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INVITACIÓN A SEMINARIO: ¿CÓMO SE OPERA CON VECTORES? (Profesor Agustín Fdez.)
Queridos alumnos, del grupo 11 ó de cualquier otro:
Para continuar practicando con las operaciones con vectores (libres), también llamado
'Álgebra de los vectores libres' (ya hoy Jueves en clase hemos comenzado a repasarlos y
trabajarlos, haciendo el ejercicio 0.1 del boletín del tema 0, disponible más abajo), os
invito a que vengáis a la tutoría-seminario que impartiré el próximo MARTES, 17 DE FEBRERO, de
19:35 a 20:35, en el AULA A1.
Resolveremos los ejercicios 0.2, 0.7 y 0.9 de dicho boletín, y os recomiendo los intentéis
solucionar vosotros mismos antes de asistir, pues le sacaréis mucho más provecho al
seminario.
Si no os encaja en vuestro horario, intentad por vuestra cuenta al menos esos ejercicios
(0.1, 0.2, 0.7 y 0.9; por supuesto mejor si además continuáis con el resto... ), y no dejéis
de buscarme en otras tutorías o por cita previa, para que os ayude a resolver las dudas que
probablemente os surgirán.
¡Ánimo! ¡AHORA es cuando hay que trabajar, equivocarse y preguntar, que después nos faltará
tiempo... ! ¡Los vectores son una herramienta BÁSICA para el curso!
Boletín de ejercicios del TEMA 0 (Álgebra de los vectores libres): En las siguientes páginas.
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DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA II
UNIVERSIDAD DE SEVILLA
Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Edificación
Avda. Reina Mercedes, 4A. 41012 Sevilla
EJERCICIOS DEL TEMA 0 (Álgebra de vectores libres)
0.1.- Una parte del techo en voladizo de un estadio deportivo debe estar soportado por los cables AB y AC.
G
Las fuerzas que ejercen los cables sobre la pila a la que están unidos se representan con los vectores FAB y
G
G
G
FAC . Las magnitudes de las fuerzas son FAB = 100 kN y FAC = 60 kN . Determine la magnitud y la
dirección de la suma de las fuerzas ejercidas sobre la pila por los cables, primero geométricamente
(teoremas del coseno y del seno), y después analíticamente (por componentes en ejes cartesianos).
G
G
G
0.2.- Los cables A y B de la figura ejercen fuerzas de tensión FA y FB sobre el gancho. La magnitud de FA
es de 445 N. La tensión del cable B se ha ajustado para que la fuerza total sobre el gancho sea
perpendicular a la pared a la que está unido éste.
G
(a) ¿Cuál es la magnitud de FB ?
(b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza total ejercida por los dos
cables sobre el gancho?
0.3.- Los cables A, B y C ayudan a soportar una columna de una
estructura, como muestra la figura. Las magnitudes de las
fuerzas
ejercidas
por
los
cables
son
iguales:
G
G
G
FA = FB = FC ≡ F . El módulo de la suma vectorial de las tres
fuerzas es de 200 kN.
(a) ¿Cuánto vale F?
(b) ¿Qué ángulo forma la suma vectorial con el poste vertical?
0.4.- Un topógrafo determina que la longitud de la línea OA de la figura es
de 1500 m y que la longitud de la línea OB es de 2000 m.
(a) Determine las componentes del vector de posición desde el punto A
hasta el punto B. ¿Cuál es entonces la longitud del puente AB propuesto?
(b) Determine las componentes del vector unitario que apunta desde A
hacia B.
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Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Edificación
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0.5.- La torre de 70 m de altura que se muestra está soportada en
G
G
parte por tres cables que ejercen sobre ella las fuerzas FAB , FAC y
G
FAD . La magnitud de cada fuerza es de 2 kN. Exprese la fuerza
total ejercida sobre la torre por los tres cables en función de sus
componentes, comprobando que su magnitud es menor de 6 kN.
z
y
x
0.6.- Un topógrafo midió originalmente la altura del monte Everest con el siguiente procedimiento. Primero
midió la altitud de dos puntos y la distancia horizontal entre ellos. Por ejemplo, suponga que los puntos A y
B de la figura están a 3000 m sobre el nivel del mar y que entre ellos JJJ
hay
de 10 000 m. JJJ
Luego
G unaJJJdistancia
G
G
que
para
se
usó un teodolito para medir los cosenos directores de los vectores AP y BP . Suponga
AP
JJJG
obtuvieron los valores cosα = 0,5179 , cosβ = 0,6906 y cosγ = 0,5048 , y que para BP los valores fueron
cosα ' = −0,3743 , cosβ ' = 0,7486 y cosγ ' = 0,5472 . Usando estos datos determine la altura del monte
Everest sobre el nivel del mar.
0.7.- El cable de la figura está atado al punto B y pasa por una argolla situada en A. De su extremo libre se
G
tira con una fuerza F = (200, 200 , −100) N , según los ejes dados. Calcule entonces:
G JJJG
z
(a) El producto escalar F ⋅ AB
G
(b) El ángulo q que forma F con el tramo de cable que va de A a B.
(0,0,6) m
JJJG
G
G
(c) La proyección de F sobre AB , que se denota por PAB (F ) ó F&AB .
G
(d) Las componentes
vectoriales
(o
vectores
componentes)
de
F
paralela y
JJJG
G
G
normal a AB , que se denotan por F&AB y F⊥ AB . Halla también sus módulos.
x
(8,0,0) m
y
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0.8.- El barco O de la figura mide las posiciones del barco A y del avión B
y obtiene las coordenadas que se muestran. Determina:
(a) El ángulo q entre las líneas de visión OA y OB.
JJJG
JJJG
JJJG
(b) La proyección de OB sobre OA , que se denota por POA (OB) u
(OB)&OA .
JJJG
(c) Las componentes vectoriales (o vectores componentes) de OB paralela
JJJG
JJJG
JJJG
y normal a OA , que se denotan por OB
y OB
. ¿Cuáles son sus
( )
&OA
( )
⊥OA
z
(-4,4,4) km
y
x
(3,6,0) km
módulos?
G
0.9.- La cuerda de la figura ejerce una fuerza F de 14 N de módulo sobre el
poste en el punto A.
JJJG G
G
(a) Determine el vector OA ∧ F (que se denota como “momento de F
G G
respecto de O”: M O (F ) ).
JJJG G
G G
(b) Determine el vector OB ∧ F (debe resultar igual a M O (F ) , y por eso no
G
se indica el punto de aplicación de F en el “vector momento”; se estudiará el
porqué en el tema 2).
z
A (1,5,6) m
O
y
B (4,3,0) m
x
z
0.10.- La barra AB de la figura tiene 6 m de largo y es perpendicular a las
barras AC y AD. Use el producto vectorial para determinar las coordenadas
del punto B, (xB , yB ,z B ) .
(0,0,3) m
x
(3,0,0) m
0.11.- Las fuerzas que actúan sobre la masa puntual del péndulo son las mostradas en la
G
G
figura: su peso P (P = 2 N) y la tensión T del cable. Cuando el péndulo alcanza su
máxima amplitud de oscilación el ángulo q vale 30º. Se puede demostrar que en ese
G
G G G G
momento la suma o resultante de P y T , P + T = R , es no-nula y perpendicular al cable.
G
G
Determina entonces los módulos de T y de R en esa posición θ = 30º .
G
Ayuda: Dibuja R en el diagrama de fuerzas y elige los ejes coordenados más convenientes.
(0,4,0) m
y