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III ENCUENTRO GEOGEBRA
COM9. Curvas Paramétricas, Curvas de Bézier, Splines y B-Splines con GeoGebra.
F. Damián Aranda Ballesteros
[email protected]
En aplicaciones de diseño, una curva o superficie se define a menudo, especificando interactivamente un conjunto de puntos de
control, los cuales indican la forma de la curva. Estos puntos de control serán usados por GeoGebra para formar ecuaciones
paramétricas polinómicas y dibujar la curva definida. Cuando la curva desplegada pasa a través de los puntos de control, se dice que
interpola los puntos de control.
Por otro lado, se dice que los puntos de control se aproximan si la curva desplegada pasa cerca de ellos.
Existen muchas técnicas para determinar ecuaciones paramétricas polinómicas de curvas y superficies, dada las coordenadas de los
puntos de control. Entre los métodos básicos para representar curvas especificas con puntos de control, se incluyen las formulaciones
de las curvas de Bézier, de Hermite y las curvas B-Spline.
Curva de Bézier
Curva de Hermite
B-Spline cúbica
1.- Curvas de Bézier.
Pierre Bézier, ingeniero francés desarrolló este método de aproximación para utilizarlo en el diseño de carrocerías de
los automóviles Renault. Las curvas de Bézier tienen varias propiedades que hacen que sean muy útiles y convenientes para el diseño
de curvas y superficies. Asimismo, es fácil implementarla en cualquier programa de Cálculo Simbólico. También lo es en GeoGebra.
Por esos motivos las curvas de Bézier están disponibles en forma común en varios sistemas de CAD, en paquetes generales
de gráficas y en paquetes seleccionados de dibujo y pintura.
Curvas de Bézier.
En general, es posible ajustar una curva de Bézier para cualquier número de puntos de control. El número de puntos de control que se
debe aproximar y su posición relativa determina el grado de polinomio de Bézier. Veamos su construcción con mayor detalle:
1.- Construcción geométrica.
(Ver archivo) Construccion_1_Beziergeometrica
2.- Construcción analítica.
En definitiva, resultan unos coeficientes para la curva 𝐿 𝑡 = 1 − 𝑡 3 𝐴 + 3𝑡 1 − 𝑡 2 𝐵 + 3𝑡 2 1 − 𝑡 𝐶 + 𝑡 3 𝐷, conocidos como Polinomios
de Bernstein y que suman todos ellos la unidad. En general, para n+1 puntos de control, los coeficientes de la curva paramétrica,
𝑛
𝑠𝑒𝑟á𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐵𝑒𝑟𝑛𝑠𝑡𝑒𝑖𝑛: 𝑛𝑘 (1 − 𝑡)𝑛 −𝑘 𝑡 𝑘 . Obsérvese que 1 − 𝑡 + 𝑡 = 1.
Esta propiedad le confiere a la curva una importante propiedad: Queda en el interior de la clausura convexa que determinan el
conjunto de sus puntos de control. Su construcción con GeoGebra será así.
A partir de los puntos dados, A, B, C, D, creamos dos listas
𝐿1 = 𝑙𝑖𝑠𝑡𝑎 𝒂𝒃𝒔𝒄𝒊𝒔𝒂𝒔 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑦 𝐿2 = 𝑙𝑖𝑠𝑡𝑎 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂𝒔 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 .Copiamos en la línea de entrada:
𝑃𝑥 = 𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑆𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝐶𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜 3, 𝑖 1 – 𝑥
3–𝑖 𝑖
𝑃𝑦 = 𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑆𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝐶𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜 3, 𝑖 1 − 𝑥
𝑥 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐿1 , 𝑖 + 1 , 𝑖, 0, 3
3−𝑖 𝑖
𝑥 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐿2 , 𝑖 + 1 , 𝑖, 0, 3
𝐵𝑒𝑧𝑖𝑒𝑟 = 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎[𝑃_𝑥(𝑡), 𝑃_𝑦(𝑡), 𝑡, 0, 1]
(Ver archivo) Construccion_2_Bezieranalitica
3.- Construcción numérica.
(Ver archivo) Construccion_3_Beziernumerico
Nos basamos en la siguiente macro o herramienta que implementamos en la Hoja de Cálculo de GeoGebra.
2.- Curvas de Hermite.
Son del mismo tipo que las Curvas de Bézier para 4 puntos dados, A, B, C y D. Las condiciones de frontera quedan explicitadas por
las coordenadas del punto inicial y final de la sección, (A y B) y las coordenadas de los vectores situados sobre la semitangente en
esos mismos puntos, (C y D).
El primer vector indica la dirección de “entrada” de la sección y el otro, el de
la “salida de la curva.
