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GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO
Coordenadas cartesianas
Sistema de ejes Cartesianos:
Dicho nombre se debe a Descartes, el cual tuvo la idea de expresar un objeto geométrico como un punto o
una recta, mediante una expresión algebraica; por ejemplo un par de números o una ecuación.
Para ello se consideran dos rectas secantes, en la que tomaremos su punto de intersección como punto de
inicio u origen, una unidad y un sentido. Cada punto de estas rectas se corresponde con un número real. A
dichas rectas le llamaremos ejes de coordenadas y al punto en el que se intersectan origen de
coordenadas y lo anotaremos con la letra O. Este punto se corresponde con el número 0 en ambos ejes.
Por convención se nombra los ejes, ejes de las abscisas y eje de las ordenadas, y se simbolizan por ⃗ e ⃗
respectivamente.
O
En general trabajaremos con un sistema de ejes cartesianos ortogonales. Esto es un sistema cartesiano en
que los ejes son rectas perpendiculares. Convendremos que el eje se encuentra en posición horizontal y
el eje en posición vertical.
Si es un punto del plano y trazamos por él rectas paralelas a ambos ejes, estas cortaran al eje y al eje
en dos puntos que se corresponden en los ejes con los números reales
e , que llamaremos abscisa y
ordenada respectivamente del punto .
0
Decimos que los números
e
son las coordenadas del punto en el sistema de ejes cartesianos
ortogonales que se ha definido.
Para nombrar un punto por sus coordenadas utilizaremos un par ordenado, en el que la primera
componente es la abscisa y la segunda la ordenada, diremos que las coordenadas del punto son
Cada punto del plano se puede expresar mediante un par ordenado de números reales y recíprocamente
cada par de números reales, representa un único punto del plano.
Distancia entre dos puntos
Distancia entre dos puntos que determinan un segmento paralelo a uno de los ejes coordenados:
Ejemplo: Dados los puntos
y
¿Cuál es la distancia entre ellos?
Ubica los puntos en un sistema de ejes coordenados y observa que el segmento que ellos determinan es
paralelo al eje de las abscisas y por lo tanto su distancia será:
o también se la
puede calcular como
. En este último caso observemos que la distancia nos
queda negativa, lo cual es imposible, por ello para solucionar dicho inconveniente introduciremos el
| |
| | |
concepto de valor absoluto, y nos quedará |
.
De la misma forma se puede razonar si el segmento que los puntos de determinan es paralelo al eje de las
ordenadas, y por lo tanto en este caso haremos la diferencia entre las ordenadas de dichos puntos.
Concluimos entonces que:
Distancia entre dos puntos que determinan un segmento paralelo a alguno de los ejes coordenados:
|
|
Sí y tienen la misma ordenada, es decir
entonces
|
|
SÍ y tienen la misma abscisa, es decir
entonces
.
Distancia entre dos puntos que determinan un segmento no paralelo a uno de los ejes coordenados:
Ejemplo: Dados los puntos
y
¿Cuál es la distancia entre ellos?
Representa dichos puntos en el sistema de ejes y observa que determinan un segmento no paralelo a los
ejes coordenados. Para hallar la distancia entre ellos se considera el punto que resulta de la intersección
de las rectas paralelas a los ejes que pasan respectivamente por y , formándose así el triángulo
rectángulo en ; en el cual la distancia buscada es la longitud de su hipotenusa, la que se halla aplicando el
Teorema de Pitágoras.
En general: Dados los puntos
de manera que el triángulo
|
|
y
consideramos el punto como se muestra en la figura,
es rectángulo en y aplicamos Pitágoras:
|
|
Y por propiedad del valor absoluto:
√
Distancia entre dos puntos:
Si
y
entonces
√
Coordenadas del punto medio de un segmento
Segmento paralelo a uno de los ejes coordenados:
Sean los puntos
y
tal que
Si es el punto medio del segmento
entonces:
|
|
|
|
Como las abscisas de los puntos y ambas son mayores
que la abscisa de , las diferencias
y
son números positivos, entonces no sería necesario
el valor absoluto
Realizando operaciones y ordenando:
Si operamos de la misma forma considerando ahora
, llegaremos a que
Segmento no paralelo a ninguno de los ejes coordenados:
Dados los puntos
y
, tracemos las rectas paralelas al eje que pasan por
,
estas determinan con el eje los puntos
respectivamente. Los puntos
tienen ordenada 0,
el punto tiene la misma abscisa que y el punto tiene la misma abscisa que y el punto la misma
abscisa que .
