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Mecánica Clásica 1
Prof. Cayetano Di Bartolo
Departamento de Fı́sica
Universidad Simón Bolı́var
Esta guı́a está basada en los manuscritos que elaboré para los cursos de Mecánica que dicté
en la Universidad Simón Bolı́var. La guı́a todavı́a requiere de modificaciones y correcciones,
y es mi esperanza que en algún momento se convierta en un libro. Si el lector desea hacerme
alguna observación puede escribirme a la dirección [email protected]
AGRADECIMIENTOS
El libro se está realizando con la magnı́fica colaboración de mi esposa Jacqueline Geille,
quién contribuye en todos los aspectos de su elaboración. También agradezco al Profesor
Lorenzo Leal, de la Universidad Central de Venezuela, que muy amablemente me facilitó sus
notas para el curso de Mecánica.
Ultima actualización: Julio de 2004
1
Leyes de Newton.
Referenciales no inerciales
1.1
Concepto de partı́cula
En mecánica clásica Newtoniana se postula que el espacio es Euclı́deo y tridimensional. Entre
sus objetivos están el describir y explicar el movimiento de los objetos reales o macroscópicos,
para ello se supone que los objetos macroscópicos pueden describirse como agregados de
partı́culas. Una partı́cula es un objeto puntual (o con un volumen muy pequeño) que sigue
una determinada trayectoria en el espacio. En la descripción del movimiento de una partı́cula
podemos usar su vector de posición r(t) respecto a algún punto de referencia u origen; este
vector es función del parámetro t que cuantifica de alz
guna manera nuestra idea intuitiva del tiempo, esto es,
t crece monótonamente a medida que la partı́cula (o
t3
t1
partı́culas) ocupan “sucesivas” posiciones. En la siguiente sección el tiempo será cuantificado de una manera más
t
r(t)
precisa. En algún sistema de coordenadas cartesiano el
y
vector posición de la partı́cula puede representarse en
componentes como
x
t2
(1.1)
r(t) = x(t)ûx + y(t)ûy + z(t)ûz
En la descripción del movimiento también serán necesarios los vectores velocidad v y aceleración a de la partı́cula definidos por
v(t) =
dr
ẋi ûi
≡ ṙ(t) =
dt
i
y
a(t) =
dv
ẍi ûi ,
= r̈(t) =
dt
i
(1.2)
donde las derivadas respecto al tiempo se indican con puntos y se ha supuesto que las direcciones de los ejes cartesianos no varı́an. Estos vectores dependen del sistema de referencia;
en particular son nulos en un sistema que viaje con la partı́cula.
7
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Mecánica Clásica 1
1.2
C. Di Bartolo (Julio de 2004)
Leyes de Newton
En 1687, Isaac Newton (1642-1727) publicó el libro “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” (Principios matemáticos de filosofı́a natural) en el cual propone un marco teórico
para el estudio de los fenómenos naturales. El trabajo de Newton se basó principalmente
en las obras de Nicolás Copérnico (1473-1543), Galileo Galilei (1564-1642), Johannes Kepler
(1571-1630) y en su propia observación del movimiento de los cuerpos. En la concepción
Newtoniana del mundo se supone que para estudiar los fenómenos naturales se debe partir
de un marco de referencia espacio-temporal respecto al cual describir las posiciones de las
partı́culas que componen a los cuerpos. El paradigma propuesto por Newton suele resumirse
en tres leyes, llamadas leyes de Newton, pero aquı́ no las enunciaremos en su forma original.
Seguiremos un enfoque que trata de evitar las dificultades lógicas del original y que hoy en
dı́a siguen muchos libros de texto. Enunciaremos cuatro principios que no son independientes
y deduciremos la ley de acción y reacción. El primero de los principios establece la existencia
de observadores inerciales y da la noción de tiempo; el segundo está relacionado con la noción
de masa y establece la conservación del momentum lineal para un sistema de dos partı́culas;
el tercero es la conocida segunda ley de Newton y el cuarto establece la superposición de
fuerzas. En los principios se habla de partı́culas aisladas. Estas son partı́culas de las cuales
“sabemos de alguna manera” que no interaccionan con el resto del universo, también pueden
ser partı́culas muy alejadas del resto de la materia del universo y suponemos entonces que
las interacciones a muy largas distancias se hacen despreciables.
Principio de relatividad de Galileo: Supondremos la existencia de unos sistemas de
referencias especiales, denominados inerciales, que cumplen con las siguientes caracterı́sticas:
◦ Los sistemas de referencias inerciales se mueven en lı́nea recta y rı́gidamente (no rotan)
uno respecto a otro.
◦ Se supone que en todos los sistemas inerciales se hace la misma fı́sica, i.e., las leyes
fı́sicas tienen la misma forma. Esta propiedad se conoce como covariancia de las leyes
fı́sicas.
◦ En todos los sistemas inerciales el tiempo es absoluto, cualquier par de eventos que son
simultáneos en un referencial inercial también lo son en otro referencial inercial.
