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Análisis de Estabilidad: Caso No Autónomo
Estabilidad de Sistemas Discretos
Análisis de Sistemas No Lineales
Análisis de Estabilidad: Caso No Autónomo
Dr. Fernando Ornelas Tellez
Universidad Michoacana de San Nicolas de Hidalgo
Morelia, Michoacán
Sistemas de Control
Dr. Fernando Ornelas Tellez
UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado
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Análisis de Estabilidad: Caso No Autónomo
Estabilidad de Sistemas Discretos
Contenido
1
Análisis de Estabilidad: Caso No Autónomo
Sistemas No Autónomos
Análisis de Lyapunov para Sistemas No Autónomos
Sistemas Lineales Variantes en el Tiempo y Linealización
2
Estabilidad de Sistemas Discretos
Caso Lineal
Caso No Lineal
Discretización y Estabilidad de Sistemas Discretos
Dr. Fernando Ornelas Tellez
UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado
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Análisis de Estabilidad: Caso No Autónomo
Estabilidad de Sistemas Discretos
Sistemas No Autónomos
Análisis de Lyapunov para Sistemas No Autónomos
Sistemas Lineales Variantes en el Tiempo y Linealización
Outline
1
Análisis de Estabilidad: Caso No Autónomo
Sistemas No Autónomos
Análisis de Lyapunov para Sistemas No Autónomos
Sistemas Lineales Variantes en el Tiempo y Linealización
2
Estabilidad de Sistemas Discretos
Caso Lineal
Caso No Lineal
Discretización y Estabilidad de Sistemas Discretos
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Análisis de Estabilidad: Caso No Autónomo
Estabilidad de Sistemas Discretos
Sistemas No Autónomos
Análisis de Lyapunov para Sistemas No Autónomos
Sistemas Lineales Variantes en el Tiempo y Linealización
Intro.
Los conceptos para los sistemas no autónomos son similares a los
de sistemas autónomos. Sin embargo, debido a la dependencia del
tiempo en el comportamiento del sistema no autónomo, en particular la dependencia eventual del tiempo inicial t0 , los conceptos de
estabilidad incluyen a t0 de forma explícita.
Además, es necesario el nuevo concepto de uniformidad para caracterizar los sistemas no autónomos con la finalidad de indicar la
importancia del efecto del tiempo inicial [2]. En la práctica, es deseable tener uniformidad en el comportamiento del sistema sin importar
el tiempo en el cual se inicia a operar.
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Sistemas No Autónomos
Análisis de Lyapunov para Sistemas No Autónomos
Sistemas Lineales Variantes en el Tiempo y Linealización
Sistema No Autónomo
Consideremos el sistema no autónomo (inestacionario)
(1)
ẋ = f (t, x)
donde f : (0, 1) ⇥ D ! Rn es seccionalmente continua en t y
localmente Lipschitz en x en (0, 1) ⇥ D y D ⇢ Rn es un dominio
que contiene x = 0.
Definición
El origen es un PE del sistema (1) en t = 0 si
f (t, 0) = 0
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8t
0.
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Sistemas No Autónomos
Análisis de Lyapunov para Sistemas No Autónomos
Sistemas Lineales Variantes en el Tiempo y Linealización
Traslación del PE al Origen
El equilibrio en el origen puede ser la traslación de una solución no
nula del sistema. Supongamos que ỹ (⌧ ) es una solución del sistema
dy
= g (⌧, y ) definida para todo
d⌧
El cambio de variables x = y
en la forma
ẋ = g (⌧, y )
ỹ y t = ⌧
a.
a transforma el sistema
ỹ (⌧ ) = g (t + a, x + ỹ (t + a))
Como ỹ˙ (t + a) = g (t + a, ỹ (t + a))8t
del sistema transformado para t = 0.
⌧
ỹ (t + a) , f (t, x)
0 el origen x = 0 es un PE
Examinado la estabilidad del origen determinamos la
estabilidad de ỹ (⌧ ).
