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“ElFinDelInfinito” — 2015/8/28 — 13:10 — page 1 — #1
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1.-El infinito actual
Introducción
1 Este libro se ocupa exclusivamente del infinito actual, aunque algunas
referencias al infinito potencial serán inevitables. Empezaremos entonces
introduciendo la distinción entre el infinito actual y el potencial. Una vez
introducida, definiremos el infinito actual en términos conjuntistas y la
distinción entre cardinales y ordinales infinitos. Eso es todo lo que necesitamos saber para seguir los argumentos sobre la hipótesis de infinito actual
que se exponen en el resto del libro. La mayorı́a de esos argumentos están
relacionados con ω, el menor de los ordinales transfinitos; el ordinal del
conjunto N de los números naturales en su orden natural de precedencia:
N ={1, 2, 3, . . . } (véase más abajo).
2 ’Infinito’ es una palabra común que usamos para referirnos a la calidad de ser enorme, inmenso, ilimitado etc. En este sentido, y de acuerdo
con Gauss1 el infinito es una manera de hablar. Pero la palabra ’infinito’
también tiene un significado matemático preciso: un conjunto es infinito
si se puede poner en correspondencia uno a uno con alguno de sus subconjuntos propios. Esta es la conocida definición de Dedekind que, junto
con los trabajos de Cantor sobre los números transfinitos, inauguraron la
moderna matemática transfinita a finales del siglo XIX. Aunque la historia
del infinito matemático habı́a comenzado veintisiete siglos antes.
3 Afortunadamente existe una excelente literatura sobre la historia del
infinito,2 . No daré ni siquiera un sumario de esa historia, aunque podrı́amos
elegir arbitrariamente tres de sus protagonistas más relevantes como referencias históricas:
1) Zenón de Elea (490-430 A.C.), filósofo presocrático que utilizó por
primera vez el infinito matemático para defender la tesis de Parménides sobre la imposibilidad de cambio. Sabemos del trabajo
1 C.F.
Gauss, carta al astrónomo H.C. Shumacher, 12 de julio de 1831
ejemplo: [219], [129], [178], [22], [170], [52], [120], [140], [143], [112], [113], [1], [141],
[50], [207], [14].
2 Por
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“ElFinDelInfinito” — 2015/8/28 — 13:10 — page 2 — #2
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2 —— El infinito actual
de Zenón (cerca de cuarenta argumentos, incluyendo sus famosas
paradojas contra la posibilidad de cambio [2], [53]) a través de
su doxógrafos (Platón, Aristóteles, Diogenes Laertius o Simplicius
[53]). El infinito en los argumentos de Zenón parece ser el infinito actual y contable, aunque obviamente Zenón no está haciendo
matemáticas infinitistas sino argumentaciones lógicas en las que
aparecen colecciones infinitas de puntos y de instantes. Los argumentos de Zenón funcionan correctamente sólo si esas colecciones se consideran como totalidades infinitas completas (véase el
Capı́tulo ?? sobre las Dicotomı́as de Zenón).
2) Aristóteles (384-322 A.C.), uno de los pensadores más influyentes
en la cultura occidental. Filósofo y naturalista, introdujo la noción de correspondencia uno a uno precisamente cuando trataba
de resolver algunas de las paradojas de Zenón. Luego introdujo
la distinción fundamental entre el infinito potencial y el infinito
actual, una distinción que aquı́ analizaremos en términos conjuntistas en la siguiente sección.
3) Georg Cantor (1845-1918), matemático alemán cofundador, junto
con R. Dedekind y G. Frege, de la teorı́a de conjuntos. Su trabajo
sobre los números transfinitos (cardinales y ordinales) fundamenta las modernas matemáticas transfinitas. Cantor inauguró el llamado paraı́so del infinito actual en el que, según D. Hilbert, los
infinitistas habitarán para siempre.
4 De Zenón a Aristóteles el único infinito fue el infinito actual, aunque esa
noción estaba lejos de ser claramente establecida. De Aristóteles a Cantor
encontramos defensores de ambos tipos de infinitos (actual y potencial)
aunque con una cierta hegemonı́a del infinito potencial, particularmente
desde el siglo XIII, una vez que Aristóteles fue ’cristianizado’ por los escolásticos medievales. En esos tiempos preinfinitistas, se podı́an utilizar los
mismos argumentos en apoyo de una o de la otra hipótesis (por ejemplo
los argumentos basados en la correspondencia entre los puntos de una circunferencia y los puntos de uno de sus diámetros). Pero no hay todavı́a
una teorı́a del infinito matemático propiamente dicha. La primera teorı́a
matemática del infinito propiamente dicha aparece al final del siglo XIX,
siendo Dedekind, Bolzano y, especialmente, Cantor, sus creadores más relevantes. Desde Cantor hasta la actualidad la hegemonı́a del infinito actual
ha sido casi absoluta y, además, libre de crı́ticas serias.
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“ElFinDelInfinito” — 2015/8/28 — 13:10 — page 3 — #3
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Infinito actual y potencial —— 3
Infinito actual y potencial
5 La distinción entre el infinito actual y el infinito potencial la propuso
Aristóteles [11], [10]. La explicaremos a continuación, aunque en los términos más modernos de la teorı́a de conjuntos. Huelga decir que el único
infinito de las matemáticas transfinitas contemporáneas, incluyendo la definición fundacional de Dedekind de los conjuntos infinitos, es el infinito
actual.
6 Considérese la lista ordenada de los números naturales en su orden
natural de precedencia: 1, 2, 3, . . . De acuerdo con la hipótesis del infinito
actual esa lista existe como una totalidad completa, es decir como una
totalidad que contiene en el acto a todos los números naturales. La elipsis
(. . . ) en:
N = {1, 2, 3, . . . }
(1)
representa a todos los números naturales. A todos. La palabra ’actual’ en
’infinito actual’ se refiere, pues, a que todos los elementos de una colección
infinita existen ’en el acto’, todos a la vez, como una totalidad completa.
Nótese que la lista ordenada de los números naturales existe como una
totalidad completa a pesar de que no existe un último número que complete
la lista.