◦ Una partı́cula aislada se mueve en lı́nea recta en cualquier referencial inercial
◦ Si se define la unidad de tiempo de tal forma que cierta partı́cula aislada se mueva
con velocidad constante (no nula) en algún referencial inercial entonces se postula que
todas las partı́culas aisladas se mueven con velocidad constante en todos los sistemas
inerciales. Esto implica que la velocidad relativa entre los sistemas inerciales es constante.
Se consideran buenos sistemas inerciales aquellos que viajen sobre partı́culas muy alejadas
de otros cuerpos y que no rotan respecto al conjunto de estrellas lejanas.
C. Di Bartolo
Leyes de Newton. Referenciales no inerciales
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Principio de conservación del momento lineal - Concepto de masa: Consideremos
un experimento hipotético en el cual dos partı́culas ( 1 y 2) aisladas del resto de materia
del Universo interaccionan entre ellas. Se postula que sus aceleraciones vistas desde un
referencial inercial cumplen
(1.3)
a1 = −K12 a2
donde K12 es una cantidad mayor que cero, que no depende del tiempo, ni del referencial, ni
del experimento particular, sólo depende de las dos partı́culas. Si el experimento se repite
con los pares de partı́culas 2-3 y 1-3 se postula que
K12 K23 = K13 .
(1.4)
Esto significa que se puede tomar a una partı́cula como patrón de masa, por ejemplo m1 , y
definir la masa de la partı́cula α-ésima como
mα = K1α m1 .
(1.5)
Luego
m2
d
a2 ⇒
(m1 v1 + m2 v2 ) = 0 ;
m1
dt
si definimos el momentum lineal de una partı́cula por
a1 = −K12 a2 = −
P ≡ mv
y el de un sistema de n partı́culas como
Psistema ≡
(1.6)
Pα
(1.7)
α
se cumple que el momentum total de un sistema aislado de dos partı́culas es constante en el
tiempo
(1.8)
P12 = m1 v1 + m2 v2 = constante .
Segunda ley de Newton: Supondremos que la interacción entre las partı́culas es la responsable de sus aceleraciones. La acción sobre una partı́cula de masa m debida al resto del
Universo se codifica en un vector fuerza F que, de acuerdo a cualquier sistema de referencia
inercial, le produce una aceleración a dada por la ecuación
F = ma .
(1.9)
Sin embargo darse la expresión de fuerza total sobre cualquier partı́cula puede ser en general
imposible o muy complicado y se requiere del auxilio del siguiente principio complementario.
Principio de sumación de fuerzas: Si F1,i es la fuerza que actúa sobre la partı́cula #1
en interacción aislada con la partı́cula i-ésima entonces la fuerza sobre la partı́cula #1 en
interacción aislada con el conjunto de partı́culas #2,...,#n es
F = F1,2 + ... + F1,n .
(1.10)
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Mecánica Clásica 1
C. Di Bartolo (Julio de 2004)
Para cada sistema mecánico concreto la forma de las funciones Fi,j se determina empı́ricamente o por inspiración (divina o no). Desde un punto de vista matemático la forma
de estas funciones define al sistema mecánico. Una parte de la tarea de la mecánica clásica
Newtoniana es buscar expresiones de fuerza para la interacción entre partı́culas.
La segunda ley de Newton da lugar al “determinismo Newtoniano”: el estado inicial
de un sistema mecánico aislado, definido por el conjunto de posiciones y velocidades en un
instante cualquiera, determina únicamente cualquier estado futuro.
Ley de acción y reacción: Hoy en dı́a se considera al principio de conservación del
momento lineal como fundamental y se deduce la tercera ley de Newton o ley de acción y
reacción. Veamos cómo se hace.
Dado un sistema de dos partı́culas aisladas con momentos P1 y P2 respecto a un sistema
de referencia inercial entonces: P1 + P2 = constante ⇒ Ṗ1 = −Ṗ2 . Luego
F1,2 = −F2,1 ,
(1.11)
la fuerza que la partı́cula #2 ejerce sobre la #1 es la opuesta a la fuerza que la partı́cula #1
le aplica a la #2.
En las siguientes secciones de este capı́tulo trataremos con referenciales no inerciales.
Estudiaremos cómo se relacionan los vectores velocidad y aceleración de dos referenciales
arbitrarios.
1.3
Derivada temporal de un vector.
El vector velocidad angular.
En esta sección se comparan las derivadas temporales de un vector calculadas por dos observadores arbitrarios. Luego se define el vector velocidad angular que codifica la rotación
de un observador respecto a otro y se estudian sus propiedades.
Consideremos dos sistemas de referencia: S con origen
en O y S con origen en O . En cada uno de ellos existe
una base ortonormal fija, {û1 , û2 , û3 } en S y {ê1 , ê2 , ê3 }
en S , luego
ûi · ûj = δij
y
êi · êj = δij
(1.12)
S
S
û3
O
û1
û2
ê3
ê2
O
ê1
Los nombres de los vectores se asignarán de manera que sean sistemas de mano derecha, ver
C. Di Bartolo
Leyes de Newton. Referenciales no inerciales
11
la figura anterior, i.e.
ûi × ûj =
êi × êj =
εijk ûk
k
εijk êk
(1.13)
k
o si se quiere
êi × êj = êk
ûi × ûj = ûk
con (ijk) una permutación cı́clica de (123) .