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Sistemas No Autónomos
Análisis de Lyapunov para Sistemas No Autónomos
Sistemas Lineales Variantes en el Tiempo y Linealización
Definición
Definición
El origen x = 0 es un PE estable de ẋ = f (t, x), si para cada
" > 0, y cualquier t0 0, existe = (", t0 ) tal que
kx(t0 )k <
=)
kx(t)k < "
8 t > t0
La definición anterior significa que, se puede mantener el estado en
una bola con radio arbitrariamente pequeño ✏ si se inicia la trayectoria
del estado en una bola con radio lo suficientemente pequeña . La
definición difiere de la del caso de sistemas autónomos en el hecho
de que ✏ puede depender del tiempo inicial t0 .
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Análisis de Lyapunov para Sistemas No Autónomos
Sistemas Lineales Variantes en el Tiempo y Linealización
Ejemplo
Estabilidad no uniforme: Sea el sistema de primer orden
ẋ = (6t sin t
x(t) = x(t0 )e
Rt
t0 (6⌧
= x(t0 )e 6 sin t
2t)x
sin ⌧ 2⌧ )d⌧
6t cos t t 2 6 sin t0+6t0 cos t0 +t02
Para cualquier t0 el término t 2 va a dominar, es decir la exponencial
está acotada para todo t t0 por c(t0 ). Así,
|x(t)| < |x(t0 )| c(t0 ) 8t
Para cualquier ✏ > 0, la elección
es estable.
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0.
= "/c(t0 ) muestra que el origen
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Sistemas No Autónomos
Análisis de Lyapunov para Sistemas No Autónomos
Sistemas Lineales Variantes en el Tiempo y Linealización
Ejemplo (Cont.)
Tómense ahora valores sucesivos de t0 = 2 n ⇡, n = 0, 1, 2, . . . , y
evalúese a x(t) en ⇡ segundos más tarde, en cada caso se tiene
x [t0 + ⇡] = x(t0 )e (4n+1)(6
⇡)⇡
Esto implica que para cada x(t0 ) 6= 0
x(t0 + ⇡)
!1
x(t0 )
cuando
n!1
Así, dado " > 0, no existe independientemente de t0 que satisfaga
la condición uniformemente en t0 . Es decir, si t0 se elige tendiendo
al infinito, tenderá al infinito, por tanto, no es uniforme.
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Definiciones de Estabilidad
El punto de equilibrio x = 0 de ẋ = f (t, x) es
Estable: Si para cada " > 0 existe
kx(t0 )k <
=)
= (", t0 ) > 0 tal que
kx(t)k < ",
8t
t0
0
(2)
Uniformemente estable: Si para cada " > 0 existe
= (") > 0, independientemente de t0 , tal que se verifica la
condición (2).
Inestable: Si no es estable.
Una razón intuitiva del concepto de estabilidad uniforme es el poder
descartar los sistemas que son menos estables para valores grandes
de t0 [2].
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Definiciones de Estabilidad
Uniformemente AE: Si es estable uniformemente y 9 c > 0
independientemente de t0 tal que para todo kx(t0 )k < c,
x(t) ! 0 cuando t ! 1; es decir, para cada " > 0, existe
T = T (") > 0 tal que kx(t)k < ", 8t t0 + T ("),
8 kx(t0 )k < c.
Globalmente uniformemente AE: Si es uniformemente
estable y para cada par de números positivos " y c, existe
T = T (", c) > 0 tal que
kx(t)k < ", 8t t0 + T (", c),
8 kx(t0 )k < c.
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Análisis de Lyapunov para Sistemas No Autónomos
Sistemas Lineales Variantes en el Tiempo y Linealización
Ejemplo: Estabilidad No Uniforme
Ejemplo
Considere el sistema de primer orden [2]
x
1+t
ẋ =
La solución del sistema es
x(t) =
1 + t0
x(t0 )
1+t
Esta solución converge a cero asintóticamente, pero la convergencia
no es uniforme, esto es, la solución dependerá siempre del tiempo
inicial t0 .
