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Guía de Ejercicios de Magnetostatica
2012-II
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR
INSTITUTO PEDAGÓGICO DE BARQUISIMETO
LUIS BELTRÁN PRIETO FIGUEROA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES
PROGRAMA DE FÍSICA
ELECTROMAGNETISMO II
Objetivo: Analizar modelos de ejercicios propuestos por diversos autores mediante la
resolución físico matemático de los mismos en los contenido referentes a Magnetostática y
su aplicación en el entorno.
Propósito: Proporcionarle al estudiante de Electromagnetismo II ejercicios modelos para
desarrollar habilidades físicas matemáticas en el estudio de la Magnetostática.
Instrucciones: Se recomienda la previa lectura y estudio de los conceptos básicos referente
a Campo Magnético, Fuerza de Lorentz, Fuerza magnética sobre un conductor que lleva
una corriente eléctrica, Movimiento de cargas en un campo magnético, Ley de Biot-Savart,
Ley de Ampere, Flujo magnético y la Ley de Gauss en el magnetismo. La guía es una
herramienta para el estudio no es un recetario ni indica que los ejercicios serán los mismo
en un parcial, sólo será el mismo contenido y estructura de los mismos.
Para la resolución de los ejercicios modelos se sugiere que se lleve un orden secuencial en
los pasos, por ejemplo; lectura y análisis del problema, identificación de datos y la
incógnita que propone el ejercicio, realizar esquemas visuales que permitan una mejor
comprensión del ejercicio, identificación de las ecuaciones para determinar la incógnita,
justificación escrita del procedimiento, interpretación física del resultado y corroboración
de los resultados obtenidos.
Ejercicios
CAMPOS Y FUERZAS MAGNÉTICAS
1. Una partícula con una masa de m y una carga q tiene, en un instante dado, una velocidad
̂. ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la aceleración de la partícula producida por un
campo magnético uniforme ⃗ = (b ̂ + c ̂) T?
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Elaborado por: Br. Luis Ramírez y Revisado por: Prof. Howar Cordero
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2. Se aceleran protones a través de una diferencia de potencial V partiendo del reposo.
Luego se los inyecta en una región donde hay un campo magnético uniforme y experimenta
una velocidad angular
⁄
con la trayectoria perpendicular al campo, ¿Cuál es la
magnitud del campo magnético y el radio de la trayectoria de los protones? Si se aceleran
partículas alfa a través de la misma diferencia de potencial en un campo magnético
uniforme de
. ¿Cuál es el radio de trayectoria de las partículas y su velocidad angular?
4. Una partícula con una carga de -2e se desplaza con una velocidad instantánea
̂)
⁄ ¿Qué fuerza ejerce sobre esta partícula un campo magnético a) ⃗ =
⃗=
=
̂-
T̂
b)
̂?
5. Un electrón tiene una velocidad inicial de (
̂+
̂ )m/s y una aceleración constante de
m/s2 ̂ en una región en las que están presentes campos eléctrico y magnético uniformes.
Si ⃗ =
̂ T, halle el campo eléctrico E.
7. Una partícula con una carga de q se desplaza con velocidad
mide, la fuerza magnética sobre la partícula resulta ser
=(-
⁄ ) ̂ Cuando se
= ( N) ̂ - ( N) ̂ . a-) Calcule todas
las componentes del campo magnético que pueda con base en esta información. b-)
¿Existen componentes del campo magnético que no hayan sido determinadas al medir la
fuerza? Explique su respuesta. c-) Calcule el producto escalar ⃗ . . ¿Cuál es el ángulo entre
⃗ y ?
MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS CON CARGA EN UN CAMPO MAGNÉTICO
8. Un protón que se halla en el punto A tal como muestra la
figura tiene una rapidez de
m/s y el radio de su trayectoria
es 2r. Halle a) La magnitud y dirección del campo magnético
que obliga al electrón a seguir la trayectoria semicircular de
A y B; b) El tiempo necesario para que el protón se traslade
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Elaborado por: Br. Luis Ramírez y Revisado por: Prof. Howar Cordero
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de A hacia B. Una partícula alfa se desplaza a través del campo magnético calculado, el
radio de su trayectoria es el mismo que el del protón. Halle c) La rapidez de la partícula; d)
El tiempo que emplea en trasladarse de A hacia B.
