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Ciclo Básico
Departamento de Matemática Aplicada
Cálculo Vectorial (0254)
Noviembre 2015
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
Integrales de Línea
y sus Aplicaciones
José Luis Quintero
1.
Halle la divergencia
vectoriales:
de
los
siguientes
j. grad(div f)
k. div(div F)
l. div(rotacional(grad f))
campos
a. V(x, y, z) = (exy , −exy , eyz )
b. V(x, y,z) = (x, y + cos(x), z + exy )
7.
c. F(x, y) = (x3 , −xsen(xy))
a. Verifique las identidades:
• ∇•r = 3
• ∇ • (rr) = 4r
d. F(x, y) = (sen(xy), − cos(x2 y))
2.
Sea r = r(x, y, z) = (x, y, z) y r = r .
Calcule el rotacional de los siguientes campos
vectoriales:
a. F(x, y, z) = (x, y, z)
b. F(x, y, z) = (x2 + y2 + z2 )(3, 4,5)
8.
Demuestre que cualquier campo vectorial de la
forma F(x, y, z) = (f(x), g(y),h(z)) con f, g y h
E = εQ
a. div(rotF) = 0 .
vectorial
A(x, y,z) = (yz, xz, xy) .
Pruebe que A es irrotacional y solenoidal.
6.
Sea f un campo escalar y F un campo vectorial. Diga
si tiene sentido cada una de las siguientes
expresiones. Si no, explique por qué. Si lo tiene,
indique si el resultado es un campo escalar o un
campo vectorial.
a. rotacional f
b. divergencia F
c. gradiente F
d. div(grad f)
e. rotacional(rot F)
f. (grad f) × (div F)
g. gradiente f
h. rotacional(grad f)
i. grad(div F)
correo electrónico: [email protected]
3
producido por una carga Q localizada en el origen,
donde ε es una constante.
a. Demuestre que
1 
r
(∇ • E)r + ∇ × E + ∇   = − 3 .
 r 
r
 
b. El campo vectorial V(x, y, z) = (x, y, z) no puede
ser el rotacional de algún campo vectorial F.
campo
y el
r
r
D ⊆ R 3 . Pruebe que
el
r(x, y, z) = (x, y,z)
campo eléctrico
Sea F un campo vectorial continuo y con segundas
derivadas parciales continuas en un intervalo abierto
Sea
∇ ln(r) = r / r2
Sean el campo posición
funciones diferenciables, es irrotacional.
5.
•
∇×r = 0
p para el cual divF = 0 ?
d. F(x, y) = (xy, x2 − y2 )
4.
∇r = r / r
b. Si F = r / rp , encuentre divF. ¿Existe un valor de
c. F(x, y) = (sen(x), cos(x))
3.
•
•
b. ¿Qué características posee el campo eléctrico E?
9.
Las ecuaciones de Maxwell que relacionan la
variación respecto al tiempo del campo eléctrico E, y
el campo magnético H, en una región que no
contiene carga ni corriente, se pueden expresar
como sigue:
1 ∂H
,
div(E) = 0 , rot(E) = −
c ∂t
1 ∂E
,
div(H) = 0 y rot(H) =
c ∂t
donde c es la velocidad de la luz.
a. Utilice estas ecuaciones para demostrar que
a.1. ∇ × (∇ × E) = −
1 ∂2E
2
a.2. ∇2E =
1 ∂2E
c ∂t
c2 ∂t2
b. ¿Qué nombre reciben los campos E y H?
página web: www.joseluisquintero.com
2
2
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10.
Sean f una función real que admite primera y
segunda derivada para cada número real, con
f(1) = 1 , f '(1) = f ''(1) = 0 y
g(x, y, z) =
15.
2t 
 2
c(t) =  2
− 1, 2
, 0 ≤ t ≤1.
t
+
1
t
+ 1