Las rectas
de Thales y afirmar:
Como
Como
Como
son paralelas;
es punto medio del segmento
|
|
, entonces
y
secantes a ellas, entonces podemos aplicar el teorema
, entonces:
|
entonces
, por lo tanto
|
|, como
y
, entonces
, por lo que
Sustituyendo obtenemos la igualdad:
Además
, entonces
|
y sustituyendo
|
| y por ser
Razonando análogamente podemos deducir que:
Finalmente llegamos a que:
Coordenadas del punto medio de un segmento:
Dados los puntos
y
, las coordenadas de
(
, punto medio del segmento
son
)
Ecuaciones de la recta
Ecuación de la recta paralela al eje de las ordenadas:
Dada la recta paralela al eje que pasa por el punto
* es una recta vertical
* Todo punto que pertenece a la recta tiene abscisa
* Todo punto de abscisa pertenece a la recta
Por lo tanto su ecuación será :
, con
números reales, se cumple que:
, con
números reales, se cumple que:
Ecuación de la recta paralela al eje
Si la recta es paralela al eje su ecuación es de la forma
En particular el eje tiene ecuación
Ecuación de la recta paralela al eje de las ordenadas:
Dada la recta paralela al eje que pasa por el punto
* es una recta horizontal
* Todo punto que pertenece a la recta tiene ordenada
* Todo punto de ordenada pertenece a la recta
Por lo tanto su ecuación será :
Ecuación de la recta paralela al eje
Si la recta es paralela al eje su ecuación es de la forma
En particular el eje tiene ecuación
Ecuación de la recta:
Analicemos el caso en que la recta no es paralela a los ejes. Sea la recta que pasa por los puntos
y
como muestra la figura:
P
B
A
K
L
Sea un punto genérico de de coordenadas
, consideramos las rectas
paralelas al eje , aplicando el teorema de Thales tenemos:
es decir:
Observemos que
,
cuenta que las coordenadas de
(
,
ambas
, entonces podríamos poner:
teniendo en
son fijas, realizando operaciones y ordenando:
Si le llamamos
llamaremos ecuación general de la recta.
, tendremos
que es lo que
Ecuación general de la recta:
Toda recta tiene ecuación de la forma
donde
son números reales no
simultáneamente nulos.
Toda ecuación de la forma
con
números reales, no simultáneamente nulos,
representa una recta
A la ecuación
la llamaremos ecuación general de la recta.
Ecuación explícita de la recta:
Consideremos una recta no paralela al eje , es decir
y partiendo de la ecuación general
, dividiremos ambos miembros de la igualdad entre
Si le llamamos
recta.
nos quedara la ecuación
llamada ecuación explícita de la
Ecuación explícita de la recta
Toda recta no paralela al eje tiene ecuación de la forma
Toda ecuación de la forma
representa una recta no paralela al eje
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Consideremos la recta que pasa por los puntos
y
de . Trazamos algunas rectas paralelas a los ejes determinando
aplicando el teorema de Thales
. Sea
y
un punto cualquiera
(ver figura anterior) y
Esta última
expresión es la ecuación de la recta que pasa por los puntos
y .
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Dados
y
con
la ecuación de la recta
Coeficiente angular de la recta:
Consideremos la ecuación de la recta que pasa por los puntos
es:
y ,
al número
llamando
obtenemos así en el segundo
miembro de la ecuación, un término en “x” y otro independiente de “x”, entonces podemos escribir la
ecuación de la recta en la forma
, obteniendo formalmente la fórmula explícita de la recta.
Definición: Dados dos puntos
angular de la recta
al número
Observación: El cociente
y
con
llamamos pendiente o coeficiente
que definimos como coeficiente angular de la recta, es la tangente
trigonométrica del ángulo , ángulo de inclinación de la recta. Dicho ángulo es el ángulo que forma la recta
con el eje , tomado en sentido antihorario, tal que
. O sea que
.
Ecuación de la recta conociendo su coeficiente angular y un punto de ella
La recta de coeficiente angular que pasa por el punto
tiene ecuación
Posiciones relativas entre rectas en el plano:
Dadas dos rectas en el plano, a las que llamaremos coplanares, pueden cumplir:
a) Que sean la misma recta y decimos que son rectas coincidentes
b) Que tengan un único punto en común y decimos que son rectas secantes
c) Que no tengan puntos en común y las llamaremos paralelas no coincidentes, ya que las rectas
coincidentes también son paralelas.
Rectas coincidentes
Dos rectas son coincidentes si sus ecuaciones son equivalentes
Rectas Secantes
Dos rectas y son secantes si al resolver un sistema con sus ecuaciones se obtiene un único valor de
un único valor de , coordenadas del único punto de intersección
Rectas Paralelas, no coincidentes
Dos rectas y de ecuaciones
y
con
y
son rectas paralelas no coincidentes
Condición de paralelismo entre rectas
Dos rectas y no paralelas al eje :
* son paralelas si sus coeficientes angulares son iguales
* si sus coeficientes angulares son iguales, entonces son paralelas
En definitiva:
Condición de perpendicularidad entre rectas
Dos rectas y no paralelas a los ejes coordenados:
* son perpendiculares si sus coeficientes angulares son opuestos e inversos
* si sus coeficientes angulares son opuestos e inversos, entonces son perpendiculares
En definitiva