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Análisis de Lyapunov para Sistemas No Autónomos
Sistemas Lineales Variantes en el Tiempo y Linealización
Funciones Clase K y clase KL
La estabilidad uniforme y estabilidad asintótica pueden ser caracterizadas en términos de funciones escalares especiales usadas para para
re-definir funciones positivas definidas y funciones decrecientes.
Definición
Una función continua ↵ : [0, a) ! [0, 1) pertenece a la clase K si
es estrictamente creciente y ↵(0) = 0. Se dice que pertenece a la
clase K1 si a = 1 y ↵(r ) ! 1 cuando r ! 1.
–
Definición
Una función continua : [0, a) ⇥ [0, 1) ! [0, 1) pertenece a la
clase KL si, para cada s fijo, el mapeo (r , s) es clase K con
respecto a r , y para cada r fijo el mapeo (r , s) es decreciente con
respecto a s y (r , s) ! 0 cuando s ! 1.
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Lema
El PE x = 0 de ẋ = f (t, x) es
Uniformemente estable, si existe una función ↵(·) clase K y
una constante c, independientemente de t0 , tal que
kx(t)k  ↵ (kx(t0 )k)
8t
t0
0
8 kx(t0 )k < c
Uniformemente asintóticamente estable, si existe una
función (·, ·) clase KL y una constante positiva c tal que
kx(t)k 
(3)
(kx(t0 )k , t
t0 )
8t
t0
0
8 kx(t0 )k < c
g.u.a.e, si se satisface la condición anterior para cualquier
x(t0 ).
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Estabilidad Exponencial
Definición
El equilibrio x = 0 de ẋ = f (t, x) es exponencialmente estable si la
desigualdad (3) se satisface con (r , s) = kre s ,con k > 0 y
> 0, y es globalmente exponencialmente estable si esta condición
se cumple para cualquier estado inicial.
Ejemplo
Considere el sistema ẏ =
y (t) = y0 e
donde r = y0 y s = t
ky , k > 0. La solución es [1]
k(t t0 )
=) (r , s) = re
ks
t0 .
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Sistemas Lineales Variantes en el Tiempo y Linealización
Ejercicio
Ejemplo
Considere el sistema ẏ =
y (t) =
ky 2 , k > 0. La solución es [1]
y0
r
=) (r , s) =
ky0 (t t0 ) + 1
krs + 1
donde r = y0 y s = t t0 . Verifique que se cumplen las
propiedades de la función clase KL.
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Sistemas Lineales Variantes en el Tiempo y Linealización
Intro.
Además de un análisis más complejo para los sistemas no autónomos,
una de las mayores diferencias con respecto al caso autónomo es que
los teoremas de LaSalle no se pueden aplicar.
Los resultados de estabilidad en el sentido de Lyapunov, al igual que
el caso autónomo, dependerá de tener una función definida positiva
V (t, x) y su derivada negativa definida.
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Sistemas Lineales Variantes en el Tiempo y Linealización
Análisis de Estabilidad
Lema: Sea V (x) : D ! R una función continua, definida positiva
en D ⇢ Rn que contiene el origen. Sea Br ⇢ D para algún r > 0.
Entonces existen funciones ↵1 , ↵2 de clase K definidas en [0, r ) tal
que
↵1 (kxk)  V (x)  ↵2 (kxk)
(4)
para todo x 2 Br . Más aún, si D = Rn y V (x) es radialmente no
acotada, entonces ↵1 y ↵2 puede elegirse como funciones de clase
K1 y la desigualdad anterior se cumple 8x 2 Rn .
Para una función cuadrática y definida positiva V (x) = x T P x, la
desigualdad del lema anterior puede tomar la forma
min
(P) kxk22  x T Px 
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max
(P) kxk22
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Sistemas Lineales Variantes en el Tiempo y Linealización
Función Positiva Definida y Decreciente
Una función variante en el tiempo V (t, x) que satisface el lado izquierdo de (4) y V (t, 0) = 0, se dice que es definida positiva, es
decir que se cumpla
8t
t0 ,
V (t, x)
W1 (x)
donde W1 (x) es una función invariante en el tiempo y definida
positiva.