7 Para subrayar ese sentido de completitud, consideremos la tarea de
contar los números naturales 1, 2, 3,. . . De acuerdo con la hipótesis del
infinito actual es posible contar todos los números naturales en un tiempo
finito realizando la siguiente supertarea:3
Cuéntese cada uno de los sucesivos números naturales 1, 2,
3,. . . en cada uno de los sucesivos instantes t1 , t2 , t3 ,. . . de una
sucesión estrictamente creciente de instantes en el intervalo finito (ta , tb ), siendo tb el lı́mite de la sucesión. Por ejemplo la
sucesión clásica:
2n − 1
(2)
tn = ta + (tb − ta )
2n
En esas condiciones, en el instante tb se habrán contado todos los números
naturales. ¡Todos!
8 La tarea anterior de contar todos los números naturales es un ejemplo
de supertarea. Se discutirán más adelante en este libro. Mientras tanto,
nótese que el hecho de emparejar los elementos de dos sucesiones infinitas
3 Un
resumen de la noción de supertarea puede verse, por ejemplo, en [160]. Véase también
el capı́tulo sobre la Lámpara de Thomson en este libro.
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4 —— El infinito actual
no prueba que ambas sucesiones existan como totalidades completas. Las
sucesiones podrı́an ser también potencialmente infinitas.
9 La alternativa a la hipótesis del infinito actual es la hipótesis del infinito potencial, que rechaza la existencia de totalidades infinitas completas
y por tanto la posibilidad de contar todos los números naturales. Desde
esa perspectiva, los números naturales resultan del proceso interminable
de contar: siempre es posible contar números mayores que cualquier otro
número dado. Pero es imposible completar el proceso de contarlos todos, de
modo que la lista completa de números naturales no tiene sentido alguno.
La palabra ’potencial’ en ’infinito potencial’ significa, por consiguiente, que
los elementos de una colección infinita no existen todos en el acto, sino en
potencia, in the making. El infinito potencial es lo ilimitado, como la lista ordenada de los números naturales, pero solo las listas finitas existen
como totalidades completas y acabadas, tan grandes como se quiera pero
siempre finitas.
10 En resumen, la hipótesis del infinito actual establece que las totalidades infinitas son totalidades completas y acabadas, incluso sin que exista
un último elemento que las complete, como es el caso de la lista ordenada
de los números naturales. Desde la perspectiva del infinito potencial los
totalidades infinitas no existen como totalidades completas y acabadas,
sino en potencia, ’in the making’. Desde la perspectiva del infinito actual,
es posible completar una sucesión de pasos en los que no existe un último
paso que complete la sucesión, o incluso sin un primer paso que la inicie,
como en el caso de las sucesiones ω ∗ −ordenadas (véase más abajo), por
ejemplo la sucesión creciente de los enteros negativos . . . , -3, -2, -1. Desde
la perspectiva del infinito potencial ambas posibilidades son carentes de
sentido. Desde esta perspectiva, las únicas totalidades completas son las
totalidades finitas. Tan grandes como se quiera, pero siempre finitas.
11 El infinito potencial (el infinito ’impropio’ o ’no genuino’, como Cantor
lo llamaba [40, p. 70]) nunca ha merecido la atención de los matemáticos
contemporáneos. El infinito en la definición de Dedekind de los conjuntos
infinitos es el infinito actual. Los infinitos elementos de un conjunto infinito existen todos a la vez, como una totalidad completa. La definición de
Dedekind está, por tanto, basada en la violación del viejo axioma euclı́deo
del todo y la parte [73]. La teorı́a de conjuntos se ha construido sobre esa
violación.
12 La hegemonı́a del infinito actual en las matemáticas contemporáneas
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Infinito actual y potencial —— 5
es casi absoluta. Tan absoluta como la sumisión de la fı́sica a las matemáticas infinitistas. Tengo la impresión de que un número importante de fı́sicos
creen que se ha demostrado formalmente la existencia de totalidades infinitas completas. Obviamente, si ese fuera el caso no serı́a necesario el
Axioma del Infinito para legitimar esas totalidades (véase más abajo). La
hipótesis del infinito actual es sólo una hipótesis.
13 Las tres pruebas más influyentes sobre la existencia de totalidades
infinitas actuales (las de Bolzano, Dedekind y Cantor) son ilustrativas de
lo que podrı́a llamarse infinitismo naif. También explican por qué las matemáticas infinitistas tuvieron finalmente que establecer la existencia de
los conjuntos infinitos actuales en términos axiomáticos.
14 La prueba de Bolzano es como sigue (tomada de [141, p 112]):
Una verdad es la proposición: Platón era griego. Llámese a esta
proposición p1 . Pero hay otra verdad p2 , a saber, que la proposición p1 es verdadera [Pero hay otra verdad p3 , a saber, que la
proposición p2 es verdadera]. Y ası́ ad infinitum. Por lo tanto, el
conjunto de las verdades es infinito.
El problema aquı́ es que la existencia de un proceso sin fin (p1 es verdadera, por tanto p2 es verdadera, por tanto p3 es verdadera, por tanto . . . )
de ninguna manera prueba la existencia de su resultado final como una
totalidad completa.
15 La prueba de Dedekind es muy parecida (tomada de [141, p 113]):
Dado algún pensamiento arbitrario s1 , hay un pensamiento independiente s2 , a saber que s1 puede ser objeto del pensamiento
[hay un pensamiento independiente s3 , a saber, que s2 puede
ser objeto del pensamiento ]. Y ası́ ad infinitum. Por tanto el
conjunto de pensamientos es infinito.
El comentario anterior a la prueba de Bolzano es también aplicable aquı́.
Dedekind dio otra prueba algo más detallada, aunque con el mismo defecto
formal que la se acaba de citar, basada en su definición de conjunto infinito
[61, p. 112].
16 Y finalmente la ’prueba’ de Cantor ([96, p 25], [141, p. 117]):
Cada infinito potencial presupone un infinito actual.
O bien ([38, p. 404] traducción inglesa [171, p. 3]):
... en verdad el infinito potencial tiene solo una realidad prestada
[derivada], en tanto que como tal concepto de infinito potencial
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6 —— El infinito actual
siempre señala a un concepto previo y superior de infinito actual,
de cuya existencia depende.
Queda claro ahora por qué la existencia de un conjunto infinito actual tuvo
que ser finalmente establecida por medio de un axioma.
El axioma del infinito
17 Nada en la naturaleza parece ser realmente infinito. Hasta ahora, todas las cosas que hemos sido capaces de observar y medir han sido finitas.