Calcule su longitud.
x2 + y2 + z2 .f( x2 + y2 + z2 ) .
Calcule el laplaciano de g en cada punto P(x0 , y0 , z0 )
16.
Calcule la longitud de la curva en coordenadas
polares r = 1 + cos(θ), 0 ≤ θ ≤ 2π .
17.
Halle la longitud de arco de la hélice cónica C de
ecuaciones paramétricas dadas por
x(t) = aet cos(t) , y(t) = aet sen(t) , z(t) = aet , (a > 0)
desde el punto (0,0,0) hasta el punto (a,0,a).
18.
Determine la longitud de la curva x2 = 2(2 − y) entre
de la esfera de ecuación x2 + y2 + z2 = 1 .
11.
Sean f(u) una función derivable de la variable u, el
campo r(x, y, z) = (x, y, z) y r = r . Se define el
campo vectorial F mediante F(x, y, z) = f(r).r .
a. Obtenga div(F)
b. Pruebe que F es un campo irrotacional en todos
los puntos de R3 excepto en r = 0
12.
los puntos (0,2) y (2,0).
Evalúe la integral de línea, donde C es la curva
dada.
∫
b.
∫
c.
∫
d.
∫
e.
∫
f.
(y/x)ds , C: x = t 4 , y = t3 , 0 ≤ t ≤ 1
20.
C
xy 4ds , C es la mitad superior de x2 + y2 = 16
yex ds , C es el segmento de recta de (1,2) a (4,7)
C
i.
21.
(x + y)ds , es el borde del triángulo de vértices
área
de
la
porción
del
cilindro
x2 + y2 .
La base de una pared delgada tiene la forma de la
curva dada por las ecuaciones
x(t) = 30 cos3(t), y(t) = 30sen3(t), 0 ≤ t ≤
π
2
,
(0,0), (1,0), (0,1).
y la altura de la misma en el punto (x,y) viene dada
∫
por f(x, y) = 1 +
xy3ds ,
C
∫
∫
∫
y
3
. Si se quieren pintar ambos lados
de esa cerca, sabiendo que el costo de pintar un
metro cuadrado es de 7000 unidades monetarias
(u.m.), ¿cuál es el costo total? (unidades de longitud
en mts)
π
2
x2zds ,
C
z
22.
2
e ds , C : r(t) = (1,2, t ), t ∈ 0,1
AB
ds
x2 + y2 − z2
23.
Pruebe que
∫
xyds =
C
x2
2
+
y2
2
24.
=1
ecuación x2 + y2 + z2 = 36 .
Pruebe que la fórmula para calcular
25.
C
∫
θ1
2
 dr 
f(r cos(θ),rsen(θ)) r2 + 
 dθ .
 dθ 
Calcule el área de la porción de superficie cilíndrica
de ecuación x2 + y2 = 1 comprendida entre los
planos de ecuaciones z = y , z = 0 .
f(x, y)ds
en coordenadas polares de una curva de ecuación
r = r(θ), θ1 ≤ θ ≤ θ2 viene dada por
θ2
Halle el área de la porción del cilindro de ecuación
x2 + y2 = 6y la cual es limitada por la esfera de
a
b
situada en el primer cuadrante.
∫
Una pieza de acero del motor de un tractor tiene su
base circular modelada por la función vectorial
r(t) = (2 cos(t),2sen(t)) y su altura limitada por la
superficie z = 1 + y2 . Calcule el área lateral de esa
pieza.
ab
(a2 + ab + b2 ) ,
3(a + b)
donde C es la parte de la elipse
Sea ϕ(x, y) = 1 + x2 + y2 y la curva C de ecuaciones
paramétricas:
x(t) = t.cos(t), y(t) = t.sen(t), 0 ≤ t ≤ 2π .
Halle el área de la cerca vertical que tiene por base
la curva C y está acotada superiormente por la
gráfica de ϕ .
C
R > 2πh (R, h son constantes)
14.
el
por debajo de la superficie z =
C
donde AB indica el segmento de origen el punto
A(0,R,0) y extremo el punto B(0,R,2πh) , siendo R > 0,
13.
Calcule
x2 + y2 = 2x ubicada por encima del plano z = 0 y
C
C es el segmento de recta que une (0,6, − 1) a (4,1,5)
h.
Calcule el área del cilindro x2 + y2 = 2x que se
encuentra encima del plano z = 0 y por debajo del
paraboloide z = x2 + y2 .
C
C: x = 4sen(t), y = 4 cos(t), z = 3t, 0 ≤ t ≤
g.
19.
yds , C: x = t2 , y = t , 0 ≤ t ≤ 2
a.
Sea el arco
26.
Encuentre el área de la cerca indicada en la figura,
que tiene por base la curva en coordenadas polares
de ecuación r = 1 + cos(θ) , donde 0 ≤ θ ≤ 2π y se
3
José Luis Quintero / Cálculo Vectorial (0254) / Noviembre 2015
encuentra limitada superiormente por la superficie
de ecuación z =
2
x2 + z − 4 = 0 y el plano y = 3z , entre los puntos
2
x +y .
(2,0,0) y ( 3,3,1) de la misma. La densidad lineal
de
masa
ρ(x, y, z) =
viene
4−z ,
dada
para
el
por
la
tramo
del
expresión
alambre
descrito.
33.
Halle la masa y el centro de masa de un alambre
delgado en forma del cuarto de la circunferencia
x2 + y2 = r2 , x ≥ 0 , y ≥ 0 , si la función de densidad
es ρ(x, y) = x + y . Observación: Solo considere el
cuarto de circunferencia.
34.
27.
Halle la masa del arco de la curva
x = et cos(t) , y = et sen(t) , z = et
desde el punto que corresponde a t = 0 hasta un
punto cualquiera de parámetro t0 si la densidad del
Se tiene una pieza de hojalata cortada con un
cilindro circular cuya base admite la ecuación
x2 + y2 = 9 . En cualquier punto (x,y) de la base, la
arco viene dada por
altura de la pieza viene dada por f(x, y) = 1 + x2 .
ρ(x, y, z) =
Calcule el área lateral de esa pieza.
28.
La cerca metálica indicada en la figura tiene por
base la curva C de ecuaciones paramétricas dadas
por
.
35.
Un alambre homogéneo tiene la forma de una curva
C cuya ecuación vectorial viene dada por
r(t) = (cos(t) + t.sen(t),sen(t) − t.cos(t)) , 0 ≤ t ≤ 2π .
Encuentre para el alambre:
a. Las coordenadas de su centro de masa.
b. Su momento de inercia polar.
36.
Sea r un número positivo menor que 1.
a. Pruebe que la intersección de la esfera dada por
x = et cos(t) ; y = etsen(t) , 0 ≤ t ≤ π y se
encuentra limitada superiormente por un techo que
tiene la forma de la superficie z = 1 + x2 + y2 . Calcule
a. La longitud de la curva C.
b. El área de la cerca metálica.
2
x2 + y2 + z2
x2 + y2 + z2 = 1 con el cilindro x2 + y2 = r2 , es la
unión de dos circunferencias disjuntas C0 y C1 ,
donde C0 contiene a P0 = (
contiene a P1 = (
r
2
,
r
2
r
2
,
r
2
, − 1 − r2 ) y C1
, 1 − r2 ) .
b. Considere un alambre que tiene la forma de la
curva C de la parte a y del segmento que une el
punto P0 con el punto P1 . Calcule la masa del
alambre, si su densidad está dada por la función
f(x, y, z) = x2 + y2 + z .
29.
Sea
2
C
la
2
2
curva
intersección
de
la
esfera
37.
Un alambre de longitud L, uniforme, sirve de
contorno a un cuadrante de círculo. Determine las
coordenadas del centroide de ese alambre.
Observación. Considere también los segmentos de
los ejes coordenados.
38.
Encuentre el
inercia y los
coordenados
encuentra a
x + y + z = 4 y el plano 2x + y + 2z = 0 . Considere
un alambre que tiene la forma de la curva C y cuya
densidad viene dada por ρ(x, y,z) = x2 + y2 . Calcule
la longitud y la masa del alambre.
30.
Halle la masa de un alambre formado por la
intersección de la esfera x2 + y2 + z2 = 1 y el plano
x + y + z = 0 si la densidad en (x,y,z) está dada por
ρ(x, y, z) = x2
2
r(t) = (t, 2 32 t3/2 , t2 ) 0 ≤ t ≤ 2 ,
gramos por unidad de longitud de
Encuentre la masa y el centro de masa de un
alambre triangular formado por la recta 2x + 3y = 6
y los ejes coordenados si la densidad viene dada por
ρ(x, y) = x + y .
32.
Calcule la masa de un alambre cuya forma
corresponde con la curva de intersección del cilindro
si
la
densidad
es
ρ(t) = 1 (t + 1) .
alambre.
31.
centro de masa, los momentos de
radios de giro respecto a los ejes
de un alambre delgado que se
lo largo de la curva dada por
39.
Determine la masa y el centro de masa del alambre
en forma de hélice que recorre la curva dada por
r(t) = (cos(t), sen(t), t), 0 ≤ t ≤ 2π si la densidad es
ρ(x, y, z) = z . Encuentre el momento de inercia con
respecto al eje z.
4
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40.
Sea un alambre semicircular uniforme de radio a.
Demuestre que
a. el centroide está situado en el eje de simetría a
una distancia 2a
del centro del semicírculo.
π
49.
I=
41.
donde M es la masa del alambre.
a. Calcule I
b. Dé una interpretación física de I
Un alambre toma la forma de la semicircunferencia
base que cerca de la parte superior. Encuentre el
centro de masa del alambre si la densidad lineal en
cualquier punto es ρ(x, y) = k(1 − y) donde k es una
50.
de un CD (el movimiento de cada punto en una pista
del CD) viene dada por el campo vectorial
F(x, y) = (−y, x) . Verifique que las líneas de flujo de
Un alambre tiene la forma de una curva C que se
obtiene al intersectar la porción de superficie
este campo son circunferencias centradas en el
origen.
cilíndrica de ecuación z = y2 ; y ≤ 2 con la porción
plano
de
ecuación
x+z = 4; 0≤ x≤ 4.
La
densidad del alambre en cada uno de sus puntos
viene dada por
z
.
ρ(x, y,z) =
8y2 + 1
Encuentre para el alambre:
a. Las coordenadas de su centro de masa.
b. Su momento de inercia respecto al eje x.
43.
51.
F(x, y) = (ex −1, xy) y C: r(t) = (t2 , t3 ) , 0 ≤ t ≤ 1 .
44.
F • dr ,
C
donde
F(x, y,z) = (x, −z, y) , C: r(t) = (2t,3t, −t2 ) , −1 ≤ t ≤ 1 .
53.
Halle el trabajo realizado por el campo dado por
F(x, y) = (x2 , xy) sobre una partícula que se mueve
R.
Halle el momento de inercia respecto al eje z de un
alambre cuya forma es la curva C que es la
intersección del plano y − z − 2 = 0 con el cilindro
una vez alrededor de la circunferencia x2 + y2 = 4
en sentido antihorario.
54.
x2 + z2 = 25 , si su densidad es
ρ(x, y, z) =
45.
Evalúe la integral de línea
∫
x2 + y2 + z2 = R2 , y = x , que se encuentra en el
a
F • dr ,
C
donde
Un alambre delgado homogéneo tiene la forma de la
curva intersección de las superficies dadas por
2 2
π
Evalúe la integral de línea
∫
52.
primer octante. Pruebe que la distancia del centro de
masa del alambre al origen de coordenadas es igual
Si F es un campo vectorial, una línea de flujo para F
es una curva cuya parametrización r(t) satisface la
ecuación F(r(t)) = r '(t) . El movimiento de rotación
constante.
del
(x + y + z)2 ds ,
C
con 0 ≤ y ≤ 1 .
x2 + y2 = 1 , y ≥ 0 , y es más grueso cerca de su
42.
∫
donde C está dada por
 x + 2y + 2z = 5
,
C:
−2x − y + 2z = 2
b. el momento de inercia respecto al diámetro que
pasa por los extremos del alambre es igual a
1 Ma2 ,
2
Sea la integral
1
25 + x2
.
Halle el trabajo realizado por
F(x, y) = (x, y + 2) al mover un
un arco de la cicloide dada por
r(t) = (t − sen(t),1 − cos(t)) , 0 ≤
el campo de fuerza
objeto a lo largo de
la ecuación vectorial
t ≤ 2π .
de
Para cada uno de los siguientes campos F,
determine el trabajo realizado por los mismos a lo
largo de las curvas dadas:
densidad ρ(x, y) = x + y , halle su centro de masa y
a. F(x, y) = (x2y, x3 ) , C es el contorno, recorrido en
Dado un alambre semicircular que tiene la forma de
la
ecuación
x2 + y2 = 1,
y ≥ 0,
y
función
55.
sentido antihorario, del dominio limitado por las
el momento de inercia sobre el eje y.
curvas de ecuaciones y2 = x, x2 = y .
46.
47.
48.
Un alambre homogéneo tiene la forma del triángulo
de vértices A(0,0), B(2,4) y C(4,0). Demuestre que
Iy = 16
m siendo m su masa.
3
Encuentre la masa y el momento de inercia con
respecto al eje x de un alambre homogéneo cuya
forma corresponde con el arco de la cicloide
r(t) = (t − sen(t),1 − cos(t)) , 0 ≤ t ≤ 2π .
Sea un alambre homogéneo que tiene la forma de la
curva C que resulta de la intersección de las
superficies
x2 + y2 + z2 = 2x , z = x .
coordenada z del centroide.
Calcule
la
b. F(x, y, z) = (y2 , z2 , x2 ) ; C es la curva intersección
de la esfera x2 + y2 + z2 = a2 y de la superficie
x2 + y2 = ax, con z ≥ 0 y a > 0 (a constante). C
es recorrida de manera que si se observa el
plano xy desde arriba el sentido es horario.
56.
Determine el trabajo efectuado por una partícula
que se mueve de (0,0) hasta (2,0) sobre una curva
C que recorre el conjunto S = {(x, y) / y = 1 − 1 − x }
si la fuerza viene dada por F(x, y) = (y2 , x) .
5
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57.
F(x, y) = (ln(x), x2 , x / z)
a lo largo de la curva
C : y = x − 1, z = 3x − 2
58.
recorrida
desde
A(1,0,1)
donde C es la curva intersección de las superficies
z = xy , x2 + y2 = 1 . El sentido de recorrido de C es
Sea αn(t) = (t, tn ) . Pruebe que el trabajo efectuado
antihorario cuando es vista desde encima del plano
xy.
desde (0,0) hasta (1,1) sobre cada una de estas
trayectorias siempre es igual a 1.
66.
67.
la función y = (x − 1)(ax − 1), 0 ≤ x ≤ 1 . Determine
68.
F(x, y, z) = (z, xy, y)
69.
x2 + y2 = 9
en
contrario
orientado
y
de
un
F
ecuación
campo
vectorial
vectorial
α : a,b  → R , donde
F(r(t)) = α(t)r '(t) ,
Sea C una curva parametrizada por r(t) = (t,1 − t2 ) ,
tal
 π 5π 
β(t) = (sen(t),1 − sen2 (t)) , t ∈  − , 
 2 2
representa otra forma de parametrizar C, ¿qué valor
debe tener
C
∫
∫
que
70.
Sean C una curva suave en el plano xy
parametrizada por la función vectorial r(t) , donde
t ∈ a,b  , con
F ds
C
Calcule
∫
vectoriales
ydx − xdy + zdz ,
tal
que
a. Pruebe que
C
x+y =2