–
Una función variante en el tiempo V (t, x) se dice que es decreciente
si V (t, 0) = 0 y si hay una función invariante en el tiempo definida
positiva tal que
8t
t0 ,
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V (t, x)  W2 (x).
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Función Positiva Definida y Decreciente
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Sistemas Lineales Variantes en el Tiempo y Linealización
Ejemplo
Determine si la siguiente función variante en el tiempo es definida
positiva y decreciente [2]
V (t, x) = 1 + sin2 t
x12 + x22
—
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Sistemas Lineales Variantes en el Tiempo y Linealización
Derivada de la Función de Lyapunov para el caso No
Autónomo
Dada una función escalar variante en el tiempo V (x, t), entonces la
derivada de ésta a lo largo de la trayectoria del sistema dinámico está
dada por
dV
@V
@V
@V
@V
=
+
ẋ =
+
f (x, t)
dt
@t
@x
@t
@x
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Sistemas Lineales Variantes en el Tiempo y Linealización
Teorema de Estabilidad Asintótica Uniforme
Teorema
Sea x = 0 un PE de ẋ = f (t, x) y sea D ⇢ Rn un dominio que
contiene al origen. Sea V : [0, 1) ⇥ D ! R una función
continuamente diferenciable tal que
W1 (x)  V (t, x)  W2 (x)
@V
@V
+
f (t, x)  W3 (x)
@t
@x
8t 0, 8x 2 D, donde W1 (x), W2 (x) y W3 (x) son funciones
continuas definidas positivas en D. Entonces x = 0 es
uniformemente AE.
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(5)
(6)
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Estabilidad de Sistemas Discretos
Ejemplo
Considere el sistema [2]
ẋ1 =
x1
ẋ2 = x1
e
2t
x2
x2
Determine la estabilidad del PE x = 0 con V (t, x) = x12 + 1 + e
2t
x22 .
Sol. GUAS.
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Sistemas Lineales Variantes en el Tiempo y Linealización
Corolario
Suponga que las condiciones del teorema anterior se satisfacen
globalmente (para todo x 2 Rn ) y W1 (x) es radialmente no
acotada. Entonces, x = 0 es globalmente uniformemente
asintóticamente estable.
Para el caso donde Wi (r ) toma la forma ki r c en (5) y (6):
Corolario
Supongamos que las condiciones del teorema anterior se satisface
con
W1 (x)
k1 kxkc ,
W2 (x)  k2 kxkc ,
W3 (x)
k3 kxkc
para algunas constantes positivas k1 , k2 , k3 y c. Entonces, x = 0 es
exponencialmente estable. Más aún, si se verifican que las hipótesis
son validas globalmente, entonces el origen es globalmente
exponencialmente estable.
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Prueba: Corolario de Estabilidad Exponencial
Se debe cumplir que
k1 kxkc  W1 (x)  V (t, x)  W2 (x)  k2 kxkc
@V
@V
+
f (t, x) 
@t
@x
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W3 (x) 
k3 kxkc
(7)
(8)
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Ejemplo
Considere el sistema [1]
ẋ1 =
x1
ẋ2 = x1
g (t)x2
x2
donde g (t) es una función continuamente diferenciable y satisface
0  g (t)  k,
ġ (t)  g (t),
8t
0.
Determine la estabilidad del sistema considerando V (t, x) = x12 +
[1 + g (t)] x22 como función candidata de Lyapunov.
Sol. GES.
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Ejemplo
Determine la estabilidad del sistema lineal variante en el tiempo usando el método directo de Lyapunov (Corolario de Estabilidad Exponencial) [1]
ẋ = A(t)x
considerando como función candidata de Lyapunov
V (t, x) = x T P(t) x,
P(t) = P T (t) > 0
donde P(t) satisface la condición
Ṗ(t) = P(t)A(t) + AT (t)P(t) + Q(t)
y Q(t)
c3 I > 0.
Sol. GES.
