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SECCION IV
TRABAJO Y ENERGIA
4.1
TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA
Cuando una fuerza F desplaza una partícula entre dos puntos cuyas posiciones son r1 y r2,
realiza un trabajo mecánico que se puede evaluar mediante la integral
W =
∫
r2
r r
F ⋅ dr
r1
Si la fuerza motriz es constante, y opera sobre un desplazamiento rectilíneo d , la expresión
anterior se reduce a
r r
W = F ⋅ d = F d cosθ
donde θ representa el ángulo entre los vectores fuerza y desplazamiento.
Notar que, a partir de la definición integral, el trabajo realizado por una fuerza puede ser
calculado alternativamente como el área bajo la curva si es que se cuenta con la información que
permita disponer de la gráfica F v/s r
La unidad del Sistema Internacional para el trabajo y todas las energías se llama “joule”, otras
unidades relacionadas con la anterior son erg, caloría, kilowatt-hora, unidad térmica británica,
atmósfera-litro, electrón-volt, etc.
4.2
ENERGÍA CINÉTICA
Toda partícula en movimiento tiene asociada una energía denominada energía cinética,
proporcional a su masa y al cuadrado de la velocidad con que ella se está desplazando, es decir
m v2
K =
2
Un importante teorema vincula la energía cinética con el trabajo realizado por la fuerza resultante
que opera sobre la partícula. Este establece que el trabajo realizado por la fuerza neta operando
sobre una partícula es igual a la variación de su energía cinética.
Wtotal
m v22
m v12
= ΔK = K 2 − K1 =
−
2
2
Notar que, en todos los casos, K ≥ 0, es decir, no existen energías cinéticas negativas.
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4.3
ENERGÍA POTENCIAL
Cuando el trabajo realizado por una fuerza al desplazar cierta partícula tiene el mismo valor
independientemente del camino seguido para conseguir tal desplazamiento, se dice que tal fuerza
es conservativa.
A toda fuerza conservativa se puede asociar una energía potencial, U, que depende solamente de
la posición, tal que el trabajo realizado por dicha fuerza se traduce en una variación de la energía
potencial de modo que
Wconservativo = − ΔU
Al campo gravitacional, en las cercanías de la superficie terrestre, se asocia la energía
Ug = m g y
donde y representa la altura a la que se encuentra la partícula con respecto a un nivel arbitrario
escogido como y = 0.
Si se considera la interacción gravitacional con connotación astronómica, la energía potencial de
un sistema conformado por dos masas m1 y m2 , separadas una distancia r12 es
Ug = − G
m1 m 2
r 12
Otro sistema mecánico de interés es el sistema elástico lineal que obedece a la ley de Hooke, ésta
dice que si un sistema elástico sufre una deformación de magnitud x, reacciona con una fuerza
recuperativa, F, directamente proporcional a la deformación experimentada, es decir
F = −k x
Donde k, es la constante elástica del sistema
Cuando el sistema elástico se encuentra deformado una cantidad x, posee debido a ello una
energía potencial dada por
k x2
Ue =
2
Notar que la energía potencial tiene el mismo valor ya sea cuando la deformación es una
compresión o bien una elongación de la misma magnitud.
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4.3
LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA
Se llama energía mecánica de un sistema a la suma de su energía cinética y todas sus energías
potenciales.
Cuando sobre una partícula actúa una fuerza neta conformada por fuerzas conservativas y
disipativas, y el sistema evoluciona desde el estado 1 al estado 2, se cumple que el trabajo
realizado por las fuerzas disipativas, particularmente las fuerzas de fricción, es equivalente a la
variación de la energía mecánica del sistema, esto es:
Wdisipativo = Δ E
Otra forma de expresar lo anterior es
K1 + U1 = K 2 + U 2 + W f
Deberá considerarse que la fuerza disipativa más habitual en los casos de nuestro interés, es la
fuerza de fricción.
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4.4
PROBLEMAS RESUELTOS
1.
Una partícula de 4 [kg] de masa se desplaza a lo largo de una superficie horizontal
mediante la acción de una fuerza paralela a su desplazamiento cuyo valor va cambiando
en esa dirección de acuerdo a lo que se muestra en la gráfica adjunta.
Cuando la partícula pasa por el origen su velocidad es de 2 [m/s] y cuando pasa por la
posición x = 12 [m] ha aumentado a 6 [m/s]
F
2 F0
16
24
x [m]
0
4
-F0
•
Calcular la velocidad de la partícula cuando pasa por la posición x = 32 [m]
SOLUCION
Como primera medida se calculará el valor de la fuerza de referencia F0, para tal efecto se
igualará el trabajo de la fuerza resultante con la variación de la energía cinética de la partícula en
el intervalo determinado por x = 0 y x = 12 [m].
