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Depto. de Matemática
Asignatura; Matemática Aplicada
Preparado Profesor: Madeleine Clerc Tapia
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GUIA 1: TEORIA DE CONJUNTOS
Un conjunto queda definido si se conocen con exactitud los elementos que lo integran
o que pertenecen a él; es decir, si se nombran todos sus elementos o bien si se usa un
enunciado o propiedad que lo identifique.
- Notación y Representación de Conjuntos: Se usan las letras mayúscula del alfabeto,
para identificar un conjunto , Esta letra mayúscula representa a un conjunto específico
de elementos, y se representa entre llaves los elementos separados por comas o por
diagramas de Venn – Euler que son figuras planas limitadas por una línea en forma de
circulo
Ejemplos: Sean A = {1, 2, 3} y B = {a, b, c, d}

Notación de Elementos: Se usan las letras minúsculas del alfabeto. Para
determinar
Si un elemento “x” pertenece a un conjunto A , se escribe x  A
Si un elemento “x” no pertenece a un conjunto A, se escribe x  A
- Maneras de definir un conjunto dado:
a) Por extensión o enumeración: se define nombrando a cada elemento del conjunto.
b) Por comprensión: se define mediante un enunciado o atributo que representa al conjunto (se
busca una frase que represente a la totalidad de elementos sin nombrar a ninguno en
particular).
Ejemplo 1:
Por comprensión
Por extensión
A = {Números dígitos}
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B = {Números pares]
B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...}
C = {Múltiplos de 5}
C = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35...}

Cardinalidad de Conjuntos: Es el número de elementos que tiene un conjunto ,
se anota con el símbolo” # “ , los conjuntos pueden ser finitos e infinitos
Conjunto es Finito: si al contar sus elementos este proceso termina,
Conjunto es Infinito: si al contar sus elementos este proceso no termina
Ejemplo 2:
2.1. M = {los días de la semana} , luego M es ………………… y su # M =
2.2. N = { 1, 3, 5, 7, 9, 11,. ………..}, luego N es …………………
2.3. P = { x / x es un río del planeta Tierra } , luego P ……………y su # P =
 Igualdad de Conjuntos:
Se dice que un conjunto A es igual al conjunto B, si cada elemento de A pertenece al
conjunto B y cada elemento de B pertenece al conjunto A, se anota A = B
Ejemplo 3:
3.1. Sea A = {1, 2, 3 , 4} y B = { 3, 1, 4 . 2} , entonces ……………………………..
3.2. Sea C = {5, 6, 5, 7} y D = {7, 5 , 7 , 6 }, entonces ………………………………
 Conjunto Vacío:
Es aquel que carece de elementos, este conjunto es llamado Conjunto Nulo y se denota

por el símbolo
Ejemplo 4: Sea H = { de todas las personas vivientes mayores de 200 años }
 Tipos de Conjuntos
a) Conjuntos disjuntos: Son aquellos conjuntos que no tienen elementos en común.
Ejemplo 5:
A = {Números pares}
B = {Números impares}
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Luego conjunto A y B son disjuntos, no tienen elementos comunes
b) Conjunto Subconjunto: Un conjunto es subconjunto de otro si todos los elementos
de un conjunto también pertenecen al otro. Su símbolo es “  “
Ejemplo 6:
P = {las vocales} = {a, e, i, o, u}
y
R = {las vocales abiertas} = {a, e, o }
Luego, R es subconjunto P, pues R tiene elementos del conjunto P
y se anota: R
P
b.1) Si un conjunto no es subconjunto de otro cuando al menos un elemento del
primero no pertenece al segundo conjunto.
El símbolo que representa la frase “no es subconjunto de ” es
Ejemplo 7:
Sean P = {a, e, i, o, u}
luego S = {a , b} , por lo tanto S
.
y S = {las dos primeras letras del abecedario}
P
b.2) Propiedades de la relación subconjunto
b.2.1.)- Todo conjunto es subconjunto de sí mismo.
b.2.2.) El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto
 Conjunto Potencia P(A) :
Es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto A, si es finito, se calcula 2 # A
Ejemplo 8: Sea A = {a, b}, Determine el número de subconjuntos P(A) y sus elementos
El numero de subconjuntos que tendrá el conjunto P(A) es 2 2 = 4 y sus elementos
son:
P(A) = {
,
,
,
}
 Conjunto Universal o de referencia :
Es aquel conjunto del que son subconjunto toda una familia de conjuntos. Se denota con
la letra U
Ejemplo 9: En los estudios sobre población humana, el conjunto universal es el de
todas las personas del mundo , del planeta Tierra
DIAGRAMAS DE VENN EULER: Es la forma sencilla e instructiva para poder representar
los conjuntos y las relaciones que se producen entre ellos. En ellos se representan
habitualmente los conjuntos por un área plana, por lo general delimitada por un círculo.
Ejemplo 10:
Caso 1: Sea B
Sean los conjuntos
A , con B
A
A = {a, b, c, d, e} y B = { a, b}
c d e
B
A
a b
Caso 2: Conjuntos disjuntos
A = {a, b} y B = { c , d}
A
B
c d
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OPERACIONES CON CONJUNTOS
Sean A y B dos subconjuntos de un conjunto universal U. Definimos las siguientes
operaciones entre conjuntos:
Unión: A B ={ x U : x• A o x
B}
Intersección: A B = {x• U : x• A y x• B}
Diferencia o resta: A \ B = A – B = {x• U : x• A y x
Diferencia Simétrica: A B = (A - B)• (B - A)
Complementario: AC = U \ A = U – A = {x• ¸U : x  A}