(1.14)
Los sistemas S y S’ pueden trasladarse y rotar en el tiempo uno respecto al otro; esto
conduce a que un vector cualquiera tenga derivada temporal distinta en los dos sistemas.
Por ejemplo los vectores de las dos bases satisfacen
d d (1.15)
ûi = 0
êi = 0
dt S
dt S y si están rotando entre sı́ puede ocurrir que dêi /dt |S = 0; la barra vertical con el subı́ndice S
o S indica el referencial donde se está tomando la derivada temporal. Veamos a continuación
cómo se calculan las derivadas de un vector en ambos referenciales y cómo se comparan estas
derivadas. Partamos de un vector A escrito en componentes; las componentes serán distintas
en cada referencial:
Ai ûi =
Ai êi .
(1.16)
A=
i
i
Al calcular la derivada temporal de A en un referencial se usa que la base asociada es fija,
ecuación (1.15), luego
dAi
dA
dA dA i
=
=
(1.17)
û
êi .
i
dt S
dt
dt
dt
S
i
i
Estas derivadas no tienen por qué coincidir. Calculemos cómo se comparan:
dA
dA d i
dêi =
Ai êi =
êi + Ai
dt S
dt
dt
dt S
i
i
S
y finalmente
dA dA dêi =
+
A
i
dt S
dt S dt S
i
(1.18)
Ejemplo 1.1 (Vector que gira).
Consideremos un vector B de módulo constante que en un referencial S gira alrededor del
eje fijo n̂; en este referencial también está fijo el vector û. Ver figura siguiente a la izquierda.
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Mecánica Clásica 1
C. Di Bartolo (Julio de 2004)
n̂
n̂
c
B
dϕ
a
ûϕ
û
ϕ
B
B
ûρ
Se cumple que B · n̂ y B · B son cantidades constantes que al derivarlas respecto al tiempo
en el referencial S conducen a Ḃ · n̂ = Ḃ · B = 0. Esto significa que el vector dB = Ḃdt es
perpendicular a los vectores n̂ y B, i.e., tiene dirección ûϕ = n̂ × B/|n̂ × B|. Si llamamos
B = B(t + dt) al vector rotado un ángulo dϕ = ϕ̇dt y dB = B − B se cumple que, ver
figura anterior a la derecha, dB = ac dϕ ûϕ = |n̂ × B|dϕ ûϕ = dϕ n̂ × B. Luego
B = B + dB = B + dϕ n̂ × B
por lo cual en el referencial S se cumple que
d B = (ϕ̇ n̂) × B
dt S
(1.19)
(1.20)
En el referencial S1 solidario a la trı́ada {ûρ , ûϕ , n̂} el vector B no cambia y su derivada es
cero. La derivada temporal del vector depende del observador.
A continuación definiremos el vector velocidad angular. Este vector nos permitirá comparar de manera eficiente las derivadas temporales del vector A. Según el referencial S los
vectores êi , de la base en reposo en S , varı́an en el tiempo. Si definimos
d · êj
(1.21)
êi
aij ≡
dt S
podemos escribir:
d aij êj
êi =
dt S
j
(1.22)
donde las componentes aij pueden ser función del tiempo. Demostremos que estas componentes no son independientes.
d
(êi · êk ) = 0 ⇒ ê˙ i · êk + êi · ê˙ k = 0 ⇒ aik + aki = 0
êi · êk = δik ⇒
dt
S
S
S
luego
aij = −aji
(a11 = a22 = a33 = 0) .
(1.23)
C. Di Bartolo
Leyes de Newton. Referenciales no inerciales
13
Definimos el vector WS |S , vector velocidad angular del referencial S respecto al referencial S, como
WS |S ≡
Wi∗ êi ≡ a23 ê1 + a31 ê2 + a12 ê3
(1.24)
i
i.e.,
W1∗ = a23 = −a32 = ê˙ 2 |S ·ê3 = −ê˙ 3 |S ·ê2
W2∗ = a31 = −a13 = ê˙ 3 |S ·ê1 = −ê˙ 1 |S ·ê3
W3∗ = a12 = −a21 = ê˙ 1 |S ·ê2 = −ê˙ 2 |S ·ê1
(1.25)
Resulta útil reescribir (1.24) y (1.25) de forma más compacta
WS |S =
Wi∗
≡ WS |S
1
εijk ajk êi
2 ijk
1
1
dêj · êi =
εijk ajk =
εijk
· êk
2 jk
2 jk
dt S
(1.26)
(1.27)
Veamos ahora cómo se escribe ê˙ i |S en términos del vector WS |S
1
1
εijk ajk êi × ên =
εijk ajk
εinl êl
2 ijk
2 ijk
l
1 j k
1
δn δl − δlj δnk ajk êl =
=
(anl − aln )êl =
anl êl
2 jkl
2 l
l
WS |S × ên =
luego (1.22) se convierte en
dêi = WS |S × êi .
dt S
(1.28)
Esta ecuación nos dice cómo es el movimiento del vector unitario êi visto desde el referencial
S. El vector êi tiene norma constante lo cual quiere decir que lo único que cambia en el
tiempo es su dirección, i.e., el vector rota. En el intervalo de tiempo [t, t + dt] el vector, visto
desde S, cambia de acuerdo a
dêi |S = êi (t + dt) − êi (t) = (WS |S dt) × êi .
