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Título: PROGRAMACIÓN LINEAL
Nivel educativo: 2º BACHILLERATO
Calculadora: CP-400
Autores: Onofre Monzó Del Olmo y María Teresa Navarro Moncho
Proyecto: Sí
Experimentado: Sí y con muy buenos resultados. Nuestro alumnado ha obtenido
resultados en las PAU muy por encima de la media.
Material necesario para experimentar: Maleta con 20 calculadoras CP-400
Justificación: A pesar de la postura que mantienen los responsables de la elaboración
de las pruebas de acceso a la universidad española no tiene sentido que se prohíba el uso
de calculadoras CAS en dichas pruebas
Lo más importante en la resolución de problemas de programación lineal son las
decisiones que el resolutor debe tomar en el proceso de la resolución, a saber, elección
de las incógnitas, obtención de la función que se quiere optimizar en función de los
datos del problema, expresión de las restricciones del problema en forma de sistema de
inecuaciones, obtención del conjunto de soluciones factibles y, finalmente obtención, si
existe, el valor óptimo de la función en dicho conjunto. Es evidente que a lo largo de
este proceso hay que realizar diversos cálculos, cálculos que el alumnado de segundo de
bachillerato no debería tener que demostrar que sabe realizar, pues dichos cálculos se
realizan desde los primeros cursos de secundaria.
El uso de la CP-400 en el aprendizaje de la programación lineal favorece que éste se
centre en lo que verdaderamente es significativo y permite resolver problemas reales de
mayor complejidad.
Onofre Monzó y Maite Navarro. Departament de Matemàtiques______________________________
La programación lineal
En los siglos XVII y XVIII, grandes matemáticos, como Newton, Leibnitz, Bernoulli y,
sobre todo, Lagrange, que tanto habían contribuido al desarrollo del cálculo
infinitesimal, se ocuparon del problema de obtener máximos y mínimos condicionados
de determinadas funciones.
Posteriormente, el matemático francés Jean Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830) fue el
primero en intuir, aunque de forma imprecisa, los métodos de lo que actualmente
denominamos programación lineal y la potencialidad que de ellos se deriva.
Si exceptuamos el matemático Gaspar Monge (1746-1818), quien en 1776 se interesó
por problemas de este género, tenemos que remontarnos a 1939 para encontrar nuevos
estudios relacionados con los métodos de la actual programación lineal. En ese año, el
matemático ruso Leonid Vitalevich Kantorovitch publica una extensa monografía
titulada Métodos matemáticos de organización y planificación de la producción en la
que por primera vez se hace corresponder a una extensa gama de problemas una teoría
matemática precisa y muy definida, denominada hoy en día programación lineal.
En 1941-1942 se formula por primera vez el problema de transporte, estudiado
independientemente por Koopmans y por Kantorovitch, razón por la cual se suele
conocer con el nombre de problema de Koopmans-Kantorovftch.
Tres años más tarde, G. Stigler plantea otro problema particular conocido con el nombre
de régimen alimentario optimal. En los años posteriores a la Segunda Guerra Mundial,
en los Estados Unidos se asumió que la eficaz coordinación de todas las energías y
recursos de la nación era un problema de tal complejidad, que su resolución y
simplificación pasaba necesariamente por los modelos de optimización que resuelve la
programación lineal.
Paralelamente a los hechos descritos se desarrollan las técnicas de computación y los
ordenadores, instrumentos que harían posible la resolución y simplificación de los
problemas que se estaban gestando. En 1947, G. B. Dantzig formula, en términos
matemáticos muy precisos, el enunciado estándar a que cabe reducir todo problema de
programación lineal. Dantzig, junto con una serie de investigadores del United States
Departamento of Air Fuerzo, formarían el grupo que se denominó SCOOP (Scientific
Computation of Optimum Programs).
Los fundamentos matemáticos de la programación lineal se deben de al matemático
norteamericano de origen húngaro John (Janos) Von Neumann (1903-1957), quien en
1928 publicó su famoso trabajo Teoría de juegos. En 1947 conjetura la equivalencia de
los problemas de programación lineal y la teoría de matrices desarrollada en sus
trabajos. La influencia de este respetado matemático, discípulo de David Hilbert en
Gotinga y, desde 1930, catedrático de la Universidad de Princeton de los Estados
Unidos, hace que otros investigadores se interesaron gradualmente por el desarrollo
riguroso de esta disciplina.
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Desigualdades
Dado que el conjunto de los números resales ℝ es totalmente ordenado, dados dos
números reales a i b, siempre es cierta alguna de les tres relaciones siguientes:
a<boa>boa=b
Las dos primeras se denominan desigualdades.