B}
Ejercicio 11: Algunos diagramas de Venn , de las operaciones de conjunto, suponiendo
solo 2 conjuntos A y B ; Termine de graficar
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES DE CONJUNTO
PROPIEDADES
UNION
INTERSECCION
1.- Idempotencia
AA=A
AA=A
2.- Conmutativa
AB=BA
AB=BA
3.- Asociativa
A(BC)=(AB)C
A(BC)=(AB)C
4.- Absorción
A(AB)=A
A(AB)=A
5.- Distributiva
A(BC)=(AB)(AC)
A(BC)=(AB)(A
C)
6.- Complementariedad
A  A' = U
A  A' = 
7.- Leyes de Morgan
(A  B) = A B
C
C
C
(A  B)C = AC  B C
PROPIEDADES AXIOMÁTICAS DE LA CARDINALIDAD:
#(∅) = 0
A = B ⇒ #(A) = #(B)
A ⊆ B ⇒ #(A) ≤ #(B)
A∩B = ∅ ⇒ #(A B) = #(A) + #(B)
PROPIEDADES ALGEBRAICAS:
#(A B) = #(A) + #(B) − #(A∩B)
#( A B C ) = #(A) + #(B) + #(C) − #(A ∩ B) − #(A ∩ C) − #(B ∩ C) − #(A∩ B ∩ C)
#(AC ) = #(U) − #(A)
#(A − B) = #(A) − #(A∩B)
APLICACIÓNES
1.- Un alumno estudio Contabilidad y/o Administración cada día durante el mes de
marzo. Si estudia 23 días Contabilidad y 17 días estudia Administración. Calcule:
a) Cuantos días estudio Contabilidad y Administración
R _ 9 días
b) Cuantos días estudio Contabilidad pero no Administración
R : 14 días
c) Cuantos días estudio Administración pero no Contabilidad
R ; 8 días
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2.- En una encuesta sobre el consumo de bebidas de tipo A , B y C , se obtuvieron los
siguientes datos :
67 % beben A o B y 13 % beben ambas
59 % beben B o C y 11 % beben ambas
75 % beben A o C y 15 % beben ambas
El 16 % no consumen ninguna de las 3 tipos de bebidas
a) Determine el % que beben bebidas tipo A
b) Determine el % que beben los 3 tipos de bebidas
R : 50 %
R:3%
3.- Se hace una encuesta a 600 varones respecto del uso de tres marcas de camisas:
Arrow, Van Heusen y Mc - Gregor.
Se obtuvo la siguiente información:
180 varones usan Arrow pero no McGregor.
200 usan McGregor y Van Heusen.
160 usan Van Heusen pero nunca usan Arrow.
100 usan Arrow y Van Heusen pero nunca han usado McGregor.
290 nunca han usado McGregor.
50 sólo usan Van Heusen.
200 han usado sólo una (cualquiera) de estas tres marcas.
a) Distribuya la información en un diagrama adecuado a la situación.
b) Determine:
i) ¿Cuántos encuestados no usan de estas camisas?
R. 10 encuestados
ii) ¿Cuántos encuestados sólo usan McGregor y Arrow?
R 100 encuestados
4.- En el diagrama que se adjunta a continuación, se han volcado los datos obtenidos en
una encuesta, realizada a personas, donde se les preguntó si tomaban té o café. Los números
que aparecen se refieren a las cantidades de personas que respondieron a la pregunta en las
diversas formas posibles: solamente té, té y café, ninguna de las dos bebidas, etc.
En base a estos datos responderemos a las siguientes preguntas:
4.1.- ¿Cuántas personas tomaban té?
4.2.-¿Cuántas personas tomaban café?
4.3.-¿Cuántas personas tomaban té y café?
4.4.- ¿Cuántas personas no tomaban ninguna de las dos bebidas?
4.5.- ¿Cuántas personas no tomaban té?
4.6.-¿Cuántas personas no tomaban café?
4.7.- ¿Cuántas personas tomaban por lo menos una de esas dos bebidas?
4.8.- ¿Cuántas personas tomaban sólo una de esas dos bebidas?
4.9.- ¿Cuántas personas tomaban sólo café?
4.10.-¿Cuántas personas tomaban alguna de esas bebidas?
R. 6 personas.
R. 9 personas.
R. 4 personas.
R. 1 persona.
R. 6 personas.
R. 3 personas.
R. 11 personas.
R.. 7 personas.
R. 5 personas.
R. 11 personas.