Según el ejemplo 1.1 eso corresponde a un giro del vector êi un ángulo dϕ = |WS |S |dt
S |S sólo que ahora esa dirección puede cambiar en el tiempo.
alrededor de la dirección W
Esta es la razón por la cual se llama al vector WS |S la velocidad angular del referencial S según S.
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Mecánica Clásica 1
C. Di Bartolo (Julio de 2004)
Ejemplo 1.2.
Consideremos nuevamente el vector B y referenciales definidos en el ejemplo 1.1. El vector B
es un vector arbitrario pero fijo en el referencial S1 que puede sustituirse por cualquier vector
de la trı́ada {ûρ , ûϕ , n̂} en la expresión (1.20) y de acuerdo a (1.28) la velocidad angular entre
los dos referenciales es
(1.29)
WS1|S = ϕ̇ n̂ .
Para un vector A cualquiera podemos re-escribir (1.18) en función de la velocidad angular.
Usando la ecuación (1.28) se obtiene
Ai ê˙ i =
Ai WS |S × êi = WS |S × (
Ai êi )
i
luego
S
i
i
dA dA =
+ WS |S × A .
dt S
dt S (1.30)
Esta última ecuación nos muestra finalmente cómo se relacionan las derivadas temporales
de un vector tomadas por dos observadores distintos. En particular se obtiene que cualquier
vector fijo en S se ve desde S como un vector que gira con velocidad angular WS |S .
A continuación deduciremos algunas propiedades del vector velocidad angular. Usando
la ecuación (1.30) e intercambiando referenciales se obtiene la antisimetrı́a de la velocidad
angular ante el intercambio de referenciales:
Ȧ = Ȧ +WS |S ×A y Ȧ = Ȧ +WS|S ×A ⇒ (WS |S +WS|S )×A = 0 ∀A
S
S
S
S
luego
WS|S = −WS |S .
(1.31)
La forma en que se suman las velocidades angulares se obtiene de considerar (1.30) para dos
cambios de referenciales sucesivos:
Ȧ = Ȧ + WS |S × A = Ȧ + (WS |S + WS |S ) × A = Ȧ + WS |S × A ∀A
S
S
S S luego
WS |S = WS |S + WS |S .
(1.32)
Por último también de (1.30) se obtiene que la derivada temporal de WS |S es la misma para
los dos observadores
d
d
(1.33)
WS |S = WS |S .
dt
dt
S
S
C. Di Bartolo
1.4
15
Leyes de Newton. Referenciales no inerciales
Derivadas temporales de las bases cilı́ndricas
y esféricas asociadas a un punto móvil.
Dado un conjunto de ejes cartesianos podemos asociar a cualquier punto móvil tres bases de
vectores ortonormales que corresponden a las coordenadas cartesianas, cilı́ndricas y esféricas.
Cada una de esas bases define un referencial en el cual los vectores de esa base no cambian
en el tiempo. En esta sección calcularemos las velocidades angulares entre estos referenciales, luego las usaremos para hallar las derivadas temporales de los vectores de las bases
y por último encontraremos las expresiones del vector velocidad del punto en coordenadas
cilı́ndricas y esféricas.
La figura muestra un punto móvil arbitrario con vector de
posición r(t) y muestra también los vectores unitarios usuales
de las bases de coordenadas cartesianas, cilı́ndricas y esféricas.
Cada trı́ada de vectores define un referencial (todos con el mismo
origen 0):
ûz
ûr
θ r
{ûx , ûy , ûz } define el referencial S (cartesianas)
{ûρ , ûϕ , ûz } define el referencial SC (cilı́ndricas)
{ûr , ûθ , ûϕ } define el referencial SE (esféricas)
En cada uno de los referenciales mencionados la base de vectores
correspondiente está fija.
ûx
ϕ
ûθ ûy
ûϕ
ûρ
Calculemos WSC |S . Las coordenadas cilı́ndricas del punto móvil son (ρ, ϕ, z) y sólo
cuando ϕ cambia los vectores {ûρ , ûϕ , ûz } rotan y lo hacen alrededor del eje Z. De acuerdo
a (1.29) esto significa que
WSC |S = ϕ̇ûz = ϕ̇(cosθ ûr − senθ ûθ ) .
(1.34)
Para calcular WSE |SC observemos cómo se mueve la base {ûr , ûθ , ûϕ } vista desde el referencial SC ; las coordenadas esféricas del punto móvil son (r, ϕ, θ) y sólo cuando varı́a θ la
base rota y lo hace alrededor de un eje paralelo a ûϕ según el referencial SC . Nuevamente
de acuerdo a (1.29) esto implica que
WSE |SC = θ̇ûϕ .
(1.35)
La última velocidad angular que nos interesa es WSE |S . La podemos calcular a partir de
las dos anteriores usando la propiedad (1.32) (de suma de velocidades angulares):
WSE |S = WSC |S + WSE |SC = θ̇ûϕ + ϕ̇ûz = θ̇ûϕ + ϕ̇cosθ ûr − ϕ̇senθ ûθ .