Entre las desigualdades numéricas se cumplen las tres transformaciones de equivalencia
siguientes:
a. Si a los dos miembros de una desigualdad se los suma un mismo número, la
desigualdad se conserva en el mismo sentido, es decir:
a < b  a+c < b+c
a > b  a+c > b+c
c ℝ
b. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un mismo
número positivo, la desigualdad conserva el sentido, es decir:
Si c ℝ + a < b  ac < bc i a > b  ac > bc
c. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un mismo
número negativo, la desigualdad cambia de sentido, es decir:
Si c ℝ ─ a < b  ac > bc i a > b  ac < bc
d. Dados cuatro números reales a, b, c i d cualesquiera, se cumple la compatibilidad de
la ordenación con la suma, es decir:
a < b i c < d  a+c < b+d
e. Dados dos números reales, si el primero es menor que el segundo, el inverso del
primero es mayor que el del segundo y viceversa, es decir:
a<b
1
𝑎
>
1
𝑏
f. Si un número real es menor que otro, con los opuestos de estos dos la desigualdad
cambia de sentido, es decir:
a < b  ─a > ─b
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Inecuaciones en la calculadora gráfica
A veces, los enunciados que dan lugar a una expresión algebraica no dicen “es igual”,
sino “es mayor” o “es menor”, por ejemplo:
Sabemos que cada lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor
que su diferencia. Sean x = 2 i y = 4 dos lados de un triangulo, ¿cuánto mide el otro?
Si llamamos z al otro lado, entonces z < 2+4 i z > 4─2.
Si tratamos de escribir una expresión algebraica que represente la situación, vemos que
no podemos poner el signo = entre las cantidades.
Si en una ecuación sustituimos el signo = per <,>, ≤ o ≥ obtenemos una inecuación.
Inecuaciones lineales con una variable
2B
Al resolver una inecuación lineal con una variable utilizando las propiedades de las
desigualdades llegaremos a una de las situaciones siguientes:
a) x < a
(-, a) o ]-, a[
a-2 a-1
b) x  a
d) x  a
a+1 a+2
(-, a] o ]-, a]
a-2
c) x > a
a
a-1
a
a+1 a+2
(a,+) o ]a, +[
a-2 a-1
a
a+1 a+2
a-2 a-1
a
a+1 a+2
[a,+) o [a, +[
Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Regiones del plano
Si queremos saber cuál es la región del plano que verifica que y ≤ 0.5x+4 tendremos
que buscar el conjunto de puntos del plano (x,y) que verifiquen la desigualdad, y por
tanto la recta dividirá el plano en dos trozos, y uno de ellos es el que nos interesa.
Tendremos que hacer lo siguiente:
En el menú Gráficos i Tablas seleccionamos en Tipos y ≤ (o directamente desplegando
el submenú y =) e introducimos la inecuación:
y ≤ 0.5x+4
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Ajustamos el tamaño de la ventana pulsando el icono 6 y dibujamos tocando $
Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas
Un sistema de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas está formado por dos o
más inecuaciones con dos incógnitas que tienen que verificarse simultáneamente.
Teniendo en cuenta que la solución de una inecuación lineal con dos incógnitas es un
semiplano, la solución de un sistema de inecuaciones lineales será la región del plano
que contiene todos los puntos cuyas coordenadas son solución de todas y cada una de
las inecuaciones del sistema. Esta región se obtiene a partir de la intersección de los
semiplanos de cada una de las inecuaciones que forman el sistema.
Veamos algunos ejemplos:
4 x  2 y  6

 x y  0
si transformamos el sistema
obtenemos:
 y  3  2x

 y x
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La solución del sistema está formada por los puntos del plano que son solución de las
dos inecuaciones al mismo tiempo. Esta lo obtenemos por superposición de los dos
semiplanos solución de cada una de las inecuaciones del sistema.
Como se observa en este caso se trata de una región poligonal no acotada.
Veamos otro caso:
2 x  2 y  6

 x y  0
si transformamos el sistema  y  3  x

obtenemos:
 y  x
y si procedemos como en el caso anterior observamos que no tiene solución.
Finalmente consideramos el sistema siguiente:
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 x y 4

 x y 2
2 x  y  2

transformándolo y procediendo
como en las ocasiones anteriores
obtenemos:
 y  4 x

 y  x2
 y  2x  2

Donde la solución es una región poligonal cerrada.
Puntos óptimos de funciones en conjuntos
convexos
Se define una función lineal con dos variables como una expresión de la forma:
f (x, y) = ax + by.