C: 2
2
2
x + y + z = 2(x + y)
que se encuentra en el primer octante, desde
A = (0,2,0) hasta B = (2,0,0) .
Halle el valor de
G
G(r(t)) = r''(t) ,
r(x, y, z) = (x, y,z) y T(x,y) con T = 1 .
∫F
siendo la curva
65.
r '(t) = 1 , F un campo vectorial
definido y continuo en C tal que F(r(t)) = r '(t) y los
campos
64.
F • dβ ?
C
α(t) > 0 ,
dada por
F • dr =
F • dr = 45 .
C
Si
r(t) ,
∀t ∈ a,b  . Demuestre que se cumple la igualdad
∫
al
La fuerza F ejercida sobre una partícula ubicada en
el punto (x,y,z) con vector de posición r = (x, y, z)
∫
z = 8 − x − 2y .
t ∈ a,b 
sentido
que
2
curva
curva
t ∈  −1,1 y sea F un campo vectorial continuo tal
hasta el punto (1, −2, −1) a lo largo de la curva de
intersección de las superficies dadas por 2x + z = 1 ,
una
la
y el cilindro
F(x, y, z) = (6z − 4y, z, ex −1) desde el punto (1,2, −1)
C
es
desde el punto (-a,0) hasta el punto (a,0).
Calcule el trabajo requerido para mover una
partícula bajo la acción del campo de fuerza
Sea
C
x+y+z =1
Determine el trabajo que realiza F para mover la
la función y = ax − 1 , 0 ≤ x ≤ 1 . Halle la curva Ca
63.
y
intersección del plano
partícula a lo largo de la curva x2 + y2 = a2 , y ≥ 0
2
2
F • dr ,
C
3
a considere la curva Ca definida como el gráfico de
62.
superficies
es F(r) = Kr r , con K constante no nula y r ≠ 0 .
Sea F(x, y) = (−xy − x2 , −x2y) . Para cada número real
(1, a − 1) sea máximo.
las
movimiento de las manecillas del reloj visto desde
arriba.
la curva Ca de manera que el trabajo mecánico
de manera que el trabajo mecánico realizado por F a
lo largo de Ca desde el punto (0, −1) al punto
de
Calcule la integral de línea
donde
a considere la curva Ca definida como el gráfico de
61.
intersección
∫
Sea F(x, y) = (−xy − x2 , −x2y) . Para cada número real
(0,1) al punto (1,0) sea mínimo.
de
por el campo F al mover una partícula a lo largo de
C en sentido antihorario visto desde la dirección
positiva del eje z.
(0,0) hasta la recta x = 1 usando la curva y = axb ,
realizado por F a lo largo de Ca desde el punto
C
x2 + y2 + z2 = 2x , z = x . Calcule el trabajo realizado
Sea F(x, y) = (cxy, x6 y2 ) , c > 0 un campo vectorial
a > 0 , b > 0 . Halle el valor de a (en función de c)
tal que el trabajo mecánico realizado por el campo
vectorial no dependa de b.
Sean el campo de fuerzas F(x, y,z) = (−y, x, z) y la
curva
que actúa sobre una partícula que se mueve desde
60.
ydx + zdy + xdz ,
C
hasta B(2,1,4).
por la fuerza f(x, y) = (y, x) que mueve una partícula
59.
∫
Calcule el trabajo realizado por el campo dado por
• dr = b − a .
C
b. ¿Qué calcula la integral
∫ T • dr ?
C
c. Calcule
∫G
C
• dr .
6
José Luis Quintero / Cálculo Vectorial (0254) / Noviembre 2015
d. ¿Existe un campo vectorial H tal que rot(H) = r ?
71.
x + z = a , x2 + y2 + z2 = a2 ; a > 0 es una constante.
Calcule la integral
Evalúe la integral de línea, donde C es la curva
dada.
a.
b.
c.
∫
∫
∫
(xy + ln(x))dy,
∫
C: y = x2 de (1,1) a (3,9)
donde el recorrido de C es tal que la coordenada y
crece.
C
sen(x)dx, C es el arco de x = y4 de (1, − 1) a (1,1)
C
xydx + (x − y)dy,
C
está
formada
por
77.
los
C
segmentos de recta de (0,0) a (2,0) y de (2,0) a
(3,2).
d.
e.
∫
∫
yzdy + xydz, C : x =
78.
C
más corto de la circunferencia x2 + y2 = 1 de (1,0)
∫
ecuaciones y = 2x2 + z2 , y + 2z − 1 = 0 .
z2dx − zdy + 2ydz ,
C
está
formada
por
los
79.
C
segmentos de recta (0,0,0) a (0,1,1), de (0,1,1)
a (1,2,3) y de (1,2,3) a (1,2,4).
72.
Calcule la circulación del campo vectorial dado por
v(x, y, z) = (x + 2y + z,2y,3x − z) a lo largo de la
curva C obtenida al intersectar las superficies de
a (0,1).
f.
donde
Halle el valor de
∫
Calcule la circulación del campo vectorial dado por la
expresión
F(x, y, z) = (F1(x, y, z),F2 (x, y, z),F3 (x, y, z)),
F1(x, y, z) = x3arctg(x2 + 1) + 2z2 − 2y2
yzdx + xzdy + x2y2dz ,
F2 (x, y, z) = 4(x2 + z)
C
donde C es la curva intersección de la esfera
F3(x, y, z) = z3arctg(z3 + 1) + 6y + 4x2
x2 + y2 + z2 = 9 con el plano z = 2 . La curva C se
recorre una vez en sentido antihorario cuando se
mira desde encima del plano dado.
73.
a lo largo de la curva C que es la intersección de las
superficies x2 + y2 = 1 , z = 4 + xy . El recorrido de C
es tal que en su proyección en el plano xy es horario
el sentido.
Calcule
∫
ydx + 2xdy ,
80.
C
donde C es el contorno que limita el dominio D
definido como el conjunto de los puntos (x, y) ∈ R2
en sentido antihorario.
x2 + y2 − 2x ≤ 0 , x2 + y2 − 2y ≤ 0 .
81.
Calcule
∫
P1
P0
i
j k
1 1 1 • dr ,
x y z
S2 : x2 + y2 + z = 5 , z ≥ 1 .
El recorrido de C es antihorario visto desde la parte
superior de S2 .
siguientes caminos:
a. Segmento rectilíneo P0P1 .
82.
0 ≤ θ ≤ 2π
75.
Sea
C
t ∈ a,b 
una
y
curva
F
de
un
ecuación
campo
vectorial
vectorial
tal
r(t) ,
que
F(r(t)) = r '(t) y r '(t) = 1 , t ∈ a,b  . Pruebe que
Calcule
∫
∫
r × dr ,
C
donde r(x, y, z) = (x, y,z) y C es la circunferencia del
plano xy, de centro O(0,0,0) y radio R, recorrida en
sentido antihorario.
76.
Calcule la circulación del campo
F(x, y, z) = (yz(2x − 1), xz(x + 1), xy(x + 1))
a lo largo de la curva C dada por la intersección de
las superficies de ecuaciones dadas por
S1 : x2 + y2 + z2 − 2z = 3 , z < 3 2 y
en donde P0 (0,0, 0) y P1(1,1,1) , a lo largo de los
b. A lo largo de la curva r(θ) = (sen(θ),1 − cos(θ), 2πθ )
Calcule la circulación del campo
v(x, y) = 1 + x2 + y2 i + xy + ln(x + 1 + x2 + y2 ) j