Veintisiete siglos de discusiones, por otra arte, no fueron suficientes para
probar, o refutar, la existencia de infinitos actuales. De modo que, finalmente, los infinitistas no tuvieron más remedio que declarar su existencia
en términos axiomáticos mediante el llamado Axioma del Infinito, uno de
los axiomas fundacionales en todas las teorı́as axiomáticas de conjuntos
(véase más abajo). La teorı́a de conjuntos es entonces la puerta de entrada
del infinito en las matemáticas contemporáneas.
18 Puesto que los conjuntos estarán presentes en casi todos nuestros argumentos, parece conveniente hacer la siguiente consideración sobre las
diferentes formas en las que un elemento puede pertenecer a un conjunto.
Solemos asumir que un determinado elemento pertenece o no pertenece a
un conjunto determinado, aunque también podrı́amos considerar los llamados conjuntos difusos [216], [66], cuyos elementos pueden tener diferentes
grados de pertenencia. En este libro, sin embargo, trataremos exclusivamente con la pertenencia completa, i.e con conjuntos cuyos elementos les
pertenecen de forma completa.
19 Dicho lo cual, recordaremos ahora el Axioma del Infinito. Lo haremos
en tres etapas de abstracción creciente. El primer enunciado (poco formal)
del Axioma del Infinito serı́a:
Existe un conjunto infinito numerable
(3)
donde numerable significa que se puede poner en correspondencia uno a
uno (biyección) con el conjunto N = {1, 2, 3 . . . } de los números naturales,4 e infinito significa infinito actual: todos los elementos de ese conjunto
existen en el acto. Una forma mas abstracta del Axioma del Infinito serı́a
la siguiente:
∃N (0 ∈ N ∧ ∀x ∈ N (s(x) ∈ N ))
(4)
que se lee: existe un conjunto N [sı́mbolos: ∃N ] tal que 0 pertenece a N
4 De
dos conjuntos que se pueden poner en correspondencia uno a uno se dice que son
equipotentes.
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Cardinales y ordinales —— 7
[sı́mbolos: 0 ∈ N ] y para todo elemento x de N [sı́mbolos: ∧ ∀x ∈ N ] el
sucesor de x, denotado s(x), también pertenece a N [sı́mbolos: s(x) ∈ N ].
En términos aritméticos podrı́amos escribir:
s(0) = 1; s(1) = 2; s(2) = 3; . . .
(5)
Finalmente, la versión más formalizada del Axioma del Infinito establece:
∃N (∅ ∈ N ∧ ∀x ∈ N (x ∪ {x} ∈ N ))
(6)
que se lee: existe un conjunto N tal que ∅ (el conjunto vacı́o) pertenece a
N y para todo elemento x de N el elemento x ∪ {x} también pertenece a
N.
20 Por innecesario que pueda parecer, debemos recordar que un axioma
es solo un axioma. Es decir, un enunciado que se puede aceptar o rechazar. Aunque la elección tendrá consecuencias significativas en la teorı́a
resultante. En el caso de la hipótesis del infinito actual algunos autores
relevantes como Kronecker, Poincaré, Brouwer, Wittgenstein, Kleene, entre otros, la rechazaron. Otra cosa es la crı́tica contra el infinito actual
una vez que la teorı́a de conjuntos quedó axiomáticamente establecida y
formalmente desarrollada. Esa crı́tica ha sido básicamente inexistente durante los últimos sesenta años, y los pocos intentos que se hicieron fueron
siempre ingenuos y frecuentemente basados en concepciones equivocadas
de los números transfinitos.
Cardinales y ordinales
21 Por la misma razón que necesitamos axiomas y leyes fundamentales
en la ciencia,5 también necesitamos conceptos primitivos en el lenguaje,
es decir, conceptos que no pueden ser definidos en términos de otros conceptos, sin caer en definiciones circulares (los diccionarios son finitos). La
mayorı́a de los conceptos matemáticos básicos pertenecen a esta categorı́a:
número, punto, lı́nea, plano, conjunto, y algunos otros. Por lo tanto, decir
que el cardinal de un conjunto es el número de sus elementos es no decir
nada. No obstante, todo el mundo sabe lo que queremos decir cuando decimos que el conjunto {a, b, c} tiene tres elementos, o que su cardinal es
tres. Incluso lo que queremos decir cuando decimos que el cardinal de un
conjunto numerable, como el conjunto N de los números naturales, es ℵo
(Alef-cero).
22 Aunque en términos informales, diremos que el cardinal C de un con5 La
aristotélica regresión infinita de argumentos [9].
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8 —— El infinito actual
junto X es el número de sus elementos; en sı́mbolos C = |X|. Por razones
obvias, los cardinales de los conjuntos finitos se llaman finitos, y los cardinales de conjuntos infinitos se denominan infinitos. Aunque no lo haremos
aquı́, se puede demostrar fácilmente que el número de subconjuntos de
un conjunto cuyo cardinal es C, es precisamente 2C (incluyendo el propio
conjunto y el conjunto vacı́o).
23 Cantor dio por sentada la existencia de la totalidad de los cardinales
finitos (números naturales) [39, pgs. 103-104]:
El primer ejemplo de un agregado transfinito viene dado por
la totalidad de los números cardinales finitos v; llamamos a su
número cardinal ’Alef-cero’ denotado por ℵo , definimos pues:
ℵo = {v}
donde {v} es la notación de Cantor para el cardinal del conjunto {v} de
todos los cardinales finitos (|N| en notación moderna). Obviamente ℵo es
un cardinal infinito. Cantor demostró que es el menor cardinal mayor que
todos los cardinales finitos [39, § 6] (véase el Capı́tulo ??).
24 los sucesivos números naturales 1, 2, 3,. . . se pueden definir como los
cardinales de los sucesivos conjuntos finitos de la sucesión de conjuntos
S = {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, . . . , o como los cardinales de cualquier sucesión
de conjuntos finitos cuyos sucesivos términos sean equipotentes con los sucesivos términos de S (véase la definición operacional de Von Neumann de
los números naturales en el Apéndice ??). Los números naturales se pueden seguir usando en términos informales como los números de contar 1,
2, 3,. . . Al fin y al cabo decimos que el cardinal finito de un conjunto es n
después de contar sus elementos, o después de emparejarlos con los elementos de un conjunto que han sido previamente contados, o sucesivamente
considerados de alguna manera, o incluso aritméticamente calculados o
procesados.