Se observa que para cada valor de "c", el lugar geométrico de los puntos cuyas
coordenadas (x, y) verifiquen f (x, y) = c es la recta de ecuación ax+by = c.
Al variar "c", se obtienen rectas paralelas tales que todas tienen la misma pendiente
─a/b y cortan al eje Y en el punto (0, c/b). Si los valores de x e y no están cerrados,
tampoco lo estarán f (x, y), en cambio, si están restringidos a un cierto conjunto C, la
función no podrá tomar cualquier valor. Se puede entonces hablar de valor máximo o
mínimo (valores óptimos) de f (x, y) en C.
Se cumple el siguiente teorema: "Si una función lineal f (x, y) = ax+by tiene máximo o
mínimo en un conjunto C convexo, toma este valor óptimo en un punto extremo".
En efecto, si lo valor c fuera óptimo y correspondiera a un punto (x, y) interior al
conjunto convexo C, siempre se podrían encontrar dos rectas paralelas a ax+by+c = 0,
en las que f(x, y) tomaría valores mayores o menores que c y no podría ser c máximo o
mínimo. Por lo tanto estos valores sólo pueden presentarse en los puntos extremos.
Usando este teorema, para encontrar los puntos óptimos de f (x, y) en el conjunto
convexo C podemos proceder de dos formes:
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1. Estudiar los valores de la función en los vértices (si su número es reducido) y decidir
en cuál de ellos hay máximo o mínimo. Tengamos en cuenta que si la función toma el
mismo valor en dos vértices consecutivos, también toma ese valor en todos los puntos
del segmento que une esos dos vértices.
2. Representar la función en una gráfica para un valor cualquiera de c (se suele tomar
c=0) y obtener, por simple inspección, desplazando la recta dibujada paralelamente a sí
misma el punto óptimo. Este procedimiento, por ser gráfico es más impreciso salvo que
realizamos el dibujo con mucha precisión. Nosotros utilizaremos el método a) salvo que
el número de vértices sea muy elevado.
Ejemplos
El dilema (P.A.U. Matemáticas II 1997 Universitat de València)
Marc M.M. ha estado trabajando todo el verano para poder pagarse la matrícula del
curso siguiente.
Su problema ahora es decidir el número de créditos teóricos y prácticos en los que se
matriculará, puesto que tienen que cumplirse los requisitos siguientes:
1- Sólo dispone de 84.000 PTA. El precio de un crédito teórico (CT) es de 1.000 PTA, y
el de un crédito práctico (CP) es de 2.000 PTA.
2- Tiene que elegir un mínimo de 20 CT y como máximo 56 CT, y no quiere
matricularse en más de 70 créditos en total.
3- La normativa de su Universidad exige que el número de CP no supero el 20% del
total de créditos elegidos.
Si su objetivo es cursar el mayor número posible de créditos, ¿de cuántos créditos
teóricos y prácticos tendrá que matricularse?
Solución
Sean x los CT que elige e y los CP, entonces
1.000x+2.000y ≤ 84.000
x + y ≤ 70
y ≤ (20/100)(x+y)
x ≥20
x ≤ 56
y≥0
y el objetivo es maximizar x+y.
Con las manipulaciones convenientes quedaría:
Maximizar x + y
Sujeto a:
x + 2y  84 (y  42 – x/2)
x+y  70
(y  70 – x)
x  4y (y x/4)
x  20, x 56, y  0
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Introducimos las funciones en el editor de funciones:
Restringimos el tamaño de la ventana en
-5 x 70 i -5 y 70:
Y observamos que con -5 ≤ y ≤40 es suficiente
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Si trazamos una paralela a la función objetivo (y = ─x) (y = 70─x): observamos que la
solución es la intersección de les tres rectes, x=56 i y=14, con un valor de la función
objetivo (x+y) de 70.
Otra opción es fijarnos en la región factible, es decir, la que contiene las posibles
soluciones. En el gráfico se corresponde con la intersección de los semiplanos. Esta
región es un polígono convexo, cuyos vértices son (22,0), (56,0), (56,14) y (22,22/4).
Como la función es continua y el conjunto en el que hay que maximizarla un convexo
cercado, el máximo se conseguirá en uno de los vértices o en una de sus aristas
(delimitada por dos de sus vértices).
Calculamos los puntos de intersección del semiplanos con la opción Intersección del
submenú Resolución Gráfica del menú Análisis.
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O mediante la opción cal y del submenú Resolución Gráfica del menú Análisis.
Si calculamos el valor de la función objetivo para cada uno de los puntos:
Punto
(20,0)
(56,0)
(56,14)
(20,5)
x+y
20
56
70
25
Observamos que el máximo se consigue para x=56 i y=14 con un valor de la función
objetivo de 70.