10. Un protón se mueve en un campo magnético a un ángulo
velocidad es de
m/s y la intensidad del campo es
respecto al campo. La
T. Calcular a) el radio de la hélice
descrita, b) La distancia que avanza por revolución, o pasó de la hélice.
11. Un chorro de electrones sale de un acelerador con velocidad
y se desea desviarlos
con un campo ⃗ de modo que lleguen a un punto P que esta a una distancia D y en una
dirección que tiene un ángulo
respecto a la dirección de ⃗ . ¿Cuál debe ser la magnitud
del campo magnético ⃗ paralelo a la dirección del desplazamiento?
12. Un protón se mueve a una velocidad
=( ̂-
̂+
̂ ) ⁄ en una región donde el
̂ - ̂ )T. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza magnética que
campo magnético es ⃗ = ( ̂ +
esta carga experimenta?
13. Un protón se mueve entre dos placas paralelas cargadas y separadas a una distancia h.
Se aplica un campo magnético uniforme paralelo al eje de las placas y dirigido como se
muestra en la figura. a) demostrar que a una distancia y de la placa inferior, vx =
demostrar que el modulo de la velocidad esta dado por v = √
precedentes mostrar que vy
=
rozando la placa superior si E =
√
√
,
, b)
, c) Con los resultados
d) demostrar que el protón pasara
, e) En este arreglo la trayectoria descrita por el protón
es una curva llamada cicloide tal como muestra la figura, explique porque el protón se
curva de la manera mostrada y, por que, este efecto es repetitivo.
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Elaborado por: Br. Luis Ramírez y Revisado por: Prof. Howar Cordero
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APLICACIONES QUE INVOLUCRAN EL MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS
CARGADAS EN UN CAMPO MAGNÉTICO
14. Se disparan partículas cargadas dentro de una región donde hay un campo eléctrico y
uno magnético cruzados. La velocidad de las partículas incidentes es normal al plano de los
dos campos y estos son perpendiculares entre sí. La intensidad del campo magnético es de
T. El campo eléctrico esta generado por un par de placas paralelas iguales y de carga
opuestas, colocadas a una distancia d una de la otra. Cuando la diferencia de potencial entre
las placas es λV, no hay desviación de las partículas ¿cuál es la velocidad de las partículas?
15. Considere un espectrómetro de masa como se
muestra
en
la
figura.
La
magnitud
del
campo eléctrico entre las placas del selector de
velocidad es de E, y el campo magnético tanto en
el selector de velocidad como en la cámara de
deflexión tiene una magnitud de
T. Calcule el
radio de trayectoria para un ion de una sola carga
con una masa 2m.
16. ¿ Cual es el radio de orbita necesario de un ciclotrón diseñado para acelerar protones
hasta que adquieran una energía de
eV, utilizando un campo magnético de
T?.
Demuestre que para una partícula alfa el radio necesario es el mismo.
17. Un electrón en el tubo de una cámara de TV se mueve a razón de 7 m/s dentro de un
campo magnético de 3 T de intensidad. a-) Sin conocer la dirección del campo, ¿cuáles
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Elaborado por: Br. Luis Ramírez y Revisado por: Prof. Howar Cordero
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serían las magnitudes mayor y menor de la fuerza que el electrón pudiera experimentar
debido al campo magnético? b-) En un punto, la aceleración del electrón es de 2 m/s2.
¿Cuál es el ángulo entre la velocidad del electrón y el campo magnético?
18. Un electrón se acelera por una diferencia de potencial de 6λV y se dirige hacia una
región entre dos placas paralelas separadas por d con una diferencia de potencial de 2λV
entre ellas. Si el electrón entra moviéndose perpendicularmente al campo eléctrico entre las
placas, ¿qué campo magnético es necesario, perpendicular tanto a la trayectoria del electrón
como al campo eléctrico, para que el electrón viaje en línea recta?
