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Mecánica Clásica
Guia N◦ 3 - Primer Semestre de 2007.
Oscilador armónico.Oscilaciones libres.Oscilaciones amortiguadas. Oscilaciones
forzadas. Péndulo.
Un cuerpo, colocado sobre un resorte vertical, lo comprime en condiProblema 1:
ciones de equilibrio, 10 cm. ¿ Cuál es la frecuencia caracterı́stica de oscilación de este
cuerpo sobre el resorte?.
Problema 2:
Supongamos que un cuerpo de masa m está sujeto a dos resortes, en la
forma indicada en la figura. ¿Cuál será la frecuencia de oscilación cuando las resortes
están en (a) serie y (b) paralelo?.
Un cuerpo de 0.5 kg realiza un movimiento armónico al colocarlo en
Problema 3:
el extremo de un resorte. La pulsación caracter/́istica del cuerpo es ωo = 10 s−1 .
(a) ¿Cuál es la constante del resorte?.
(b) Si se desplaza el cuerpo 20 cm a partir de su posición de equilibrio y luego se suelta,
¿ cuáles son los valores máximos (amplitudes) del desplazamiento, velocidad y
aceleración del movimiento subsiguiente?.
(c) ¿Cuáles son las energı́as total, potencial máxima y cinética máxima?.
Un cuerpo de masa m se halla sobre un plano horizontal sin rozamiento
Problema 4:
y está sujeto a la unión de dos resortes horizontales de constantes K1 y K2 . Las
longitudes de los dos resortes, cuendo están libres son iguales y valen L. Se tira de los
extremos libres de los resortes y se sujetan a dos paredes fijas separadas 3L, como se
indica en la figura.
(a) Determinar la posición de equilibrio del cuerpo. ¿Cuál es la constante del resorte?.
(b) ¿Cuál es la frecuencia de oscilación del cuerpo respecto de la posición de equilibrio?.
Problema 5:
En el diagrama de la figura el resorte tiene una masa despreciable y
una longitud libre de 30 cm. Un cuerpo de 2 kg unido al resorte puede moverse sobre
una superficie plana horizontal sin rozamiento. A dicho cuerpo se le ata un hilo que
pasa por una polea sin rozamiento y de la cual pende un peso de 4 kg. El sistema
se halla inicialmente en reposo en la posición representada y la longitud del resorte
resulta de 40 cm. Se corta entonces el hilo y el cuerpo de 2 kg empieza a oscilar con
movimiento armónico simple.
(a) ¿Cuál es la amplitud de oscilación?. la constante del resorte?.
(b) ¿Cuál es el perı́odo de oscilación?.
(c) ¿Cuál es la energı́a mecánica total del oscilador?.
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A un extremo de un resorte de constante K se une un bloque de madera
Problema 6:
de masa M que está en reposo sobre una mesa horizontal (no hay rozamiento). El otro
extremo del resorte se mantiene fijo en la forma representada en la figura. Contra el
bloque y en la dirección del resorte se dipara una bala de masa m que lleva una velocidad
v. El choque tiene lugar en un tiempo muy corto, con lo cual se puede considerar que
durante el choque el resorte mantiene su longitud natural de deformación nula.
(a) ¿Cuál es la energı́a total de la oscilación subsiguiente?.
(a) Calcular la velocidad del péndulo en su posición más baja.
(b) Calcular su aceleración en los extremos de su oscilación.
(c) ¿Cuál es el perı́odo de oscilación?
Dos cuerpos de masa m1 = 1 kg y m1 = 2 kg pueden deslizar libreProblema 9:
mente a lo largo de una recta sobre una superficie horizontal. Están unidos mediante
un resorte de constante K = 300 N/M y longitud natural L. Se comprime el resorte
xo = 20 cm a partir de la longitud natural (de deformación nula) y luego los cuerpos se
sueltan de manera que su centro de masa permanezca en reposo.
(a) ¿ Cuál es la frecuencia de las oscilaciónes subsiguientes?
(b) ¿Cuál es la energı́a cinética máxima de cada uno de los cuerpos?
A los extremos de un resorte (de constante K) de una masa despreProblema 10:
ciable se unen dos masas m iguales, en reposo sobre una mesa horizontal exenta de
rozamiento (ver figura). El sistema se pone en movimiento comprimiendo el resorte
una longitud d, con uno de los cuerpos apoyado contra una pared y luego se suelta a
partir del reposo.
(a) ¿ Qué distancia recorrerá el cuerpo 1 antes de que empiece a moverse el cuerpo 2.
(b) Después de que el cuerpo 2 deja de estar en contacto con la pared, ¿ cuál es
la velocidad del centro de masa del sistema y cuál es la amplitud de oscilación?
cuerpos?
Un péndulo y un oscilador masa-resorte tienen perı́odos iguales en
Problema 11:
la superficie terrestre. ¿Cuál será la razón de sus perı́odos en un planeta en que los
cuerpos pesen ocho veces más que en la Tierra?
De un punto común se suspenden masas de 10 g y 40 g mediante hilos
Problema 12:
muy ligeros de masa despreciable, de longitud de 1.5 m. Se sueltan simultaneamente
a partir de posiciones de 5o y 10o , como se indica en la figura. ¿ Dónde y cuándo
chocarán?. Explicar y discutir la respuesta.