El problema de programación lineal con
dos variables
Un problema de programación lineal con dos variables tiene por finalidad optimizar
(maximizar o minimizar) una función lineal:
f (x,y) = ax + by
llamada función objetivo, sujeta a una serie de restricciones presentadas en forma de
sistema de inecuaciones con dos incógnitas de la forma:
a1 x  b1 y  c1 
a2 x  b2 y  c2 


an x  bn y  cn 
Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano. El conjunto
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intersección de todos esos semiplanos recibe el nombre de zona de soluciones factibles.
El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles
básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se denomina solución máxima
(o mínima según el caso).
El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se denomina
valor del programa lineal.
El procedimiento a seguir para resolver un problema de programación lineal en dos
variables será, pues:
1.
2.
3.
4.
Elegir las incógnitas.
Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.
Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.
Averiguar el conjunto de soluciones factibles representante gráficamente las
restricciones.
5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles (si son
pocos).
6. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cuál
de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el problema (hay que
tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución si el recinto no es cerrado).
Problemas PAU
2000
J-A PROBLEMA 2. Una factoría produce coches de los modelos A y B. El beneficio
por la venta de un coche del modelo A es 450 euros, y la venta de uno del modelo B
reporta un beneficio de 600 euros.
La capacidad de la factoría impide producir más de 400 coches por día del modelo A y
más de 300 coches por día del modelo B. Además, no es posible producir diariamente
más de 500 coches entre ambos modelos.
Se vende toda la producción que se hace y se quiere saber, razonadamente, cuántos
coches interesa fabricar de cada modelo para obtener el máximo beneficio.
J-B PROBLEMA 2. Un vendedor de libros usados tiene 180 libros de la editorial A y
160 de la editorial B, con los que se decide hacer dos tipos de lotes, el lote económico
con tres libros de la editorial A y uno de la editorial B, que venderá a 800 PTA., y el
lote selecto con un libro de la editorial A y dos de la editorial B, que venderá a 1.000
PTA. Deducid razonadamente cuántos lotes tiene que hacer de cada tipo para maximizar
sus ingresos al vender todos los lotes.
S-A PROBLEMA 1. Encuentra los máximos y mínimos de la función f (x, y) = 2x+3y-7
en la región limitada por los segmentos que unen: el punto (0,0) y el (0,6); el punto (0,6)
y el (4,4); el punto (4,4) y el (6,0); y el punto (6,0) y el punto (0,0).
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2001
J-A PROBLEMA 2. Una fábrica produce bombillas normales a 900 pesetas cada una y
focos halógenos a 1.200 pesetas cada uno. La capacidad máxima diaria de fabricación
es de 1.000, entre bombillas normales y focos halógenos, si bien no se pueden fabricar
más de 800 bombillas normales ni más de 600 focos halógenos.
Se sabe que la fábrica vende toda la producción. Averiguad razonadamente cuántas
bombillas y cuántos focos tiene que producir para obtener la máxima facturación
posible y cuál sería ésta.
J-B PROBLEMA 3. Una industria fabrica bolígrafos que vende a 400 pesetas cada uno
y plumas estilográficas que vende a 1.200 pesetas cada una. Las máquinas limitan la
producción de forma que cada día no se pueden producir más de 200 bolígrafos ni más
de 150 plumas estilográficas, y el total de la producción (bolígrafos más plumas) no
puede sobrepasar las 250 unidades. La industria vende siempre toda la producción.
Deducid razonadamente cuántos bolígrafos y plumas estilográficas tiene que producir al
día para maximizar el beneficio y cuál sería éste.
S-A PROBLEMA 3. El INSERSO tiene que organizar un viaje para 800 personas con
cierta empresa que dispone de 16 autobuses de 40 plazas cada uno y 20 autobuses de 50
plazas cada uno. El alquiler de un autobús pequeño cuesta 3.000 pesetas y el alquiler de
un autobús grande costa 4.000 pesetas
Averiguad razonadamente cuántos autobuses de cada clase se tienen que contratar para
minimizar el coste y cuál sería el coste mínimo, sabiendo que la empresa sólo dispone
de 18 conductores.
S-B PROBLEMA 1. La función f (x, y) = 2x + 3y está definida en el polígono de
vértices (0,0), (6,0), (6,8), (4,12) y (0,15). Determinad de forma razonada todos los
puntos en los que la función f logra un máximo. Justificad de forma razonada si este
máximo se logra en un sólo punto o no. ¿En qué punto o puntos se logra el máximo?
¿Cuál es el valor del máximo?