25 Todos los conjuntos numerables, por otra parte, tienen el mismo cardinal ℵo . Ası́, como ya se ha indicado, el cardinal del conjunto N de los
números naturales es ℵo . El cardinal del conjunto potencia P (N), el conjunto de todos los subconjuntos de N (incluyendo N y el conjunto vacı́o),
no es ℵo sino 2ℵo , que es también el cardinal del conjunto R de los números reales. El cardinal del conjunto P (P (N)) de todos los subconjuntos de
ℵo
P (N) no es 2ℵo sino 22 . Lo mismo vale para el conjunto P (P (P (N))) de
todos los subconjuntos de P (P (N)) y ası́ sucesivamente. Tenemos entonces
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Cardinales y ordinales —— 9
una sucesión creciente de cardinales infinitos:
ℵo
ℵo < 2ℵo < 22
2ℵo
< 22
(7)
< ...
En este libro trataremos exclusivamente con ℵo , excepto en un pequeño
número de argumentos en el que aparecerá el cardinal 2ℵo, llamado potencia
del continuo.
26 Los números ordinales son algo más sutiles. Un ordinal es el tipo de
orden de un conjunto bien ordenado.6 Todos los conjuntos finitos con el
mismo número de elementos tienen el mismo ordinal, por ejemplo, el ordinal del conjunto {a, b, c} es el mismo que el ordinal del conjunto {2, 3, 1}
debido a que sus elementos sólo pueden ordenarse como primero, segundo
y tercero (independientemente de qué elemento es el primero, el segundo
y el tercero). Y lo mismo se aplica a cualquier conjunto finito de n elementos. Los cardinales y ordinales de los sucesivos conjuntos finitos están
representados por los siguientes numerales (sı́mbolos):
{} : Cardinal 0. Ordinal 0
(8)
{0} : Cardinal 1. Ordinal 1
(9)
{0, 1} : Cardinal 2. Ordinal 2
(10)
{0, 1, 2} : Cardinal 3. Ordinal 3
..
..
..
.
.
.
(11)
Esta es una caracterı́stica importante de los conjuntos finitos: tienen un
sólo cardinal y un solo ordinal, y usamos el mismo sı́mbolo (numeral) para
ambos. De acuerdo con la terminologı́a de Cantor los ordinales finitos son
llamados ordinales de la primera clase.
27 Las cosas son muy diferentes con los conjuntos infinitos. Todos los conjuntos numerables, por ejemplo, tienen el mismo cardinal ℵo , pero pueden
ser bien-ordenados de infinitas maneras diferentes:
{1, 2, 3, . . . }
{2, 3, 4, . . . 1}
{3, 4, 5, . . . 1, 2}
{1, 3, 5, . . . 2, 4, 6, . . . }
{1, 4, 7, . . . , 2, 5, 8, . . . 3, 6, 9 . . . }
..
.
Ordinal
Ordinal
Ordinal
Ordinal
Ordinal
..
.
ω
ω+1
ω+2
ω2
ω3
6 Un
conjunto con una relación de orden total entre sus elementos y de tal manera que
todos sus subconjuntos tiene un primer elemento.
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10 —— El infinito actual
siendo ω < ω + 1 < ω + 2 < . . . < ω2 < ω2 + 1 < . . . < ω3 < . . .
28 Los números ordinales de los conjuntos numerables se denominan ordinales de la segunda clase. Hay dos tipos de números ordinales de la segunda
clase:
1) Ordinales de la primera especie: ordinales α que tienen un predecesor inmediato α′ tal que α = α′ +1, donde ’1’ es el primer ordinal
finito. Todos los ordinales de la primera especie pueden escribirse,
por tanto, en la forma α + n, siendo α infinito y n finito.
2) Ordinales de la segunda especie: estos ordinales son lı́mites de
sucesiones infinitas de ordinales finitos o de ordinales infinitos de
la primera especie. Por ejemplo:
ω = lı́m(n); n = 1, 2, 3, . . .
(12)
ω2 = lı́m(ω + n); n = 1, 2, 3, . . .
(13)
ω7 = lı́m(ω6 + n); n = 1, 2, 3, . . .
(14)
n
n
n
Casi todos los argumentos de este libro serán argumentos sobre ω, el primer
ordinal de la segunda clase, segunda especie; el más pequeño de los números
ordinales transfinitos.
29 Por claridad y sencillez, en el resto del libro, diremos que un conjunto,
o una sucesión, es α-ordenada para expresar que se trata de un conjunto (o sucesión) bien ordenado, cuyo ordinal es α, siendo α algún ordinal
transfinito, que casi siempre será ω.
30 Los ordinales de la segunda clase definen un conjunto nuevo: el conjunto de todos los ordinales de la segunda clase (o conjunto de todos los
ordinales cuyos conjuntos tienen el mismo cardinal ℵo ), cuyo cardinal es ℵ1
[39, Teorema 16-F]. A su vez, el conjunto de todos los ordinales cuyos conjuntos tienen el mismo cardinal ℵ1 es otro conjunto cuyo cardinal es ℵ2 . El
conjunto de todos los ordinales cuyos conjuntos tienen el mismo cardinal ℵ2
es otro conjunto cuyo cardinal es ℵ3 . Y ası́ sucesivamente. De acuerdo con
Cantor, existen entonces dos sucesiones crecientes de cardinales infinitos:
ℵo
ℵo < 2ℵo < 22
2ℵo
< 22
ℵo < ℵ1 < ℵ2 < ℵ3 < . . .
< . . . (Sucesión de las potencias)
(Sucesión de los alefs)
La famosa (y aún no resuelta) hipótesis del continuum afirma: ℵ1 = 2ℵo .
La versión generalizada afirma que, para todo i, el i-ésimo término de la
primera sucesión es igual al i-ésimo término de la segunda. Afortunadamente no tendremos que abordar esa cuestión en este libro, excepto una
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Cardinales y ordinales —— 11
breve revisión de la hipótesis del continuum en el Capı́tulo ??.
31 Obviamente esto no es más que una breve y esquemática introducción
a la teorı́a de Cantor de los números transfinitos [39]. Pero es todo lo que
necesitamos saber para seguir los argumentos que desarrollaremos aquı́.
