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Covarianza de la Electrodinámica
•
Usamos unidades gaussianas para describir la electrodinámica
•
~ ,B
~
6 grados de libertad, E
•
Covarianza implica que estos grados de libertad deben ser componentes de
un tensor en 4 dimensiones.
•
Tensor de rango 2 antisimétrico tiene 6 componentes independientes en
n = 4. F µν
•
~
1 ∂A
~
~
~
~
~
B = ∇ × A , E = −∇Φ −
c ∂t
1
Bi = εijkAk,j = εij k(Ak,j −
2
A j ,k),
F jk = Ak,j − A j ,k ,
2
1
Bi = εij kF j k
2
~
covarianza: F µν = Aν ,µ − A µ,ν
A µ = A , A4 un cuadrivector,
Fi4 = A4,i − Ai,4 = −Φ ,i − Ai,4,
iF = Ei , iA4 = −Φ

 i4
0
B3 −B2 −iE1
 −B3 0
B1 −iE2 


Fi4 = −iEi , F jk = ε jk iBi F µν =
B2 −B1 0 −iE3 
iE1 iE2 iE3
0
~
A µ = A , iΦ
Conservación de la carga eléctrica: J µ = (J , icρ),J µ,µ = ∇J + ∂tρ = 0.
Gauge de Lorentz es covariante:A µ,µ = 0.
Covarianza de la ecuación de ondas en el gauge de Lorentz:
A µ,νν = −
3
4π
Jµ
c
′
Invarianza de Gauge: A µ′ = A µ + λ ,µ implica F µν
= F µν
Ecuaciones de Maxwell: Primer orden en las derivadas:F µν ,α
F µν ,α + permutaciones cíclicas de los índices = 0 se satisface automáticamente si
F µν = Aν ,µ − A µ,ν Ejercicio:Verificar.
Por lo tanto:F µν ,α + Fνα,µ + Fα,µν = 0 corresponde a las ecuaciones de Maxwell
homogéneas.
Las ecuaciones de Maxwell inhomogéneas tienen un término inhomogéneo
conteniendo J µ. Por lo tanto deben ser de la forma:
F µν ,ν = aJ µ
Para fijar a, tomamos la ley de Gauss:
F4i,i = aJ4, iEi,i = aicρ, a =
F µν ,ν =
4
4π
Jµ
c
4π
c
Ecuación de fuerza de Lorentz:
1
f = ρE + J × B
c
1
f µ = F µνJν
c
1
i
f4 = iEiJi = E.J , potencia
c
c
Tensor de energía momentum:
1
1
f µ = F µνJν = F µνFνλ,λ = T µν ,ν
c 4π
1
1
F µλFλν + δ µνFλρFλρ
T µν =
4
4π
1 Transformación de los campos electromagnéticos
′
F µν
= L µαLνβFαβ
5
donde L es la matriz de transformación de Lorentz.
Ejercicio 1. Muestre que para movimiento relativo en la dirección x se tiene que:
E1′ = E1
B1′ = B1
E2′ = γ(E2 − βB3)
B2′ = γ(B2 + βE3)
E3′ = γ(E3 + βB2)
B3′ = γ(B3 − βE2)
2 Lagrangiano de la Electrodinámica
Sea L(φi , ∂ µφi) la densidad lagrangiana
de un conjunto de campos φi(x).
R
La acción del sistema es S = V d4xL. El principio de menor acción con valores
fijos de los campos sobre la superficie cerrada Σ cuyo interior es V implica:
Z
∂L
∂L
δS =
d4x
δφi +
(δφi) ,µ =
∂φi
∂φ
V
Z
I i,µ
∂L
∂L
∂L
d4x
dσ µ
− ∂µ
δφi +
=0
∂φi
∂φi,µ
∂φi,µ
V
Σ
El término de superficie se anula, dado que δφi = 0 allí.
Ecuaciones de Euler-Lagrange:
∂µ
∂L
∂L
=
∂φi,µ ∂φi
6
Tensor de energía-momentum. Si la densidad lagrangeana no depende de
explícitamente de x,lo que refleja la invarianza translacional de la acción, se tiene:
∂L
∂L
∂L
=
φ
+
φi,νµ =
i,µ
∂x µ ∂φi
∂φi,ν
∂L
∂L
∂L
φi,µ +
φi,νµ = ∂ν
φi,µ
∂ν
∂φi,ν
∂φi,ν
∂φi,ν
∂L
∂ν
φi,µ − Lδ µν = 0
∂φi,ν
∂L
T µν = ∂φ
i,ν
φi,µ − Lδ µν : tensor energía momentum canónico.
Conservación de energía momentum: T µν ,ν = 0
Para encontra la densidad lagrangeana de la Electrodinámica imponemos
siguientes propiedades:
las
1. Las ecuaciones de los campos deben ser lineales. Esto implica que L es una
función cuadrática de los campos y sus derivadas.
2. L debe ser invariante de Lorentz.
7
3. Invarianza de gauge. L es invariante bajo δA µ = ∂ µλ
L = a1A µA µ + a2A µ,νA µ,ν + a3A µ,νAν ,µ
Se satisfacen 1 y 2. Bajo transformaciones de gauge:
δL = 2a1A µλ ,µ + 2a2A µ,νλ ,µν + a3(λ ,µνAν ,µ + A µ,νλ ,µν ) =
2a1A µλ ,µ + (a2 + a3)λ ,µν (Aν ,µ + A µ,ν ) = 0,
a1 = 0, a2 = −a3
a
L = a3(Aν ,µ − A µ,νA µ,ν )A µ,ν = − 3 F µνF µν
2
Si acoplamos el campo electromagnético a una corriente conservada J µ, J µ,µ = 0,
agregando un nuevo término a L:
1
L = bF µνF µν + J µA µ
c
Ejercicio: Mostrar que la acción es invariante de gauge.
Ecuaciones de E-L:
1
∂L
= Jµ
∂ν (−4bF µν ) =
∂A µ c
1
4π
1
F µν ,ν = −
Jµ = Jµ b = −
4bc
c
16π
8
Con J µ = 0.
T µν =
∂L
Aα,µ − Lδ µν = 2bFλρ(δ ραδνλ − (ρ ↔ λ))Aα,µ − Lδ µν =
∂Aα,ν
4bFναAα,µ − Lδ µν = 4bFναF µα − Lδ µν + 4bFναA µ,α =
4bFναF µα − Lδ µν + 4b (FναA µ) ,α
T̃ µν = 4bFναF µα − Lδ µν
T̃ µν ,ν = T µν ,ν − 4b(FναA µ) ,αν = 0
T̃ µν es invariante de gauge y simétrico. Es el tensor de energía momentum del
campo electromagnético.
1
1
T̃ µν = 4b FναF µα − FλρFλρδ µν , 4b = −
4π
4
1
4b = − 4π se obtiene de T̃44 que es la densidad de energía del campo.
9