EFECTO HALL
19. Una cinta plana de metal de largo , ancho
y de espesor
se mueve a velocidad constante por un campo magnético
B=
T perpendicular a la cinta, como muestra la figura.
Entre los puntos x y y a lo ancho de la cinta se mide una
diferencia de potencial de 4 V. Calcule la velocidad v.
20. Una tira delgada de cobre de ancho
y espesor
se coloca perpendicularmente a un
campo magnético de 2 T. A lo largo de la tira hay una corriente de
A. Encontrar a) El
campo eléctrico transversal debido al efecto Hall, b) La velocidad de arrastre de los
electrones, c) La fuerza transversal sobre los electrones. Suponer que cada átomo de cobre
contribuye con un electrón.
FUERZA MAGNÉTICA QUE ACTÚA SOBRE UN CONDUCTOR QUE
TRANSPORTA UNA CORRIENTE.
21. Un alambre transporta una corriente estable de 3 A. Un tramo recto del alambre tiene
2 de largo y yace a lo largo del eje de las x dentro de un campo magnético uniforme, B=
5 T ̂ . Si la corriente está orientada en la dirección positiva de las x, ¿cuál es la fuerza
magnética que se ejerce sobre la sección del alambre.
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Elaborado por: Br. Luis Ramírez y Revisado por: Prof. Howar Cordero
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22. Una varilla metálica con una masa por
longitud unitaria λ transporta una corriente I.
La varilla cuelga de alambres verticales en un
campo magnético vertical uniforme, como se
muestra en la figura. Los alambres forman un
ángulo θ con la vertical cuando están en
equilibrio. Determine la magnitud del campo
g
B
I
magnético.
23. Una barra de masa 3m y longitud
puede
deslizar sobre rieles sin fricción, los cuales
están inclinados a un ángulo θ respecto a la
horizontal. Si se aplica un campo magnético
vertical de magnitud B= T, apuntando hacia
arriba: a)Determine la corriente I, que debe
circular por la barra para evitar que esta
deslice, b) Cual debe ser el sentido de la
corriente c) Si se duplica el valor de la
corriente ¿ Cual es la aceleración de la barra?
24. Una barra de masa 2m descansa sobre
dos rieles horizontales paralelos con una
separación
L. Por los rieles circula una
corriente constante de fricción estática entre
la barra y los rieles es μe. Determine el
modulo y la dirección del campo magnético
mínimo que provoque que la barra deslice
sobre lo rieles.
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Elaborado por: Br. Luis Ramírez y Revisado por: Prof. Howar Cordero
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25. Un alambre doblado en forma de U, de
masa M y longitud L, está sumergido con sus
extremos en vasos conteniendo mercurio. El
alambre
esta en un campo
magnético
homogéneo, B, Cuando se envía un impulso
de corriente por el alambre, se observa que
este salta hasta una altura H. Halle la
magnitud de la carga.
26. Un alambre conduce una corriente estable de 5 A. Una sección recta del alambre mide
3λ de largo y se encuentra a lo largo del eje x dentro de un campo magnético uniforme ⃗ =
6 ̂ T. Si la corriente está en la dirección +x, ¿cuál es la fuerza magnética sobre la sección
del alambre?
28. Una barra de masa m y radio R descansa sobre dos rieles paralelos separados por una
distancia d y que tienen longitud L. La barra conduce una corriente I en la dirección
indicada y rueda a lo largo de los rieles sin deslizarse. Si la barra parte del reposo, ¿cuál es
su rapidez cuando deja los rieles si hay un campo magnético uniforme B en dirección
perpendicular a la barra y los rieles?
B
d
I
L
29. Un largo pedazo de alambre de masa m y longitud λ se usa para formar una bobina
cuadrada de lado γ. La bobina se articula a lo largo de un lado horizontal, conduciendo una
corriente de τA y se coloca en un campo magnético vertical de βT de magnitud. a-)
Determine el ángulo que el plano de la bobina forma con la vertical cuando la bobina está
en equilibrio. b-) Encuentre el momento de torsión que actúa sobre la bobina debido a la
fuerza magnética en equilibrio.