a lo largo de la circunferencia x2 + y2 = R2 recorrida
que satisfacen al menos una de las inecuaciones
74.
r(t) = (t, t2 ,1) 0 ≤ t ≤ 1
b. F(x, y,z) = (x2 , yz, y2 ) r(t) = (0,3t, 4t) 0 ≤ t ≤ 1
c. F(x, y, z) = (x − z, 0, x) r(t) = (cos(t), 0, sen(t)) 0 ≤ t ≤ 2π
t , y = t , z = t2 , 0 ≤ t ≤ 1
C está formada por el arco
En los siguientes ejercicios, F es el campo de
velocidades de un fluido que corre por una región en
el espacio. Encuentre el flujo a lo largo de la curva
dada en la dirección de t creciente.
a. F(x, y,z) = (−4xy,8y,2)
C
x ydx + 2y xdy,
ydx + zdy + xdz ,
C
Sea C la curva de origen el punto (a,0,0), que se
obtiene como intersección de las superficies
83.
F • dr =
C
∫
ds .
C
Calcule
∫
(1 + x)zdx + y2 (1 + x)2 dy + xdz ,
C
donde C es la curva contenida en la región definida
por las condiciones 0 ≤ x ≤ 1 , que se obtiene como
7
José Luis Quintero / Cálculo Vectorial (0254) / Noviembre 2015
intersección de la superficie de ecuación z = xy , y
del plano de ecuación x + y + z = 0 . La orientación
 x−y
x+y 
, 2
F(x, y) =  2
,
2 n
(x
+
y
)
(x
+ y2 )n 