Para el cálculo de una sección cualquiera i, vamos a emplear las siguientes
notaciones:
𝑃𝑖 0 𝑦 𝑃𝑖 1 : 𝑠𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑦 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑆𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝐴 𝑦 𝐵
𝑃′ 𝑖 0 𝑦 𝑃′ 𝑖 1 : son las coordenadas de los vectores de entrada y salida, sobre las semitangentes (𝑢 = 𝐴𝐶 𝑦 𝑣 = 𝐵𝐷)
Para mayor claridad, emplearemos notación matricial:
𝑎
𝑏
𝐻𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡𝑒𝑖 𝑡 = 𝑃𝑖 (𝑡) = 𝑥𝑖 𝑡 , 𝑦𝑖 𝑡 = 𝑎𝑡 3 + 𝑏𝑡 2 + 𝑐𝑡 + 𝑑 = 𝑡 3 𝑡 2 𝑡 1 . 𝑐
𝑑
𝑎
𝑏
y para la derivada paramétrica, 𝐻𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡𝑒𝑖′ (𝑡) = 𝑃′ 𝑖 𝑡 = 𝑥′𝑖 𝑡 , 𝑦′𝑖 𝑡 = 3𝑎𝑡 2 + 2𝑏𝑡 + 𝑐 = 3𝑡 2 2𝑡 1 0 . 𝑐
𝑑
Que particularizadas en las fronteras de la sección i, es decir, para 𝑡 = 0 y para 𝑡 = 1 resultan:
𝑃𝑖 0 = 𝑑
𝑃𝑖 1 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑
, que escritas en forma matricial quedarían
𝑃𝑖′ 0 = 𝑐
′
𝑃𝑖 1 = 3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐
𝑃𝑖 0
𝑃𝑖 1
𝑃′ 𝑖 0
𝑃′ 𝑖 1
=
𝑎
0001
𝑏
1111
.
; 𝑃𝐺 = 𝐴. 𝑋
𝑐
0010
𝑑
3210
Como la matriz de coeficientes A es regular, podemos resolver la ecuación matricial 𝑃𝐺 = 𝐴. 𝑋 → 𝑋 = 𝐴−1 . 𝑃𝐺 = 𝑀𝐻 . 𝑃𝐺
donde 𝑀𝐻 es la matriz de Hermite que caracteriza este tipo de curva.
𝐴=
0001
2
1111
→ 𝑀𝐻 = 𝐴−1 = −3
0010
0
1
3210
𝑎
2
𝑏
−3
=
𝑐
0
1
𝑑
−2 1
3 −2
0 1
0 0
−2 1
3 −2
0 1
0 0
1
−1
0
0
𝑃𝑖 0
1
−1 . 𝑃𝑖 1
𝑃′ 𝑖 0
0
0
𝑃′ 𝑖 1
Por tanto, 𝐻𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡𝑒𝑖 𝑡 = 𝑃𝑖 𝑡 = 𝑥𝑖 𝑡 , 𝑦𝑖 𝑡
𝐻𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡𝑒𝑖 𝑡 = 𝑃𝑖 𝑡 = 𝑥𝑖 𝑡 , 𝑦𝑖 𝑡
= 𝑡
3
𝑡
= 𝑡
2
𝑡
3
𝑡
2
𝑡
2
1 . −3
0
1
2
−3
1 .
0
1
−2 1
3 −2
0 1
0 0
−2 1
3 −2
0 1
0 0
𝑃𝑖 0
1
−1 . 𝑃𝑖 1
𝑃′ 𝑖 0
0
0
𝑃′ 𝑖 1
𝑃𝑖 0
1
−1 . 𝑃𝑖 1
𝑃′ 𝑖 0
0
0
𝑃′ 𝑖 1
𝑃𝑖 0
𝑃𝑖 1
𝐻𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡𝑒𝑖 𝑡 = 𝑃𝑖 𝑡 = 2𝑡 3 − 3𝑡 2 + 1, −2𝑡 3 + 3𝑡 2 , 𝑡 3 − 2𝑡 2 + 𝑡, 𝑡 3 − 𝑡 2 .
𝑃′ 𝑖 0
𝑃′ 𝑖 1
Por fin, 𝐻𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡𝑒𝑖 𝑡 = 𝑃𝑖 𝑡 = 2𝑡 3 − 3𝑡 2 + 1)𝑃𝑖 0 + −2𝑡 3 + 3𝑡 2 𝑃𝑖 1 + 𝑡 3 − 2𝑡 2 + 𝑡 𝑃′ 𝑖 0 + (𝑡 3 − 𝑡 2 𝑃′ 𝑖 1
1.- Construcción geométrica.
