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Colegio Marista “La Inmaculada” de Granada – Profesor Daniel Partal García – www.danipartal.net
Asignatura: Matemáticas I – 1ºBachillerato
Problemas – Tema 4: Enunciados de problemas sobre vectores
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Problemas – Tema 5
Enunciados de problemas sobre vectores
Hoja 1
u =( 5,3) del espacio vectorial
1. Expresa el vector ⃗
⃗v =( 1,5) , w
⃗ =( 2,−1) .
2
(ℝ ,+, ·) como combinación lineal de los vectores
(5,3)=(1,5)+2(2,−1)
solución:
2
u =( 1,1) , ⃗v =(−1,2) del espacio vectorial (ℝ ,+, ·) comprueba que son
2. Dados los vectores ⃗
⃗ =( x , y) puede expresarse como combinación lineal
linealmente independientes y que cualquier vector w
u y de ⃗v .
de ⃗
( x , y )=
solución:
3. ¿Forman
2x+ y
y−x
(1,1)+
(−1,2)
3
3
u =(1,−1,0) , ⃗v =(2,1,0) y w
⃗
⃗ =(4,1 ,0) un sistema generador en (ℝ3 ,+, ·) ?
u =(1,−1,0) , ⃗v =( 2,0 ,1) , w
⃗ =(−1,1 ,1) del espacio vectorial
4. Dados los vectores ⃗
⃗
expresa el vector t =( 5,−3,−2) como combinación lineal de los otros tres.
solución:
(ℝ3 ,+, ·)
(5,−3,−2)=0(1,−1,0)+(2,0 ,1)−3(−1,1,1)
u⃗ =( 1,1,1) , ⃗v =( 2,0 ,1) , w
⃗ =( 0,1,0) , demuestra que forman una base del
⃗ =(10,4 ,−3) en dicha base.
espacio vectorial (ℝ ,+, ·) . Calcula las coordenadas del vector w
5. Dados los vectores
3
solución:
(10,4,−3)=−16(1,1,1)+13(2,0,1)+20(0,1,0)
6. Calcula el valor de m para que los vectores
linealmente independientes.
solución:
u =( 1,1,1) , ⃗v =( 2,−1,0) , w
⃗
⃗ =(m,0 ,0) sean
m≠0
7. Calcula el valor de m para que los vectores
linealmente independientes.
u =( 1,−2,5) , ⃗v =(−2,3 ,1) , w
⃗
⃗ =(−1,1 , m) sean
8. Calcula el valor de m para que los vectores
linealmente independientes.
u =( 2,0 ,−1) , ⃗v =(1,m ,2) , w
⃗
⃗ =(3,1 , m) sean
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Hoja 2
u =( 1,1) , ⃗v =(−1,2) ,
1. Dados los vectores ⃗
comprueba que no son linealmente independientes.
2.
Demuestra
que
los
vectores
w
⃗ =( 0,3) del
espacio
u =( 2,−1) , ⃗v =(−3,2) , w
⃗
⃗ =(1,0) del
vectorial
2
(ℝ ,+, ·)
espacio
vectorial
2
(ℝ ,+, ·) son linealmente dependientes.
u =( 1,1,0) , ⃗v =( 0,1,1) ,
3. Dados los vectores ⃗
demuestra que forman un sistema generador.
4. Calcula el valor de m para que los vectores
linealmente independientes.
solución:
w
⃗ =(1,−1,1) del espacio vectorial (ℝ3 ,+, ·) ,
u =( 1,−1,2) , ⃗v =( 2,0 ,1) , w
⃗
⃗ =( 4,−2, m) sean
m≠5
5. Calcula el valor de m para que los vectores
sean linealmente independientes.
6. Calcula el valor de
u =( 2,−3,1) , ⃗v =( 1,0 ,−2) , w
⃗
⃗ =( m,−6, m−5)
⃗ m,−m,
m para que los vectores u=(1,−2,0)
⃗
=(2,0,−1) , w=(
, v⃗
−m
)
4
sean linealmente independientes.
