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Pontificia Universidad Católica de Chile
Escuela de Ingenierı́a
Teorı́a Electromagnética
Ayudantı́a 4
0.1.
Condiciones de borde en la frontera
Las condiciones que deben satisfacer los campos electromagnéticos en una zona interfacial
que separa dos medios se deducen, por supuesto, de las ecuaciones de Maxwell. La más simple
de deducir es la que cumple la condición para la componente normal del campo magnético, y
se obtiene a partir de la ecuación
~ · B(t,
~ ~x) = 0
∇
En cualquier zona interfacial entre dos medios se puede construı́r una superficie cilı́ndrica
como se muestra en la figura
Integrando la ecuación de Maxwell sobre el volumen limitado por el cilindro se obtiene
˚
ˆˆ
3 ~
~
~ x) · B(t,
~ ~x) = 0
d x∇ · B(t, ~x) = dS(~
V
¨
~ 1 (t, ~x) +
dS1 n̂1 · B
S1
S(V )
¨
¨
~ 2 (t, ~x) +
dS2 n̂2 · B
S2
~ ~x) = 0
dS3 n̂3 · B(t,
S3
~ ~x) es finito, el último
donde S3 es el manto del cilindro, mientras S1 y S2 las tapas. Si B(t,
término se puede anular si h → 0. Además, en este lı́mite (h → 0) las superficies S1 y S2 son
prácticamente las mismas, S1 → S2 , con n̂1 = −n̂2 y entonces
ˆˆ
¨
~
~
~ 1 (t, ~x) − n̂1 · B
~ 2 (t, ~x) = 0
x) =
dS1 n̂1 · B
dS(x̂) · B(t, ~
S(V )
S1
~ 1 (t, ~x) − n̂1 · B
~ 2 (t, ~x) = 0
n̂1 · B
Es decir, la componente normal del campo magnético es continua al atravesar un medio
B1n = B2n
Ahora veremos que la componente tangencial del campo eléctrico es continua. A partir de
la ecuación
~
~ × E(t,
~ ~x) + ∂ B(t, ~x) = 0
∇
∂t
Integremos esta ecuación sobre una superficie plana rectangular como la de la figura
El contorno de S es el camino Γ indicado en la figura. Utilizando el teorema de Stokes
ˆˆ
~
x) ·
dS(~
S
ˆˆ
˛
~ ~x)
∂ B(t,
~
~
~
~
∇ × E(t, ~x) = d~x · E(t, ~x) = − dS(~
x) ·
∂t
Γ
S
En el caso en que h1 → 0, h2 → 0
lE1t − lE2t = 0
la integral de superficie por supuesto es nula ya que la superficie total tiende a cero
S →(suponemos que la derivada temporal del campo magnético es finita). De aquı́ se deduce
~ ~x) debe ser continua al atravesar una interfaz entre dos
que la componente tangencial de E(t,
medios
E1t = E2t
Utilizando ahora la primera ecuación de Maxwell
~ · D(t,
~ ~x) = ρ(t, ~x)
∇
y utilizando la misma superficie para el caso del campo magnético (cilindro de altura h) se
obtiene
˚
˚
3 ~
~
d x∇ · D(t, ~x) =
d3 xρ(~x)
ˆˆ
V
V
¨
~ x) · D(t,
~ ~x) =
dS(~
V (S)
d3 xρ(~x)
V
si h → 0, entonces
(D1n − D2n ) A = σA
2
donde A es la superficie de las tapas, y σ es la densidad superficial de carga en la frontera
~ ~x) es discontinua al
que divide a los dos medios. Ası́, la componente normal del campo D(t,
atravesar una superficie cargada
~
~
D1 − D2 n̂21 = σ
con n21 la normal desde 2 hacia 1. Equivalentemente para medios lineales
~
~
1 E1 − 2 E2 n̂21 = σ
Por último, de la ecuación
~ × H(t, ~x) = J(t,
~ ~x) + ∂D(t, ~x)
∇
∂t
y utilizando la misma superficie de integración que el caso del campo eléctrico, se obtiene
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
∂D(t, ~x)
~
~
~
~
x) · ∇ × H(t, ~x) = dS(~x) · J(t, ~x) + dS(~
x) ·
dS(~
∂t
S
S
S
˛
ˆˆ
ˆˆ
∂D(t, ~x)
~
~
~
x) ·
d~x · H(t, ~x) = dS(~x) · J(t, ~x) + dS(~
∂t
S
S
Γ
~ es finita
Si nuevamente h1 y h2 tienden a cero, y la derivada temporal del campo D
~
~
~
(H1 − H2 ) · l = J(t, ~x) · n̂21 × l
donde n21 es la normal desde el medio 2 al medio 1, y ~l es un vector de magnitud l y
~ ~x) es discontinua
dirección tangente a la interfaz. Es decir, la componente tangencial de H(t,
al atravesar un medio con densidad de carga superficial en la interfaz
~
~
(H1 − H2 ) · l = J(t, ~x) × n̂21 · ~l
~
~
H1 − H2 = J~ × n̂21
Esto se puede reescribir
~
~
n̂21 × H1 − H2 = J~
Resumen
Al atravesar una interfaz entre dos medios (1 y 2), los campos electromagnéticos satisfacen
B1n = B2n
E1t = E2t
~1 − D
~ 2 · n̂21 = σ
D
~
~
H1 − H2 = J~ × n̂21
3
0.2.
