos por ⇢A
En una QFT, usualmente lo que hacemos es
L
B
A
⌃
Si calculamos la entropía de entrelazamiento, el resultado es UV
divergente (i.e. está dominado por las correlaciones a distancias pequeñas)
SEE = c0
Ld
2
d 2
+ c1
Ld
3
d 3
+ ···+
donde d es la dimensión del espacio-tiempo y
un corte UV.
los coeficientes que aparecen en esta expresión dependen de la QFT.
En una QFT, usualmente lo que hacemos es
L
B
A
⌃
Si calculamos la entropía de entrelazamiento, el resultado es UV
divergente (i.e. está dominado por las correlaciones a distancias pequeñas)
SEE = c0
Ld
2
d 2
+ c1
Ley de área
Ld
3
d 3
+ ···+
Término(s) subdominante(s)
Un par de comentarios sobre la expresión que acabamos de ver:
El carácter geométrico de la entropía de entrelazamiento está
implícitamente codificado en la elección del corte UV y los
coeficientes c0 y c1 NO son universales.
Si buscamos términos de orden superior se puede mostrar que
aparecen contribuciones logarítmicas cuyos coeficientes son
universales. La forma de dicho término es
Suniv = cd log( )
L
Un par de comentarios sobre la expresión que acabamos de ver:
El carácter geométrico de la entropía de entrelazamiento está
implícitamente codificado en la elección del corte UV y los
coeficientes c0 y c1 NO son universales.
Si buscamos términos de orden superior se puede mostrar que
aparecen contribuciones logarítmicas cuyos coeficientes son
universales. La forma de dicho término es
Suniv = cd log( )
L
¿Cómo se calcula la entropía de entrelazamiento en QFT’s?
El Truco de Réplica en dos transparencias.
Definimos la entropía de Rényi como,
Sn =
1
n
1
log(Tr[⇢n ])
El Truco de Réplica en dos transparencias.
Definimos la entropía de Rényi como,
Sn =
1
n
1
log(Tr[⇢n ])
Resulta muy complicado calcular Tr[⇢n ] , y para lograrlo se usa la integral
de trayectoria con tiempo euclideo. Esquemáticamente:
1 (x)
Direcciones
de la teoría
de campo
2 (x)
h
1 |⇢| 2 i
X
i
amplitud
Periodo 2⇡
✓
✓
Tiempo euclidiano
Tr⇢2
✓
h i |⇢| i i = Tr⇢
=
El Truco de Réplica en dos transparencias.
Zn
El resultado es Tr[⇢ ] ⌘
, donde Zn es la función de partición en
n
(Z1 )
en un espacio singular que obtenemos de pegar n copias del espacio
original.
n
Ahora, definimos la entropía de entrelazamiento como:
SEE = lim Sn
n!1
Y para calcularla lo que hacemos es
SEE =
@n (log(Tr[⇢n ])) =
@n (log Zn
n log Z1 )|n!1
Esta es la cantidad que queremos calcular con métodos holográficos.
La correspondencia holográfica
SYM N = 4
sobre Minskowski D
T =0
=
=4
=
Teoría de cuerdas IIB
5
AdS
⇥
S
sobre
5
~x
4
L
2
⌘ gYM
Nc = 4
ls
TH = 0
2
r
ds2 = 2
L
dt2 + d~x2
r=1
r=0
L2 2
+ 2 dr
r
La correspondencia holográfica
SYM N = 4
sobre Minskowski D
T =0
=
=4
=
Teoría de cuerdas IIB
5
AdS
⇥
S
sobre
5
~x
4
L
2
⌘ gYM
Nc = 4
ls
TH = 0
2
r
ds2 = 2
L
dt2 + d~x2
r=1
r=0
L2 2
+ 2 dr
r
El gran poder de la correspondencia radica en que cuando la teoría
de campo está fuertemente acoplada, podemos hacer cuentas
perturbativas en la teoría de cuerdas.