7. Calcula el valor de m para que los vectores
linealmente independientes.
u=(2,
⃗
m ,3) , v ⃗=(−1,1, m) , w=(m,2
⃗
, 4) sean
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Hoja 3
u =( 0,8) del espacio vectorial
1. Expresa el vector ⃗
⃗v =( 3,−5) , w
⃗ =(6,−2) .
solución:
2
(ℝ ,+, ·) como combinación lineal de los vectores
(0,8)=−2(3,−5)+(6,−2)
2
u =( 2,0) , ⃗v =(1,2) del espacio vectorial (ℝ ,+, ·) , demuestra que forman
2. Dados los vectores ⃗
⃗ =(4,−4) como combinación lineal del sistema generador.
un sistema generador. Expresa w
solución:
(4,−4)=3(2,0)−2(1,2)
3. Dados los puntos en el plano A (1,1) ,
coordenadas de los vectores AB ⃗, AC ⃗,
4. Dados los vectores
B (5,2) , C( 2,7) represéntalos gráficamente y halla las
BC ⃗.
u =(3,4) , ⃗v =(−2,5) , w
⃗
⃗ =(−4,3) .
a) Normalizarlos.
b) Hallar el producto escalar
u · ⃗v , ⃗
⃗
u·w
⃗ .
c) ¿Qué ángulo forman los vectores
u y ⃗v , y los vectores ⃗
⃗
u y w
⃗ ?
5. Calcula el ángulo que forman ⃗
u =( 2· √ 2,−2) y ⃗v =( √2 ,−1) .
6. Calcula el valor de
7. Calcula valor de
k para que u=(
⃗ m,5) tenga por módulo 13 .
b para que los vectores u=(3,
⃗
b) y v ⃗=(2,−1) formen un ángulo de 60º.
8. El triángulo ABC es rectángulo en A. Sus vértices son A (3,5) ,
valor de m aplicando propiedades de vectores (no usar Pitágoras).
B (1,3) , C( m,10) . Calcula el
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Hoja 4
v ⃗=(1,1,1) , w=(1,1,0)
⃗
=(1,0,0) son una base del espacio
, t⃗
⃗
vectorial (ℝ ,+, ·) . Expresa el vector u=(2,3,2)
en función de esa base.
1. Demuestra que los vectores
3
solución:
(2,3,2)=2(1,1,1)+(1,1,0)−(1,0,0)
2. Calcula el valor de m para que los vectores
linealmente independientes.
solución:
m≠1, m≠
u =(m,1 ,3) , ⃗v =( 0, m,−4) , w
⃗
⃗ =(1,2 ,−1) sean
−16
3
3. Dados los vectores
u =(5,−1) , ⃗v =( m,6) , w
⃗
⃗ =( 2,n) .
a) Calcular el valor de
m para que u⃗ y v ⃗ sean perpendiculares.
b) Calcular el valor de
n para que u⃗ y w⃗ sean perpendiculares.
c) Normalizar los vectores.
4. Calcula el ángulo que forman
u=(3,0)
⃗
y v⃗
=(1, √ 3) .
⃗
5. Sean los vectores u=(3,−1)
y
⃗ v⃗ .
perpendicular al vector suma u+
6. Sean los vectores
dirección.
v ⃗=( a ,2) . Calcula el valor de a para que el vector u⃗ sea
u=(3,5)
⃗
=( a ,−1) . Calcula el valor de a para que ambos tengan la misma
y v⃗
⃗
) y v ⃗=(2,−3) . Calcula el vector
7. Sean los vectores u=(3,4
⃗
perpendicular a u⃗ y que v ⃗· w=1
.
w=(
⃗ x , y) para que este vector sea
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Hoja 5
1. Sean los vectores
u =( 3,−4) y ⃗
v =( 5,6) . Calcula:
⃗
a) Módulos y argumentos (ángulo con semieje positivo horizontal) de ambos vectores.
b) El producto escalar
u · ⃗v y el ángulo que forman los dos vectores entre si.
⃗
c) Normalización del vector
d) Un vector ortogonal a
u .
⃗
v .