Como se señaló anteriormente, nuestra atención se centrará de forma casi
exclusiva en los objetos ω−ordenados (conjuntos y sucesiones), es decir en
objetos cuyos elementos se ordenan de la misma manera que los números
naturales en su orden natural de precedencia. Objetos como, por ejemplo,
la sucesión a1 a2 a3 , . . . Este tipo de orden (ω−orden de ahora en adelante)
se caracteriza por:
1) Existe un primer elemento a1 .
2) Cada elemento an tiene un predecesor inmediato an−1 , excepto el
primero a1 .
3) Cada elemento an tiene un sucesor inmediato an+1 (ω-sucesividad).
4) Entre dos elementos sucesivos cualesquiera, an , an+1 no existe
ningún otro elemento (ω-separación).
5) No existe último elemento, a pesar de lo cual los objetos ω−ordenados se consideran totalidades completas.
32 Ocasionalmente, también trataremos con objetos ω ∗ −ordenados, objetos cuyos elementos se ordenan de la misma forma que la sucesión creciente
de los números enteros negativos: . . . , -3, -2, -1. Este tipo de orden usaremos la notación an∗ para referirnos al n-ésimo elemento por la cola. El
ω ∗ −orden se caracteriza por:
1) Existe un último elemento a1∗ .
2) Cada elemento an∗ tiene un sucesor inmediato a(n−1)∗ , excepto el
último a1∗ .
3) Cada elemento an∗ tiene un predecesor inmediato a(n+1)∗ (ω-sucesividad).
4) Entre dos elementos sucesivos cualesquiera, an∗ , a(n+1)∗ no existe
ningún otro elemento (ω-separación).
5) No existe primer elemento, a pesar de lo cual los objetos ω ∗ −ordenados se consideran totalidades completas.
33 Como ya se ha indicado, todos los números transfinitos (cardinales y
ordinales) se basan en la suposición de que existe un conjunto numerable
ω−ordenado. Por eso, casi todos los argumentos que siguen se ocuparán
únicamente de objetos ω−ordenados. Si se demostrara que esa hipótesis
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12 —— El infinito actual
infinitista es inconsistente, todo el edificio de las matemáticas transfinitas
se vendrı́a abajo como un castillo de naipes.
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Bibliografı́a
[1] Amir D. Aczell, The Mystery of the Aleph: Mathematics, the Kabbalah and the
Search for Infinity, Pockets Books, New York, 2000.
[2] Antonio Alegre Gorri, Estudios sobre los presocráticos, Anthropos, Barcelona,
1985.
[3] L. V. Allis and T. Koetsierx, On Some Paradoxes of the infinite, British Journal
for the Philosophy of Science 46 (1991), 235 – 47.
[4] Joseph S. Alper and Mark Bridger, Mathematics, Models and Zeno’s Paradoxes,
Synthese 110 (1997), 143 – 166.
[5]
, On the Dynamics of Perez Laraudogotia’s Supertask, Synthese 119
(1999), 325 – 337.
[6] Joseph S. Alper, Mark Bridger, John Earman, and John D. Norton, What is a
Newtonian System? The Failure of Energy Conservation and Determinism in
Supertasks, Synthese 124 (2000), 281 – 293.
[7] Jan Ambjorn, Jerzy Jurkiewicz, and Renate Loll, El universo cuántico
autoorganizado, Investigación y Ciencia 384 (2008), 20–27.
[8] Charis Anastopoulos, Particle or Wave. The evolution of the concept of matter
in modern physics, Princeton University Press, New Jersey, 2008.
[9] Aristotle, Prior and Posterior Analytics, Clarendon Press, Oxford, 1949.
[10] Aristóteles, Metafı́sica, Espasa Calpe, Madrid, 1995.
[11]
, Fı́sica, Gredos, Madrid, 1998.
[12] John Baez, The Quantum of Area?, Nature 421 (2003), 702 – 703.
[13] Mark Balaguer, Platonism and Anti-platonism in Mathematics, Oxford
University Press, New York, 2001.
[14] John D. Barrow, The Infinite Book, Vintage Books(Random House), New York,
2006.
[15] George Bekeley, A Treatise Concerning the Principles of Human Knowledge,
Renascence Editions, http://darkwing.uoregon.edu/ bear/berkeley, 2004.
[16] Jacob D. Bekenstein, La información en un universo holográfico, Investigación y
Ciencia 325 (2003), 36–43.
[17] Paul Benacerraf, Tasks, Super-tasks, and Modern Eleatics, Journal of Philosophy
LIX (1962), 765–784.
13
✐
✐
✐
✐
✐
✐
“ElFinDelInfinito” — 2015/8/28 — 13:10 — page 14 — #14
✐
✐
14 ——- Referencias
[18] Paul Benacerraf and H. Putnam, Introduction, Philosophy of Mathematics:
Selected Readings (Cambridge) (P. Benacerraf and H. Putnam, eds.), Cambridge
University Press, 1964, pp. 1–27.
[19] Henri Bergson, Creative Evolution, Dover Publications Inc., New York, 1998.
[20] Henri Bergson, The Cinematographic View of Becoming, Zeno’s Paradoxes
(Wesley C. Salmon, ed.), Hackett Publishing Company, Inc,
Indianapolis/Cambridge, 2001, pp. 59 – 66.
[21] Alberto Bernabé, Introducción y notas, Fragmentos presocráticos (Alberto
Bernabé, ed.), Alianza, Madrid, 1988.
[22] Joël Biard, Logique et physique de l’infini au Xive siècle, Infini des
mathématiciens, infinit des philosophes (Fran çoise Monnoyeur, ed.), Belin,
Paris, 1992.
[23] M. Black, Achilles and the Tortoise, Analysis XI (1950 - 51), 91 – 101.
[24] Ernest Boesiger, Teorı́as evolucionistas posteriores a Lamrck y Darwin, Estudios
sobre la filosofı́a de la biologı́a (Francisco J. Ayala and Theodosius Dobzhansky,
eds.), Ariel, 1983, pp. 45–74.
[25] Bernard Bolzano, Paradoxien des Unendlichen, B. van Rootselaar, Hamburg,
1975.
[26] David Bostock, Aristotle, Zeno, and the potential Infinite, Proceedings of the
Aristotelian Society 73 (1972), 37 – 51.