Existen muchas entradas del diccionario holográfico:
En esta charla solo estamos interesados en calcular
la entropía de entrelazamiento y para ello utilizaremos
lo que se conoce como la formula de Ryu-Takayanagi.
Existen muchas entradas del diccionario holográfico:
En esta charla solo estamos interesados en calcular
la entropía de entrelazamiento y para ello utilizaremos
lo que se conoce como la formula de Ryu-Takayanagi.
La preescripción:
R
⌃
r=1
B
AA
r=0
h Area( ) i
SEE (A) = ext
4Gd+2
@ =⌃
(d
1) dimensional
constante de Newton
[Ryu-Takayanagi]
h Area( ) i
SEE (A) = ext
4Gd+2
@ =⌃
La fórmula:
Este resultado es válido cuando la geometría en el bulto
esta descrita por gravedad (clásica) de Einstein.
Es divergente (UV) porque la superficie se extiende hasta la
frontera de AdS. Para resolver este problema, introducimos
un corte UV en el bulto.
R
⌃
A
B
r=1
r = r0
Corte UV:
2
= L /r0
r=0
Haciendo los cálculos el resultado general está dado por:
SEE
Ld 1 A⌃
' d+2 d 2 + · · ·
G
Haciendo los cálculos el resultado general está dado por:
SEE
Ld 1 A⌃
' d+2 d 2 + · · · Términos subdominantes
G
Ley de área
Haciendo los cálculos el resultado general está dado por:
SEE
SEE
Ld 1 A⌃
' d+2 d 2 + · · · +cd
G
Ld 1 A⌃
' d+2 d 2 + · · ·
G
+cd
2
log(R/ ) + · · ·
Si d es impar
+ ···
Si d es par
2
Haciendo los cálculos el resultado general está dado por:
SEE
SEE
Ld 1 A⌃
' d+2 d 2 + · · · +cd
G
Ld 1 A⌃
' d+2 d 2 + · · ·
G
+cd
2
log(R/ ) + · · ·
Si d es impar
+ ···
Si d es par
2
Términos universales
(se determinan a partir de
simetrías)
SEE
Ld 1 A⌃
' d+2 d 2 + · · ·
G
Notemos que esta expresión es “alegremente” parecida a la fórmula
que obtenemos para la entropía térmica de un agujero negro (calculada
con la fórmula de BH).
SEE
Ld 1 A⌃
' d+2 d 2 + · · ·
G
Notemos que esta expresión es “alegremente” parecida a la fórmula
que obtenemos para la entropía térmica de un agujero negro (calculada
con la fórmula de BH).
De hecho, en algunos ejemplos concretos se puede demostrar que
(ver por ejemplo hep-th/0603081 o 1102.0440),
SEE = SBH
SEE
Ld 1 A⌃
' d+2 d 2 + · · ·
G
Notemos que esta expresión es “alegremente” parecida a la fórmula
que obtenemos para la entropía térmica de un agujero negro (calculada
con la fórmula de BH).
De hecho, en algunos ejemplos concretos se puede demostrar que
(ver por ejemplo hep-th/0603081 o 1102.0440),
SEE = SBH
Cuando la gravedad en el bulto NO es Einstein, Wald nos enseñó
cómo calcular la entropía térmica de un agujero negro. El resultado es
SWald (A) =
2⇡
Z
d
d 2
p
y g
@L
ij
✏
✏kl
ij
@Rkl
donde gab es la métrica inducida en y ✏ij es la forma de volumen en
en el espacio dos dimensional transverso a .
SEE
Ld 1 A⌃
' d+2 d 2 + · · ·
G
Notemos que esta expresión es “alegremente” parecida a la fórmula
que obtenemos para la entropía térmica de un agujero negro (calculada
con la fórmula de BH).