(1.36)
Como ejemplos de cálculos de derivadas temporales de vectores hallaremos a continuación
las derivadas, en el referencial S, de los vectores pertenecientes a las bases esférica y cilı́ndrica.
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Mecánica Clásica 1
d ûr
dt S
d ûθ
dt S
d ûρ
dt S
d ûϕ
dt S
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= WSE |S × ûr = θ̇ûθ + ϕ̇senθ ûϕ
(1.37)
= WSE |S × ûθ = −θ̇ûr + ϕ̇cosθ ûϕ
(1.38)
= WSC |S × ûρ = ϕ̇ûϕ
WSE |S × ûϕ = −ϕ̇cosθ ûθ − ϕ̇senθ ûr
=
WSC |S × ûϕ = −ϕ̇ûρ
(1.39)
(1.40)
Para uso futuro y aprovechando las derivadas anteriores hallemos la velocidad del punto
móvil en coordenadas esféricas
d
d
d (1.41)
r = (rûr ) = ṙûr + r ûr = ṙûr + rθ̇ûθ + rϕ̇senθ ûϕ
dt S
dt
dt S
S
y cilı́ndricas
1.5
d
d r = (z ûz + ρûρ ) = ż ûz + ρ̇ûρ + ρϕ̇ûϕ .
dt S
dt
S
(1.42)
Transformación de velocidades y aceleraciones.
Fuerzas ficticias.
En esta sección deduciremos las leyes de transformación de los vectores posición, velocidad y
aceleración de una partı́cula al cambiar de sistema de referencia. Al final estudiaremos cómo
se escribe la segunda ley de Newton en referenciales no inerciales y definiremos las fuerzas
ficticias.
La figura a la derecha muestra dos sistemas de referencia
S y S con orı́genes en “O” y “O ” respectivamente, ambos describiendo el movimiento de una partı́cula p. Cada
referencial le asigna una posición, velocidad y aceleración:
(r, v, a) según S y (r , v , a ) según S , esto es
d d a = v
(1.43)
r
v =
dt S
dt S
d d v =
a = v .
(1.44)
r
dt dt
S
S
p
r
O
r
S
ro ,o
O
S
Sabiendo que WS |S es la velocidad angular de S según S queremos determinar cómo se
relacionan sus observaciones. Los vectores de posición satisfacen la ecuación
r = r + ro ,o
(1.45)
C. Di Bartolo
Leyes de Newton. Referenciales no inerciales
17
donde ro ,o es la posición de O respecto a O. Derivando esta ecuación y usando la ley de
transformación para la derivada temporal de un vector, ecuación (1.30), se obtiene
d d d
d d
r = r + ro ,o = r + WS |S × r + ro ,o .
dt S
dt S dt
dt S dt
S
S
Luego la ley de transformación de velocidades es
donde
v = v + WS |S × r + vo
(1.46)
d
vo ≡ ro ,o dt
S
(1.47)
es la velocidad de O en el referencial S. Como curiosidad relacionaremos vo con vo (la
velocidad del origen O en el referencial S ). Esta última se define como
d
vo = (ro,o )
con ro,o = −ro ,o .
(1.48)
dt
S
Usando la ley de transformación (1.30) sobre ro ,o se consigue
d
d
ro ,o = (−ro,o ) + WS |S × ro ,o = −vo + WS |S × ro ,o
dt
dt
S
S
y de aquı́ obtenemos la relación buscada
vo = −vo + WS |S × ro ,o .
(1.49)
Nótese que si WS |S = 0 las velocidades relativas entre dos móviles no son opuestas entre sı́.
Calculemos ahora cómo transforma el vector aceleración al cambiar de observador. Para
ello derivamos respecto al tiempo la ecuación (1.46) que da el cambio en la velocidad y luego
usamos la ley de transformación general (1.30).
d d d
d
v =
v + (WS |S × r ) + vo dt S
dt S dt
dt
S
S d d
d =
v + WS |S × r + WS |S × r + ao
dt S dt
dt S
d d
=
v + WS |S × v + WS |S × r + WS |S × (v + WS |S × r ) + ao .
dt S dt
De estos cálculos obtenemos la ley de transformación de la aceleración ante un cambio de
observador:
a = a + WS |S × (WS |S × r ) + 2WS |S × v +
d
WS |S × r + ao
dt
(1.50)
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Mecánica Clásica 1
donde
C. Di Bartolo (Julio de 2004)
d
d2
ao = vo = 2 ro ,o dt
dt
S
S
(1.51)
es la aceleración del origen O en el referencial S. El segundo sumando en (1.50), WS |S ×
(WS |S × r ), recibe el nombre de aceleración centrı́peta y el tercero, 2WS |S × v , es llamado
aceleración de Coriolis.
Un caso particular ocurre cuando los dos referenciales son inerciales; en este caso se
cumplen las siguientes ecuaciones:

WS |S



ao
v



a
=0
=0
= v + vo
= a .
