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I.P.N.
U.P.I.I.C.S.A
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
ACADEMIA DE MATEMATICAS
MATEMATICAS ADISCRETAS
GUIA PARA EL EXAMEN 28-OCTUBRE-2015
1. En la UPIICSA-IPN, los estudiantes de Ingeniería en Informática de nuevo ingreso,
deben elegir al menos una de las tres siguientes asignaturas: Álgebra Lineal,
Matemáticas Discretas o Probabilidad; 180 eligieron Álgebra Lineal; 120 eligieron
Matemáticas Discretas; 100 eligieron Probabilidad; 60 eligieron Álgebra Lineal y
Matemáticas Discretas; 40 eligieron Álgebra Lineal y Probabilidad; 20 eligieron
Matemáticas Discretas y Probabilidad; 10 eligieron las tres.
 ¿Cuántos estudiantes de Ing en Informática de nuevo ingreso hay en la UPIICSA-IPN?
 ¿Cuántos estudiantes eligieron solamente Probabilidad?
 ¿Cuántos estudiantes eligieron solamente una de las asignaturas?
 ¿Cuántos estudiantes eligieron Álgebra Lineal y Matemáticas Discretas, pero no
Probabilidad?
Sean U  1, 2,3, 4,
,8,9,10 , A  2,3,5,7,9 , B  1,3, 4,6,8,10 y C  1,5,6,7,9 .
Obtener:

 

b)   B  A    C  B  


2. a)  Ac  B c  C c  B 
C
c
C
3. En una entrevista hecha a 200 alumnos de la UPIICSA-IPN, se encontró que:
 57 deben la materia de Lenguaje de Programación I.
 55 deben la materia de Ingeniería de Software.
 70 deben la materia de Algoritmos Computacionales.
 30 deben las materias de Lenguaje de Programación I y de Ingeniería de
Software.
 20 deben las materias de Lenguaje de Programación I y de Algoritmos
Computacionales.
 13 deben las materias de Ingeniería de Software y de Algoritmos
Computacionales.
 5 deben las 3 materias.
a) ¿Cuántos deben sólo Lenguaje de Programación I?
b) ¿Cuántos deben sólo Ingeniería de Software?
c) ¿Cuántos deben sólo Algoritmos Computacionales?
d) ¿Cuántos alumnos no tienen problemas con estas 3 materias?
4. En la UPIICSA-IPN hay 55 estudiantes que toman Algebra Lineal, Matemáticas
Discretas o Probabilidad; 28 estudiantes toman Algebra Lineal; 30 estudiantes toman
Matemáticas Discretas; 24 toman Probabilidad; 8 estudiantes toman Algebra Lineal y
Matemáticas Discretas; 16 estudiantes toman Matemáticas Discretas y Probabilidad; 5
estudiantes toman Algebra Lineal y Probabilidad. ¿Cuántos estudiantes toman las tres
clases?
Realice las tablas de verdad para cada una de las siguientes proposiciones y, con base en
ello, clasifique según sea el caso (Tautología, Contradicción o Contingencia).
5.  A  B    C  A   C  B 
6.  P   Q  R    P  Q    Q  R 
7.  A   B  C    A  B    A  C 
8.  P  Q    Q  R     P  R 
Establecer si los siguientes razonamientos son válidos o no. Explicar su respuesta.
9.  A  B    B  C    A  C 
10.  R  P    Q  R    P  Q 
Realice la simbolización del argumento y posteriormente verifique su demostración.
11. “Si tengo mucho dinero o estoy muy carita, entonces las muchachas me quieren. Ninguna
quiere salir conmigo. Si las muchachas me quieren, entonces todas quieren salir conmigo.
Por lo tanto, no tengo mucho dinero.”
12. “Si estudio electrónica, entonces realizaré investigación en sistemas digitales. Si estudio
informática, entonces manejaré la información de una empresa. Si realizo investigaciones
en sistemas digitales o manejo información de una empresa, entonces estaré feliz. Por lo
tanto, si no estoy feliz, entonces no estudié electrónica y no estudie informática.”
13. “Si estudio o si apruebo el examen, entonces obtendré mi título. Si obtengo mi título,
entonces podré realizar un posgrado. Por tanto, si no puedo realizar un posgrado,
entonces no aprobé el examen”.
E= “estudio”
A=”apruebo el examen”
T=”obtengo mi título”
P=”podré realizar un posgrado”
14. “Si no especifico las condiciones iniciales, entonces mi programa no empezará. Si
programo un ciclo infinito, entonces mi programa no terminará. Si el programa no
empieza o si no termina, entonces el programa fallará. De ahí que si el programa no falla,
entonces especifiqué las condiciones iniciales y no programé un ciclo infinito”.
A=”especifico las condiciones iniciales”
B=”mi programa empezará”
C=”programo un ciclo infinito”
D=”mi programa terminará”
E=”el programa fallará”
(15, 16, 17, 18)Indicar una demostración formal completa para cada uno de los
razonamientos simbolizados siguientes.
Demostrar: T
1) T  P  S
2) Q  P
3) R  S
4) R  Q
Demostrar: P
1) R  P
2)
3)
R  ST
T  Q  U 
4) Q  U
Demostrar: G  H
1) E  F  H
2) J  E
3) K  F
4) J  K
Demostrar:   2 x  8  x  3
1)
2x  6  x  3
2)
2x  8  x  4
3) 2 x  6  x  4
Demostrar mediante las reglas de inferencias, las equivalencias:
19.   p  q    p  q   p
20.    A  B   A  F
Haciendo uso de la inducción matemática demuestre que:
21. Conjeture una fórmula para la siguiente suma y demuéstrela posteriormente usando
inducción matemática.
3
3
3
3
Sn :


 
 ? n 
1*3 3*5 5*7
 2n 1 2n  1
Sugerencia: Dar el valor de la suma para algunos valores pequeños de n .
22. Un cajero automático raro, dispone de suficientes monedas de $4 y $7 .
a) ¿Justifique usando inducción matemática que el cajero puede despachar cualquier
cantidad mayor o igual que $ _____ ?
23. Haciendo uso de la inducción matemática, pruebe que la suma de los cubos de tres
números naturales consecutivos es un múltiplo de nueve.
24. Recordando que dados dos enteros a y b , se dice que b divide a a o que a es
divisible entre b , si existe un entero c tal que a  bc . Demuestre que 11n  6 es
divisible entre 5 n  .
25. Si f 1 
f  n 
3
3
, f  n  1 
. Demuestre que: n  ; n  2 , se tiene que:
4  f  n
4
3n 1  3
.
3n 1  1