[27] R. Bunn, Los desarrollos en la fundamentación de la matemática desde 1870 a
1910, Del cálculo a la teorı́a de conjuntos, 1630-1910. Una introducción histórica
(I. Grattan-Guinness, ed.), Alianza, Madrid, 1984, pp. 283–327.
[28] Cesare Burali-Forti, Una questiones sui numeri transfiniti, Rendiconti del Circolo
Matematico di Palermo 11 (1897), 154–164.
[29] Florian Cajori, The History of Zeno’s Arguments on Motion, American
Mathematical Monthly XXII (1915), 1–6, 38–47, 77–82, 109–115, 143–149,
179,–186, 215–220, 253–258, 292–297,
http://www.matedu.cinvestav.mx/librosydocelec/Cajori.pdf.
[30]
, The Purpose of Zeno’s Arguments on Motion, Isis III (1920-21), 7–20.
[31] Georg Cantor, Über eine eigenschaft aller reallen algebraishen zahlen, Journal für
die reine und angewandte Mathematik 77 (1874), 258–262.
[32]
, Sur une propriété du système de tous les nombres algébriques réels, Acta
Mathematica 2 (1874/1883), 305–310.
[33]
, Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre, Mathematishen
Annalen 21 (1883), 545 – 591.
[34]
, Über verschiedene Theoreme asu der Theorie der Punktmengen in einem
n-fach ausgedehnten stetigen Raume Gn, Acta Mathematica 7 (1885), 105–124.
[35]
, Über Eine elementare frage der mannigfaltigkeitslehre, Jahresberich der
Deutschen Mathematiker Vereiningung, vol. 1, 1891.
[36]
, Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, Mathematische
Annalen XLVI (1895), 481 – 512.
✐
✐
✐
✐
✐
✐
“ElFinDelInfinito” — 2015/8/28 — 13:10 — page 15 — #15
✐
✐
Referencias ——- 15
[37]
, Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, Mathematishe
Annalen XLIX (1897), 207 – 246.
[38]
, Gesammelte Abhandlungen, Verlag von Julius Springer, Berlin, 1932.
[39]
, Contributions to the founding of the theory of transfinite numbers,
Dover, New York, 1955.
[40]
, Foundations of a General Theory of Manifolds, The Theoretical Journal
of the National Caucus of Labor Committees 9 (1976), no. 1-2, 69 – 96.
[41]
, On The Theory of the Transfinite. Correspondence of Georg Cantor and
J. B: Cardinal Franzelin, Fidelio III (1994), no. 3, 97 – 110.
[42]
, Fundamentos para una teorı́a general de conjuntos, Crı́tica, Barcelona,
2005.
[43]
, Sobre una propiedad de la colección de todos los números reales
algebraicos, Fundamentos para una teorı́a general de conjuntos. Escritos y
correspondencia selecta (José Ferreirós, ed.), Crı́tica, Madrid, 2006, pp. 179–183.
[44] Lewis Carroll, El juego de la Lógica, 6 ed., Alianza, Madrid, 1982.
[45]
, A través del espejo: y lo que Alicia encontró al otro lado, Alianza,
Madrid, 2003.
[46] Sean B. Carroll, Benjamin Proud’home, and Nicolas Gompel, La regulación de la
evolución, Investigación y Ciencia 382 (2008), 24–31.
[47] Carlos Castrodeza, Los lı́mites de la historia natural. Hacia una nueva biologı́a
del conocimiento, Akal, Madrid, 2003.
[48] David V. Chudnovsky and Gregory V. Chudnovsky, The computation of classical
constants, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States
of America 86 (21) (1989), 8178–8182.
[49] P. Clark and S. Read, Hypertasks, Synthese 61 (1984), 387 – 390.
[50] Brian Clegg, A Brief History of Infinity. The Quest to Think the Unthinkable,
Constable and Robinson Ltd, London, 2003.
[51] Paul J. Cohen, The independence of the Continuum Hypothesis, Proceedings of
the National Academy of Sciences 50 (1963), 1143 – 1148.
[52] Jonas Cohn, Histoire de l’infini. Le problème de l’infini dans la pensée
occidentale jusqu’‘a Kant, Leséditions du CERF, Paris, 1994.
[53] Giorgio Colli, Zenón de Elea, Sexto Piso, Madrid, 2006.
[54] Michael C. Corballis, Pensamiento recursivo, Mente y Cerebro 27 (2007), 78–87.
[55] Antonio Damasio, Creación cerebral de la mente, Investigación y Ciencia (2000),
66–71.
[56] Antonio Damasio, El error de Descartes, Crı́tica, Barcelona, 2003.
[57]
, Y el cerebro creó al hombre, Destino, Barcelona, 2010.
[58] Josep W. Dauben, Georg Cantor. His mathematics and Philosophy of the
Infinite, Princeton University Press, Princeton, N. J., 1990.
✐
✐
✐
✐
✐
✐
“ElFinDelInfinito” — 2015/8/28 — 13:10 — page 16 — #16
✐
✐
16 ——- Referencias
[59] P. C. W. Davies, Multiverse Cosmological Models, Modern Physics Letters A 19
(2004), 727–743.
[60] John W. Dawson, Logical Dilemmas. The life and work of Kurt Gödel, A K
Peters Ltd., Wellesley MA, 1997.
[61] Richard Dedekind, Qué son y para qué sirven los números (was sind Und was
sollen die Zahlen(1888)), Alianza, Madrid, 1998.
[62] Stanislas Dehaene, Nicolas Molkoand Laurent Cohen, and Anna J. Wilson,
Arithmetic and the Brain, Current Opinion in Neurobiology 14 (2004), 218–224.
[63] Stanilas Dehane, Bases biológicas de la aritmética elemental, Mente y Cerebro
25 (2007), 62–67.
[64] Jean-Paul Delahaye, El carácter paradójico del Infinito, Investigación y Ciencia
(Scientifc American) Temas: Ideas del infinito (2001), no. 23, 36 – 44.
[65] Theodosius Dobzhansky, Nothing in biology makes sense except in the light of
evolution, American Biology Teacher 35 (1973), 125–129.
[66] Didier Dubois and Henri Prade, Fuzzy Sets and Systems, Academic Press, New
York, 1988.
[67] John Earman, Determinism: What We Have Learned and What We Still Don’t
Know, Freedom and Determinism (Michael O’Rourke and David Shier, eds.),
MIT Press, Cambridge, 2004, pp. 21–46.