(1.52)
Pasemos a continuación al tema de escribir la segunda ley de Newton en un referencial no
inercial. Supongamos que el referencial S es inercial mientras que S no lo es. Una partı́cula
de masa m sometida a una fuerza neta F sigue según S una trayectoria que satisface la
segunda ley de Newton:
d2 (1.53)
F = m 2 r .
dt S
En esta ecuación podemos sustituir la aceleración en el referencial S en función de la aceleración en el referencial S usando la ley de transformación (1.50). El resultado es
d2 F = m 2r (1.54)
dt
S
con
F ≡ F − mao − 2mWS |S × v − mWS |S × (WS |S × r ) − m
d
WS |S × r .
dt
(1.55)
Estas ecuaciones determinan la trayectoria r (t) que sigue la partı́cula según el referencial
S . La ecuación (1.54) tiene la apariencia de la segunda ley de Newton en los sistemas
inerciales pero ello se ha conseguido a costa de agregar al vector fuerza cuatro términos
cinemáticos que son productos de masa por aceleración, ver ecuación (1.55). Estos términos
son llamados genéricamente fuerzas ficticias en el entendido que, a diferencia de las fuerzas
en F , no se deben a interacciones de la partı́cula con otros cuerpos. Algunas de las fuerzas
ficticias en (1.55) tienen nombre propio. El tercer término,−2mWS |S × v , es llamado fuerza
de Coriolis y se anula si en el referencial S la partı́cula tiene una trayectoria paralela a
WS |S . El cuarto término, −mWS |S × (WS |S × r ), o fuerza centrı́fuga puede ser no nula
aunque la partı́cula esté en reposo y la fuerza ficticia −mẆS |S × r existe sólo en sistemas
con aceleración angular.
C. Di Bartolo
1.6
Leyes de Newton. Referenciales no inerciales
19
Movimiento de una partı́cula en un
referencial solidario a la Tierra.
Un sistema de coordenadas fijo a la Tierra es una buena aproximación a un sistema inercial
para muchos propósitos. Sin embargo, la Tierra gira respecto al “conjunto de estrellas
lejanas” (considerado como un mejor sistema inercial) y eso tiene consecuencias que se pueden
medir. En esta sección estudiaremos el movimiento de una partı́cula en el referencial de
Tierra y escribiremos sus ecuaciones de movimiento. Luego estudiaremos dos ejemplos: la
plomada y una partı́cula en “caı́da libre”.
Deseamos hallar las ecuaciones de movimiento de una partı́cula arbitraria cuando es
vista por un observador no inercial fijo en Tierra. Estas ecuaciones no son otras que las
provenientes de la segunda ley de Newton para sistemas no inerciales, ley descrita en la
sección anterior. Por otro lado, estas ecuaciones requieren un sistema inercial de referencia
S y para establecerlo supondremos que el sistema Sol-Tierra es un sistema aislado; esto
significa que despreciaremos su interacción con el resto de planetas y cuerpos de la galaxia y
en consecuencia (como veremos cuando estudiemos el problema de dos cuerpos) el centro de
masa del sistema estará en reposo en algún sistema inercial. Para nuestro estudio necesitamos
varios datos astronómicos contenidos en la siguiente tabla.
Distancia Sol-Tierra RST ≈ 1.50 ∗ 1013 cm
Radio ecuatorial de la Tierra RT ≈ 6.38 ∗ 108 cm ≈ 4.25 ∗ 10−5 RST
Masa de la Tierra MT ≈ 5, 98 ∗ 1027 g
Masa del Sol MS ≈ 1.99 ∗ 1033 g ≈ 3.3 ∗ 105 MT
Traslación de la Tierra alrededor del Sol
Perı́odo τT ≈ 3.16 ∗ 107 s
Velocidad angular WT = 2π/τT ≈ 1.99 ∗ 10−7 s−1
Rotación de la Tierra sobre su eje
Perı́odo τR ≈ 8.62 ∗ 104 s
Velocidad angular WR = 2π/τR ≈ 7.29 ∗ 10−5 s−1
Tabla 1-1
El centro de masa del sistema Sol-Tierra es un punto de la lı́nea que une los centros de
los dos astros que satisface
0 = MT rT + MS rS ,
donde rT y rS son las posiciones de los centros de la Tierra y del Sol respecto al centro
de masa del sistema. La posición del centro de la tierra respecto al centro del Sol puede
escribirse como rT,S = rT − rS y junto con la ecuación anterior conduce a que la separación
20
Mecánica Clásica 1
C. Di Bartolo (Julio de 2004)
entre el centro de la Tierra y el centro de masa del sistema Sol-Tierra es
|rT |
MS
MS
3 ∗ 105
r
=
=
RST ≈
RST ≈ RST .
MT + MS T,S
MT + M S
1 + 3 ∗ 105
Este resultado nos permite confundir el centro de masa del sistema Tierra-Sol con el centro
del Sol y tomar como sistema de referencia inercial S aquel con origen en el Sol y que no
rota con respecto al “conjunto de estrellas lejanas”. Como sistema acelerado S’ tomaremos
uno con origen en el centro de la Tierra y que rota solidariamente con ella.