2002
J-A PROBLEMA 1. Se considera la región factible dada por el conjunto de
restricciones siguientes:
x y 5
x  3y  9
x  0, y  0
Representad la región factible que determina el sistema de inecuaciones anterior y
calculad de forma razonada el punto o los puntos de la región factible en la que las
funciones siguientes logran su máximo y su mínimo:
a) f x, y   2x  3 y ,
b) f x, y   y  x .
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J-B PROBLEMA 1. Se dispone de 120 refrescos de cola con cafeína y de 180 refrescos
de cola sin cafeína. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de
tipos A contienen tres refrescos con cafeína y tres sin cafeína, y los de tipos B contienen
dos con cafeína y cuatro sin cafeína. El vendedor gana 6 € por cada paquete que venda
de tipo A y 5 € por cada paquete que venda de tipo B. Calculad de forma razonada
cuántos paquetes de cada tipo tiene que vender para maximizar el beneficio y calculad
este beneficio.
S-A PROBLEMA 1. En un terreno se quieren cultivar dos tipos de olivos: A y B. No se
pueden cultivar más de 8 ha con olivos de tipos A ni más de 10 ha con olivos del tipo B.
Cada hectárea de olivos de tipo A necesita 4 m3 de agua anual y cada una de tipo B, 3
m3. Se dispone anualmente de 44 m3 de agua. Cada hectárea de tipo A requiere una
inversión de 500 € y cada hectárea de tipo B, 225 €. Se dispone de 4.500 € para hacer
dicha inversión. Si cada hectárea de olivar de tipo A y B produce, respectivamente, 500
y 300 litros anuales de aceite,
a) Obtened razonadamente las hectáreas de cada tipo de olivo que se tienen que
plantar para maximizar la producción de aceite
b) Obtened la producción máxima de aceite.
S-B PROBLEMA 1. Una empresa fabrica dos tipos de aparatos A y B que necesitan
pasar por los talleres X e Y. En cada uno de los talleres se trabaja 100 horas a la
semana. Cada aparato A requiere 3 horas del taller X y 1 hora del taller Y, y cada
aparato B necesita 1 y 2 horas, respectivamente. Cada aparato A se vende a 100 € y
cada aparato B se vende a 150 €.
a) Obtened razonadamente cuántos aparatos de cada tipo tienen que producirse para
que el ingreso por ventas sea máximo
b) ¿Cuál es el ingreso máximo?
2003
J-A PROBLEMA 2. Una compañía fabrica y vende dos modelos de luces A y B. Para
su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo A y de 30
minutos para el modelo B; y un trabajo de máquina de 20 minutos para el modelo A y de
10 minutos para el modelo B. Se dispone para el trabajo manual de 6.000 minutos al mes
y para el de máquina de 4.800 minutos al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de
15 € para el modelo A y de 10 € para el modelo B, planificad la producción mensual para
obtener el máximo beneficio y calculad éste.
J-B PROBLEMA 2. Tengo que tomar al menos 60 mg de vitamina A y al menos 90 mg
de vitamina B cada día. En la farmacia puedo adquirir dos pastillas de marcas diferentes X e
Y. Cada pastilla de la marca X contiene 10 mg de vitamina A y 15 mg de vitamina B, y
cada pastilla de la marca Y contiene 10 mg de cada vitamina. Además, no es conveniente
tomar más de 8 pastillas diarias. Sabiendo que el precio de cada pastilla de la marca X es de
50 céntimos de euro y que cada pastilla de marca Y cuesta 30 céntimos de euro, calculad de
forma razonada:
a) Cuántas pastillas diarias de cada marca tengo que tomar porque el coste sea mínimo, y
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b) Cuál es el coste mínimo.
S-A PROBLEMA 2. Una empresa dispone de un máximo de 16.000 unidades de un
producto que puede vender en unidades sueltas o en lotes de cuatro unidades. Para
empaquetar un lote de cuatro unidades se necesita el triple de material que para
empaquetar una unidad suelta. Si se dispone de material para empaquetar 15.000
unidades sueltas, y si el beneficio que se obtiene por la venta de cada unidad suelta es de
2 € y de cada lote de cuatro unidades es de 7 €, calculad de forma razonada el número
de unidades sueltas y de lotes de cuatro unidades que se tiene que preparar para
maximizar el beneficio y calculad éste.
S-B PROBLEMA 2. Se pretende invertir en dos productos financieros A y B. La
inversión en B tiene que ser al menos de 3.000 € y no se quiere invertir en A más del
doble que en B. Se supone que A proporcionará un beneficio del 10% y B del 5%. Si se
dispone de 12.000 €, calculad de forma razonada cuánto se tiene que invertir en cada
producto para maximizar el beneficio y determinad éste.