[68] John Earman and John D. Norton, Forever is a Day: Supertasks in Pitowsky and
Malament-hogarth Spacetimes, Philosophy of Science 60 (1993), 22–42.
[69]
, Infinite Pains: The Trouble with Supertasks, Paul Benacerraf: The
Philosopher and His Critics (S. Stich, ed.), Blackwell, New York, 1996.
[70]
, Comments on Laraudogoitia’s ’classical Particle Dynamics,
Indeterminism and a Supertask’, The British Journal for the Phylosophy of
Science 49 (1998), no. 1, 122 – 133.
[71] Niles Eldredge, Sı́ntesis inacabada. Jerarquı́as biológicas y pensamiento evolutivo
moderno, Fondo de Cultura Económica, Mexico, 1997.
[72] Michael J. Hawrylycz et al., An anatomically comprehensive atlas of the adult
human brain transcriptome, Nature 489 (2012), 391–399.
[73] Euclides, Elementos, Gredos, Madrid, 2000.
[74] Theodore G. Faticoni, The mathematics of infinity: A guide to great ideas, John
Wiley and Sons, Hoobken, New Jersey, July 2006.
[75] Solomon Feferman, Kurt Gödel: Conviction and Caution, Gödel’s Theorem
(S. G. Shanker, ed.), Routledge, London, 1991, pp. 96–114.
[76] José L. Fernández Barbón, Geometrı́a no conmutativa y espaciotiempo cuántico.,
Investigación y Ciencia (2005), no. 342, 60–69.
[77] José Ferreirós, El nacimiento de la teorı́a de conjuntos, Universidad Autónoma
de Madrid, Madrid, 1993.
[78]
, Matemáticas y platonismo(s), Gaceta de la Real Sociedad Matemática
Española 2 (1999), 446–473.
✐
✐
✐
✐
✐
✐
“ElFinDelInfinito” — 2015/8/28 — 13:10 — page 17 — #17
✐
✐
Referencias ——- 17
[79] Richard Feynman, Superstrings: A Theory of Everything?, Superstrings: A
Theory of Everything? (Paul Davis and Julian Brown, eds.), Cambridge
University Press, Cambridge, 1988.
[80] Galileo Galilei, Consideraciones y demostraciones matemáticas sobre dos nuevas
ciencias, Editora Nacional, Madrid, 1981.
[81] Alejandro R. Garciadiego Dantan, Bertrand Rusell y los orı́genes de las
paradojas de la teorı́a de conjuntos, Alianza, Madrid, 1992.
[82] Valeria Gazzola, Lisa Aziz-Zadih, and Christian Keysers, Empathy and the
Somatotopic Auditory Mirror System in Humans, Current Biology 19 (2006),
1824–1829.
[83] Kurt Gödel, The consistency of the Axiom of Choice and the Generalized
Continuum Hypothesis, Proceedings of the National Academy of Sciences 24
(1938), 556 – 557.
[84]
, La lógica matemática de Russell, Obras completas (Jesús Mosterı́n, ed.),
Alianza, Madrid, 2 ed., 1989, pp. 313–350.
[85] Kurt Gödel, Obras Completas, ch. Sobre sentencias formalmente indecidibles de
Principia Mathematica y sistemas afines, pp. 53–87, Alianza, Madrid, 1989.
[86] Kurt Gödel, ¿qué es el problema del continuo de Cantor? Suplemento a la
segunda edición, Obras completas (Jesús Mosterı́n, ed.), Alianza, Madrid, 2 ed.,
1989, pp. 424–426.
[87] Robert Goldblatt, Lectures on the Hyperreals: An Introduction to Nonstandard
Analysis, Springer-Verlag, New York, 1998.
[88] Rebecca Goldstein, Incompleteness. The Proof and Paradox of Kurt Gödel, W.
W. Norton and Company, New York, 2005.
[89] Stephen Jay Gould, Acabo de llegar: el final de un principio en la historia
natural, Crı́tica, Barcelona, 2003.
[90] I. Grattan-Guinness, Are there paradoxes of the set of all sets?, International
Journal of Mathematical Education, Science and Technology 12 (1981), 9–18.
[91] Adolf Grünbaum, Modern Science and Refutation of the Paradoxes of Zeno, The
Scientific Monthly LXXXI (1955), 234–239.
[92]
, Modern Science and Zeno’s Paradoxes, George Allen And Unwin Ltd,
London, 1967.
[93]
, Modern Science and Refutation of the Paradoxes of Zeno, Zeno’s
Paradoxes (Wesley C. Salmon, ed.), Hackett Publishing Company, Inc,
Indianapolis/Cambridge, 2001, pp. 164 – 175.
[94]
, Modern Science and Zeno’s Paradoxes of Motion, Zeno’s Paradoxes
(Wesley C. Salmon, ed.), Hackett Publishing Company, Inc,
Indianapolis/Cambridge, 2001, pp. 200 – 250.
[95]
, Zeno’s Metrical Paradox of Extension, Zeno’s Paradoxes (Wesley C.
Salmon, ed.), Hackett Publishing Company, Inc, Indianapolis/Cambridge, 2001,
pp. 176 – 199.
[96] Michael Hallet, Cantorian set theory and limitation of size, Oxford University
Press, 1984.
✐
✐
✐
✐
✐
✐
“ElFinDelInfinito” — 2015/8/28 — 13:10 — page 18 — #18
✐
✐
18 ——- Referencias
[97] Charles Hamblin, Starting and Stopping, The Monist 53 (1969), 410 –425.
[98] Marc D. Hauser, Mentes animales, El nuevo humanismo y las fronteras de la
ciencia (John Brockman, ed.), Kairós, Barcelona, 2007, pp. 113–136.
[99] Georg Wilhelm Frederich Hegel, Lógica, Folio, Barcelona, 2003.
[100] James M. Henle and Eugene M. Kleinberg, Infinitesimal Calculus, Dover
Publications Inc., Mineola, New York, 2003.
[101] Jaakko Hintikka, On Gödel, Wadsworth / Thomson Learning, Inc., Belmont CA,
2000.
[102] Wilfrid Hodges, An Editor Recalls some Hopeless Papers, The Bulletin of
Symbolic Logic 4 (1998), no. 1, 1–16.
[103] Craig J. Hogan, El libro del Big Bang, Alianza, Madrid, 2005.