Para hallar la velocidad angular relativa entre los dos referenciales tomaremos que el
plano de la órbita es fijo en el referencial inercial, llamemos ẑ al vector perpendicular a este
plano. Usaremos un tercer referencial S con centro en el Sol y para el cual son fijos el vector
ẑ y el vector unitario que apunta del Sol a la Tierra. Luego
WS |S = WS |S + WS |S = WT + WR ≈ cte
(1.56)
donde los vectores WT y WR son casi paralelos y sus módulos que aparecen en la tabla 3-1
satisfacen WT /WR ≈ 2.73 ∗ 10−3 . Este resultado nos permite aproximar
W ≡ WS |S ≈ WR .
(1.57)
A continuación escribiremos las ecuaciones que en el referencial S rigen el movimiento
de una partı́cula de masa m. Llamaremos referencial T o Tierra al referencial S y r(t) a
la posición de la partı́cula respecto al centro de la Tierra. De acuerdo a (1.54) y (1.55) el
vector r(t) satisface la siguiente ecuación diferencial
d2 (1.58)
m 2 r ≈ F ” + Fg + Fm,S − mao − 2mW × ṙ|T − mW × [W × r] .
dt T
Donde
−GMT m r
( )
(1.59)
r2
r
es la fuerza gravitatoria sobre la partı́cula debida a la Tierra (supuesta esférica y homogénea),
Fm,S es la fuerza sobre m debida al Sol, F ” representa todas las otras fuerzas que actúan
sobre m y ao es la aceleración del centro de la Tierra (origen del referencial S ) respecto al
referencial S con origen en el Sol. En la ecuación (1.58) la suma de términos Fm,S − mao
cancela de manera aproximada si suponemos que la partı́cula está mucho más cerca de la
Tierra que del Sol, i.e. |r| |rT,S | = RST . Para demostrarlo supondremos que el Sol es una
esfera homogénea,
−GMS rT,S
FT,S
rT,S + r
−GmMS
≈m
=m
Fm,S =
≈ mao .
2
2
|rT,S + r| |rT,S + r|
|rT,S |
|rT,S |
MT
Fg ≡
En la ecuación anterior FT,S es la fuerza gravitatoria sobre la Tierra debida al Sol. Esta
fuerza es aproximadamente igual a la masa de la Tierra por su aceleración respecto al Sol
C. Di Bartolo
21
Leyes de Newton. Referenciales no inerciales
ya que el sistema Tierra-Sol se consideró aislado. Al final del dı́a la ecuación de movimiento
de la partı́cula en el referencial de Tierra es
d d2 (1.60)
m 2 r ≈ F + Fg − 2mW × r − mW × (W × r) .
dt T
dt T
Plomada. Gravedad efectiva. Ahora consideraremos el caso de una partı́cula que se
encuentra en reposo en el referencial Tierra suspendida de una cuerda.
En la figura se muestra la Tierra girando con velocidad
angular W = |WS |S |, el punto p representa la partı́cula,
el ángulo λ es su latitud y el ángulo θ = π/2 − λ es su
colatitud. También se muestran los vectores unitarios de
las bases esféricas y cilı́ndricas que usaremos en nuestras
cuentas. La ecuación de movimiento de la partı́cula,
supuesta de masa m, es la ecuación (1.60) con F la
tensión que le aplica la cuerda y Fg = mg(r) donde
−GMT
g(r) ≡
ûr
r2
W
p
Polo norte
ûr
ûθ
r
θ
û
λ
ûρ
ûϕ
(1.61)
Polo sur
es la aceleración de gravedad.
Como la partı́cula está en reposo en el referencial Tierra las derivadas temporales de su
vector posición son nulas y la ecuación (1.60) permite despejar la tensión:
F = −mgef
(1.62)
donde hemos definido la aceleración de gravedad efectiva como
gef (r) ≡ g(r) − W × (W × r) .
(1.63)
Se trata de la aceleración de gravedad que el observador de Tierra determinarı́a si olvidara
que no es inercial, i.e., mgef es la fuerza opuesta a la tensión (peso efectivo) que actúa
sobre una partı́cula de masa m que cuelga en reposo. Nótese que la dirección de la plomada
coincide con la dirección de gef . En los siguientes dos diagramas se muestran, no a escala,
los vectores más relevantes involucrados en la presente discusión.
F
−W × (W × r)
W
g
ûr
gef
α
Tierra
Tierra
mgef
22
Mecánica Clásica 1
C. Di Bartolo (Julio de 2004)
A continuación obtendremos la expresión de gef en coordenadas esféricas y calcularemos
el ángulo α que se aparta la plomada de la dirección radial. Como W = W û se cumple que
W × (W × r) = rW 2 û × (û × ûr ) = rW 2 senθ û × ûϕ
= −rW 2 senθ ûρ = −rW 2 senθ (cosλ ûr + senλ ûθ )
y al substituir este resultado en (1.63) se obtiene que la gravedad efectiva es
GMT
2
2
gef (r) = −
− rW sen θ ûr + rW 2 senθ cosθ ûθ
r2
(1.64)
y de aquı́ que la tangente del ángulo α es igual a
rW 2 senθ cosθ
.
