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PROTOCOLO DEL PROYECTO DE INTERCAMBIO
UNAM-UNACAR 2015
SUPERCONDUCTIVIDAD PARA COMPUESTOS
DENTRO
DEL MODELO DE HUBBARD GENERALIZADO
ANTECEDENTES
Con el fin de describir las sorprendentes propiedades electrónicas de una molécula C60 y
sistemas en base a ella, muchos estudios teóricos y experimentales se han propuesto.
Por ejemplo, para describir la superconductividad en el sistema C60 dopado con átomos
alcalinos A= Na, K, Rb y Cs, se han considerado efectos de correlación electrónica por
diferentes tipos de interacciones, que van desde electrón-fonon hasta electrón-electrón
[Gunnarsson, 2004]. Se estima que el costo de energía por añadir un electrón a una
molécula C60 libre es proporcional a la repulsión Coulombiana en sitio ( ), la cual para un
nivel parcialmente desocupado
de un orbital 2pz es del orden de 3eV o incluso menor.
En general, los modelos que describen la superconductividad por interacciones
Coulombianas, solamente el término
es tomado en cuenta y algunas veces también
entre primeros vecinos ( ), pero los de menor magnitud son omitidos, como los saltos
correlacionados a primeros y segundos vecinos ( ) y ( ), respectivamente. Estos
términos de pequeño valor corresponden a las interacciones del tipo carga-enlace. Por
medio del modelo de amarre fuerte para una partícula y de la teoría funcional de la
densidad (TDF) es posible estimar el costo energético para añadir dos electrones a la
banda
de una molécula neutra. Si
, donde
es la
energía de C60 con
el número de electrones en la banda, se ha estimado que es
proporcional a
[Gunnarsson, 2004], sin embargo cuando se considera la correlación
electrónica
y
entonces no se requerirá de un valor finito de , ya que el costo
energético de interacción electrónico se puede repartir entre
y
. Por otra parte,
recientemente se ha mostrado que una teoría unificada de la superconductividad, en una
red cuadrada, podría ser apropiada para describir la superconductividad de alta
temperatura crítica, si se toman en cuenta los términos de salto correlacionado ( ) y ( )
[Pérez, et al., 2005], siendo el de más pequeño valor ( ), el término de mayor
importancia para hacer compatible la superconductividad de onda-d. Motivados por estos
importantes resultados, durante la primer etapa de este trabajo, se ha realizado un estudio
sobre la relevancia de considerar
y
para describir las energías de la molécula libre
y los sistemas C60 dopados de electrones. Para dos partículas, la descripción de una red
proyectada del espacio de estados de dimensión 4 [Pérez, et al., 2001], nos permitirá
describir la matriz de interacciones de los 60 átomos, en términos de las correlaciones
electrónicas
y
, para una distribución atómica superficial como del balón de
fútbol soccer, que tiene la molécula C60. Se resolverá para las amplitudes de la función de
onda de dos partículas adicionadas a una molécula y las energías correspondientes.
Cuando
la partículas estarán enlazas, incluso para pequeños valores de
y
.
Se desea mostrar que la correlación electrónica del tipo carga enlace podría ser
apropiada para describir el estado superconductor en los sistemas A 3C60, lo cual conlleva
a un apareamiento de electrones de muy corto rango, como el sugerido por Chakavary
[Chakravarty, et al., 2001], quien propone que puede haber una interacción atractiva entre
electrones para una molécula C60 de origen puramente electrónico si el apantallamiento
metálico en el sólido reduce
drásticamente. Los sistemas superconductores A3C60
1
tienen una simetría cúbica centrada en las caras, donde la moléculas C60 se localizan en
los puntos de red, mientras que los átomos A son localizados en sitios intersticiales. La
superconductividad es atribuida a la formación de un polarón por efecto Jahn-Teller