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Elaborado por: Br. Luis Ramírez y Revisado por: Prof. Howar Cordero
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FUERZA Y MOMENTO DE TORSIÓN EN UNA ESPIRA DE CORRIENTE
30. Una bobina rectangular está constituida por n
vueltas muy apretadas y tiene como dimensiones λ
por γ. La bobina pivotea a lo largo del eje de las y
y su plano forma un ángulo θ con el eje de las x tal
como muestra la figura. ¿Cuál es la magnitud de la
torca ejercida sobre la bobina por un campo
magnético uniforme B= βT dirigido a lo largo del
eje de las x, cuando la corriente es I= τA en la
dirección que se muestra en la figura?
31. La espira rectangular de alambre mostrada
en la figura, tiene una masa de 3m por metro de
longitud y puede girar sin roce alrededor del
lado AB. Por el alambre circula una corriente
de 4τA en el sentido indicado a) Calcular el
modulo y sentido del campo magnético paralelo
al eje y, que hará que la espira gire hasta que su
plano forme un ángulo de ø con el plano yz.
32. En el modelo de Borh del átomo de hidrogeno, en el estado de menor energía el
electrón gira alrededor del protón con una rapidez de 9αm/s en una orbita circular de 6r m
de radio a)¿Cual es el periodo de orbita del electrón b) Si se considera el electrón en orbita
como una espira de corriente, ¿cuál es la corriente I? c) ¿ Cual es el momento magnético
del átomo debido al movimiento del electrón?
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Elaborado por: Br. Luis Ramírez y Revisado por: Prof. Howar Cordero
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LEY DE BIOT-SAVART
33. a) Un conductor con la forma de espira cuadrada
con un lado L lleva una corriente I = 3τ A, como en
la figura mostrada. Calcule la magnitud y dirección I
del campo magnético en el centro del cuadrado b) Si
este conductor se coloca en una sola vuelta circular y
lleva la misma corriente, ¿ Cual es el valor del
L
campo magnético en el centro?.
34. El segmento de alambre de la figura lleva una
I
corriente de I= 5τ A, donde el radio del arco es circular
es 3r. Determine la magnitud y la dirección del campo
R
magnético en el origen.
35. Considere la espira conductora de corriente
que se muestra en la figura, formada por líneas
I
b
radiales y segmentos de círculos cuyos centros
son el punto P. Determine magnitud y dirección
60°
36. Dos Conductores largos y paralelos llevan
X
corrientes I1= τA e I2= τA, ambas dirigidas en
I1
5.00 cm
dirección a la pagina tal como muestra la figura.
Determine la magnitud y la dirección del campo
P
13.0 cm
magnético resultante en P.
12.0 cm
X
9
P
a
de B en P.
I2
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37. En el modelo de Borh de 1913 del átomo de hidrogeno, un electrón gira alrededor del
protón a una distancia de 6r con una velocidad 9αm/s. Calcule la magnitud del campo
magnético que produce su movimiento en el sitio ocupado por el protón.
38. Un alambre se forma en forma de cuadrado con un costado de longitud L tal como
muestra la figura. Demuestre que cuando la corriente en la espira es igual a I, el campo
magnético en el punto P, a una distancia x del centro del cuadrado a lo largo de su eje, es:
39. Problema: Dos bobinas circulares de radio R, cada
una con N números de vueltas, son perpendiculares a
un eje común. Los centros de las bobinas están
separados una distancia R, cada bobina lleva una
corriente estable I en la misma dirección, como se
muestra en la figura. Halle el campo magnético B en el
punto medio P situado a una distancia R/2 de cada bobina.
A
LEY DE AMPERE
C
X
40. Cuatro conductores largos y paralelos de
longitud 0.200 m transportan corrientes iguales de
I= 5τA. La figura muestra un extremo de los
conductores. La dirección de la corriente es hacia la
10
P
B
X
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D
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pagina en los puntos A y B (indicado por las cruces) y hacia fuera de la pagina en C y D
(indicado por los puntos). Calcule la magnitud y dirección del campo magnético en el punto
P, localizado en el centro del cuadrado de L de lado.