tg(α) =
GMT
2
2
−
rW
sen
θ
r2
(1.65)
Es interesante evaluar ambas cantidades cerca de la superficie terrestre (r = RT ). Recordando que la gravedad sobre la superficie de la Tierra es
g ≡ |g(RT )| =
GMT
≈ 9.8 m/s2
RT2
encontramos que inmediatamente sobre la superficie de la Tierra se cumple que
gef = − g − RT W 2 sen2 θ ûr + RT W 2 senθ cosθ ûθ
RT W 2 senθ cosθ
tg(α) =
g − RT W 2 sen2 θ
(1.66)
(1.67)
(1.68)
De estas ecuaciones obtenemos que en los polos (θ = 0 y θ = π) y en el ecuador (θ = π2 )
α = 0 lo que significa que la gravedad efectiva no se desvı́a de la dirección radial. En los
polos la gravedad efectiva coincide con la gravedad gef = −gûr mientras que en el ecuador
es ligeramente más pequeña gef = −(g − RT W 2 )ûr , ya que RT W 2 ≈ 0.034 m/s2 .
Partı́cula que cae libremente. En este apartado estudiaremos el movimiento, visto
desde el referencial Tierra, de una partı́cula de masa m en caı́da libre (F = 0) cerca de la
superficie de la Tierra. De acuerdo a (1.60) y (1.61) la ecuación diferencial para la trayectoria
de la partı́cula es
d2 m 2 r ≈ mg − mW × (W × r) − 2mW × ṙ|T
dt T
≈ mg − 2mW × ṙ|T .
(1.69)
En la ecuación anterior se despreció la aceleración centrı́peta frente a la aceleración de
gravedad ya que para una partı́cula cerca de la superficie de la Tierra se cumple
|W × (W × r)|
W 2 RT
≈
≈ 0.0035 .
|g|
g
(1.70)
C. Di Bartolo
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Leyes de Newton. Referenciales no inerciales
Supondremos que inicialmente la partı́cula está en
reposo (según Tierra) en un punto a una altura h
(h RT ) por encima de un punto O en la superficie de la Tierra. Tomaremos vectores unitarios
fijos a la Tierra { ûx , ûy , ûz } como se muestra en
la figura adjunta. Llamaremos r al vector posición
de la partı́cula respecto al origen O ,
posición inicial
û
ûz (hacia arriba)
W
O
ûx (hacia el Sur)
θ
ûy
(hacia el Este)
r = r − RT ûz .
(1.71)
Cerca de la superficie de la Tierra se cumple que
g=
−GMT r
−GMT (RT ûz + r )
−GMT
=
=
[ûz + O(h /RT )] ≈ −gûz
r3
|RT ûz + r |3
RT2
y sustituyendo en (1.69) obtenemos que el vector r satisface la ecuación diferencial
d d2 r ≈ −gûz − 2W û × r (1.72)
dt2 T
dt T
con condiciones iniciales:
r (0) = hûz
ṙ (0) = 0 .
Para hallar la solución a esta ecuación diferencial y sin perder generalidad escribiremos ṙ en función de una nueva variable adimensional C definida por medio de la ecuación
ṙ = −gtûz +
g
C.
W
(1.73)
Luego de este cambio de variable la ecuación (1.72) se convierte en
Ċ = 2W 2 tû × ûz − 2W û × C
y se integra como
2 2
C(t) = W t û × ûz − 2W û ×
(1.74)
t
C dt.
(1.75)
0
Al resolver esta última ecuación de manera iterativa podemos observar que el segundo
sumando conduce a potencias de (W t) de orden tres y mayores. Si suponemos que el
tiempo considerado es muy pequeño comparado con el perı́odo de rotación de la Tierra
(t << 1/W = τR /2π ≈ 1.37 ∗ 104 s ≈ 3.8 horas) podemos cortar la solución y quedarnos con
el primer sumando
C(t) = W 2 t2 û × ûz + O(W 3 t3 ) = W 2 t2 sen(θ)ûy + O(W 3 t3 ) .
En este caso
ṙ ≈ −gtûz + gW t2 sen(θ)ûy
(1.76)
24
Mecánica Clásica 1
C. Di Bartolo (Julio de 2004)
y de aquı́ obtenemos finalmente
gt2
gW t3
r (t) ≈ −
+ h ûz +
sen(θ)ûy .
2
3
(1.77)
En el orden de aproximación en el cual nos encontramos el movimiento vertical de la
1
partı́cula no depende de W y ésta cae a la superficie en el tiempo ts = (2h/g) 2 . Sin
embargo, en su caı́da la partı́cula se desvı́a hacia el Este de la dirección radial (la misma
dirección de giro de la Tierra) y esto ocurre independientemente del hemisferio en el cual
se encuentre. La partı́cula cae en la superficie terrestre en un punto que está situado a una
3
distancia y(ts ) = 13 g sen(θ)W (2h/g) 2 al Este de O . Esta distancia es nula en los polos
(θ = 0 y θ = π) y máxima en el Ecuador (θ = π/2). Como un ejemplo si la partı́cula está
en el Ecuador y parte del reposo a una altura h = 100 m, tardará en caer ts ≈ 4.5 s, y se
desviará de la vertical hacia el Este una distancia y(ts ) ≈ 2.2 cm.