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Fı́sica del Estado Sólido
Práctico 6
Propiedades Térmicas de los Fonones
1. Capacidad Térmica de Dulong y Petit
a) Trabajando en el ensemble canónico, demuestre que para un sistema de N partı́culas
idénticas libres de masa M la energı́a interna U ≡ hEi del sistema es U = 32 N kB T y
la capacidad térmica de un mol de partı́culas de este gas ideal es: U = 32 N kB donde
R es una constante a determinar.
b) Considerando que los átomos de un sólido se comportan como osciladores armónicos
independientes en torno a sus posiciones de equilibrio, demuestre que la energı́a
interna de este sistema es U = 3N kB T y halle su capacidad térmica.
Nota: Este valor es correcto para algunos sólidos a muy altas temperaturas, pero el
modelo falla a temperaturas bajas e intermedias.
2. A partir del modelo de Planck para la energı́a de un único oscilador armónico, en que los
valores posibles de su energı́a son discretos y múltiplos enteros de ~ω:
En = n~ω
y de la expresión de la energı́a media en el ensemble canónico:
a) Demuestre que:
~ω
hEi =
e
~ω
kB T
−1
b) Verifique que para kB T >> ~ω se recupera el resultado clásico para hEi.
c) Halle el valor de hEi para kB T << ~ω y calcule la capacidad térmica CV del oscilador
armónico. Verifique que tiende a cero para T → 0.
Observe que en este caso la capacidad térmica no sigue una ley cúbica CV ∝ T 3
como se verifica experimentalmente. El modelo falla porque se considera un único
oscilador armónico independiente de osciladores armónicos vecinos. No se tienen en
cuenta las relaciones de dispersión ω(k), las cuales juegan un papel importante.
d ) Verifique que el resultado corresponde a lo que se obtendrı́a para una rama de fonones
ópticos sin dispersión ω(k) = ω0 , en la que la densidad de estados es proporcional a
una delta de Dirac: D(ω) = N δ(ω − ω0 ).
3. Tanto en el Modelo de Einstein, como en el Modelo de Debye, se considera que la energı́a
de cada oscilador armónico puede ser En = n~ω. El modelo cuántico del oscilador predice
que el estado de menor energı́a,
correspondiente a n = 0, tiene una energı́a no nula ~ω/2,
de modo que En = n + 21 ~ω. ¿Qué sucederı́a en el cálculo de las capacidades especı́ficas
si tuviésemos en cuenta el término adicional que surge de tener en cuenta el término ~ω/2?
1
4. Ley T 3 de Debye
a) Utilice la ecuación:
hn(ω)i =
1
~ω
kB T
e
−1
para demostrar que, en el equilibrio térmico a la temperatura T , la energı́a promedio
de un modo de longitud de onda suficientemente larga es kB T .
b) A temperaturas mucho menores que la temperatura de Debye, ¿aproximadamente
cuántos modos serán excitados?
c) Utilice la respuesta anterior para demostrar que, para T << ΘD , la capacidad térmica
T 3
debido a las vibraciones atómicas es CV ∝ N kB Θ
, donde N es el número de
átomos del cristal. ¿Cuánto valdrı́a el factor de proporcionalidad?
5. Ramas Acústicas Longitudinal y Transversales
a) I. Interacción entre tres fonones) Consideremos un cristal con dos ramas de fonones
acústicos, una rama longitudinal ωL = νL k, y una rama transversal ωT = νT k, en
donde νL y νT son independientes del vector de onda ~k, siendo k = |~k|. Si νL > νT ,
demostrar que el proceso normal (N) de interacción entre tres fonones: T + L ↔ T
no puede satisfacer simultáneamente la condición de conservación de la energı́a y el
vector de onda.
b) II. Sólido de Debye con tres Ramas Acústicas) Considere un sólido de Debye con tres
ramas: dos ramas transversales y una rama longitudinal, que se comportan como las
estudiadas en la parte anterior. Verifique que el resultado para la capacidad térmica
CV del sistema es equivalente a la de un sólido tridimensional con tres ramas iguales
(donde v es la velocidad del sonido para todas las ramas), si se sustituye ν33 → ν13 + ν23 ,
L
T
tanto en el resultado de CV como en la definición de la frecuencia de Debye ωD .
6. Singularidad de la densidad de estados
a) A partir de la relación de dispersión para una red lineal monoatómica de N átomos
con interacciones entre los vecinos más próximos, demuestre que la densidad de modos
es:
2N
1
p
D(ω) =
2
π
ωm − ω 2
en donde ωm es la frecuencia máxima.
b) Suponiendo que una rama de fonones óptica en tres dimensiones tiene la forma ω(k) =
ω0 − Ak 2 para k cercano a 0, demuestre que la densidad de modos es:
q
L 2π
D(ω) =
ω02 − ω 2
2π A3/2
para ω < ω0 y D(ω) = 0 para ω > ω0 .