(Ver archivo) Construccion_1_Hermitegeometrica
2.- Construcción analítica.
Señalamos los 4 puntos 𝐴 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 , 𝐵 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 , 𝐶 𝑦 𝐷, de modo que los vectores que dan la semitangencia geométrica sean 𝐴𝐶 𝑦 𝐵𝐷,
respectivamente.
Ahora podemos con GeoGebra, determinar las ecuaciones paramétricas de la Curva de Hermite.
𝑃𝑥 𝑡 = 2𝑡 3 − 3𝑡 2 + 1)𝑥(𝐴) + −2𝑡 3 + 3𝑡 2 𝑥(𝐵) + 𝑡 3 − 2𝑡 2 + 𝑡 𝑥(𝐶 − 𝐴) + (𝑡 3 − 𝑡 2 𝑥(𝐷 − 𝐵)
𝑃𝑦 𝑡 = 2𝑡 3 − 3𝑡 2 + 1)𝑦(𝐴) + −2𝑡 3 + 3𝑡 2 𝑦(𝐵) + 𝑡 3 − 2𝑡 2 + 𝑡 𝑦(𝐶 − 𝐴) + (𝑡 3 − 𝑡 2 𝑦(𝐷 − 𝐵)
𝐻𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡𝑒 = 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎(𝑃𝑥 𝑡 , 𝑃𝑦 𝑡 , 𝑡, 0,1)
(Ver archivo) Construccion_2_Hermiteanalitica
3.- Relación entre ambas curvas, Bézier y
Hermite.
A partir de los vectores geométricos de entrada y de la definición paramétrica de cada curva, podemos obtener la relación que existe
entre ambas. Para ello basta comparar la definición analítica de cada una de ellas.
𝐻𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡𝑒𝑖 𝑡 = 𝑥𝑖 𝑡 , 𝑦𝑖 𝑡
𝐵𝑒𝑧𝑖𝑒𝑟 𝑡 = 𝑥𝑖 𝑡 , 𝑦𝑖 𝑡
= 𝑡
= 𝑡
3
3
𝑡
𝑡
2
2
𝑡
𝑡
𝑃𝑖 0
2 −2 1 1
𝑃𝑖 1
−3
3
−2
−1
.
1 .
𝑃′ 𝑖 0
0 0 1 0
1 0 0 0
𝑃′ 𝑖 1
𝑃1
−1 3 −3 1
𝑃2
3
−6
3
0
.
1 .
𝑃3
−3 3 0 0
1 0 0 0
𝑃4
Si ambas curvas han de ser iguales, deberá suceder que
𝑃𝑖 0
𝑃1
2 −2 1 1
−1 3 −3 1
𝑃2
−3 3 −2 −1 . 𝑃𝑖 1
3
−6
3
0
=
.
→
𝑃3
𝑃′ 𝑖 0
0 0 1 0
−3 3 0 0
′
1 0 0 0
1
0
0
0
𝑃4
𝑃𝑖 1
𝑃𝑖 0
𝑃𝑖 1
𝑃′ 𝑖 0
𝑃′ 𝑖 1
𝑃𝑖 0
𝑃𝑖 1
𝑃′ 𝑖 0
𝑃′ 𝑖 1
=
0
1
0
3
0
1
0
2
=
1
0
−3
0
0
1
1
1
𝑃𝑖 0
𝑃𝑖 1
𝑃′ 𝑖 0
𝑃′ 𝑖 1
=
2 −2 1 1
−3 3 −2 −1
0 0 1 0
1 0 0 0
−1
𝑃1
−1 3 −3 1
𝑃2
3
−6
3
0
.
.
𝑃3
−3 3 0 0
1 0 0 0
𝑃4
𝑃1
1
−1 3 −3 1
1 . 3 −6 3 0 . 𝑃2
𝑃3
0
−3 3 0 0
0
1 0 0 0
𝑃4
0 0
0 0
3 0
0 −3
𝑃1
0
1 . 𝑃2
𝑃3
0
3
𝑃4
Esta relación nos indica que los puntos de Hermite han de obtenerse a partir de los de Bézier en el siguiente orden:
𝐴 = 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜 = 𝑃1 = 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐵𝑒𝑧𝑖𝑒𝑟
𝐵 = 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑃4 = 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝐵𝑒𝑧𝑖𝑒𝑟
𝐶; 𝐴𝐶 = 3. 𝑃1 𝑃2
𝐷; 𝐵𝐷 = 3. 𝑃3 𝑃4
(Ver archivo) Construccion_1_Bezier_Hermite
4.-Splines. Introducción.