Condiciones de Borde para incidencia normal
Las ondas electromagnéticas que se propagan en materiales generalmente entran en el material a través de una frontera entre éste y otro medio, que puede ser por ejemplo, aire o vacı́o.
Aquı́ utilizaremos las condiciones de borde que satisfacen los campos para el caso de ondas
que inciden normalmente sobre una interfaz. (Esto significa que la dirección de propagación es
perpendicular a la frontera). Veremos que la onda incidente será acompañada por una onda
reflejada y una transmitida. Consideremos el caso que se muestra en la figura
~ i (x, z), H
~ i (y, z)) que se desplaza en el sentido positivo de z,
Se aprecia una onda incidente (E
~ r (x, z), H
~ r (y, z) describen la onda reflejada que se desplaza en el sentido negativo
los campos E
~ t (x, z), H
~ t (y, z) describen la onda transmitida. La interfaz es el plano z = 0, con el
de z, y E
medio 1 a la izquierda y el medio 2 a la derecha. Más concretamente
~ i (t, z) = E i e−ikz eiwt î
E
~ r (t, z) = E r eikz eiwt î
E
~ t (t, z) = E t e−ikz eiwt î
E
~ i (t, z) = H i e−ikz eiwt ĵ
H
~ r (t, z) = −H r eikz eiwt ĵ
H
~ t (t, z) = H t e−ikz eiwt ĵ
H
Estas son ondas planas que se propagan en dirección z. Son soluciones a las Ecuaciones de
Maxwell si
k = β − iα
Con α y β encontrados anteriormente (Son propiedad de la frecuencia y del medio en el cual
se propagan las ondas). Interesa determinar que relación se cumple entre las magnitudes de
los campos incidentes, reflejados y transmitidos. Para ello, usaremos el hecho de que el campo
eléctrico debe ser continuo en z = 0 (es completamente transversal a la interfaz). Esto significa
~ i (t, 0) + E
~ r (t, 0) = E
~ t (t, 0)
E
o bien
Ei + Er = Et
~ z) es también
Además, si no hay una corriente superficial en la interfaz, el campo H(t,
continuo en z = 0
~ i (t, 0) + H
~ r (t, 0) = H
~ t (t, 0)
H
4
o bien
Hi − Hr = Ht
~ y H
~ están dadas por las impedancias
Además, para cada onda las magnitudes entre E
intrı́nsecas del medio. En resumen, se debe resolver lo siguiente
Ei + Er = Et
Hi − Hr = Ht
Ei
Er
=
η
=
1
Hi
Hr
Et
= η2
Ht
Utilizando la última junto a las dos primeras se obtiene lo siguiente
Et
Ei + Er
=
η
=
2
Ht
Hi − Hr
η2 =
η2 = η1
Ei + Er
1
(E i − E r )
η1
Ei + Er
→ E i (η2 − η1 ) = E r (η1 + η2 )
Ei − Er
Finalmente
r
E =E
i
η2 − η1
η1 + η2
2η2
E =E
η1 + η2
η2 − η1
r
i
H =H
η1 + η2
2η1
t
i
H =H
η1 + η2
t
i
~ r = 0, H
~ r = 0, lo cual es evidente pues en este caso
Es inmediato que si η1 = η2 , entonces E
no existe ninguna interfaz. Recordar que la impedancia de un medio está dada en general por
r
iwµ
η=
σ + iw0
Para un buen conductor
r
wµ iπ/4
η≈
e
σ
Para un medio dieléctrico perfecto (conductividad nula)
r
µ
η=
5
Para el espacio vacı́o
r
η=
0.2.1.