41. Por un alambre recto y largo circula una corriente de 4τA. Un electrón viaja
paralelamente al alambre y con el mismo sentido de la corriente, a una distancia d del
alambre. ¿Qué fuerza ejerce el campo magnético de la corriente sobre el electrón en
movimiento?.
42. Un conductor largo y cilíndrico de Radio R
lleva
una corriente I, como se muestra en la
r2
figura. La densidad de corriente J, sin embargo,
no es uniforme en toda la sección transversal del
r1
R
conductor, sino que es una función del radio
según J= br, donde b es una constante. Determine
la expresión para el campo magnético B a) a una
distancia r1 < R y b) a una distancia r2 > R, medida desde su eje.
43. Un cable coaxial tal como muestra la figura consiste de
dos conductores cilíndricos concéntricos. El cilindro interno
es macizo y tiene radio a. El cilindro externo es hueco y
tiene un radio interior b y exterior c. En los conductores
existen corrientes I, iguales pero anti-paralelas distribuidas
uniformemente. Deduzca las expresiones para el campo
magnético en función de la distancia radial, r, en las
distintas regiones: a) r < a, b) a < r < b, c) b < r < c, d) r > c.
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FUERZA MAGNÉTICA ENTRE DOS CONDUCTORES.
44. Dos alambres paralelos largos cuelgan de
cordeles de largo λ sujeto a un eje común tal como
muestra la figura. Los alambres tienen una masa
por unidad de longitud de γ y conducen la misma
corriente en sentidos opuestos. ¿ Cual es la
corriente de cada alambre si los cordeles cuelgan a
un ángulo ø respecto a la vertical?.
45. En la figura mostrada, la corriente en el
alambre largo y recto es igual a I1 = 5 A y el
alambre yace en el plano de la espira rectangular,
la cual lleva una corriente I2= 10τA. Las
dimensiones son c = γ, a = , L = λ. Determine la
I1
I2
L
I1
magnitud y dirección de la fuerza neta ejercida
sobre la espira por el campo magnético creado por
c
a
el alambre.
46. Un largo horizontal AB tal como se muestra en la
figura reposa sobre la superficie de una mesa. Otro
alambre CD, situado directamente encima del primero,
tiene λ de longitud y se puede deslizar hacia arriba y
hacia abajo por las guías metálicas verticales C y D. Los
dos alambres están conectados mediante los dos
contactos corredizos y por ello circula una corriente de
3τ A. La densidad lineal del alambre CD es 5 . ¿A qué
altura quedara en equilibrio el alambre CD a causa de la
fuerza magnética debida a la corriente que circula por el alambre AB?
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FLUJO MAGNÉTICO
47. Un cubo de arista de longitud λ se coloca como se
muestra en la figura, en alguna región existe un campo
magnético uniforme dado por la expresión B= (5α ̂ +
4β ̂ + 3γ ̂ ) T a) calcule el flujo a través de la cara
sombreada b) Cual es el flujo total a través de la seis
caras.
48. Una estudiante de física afirma que ha acomodado imágenes de modo tal que el campo
magnético dentro del volumen sombreado de la figura es ⃗ = (
) ̂. a-) Halle el flujo
neto de ⃗ a través de las cinco superficies que encierran el volumen sombreado de la figura.
b-) ¿Es plausible la afirmación de la estudiante? ¿Por qué?
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REFERENCIAS
Resnick, R.; Halliday; D.; Krane. (2002). Física. Vol. 2. Quinta edición. Editorial
CECSA
Serway, R. A; Beichner,R.J. (2002). Física. TomoII. Mc Graw-Hill Interamericana,
S.A.
Sears, F. (2004). Física Universitaria. Vol. 2. 11ª Ed. Prentice Hall, México.
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Elaborado por: Br. Luis Ramírez y Revisado por: Prof. Howar Cordero