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Fundamentos de Matemáticas
Taller 6 2015-02
1. Pruebe que si una relación R en un conjunto X es reflexiva, entonces Rn = R ◦ R ◦ ... ◦ R es reflexiva, para
todo entero n ≥ 1.
2. Pruebe que si una relación R en un conjunto X es reflexiva y transitiva, entonces Rn = R para todo entero
n ≥ 1.
3. Pruebe que una relación R en un conjunto X es antisimétrica si y solo si R ∩ R−1 = {(x, x) | x ∈ X}.
Nota: La relación inversa se define asi: (x, y) ∈ R−1 ⇐⇒ (y, x) ∈ R
4. Pruebe que una relación R en un conjunto X es reflexiva si y solo si la relación inversa R−1 es reflexiva.
5. Sea R la relación en el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} definida por (a, b) ∈ R si y solo si 4 divide a (a − b) .
a) Liste todos los elementos de R, R−1 , R2 , R ∩ R−1 .
b) Para cada una de las relaciones de la parte a) dibuje una gráfica que la represente.
c) Diga si R es reflexiva, simétrica, antisimetrica o transitiva. ¿Es R una relación de equivalencia?
6. Sea R una relación en un conjunto X. Sea SR la relación en X definida por: (x, y) ∈ SR si y solo si (x, y) ∈ R
y (y, x) ∈ R.
a. Si X = {1, 2, 3, 4} y R = {(1, 2), (1, 1), (2, 3)}. Encuentre SR .
b. Si X = {1, 2, 3, 4} y R = {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (5, 1)}, encuentre SR .
c. Pruebe que si R es una relación reflexiva y transitiva, entonces SR es una relación de equivalencia.
7. a. Pruebe que sólo hay una relación de equivalencia en un conjunto de 1 elemento.
b. Pruebe que hay exactamente dos relaciones de equivalencia en un conjunto de 2 elementos.
c. ¿Cuántas relaciones de equivalencia hay en un conjunto con 3 elementos? Escrı́balas explı́citamente.
8. ¿Cuáles de las siguientes relaciones en el conjunto X = {1, 2, 3, 4} son relaciones de equivalencia? Si la relación
es una relación de equivalencia, indique la partición del conjunto X que genera.
(a) {(1, 1) , (2, 2) , (3, 3) , (4, 4) , (1, 3) , (3, 1)}
(b) {(1, 1) , (2, 2) , (3, 3) , (4, 4)}
(c) {(1, 1) , (2, 2) , (3, 3) , (4, 4) , (1, 2) , (2, 1)}
9. Sea R = {(a, b) /a y b son reales y a − b es un entero} .Demuestre que R es una relación de equivalencia.
10. Sea R la relación en el conjunto N de los enteros positivos definida por (a, b) ∈ R si y solo si a|b. Determine si
R es reflexiva, simétrica, antisimétrica o transitiva. Resuelva el ejercicio definiendo a la relación en el conjunto
de los enteros Z en lugar de tomar solamente los enteros positivos.
11. Sean N el conjunto de los enteros positivos y R la relación en N × N definida por ((a, b) , (c, d)) ∈ R si y solo
si a ≤ c y b ≤ d. Determine si esta relación es reflexiva, simétrica, antisimétrica o transitiva.
12. Sea R la relación definida en X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} por la siguiente regla: (a, b) ∈ R si y solo si (a − b) es
divisible por 3. Liste los elementos de R y R−1 .
13. Sea f : A → B una función inyectiva o 1-1 y sea R = {(a, f (a)) /a ∈ A} . ¿Cuál es la relación inversa R−1 ?
14. Pruebe que el cubo de cualquier entero puede ser escrito como la diferencia de dos cuadrados.
3
Ayuda: Note que n3 = 13 + 23 + · · · + n3 − 13 + 23 + · · · + (n − 1) .
15. (a) Encuentre los valores de n ≤ 7 para los cuales n! + 1 es un cuadrado perfecto.
(b) Verdadero o falso?. Para enteros positivos m y n, (mn)! = m!n! y (m + n)! = m! + n!.
16. Cada uno de los siguientes números 1 = 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4, . . . , representa el
número de puntos que pueden ser organizados en un triángulo equilátero:
·
·
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...
Esto condujo a los Griegos a llamar a un número triangular si es la suma de enteros consecutivos, empezando
con el 1. Pruebe los siguientes hechos acerca de números triangulares:
(a) Un número es triangular si y solo si es de la forma k (k + 1) /2 para algún k ≥ 1. (Pitagoras, 550 a.c.)
(b) El entero n es un número triangular si y solo si 8n + 1 es un cuadrado perfecto. (Plutarco, 100 d.c.)
(c) La suma de dos números triangulares consecutivos es un cuadrado perfecto. (Nicomacus, 100 d.c.)
(d) Si n es un número triangular entonces también lo son 9n + 1, 25n + 3, y 49n + 6. (Euler, 1775)
17. Si tn denota el n−ésimo número triangular, pruebe la siguiente fórmula para la suma de números triangulares,
atribuida al matemático hindú Aryabhatta (500 d.c.):
n (n + 1) (n + 2)
,
n ≥ 1.
t1 + t2 + t3 + · · · + tn =
6
18. Pruebe que el cuadrado de cualquier múltiplo impar de 3 es la diferencia de dos números triangulares; es2
pecı́ficamente, pruebe que 9 (2n + 1) = t9n+4 − t3n+1 .
19. En la sucesión de números triangulares encuentre:
(a) Dos números triangulares cuya suma y diferencia sean también números triangulares.
(b) Tres números triangulares consecutivos cuyo producto es un cuadrado perfecto.
(c) Tres números triangulares consecutivos cuya suma es un cuadrado perfecto.
20. Pruebe las siguientes fórmulas por inducción matemática:
n (n + 1) (n + 2)
,
para todo n ≥ 1;
3 n 4n2 − 1
(b) 12 + 32 + 52 + · · · + (2n − 1)2 =
,
para todo n ≥ 1;
3
2
n (n + 1)
,
(c) 13 + 23 + 33 + · · · + n3 =
2
(d) an − 1 = (a − 1) an−1 + an−2 + · · · + a + 1 ,
para toda ȧ > 0,
n ≥ 1;
(a) 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + n (n + 1) =
(e) 1 (1!) + 2 (2!) + 3(3!) + · · · + n (n!) = (n + 1)! − 1,
21. Sea A (n) la proposición: 1 + 2 + 3 + . . . + n =
1
8
para todo n ≥ 1.
2
(2n + 1) .
(a) Probar que si A (k) es cierta para un entero k, A (k + 1) también es cierta.
(b) Critique la conclusión “de la inducción se sigue que A (n) es cierta para todo n.00
22. Números de Fibonacci (Leonardo Fibonacci vivió en el siglo XIII)
F0 = 0,
F1 = 1,
Fn+1 = Fn + Fn−1 ,
Demuestre que:
(a)
n
X
Fj = Fn+2 − 1.
j=0
(b) F3n es un número par.
(c) F5n es divisible por 5.
2
n = 1, 2, ...