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Hojas de Problemas – Estadística II
219.- Sean a y b ∈ Ð *, sea X una variable aleatoria discreta con valores enteros
estrictamente positivos de manera que:
P( X = x ) =
1 1
−
a b
1 ≤ x ≤ ab
si
P( X = x ) = 0
si
x > ab
a) ¿Qué condición debe satisfacer a y b para que la sucesión, de término general p(x)=P(X=x), pueda ser considerada como la ley de la probabilidad de X.
b) Determinar la función de distribución F(x). ¿Cuáles son las soluciones de la
ecuación F(x)= 12 ? (con las medianas de X)
c) Calcular la esperanza de X. ¿Qué valores habrá que dar a a y a b para que
E(X)=7/2?
Sol.:
∞
a)
∑ P( X = x) = 1
x= 1
(para que sea función de probabilidad)
⇓
1 − 1 =1


∑
b
x= 1  a
ab
 1 − 1  = 1 − 1  ab 1 = 1 − 1  ab =  b − a  ab = b − a

 
∑ 



∑
b   a b  x =1  a b 
 ab 
x= 1  a
ab
1=b - a
b)
F(x)=P(X=x)
x
x
1 1 1 1 x
1 1
Si 1 ≤ x ≤ ab ⇒ F ( x) = ∑ P( X = j ) = ∑  −  = − ∑1 = x − 
b   a b  j =1
a b
j =1
j =1  a
Si x>ab
⇒
x
ab
j =1
j =1
F ( x) = ∑ P( X = j ) = ∑ P( X = j ) +
x
∑ P( X =
j) = 1
j =ab +1
 1 1
 x −  si 1 ≤ x ≤ ab
F ( x)   a b 
 1
si x > ab

1 1
1
F ( x) = x  −  =
a b 2
c)
⇒
x=
1 ab
1 ab ab
×
= ×
=
2 a −b 2 1
2
ab
ab
1 1
1 1 ab
b − a ab(1 + ab ) 1 + ab
E ( x ) = ∑ xP( x ) =∑  −  x =  − ∑ x =
×
=
2
b   a b  x= 1
ab
2
x =1
x =1  a
E (x ) =
7
2
⇒
7 1 + ab
=
2
2
⇒
 ab = 6

 b − a = 1 → b = a +1
1/9
sustituyendo
a ( a + 1) = 6
⇒
a2 + a −6 = 0
a=
resultando:
− 1 ± 1 + 24 −1 ± 5 a1 = 2
=
=
2
2
a2 = −3 No válida
a=2
b=3
220.- Sea m un 3 +. Se considera la función definida ∀ x∈
∈Ð :
x
m
f (x ) = e − m
distribución de POISSON
x!
a) Probar que f(x) puede ser considerada como la ley de probabilidad de una
variable aleatoria X
b) Calcular la E(x) y Var(X)
Sol.:
+∞
1 = ∑ e −m
a)
x= 0
b)
+∞
mx
= e − me m = e 0 = 1
x!
+∞
+∞
x= 0
x =0
E ( X ) = ∑ x.P( x ) =∑ xe −m
xn
n =0 n!
ex = ∑
ya que
+∞
+∞
mx
mx
m x− 1
= e−m ∑
= me − m ∑
=me − m e m = m
x!
x =0 ( x − 1)!
x =0 ( x − 1)!
Var(X)=E(X2 )-(E(X))2
E(X2 ) =
+∞
∑x
x= 0
+∞
2
f ( x) = ∑ x 2 e −m
x= 0
+∞
mx
mx
= e−m ∑ x
= ...
x!
( x − 1)!
x =1
+∞
+∞
 +∞
mx
m x  −m  +∞ m x
m x −1 
 = e  ∑
 = …
…= e  ∑ ( x − 1)
+∑
+ m∑
( x − 1)! x=1 ( x − 1)! 
x =1 ( x −1)! 
 x =1
 x =2 ( x − 2)!
−m
(
)
+∞
 2 +∞ m x −2
m x −1  − m 2 m