Notar que mediante una proporción basada en la semejanza de triángulos, se puede verificar que
la curva que representa la evolución de la fuerza F, interseca al eje horizontal en x = 12 [m],
El trabajo realizado por la fuerza resultante en ese intervalo es equivalente al área bajo la curva,
vale decir al área del trapecio presentado en la figura como ABC 1.
F
2 F0
ABC 1
16
24
x [m]
0
4
ABC2
-F0
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ABC 1 =
4 + 12
⋅ 2 F0 = 16 F0 [ J ]
2
Considerando que dicho trabajo es igual a la variación de la energía cinética en el intervalo
correspondiente, se tiene que
2
mv122 mv 0
16 F0 =
−
2
2
4 ⋅ 62 4 ⋅ 22
−
16 F0 =
2
2
F0 = 4 [ N ]
Análogamente, se calcula ahora el área bajo la curva del segundo trapecio y se vincula el
resultado con la variación de energía cinética correspondiente
ABC 2 =
12 + 8
⋅ ( − F0 ) = − 40 [ J ]
2
2
mv242 mv 12
−40 =
−
2
2
4 ⋅ v242 4 ⋅ 62
−40 =
−
2
2
v242 = 16 [m 2 / s 2 ]
v24 = 4 [m / s ]
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2.
La partícula de masa m, que se muestra en la figura, es soltada desde la posición A
señalada, desciende por la pista circular donde la fricción es despreciable y se dirige hacia
el resorte que se encuentra fijo a la pared de la derecha.
El tramo horizontal BC presenta fricción de acuerdo a un coeficiente de roce cinético μ.
Después de interactuar con el resorte, la partícula es devuelta hacia la izquierda logrando
ascender en la pista circular hasta una altura igual a 0,9h.
A
h
B
2h
C
•
Calcule el valor del coeficiente de roce característico del tramo horizontal BC.
•
Determine la razón entre la primera y la segunda compresión experimentada por el
resorte.
•
Calcule la velocidad con que la masa m impacta al resorte en la última ocasión en que
lo hace.
•
Determine la ubicación del punto en que la masa m se detiene definitivamente.
SOLUCION
Para el cálculo del coeficiente de roce cinético característico del tramo horizontal BC se
considerará el tránsito de la partícula desde su posición inicial hasta su primer retorno a la pista
circular.
Sea D el punto de la pista circular ubicado a una altura 0,9h. En ese viaje la partícula ha pasado
dos veces por el tramo con fricción, de acuerdo a ello y considerando el teorema de conservación
de la energía se tendrá que
E A = ED + W f
AD
m g h = mg ⋅ 0,9h + μ mg ⋅ 4h
μ = 0,025
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A continuación se analizan las primeras dos deformaciones del resorte, sean F y G los estados
correspondientes a tales situaciones
Cuando la partícula alcanza el estado F, ha pasado una vez por la zona con fricción, entonces
E A = EF + W f
AF
1
m g h = k x12 + μ mg ⋅ 2h
2
1 2
k x = 0,95 mgh
2 1
Del mismo modo, al llegar al estado G, la partícula ha pasado 3veces por el tramo horizontal BC,
con ello
E A = EG + W f
AG
1
m g h = k x 22 + μ mg ⋅ 6h
2
1 2
k x = 0,85 mg h
2 2
Dividiendo los resultados anteriores se encuentra que
x12
x 22
=
0,95
0,85
⇒
x1
=
x2
19
17
A continuación se determinará la posición en que la partícula se detiene en forma definitiva,
supongamos que ello ocurre después de transitar n veces por la zona con fricción. Volviendo a
aplicar el teorema de conservación de la energía se tiene que
E A = EZ + W f
AZ
m g h = 0 + μ mg ⋅ n ⋅ 2h
n = 20
Por lo tanto se puede asegurar que la partícula se detiene definitivamente en el punto B.
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La última vez en que la partícula interactúa con el resorte corresponde a la decimonovena pasada
por el tramo horizontal BC, sea L el estado correspondiente a esa situación, la conservación de la
energía permite establecer que
E A = EL + W f
AL
1
m g h = mv 2 + μ mg ⋅ 38h
2
v 2 = 0,1 gh
v=
0,1g h
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3.
La partícula de masa m es soltada desde una altura h, desciende resbalando por la pista
indicada y debe ser capaz de superar el rizo circular de radio R que se muestra en la
figura.
h
•
Calcular la altura h mínima que permitirá a la masa m superar el rizo.