[Gunnarsson, 2004], sin embargo las propiedades del estado superconductor no han sido
completamente entendidas. Tampoco se puede predecir el compuesto con mayor . La
más elevada
a presión ambiente es de 33K y corresponde al sistema Cs2RbC60. Bajo
presión de 7 Kbar, La
de Cs3C60 aumenta a 38K [Alexey, et al., 2008].
Dada la simetría cristalina cúbica de los sistemas A3C60, es posible entonces tratar el caso
del modelo de Hubbard Generalizado (HG) que incluye los términos de correlación
y
, para describir las ecuaciones del estado superconductor dentro del formalismo
BCS. El procedimiento es similar a como lo hemos hecho para una red cuadrada, en la
cual la transformación al espacio recíproco del hamiltoniano HG, nos dará para la red
cúbica un potencial de interacción
de manera natural a como se obtiene en 2-D.
Este potencial aplicado a las ecuaciones generalizadas BCS nos permitirá describir el
estado superconductor de los sistemas A3C60 y otros de estructura similar. Así mismo, la
relación de dispersión de campo medio requiere la revisión del modelo de amarre fuerte.
A continuación se describe con más detalle esta metodología
Introducción
La molécula C60 tiene una distribución atómica estructural con 60 vértices de 20
hexágonos y 12 pentágonos, obtenidos de las caras de un icosaedro truncado, el cual da
la geometría superficial de un balón de futbol soccer. El sistema tiene simetría rotacional
de cinco “secciones” que contienen doce átomos cada una, como lo ha dibujado
Manousakis [Manousakis, 1991], en la cual los dobles enlaces para la unión de dos
hexágonos se considera en adición a los enlaces simples alrededor de pentágonos, ver la
figura 1.
Figura 1. El esquema de una estructura para los 60 átomos del C 60 (círculos rojos). Los círculos
azules corresponden a los vértices del icosaedro. Las líneas negras discontinuas delimitan una sección de
simetría rotacional 5 sobre el eje Z. Las líneas dobles y simples entre dos átomos de carbono representan
los enlaces dobles y simples, respectivamente
2
El salto a segundos
vecinos entre
pentágonos
Figura 2. La red en dos dimensiones correspondiente para la molécula C60. Obsérvese las cadenas de
cinco anillos de benceno alrededor de cada pentágono.
En la figura 2, se muestra la red atómica de la molécula C60 libre, plasmada en
dos dimensiones, la cual debe considerar las condiciones de frontera impuestas en la
simetría cuasi esférica 3-D.
Por otro lado, la estructura cristalina de los sistemas C60 dopados con átomos
alcalinos muestra evidencia de una dependencia de la concentración de acarreadores, la
cual muestra un dopaje óptimo de 3 en la cual la temperatura crítica es máxima y las
estructura pasa del grupo espacial de simetría Pa3 al Fm3m [Gunnarsson, 2004].
Con respecto a los anillos de benceno presentes en los alrededores de los
pentágonos, recientemente se encontrado que en los superconductores policíclicoarómatico-hidrocarbonos (PAH), la
aumenta como función del número de anillos de
benceno [Xue, et al., 2012], lo cual nos invita a estudiar esta intrigante propiedad. Cabe
señalar que estos compuestos, como el 1,2;8,9-dibenzopentaceno, C30H18, con una
=33K, presenta las cadenas de los anillos de forma plana y no en 3-D como el sistema
C60. Por ello, estos compuestos también están en la mira de esta investigación.
3
Relación de dispersión de la red cúbica
Los orbitales 2pz de átomos de carbono se mezclaran para formar orbitales
moleculares y estarán parcialmente desocupados del resto de los orbitales, con lo cual la
dinámica de los electrones será entre las bandas hu, t1u and t1g [Gunnarsson, 2004]. Los
otros tres orbitales, usualmente nombrados 2s, 2px, and 2py, serán hibridados para formar
estados de enlaces y anti-enlaces
(un número total de 180 estados ). Para cada