7. Capacidad térmica de una red unidimensional
Demostrar que la capacidad térmica de una red monoatómica, en una dimensión, en la
aproximación de Debye es proporcional a T /ΘD , para temperaturas T << ΘD , donde ΘD
es la temperatura efectiva de Debye en una dimensión definida por
ΘD =
~ωm
~πν0
=
kB
kB a
donde kB es la constante de Boltzmann y a la distancia interatómica.
2
8. Red bidimensional y Capacidad térmica de una capa de red
a) Halle la densidad de estados para una red bidimensional.
b) Consideremos un cristal dieléctrico constituido de capas de átomos, con acoplamientos rı́gidos entre las capas, de forma que el movimiento de los átomos está restringido
al plano de las mismas. Demuestre que la capacidad térmica de los fonones en la
aproximación de Debye en el lı́mite de bajas temperaturas es proporcional a T 2 .
9. Deformación y desplazamiento de la red en el punto cero
a) En la aproximación de Debye, demuestre que el desplazamiento cuadrático medio de
un átomo en el cero absoluto es:
hR2 i =
2
3~ωD
8π 2 ρv 3
siendo v la velocidad del sonido.
Sugerencia: Partir del resultado de que el cuadrado de la amplitud de oscilación
u0 de un determinado modo verifica que u20 = (n+1/2)~
sumando ω −1 sobre modos
ρV ω
independientes de la red.
P
b) Demuestre que k ωk−1 y hR2 i divergen en el caso de una red monodimensional y
2
1P
2 2
calcule la deformación cuadrática media. Nota: Considere h ∂R
k k u0 como
∂x i = 2
la deformación cuadrática media. Estudie solamente los modos longitudinales el caso
de N átomos, cada uno de ellos de masa M .
10. Factor de Debye-Waller
Estudie la dependencia con la temperatura de un espectro de difracción de rayos X.
Para ello considere una onda electromagnética (haz de rayos X incidente) que se dispersa
inelásticamente debido a las vibraciones térmicas de los átomos respecto a sus posiciones
de equilibrio ~rn (t) = T~ + ~un (t):
a) Procediendo inicialmente como en el Ejercicio 6 (Dispersión Inelástica) del Práctico
5, calcule el promedio térmico de la intensidad de un pico de difracción y verifique
que se puede escribir como:
~
hIhkl (T )i = Ihkl (0)he−iG.~un i
donde Ihkl (0) es la intensidad de difracción en ausencia de vibración (átomos en
~ es el vector de la red recı́proca
reposo en las posiciones de equilibrio de la red) y G
correspondiente a los planos (hkl).
Nota: El promedio térmico, simbolizado por < ... > corresponde con el promedio en
el ensemble, que puede asumirse igual a la media temporal. En el resultado anterior
~
se asume que el valor he−iG.~un i es independiente del átomo de la red (ı́ndice n).
b) Asumiendo que los átomos oscilan en valor medio en torno a sus posiciones de equilibrio, siendo su desplazamiento suficientemente pequeño, y que su movimiento es
aleatorio en el espacio, verifique que:
1
~
~ un i2 = 1 − 1 G2 hu2 i ' e− 61 G2 hu2 i
he−iG.~un i ' 1 − h−iG.~
2
6
La cantidad W = − 61 G2 hu2 i es el factor de Debye-Waller.
3
c) Calcule el factor de Debye-Waller en los siguientes casos:
i. El modelo de Einstein, en que todos los átomos vibran como osciladores armónicos
independientes de frecuencia ω.
ii. El modelo de Debye.
d ) Estime a partir de los resultados anteriores la dependencia de los picos de difracción
con la temperatura. En particular estudie el lı́mite de altas temperaturas.
11. Potencial anarmónico
Haciendo uso del potencial anarmónico U (x) = cx2 − gx3 − f x4 demuestre que:
a) La expansión térmica, estimada a partir del desplazamiento medio de los átomos, a
primer orden en la temperatura, puede escribirse como:
hxi =
3g
kB T
4c2
b) El calor especı́fico aproximado del oscilador anarmónico clásico en una dimensión es:
3f
15g 2
+
kB T
C ' kB 1 +
2c2
8c3
12. Decaimiento de Fonones
La ecuación de movimiento de un oscilador anarmónico:
1
mü + f u − gu2 = 0
2
posee soluciones periódicas en un cierto entorno del origen. Estas soluciones pueden ser halladasq
en forma recursiva a través de un desarrollo de Fourier (en múltiplos de la frecuencia
ω0 =
f
m ).
Suponga que se toma para u:
u=
∞
X
an cos(nω0 t)
n=1
a) Determine los coeficientes en términos de a1 .
b) Discuta el resultado en relación con el decaimiento de fonones.
13. Corrimiento en Frecuencia en un Oscilador Anarmónico
Suponga ahora una solución aproximada para el oscilador del problema 12 en torno a la
posición media u0 de la forma:
u = u0 + A1 cos(ωt) + A2 cos(2ωt)
a) Sustituyendo en la ecuación del oscilador y despreciando términos
y ω en términos de los parámetros del oscilador.