Los splines son una familia de curvas que nos van a permitir definir segmentos de curva con gran precisión y trazado muy suave. Son
de gran utilidad en aplicaciones para el diseño de superficies. Se distinguen varios tipos de Splines.
El primer tipo son los splines cúbicos naturales, que se corresponden con la representación matemática de la definición de spline.
También existe una subfamilia de splines llamada B-Splines, y dentro de esta familia se distinguen los splines no racionales y
uniformes, los splines no racionales y no uniformes y los splines racionales y no uniformes.
4.1 Splines Cúbicos Naturales.
(=Segunda Derivada Nula En Los Extremos De La Sección).
Este tipo de splines presenta continuidad C0, C1 y C2, por lo tanto su trazado es más suave que en el caso de las curvas
de Bézier o Hermite. Los splines cúbicos naturales se definen mediante una serie de puntos de control y polinomios cúbicos que
interpolan dichos puntos de control (el spline se dibuja sobre los puntos de control).
Si definimos un spline con n puntos de control, los coeficientes de los polinomios dependen de todos estos puntos.
Para su cálculo es necesario operar con matrices cuadradas de dimensión n + 1 siendo necesario invertirlas.
El programa GeoGebra tiene implementadas estas dos herramientas y construcciones. Veamos ahora cómo conseguirlo.
Se desea obtener el spline cúbico natural que interpole a los puntos dados A, B, C y D (NODOS)
𝑎1 + 𝑏1 𝑥 + 𝑐1 𝑥 2 + 𝑑1 𝑥 3
𝑆𝑝𝑙𝑖𝑛𝑒𝐶ú𝑏𝑖𝑐𝑜 = 𝑓 𝑥 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑥 + 𝑐2 𝑥 2 + 𝑑2 𝑥 3
𝑎3 + 𝑏3 𝑥 + 𝑐3 𝑥 2 + 𝑑3 𝑥 3
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
4 condiciones
 Igualdad de la función
en los nodos interiores
2 condiciones
 Igualdad de la función
en los nodos extremos
2 condiciones
 Igualdad de la función
8. derivada primera en los
nodos interiores
9. 2 condiciones
 Igualdad de la función
10. derivada segunda en los
nodos interiores
11. 2 condiciones
(SPLINES NATURALES)
 Nulidad de la función
12. derivada segunda en los
nodos extremos
(Ver archivo) Construccion_ SplineCubicoNatural
𝑎1 + 𝑏1 x
𝑎2 + 𝑏2 x
𝑎2 + 𝑏2 x
𝑎3 + 𝑏3 x
𝑎1 + 𝑏1 x
B
B
C
C
A
𝑥(𝐴) ≤ 𝑥 ≤ 𝑥(𝐵)
𝑥(𝐵) ≤ 𝑥 ≤ 𝑥(𝐶)
𝑥(𝐶) ≤ 𝑥 ≤ 𝑥(𝐷)
+ 𝑐1 𝑥
+ 𝑐2 𝑥
+ 𝑐2 𝑥
+ 𝑐3 𝑥
+ 𝑐1 𝑥
𝐵
𝐵
𝐶
𝐶
𝐴
2
+ 𝑑1 𝑥
+ 𝑑2 𝑥
2
+ 𝑑2 𝑥
2
+ 𝑑3 𝑥
2
+ 𝑑1 𝑥
2
𝐵
𝐵
𝐶
𝐶
𝐴
3
=y B
=y B
3
=y C
3
=y C
2
= y(A)
3
𝑎3 + 𝑏3 x D + 𝑐3 𝑥 𝐷 2 + 𝑑3 𝑥 𝐷 2 = y(D)
𝑏1 + 2𝑐1 x B + 3𝑑1 𝑥 𝐵 2 − 𝑏2 − 2𝑐2 x B − 3𝑑2 𝑥 𝐵
𝑏2 + 2𝑐2 x C + 3𝑑2 𝑥 𝐶
2
− 𝑏3 − 2𝑐3 x C − 3𝑑3 𝑥 𝐶
𝑐1 + 3𝑑1 x B − 𝑐2 − 3𝑑2 x B = 0
𝑐2 + 3𝑑2 x C − 𝑐3 − 3𝑑3 x C = 0
𝑐1 + 3𝑑1 x A = 0
𝑐3 + 3𝑑3 x D = 0
2
=0
2
=0
5.- B-Splines. Introducción.
Todo este desarrollo comenzó en 1950 por ingenieros que necesitaban la representación matemática precisa de superficies de forma
libre como las usadas en las carrocerías de automóviles, superficies de exteriores aeroespaciales y cascos de barcos, que pudieran
ser reproducidas exacta y técnicamente en cualquier momento.