 = e m e + me m = m2 + m
…= e  m ∑
+ m∑
x =1 ( x − 1)! 
 x =2 ( x − 2)!
−m
Var(X) = m2 + m − m2 = m
221.- La variable aleatoria X tiene la función de densidad:
f ( x ) = C( x − a ) p −1 (b − x ) q −1
f (x ) = 0
Calcular: a) la constante C
en el resto
y b) E(X)
Sol.:
2/9
para
a< x<b
donde p>0, q>0 y a<b
β( p, q) = ∫ t p −1 (1 − t )
1
q −1
0
a)
1 = ∫ f ( x )dx = ∫ 0.dx + ∫ C (x − a )
+∞
a
b
−∞
−∞
a
…= C ∫ (x − a )
b
p −1
a
(b − x )
x−a

…= C ∫ 
(b − a) 
0 b−a


1
…= C ∫ t p −1 (b − a )
1
p −1
0
…= (b − a )
p + q −1
q −1
p −1
 x − a 

 1 −
 (b − a ) 
 b − a 

C ∫ t p −1 (1 − t )
1
q −1
0
a
y siendo:
…=
p −1
0.dx = ...
 b − a − x + a (b − a) 


b−a


q −1
dx = ...
dx = ...
t = ( x − a ) ( b − a) 


 x → a ⇒ t → 0
x → b ⇒ t → 1 


dt . =(b − a )
1
β( p, q ).(b − a )
1
β( p, q ).(b − a )
p + q −1
β( p, q ).(b − a )
1
p +q −1
q −1
× x ( x − a ) p −1 (b − x )q −1 dx = ...
t = ( x − a ) ( b − a) 


dx =…  x → a ⇒ t → 0
x → b ⇒ t → 1 


∫ t (b − a ) (1 − t ) (b − a )
p −1
p −1
q −1
q −1
0
dx = (b − a )dt
⇒
xdx =…
xdx = [(b − a )t + a ]dt (b − a )
∫ t (b − a ) (1 − t ) (b − a ) [(b − a )t + a]dt (b − a ) =
1
p + q −1
p −1
a
y
de donde:
p + q −1
1
∫ x ( x − a ) (b − x )
1
x = (b − a )t + a
β( p, q ).(b − a )
β( p, q ).(b − a )
b
p + q −1
Cβ( p, q ) = 1
1
b
a
p + q −1
p −1
p −1
q −1
q −1
0
1
(b − a ) p+ q−1
q −1
…=
t p −1 (1 − t ) [(b − a )t + a]dt = …
p + q −1 ∫0
β( p, q ).(b − a )
…=
q −1
(1 − t )q −1 (b − a ) q−1 dt .(b − a) ) = ...
b
…=
+∞
x −a
dx = C ∫ 
( b − a) 
0 b− a


E ( X ) = ∫ x.P( X = x )dx = ∫
…=
(b − x )q−1 dx + ∫b
p −1
1
C=
b)
dt
1
 1 t p −1 (1 − t ) q −1 (b − a )tdt + 1 t p −1 (1 − t ) q −1 adt  = …
∫0

β( p, q )  ∫0
3/9
…=
1
b−a 1 p
a
t (1 − t ) q −1 dt +
t p −1 (1 − t )q −1 dt = …
∫
∫
β( p, q ) 0
β( p, q) 0
…=
b−a
a
b−a
β( p + 1, q ) +
β( p, q ) =
β( p + 1, q ) + a = …
β( p, q )
β( p, q)
β( p, q)
p ( p + 1). p (q )
β( p + 1, q )
p ( p + q + 1)
p
…= (b − a )
+ a = (b − a)
+ a = (b − a )
+ a =…
p ( p). p (q )
β( p, q)
p+q
p( p + q)
…=
bp − ap + ap + aq bp + aq
=
p+q
p+q
222.- Sea la función de densidad:
f (x1 , x 2 , x3 , x4 ) = 16 x1 x 2 x 3 x 4
la variable aleatoria (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ). Calcular:
0 ≤ xi ≤ 1
a) Probabilidad de obtener un punto en la región x1 <1/2 , x4 >1/3
b) Distribución marginal de x1
c) Distribución marginal de la variable (X2 ,X3 ,X4 ).
d) Distribución de (X1 ,X2 ) condicionada por X3 =a y X4 =b.
e) Distribución de X1 condicionada a (X2 ,X3 ,X4 )
f) E(X1 | (X2 ,X3 ,X4 ))
Sol.:
a)
P( x1 < 1 2 , x4 > 1 3) =
∫ ∫∫∫
1/ 2 1 1 1
0
0 0 1/3
16 x1 x2 x 3 x 4 dx4 dx 3 dx2 dx1 = …
1
…= ∫