Problema 13:
Una esfera pequeña está suspendida de un hilo de masa despreciable
y de 1.4 m de longitud. El sistema es separado de la posición de equilibrio un ángulo
θ = 5o como indica la figura y desde el reposo se lo deja evolucionar. Conociendo que
d = 70 cm, determinar:
(a) El tiempo necesario para que la masa vuelva al punto A.
(b) La amplitud θc .
(c) Considerando ahora que θ = 4o , ¿ cuánto deberı́a valer d para que el tiempo de
retorno al punto A resulte de 2 s?
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Problema 14:
Expandiendo el integrando de la expresión que permite calcular el
perı́odo exacto de un péndulo simple:
q
τ = 4 l/g
Z
π/2
dφ
q
1 − sin2 (θm /2) sin2 φ
0
en serie de potencias pares de sin φ e integrando, mostrar que el perı́odo de un péndulo
simple de longitud l puede ser aproximado por la expresión:
q
τ = 2π l/g(1 + 1/4 sin2 (θm /2))
.
donde θm es la amplitud de oscilación.
Utilizando la expresión aproximada del problema anterior, determiProblema 15:
nar la amplitud θm tal que el perı́odo resulte 0.5 por ciento mayor que el perı́odo para
pequeñas oscilaciones del mismo péndulo.
Una forma condensada de escribir el perı́odo exacto de un péndulo
Problema 16:
simple es:
τ=
2K(k)
τo
π
p
donde τo = 2π l/g resulta el perı́odo correspondiente a oscilaciones armónicas (pequeñas
oscilaciones) y
K(k) =
Z
π/2
0
dφ
q
1 − k2 sin2 φ
es la integral elı́ptica completa de primera especie con k = sin (θm /2). De este modo,
2K/π es el factor que da la relación entre el perı́odo exacto y el armónico.
Utilizando una tabla de integrales elı́pticas completar la siguiente tabla:
θm (en grados)
K
2K/π
Problema 17:
kg.
0
10
20
30
60
90
120
150
180
De un resorte de constante 100 N/m se cuelga un cuerpo de mas 1
(a) ¿ Cuál es la frecuencia de oscilación?
(b) Después de 30 oscilaciones se observa que la amplitud de las oscilaciones se ha
reducido a exp (−1) de la amplitud inicial. ¿ Cánto vale Q? ¿Cuál es la vida del
oscilador?
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(c) ¿Cuánto vale el coeficiente R (resistencia) que relaciona la fuerza amortiguadora
con la velocidad?
Mostrar que en el caso de un oscilador subamortiguado, los desplazaProblema 18:
mientos x1 , x2 , x3 etc. correspondientes a los máximos de x = x(t) cumplen con que el
cociente de dos máximos sucesivos xm y xm+1 resulta una constante tal que:
ln
xm
2π(R/Rc )
=p
xm+1
1 − (R/Rc )2
p
donde Rc = 2mωo = 2m K/m es el factor de resistencia correspondiente al sistema
en condiciones crı́ticas.
Problema 19:
Considere un oscilador amortiguado de constante K y con resistencia
R, excitado con una fuerza armónica Fo sin ωt. Graficar el factor de magnificación
Kxmax vs. ω/ωo para los siguientes valores del factor de amortiguamiento R/Rc :
1,0.5,0.25,0.125,0.
Considere un oscilador amortiguado de constante K y con resistencia
Problema 20:
R, excitado con una fuerza armónica Fo sin ωt. Encuentre x = x(t).
Problema 21:
Sobre una plataforma horizontal reposa un bloque de madera. La
plataforma se mueve verticalmente con un desplazamiento y = yo cos ωt, donde yo = 3
cm y ω puede variarse.
(a) Hallar la fuerza que ejerce la plataforma sobre el bloque en función de la fracuencia
f = ω/2π.
(b) ¿ A qué frecuencia el bloque abandonará la plataforma?
Una plataforma de 50 kg está soportada por resortes que reposan
Problema 22:
sobre unos cimientos. La frecuencia caracterı́stica de oscilación es 10 Hz. La plataforma
está accionada por una fuerza armónica vertical de amplitud 25 N. ¿Cuáles son las
amplitudes del desplazamiento de la plataforma y de la fuerza que ejercen los resortes
sobre los cimientos cuando la frecuencia es de 1 Hz, 9 Hz, 10.5 Hz y 20 Hz?. Desprecie
el amortiguamiento.
Problema 23:
Un péndulo balı́stico consta de un bloque de madera de 10 kg suspendido de un hilo de 3 m de longitud.
(a) ¿ Cuál es el perı́odo T del movimiento oscilatorio?
(b) Estando el péndulo en reposo en su posición de equilibrio, es alcanzado por una
bala de masa 5 g que se mueve a 200 m/s ¿ Cuál es la amplitud del movimiento
oscilatorio resultante?
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(c) Si se dispara una bala cada T , ponga de manifiesto cómo aumenta la amplitud del
movimiento con el tiempo. Esquematice el movimiento
(d) ¿Cuál será el movimiento si se dispara una bala cada T /2?
(e) Si el péndulo está oscilando ¿cuando habrı́a que dispararle una bala para cederle
la máxima energı́a de oscilación posible adicional?
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