SOLUCION
La situación crítica para el requerimiento de superar el rizo se produce en el punto más
alto de éste, la partícula debe llegar a dicha posición con una velocidad mínima que le
permita continuar su recorrido sin despegarse de la pista. La siguiente figura muestra la
velocidad y las fuerzas que están actuando sobre la partícula, cuando esta pasa por dicha
posición.
v
N
mg
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De acuerdo a la segunda ley de Newton, la fuerza neta sobre la masa m debe ser proporcional a su
aceleración que, en este caso, es la aceleración centrípeta, es decir,
N + m g = mac
⇒
N +mg = m
v2
R
En el caso límite la partícula está a punto de despegarse de la pista, de modo que la fuerza de
reacción normal tiende a un valor despreciable, con lo cual se cumple que la velocidad que debe
tener la partícula en tal situación es tal que
v2
mg = m
R
Si consideramos la conservación de la energía, al comparar los estados correspondientes al inicio
del movimiento y al punto crítico mencionado con anterioridad, se tendrá que
mg ⋅h =
1
m v 2 + m g ⋅ 2R
2
Reemplazando la velocidad crítica anteriormente calculada resulta
1
m g ⋅ R + m g ⋅ 2R
2
5
mgh =
mgR
2
mg ⋅h =
h =
5
R
2
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4.
Considere un planeta esférico de masa M y radio R y un proyectil de masa m que es
disparado, desde su superficie, con velocidad u según la vertical del lugar.
•
Calcular el valor mínimo que debe tener la mencionada velocidad inicial u del
proyectil, tal que le permita escapar de la influencia gravitacional del planeta y no
caer de regreso a éste.
SOLUCION
La interacción gravitatoria entre el planeta y el proyectil está descrita por la energía potencial
gravitacional la cual es inversamente proporcional a la distancia entre el proyectil y el centro del
planeta.
En el momento del disparo, estado A, el proyectil cuenta con la energía cinética propia de su
velocidad inicial y con la energía potencial superficial. A una distancia muy grande del centro del
planeta, estado B, esta última energía es despreciable, así entonces, planteando el teorema de
conservación, se tiene que
K A +U A = KB +U B
Mm
1
mu2 − G
= 0
R
2
Como el estado B representa la situación en la cual el proyectil ya no siente la atracción
gravitatoria del planeta, bastará para ser libre de tal influencia que llegue a tal punto con
velocidad nula, esto justifica el hecho de que la energía cinética en dicho estado sea igual a cero.
Cancelando el factor común m y resolviendo la ecuación anterior para u, se obtiene que el valor
mínimo requerido, conocido como “velocidad de escape”, está dado por
u=
2G M
R
Particularizando el resultado anterior para la Tierra
2 ⋅ 6,67 ⋅10 −11 ⋅ 5,98 ⋅10 24
6,37 ⋅10 6
u=
u
≈ 11,2 [km / s ]
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Usando el procedimiento anterior verifique que
u Luna
≈ 2,4 [km / s ]
u Júpiter
≈ 60,2 [km / s ]
u Sol
≈ 617,7 [km / s ]
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4.6
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.
Mediante una fuerza vertical de 210 [N] se hace subir un bloque de masa igual 20 [kg] por
un plano inclinado 53°.
El plano tiene una longitud igual a 6 metros y el coeficiente de roce cinético entre las
superficies es μ = 0,3.
•
2.
Considere que el bloque inicia su ascenso con una velocidad de 14 [m/s], calcule su
velocidad al llegar al punto más alto.
Un baúl de 40 [kg] es subido por el plano inclinado que se muestra en la figura. El
coeficiente de roce cinético entre el baúl y el plano es μ = 0,4. Cuando el baúl va en la
mitad del recorrido una segunda persona viene a ayudar de modo que la magnitud de la
fuerza motriz varía con la distancia a lo largo del plano como se muestra en la gráfica
adjunta.
F [N]
800
F
37°
400
0
0
2
4
[m]
•
Calcule el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre el baúl
durante su recorrido.
•
Determine la velocidad del baúl al llegar al extremo superior del plano inclinado
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3.
Una partícula de masa m puede desplazarse a lo largo del eje X. En la posición x = 0 se
encuentra en reposo y comienza a recibir la acción de una fuerza cuya magnitud se
muestra en la gráfica adjunta y cuya dirección se señala en la figura. La mencionada
fuerza deja de actuar en la posición x = 7L. A la derecha de tal punto el plano presenta una
fricción cinética con μ = 0,2.
F
mg
37°
0
0
•
4.