Dado un conjunto de puntos 𝑃0 … , 𝑃𝑛 , obtenemos una curva de aproximación compuesta por varios tramos, y las ecuaciones de cada
tramo están influidas solamente por k vértices del polígono de control siendo este valor de k el orden de la B-Spline, un parámetro
elegido a voluntad por el diseñador y, lógicamente, 𝑘 ≤ 𝑛 + 1
Por otra parte, los algoritmos implicados son absolutamente rápidos y numéricamente estables y, por lo tanto, bastante satisf actorios
para los usos en tiempo real en una variedad de campos, tales como gráficos y animación por computadora, proceso
geométrico, inteligencia artificial y muchos otros.
Aunque hay una abundancia de algoritmos de gran alcance para B-Splines, se realizan generalmente de una manera
numérica. Sorprendentemente, a pesar de existir una amplia gama de potentes sistemas de álgebra computacional, ninguno de ellos
incluye
comandos
específicos
o rutinas
especializadas
para
tratar
con
B-Splines
simbólicamente.
Este trabajo está dirigido a llenar este vacío. En esta comunicación se describe cómo con el programa GeoGebra se puede calcular
funciones base B-Splines de una manera completamente simbólica. Puesto que estas funciones básicas están en el cimiento de casi
cualquier algoritmo para curvas y superficies B-Splines, su manipulación eficiente se anhela pues, como uno de los objetivos.
El programa GeoGebra permite también manipular funciones base B-Splines racionales.
5.1.- Preliminares. Definición de las funciones base B-Splines.
Los parámetros que intervienen en una curva B-Spline se enumeran a continuación:
𝑃0 , … , 𝑃𝑛 → 𝑛 + 1 Vértices o Puntos de Control.
𝑁𝑖,𝑘 → Funciones B-Spline Básicas de orden k.
𝑑 → Grado de las B-Spline Básicas (elección usual, d=2 y 3)
𝑘 → Orden de la B-Spline: 𝑘 = 𝑑 + 1
Nº de tramos n-d+1
Es necesario definir un vector de nodos para el cálculo de las funciones B-Spline básicas:
Sea τ = {u0 , u1 , u2 , … , un } una sucesión no decreciente de números reales llamados nodos.
A este vector τ se le llama vector nodo.
La i-ésima función base B-Spline 𝑁𝑖,𝑘 (t) de orden k está definida por las relaciones recursivas
Ni,1 t =
Ni,k t =
1 ui ≤ t < ui+1
, i = 0,1, … , n − 1 .
0 en otro caso
t−u i
u i+k −1 −u i
Ni,k−1 t +
u i+k −t
u i+k −u i+1
Ni+1,k−1 t
(I)
,k > 1
(𝐼𝐼)
Del modo en el que estén dispuestos estos nodos en la lista τ = {u0 , u1 , u2 , … , un } , dependerá el tipo de B-Spline a considerar.
Si son todos distintos y equidistantes, estaremos hablando de una B-Spline uniforme.
Si hay algunos nodos iguales, estaremos hablando de una B-Spline no uniforme. En este caso, convenimos que en los casos de
denominadores nulos, el término asociado a dicha fracción es nulo también.
Nótese que la i-ésima función base B-spline de orden 1, Ni,1 t es una función constante definida a trozos con valor 1 en el intervalo
[ui , ui+1 ), llamado el soporte de Ni,1 t , y cero en otro caso. Este soporte puede comprender un intervalo o reducirse a un punto, puesto
0
que los nodos ui y ui+1 no son necesariamente diferentes. De ser necesario se aplica la convención = 0 en la ecuación (II). El
0
número de veces que aparece un nodo en un vector nodo es llamado la multiplicidad del nodo y tiene un efecto importante en la forma
y propiedades de las funciones base asociadas. Cualquier función base de orden k>1 Ni,k t , es una combinación lineal de dos
funciones consecutivas de orden k-1, donde los coeficientes son polinomios lineales en t. Pues bien, para un conjunto de Puntos
P0 , P1 , … , Pn y un vector de nodos τ = {u0 , u1 , u2 , … , un } la curva B-Spline de orden k relativa a estos datos será C t = ni=0 Ni,k (t)Pi
5.2.- Construcción de las funciones base B-Splines y su Curva B-Spline correspondiente.