2004
J-A PROBLEMA 2. Un banco dispone de 18 millones de euros para ofrecer préstamos
de riesgo alto y medio, con rendimientos del 14% y 7%, respectivamente. sabiendo que
se tiene que dedicar al menos 4 millones de euros a préstamos de riesgo mediano y que
el dinero invertido en alto y mediano riesgo tiene que estar como máximo a razón de 4 a
5, determinad cuánto tiene que dedicarse a cada uno del tipo de préstamo para
maximizar el beneficio y calculad éste.
J-B PROBLEMA 2. Un tren de mercancías puede arrastrar, como máximo, 27
vagones. En cierto viaje, transporta coches, y motocicletas. Para coches tiene que
dedicar un mínimo de 12 vagones y para motocicletas no menos de la mitad de los
vagones que dedica a los coches. Si los ingresos de la compañía ferroviaria son de 540 €
por vagón de coches y 360 € por vagón de motocicletas, calculad cómo se tienen que
distribuir los vagones para que el beneficio del transporte de coches y motocicletas sea
máximo y cuánto vale este beneficio.
S-A PROBLEMA 2. Un fabricante produce en dos talleres tres modelos diferentes de
archivadores, el A, el B y el C. Se ha comprometido a entregar 12 archivadores del
modelo A, 8 del B y 24 del C. Al fabricante le cuesta 720 € al día el funcionamiento del
primer taller y 960€ el del segundo. El primer taller produce diariamente 4 archivadores
del modelo A, 2 del B y 4 del C, mientras que el segundo produce 2, 2 y 12
archivadores, respectivamente. ¿Cuántos días tiene que trabajar cada taller para,
cumpliendo el contrato, conseguir reducir al máximo los costes de funcionamiento?
¿Cuál es el valor del mencionado coste? ¿Quedaría algún excedente de algún producto
en los talleres? En caso afirmativo, determinad cuánto.
x y6
S- B PROBLEMA 2. Calculad los puntos de la región definida por
2 x  y  15
3 x 6
2 y5
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en los que la función z  3x  2 y toma los valores máximo y mínimo. Calculad los
mencionados valores.
2005
J-A PROBLEMA 2. Las necesidades vitamínicas diarias de una persona son de un
mínimo de 36 mg de vitamina A, 28 mg de vitamina C y 34 mg de vitamina D. Estas
necesidades se cubren tomando pastillas de la marca Energic y de la marca Vigor. Cada
pastilla de la marca Energic costa 0,03 € y proporciona 2 mg de vitamina A, 2 mg de
vitamina C y 8 mg de vitamina D. Cada pastilla de la marca Vigor cuesta 0,04 € y
proporciona 3 mg de vitamina A, 2 mg de vitamina C y 2 mg de vitamina D. ¿Cuántas
pastillas de cada marca se tienen que tomar diariamente si se desea cubrir las
necesidades vitamínicas básicas con el menor coste posible? Determinad el mencionado
coste.
J-B PROBLEMA 2. Un vendedor dispone de 350000 € para invertir en dos tipos de
microondas. El que dispone de más accesorios tiene un coste de 150 € y reporta un
beneficio de 15 € por unidad vendida, mientras que el otro modelo sólo proporciona un
beneficio de 11 € por unidad vendida y tiene un coste de 100 €. Sabiendo que sólo se
pueden almacenar 3000 microondas y que no se venderán más de 2000 del modelo más
caro, determinad cuántos microondas de cada clase se deben comprar para maximizar el
beneficio y calculad éste.
S-A PROBLEMA 2. Representad la región factible dada por el sistema de
inecuaciones:
x  y  1
x2
y  1
x  3y  1/ 2
y encontrad los puntos de la región factible donde la función f x, y   2 x  3 y logra los
valores máximo y mínimo y obtened tales valores.
S-B PROBLEMA 2. Una empresa farmacéutica tiene en la actualidad dos líneas de
investigación, la de medicamentos antiinflamatorios no esteroides y la de fármacos
ansiolíticos. Desea invertir en la investigación como máximo tres millones de euros, con
la condición de dedicar al menos 1,5 millones de euros a los ansiolíticos, con los que
espera obtener un beneficio del 10%. En cambio en la investigación sobre
medicamentos antiinflamatorios, aunque se calcula un beneficio del 25% no tiene que
invertir más de un millón de euros. ¿Qué cantidad tiene que dedicar a cada línea de
investigación para maximizar beneficios, si además tiene que dedicar a los ansiolíticos
al menos el doble de dinero que a los antiinflamatori0s? ¿Qué beneficio obtendrá de este
modo la empresa?
