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CONCURSO DE PRIMAVERA-nivel III-2014-2015
SOLUCIÓN-15
no 14-nivel III-2a fase-2004
¿Para cuántos enteros positivos n es
A) 1
B) 2
Semana VIII - Soluciones
C) 3
n
el cuadrado de un número entero?
20 − n
D) 4
E) 10
n
también es entero positivo pues es el cuadrado de un número. Si
20 − n
el dividendo es positivo, también deberá ser positivo el divisor 20 − n. Ası́ que n < 20.
n
Por otra parte, para que el cociente
sea un entero el numerador debe ser mayor o igual que el denomi20 − n
nador:
n ≥ 20 − n
n en un número entero positivo y
Ası́ que: 2n ≥ 20 ⇒ n ≥ 10.
Luego el número entero positivo n podrı́a ser: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19.
Probamos con cada valor anterior:
10
n = 10 ⇒
= 1 = 12
20 − 10
11
11
n = 11 ⇒
=
20 − 11
9
12
3
=
n = 12 ⇒
20 − 12
2
13
13
n = 13 ⇒
=
20 − 13
7
7
14
=
n = 14 ⇒
20 − 14
3
15
=3
n = 15 ⇒
20 − 15
16
n = 16 ⇒
= 4 = 22
20 − 16
17
17
=
n = 17 ⇒
20 − 17
3
18
n = 18 ⇒
= 9 = 32
20 − 18
19
n = 19 ⇒
= 19
20 − 19
Son tres los valores de n: 11, 16 y 18 para los que el cociente es un cuadrado.
SOLUCIÓN-16
no 8-1a fase-nivel III-2004
En un cierto momento de un viaje, el conductor observa que el cuentakilómetros marca el número capicúa
35953 km y 75 minutos después el cuentakilómetros marca el capicúa siguiente. ¿Cuál fue la velocidad media,
en Km/h, del coche durante esos 75 minutos?
A) 88
B) 110
C) 99
D) 730 5
E) 84
El capicúa siguiente a 35953 empezará por 36 y será: 36063.
Ha recorrido: 36063 − 35953 = 110 km.
5
horas .
4
440
110
=
= 88 km/h
Por lo tanto la velocidad media fue:
5/4
5
Ha tardado 75 minutos, es decir, 75 : 60 =