B-Spline no racional y uniforme (tiene todos los nodos distintos y están equidistantes entre sí)
Construcción de las funciones base B-Splines (Ver archivo) Construccion_1_FuncionesBasicasBSplines
Para el vector nodo τ = {0,1,2,3,4,5,6,7} y el conjunto de puntos {A, B, C, D, E}, las funciones básicas y la curva de orden 3 (grado 2) se
determinarán así con GeoGebra:
B_basic orden 1 → N01 𝑡 = Si 0 ≤ t ≤ 1, 1,0
𝑡– 0
B_basic orden 2 → N02 𝑡 =
N01(t) +
1−0
𝑡– 0
B_basic orden 3 → N03 𝑡 =
N02(t) +
2−0
→ Ni0 = N01 𝑡 − 𝑖
2 − t
N01(t − 1) → Ni2 𝑡 = N02 𝑡 − 𝑖
2−1
3 − t
N02(t − 1) → Ni3 𝑡 = N03 𝑡 − 𝑖
3−1
Y la curva B-Spline Cuadrática Uniforme será la siguiente:
𝐵𝑆𝑝𝑙𝑖𝑛𝑒 = 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎[𝑥(𝐴) 𝑁03(𝑡) + 𝑥(𝐵) 𝑁03(𝑡 − 1) + 𝑥(𝐶) 𝑁03(𝑡 − 2) + 𝑥(𝐷) 𝑁03(𝑡 − 3) + 𝑥(𝐸) 𝑁03(𝑡 − 4), 𝑦(𝐴) 𝑁03(𝑡)
+ 𝑦(𝐵) 𝑁03(𝑡 − 1) + 𝑦(𝐶) 𝑁03(𝑡 − 2) + 𝑦(𝐷) 𝑁03(𝑡 − 3) + 𝑦(𝐸) 𝑁03(𝑡 − 4), 𝑡, 2, 5]
(Ver archivo) Consstruccion_1_BSplineCuadraticoUniforme

Para el vector nodo τ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8} y el conjunto de puntos {A, B, C, D, E}, las funciones básicas y la curva de orden 4
(grado 3) se determinarán así con GeoGebra:
B_basic orden 1 → N01 𝑡 = Si 0 ≤
𝑡– 0
B_basic orden 2 → N02 𝑡 =
1−0
𝑡– 0
B_basic orden 3 → N03 𝑡 =
2−0
𝑡– 0
B_basic orden 4 → N04 𝑡 =
3−0
t ≤ 1, 1,0 → Ni0 = N01 𝑡 − 𝑖
2 − t
N01(t) +
N01(t − 1) → Ni2 𝑡 = N02 𝑡 − 𝑖
2−1
3 − t
N02(t) +
N02(t − 1) → Ni3 𝑡 = N03 𝑡 − 𝑖
3−1
4 − t
N03(t) +
N03(t − 1) → Ni4 𝑡 = N04 𝑡 − 𝑖
4−1
Y la curva B-Spline Cúbica Uniforme será la siguiente:
𝐵𝑆𝑝𝑙𝑖𝑛𝑒 = 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎[𝑥(𝐴) 𝑁04(𝑡) + 𝑥(𝐵) 𝑁04(𝑡 − 1) + 𝑥(𝐶) 𝑁04(𝑡 − 2) + 𝑥(𝐷) 𝑁04(𝑡 − 3) + 𝑥(𝐸) 𝑁04(𝑡 − 4), 𝑦(𝐴) 𝑁04(𝑡)
+ 𝑦(𝐵) 𝑁04(𝑡 − 1) + 𝑦(𝐶) 𝑁04(𝑡 − 2) + 𝑦(𝐷) 𝑁04(𝑡 − 3) + 𝑦(𝐸) 𝑁04(𝑡 − 4), 𝑡, 3, 5]
(Ver archivo) Construccion_1_BSplineCubicoUniforme
𝑡3
0≤𝑡<1
6
2
Si explicitamos las operaciones indicadas en las definiciones recursivas, obtenemos que N04 𝑡 =
−
2
− 2𝑡 + 2𝑡 −
3
22
3
𝑡3
+ 10𝑡 − 4𝑡 2 +
−
1
6
0
−4 + 𝑡
3
1≤𝑡<2
2
𝑡3
2
2≤𝑡<3
3≤𝑡<4
en otro caso
De esta forma, podemos determinar la curva B-Spline usando la siguiente sintaxis:
𝑁04(𝑡) = 𝑆𝑖[0 ≤ 𝑡 ≤ 1, 𝑡³ / 6, 𝑆𝑖[1 ≤ 𝑡 ≤ 2, 2 / 3 − 2𝑡 + 2𝑡² − 𝑡³ / 2, 𝑆𝑖[2 ≤ 𝑡 ≤ 3, (−22) / 3 + 10𝑡 − 4𝑡² + 𝑡³ / 2, 𝑆𝑖[3 ≤ 𝑡
≤ 4, (−1) / 6 (−4 + 𝑡)³, 0]]]]
𝐵𝑆𝑝𝑙𝑖𝑛𝑒 = 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎[𝑥(𝐴) 𝑁04(𝑡) + 𝑥(𝐵) 𝑁04(𝑡 − 1) + 𝑥(𝐶) 𝑁04(𝑡 − 2) + 𝑥(𝐷) 𝑁04(𝑡 − 3) + 𝑥(𝐸) 𝑁04(𝑡 − 4), 𝑦(𝐴) 𝑁04(𝑡)
+ 𝑦(𝐵) 𝑁04(𝑡 − 1) + 𝑦(𝐶) 𝑁04(𝑡 − 2) + 𝑦(𝐷) 𝑁04(𝑡 − 3) + 𝑦(𝐸) 𝑁04(𝑡 − 4), 𝑡, 3, 5]
(Ver archivo) Construccion_2_BSplineCubicoUniforme
Si consideramos el vector τ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} y los puntos {A, B, C, D = A, E = B, F = C} obtenemos una B-Spline cúbica cerrada.