De hecho, en algunos ejemplos concretos se puede demostrar que
(ver por ejemplo hep-th/0603081 o 1102.0440),
SEE = SBH
Cuando la gravedad en el bulto NO es Einstein, Wald nos enseñó
cómo calcular la entropía térmica de un agujero negro. El resultado es
SWald (A) =
2⇡
Z
d
d 2
p
y g
@L
ij
✏
✏kl
ij
@Rkl
Esta expresión es válida cuando la curvatura extrínseca de
es cero.
Con lo que hemos dicho hasta ahora, parece natural conjeturar que
la entropía de Wald coincide con la EE cuando la teoría en el bulto NO es
Einstein. Muchos trabajos recientes indican que ésto NO es cierto.
[Dong; Miao; Myers et al., Smolkin]
Con lo que hemos dicho hasta ahora, parece natural conjeturar que
la entropía de Wald coincide con la EE cuando la teoría en el bulto NO es
Einstein. Muchos trabajos recientes indican que ésto NO es cierto.
[Dong; Miao; Myers et al., Smolkin]
Un escenario interesante para estudiar teorías de gravedad de orden
superior son los llamados modelos de Randall-Sundrum II (RSII). Éstos
son un caso particular de lo que se conoce como gravedad inducida.
Nuestro objetivo es estudiar EE en Randall-Sundrum a partir de lo que
conocemos sobre el truco de réplica (motivados por Dong y Camps).
Randall-Sundrum en una transparencia
Tomamos dos copias de AdSd+1 y las “pegamos” en un valor grande
de la coordenda radial r donde ponemos una brana d -dimensional.
Randall-Sundrum en una transparencia
Tomamos dos copias de AdSd+1 y las “pegamos” en un valor grande
de la coordenda radial r donde ponemos una brana d -dimensional.
Usando las ideas de AdS/CFT, podemos pensar en la teoría dual
como gravedad + materia en la brana acopladas a dos copias de
una CFT con un corte UV.
Randall-Sundrum en una transparencia
Tomamos dos copias de AdSd+1 y las “pegamos” en un valor grande
de la coordenda radial r donde ponemos una brana d -dimensional.
Usando las ideas de AdS/CFT, podemos pensar en la teoría dual
como gravedad + materia en la brana acopladas a dos copias de
una CFT con un corte UV.
Lo primero que necesitamos es la acción d-dimensional de la
gravedad inducida en el brana. Para ello se integran los dof
en la dirección radial. El resultado es:
E
Iind
1
=
16⇡Gd+1
Z
dd x
p
h
R
c ⇣
G
+
Rij Rik
16⇡Gd
2⇡
d
4(d
1)
⌘
R2 + O(@ 6 )
i
[Myers et al.]
Myers y colaboradores fueron capaces de calcular la EE para una
superficie arbitraria en la frontera a partir de la fórmula de RT.
Esquemáticamente el resultado es
SRS =
Z
d
S
d 2
p
h
✓
1
+
4Gd
✓
2
@
@
2
+K
@Riem
@Riem2
◆
+ higher derivatives
◆
Esquemáticamente el resultado es
SRS =
Z
d
S
d 2
p
h
✓
1
+
4Gd
✓
Término usual de
Bekenstein-Hawking
2
@
@
2
+K
@Riem
@Riem2
◆
+ higher derivatives
◆
No aparece en la fórmula de Wald
(ahí no hay curvatura extrínseca)
Como quizás se imaginen, para llegar a esta expresión hubo que
realizar un gran número de pasos.
Vale la pena mencionar que dicha construcción depende en buena
medida en poder hacer un expansión de FG alrededor de la métrica
inducida en la brana.
Este paso solamente tiene varias complicaciones!
Esquemáticamente el resultado es
SRS =
Z
d
S
d 2
p
h
✓
1
+
4Gd
✓
Término usual de
Bekenstein-Hawking
2
@
@
2
+K
@Riem
@Riem2
◆
+ higher derivatives
◆
No aparece en la fórmula de Wald
(ahí no hay curvatura extrínseca)
Como quizás se imaginen, para llegar a esta expresión hubo que
realizar un gran número de pasos.