átomo, el salto de un pentágono a otro debería de ser en un doble enlace, el cual
presentará mayor densidad de carga y podría favorecer a salto a segundo vecino entre
pentágonos contra uno dentro del mismo pentágono, donde hay un enlace simple.
Considerando -estados radiales, en cada átomo, la función de onda puede ser descrita
como [Manousakis, 1991]:
⟩
√
∑
(
⟩
)
(1)
⟩ describe el estado de un electrón con espín , el cual toma la
donde
y
combinación lineal sobre los doce orbitales atómicos localizados en cada sitio de la ésima sección del icosaedro, ilustrada en la Fig. 1
⟩
⟩
∑
(2)
El modelo de amarre fuerte (TB) considera una función de onda:
∑
(3)
Donde
satisface la condición a la frontera Born-Van Karman a través de
valores en la primer zona de Brillouin (
) [Aschroft, et al., 1976],
∑
y
(4)
es una función de onda atómica localizada, la cual viene del Hamiltoniano atómico:
(5)
el formalismo TB supone que el Hamiltoniano del Sistema puede ser considerado como
una función of
y una pequeña corrección espacial
:
(
(6)
)
donde
contiene todas las correcciones requeridas con el fin reproducir el cristal
completo. Usando:
∫
∫
(7)
De la Eq. (10) obtenemos:
∫
∫
(8)
y sustituyendo (7) en (6) y después en la Eq. (8), ésta viene a:
4
∑ (∑
∫
)
∑ (∫
)
∑ (∑
∫
donde se ha separado el caso
de onda atómica:
y
)
(9)
. Usado la ortonormalidad de las funciones
(10)
∫
El lado derecho de eq. (9) siempre es pequeño, y es posible si
pequeño aunque
no lo sea (y viceversa).
Así
o
a menos que
. Definiendo
es
(11)
∫
(
∫
(12)
(
∫
(13)
La Eq. (9) viene a:
∑
∑ (∑
)
∑ ∑
(14)
Desde que los orbitales
son radiales, sin perdida de generalidad podemos
suponer que el salto es perpendicular a este enlace, i. e., se da entre lobos
del mismo
sgno de la banda t1u, con lo cual podemos considerar un comportamiento de salto similar
a como lo hace una banda . Si es un nivel ,
es real y depende solamente de la
magnitud r. De esto se sigue que
. La inversión de simetría requiere que
, también implica que
. Finalmente, despreciando
términos del denominador muy pequeños la Ec (14) se simplifica:
∑
(15)
∑
Aplicando la Ec. (15) a un sistema cúbico centrado en las caras, con los vectores
a primeros vecinos:
(16)
si
(
), los correspondientes 12 valores de
(
)
son:
(17)
Para los segundos vecinos, tenemos 6 vectores:
5
(18)
los correspondientes 6 valores de
son
(19)
Si
tiene toda la simetría cúbica de la red, no habrá cambio en los
signos por permutación de sus argumentos. Puesto que la función de onda es tipo s,
depende solo de la magnitud de
será una constante para todos los 12 vectores
de la Ec. (16). De manera análoga habrá una constante
para los 6 vectores de la Ec
(18). Consecuentemente la suma en la Ec (15) con la ayuda de (17) y (19) da:
(
)
(
)
(20)
donde
(21)
∫
∫
(22)
La Ec. (20) revela la dispersión entre las energías mínima y máxima en la banda, la cual
es proporcional a las pequeñas integrales de traslape
. Así, la energía dentro del
modelo de amarre fuerte se aplica a bandas angostas, y entre más pequeño el traslape
más angosta será la banda.
Es conocido que el sistema C60 en bulto presenta una estructura cristalina cúbica centrada
en las caras, en el cual los puntos de red corresponden a moléculas neutras C 60.
Colocando a los átomos alcalinos K, Na, Rb y Cs, en sitios intersticiales octaédricos o
tetragonales, el sistema es superconductor con una relativamente alta temperatura crítica
( ). Conforme el átomo alcalino es más grande, la constante de la red cúbica ( )
aumenta y la evidencia experimental muestra que la
aumenta en relación casi lineal
con . La mayor encontrada, corresponde al sistema Cs3C60 y es de 38K [Gunnarsson,
2004].
El interés de estudiar sistemas de nano cúmulos, radica en la posibilidad de que las súper