encuentre n de tal modo que rotF = 0 .
de C es del punto (0,0,0) al punto (1, − 12 , − 12 ) .
84.
Sean C la curva intersección de la esfera de
2
2
90.
Sea
F(x, y,z) = (F1(x, y, z),F2 (x, y,z),F3 (x, y,z)),
2
ecuación x + y + z = 4 y el plano 2x + y + 2z = 0 y
donde
el campo vectorial
F1(x, y, z) = 8xsen(y) + 5yz


x
F(x, y, z) =  x + z, 4 − y2 , 2
.
x + y2 + z2 

F2 (x, y,z) = 4x2 cos(y) + 5xz + 2zsen(yz)
F3(x, y,z) = 5xy + 2ysen(yz)
Calcule
∫
a. Demuestre que el campo F es conservativo y
determine un potencial escalar.
b. Calcule la integral de línea de F a lo largo de la
curva C que une al punto (0, 2π ,1) con el punto
F • dr ,
C1
donde C1 es el arco orientado de C dado por los
puntos (x, y, z) ∈ C con y ≤ 0 y punto inicial dado
(2, π,0) .
por P0 ( 2,0, − 2) .
85.
Sea C la curva en el espacio, que es la intersección
de la superficie z − xy = 0 y el plano x + y + z = 0 ,
91.
circunferencia dada por la función vectorial
r(t) = (cos(t),sen(t)) , t ∈ 0,2π  . Pruebe que F no
con 0 ≤ x ≤ 1 .
a. Calcule
I=
∫
Sean el campo vectorial F(x, y) = (x2 − y2 , x2 − 2) y la
es conservativo y sin embargo
∫
(1 + x)zdx + y(1 + x)2 dy + (1 + x)2 dz ,
C
desde
el
punto
A(0,0,0)
hasta
el
punto
92.
B(1, − 12 , − 12 )
Determine si F es o no un campo vectorial
conservativo. Si lo es, encuentre una función f tal
que ∇f = F .
a. F(x, y) = (6x + 5y,5x + 4y)
b. F(x, y) = (x3 + 4xy, 4xy − y3 )
93.
∫
F • dr
C
es o no es independiente de la trayectoria C. En el
caso de que la integral sea independiente de la
trayectoria C, encuentre una función potencial ϕ del
campo F.
a. F(x, y) = (6xy2 − y3 , 6x2y − 3xy2 )
b. F(x, y) = (e3x + 1,e3x + y)
c. F(x, y) = r , r = r
89.
Dado
Responda a los siguientes planteamientos:
∫
F • dr ,
C
donde C es la curva dada por
Pruebe que si el campo vectorial
F(x, y, z) = (P(x, y, z),Q(x, y, z),R(x, y, z))
Para los campos vectoriales F que se dan a
continuación, determine si la integral de línea
campo
tal que F = ∇f .
b. Evalúe
e. F(x, y) = (1 + 2xy + ln(x), x2 )
88.
un
a. Si F(x, y) = (3 + 2xy, x2 − 3y2 ) , halle una función f
d. F(x, y) = (2x cos(y) − y cos(x), −x2sen(y) − sen(x))
es conservativo y P, Q, R tienen derivadas parciales
continuas de primer orden, entonces
∂P ∂Q
∂P ∂R
∂Q ∂R
.
=
,
=
,
=
∂y
∂x
∂z
∂x
∂z
∂y
F(x, y,z) = (2xyez ,ezx2 , x2yez + z2 )
r(t) = (t2 , t3 , t 4 ) , 0 ≤ t ≤ 1 .
c. F(x, y) = (xey , yex )
87.
Sea
vectorial en R 3 .
a. Demuestre que es conservativo.
b. Halle una función potencial.
c. Calcule el trabajo mecánico realizado por el
campo a lo largo de la curva dada por
b. Dé dos interpretaciones físicas de lo que calcula I
86.
F • dr = 0 .
C
r(t) = (etsen(t), et cos(t)), 0 ≤ t ≤ π .
94.
Responda a los siguientes planteamientos:
a. Demuestre que F(x, y,z) = (y2z3 ,2xyz3 ,3xy2z2 )
es un campo vectorial conservativo.
b. Encuentre una función f tal que F = ∇f .
95.
Responda a los siguientes planteamientos:
a. Encuentre una representación paramétrica de
una curva C que tiene punto inicial en (2,1, 2 2)
y punto final en (2, 2,0) y se encuentra sobre
una parte de la superficie x + y2 + 2z2 = 4 que se
encuentra enfrente del plano x = 0 .
b. Sea


yz
xz
xy
F(x, y, z) = 
+ 2x,
− z,
− y 
2 2 2
1 + x2y2z2
1 + x2y2z2
1 + x y z

un campo vectorial. Demuestre que es
conservativo y determine un potencial escalar.
c. Calcule la integral de línea del campo F a lo largo
de la curva C hallada en el apartado a.
8
José Luis Quintero / Cálculo Vectorial (0254) / Noviembre 2015
96.
∫
Sea el campo de fuerzas
F(x, y, z) = (yexy − zsen(xz), xexy , −xsen(xz)) .
a. Demuestre que F es conservativo y determine
una función potencial.
b. Determine las ecuaciones paramétricas de la
curva
x2 + y2 + z2 = 6z
C:
z+y =3