⃗
2. Sea el polígono irregular de cuatro lados, con vértices consecutivos en los puntos
B( 4,−5) , C (8,5) y D(5,1) .
A( 2,3) ,
a) Representar el polígono gráficamente y obtener su perímetro (trabajar con raíces, no usar decimales).
b)
⃗ · AD
⃗
AB
c) Ángulo en el vértice A
d)
⃗
∣BD∣
3. Demostrar analíticamente que los siguientes vectores forman una base ortogonal en
u =( 2,2 ,0) , ⃗v =(−2,2,0) , w
⃗
⃗ =( 0,0 ,2) .
4. a) Dados los puntos
A(
V3 :
−1
−1
, a) , B(1 ,0) y C (
,−a) , halla el valor de a para que el
2
2
triángulo ABC sea equilátero.
b) Para a=1 obtener el ángulo del vértice
primer cuadrante).
B usando el producto escalar de vectores (elegir valor del
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Hoja 6
u =(
1. Calcula a para que el conjunto de vectores ⃗
3 −4
3a
,
) y ⃗
v =( 2 a ,
) sea una base
2
5 5
ortonormal.
u =(−3,5) como combinación lineal de ⃗v =(4,6) y w
2. a) Expresa ⃗
⃗ =( 1,−4) .
b) Demuestra analíticamente que los vectores u
⃗ =(
forman una sistema generador en
V
3
1 3
, ,0) , v⃗ =( 2,3 ,−1) y ⃗t =( 1,0 ,−1)
2 2
no
.
3. a) Determinar los valores de k ∈ℝ que hacen linealmente independientes los siguientes vectores:
u =( 1,1,1) , ⃗
v =( 1, k +1,1) , w
⃗
⃗ =( 1,1 , k +1) .
u ·( ⃗
v+w
u · ⃗v + ⃗
u ·w
b) Para k =2 , demostrar que ⃗
⃗ )=⃗
⃗ .
4. Las siguientes afirmaciones son verdaderas. Pon un ejemplo que demuestre analíticamente cada
afirmación y resolverlo.
a) Tres vectores en V
2
que forman un sistema generador no forman una base.
2
b) Si u
⃗ y v⃗ son vectores en V y tienen el mismo módulo, entonces los vectores suma ( u
⃗ + v⃗ )
y diferencia ( u
⃗ −⃗v ) son perpendiculares.
u y ⃗
v son vectores ortogonales en V
c) Si ⃗
2
2
2
2
, verifican ∣⃗
u +⃗v∣ =∣⃗u∣ +∣⃗
v∣
.
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Hoja 7
1. Sean los puntos A( x ,1) , B(3, 2) ,C (1, 4) , D(3, 5) y E (1, 3) . Obtener x para que:
a)
⃗
AB sea equipolente a ⃗
CD .
⃗
BE .
AC sea paralelo a ⃗
c) ⃗
AD sea perpendicular a ⃗
BC .
BD .
d) ⃗
AE sea dependiente con ⃗
b)
e)
⃗
ED .
EA sea independiente con ⃗
f) ⃗
CA tenga módulo 5.
g)
⃗
DA sea ortogonal con ⃗
DC .
h) ⃗
BA forme un ángulo de 60º con ⃗
CE .
i) A, B y C estén alineados.
j) A, C y D no estén alineados.
2. Dado el triángulo de vértices A( x , 2) , B(1, 3) y C (2,−1) .
a) Halla el valor de x para que el triángulo ABC sea rectángulo en el vértice C.
b) Halla el valor de x para que el triángulo ABC sea isósceles y su lado desigual sea AC .
3. Dado los vértices A(−2,−1) , B (6,3) y C (2,7) de un triángulo, obtener los ángulos de sus tres
vértices.
1
3
u =(−1, 2) y ⃗
v =( 2, ) .
4. Expresa el vector (5,1) como combinación lineal de los vectores ⃗
5. Divide el segmento que une los puntos A(1,−1) y C (5,−3) en tres partes iguales.
u =( 5,−1) sobre el vector ⃗v =(−2,3) .
6. Calcula la proyección del vector ⃗