µ0
= 120π
0
Incidencia Normal en un conductor perfecto: Ondas estacionarias
Un caso particular interesante de la ley de reflexión y transmisión en una interfaz para
ondas que inciden normalmente es cuando el medio 2 es un conductor perfecto. En este medio,
la impedancia intrı́nseca tiende a cero
r
iwµ
=0
lı́m η2 = lı́m
σ→∞
σ→∞
σ + iw0
Luego, se cumple
−η1
r
i
= −E i
E =E
η1
Et = 0
−η1
r
i
H =H
= −H i
η1
Ht = 0
Es decir, la onda es completamente reflejada. Veremos que esta condición da origen a la
creación de una onda estacionaria. El campo eléctrico total queda
~ z) = E
~ i (t, z) + E
~ r (t, z)
E(t,
~ z) = E i e−ikz eiwt î − E i eikz eiwt î
E(t,
~ z) = E i eiwt î e−ikz − eikz
E(t,
Si el medio 1 es un dieléctrico perfecto, entonces k = β (α = 0)
~ z) = E i eiwt î e−iβz − eiβz = −2i sin(βz)E i eiwt î
E(t,
Tomando la parte real
~ z) = 2E i sin(βz) sin(wt)î
E(t,
Esta es una onda que se anula para valores determinados de z (∀t), dados por
z=
nπ
wnπ
fn
=
=
β
c
2λf
n
, n = 0, ±1, ±2, ...
2λ
donde λ es la longitud de onda en el medio 1.
z=
6
Por otra parte, el campo eléctrico se anula para todo t tal que
nπ
, n = 0, ±1, ±2, ...
w
Esta onda es llamada estacionaria puesto que no se propaga, sino que simplemente oscila
en el espacio y el tiempo.
sin wt = 0 → t =
Para el campo magnético se tiene
~ z) = H
~ i (t, z) + H
~ r (t, z)
H(t,
~ z) = H i e−iβz eiwt ĵ + H i eiβz eiwt ĵ
H(t,
~ z) = H i eiwt ĵ e−iβz + eiβz = 2H i eiwt cos(βz)ĵ
H(t,
tomando la parte real
~ z) = 2H i cos(βz) cos wtĵ
H(t,
Se anula para
1 π
π
βz = + nπ → z = n +
2
2 β
n 1
+
λ, n = 0, ±1, ±2, ...
z=
2 4
Además, se aprecia que se anula para todo t tal que
cos wt = 0
Se aprecia que para ondas estacionarias, el campo eléctrico y magnético están en un desfase
de π/2
Figura 1: Ondas estacionarias se pueden lograr al confinar ondas electromagnéticas entre dos
planos perfectamente conductores
7
Problema
~ 1 = 1,2î + 0,8ĵ + 0,4k̂ (T). Encuentre H
~ 2 (H
~ en z = +0)
En la región 1 de la figura, B
Solución
Se tiene
~ 1 = 1,2î + 0,8ĵ + 0,4k̂
B
la componente normal del campo magnético a una superficie es siempre continua, es decir
~ 1 · ẑ = B
~ 2 · ẑ
B
se desprende que el campo magnético en z = 0+ es de la forma
~ 2 = B2x î + B2y ĵ + 0,4k̂
B
Además, en la regiòn 1 la permeabilidad está dada por
µ1 = µr1 µ0 = 15µ0
~ en z = 0− es
de forma que el campo H
1 1 ~
B1 =
1,2î + 0,8ĵ + 0,4k̂
15µ0
15µ0
~ es continua al atravesar una superficie sin densidad de
La componente tangencial de H
~ en z = 0+ es de la forma
carga superficial. Suponiendo que éste es el caso, el campo H
~2 = 1
H
1,2î + 0,8ĵ + H2z k̂
15µ0
~1 =
H
En resumen
~ 2 = B2x î + B2y ĵ + 0,4k̂
B
1 ~
H2 =
1,2î + 0,8ĵ + H2z k̂
15µ0
Además
~2 = 1 B
~2 = 1 B
~2
H
µ2
µ0
luego
1,2
15
0,8
=
15
B2x = µ0 H2x =
B2y = µ0 H2y
8
B2z = µ0 H2z = 0,4 → H2z =
Finalmente
~2 =
H
0,4
µ0
0,4
1 1,2î + 0,8ĵ +
k̂
15µ0
µ0
9
Problema
~ de 500 Mhz viaja por el espacio libre e incide perpendicularmente sobre un medio
Un campo E
parcialmente conductor como se ilustra en la figura. Si la amplitud del campo incidente es
~ i0 = 100 V /m, determine
E
a) Las amplitudes de las ondas una vez atravesado completamente el medio (Et0 , Ht0 )
b) La potencia temporal que porta la onda incidente
c) La potencia temporal que porta la onda transmitida nuevamente al espacio