y calcule el trabajo que realiza F a lo largo de C.
97.
F • dr ,
C2
103. Sean el campo
F(x, y,z) = (yzexz + 2xyz − 2x,exz + x2z, xyexz + x2y)
Sea el campo de velocidades de un fluido
F(x, y, z) = (F1(x, y, z),F2 (x, y, z),F3(x, y, z)) ,
y la curva C de ecuación vectorial
r(t) = (3sen( 2π t),3 cos(πt),3t − 3) , t ∈ 0,1 .
donde
Halle el valor de
F2 (x, y,z) = xexy cos(z) + 2xyz2 − sen(x)sen(y)
F3(x, y,z) = −exysen(z) + 2xy2z
C
∫
C
F • dr .
F • dr ,
si F(x, y,z) = (2xy − 3x2z, x2 + z7 ,7z6 y − x3 + 9z2 ) y la
curva
Sean el campo vectorial dado por
2
∫
104. Calcule
a. Pruebe que F es conservativo.
b. Calcule el flujo a lo largo de la curva C que une
los puntos A(0, 2π , 0) y B( 2π , 0, 4π ) .
4x2 + y2 + z2 = 4
C:
y+z =2

2
F(x, y) = (2x y + 6xy + 1, x (x + 3))
y el campo escalar dado por
2
ϕ(x, y) = ex y .
a. Pruebe que F no es conservativo y G = ϕ.F si lo
es.
b. Encuentre la familia de funciones potenciales de
G.
99.
∫
donde C1 y C2 son las mitades superior e inferior
respectivamente de la circunferencia x2+y2=1 de
(1,0) a (-1,0). ¿Cómo se explica que la integral
dependa del camino en vista del resultado de
(a)?
F1(x, y, z) = yexy cos(z) + y2z2 + cos(x)cos(y)
98.
F • dr y
C1
Conteste a los siguientes requerimientos:
a. ¿Para qué valores de a y b resulta conservativo
el campo vectorial dado por la expresión
F(x, y, z) = (axsen(πy), x2 cos(πy) + bye−z , y2e−z ) ?
b. ¿Para los valores de a y b encontrados calcule el
flujo de F a lo largo de la curva parametrizada
por r(t) = (cos(t),sen(2t), sen2 (t)) 0 ≤ t ≤ π .
100. Sea el campo vectorial conservativo
F(x, y, z) = (F1(x, y, z),F2 (x, y, z),F3(x, y, z))
desde el punto (0,2,0) al punto (
1
2
,1,1) .
105. Sea
I=
∫
zdy .
C
a. Calcule I, siendo C el arco contenido en el primer
octante dado por la intersección de las
superficies
x2 + y2 + z2 = R 2

 x2 + y2 = Ry
con R > 0 , desde el punto (0,0,R) al punto
(0,R,0)
b. Pruebe que el campo rotacional del campo
anterior es conservativo y encuentre un potencial
escalar
106. Sean
donde
F1(x, y, z) = sen(yz) + yz cos(xz) + yz cos(xy) ,
F1(x, y, z) = 8xsen(y) + 5yz
F2 (x, y,z) = 4x2 cos(y) + 5xz + 2zsen(yz)
F3(x, y,z) = 5xy + 2ysen(yz)
F2 (x, y, z) = xz cos(yz) + sen(xz) + xz cos(xy) ,
F3(x, y, z) = xy cos(yz) + xy cos(xz) + sen(xy) .
a. Pruebe que F = (F1,F2 ,F3 ) es conservativo.
Calcule
∫
(0, π ,1)
4
b. Determine una función potencial para F.
c. Calcule
F • dr
∫
(1,0,1)
2
3z
3z
101. Si F(x, y, z) = (y ,2xy + e ,3ye ) , halle una función
f tal que ∇f = F .
−yi + xj
x2 + y2
a. Pruebe que
∂P ∂Q
=
∂y
∂x
en todo el dominio.
b. Calcule
si r(t) = (t cos(2πt), tsen(2πt),2t) , 0 ≤ t ≤ 1 .
107. Considere el campo vectorial
F(x, y, z) = (2x + ay + z, −3x + 2y + bz, x − y + 2z) .
102. Sea
F(x, y) =
F • dr
C
.
a. Halle los valores que deben tomar los
parámetros a y b en R, para que F sea
conservativo en todo R 3 .
b. Para los valores de a y b encontrados, determine
la familia de funciones potenciales de F y calcule
el trabajo mecánico realizado por el campo a lo
9
José Luis Quintero / Cálculo Vectorial (0254) / Noviembre 2015
largo de la curva dada por la ecuación vectorial
r(t) = (t2 , t3 , t 4 ) , 0 ≤ t ≤ 1 .
108. Calcule el trabajo realizado por el campo vectorial
F(x, y, z) = (exz (xyz2 + yz), xzexz , exz (x2yz + xy)) ,
para mover una partícula
a. A lo largo de la curva de intersección de las
superficies de ecuaciones
z = 2 − x2 − y2

z =1

b. A lo largo de una curva que une el origen de
coordenadas con el punto (1,1,1).
109. Considerando las condiciones del teorema de Green,
demuestre que
∫
 ∂Q
∂Q 
∂P 
 ∂P
−P
−Q
 dy = 2
Q
 dx +  P
∂x
∂x 
∂y 
 ∂y
C
∫∫
∫
x2 y2
+
= 1 ; y = 2.
4 16
(la región por “encima” de esta recta).
117. Determine el área de la región limitada por la
hipocicloide que tiene la ecuación vectorial
r(t) = cos3(t) i + sen3(t) j , 0 ≤ t ≤ 2π
118. Use el Teorema de Green para calcular el área de la
región del plano xy que satisface las desigualdades
y ≥ x2 , x ≥ y2 , 8xy ≥ 1 .
119. Use el Teorema de Green para calcular el área de la
región D definida como
{
 ∂2 Q
∂2P 
−Q
 P
 dxdy
∂
x
∂
y
∂
x∂y 