4
A2
A1 ,
determine u0
b) Suponga que el potencial anarmónico describe a un átomo en una cadena lineal. En
el lı́mite de altas temperaturas, cuando la energı́a media puede igualarse a kB T , halle
la dilatación térmica de la caden. Compare con el ejercicio 11.
14. Expansión Térmica
El coeficiente de expansión térmica para un cristal cúbico es:
1
α=
3V
∂V
∂T
P
1
=
3B
∂P
∂T
V
Para calcular α se debe primero obtener la ecuación de estado del cristal donde aparezca
∂F
la presión. En términos de la energı́a libre de Helmholtz F = U − T S, es: P = ∂V
.
T
a) Usando la relación entre la energı́a interna y la entropı́a a V constante, muestre que
se puede escribir la ecuación de estado como:
∂
P =−
∂V
T
Z
U −T
0
dτ ∂
U (τ, V )
τ ∂τ
b) A partir de la expresión de la energı́a de un aislante en la aproximación de pequeñas
oscilaciones, muestre que:
∂
P =−
∂V
"
U0 +
#
X ∂
1
−
~ωs (k) +
(~ωs (k)) β~ω (k)
s
2
∂V
e
−1
X1
ks
ks
la presión de equilibrio depende entonces de la temperatura sólo si las frecuencias de
los modos normales dependen del volumen de equilibrio del cristal. En un cristal real
las frecuencias de los fonones dependen del volumen. ¿Qué sucede en el caso de un
cristal armónico?
c) Demuestre que:
1 X
∂
∂
α=
−
(~ωs (k))
ns (k)
3B
∂V
∂T
ks
donde ns (k) =
1
eβ~ωs (k) −1
. Compare con la fórmula para el calor especı́fico:
cv =
X
cvs (k)
ks
con cvs (k) =
~ωs (k) ∂
V
∂T ns (T )
la contribución por modo.
d ) Los parámetros de Grüneisen por modo y total se definen como:
V ∂ωs (k)
∂ ln ωs (k)
γks = −
=−
ω (k) ∂V
∂ ln V
Ps
γ
c
(k)
ks ks vs
γ= P
ks cvs (k)
Muestre que el coeficiente de dilatación se escribe:
α=
5
γcv
3B
e) En el modelo de Debye:
1) ¿Qué se puede afirmar sobre γks y γ?
2) ¿Cómo es la dependencia de α con T en los lı́mites T → 0 y T >> θD ?
Nota: Utilice el hecho de que B varı́a débilmente con T .
15. Singularidad de van Hove
Las singularidades de la densidad de estados, de las cuales aquellas estudiadas en el Ejercicio 6 son solamente casos particulares, fueron estudiadas en detalle por L. Van Hove. En
el presente problema se estudiará cómo queda la densidad de estados D(ω) en el caso que
la relación de dispersión sea del tipo:
ω(~q) = ωc − a(q12 + q22 − q32 )
donde ~q es el vector de onda y q1 , q2 , y q3 son sus componentes en coordenadas cartesianas. Como se impone en la aproximación de Debye, se considerará que esta relación de
dispersión solamente se cumple en una región limitada del espacio recı́proco (equivalente
a una primera zona de Brillouin), que para simplificar se supondrá esférica y de radio Q.
a) Observando que la relación de dispersión anterior presenta simetrı́a cilı́ndrica, estudie
cómo son las superficies de energı́a constante ω(~q) = ω0 , para:
i. ω0 < ωc
ii. ω0 > ωc
Sugerencia: Se sugiere hacer una gráfica de qz = q3 en función de qr =
p
q12 + q22 .
b) Halle y grafique la densidad de estados en torno a la frecuencia singular ωc verificando
que:
p
i. Si ω < ωc entonces: D(ω) ∝ Q2 + ω − ωc
ii. Si ω > ωc entonces: D(ω) ∝
1
2
p
√
Q2 + ω − ωc − ω − ωc
NOTAS:
I - Es posible trabajar en función de qz y qr , calculando adecuadamente los elementos
de las superficies halladas en la parte a). Alternativamente pueden ser de utilidad los
cambios de variables (q1 , q2 , q3 ) → (ω, ξ, ϕ) con:
i. ω > ωc :
q
c
q1 = ω−ω
cosh ξ cos ϕ
q a
c
q2 = ω−ω
cosh ξ sen ϕ
q a
c
q3 = ω−ω
a senh ξ
ii. ω < ωc :
q
q1 = ωca−ω senh ξ cos ϕ
q
q2 = ωca−ω senh ξ sen ϕ
q
q3 = ωca−ω cosh ξ
6
II - Estudie adecuadamente los lı́mites de la región de integración que estarán dados por
la región de variación de qr (o ξ) desde su valor mı́nimo a su valor máximo (superficie
de radio Q).
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