2006
J – B PROBLEMA 2. Una refinería de petróleo adquiere dos tipos de crudo, ligero y
pesado, a un precio de 70 y 65 euros por barril, respectivamente. Con cada barril de
crudo ligero la refinería produce 0,3 barriles de gasolina 95, 0,4 barriles de gasolina 98
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y 0,2 barriles de gasóleo. Así mismo, con cada barril de crudo pelmazo produce 0,1, 0,2
y 0,5 barriles de cada uno de estos tres productos, respectivamente. La refinería tiene
que suministrar al menos 26.300 barriles de gasolina 95, 40.600 barriles de gasolina 98
y 29.500 barriles de gasóleo. Determina cuántos barriles de cada tipo de crudo tiene que
comprar la refinería para cubrir sus necesidades de producción con un coste mínimo y
calcula éste.
S-A PROBLEMA 2. Una destilería produce dos tipos de whisky blend mezclando sólo
dos maltas destiladas distintas, A y B. El primero tiene un 70% de malta A y se vende a
12 €/litro, mientras que el segundo tiene un 50% de dicha malta y se vende a 16 €/litro.
La disponibilidad de las maltas A y B son 132 y 90 litros, respectivamente. ¿Cuántos
litros de cada uno de los whiskys tiene que producir la destilería para maximizar sus
ingresos, sabiendo que la demanda del segundo whisky nunca supera a la del primero en
más del 80%? ¿Cuáles serían en este caso los ingresos de la destilería?
2007
J-A PROBLEMA 2. Una fábrica de fertilizantes produce dos tipos de adobo, A y B, a
partir de dos materias primas M1 y M2. Para fabricar una tonelada de A hacen falta 500
kg de M1 y 750 kg de M2, mientras que las cantidades de M1 y M2 utilizadas para
fabricar 1 tm de B son 800 kg y 400 kg, respectivamente. La empresa tiene contratado
un suministro máximo de 10 tm de cada una de las materias primeras y vende a 1.000 €
y 1.500 € cada tm de adobo A y B, respectivamente. Sabiendo que la demanda de B
nunca llega a triplicar la de A, ¿cuántas toneladas de cada uno de los adobos tiene que
fabricar para maximizar sus ingresos y cuáles son éstos?
J-B PROBLEMA 2.
a) Representa gráficamente el conjunto de soluciones del sistema determinado por
las inecuaciones siguientes:
3𝑦 − 4𝑥 ≤ 0,
𝑦 ≥ −4𝑥 + 4,
𝑦 ≥ 2,
𝑥≤1
b) Encuentra los vértices de la región anterior.
c) Calcula el punto donde alcanza el mínimo la función f ( x, y)  3x  y en dicha
región. Determina este valor mínimo.
2008
J-A PROBLEMA 2.
a) Representa gráficamente el conjunto de soluciones del sistema de inecuaciones:
3 x  2 y  5

 x  2 y  1
5 x  4 y  16


 x y 5
b) Determina los vértices de la región obtenida en el apartado anterior.
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c) Calcula el punto donde alcanza el mínimo la función f ( x, y)  3x  y en dicha
región. Determina este valor mínimo.
S-B PROBLEMA 2. Un cierto armador se dedica a la pesca de rape y merluza. Las
cuotas pesqueras imponen que sus capturas totales no excedan las 30 toneladas (Tm).
Por otro lado, la cantidad de rape como máximo puede triplicar a la de merluza y,
además, esta última no puede superar las 18 Tm. Si el precio del rape es de 15 €/kg y el
de la merluza 10 €/kg, ¿qué cantidades de cada especie tiene que pescar para maximizar
sus ingresos?
2009
J-PROBLEMA A1. Un frutero quiere liquidar 500 kg de naranjas, 400 kg de manzanas
y 230 de peras. Para ello prepara dos bolsas de fruta de oferta: la bolsa A consta de 1 kg
de naranjas y 2 de manzanas, y la bolsa B consta de 2 kg de naranjas, 1 kg de manzanas
y 1 kg de peras. Por cada bolsa del tipo A obtiene un beneficio de 2,5 euros, y 3 euros
por cada una del tipo B. Suponiendo que vende todas las bolsas, ¿cuántas bolsas de cada
tipo tiene que preparar para maximizar sus ganancias? ¿Cuál es el beneficio máximo?