}
D = (x, y) ∈ R2 : x ≥ y2 − 1, x2 + 4y2 ≤ 4 .
D
120. La
110. Calcule usando el teorema de Green
2
116. Use el teorema de Green para calcular el área de la
región acotada por las curvas cuyas ecuaciones son
curva
xy dx + x ydy ,
(epicicloide)
C1
paramétricas
2
dadas
por
tiene
ecuaciones
x = 5 cos(t) − cos(5t) ,
y = 5sen(t) − sen(5t) para 0 ≤ t ≤ 2π y la curva C2
C
2
2
siendo C la elipse de ecuación 4x + 9y = 36 .
(circunferencia)
tiene
ecuación
cartesiana
x2 + y2 = 16 . Use el teorema de Green para calcular
111. Mediante el teorema de Green calcule
∫
el área de la región limitada por C1 y C2 como se
(x + y)dx − (x − y)dy ,
indica en la figura.
C
siendo C la curva que sirve de contorno a la región
{
}
R = (x, y) ∈ R 2 : x2 − 1 ≤ y ≤ 3;x ≥ 0 .
112. En cada caso, use el teorema de Green para calcular
la integral de línea indicada:
a.
∫
(x2ydx + y3dy) , donde C es la curva cerrada
C
formada por y = x, y3 = x2 de (0,0) a (1,1).
b.
∫
C
(2x3 − y3 )dx + (x3 + y3 )dy  , donde C es la


2
circunferencia x + y = 1 .
2
y
(1 + tg(x))dx + (x + e )dy ,
a. La elipse
C
donde C es la frontera positivamente orientada de la
región limitada por las curvas
y=
x , x =1 , y =0.
114. Verifique el teorema de Green para el campo
vectorial
F(x, y) = (x + y,2x − y)
en
la
región
comprendida entre la circunferencia x2 + y2 = 9 y el
cuadrado x + y = 1 .
(xy + x + y)dx + (xy + x − y)dy 
x2
2
a
+
y2
b2
=1.
b. La circunferencia x2 + y2 = ax .
122. Si los vértices de un polígono, en sentido contrario al
giro de las agujas del reloj, son (x1, y1 ), (x2 , y2 ),
...,(xn , yn ) , n ≥ 3 demuestre que el área del polígono
viene dada por
A=
1 [(x y
1 2
2
− x2y1 ) + (x2y3 − x3y2 ) + ... +
(xn−1yn − xnyn−1 ) + (xny1 − x1yn )]
115. Verifique el teorema de Green en la región
{
α
aplicando el teorema de Green, donde α es:
113. Utilice el teorema de Green para evaluar
∫
121. Calcule la integral
∫
2
}
D = (x, y) ∈ R2 / a2 ≤ x2 + y2 ≤ 1 ,
donde a es un número real tal que 0 < a < 1 , y el
campo vectorial F está definido por


y
x
F(x, y) =  2
, 2
.
2
2
x
+
y
x
+
y


123. Si los vértices de un polígono, en sentido contrario al
giro de las agujas del reloj, son
(x1, x1 ),(x2 ,2x2 ),...,(xn−1,(n − 1)xn−1 ), (0,0), n ≥ 3
demuestre que el área A del polígono viene dada por
n −2
A=
1
2
∑
i=1
xixi+1 .
10
José Luis Quintero / Cálculo Vectorial (0254) / Noviembre 2015
124. Sean R = R(x, y), S = S(x, y) . Bajo las condiciones
del Teorema de Green:
a. Demuestre que
∫
RSdx + RSdy =
C
(−1,1) a (1,1), seguida de la parábola y = 2 − x2
∫∫
R(Sx − Sy ) + S(R x − R y ) dxdy ,


D
si C es la frontera de D.
b. ¿Qué valor tiene la integral doble del apartado
anterior si C es la circunferencia
x2 + y2 = 4 , R(x, y) = y , S(x, y) = 1 ∀(x, y) ∈ C ?
125. Sea D una región limitada por una trayectoria
cerrada simple C, del plano xy. Use el teorema de
Green para probar que las coordenadas del
centroide (x, y) de D son
x=
1
2A
∫
2
x dy , y =
C
1
− 2A
∫
Ix =
∫
y dx , Iy =
C
∫
3
x dy .
C
127. Sea D una región para la cual se cumple el teorema
de Green. Suponga que f es armónica, esto es,
∂2f
2
∂x
+
∂2f
2
∂y
∫
F • nds ,
C
donde F(x, y) = (yx, y) y C es la curva dada por
x = cos(t) , y = sen(t) , 0 ≤ t ≤
π
2
.
133. Verifique el teorema del rotor de Stokes en el plano
si F(x, y) = (2y,5x) y R es la región limitada por la
circunferencia x2 + y2 = 1 .
134. Verifique el teorema de la divergencia de Gauss en
el plano si F(x, y) = (2y,5x) y R es la región limitada
ocupa una región del plano xy limitada por una
trayectoria cerrada simple C. Demuestre que sus
momentos de inercia alrededor de los ejes son
ρ
3
132. Calcule
y dx ,
C
126. Una lámina plana con densidad constante ρ(x, y) = ρ
3
desde (1,1) a (−1,1) .
2
donde A es el área de D.
ρ
−3
donde C viene dada por la parábola y = x2 desde
=0
por la circunferencia x2 + y2 = 1 .
135. Si


y
x
F(x, y) =  − 2
, 2
,
2
2
 x +y x +y 
demuestre que
∫
F • dr = 2π
C
para toda curva cerrada simple que encierre (0,0).
136. Si
región definida por las desigualdades x2 + 4y2 ≤ 16 ,
 2x3 + 2y2x − 2y 2y3 + 2x2y + 2x 
F(x, y) = 
,
,


x2 + y2
x2 + y2


representa el campo de velocidades de un fluido,
calcule la circulación del mismo a lo largo del
contorno de la región definida por
y ≥ x2 − 2
,

 y ≤ 2
x2 + y2 ≥ 4x − 3 .
recorrido en sentido antihorario.
en D. Demuestre que
∂f
∂f
dx −
dy = 0 .
∂x
C ∂y
∫
128. Verifique el Teorema de Green para el campo
F(x, y) = (4x − 3y,9x + 4y) , si C es el contorno de la
129. Determine el trabajo realizado por una partícula que
se mueve en el plano xy a lo largo de una recta que
no pasa por el origen desde un punto A(a,b) al
punto B(c,d), debido a la fuerza