simetrías construidas a partir nano partículas en distintos tipos de conglomerados, puedan
presentar altos valores de la temperatura de transición superconductora [Friedel, 1993].
Por otra parte, sabemos del modelo de Hubbard Generalizado (HG) en una red cuadrada
[Pérez, et al, 2005], que es posible analizar la superconductividad para las simetrías s, s*,
d y p de la brecha energética superconductora, dentro de un mismo tipo de correlación
electrónica. En este estudio se ha mostrado que el comportamiento bidimensional es una
restricción importante que favorece los altos valores de la temperatura crítica
superconductora ( ). Con este antecedente podemos buscar sistemas superconductores
basados en la molécula C60, que por modificaciones estructurales de los sistemas A3C60,
pasemos de una dinámica electrónica 3-D a una bidimensional. Un sistema interesante es
el compuesto tetragonal A4C60, ya que el salto en la dirección z será menor, con lo que se
puede favorecer el mecanismo bidimensional en el plano X-Y. Aunque el A4C60 no es un
sistema superconductor se puede dopar apropiadamente para propiciar aún más el
6
comportamiento 2-D, inclusive con átomos magnéticos. Otra característica importante que
el modelo de HG en una red cuadrada ha permitido concluir, es que la superconductividad
se favorece por un dopaje de huecos en lugar de electrones, llevando a las transiciones
metal-aislante. Esta propiedad es consistente con el dopaje que proporcionan los átomos
alcalinos en el sistema de bulto C60 para la banda
.
Con estas consideraciones se ha planteado al anfitrión, el Dr. Miguel José Yacaman, que
se puede iniciar un estudio experimental complementario para la síntesis y caracterización
de compuestos basados en la molécula C60, que mejore el comportamiento bidimensional
de los sistemas A3C60 y que conserve o mejore el dopaje de huecos.
El formalismo BCS para la red cúbica
Necesitamos considerar los Hamiltoniano en el espacio real y recíproco. Éste último se
∑
obtiene de la transformación de Fourier
[Pérez, et al., 2005]
(
)
mostrada en la tabla 1:
Tabla 1. Hamiltonianos de HG para el espacio real y recíproco.
Espacio Real
∑⟨
∑⟨⟨
⟩
Espacio Reciproco
∑
⟩⟩
∑
∑⟨
⟩
∑
∑⟨
∑⟨⟨
⟩⟩
⟩
[
]
(21)
∑
⟨ ⟩⟨
⟩
donde
,
( ) es el operador de creación (aniquilación) con espín
en el sitio , 〈 〉 y 〈〈 〉〉 respectivamente, denotan sitios primer y segundo vecinos para
cada sitio sobre una red cúbica, con , primeros vecinos de y . Los parámetros del
Hamiltoniano en el espacio real están definidos en la tabla 2.
Los funciones
y
, corresponden a los potenciales con espines anti- y paralelos,
respectivamente. Su dependencia está en función de los parámetros de correlación
electrónica, los cuales multiplican a funciones coseno de las coordenadas a primeros y
segundos vecinos de la red cúbica, de manera similar a como se obtuvieron para la red
cuadrada [Pérez, et al., 2005].
Una vez que se obtenga el potencial de interacción, se usará en la ecuaciones acopladas
del formalismo BCS generalizado, de la brecha energética superconductora ( ), Ec. (24)
y el potencial químico ( ), Ec (25), para una simetría . En el caso de una brecha
superconductora isotrópica, tipo BCS
es una constante y la Ec (24) parece tener
una solución analítica, similar a la obtenida por BCS, pero en este caso la relación de
dispersión
, es la relación de dispersión de campo medio como función de la
densidad electrónica de la banda, que tendrá una expresión similar a la Ec. (20), con
términos de salto de campo medio a primeros y segundos vecinos [Pérez, et al., 2005].
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Tabla 2. Energía cinética y de correlación para los Hamiltonianos de la Ec. (21)
Parámetros del Hamiltoniano
Energía cinética
⟨
⟩
Más cercanos, y
∫
⌊
(22)
⌋
próximos más cercanos.
Energía de interacción
⟨
⟩
∫
(
⟨
⟩
)
⟨