Solución
Definimos el eje ẑ como se indica en la figura, donde el origen coincide con el extremo izquierdo
del medio parcialmente conductor
La onda incidente está descrita por
~ i = Ei0 ei(5×108 t−βz) î, z < 0
E
donde la constante de propagación en el vacı́o está dada por
β=
w
√
= 5 × 108 µ0 0
c
Al incidir normalmente sobre el medio conductor, parte de la onda se refleja, y otra es
transmitida hacia el medio. Si Em0 es la amplitud de la onda transmitida en la interfaz (z = 0),
entonces se cumple
2ηm
Em0 = Ei0
η0 + ηm
10
donde ηm es la impedancia intrı́nseca del medio conductor
s
r
iwµ
i5 × 108 µ0
=
η2 =
σ + iw
1 + i5 × 108 550
η2 = 44,5594 + i13,2865
El que sea un número complejo implica que existirá un desfase entre la onda incidente y la
onda transmitida al medio. η0 es la impedancia intrı́nseca del vacı́o
r
µ0
η0 =
= 120π
0
Ası́, para Ei0 = 100
Em0 = 21,3182 + i5,63173i = 22,0495ei0,258274
Con esto, la onda transmitida al medio parcialmente conductor está descrita por
~ m (t, z) = Em0 e−αm z ei(wt−βm z) , 0 < z < 30 × 10−3
E
~ m (t, z) = 22,0495e−αm z ei(5×108 t−βm z+0,258274) , 0 < z < 30 × 10−3
E
donde la constante de atenuación (αm ) en este medio está dada por
v
!
r
u
σ 2
u µ
1+
αm = wt
−1
2
w
v
s

u
2
u
1
u µ0 550 
1+
αm = 5 × 108 t
− 1 = 24,26005
2
5 × 108 550
Ası́
~ m (t, z) = 22,0495e−24,26005z ei(5×108 t−βm z+0,258274) , 0 < z < 30 × 10−3
E
La magnitud del campo en z = 30 × 10−3 es
−3
Emt = 22,0495e−24,26005×30×10
= 10,6491
Si Et0 es la amplitud del campo eléctrico transmitido nuevamente al vacı́o, se cumple
2η0
|= 19,0375
Et0 = Emt |
η0 + ηm
~ se relaciona con la del campo eléctrico según
la amplitud del campo H
Et0
= η0
Ht0
Ht0 =
η0
= 0,0504984
Et0
11
b) El promedio temporal del vector Poynting de la onda incidente es
D E
2
~i = Ei0 k̂ = 13,2629k̂(W/m2 )
S
2cµ0
c) Para la onda transmitida nuevamente al vacı́o
D E
2
~t = Et0 k̂ = 0,480681k̂(W/m2 )
S
2cµ0
12
Problema
Se requiere que Ud. haga una estimación de la intensidad de campo eléctrico, en V /m, que
requerirrı́a generar un radar de 2 Ghz de penetración de suelo, con el objeto de detectar piezas
metálicas de gran tamaño, enterradas a una profundidad de hasta 2 metros. Dependiendo de
la composición y la humedad del terreno, este puede tener el siguiente rango de parámetros
10−4 ≤ σ ≤ 10−2
3 ≤ rt ≤ 8
µrt = 1
Por otra parte se estima que las piezas enterradas tienen el siguiente rango de parámetros
107 ≤ σm ≤ 6 × 107
1 ≤ µrm ≤ 7000
rm = 1
Se requiere saber que intensidad de campo eléctrico en V /m se requiere en el aire, sobre
la superficie del terreno, para detectar en el aire sobre la superficie del terreno, un rebote del
objeto metálico que tenga una amplitud de 1V /m, asumiendo incidencia normal
Solución
Para estimar la intensidad mı́nima de campo eléctrico que debe generar el radar, debemos
suponer la peor situación posible. Supondremos que hay una pieza metálica situada a 2 m de
profundidad en la tierra. El caso menos favorable para la propagación en la tierra es cuando ésta
presenta su máxima conductividad (mayor atenuación). Más aún, para que ésta se comporte
como un buen conductor (atenuante) debe tenerse σt >> wt , de forma que consideramos el
caso de mayor conductividad y menor constante dieléctrica.