Vale la pena mencionar que dicha construcción depende en buena
medida en poder hacer un expansión de FG alrededor de la métrica
inducida en la brana.
Este paso solamente tiene varias complicaciones!
RS
En lo que resta de la plática les voy a mostrar como obtener SEE
de manera muy simple sin utilizar RT.
“Nuestra” propuesta:
La correspondencia AdS/CFT nos dice que
0
0
ZCFTd [ g] = ZAdSd+1 [ g] ⇡ e
ren
0
[
g] es la acción renormalizada, y
donde IAdS
d+1
la frontera.
ren
IAdS
d+1
0
[0 g]
g la métrica en
“Nuestra” propuesta:
La correspondencia AdS/CFT nos dice que
0
0
ZCFTd [ g] = ZAdSd+1 [ g] ⇡ e
ren
IAdS
d+1
[0 g]
0
ren
0
g la métrica en
[
g]
donde IAdS
es
la
acción
renormalizada,
y
d+1
la frontera.
Para renormalizar dicha acción lo que hacemos es una expansión en
potencias del corte UV, es decir,
IAdSd+1 [h, ✏] = IDiv [h, ✏] + IFin [h, ✏]
donde h es la métrica inducida en la hipersuperficie ⇢ = ✏ , y por tanto
0
g = lim ✏ h
✏!0
“Nuestra” propuesta:
La correspondencia AdS/CFT nos dice que
0
0
ZCFTd [ g] = ZAdSd+1 [ g] ⇡ e
ren
IAdS
d+1
[0 g]
0
ren
0
g la métrica en
[
g]
donde IAdS
es
la
acción
renormalizada,
y
d+1
la frontera.
Para renormalizar dicha acción lo que hacemos es una expansión en
potencias del corte UV, es decir,
IAdSd+1 [h, ✏] = IDiv [h, ✏] + IFin [h, ✏]
Función local de h
(que removemos con contratérminos)
Una vez que renormalizamos lo que obtemos es
IrAdSd+1 [0 g] = lim IFin [h, ✏]
✏!0
Una de las alegrías de utilizar RS es que NO necesitamos renormalizar
ya que tenemos el corte UV desde un inicio!
Pero además IDiv domina la expansión ✏ ⇠ 0 . Ahora, recordemos que
el truco de réplica nos dice que para calcular la EE
S = lim (1
n!1
@n ) log ZCFTd (n)
Si en esta expresión utilizamos la relación
0
0
ZCFTd [ g] = ZAdSd+1 [ g] ⇡ e
ren
IAdS
d+1
[0 g]
Entonces,
S = lim (@n
n!1
1) (IDiv [hn , ✏] + IFin [hn , ✏])
Notemos que la dependencia en n en los términos que van a ser
derivados tienen diferente origen.
S = lim (@n
n!1
1) (IDiv [hn , ✏] + IFin [hn , ✏])
Existe un factor de n que viene del hecho de que la cooredenada
angular en la acción (tiempo euclideo) tiene periodo 2⇡n .
La otra dependencia está en el integrando ya que la métrica hn
depende de n .
Finalmente, haciendo la cuenta lo que obtenemos es:
S=
Z
d
S
d 2
p
h
✓
2
@
@
2
+K
@Riem
@Riem2
◆
(IDiv [h, ✏] + IFin [h, ✏])
que coincide exactamente con el resultado de Myers et al.!
Comentarios finales
En este contexto (gravedad inducida), el procedimiento que
acabamos de exponer parece mucho más simple que el camino
de Myers et al.
Creemos que debe poderse aplicar en otros escenarios.
Delicado: no estamos 100% seguros que podemos aplicar el
truco de réplica en geometrías dinámicas (pero creemos que sí).