S-PROBLEMA D1. Una empresa construirá dos tipos de apartamentos, uno de lujo y
otro de súper lujo. El coste del modelo de lujo es de 1 millón de euros y del de súper
lujo de 1,5 millones. Dispone para la operación de 60 millones de euros. Para evitar
riesgos, se cree conveniente construir al menos tantos apartamentos de lujo como de
súper lujo y, en todo caso, no construir más de 45 apartamentos de lujo. ¿Cuántos
apartamentos de cada tipo interesa construir a la empresa si quiere maximizar el número
total de apartamentos construidos? ¿Agotará el presupuesto disponible?
PROBLEMA D2. Atendido el sistema de inecuaciones siguiente:
 x  2
x  3y  5  0

 y  4 x  6
3 y  x  4
y  x  2

a) Representa gráficamente el conjunto de soluciones y determina los vértices.
b) Obtén los puntos donde la función f ( x, y)  2 x  3 y logra los valores mínimo y
máximo en la mencionada región.
2010
J-A PROBLEMA 1. En un horno mallorquín se fabrican dos tipos de ensaimadas,
grandes y pequeñas. Cada ensaimada grande requiere para la elaboración 500 g de
masa y 250 g de relleno, mientras que una pequeña requiere 250 g de masa y 250 g de
relleno. Se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de relleno. El beneficio obtenido por la
venta de una ensaimada grande es de 2 euros y el de una pequeña es de 1,5 euros.
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a) ¿Cuántas ensaimadas de cada tipo tiene que fabricar el horno para que el beneficio
obtenido sea máximo?
b) ¿Cuál es el beneficio máximo?
S-A PROBLEMA 1. Un ganadero dispone de alimento concentrado y forraje para
alimentar sus vacas. Cada kg de alimento concentrado contiene 300 g de proteína cruda
(PC), 100 g de fibra cruda (FC) y 2 Mcal de energía limpia de lactancia (ENL), y su
coste es 11 euros. Por otro lado, cada kg de forraje contiene 400 g de PC, 300 g de FC y
1 Mcal de ENL, siendo su coste 6,5 euros. Determina la ración alimentaria de mínimo
coste si sabemos que cada vaca tiene que ingerir al menos 3500 g de PC, 1500 g de FC
y 15 Mcal de ENL. ¿Cuál es el coste?
2011
S-A PROBLEMA 1. El amo de una tienda de golosinas dispone de 10 paquetes de
pipas, 30 chicles y 18 bombones. Decide que para venderlas mejor confeccionará dos
tipos de paquetes: el tipo A estará formado por un paquete de pipas, dos chicles y dos
bombones y se venderá a 1,5 euros. El tipo B estará formado por un paquete de pipas,
cuatro chicles y un bombón y se venderá a 2 euros. ¿Cuántos paquetes de cada tipo
conviene preparar para conseguir los ingresos máximos? Determinad los ingresos
máximos.
2012
J-A PROBLEMA 1. Un comerciante quiere invertir hasta 1000 euros en la compra de
dos tipos de aparatos, A y B, y puede almacenar hasta 80 aparatos. Cada aparato de tipo
A le cuesta 15 euros y lo vende a 22, cada uno del tipo B le cuesta 11 y lo vende a 17
euros. ¿Cuántos aparatos tiene que comprar de cada tipo para maximizar el beneficio?
¿Cuál es el beneficio máximo?
S-B PROBLEMA 1. Sea el siguiente sistema de inecuaciones lineales:
𝑥+𝑦 ≥1
𝑥+𝑦 ≤2
−𝑥 + 𝑦 ≤ 1
𝑥−𝑦 ≤1
a) Resolvedlo gráficamente.
b) Calculad el máximo y el mínimo de la función z = 2x + y en el conjunto solución
de este sistema.
2013
JL-B PROBLEMA 1. Un estudiante reparte propaganda publicitaria para conseguir
ingresos. Le pagan 8 cts. de euro por cada uno de los impresos colocados al parabrisas
de un coche y 12 cts. por cada uno depositado en un buzón. Ha calculado que cada día
puede repartir como máximo 150 impresos y la empresa le exige diariamente que la
diferencia entre los colocados en coches y el doble de los colocados en buzones no sea
inferior a 30 unidades. Además, tiene que introducir en buzones al menos 15 impresos
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diariamente. ¿Cuántos imprimidos tiene que colocar en coches y buzones para
maximizar sus ingresos diarios? ¿Cuál es este ingreso máximo?
2014
J-A PROBLEMA 1. Representa gráficamente la región determinada por el sistema de
inecuaciones:
𝑦
2
760𝑥 + 370𝑦 ≤ 94500
𝑥
𝑦 + ≥ 100
2
𝑥≥
y calcula sus vértices. ¿Cuál es el máximo de la función f (x, y) = x + y en esta región?
¿En qué punto se consigue?
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