La reflexión en la placa metálica será buena en la medida que ηm (impedancia intrı́nseca del
metal) sea lo más pequeña posible. De esta forma, el peor de los casos para la reflexión en la
pieza metálica ocurre cuando ηm toma su máximo valor posible, y entonces cuando posee la
menor conductividad y la mayor permeabilidad magnética.
~ i (campo emitido por el radar en la
En la figura de arriba se aprecia una onda incidente E
~ ti , que se propaga en dirección −z, esta onda
superficie), y una onda transmitida en la tierra E
será reflejada por la pieza metálica en z = 0
13
En esta figura se muestra el campo que se ha reflejado en el metal y se propaga hacia la
~ rm , y la onda recibida finalmente en la superficie, llamada E
~ t.
superficie, que llamaremos E
Sabemos que esta última tiene una magnitud de Et = 1 (V /m). La magnitud de la onda
reflejada en el metal se describe por
Erm (z) = Er0 e−αz
donde α es el coeficiente de atenuación en la tierra
v
s

u
2
u
σt
u µt t 
− 1
α = wt
1+
2
wt
con w = 2 × 109 Hz, σt = 10−2 (S/m), µt = 4π10−7 = µ0 , t = rt 0 = 3 × 8,854 × 10−12 .
Reemplazando estos valores
α = 1,08742
Debido a las condiciones de contorno en la interfaz (z = 2), se cumple
Et = 1 = E |
2η0
|
η0 + ηt
~ rm en z = 2, y η0 es la impedancia intrı́nseca del aire,
donde E es la magnitud del campo E
considerada igual a la del vacı́o.
r
µ0
= 120π
η0 =
0
y la impedancia intrı́nseca de la tierra
r
iwµ0
ηt =
= 217,434 + i3,2564
σt + iw0 rt
con esto se obtiene
E=|
η0 + ηt
|= 0,788393V /m
2η0
Además
E = Erm (z = 2) = Er0 e−α2 = Er0 e−1,08742×2
de donde la magnitud de la onda reflejada en el metal en z = 0 es
Er0 = Ee1,08742×2 = 6,93842V /m
14
~ ti que fue transmitida a la
Ahora, esta onda reflejada en el metal proviene de la onda E
tierra. La magnitud de esta última se puede expresar como
Eti = E0 eαz
donde E0 (magnitud en z = 0) está relacionada con Er0 mediante
Er0 = E0 |
ηm − ηt
|
ηm + ηt
donde la impedancia intrı́nseca de la pieza de metal es
r
iwµ0 µm
ηm =
σm + iw0 m
con w = 2 × 109 Hz, σm = 107 (S/m), µm = 700, m = 1 resulta
ηm = 2,35095 + i2,35095
Notar que es un complejo con fase π/4, que es lo que se obtiene para un buen conductor.
Con todo esto
E0 = Er0 |
ηm + ηt
|= 7,09235
ηm − ηt
Justo en z = 2, la magnitud de la onda transmitida a la tierra es
Eti (2) = E0 eαz = 7,09235e1,08742×2 = 62,4177V /m
Si Ei es la magnitud de la onda que emite el radar en la superficie, entonces se cumple
Eti (2) = Ei |
Ei = 62,4177 |
2ηt
|
ηt + η0
ηt + η0
|
2ηt
Ei = 85,3109
Es decir, se requiere emitir un campo de magnitud aproximadamente Ei = 85, 3 (V /m)
15