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Estabilidad del SLVT Basado en la Matriz de Transición
La estabilidad del origen del sistema
ẋ = A(t) x
(9)
se puede determinar en términos de la matriz de transición de estados
n
o
(t, t0 ) = e At = L 1 [sI A(t)] 1
Teorema
El origen del sistema (9) es:
1) estable si y solo si k (t, t0 )k  m;
2) es globalmente asintóticamente estable si y solo si
k (t, t0 )k  ke a(t t0 )
para algunas constantes positivas m, k y a.
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Prueba
La solución de (9) viene dada como
x(t) = x(t0 )e At
=
(t, t0 ) x(t0 )
Para el primer caso se tiene que
kx(t)k = k (t, t0 ) x(t0 )k
 k (t, t0 )k kx(t0 )k
 m kx(t0 )k  ✏
Si kx(t0 )k 
✏
:= , entonces el origen es estable.
m
Para el segundo caso: kx(t)k = k (t, t0 ) x(t0 )k  k kx(t0 )k e
entonces el origen es uniformemente asintóticamente estable.
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a(t t0 ) ,
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Comentarios
Aunque el teorema basado en la matriz de transición sirve para
probar estabilidad, sin tener que usar una función de
Lyapunov, note que es necesario determinar la solución de (9),
es decir determinar la matriz de transición y ver sus
propiedades (que sea acotada).
Para el caso de SLVT, estabilidad asintótica uniforme no puede
ser caracterizada en base al criterio de la ubicación de los
eigenvalores. Ver ejemplo siguiente.
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Sistemas Lineales Variantes en el Tiempo y Linealización
Ejemplo: SLVT
Considere el sistema de segundo orden

1 e 2t
ẋ =
0
1
x
Determinar los eigenvalores...
Resolver la ecuación diferencial...
Conclusión: En SLIT, la estabilidad de un sistema se puede determinar a partir de los eigenvalores de A, pero para SLVT, aunque los
eigenvalores tengan parte real negativa, el sistema puede ser inestable.
Sin embargo, un sistema LVT es AS si los eigenvalores de la matriz
simétrica A(t) + AT (t) tienen parte real estrictamente negativa; o
bien, probar por el método directo de Lyapunov.
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Linealización
El análisis de estabilidad de un sistema no lineal se puede establecer
por medio de las funciones de Lyapunov de los SLVT.
Considere que el sistema
ẋ = f (t, x)
tiene solución y que el origen es un PE. El sistema se puede representar como
ẋ = A(t) x + g (t, x)
@f
(t, 0) y kg (t, x)k  k kxk. Por lo tanto, en una
@x
vecindad del origen, el sistema no lineal se puede aproximar por su
linealización alrededor del origen. Basado en lo anterior, se plantea
el teorema que establece estabilidad usando el método indirecto de
Lyapunov para el caso no autónomo.
donde A(t) =
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Método Indirecto de Lyapunov: Caso No Autónomo
Teorema
Sea x = 0 un PE del sistema no lineal
ẋ = f (t, x)
donde f : [0, 1)D ! Rn es una función cont. diferenciable y
D 2 Rn en Rn es un entorno del origen. Sea el Jacobiano
A(t) =
@f
(t, x)|x=0
@x
continuo y acotado. Entonces el origen es un PE ES para el sistema
no lineal si este es un PE ES para el sistema lineal
ẋ = A(t) x
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Análisis de Estabilidad: Caso No Autónomo
Estabilidad de Sistemas Discretos
Sistemas No Autónomos
Análisis de Lyapunov para Sistemas No Autónomos
Sistemas Lineales Variantes en el Tiempo y Linealización
Prueba: Método Indirecto de Lyapunov
Considere el sistema no autónomo descrito por
ẋ
= f (t, x)
= A(t)x + g (t, x)
bajo la condición
kg (t, x)k  k kxk
y asumiendo que la parte lineal es ES.
Considere como función candidata de Lyapunov V (t, x) = x T P x.
Entonces V̇ (t, x) ...