x42 
16
x
x
x
∫0 ∫0  1 2 3 2  .dx 3dx 2 dx1 =
x3
…= ∫
 64
x32 
x
x
∫0  9 1 2 2  dx 2 dx1 =
0
1/ 2 1 1
0
1
1/ 2 1
0
∫
1/ 2 1 1
0
0
32
∫0 9 x1 x 2 dx 2dx1 =
1/ 2 1
0
64
x1 x 2 x3 dx3 dx2 dx1 = …
0 9
∫ ∫∫
1/2
16  x 2 
16 1 4 16 1 2
…=  1  = ×
= × =
9  2 0
9 21 9 8 9
b) Distribución marginal de X1 :
4/9
∫
1/ 2
0
16
x1 dx1 = …
9
de
f x1 =
∫∫
∫ 16 x1 x 2 x3 x4 dx 4 dx3 dx 2 = ∫
∫ 8 x1 x2 x 3dx 3dx 2 = ∫ 4 x1 x 2 dx 2 = 2 x1
1 1 1
1 1
1
0 0 0
0 0
0
c) Distribución marginal de (X2 ,X3 ,X4 )
1
 x2

f ( x 2 .x 3 , x4 ) = ∫16 x1 x 2 x3 x 4 dx1 = 16 1 x 2 x3 x 4  = 8 x2 x3 x4
0
 2
0
1
d) Distribución de (X1 ,X2 ) condicionada por X3 =a y X4 =b.
f (( x1 , x 2 )  ( x3 = a, x4 = b ))
f (x1 , x2 ) = ∫ ∫ 16 x1 x 2 x 3 x4 dx2 dx1 =∫ 8x1 x3 x4 dx1 = 4 x3 x4
1 1
1
0 0
0
f (( x1 , x 2 )  ( x3 = a, x4 = b )) =
f ( x1 , x2 , a , b)
16 x1 x 2 ab
=
= 4 x1 x2
f ( x 3 = a, x 4 = b)
4ab
e) Distribución de x condicionada (X2 ,X3 ,X4 ).
F(x 1 |(x 2 ,x3 ,x4 )) =
f ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) 16 x1 x2 x3 x 4
=
= 2 x1
f ( x2 , x3 , x4 )
8 x 2 x3 x 4
1
 x3 
2
E(X1 |(X2 ,X3 ,X4 )) = ∫0 x1 (2 x1 ) dx1 = 2 1  =
 3 0 3
1
f)
223.- Una máquina fabrica ejes de diámetro x y otra cojinetes de diámetro interior
y. Suponiendo que la función de densidad conjunta sea de la forma:
f(x,y)=e− (x+y)
Calcular:
x>0 , y>0
a) Distribución marginal de x
b) Distribución marginal de y
c) E(x)
d) E(y)
e) V(x)
f) V(y)
Sol.:
+∞
a)
f X = ∫0 e −( x + y ) dy = lim
b)
f Y = ∫0 e −( x + y ) dx = lim
e)
∫e
t
−( x + y )
t → +∞ 0
+∞
∫e
t
t → +∞ 0
+∞
[
]
t
dy = lim − e −( x + y ) 0 = lim − e −( x+ t ) + e − x = e − x
t → +∞
−(x+y)
[
t →+∞
]
t
dx = lim − e −( x+ y ) 0 = lim − e −( t + y ) + e − y = e − y
t → +∞
E ( x ) = ∫0 x.e −( x+ y ) dx = lim
∫ xe
t
t →+∞ 0
5/9
−x
dx = (*)
t →+∞
du = dx 
u = x
−x
x
e
dx
=
= − xe − x