(Ver archivo) Construccion_3_BSplineCubicoUniformeCerrada
B-Spline no racional y no uniforme (tiene algunos nodos iguales).
La principal diferencia entre este tipo de splines y los B-Splines no racionales y uniformes es que los nodos no están equiespaciados.
La primera consecuencia es que las funciones de mezcla van a variar entre los distintos segmentos de la curva. Como es de esperar,
la computación de las funciones de mezcla es costosa. Restringiendo la secuencia de nodos del B-Spline a intervalos que son o bien 0
o bien 1 se pueden almacenar un pequeño número de matrices correspondientes a la ecuación anterior y que cubran todas las
posibilidades de configuración de los nodos, eliminando la necesidad de reevaluar las funciones de mezcla para cada segmento.
Ejemplo: Para el vector nodo τ = {0,0,0,1,2,2,2}
Sea el conjunto de puntos {A, B, C, D}, obtengamos las funciones básicas y la curva de orden 3 (grado 2).
Para el conjunto de puntos {A, B, C}, obtengamos las funciones básicas y la curva de orden 4 (grado 3).
Para ello, en primer lugar se determinarán las funciones básicas utilizando el algoritmo recursivo dado en la definición.
τ = {0,0,0,1,2,2,2}
F básicas
orden 1
F básicas
orden 2
F básicas
orden 3
00
N01=0
00
N11=0
01
12
𝑁31 𝑡 = 𝑆𝑖 1 ≤ 𝑡 ≤ 2,1,0
22
N41=0
000
N02=0
001
012
𝑁22 𝑡 = 𝑡 𝑁21 𝑡 + 2 − 𝑡 𝑁31
122
𝑁32 𝑡 = 𝑡 − 1 𝑁31 𝑡
222
N42=0
0001
𝑁03 𝑡 = 1 − 𝑡 𝑁12
0012
0122
2−𝑡
𝑁13 𝑡 = 𝑡 𝑁12 𝑡 +
𝑁22(𝑡)
2
𝑁23 𝑡 =
1222
𝑁33 𝑡 = 𝑡 − 1 𝑁32(𝑡)
𝑁21 𝑡 = 𝑆𝑖[0 ≤ 𝑡 ≤ 1,1,0]
𝑁12 𝑡 = 1 − 𝑡 𝑁21 𝑡
𝑡
𝑁22 𝑡 + 2 − 𝑡 𝑁32(𝑡)
2
22
N51=0
(Ver archivo) Construccion_1_ BSplineCuadraticoNoUniforme
τ = {0,0,0,1,2,2,2}
F
básicas
orden 1
F
básicas
orden 2
F
básicas
orden 3
00
N01=0
00
N11=0
01
𝑁21 𝑡 = 𝑆𝑖[0 ≤ 𝑡 ≤ 1,1,0]