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Caso Lineal
Caso No Lineal
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Sistemas No Autónomos
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Sistemas Lineales Variantes en el Tiempo y Linealización
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Caso Lineal
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Caso Lineal
Caso No Lineal
Discretización y Estabilidad de Sistemas Discretos
Introducción
Los sistemas discretos vienen del modelado sistemas que son por
naturaleza discreta tal como el sistema radar, modelos económicos
que cada periodo de tiempo son actualizados. Por otro lado los sistemas discretos pueden también venir de la discretización de sistemas
continuos.
Los sistemas discretos tienen la ventaja de que pueden ser implementados directamente en cualquier computador digital apropiado.
Una ventaja importante de los sistemas discretos con respecto a los
continuos es que, un sistema de control diseñado en tiempo continuo,
el cual es posteriormente implementado en tiempo discreto en una
computadora, podría no tener un buen desempeño e incluso puede
llegar a ser inestable si no se toma en cuenta el periodo de muestreo.
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Caso Lineal
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Estabilidad de Sistemas Discretos
Considere el sistema lineal en tiempo discreto
xk+1 = A xk
Entonces las siguientes declaraciones son equivalentes [1]:
1
xk = 0 es asintóticamente estable.
2
| i | < 1 para todos los eigenvalores de A.
3
Dada cualquier Q = Q T > 0 existe P = P T > 0 , la cual es la
única solución de la ecuación
AT PA
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P=
Q
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Caso Lineal
Caso No Lineal
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Ejemplo: Sistema Lineal
Considere el siguiente sistema lineal
xk+1 = A xk
donde A =

0
0.4
1
.
1.3
Muestre que el sistema es asintóticamente estable:
1
Por medio de la evaluación de los eigenvalores;
2
Por el método directo de Lyapunov considerando
V (xk ) = xkT P xk tal que su diferencia
V (xk ) = V (xk+1 ) V (xk ) < 0.
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Caso Lineal
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Sistema Discreto No Lineal
Considere el sistema
(10)
xk+1 = f (xk )
donde x 2 Rn y f : Rn ! Rn para todo k
0. Se hace notar
que (10) siempre tiene exactamente una solución correspondiente a
la condición inicial x(0) = x0 [3].
La existencia y unicidad de la solución del sistema discreto no es un
problema en relación con el caso de sistemas continuos [3].
Definición
Un punto xe es un PE (punto fijo) de (10) si
f (xe ) = xe ,
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8k
0.
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Estabilidad Asintótica
Sin perdida de generalidad, se considerara que el origen es un PE de
(10).
Teorema
El PE xe = 0 de (10) es globalmente asintóticamente estable si hay
una función V : Rn ! R tal que (i) V es una función definida
positiva, decreciente y radialmente no acotada y (ii) la diferencia
V (xk ) = V (xk+1 ) V (xk ) es una función definida negativa.
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Discretización
Una forma aproximada y sencilla para obtener un sistema discreto
a partir de uno continuo, es la discretización de Euler, misma que
podemos describir de la manara siguiente:
Dado el sistema continuo
ẋ = f (x, u)
la discretización de Euler viene dada por
xk+1 = xk + Ts f (xk , uk )
donde Ts es el periodo de muestreo.
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Caso Lineal
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Ejercicios: Discretización y Análisis de Estabilidad
1
Obtenga el modelo discreto aproximado de ẋ = x, utilizando
la aproximación de Euler. Analice la estabilidad del sistema
discreto.
2
Utilizando la aproximación de Euler, obtenga el modelo
discreto de ẋ = x 3 . Analice la estabilidad del sistema
discreto.
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Appendix
For Further Reading
[allowframebreaks]For Further Reading
H. Khalil,
Nonlinear Systems,
Prentice-Hall, 2002.
J-J. E. Slotine and W. Li,
Applied Nonlinear Control,
Prentice-Hall, 1991.
M. Vidyasagar,
Nonlinear Systems Analysis,
Prentice-Hall, 1993.
S. H. Strogatz,
Nonlinear Dynamics and Chaos,
Perseus Publishing, 2002.
S. Someone.
On this and
that.
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