∫0
−x
−x 
dv = e dx v = −e 
[
t
resolviendo la integral:
] +∫ e
t
0
t
−x
0
dx
y sustituyendo en (*), tendremos:
t →+∞
[
lim − xe − x
Primer término:
t →+∞
Segundo término:
∫e
t
lim
] + lim ∫ e
t → +∞
t
…= lim − ye − y 0 + lim
t →+∞
t
0
t →+∞ 0
−t
= lim  t 
t → +∞ e
 
t
0
]
[
]
t →+∞
−x
dx =…(**)
∞
1
=   l' Hôpital = lim − t = 0
t
→
+∞
e
∞
[
dx = lim − e − x
t
= lim − e −t + 1 = 1
0
t → +∞
t
t → +∞
+∞
]
]
t
E ( x ) = lim − xe − x 0 + lim
E ( y ) = ∫0 y.e − y dy = lim
[
−x
t →+∞ 0
y sustituyendo en (**), resulta:
d)
[
(*) …= lim − xe − x
.
t
t → +∞ 0
−x
dx = 0 + 1 = 1
du = dy 
u = y
−y
y
e
dy
=
…
=…

−y
−y 
0
dv
=
e
dy
v
=
−
e


∫
t
∫e
t
∫e
−y
t → +∞ 0
dy = lim
t →+∞
−t
+ lim e −t + 1 = 0 + 0 + 1 = 1
t
e t →+∞
Var(X)=E(X2 )−(E(X))2
e)
∞
E(X2 )= ∫0 x 2 e − x dx = lim
∫xe
t
t →+∞ 0
[
…= ∫ x 2 e − x dx = x 2 e − x
0
[
…= − t 2 e −t +  − 2 xe − x

(
lim − t e
t →+∞
] +∫ e
−x
] +∫ e
−x
t
t
0
0
t
t
0
0
t →+∞
(
−x
2dx = du 
2 x = u
2 xdx =… 
=…
−x
−x 
dv = −e dx v = e 
(
)
)
t → +∞
t →+∞
(
)
t →+∞
− 2t
−2
= l' Hôpital = lim t = 0
t
t
→
+∞
e
e
−2
=0
t
t →+∞ e
lim (− 2e −t ) = lim
t →+∞
)
2dx  = − t 2 e −t − 2t e − t + 2 − e − t + 1

(
)
−t2
− 2t
−2
= lim t = l' Hôpital = lim t = lim t = 0
t →+∞ e
t →+∞ e
t → +∞ e
lim (− 2te − t ) = lim
t →+∞
2
… = lim − t 2 e −t + lim − 2te − t + lim − 2e − t + 2 =… (##)
y sustituyendo en (#):
2 −t
dx = …(#)
 x 2 = u
2 xdx = du 
I = ∫ x e dx = … 
 =…
0
dv = −e − x dx v = e − x 
t
resolviendo la integral:
t
2 −x
6/9
(
)
(##) …= = lim − t 2 e −t − 2t e −t − 2e −t + 2 = 0 + 0 + 0 + 2 = 2
t →+∞
⇒
Var(X)=2-1=1
 n   n −1   n − 2 
 m  n +1 
  + 
 + 
 + ......... +   = 

m  m   m 
 m   m + 1
224.- Demostrar que:
Sol.:

A= n ∈ N

Sea:
 n   n − 1
 m   n + 1 
  + 
 + ......... +   = 

m  m 
 m   m + 1
a) Caso n=m+1
 m + 1  m  (m + 1 )!
(m + 1 )m!+m! m!( m + 1 + 1) m + 1 ( m + 2)!  m + 2 

 +   =
+1 =
=
×
=
=

1!.m!
m!
m!
m + 1 ( m + 1)!  m + 1 
 m  m
 n   n −1   n − 2 
 m  n +1 
* Supuesto válido para n ⇒   + 
 + 
 + ......... +   = 

m  m   m 
 m   m + 1
veamos si se cumple para n+1:
 n + 1  n   n − 1  n − 2 
m
n+ 2

 +   + 
 + 
......... +   = (?) = 

 m  m  m   m 
m
 m + 1
considerando la anterior:
 n + 1  n + 1 
( n + 1)!
( n + 1)!