𝑁31 𝑡
= 𝑆𝑖 1 ≤ 𝑡 ≤ 2,1,0
000
N02=0
001
012
𝑁22 𝑡 = 𝑡 𝑁21 𝑡 + 2 − 𝑡 𝑁31
122
𝑁32 𝑡 = 𝑡 − 1 𝑁31 𝑡
0001
0012
𝑁13 𝑡
1222
𝑁33 𝑡 = 𝑡 − 1 𝑁32(𝑡)
F
básicas
orden 4
00012
𝑁04 𝑡
0122
𝑁23 𝑡
𝑡
= 𝑁22 𝑡 + 2 − 𝑡 𝑁32(𝑡)
2
01222
𝑁24 𝑡
𝑡
= 𝑁23 𝑡 + 2 − 𝑡 𝑁33(𝑡)
2
𝑁12 𝑡 = 1 − 𝑡 𝑁21 𝑡
𝑁03 𝑡 = 1 − 𝑡 𝑁12
= 𝑡 𝑁12 𝑡 +
= 𝑡 𝑁03 𝑡 +
2−𝑡
𝑁13(𝑡)
2
2−𝑡
𝑁22(𝑡)
2
00122
𝑁14 𝑡
𝑡
2−𝑡
= 𝑁13 𝑡 +
𝑁23(𝑡)
2
2
12
22
N41=0
22
N51=0
222
N42=0
(Ver archivo) Construccion_2_BSplineCubicoNoUniforme
τ = {0,0,0,1,1,2,2,2}
F
básicas
orden 1
00
N01=0
00
N11=0
01
𝑁21 𝑡 = 𝑆𝑖[0 ≤ 𝑡
≤ 1,1,0]
11
N31=0
F
básicas
orden 2
F
básicas
orden 3
000
N02=0
011
𝑁22 𝑡 = 𝑡 𝑁21(𝑡)
F
básicas
orden 4
00011
𝑁04 𝑡
= 𝑡 𝑁03 𝑡
+ 1 − 𝑡 𝑁13(𝑡)
001
𝑁12 𝑡
= 1 − 𝑡 𝑁21(𝑡)
0011
𝑁13 𝑡
= 𝑡 𝑁12 𝑡
+ 1 − 𝑡 𝑁22(𝑡)
00112
𝑁14 𝑡
= 𝑡 𝑁13 𝑡
2−𝑡
+
𝑁23(𝑡)
2
112
𝑁32 𝑡
= 2−𝑡
1122
𝑁33 𝑡
= 𝑡−1
+ 2−𝑡
11222
𝑁34 𝑡
= 𝑡−1
+ 2−𝑡
0001
𝑁03 𝑡
= 1 − 𝑡 𝑁12(𝑡)
0112
𝑁23 𝑡
= 𝑡 𝑁22 𝑡
+ 2 − 𝑡 𝑁32(𝑡)
01122
𝑁24 𝑡
𝑡
= 𝑁23 𝑡
2
+ 2 − 𝑡 𝑁33(𝑡)
12
𝑁41(𝑡)
𝑁32 𝑡
𝑁42(𝑡)
𝑁41 𝑡
= 𝑆𝑖 2 ≤ 𝑡
≤ 2,1,0
122
𝑁42 𝑡
= 𝑡 − 1 𝑁41(𝑡)
1222
𝑁43 𝑡
= 𝑡 − 1 𝑁42 𝑡
22
N51=0
22
N61=0
222
N52=0
𝑁33 𝑡
𝑁43(𝑡)
(Ver archivo) Construccion_3_BSplineCubicoNoUniforme
Curva de Bézier es una Curva B-Spline de nodos no uniformes.
τ = {0,0,0,0,1,1,1,1}
F
básicas
orden 1
F
básicas
orden 2
F
básicas
orden 3
00
N01=0
00
N11=0
00
000
N02=0
000
0000
𝑁03 𝑡 = 0
0001
𝑁13 𝑡 = (1 − 𝑡) 𝑁22 𝑡
F
básicas
orden 4
00001
𝑁04 𝑡
= 1 − 𝑡 𝑁13(𝑡)
𝑁21 𝑡 = 0
𝑁12 𝑡 = 0
00011
𝑁14 𝑡
= 𝑡 𝑁13 𝑡 + (1
− 𝑡)𝑁23(𝑡)
001
𝑁22 𝑡 = (1 − 𝑡) 𝑁31(𝑡)
0011
𝑁23 𝑡
= 𝑡 𝑁22
+ 1−𝑡
00111
𝑁24 𝑡
= 𝑡 𝑁23
+ 1−𝑡
01
𝑁31 𝑡
= 𝑆𝑖 0 ≤ 𝑡 ≤ 1,1,0
011
𝑁32 𝑡 = 𝑡 𝑁31 𝑡
0111
𝑁33 𝑡 = 𝑡 𝑁32 𝑡
𝑡
𝑁32(𝑡)
01111
𝑁34 𝑡 = 𝑡 𝑁33 𝑡
𝑡
𝑁33(𝑡)
11
𝑁41 𝑡
=0
111
𝑁42 𝑡
=0
1111
𝑁43 𝑡
=0
11
N51=0
111
N52=0
11
N61=0