 E (k ) 
Z k ,k   (k )
1
tanh 
 (k )   

N s k  2 E (k )

 2k BT 

 E (k ) 
1
 (k )  

n

1


tanh




N s k E (k )
 2k BT 

(23)
⟩
(24)
(25)
Donde
es el potencial de interacción. En este caso la primera zona de Brillouin (1BZ)
para la red cúbica es un poliedro hexagonal con seis cuadrados [Aschroft, et al., 1976]
que atraviesan los ejes cartesianos, por lo cual tiene puntos de alta simetría. Mientras que
]
la energía de las cuasi-partículas es
√[
, para la brecha
energética superconductora
. Es importante mencionar que todavía no sabemos
que simetría tiene
y se estudiarán las simetrías apropiadas para 3-D;
. La
selección dependerá también del término de espín considerado para la función de onda,
triplete o singulete.
Referencias
[Gunnarsson, 2004] Olle Gunnarsson, Alkali-doped fullerides: Narrow-bands solids with unsual
properties, World scientific Publishing Co., (2004).
[Pérez, et al., 2005] Luis A. Perez, J. Samuel Millan and, Chumin Wang, Physica B 359, 569
(2005).
[Manousakis, 1991] Efstratios Manousakis, Phys Rev B 44, 10991 (1991).
[Chakravarty, et al., 2001] Sudip Chakravarty and Steven A. Kivelson, Phys Rev B 64, 064511
(2001).
[Pérez, et al., 2001] Luis A. Pérez, Chumin Wang, Solid State Communications 118, 589 (2001).
[Aschroft, et al., 1976] Neil W. Aschroft and N David Mermin, Solid State Physics, Saunders
College Publishing, (1975).
[Friedel, 1993] J. Friedel, IL Nuovo Cimento 15 D, N. 2-3 Febbraio-Marzo (1993).
[Xue, et al., 2012] Mianqi Xue, Tingbing Cao, Duming Wang, Yue Wu, Huaixin Yang, Xiaoli Dong,
Junbao He,Fengwang Li& G. F. Chen, Scientific Reports 2, 389 (2012).
[Alexey, et al., 2008] Alexey Y. Ganin, Yasuhiro Takabayashi, Yaroslav Z. Khimyak, Serena
Margadonna, Anna Tamai, Matthew J. Rosseinsky and Kosmas Prassides, Nature Materials 7, 367
(2008).
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OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Con el fin de estimar la posible temperatura crítica que se podría alcanzar en
conglomerados de nano partículas de Au, C60 y otros átomos, se desea aplicar a estos
sistemas el modelo teórico de la Superconductividad Anisotrópica que considera el
modelo de Hubbard generalizado.
OBJETIVOS PARTICULARES
Los avances sobre el estudio de la superconductividad en 2D, desde el punto de vista
teórico, nos invita a:





Fortalecer y completar el modelo que explica la superconductividad anisotrópica
estudiando sistemas nano-métricos 3D.
Por medio de las interacciones carga-enlace, se aplicará el modelo de Hubbard
generalizado para las redes cristalinas cúbica centrada en el cuerpo y en la cara,
para caracterizar los sistemas AnC60 con n=3,4 y analizar la posibilidad de sintetizar
sistemas superconductores cuasi 2-D de mayor .
La formación e integración de recursos humanos especialistas del tema.
Sintetizar y caracterizar sistemas AnC60 en los cuáles se aplique el modelo teórico
planteado.
Propiciar redes de investigación entre la Universidad de Texas en San Antonio, la
UNACAR y la UNAM.
METAS
Tomando los antecedentes expuestos se puede plantear lo siguiente:
Mediante la segunda etapa de la estancia sabática en el departamento de Física y
Astronomía de la Universidad de Texas en San Antonio, con la colaboración del Dr Miguel
José Yacaman y los colegas de la UNAM, Luis Antonio Pérez López y Chumin Wang
Chen, se realizará una investigación teórica y experimental del modelo de Hubbard
generalizado para sistemas de nano cúmulos de oro, C60 y otros átomos.
METAS DE FORMACION DE RECURSOS HUMANOS
1. Fortalecer una red de colaboración con los doctores Miguel Yacaman y Zlatko
Koinov del centro de Física y Astronomía de la UTSA.
2. Fortalecer el trabajo grupal con los doctores Chumin Wang y Luis Antonio Pérez
López de la UNAM.
3. Fomentar la participación de los integrantes del cuerpo académico de Sistemas
Complejos y otros cuerpos académicos de la DES DAIT de la UNACAR.
4. Actualmente el Dr. Millán dirige tesis para nivel licenciatura sobre teoría y algunas
aplicaciones de los superconductores, en particular colabora con el Dr. John
Boekhoudt quien asesora a los alumnos Paolah y Roger para que obtengan el título
de Ingeniero Químico en el 2014 y pasen a la maestría en ciencias. Ellos realizan
una investigación sobre el método apropiado para desalinizar agua usando nano
partículas en un intenso campo magnético. Así mismo se tiene una colaboración
9
con la Dra. Beatriz Millán, del Centro de Física Aplicada y Tecnología Avanzada de
la UNAM, en el tema de purificación agua y remoción de contaminantes mediante
campos magnéticos y zeolitas.
METAS DE PRODUCTIVIDAD
1. Difundir dentro de los especialistas del tema los resultados obtenidos mediante
asistencia a congresos nacionales e internacionales de la especialidad.
2. Realizar publicaciones de los principales resultados en revistas nacionales e
internacionales de la especialidad.
3. Fomentar la capacitación de especialistas en el tema de la superconductividad.
METODOLOGÍA CIENTÍFICA
El presente proyecto sigue una metodología científica teórica tradicional para simulación
numérica que puede plantearse en 4 pasos:
1. Planteamiento Teórico
Partiendo de un modelo de Hubbard generalizado en el espacio real que incluye los
parámetros de correlación electrónica del tipo carga-enlace, se estudiará la
correlación electrónica de dos y muchas partículas.
2. Desarrollo del modelo.
Para el caso de dos partículas se deberá de construir la matriz hamiltonianio con y
sin interacción electrónica, para después de una comparación de las energías
respectivas, se pueda concluir bajo qué condiciones se puede obtener
apareamiento. Para muchas partículas se estudiarán las ecuaciones que definen el
estado superconductor derivadas de la diagonalización del hamiltoniano dentro de
la aproximación de campo medio Para resolver las ecuaciones que definen al
estado superconductor es necesario determinar los valores de los parámetros del
hamiltoniano correspondientes al sistema en estudio.
3. Resultados.
Con el fin de buscar la consistencia del modelo, se hará una comparación de los
resultados de dos y muchas partículas. De los resultados que se obtengan en el
paso anterior se buscará asociar un rango de validez del modelo teórico, tanto en
términos de la correlación electrónica, como de los otros parámetros del
hamiltoniano, pero siempre buscando reproducibilidad experimental de las
principales propiedades del estado superconductor, como el calor específico
electrónico, energía de condensación y otras.
4. Conclusiones y replanteamiento de la investigación.
GRUPO DE TRABAJO Y COLABORADORES
Investigador de la UTSA:


Dr Miguel José Yacaman. c-e: [email protected]
Dr. Zlatko Koinov. c-e: [email protected]
Investigadores externos a la UTSA y la UNACAR
10



Dr. Chumin Wang, c-e: [email protected]
Dr. Luis Antonio Pérez López, c-e: [email protected]
Dra. Beatriz Marcela Millán Malo, c-e: [email protected]
Investigadores internos a la UNACAR


Dr John Boekhoudt, c-e: [email protected]
Dr Marco Antonio Rodríguez Blanco. [email protected]
Estudiantes de licenciatura
• Roger del Jesús Rosario Magaña. El joven Roger trabajará en la estimación e
implementación de la fuerza magnética requerida para remover a los iones de Mg y Ca
del agua. c-e: [email protected]
• Paolah Chávez Fuentes. La joven Paolah utilizara nano partículas de material
ferromagnético para remover la bacteria E-Coli del agua. c-e: [email protected].
 Armando Gutierrez Pacheco. El joven Armando es pasante de Ing mecánica y ha
manifestado su interés de realizar la tesis sobre el diseño del motor prototipo que usa
cables superconductores. [email protected]
INFRAESTRUCUTURA DISPONIBLE
Por parte de la institución receptora:

Estancia en el Centro de Física y Astronomía de la UTSA.
Por parte de la institución invitada:


Laboratorio de Física y Química de Sistema Complejos.
Software científico para simulación y el reporte de los resultados experimentales
(SWP, MAPLE, MATLAB, ORIGIN), instalados en computadora personal.
Por parte de colaboración externa


Acceso a la computadora MIZLI de Súper computo de la UNAM.
Acceso al centro de súper cómputo TACC de la Universidad de Texas campus
Austin.
PROGRAMA DE ACTIVIDADES
Actividades del proyecto
1. Primera reunion, Duración: 3 días (21-24 de febfero de 2015)
Visita de los doctores Luis A. Pérez y Chumin Wang a la UNACAR. Se discutirán los
resultados de la superconductividad en una red cúbica centrada en el cuerpo y
aplicada a los sistemas AnC60 con n=3,4.
2. Segunda reunión. Duración: 7 días (12-19 de abril del 2015)
Visita del Dr. Samuel Millán al IFUNAM. Se discutirán los resultados de la
superconductividad en una red cúbica centrada en la cara y aplicada a los sistemas
AnC60 con n=3,4.
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3. Tercera reunión. Duración 7 días (28 de junio al 5 de julio)
Visita del Dr. Samuel Millán a la IIM-UNAM. En esta reunión se revisará el manuscrito
de los principales resultados de la investigación para enviarlos a una revista de la
especialidad.
4. Cuarta reunión. Duración 7 días (2-8 de agosto)
Visita de la Dra. Beatriz Millán a la UNACAR
5. Quinta reunión. Duración 7 días (12-19 de septiembre)
Visita del Dr. Samuel Millán a CFATA de la UNAM.
________________________
Dr. José Samuel Millán Malo
Responsable del proyecto
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