L
4L
7L
X
Calcule a qué distancia del origen la partícula finalmente se detiene
Una bolita de acero de 100 gramos, se deja caer libremente desde una altura de 8 metros.
La bolita impacta sobre un suelo de arcilla logrando hundirse en él una distancia de 4
centímetros.
•
5.
Calcule la magnitud de la fuerza media ejercida por la arcilla sobre la bolita.
Considere un plano inclinado de longitud igual a 10b y altura 6b. Un objeto de masa m es
disparado hacia abajo a lo largo del plano, desde el punto más alto de éste, con una
velocidad igual a √(gb) .
•
Calcule el valor del coeficiente de roce cinético entre el plano y el objeto, considerando
que éste llega a la base del plano, con una velocidad igual al triple de su velocidad
inicial.
•
Determine la distancia que lograría subir si se disparara hacia arriba del plano con la
velocidad final anteriormente señalada.
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6.
Considere el sistema mecánico que se muestra en la figura. La masa m es soltada desde el
punto A, desciende por el plano inclinado sin fricción y se dirige hacia el resorte de
elasticidad k, deformándolo una longitud 0,1h. Enseguida el resorte se recupera
devolviendo la masa m hacia el plano inclinado logrando subir en éste hasta una altura
igual a 0,9 h. Solamente existe fricción de consideración en el tramo horizontal BC cuya
longitud es igual a 4h.
m
μ
k
C
7.
A
h
B
•
Calcule el valor del coeficiente de roce característico del tramo horizontal BC y la
constante elástica del resorte.
•
Calcule el valor de la tercera deformación experimentada por el resorte, en caso de
que esta deformación efectivamente se produzca.
•
Determine la velocidad con que la masa m pasa por el punto medio del tramo BC en
la última ocasión en que lo hace.
•
Determine a que distancia del punto C, la masa m finalmente se detiene.
Una partícula de masa m se encuentra en reposo en el punto más alto de una superficie
hemisférica de radio R, en cierto instante comienza a resbalar.
Considere que la fricción entre la masa que desliza y la superficie de apoyo es
despreciable.
•
Determine la posición angular, con referencia a la vertical del lugar, del punto en que
la partícula se despega de la superficie.
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8.
La masa m que se muestra en la figura, es disparada desde la posición A señalada, con una
velocidad inicial v 0
A
μ = 0,05
h
C
10 h
B
Solamente existe fricción de consideración en el tramo horizontal BC, siendo el
coeficiente de roce característico igual a 0,05.
La masa m desciende por el plano inclinado, impacta al resorte el cual la devuelve hacia
la derecha, logrando en su regreso llegar justo hasta el punto de partida.
9.
•
Calcule la velocidad inicial con que la masa m fue disparada desde el punto A.
•
Determine la razón entre la primera y la última compresión máxima experimentadas
por el resorte.
•
Determine a que distancia del punto B, la masa m se detendrá definitivamente.
•
Calcule la velocidad con que pasa la partícula por el punto medio del tramo BC, la
última vez en que lo hace.
Un péndulo conformado por una cuerda ligera de longitud L y una masa puntual m se
suelta desde la posición horizontal.
La cuerda es interceptada por un clavo que se encuentra a una distancia d, debajo del
punto de suspensión.
•
Verifique que, para que la esfera pueda dar una vuelta completa en torno al clavo, la
distancia d debe tener un valor mínimo igual a 0,6L.
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10.
La masa m que se muestra en la figura es disparada hacia abajo del plano, desde la
posición señalada, con una velocidad inicial v = √(gh).
Solamente existe fricción de consideración en el tramo horizontal AB. La masa m
desciende por el plano inclinado, impacta al resorte el cual la devuelve hacia la derecha
logrando en su regreso llegar justo hasta el punto de partida.
•
•
•
•
11.
Calcule la velocidad con que la masa m es despedida por el resorte en su primera
interacción.
Determine la razón entre las dos primeras compresiones del resorte.
Calcule la razón entre las dos últimas alturas alcanzadas en el plano inclinado.
Determine a que distancia del punto B, la masa m se detendrá definitivamente.
Un bloque de 0,64 [kg] comprime inicialmente al resorte una distancia BC = 0,1 [m]. Al
ser soltado, el bloque sale disparado hacia la pista circular, sube a ella y se devuelve
deteniéndose justamente en el punto medio del tramo AB. Solamente hay fricción de
consideración en el tramo horizontal AB, la longitud de este último es igual a 10,0 [m]. La
constante elástica del resorte es k = 2400 [N/m]
A
•
•
B
C
Calcule el coeficiente de roce μ característico del plano horizontal AB.
Determine la máxima altura que ascendió el bloque en la pista circular.
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