x
y
F(x, y) =  − 2
,− 2
.
2
2
x
+
y
x
+
y


130. Sea C una curva suave, cerrada, simple y
positivamente orientada que limita una región de
área A. Demuestre que si a1 , a2 , a3 , b1 , b2 y b3
son constantes, entonces
∫
(a1x + a2 y + a3 )dx + (b1x + b2 y + b3 )dy = (b1 − a2 )A .
C
131. Dado el campo
F(x, y) = (2xy − 8y + x3 cos(x),2x2 + ysen(y2 )) ,
calcule
∫
F • dr ,
C
RESPUESTAS
[1]
a. yexy − xexy + yeyz
b.3
c. 3x2 − x2 cos(xy)
d. y cos(xy) + x2sen(x2 y)
[2]
a.0
b. (10y − 8z, 6z − 10x, 8x − 6y)
c. −sen(x)k
d.xk
[6]
a. rotacional f. No tiene sentido. El rotacional se aplica a
un campo vectorial.
b. divergencia F. Si tiene sentido. Resultado. Campo
escalar.
c. gradiente F. No tiene sentido. El gradiente se aplica a
un campo escalar.
d. div(grad f). Si tiene sentido. Resultado. Campo
escalar.
e. rotacional(rot F). Si tiene sentido. Resultado. Campo
vectorial.
f. (grad f) × (div F) . No tiene sentido. El producto cruz
se aplica entre campos vectoriales.
g. gradiente f. Si tiene sentido. Resultado. Campo
vectorial.
h. rotacional(grad f). Si tiene sentido. Resultado.
Campo vectorial.
i. grad(div F). Si tiene sentido. Resultado. Campo
vectorial.
j. grad(div f). No tiene sentido. La divergencia se aplica
a un campo vectorial.
11
José Luis Quintero / Cálculo Vectorial (0254) / Noviembre 2015
k. div(div F). No tiene sentido. La divergencia se aplica
a un campo vectorial.
l. div(rotacional(grad f)). Si tiene sentido. Resultado.
Campo escalar.
[7] b.3
[8] b.es irrotacional y solenoidal
[9] b.solenoidales
[10] 2
[11] r.f '(r) + 3f(r)
17 −1
[12] a. 17 12
b.
[15]
2
2
[61] y = 3 x − 1 , 0 ≤ x ≤ 1
8
[62] 4(1 + 2π)
[64] 4
[65] −π
[66] π
2
49
24
c.0 d.
34(16e3 − 1) e. 2 + 1
e
9
77 h.2 i. arcsen(2Rπh)
56
3
f.320 g.
[60] y = (1 − x)(1 x + 1) , 0 ≤ x ≤ 1
π
2
[68]
[69]
[70]
[71]
0
45
b.Calcula longitud de la curva C. c.0 d.no
23 e. 2 f. 77
a. 464
d. 28
+ 9 ln(3) b.0 c. 17
5
3
5
6
[72] 0
[73] 32π + 1
[16] 8
[17]
3a
[18]
5 + 12 ln(2 + 5)
b. 8 + 2π
[74] a.0
[75] 2πR2k
[19] 4π
[20] 8
[21] 3150000 u.m.
[76] a2 (
[22] 2π +
[78] −3π
8
3
[77] a.3
π3
[23] 12π
[24] 144
[25] 4
[26]
b.24
+ 61 )
c. 2π
[84] − 2π
1
3
2

+ ln(2) 
3

[85] a. − 
e3π − 34 )
[29] 4π , 104 π
b.
• I calcula el trabajo mecánico efectuado por una
partícula que se desplaza por la trayectoria C desde
el punto A hasta el punto B inducido por el campo de
fuerza F
• I calcula el flujo de una partícula a lo largo de la
trayectoria C desde el punto A hasta el punto B
inducido por el campo de velocidades de un fluido F
9
2π
3
5 13 +13
2
[31] m =
1
120
x=
2(9 + 4 13)
5 13 +13
y=
2(8 + 7 13)
3(5 13 +13)
(161 161 −121 121)
r (π
4 2
[33] x = y =
[34]
π
4 2
[83] 3 ln(2) − 17
6
32
3
[28] a. 2(eπ − 1) b. 2(eπ +
[32]
−
πR 4
4
[80]
[27] 33π
[30]
1
2 2
3(1 − e
− t0
+ 1)
[86] a. f(x, y) = 3x2 + 5xy + 2y2 + K
)
b. f(x, y) = x2 cos(y) − ysen(x) + K
[35] b. kπ2 (2 + 4π2 )
c. f(x, y) = x2 y + x ln(x) + K
[36] b. 4πr(r2 + 1 − r2 ) + 2r2 1 − r2 + 1 − r2
[37] x = y =
[38] x = 1 y =
rx =
2
3
[88] a. ϕ(x, y) = 3x2y2 − y3x c.
6L
(4 + π)2
29
5
16
15
z=
ry = 4
Ix =
2
3
2
15
rz =
2
3
232
45
Iy =
64
15
Iz =
56
9
7
[89] n = 1
[90] a. f(x, y, z) = 4x2sen(y) + 5xyz − 2 cos(yz) c.-2
[92] b. f(x, y, z) = ez x2y +
z3
3
[39] 2 2π2 , (0, − 1π , 43π ), 2 2π2
[93] a. f(x, y) = 3x + x y − y

4−π 
[41]  0,

 2(π − 2) 
[94] b. f(x, y, z) = xy2z3
12 
1728
8
[42] a.  , 0,
 b.
5 
35
5
[45] (0,
π +2 )
8
,2
256
15
[47] 8K;
−
b. Calcula la masa de un alambre
3
2
sen(t), 3 +
2
2
2y
[98] b. f(x, y) = (x + 3)ex
[100] 2 −
b.
+C
2
[101] f(x, y, z) = xy2 + ye3z
πa3
4
1 (10 ln(2) +
3
[59] W =
2
2
[99] a. b = −2 , a = 2 π b. 0
[103] -15
[56] − 13
[57]
t2
2
b. f(x, y, z) = arctg(xyz) + x2 − zy
[97] b.
1
e
6
35
b. e3π + 1
[95] a. x = 2 , y = t , z = 1 −
b. r(t) = (3 cos(t), −
[52] -2
[53] 0
[55] a.
c. (e + 13 )
Trabajo igual a cero
91
[49] a.
8
[51]
3
[96] a. f(x, y, z) = exy + cos(xz)
K
1
[48] z =
2
11
8
2
c. −arctg( 2) − 2 +
[44] 58π
r2
2
7)
c 3c
.
2 2
[104]
18 − 2
4
[105] a.
2R 2
b. f(x, y, z) = −x
3
3
2
sen(t)), 0 ≤ t ≤ 2π
José Luis Quintero / Cálculo Vectorial (0254) / Noviembre 2015
[106] b. f(x, y, z) = xsen(yz) + ysen(xz) + zsen(xy) c. 0
[107] a. a = −3 , b = −1 b. 0
[108] a. 0 b. e
[110] 0
[111] − 32
3
1 b.
[112] a. − 44
[113]
3π
2
4
5
[114] (9π − 2)
[115] 0
[116]
8π
3
[117]
3
8
[118]
7 − 3ln(2)
24
−2 3
π
[119] π +
4
3
[120] 14π
3
[121] a.0 b. − a8 π
[124] b. −4π
[128] 84π
[129]
1  a2 + b2 
ln 

2  c2 + d2 
[131]
64
3
[132]
π
4
+
[133] 3π
[134] 0
[136] 4π
1
3
12