 + 
 =
+
=…
 m   m + 1 (n + 1 − m)!m! ( n − m)!( m + 1)!
…=
(m + 1)( n + 1)!+( n + 1 − m)( n + 1)! ( n + 1)! ( m + 1 + n + 1 − m)
=
=…
( n + 1 − m)! (m + 1)!
( n + 1 − m)! ( m + 1)!
…=
⇒
n + 2
( n + 1)! ( n + 2)
(n + 2)!
=
= 

(n + 1 − m)!( m + 1)! ( n + 1 − m)! ( m + 1)!  m + 1
 n   n −1   n − 2 
 m  n +1 
  + 
 + 
 + ......... +   = 

m  m   m 
 m   m + 1
∀n∈Ð
225.- La variable aleatoria (X,Y) tiene una distribución uniforme en el recinto
C = {(x,y)∈
∈ 32
0<x<1 , x<xy<2}
7/9
Y−X
2−Y
Calcular: a) la función de densidad de Y, f2 (Y) y la condicionada de Y por X=x,
f2/1 (Y/X)
b) la función de densidad g(U,V)
Se introduce la variable aleatoria (U,V) por la transformación U=X y V=
Sol.:
y=2
y=2
a)
y=x
k si 0 < x < 1 x < y < 2
f ( x, y ) = 
0 en el resto
y=1
+∞ +∞
∫ ∫
1=
−∞ − ∞
kdydx = ∫
1
∫
2
kdydx = …
0 x
1

x2 
3
…= k ∫ (2 − x) dx = k  2 x −  = k
0
2 0
2

2
⇒ k=
3
1
x=1
2 / 3 si 0 < x < 1
f ( x, y ) = 
0 en el resto
x< y<2
Para hallar f 2 (y) tenemos que hacer un cambio en los límites de integraciónporque
tenemos que barrer la x en función de la y
1 y 2
0 x 1
0 y 1
0 x y
f 2 ( y) = ∫
0<y<2
2
2
2 
f 2 ( y) = ∫ dx =  x  =
0 3
3 0 3


f 2 ( y) = 


f 2 / 1 = (Y / X = x) =
f1 (x ) = ∫
2
x
b)
y
2
2
2 
dx =  x  = y
3
 3 0 3
0<y<1
2
y
3
2
3
y
0
1
1
si 0 < y < 1
si 1 < y < 2
f ( X ,Y )
23
1
=
=
f ( X = x ) 2 3 (2 − x ) 2 − x
2
2
2
4 2
4 − 2 x 2(2 − x )
dy = [ y ]2x = [2 − x ] = − x =
=
3
3
3
3 3
3
3
0<u<1
(porque u=x)
8/9
v=
y− x y −u
=
2− y 2− y
(*)
Lo más pequeño que puede ser v es para y→0 ⇔ x→0
Lo más grande que puede ser v es para y→2
2v − vy = y − u
⇒
u<
2v + u
<2
1+ v
⇒
y=
1
1+ v
v=
0−0
=0
2−0
y−x y−x
=
=∞
2−2
0
y=
2v + u
1+v
0 < v < +∞
0 < u <1 0 < v
en el resto
g ( u, v) = f ( x, y ) •
(#)
v=
2v + u = y + vy = y(1 + v )
 (# )
g ( u, v) = 
 0
1
pues
luego:
∂( x , y )
∂(u , v )
0
2 −u
2(1 + v ) − ( 2v + u ) =
(1 + v ) 2
2
(1 + v)
9/9
⇒
g ( u, v) =
2
2 −u
×
3 (1 + v) 2