[104] M. L. Hogarth, Does General Relativity Allow an Observer to view an Eternity
in a Finite Time?, Foundations of Physics Letters 5 (1992), 173 – 181.
[105] M. Randall Holmes, Alternative Axiomatic Set Theories, The Stanford
Encyclopedia of Philosophy (Edward N. Zalta, ed.), Standford University, 2007.
[106] Gerard’t Hooft, Partı́culas elementales, Crı́tica, Barcelona, 1991.
[107] Nick Huggett, Zeno’s Paradoxes, The Stanford Encyclopaedia of
Philosophy(Summer 2004 Edition) (Edward N. Zalta(ed.), ed.), Stanford
University, ¡http://plato.stanford.edu/archives/sum2004/entries/paradox-zeno/¿,
2004.
[108] H. Jerome Keisler, Elementary Calculus. An Infinitesimal Approach, second ed.,
Author, http://www.wisc.edu/ keisler/keislercalc.pdf, September 2002.
[109] Julius König, Zum Kontinuum Problem, Mathematishe Annalen 60 (1905),
177–180.
[110] Evelyne Kohler, Christian Keysers, Alessandra Ulmitá, Leonardo Fogassi,
Vittorio Gallese, and Giacomo Rizzolati, Hearing Sounds, Understanding
Actions: Action Representation in Mirror Neurons, Science 297 (2002), 846–848.
[111] Dharshan Kumara, Jennifer J. Summerfield, Demis Hassabis, and Eleonor A.
Maguire, Tracking the Emergence of Conceptual Knowledge during Human
Decision Making, Neuron 63 (2009), 889–901.
[112] Shaughan Lavine, Understanding the Infinite, Harvard University Press,
Cambridge MA, 1998.
[113] Marc Lchièze-Rey, L’ infini. De la philosophie à l’astrophysique, Hatier, Paris,
1999.
[114] Ed Leind and Mike Hawrylycz, The genetic geography of the brain, Scientific
American (2014), 71–77.
[115] Antonio Leon, Living beings as informed systems: towards a physical theory of
information, Journal of Biological Systems 4 (1996), no. 4, 565 – 584.
[116]
, Digital relativity, Printed by Bubok Publishing, Madrid, 2013.
[117] Bernard Linsky and Edward N. Zalta, Naturalized Platonism vs Platonized
Naturalism, The Journal of Philosophy XCII/10 (1995), 525–555.
✐
✐
✐
✐
✐
✐
“ElFinDelInfinito” — 2015/8/28 — 13:10 — page 19 — #19
✐
✐
Referencias ——- 19
[118] John Losee, Introducción histórica a la filosofı́a de la ciencia, Alianza, Madrid,
1987.
[119] Seth Loyd and Y. Jack Ng, Computación en agujeros negros, Investigación y
Ciencia (Scientifc American) (2005), no. 340, 59 – 67.
[120] Jean Pierre Lumient and Marc Lachièze-Rey, La physique et l’infini,
Flammarion, Paris, 1994.
[121] Peter Lynds, Time and Classical and Quantum Mechanics: Indeterminacy vs.
Discontinuity, Foundations of Physics Letters 16 (2003), 343 – 355.
[122] Peter Lynds, Zeno’s Paradoxes: A Timely Solution, philsci-archives (3003), 1 – 9,
http://philsci-archives.pitt.edu/archive/00001197.
[123] William I. Maclaughlin, Thomson’s Lamp is Dysfunctional, Synthese 116 (1998),
no. 3, 281 – 301.
[124] Penelope Maddy, Perception and Mathematical Intuition, The Philosophical
Review 89 (1980), 163–196.
[125]
, Naturalism in Mathematics, Oxford University Press, New York, 1997.
[126] Shahn Majid, Quantum space time and physical reality, On Space and Time
(Shahn Majid, ed.), Cambridge University Press, New York, 2008.
[127] B. Mandelbrot, The fractal geometry of nature, W. H. Freeman, 1982.
[128] Benôit Mandelbrot, Los objetos fractales. forma, azar y dimensiones, Tusquets,
Barcelona, 1987.
[129] Eli Maor, To Infinity and Beyond. A Cultural History of the Infinite, Pinceton
University Press, Princeton, New Jersey, 1991.
[130] Lynn Margulis, Teorı́a de la simbiosis: las células como comunidades
microbianas, Evolución ambiental (Lynn Margulis and Lorraine Olendzenski,
eds.), Alianza, Madrid, 1996, pp. 157–182.
[131] Mathieu Marion, Wittgenstein, finitism and the foundations of mathematics,
Clarendon Press Oxford, Oxford, 1998.
[132] James Clerk Maxwell, Materia y movimiento, Crı́tica, Barcelona, 2006.
[133] Ernst Mayr, The Growth of Biological Thought, Harvard University Press,
Cambirdge MA, 1982.
[134] Joseph Mazur, The Motion Paradox, Dutton, 2007.
[135] William I. McLaughlin, Una resolución de las paradojas de Zenón, Investigación
y Ciencia (Scientifc American) (1995), no. 220, 62 – 68.
[136] William I. McLaughlin and Silvia L. Miller, An Epistemological Use of
non-standard Analysis to Answer Zeno’s Objections Against Motion, Synthese
92 (1992), no. 3, 371 – 384.
[137] J. E. McTaggart, The unreality of time, Mind 17 (1908), 457 – 474.
[138] Brian Medlin, The Origin of Motion, Mind 72 (1963), 155 – 175.
[139] H. Meschkowski, Georg Cantor. Leben, Werk und Wirkung, Bibliographisches
Institut, Mannheim, 1983.
✐
✐
✐
✐
✐
✐
“ElFinDelInfinito” — 2015/8/28 — 13:10 — page 20 — #20
✐
✐
20 ——- Referencias
[140] Andreas W. Moore, Breve historia del infinito, Investigación y Ciencia (Scientifc
American) (1995), no. 225, 54 – 59.
, The Infinite, Routledge, New York, 2001.
[141]
[142] Francisco Mora, Cómo funciona el cerebro, Alianza, Madrid, 2007.
[143] Richard Morris, Achilles in the Quantum Universe, Henry Holt and Company,
New York, 1997.
[144] Chris Mortensen, Change, Stanford Encyclopaedia of Philosophy (E. N. Zalta,
ed.), Stanford University, URL = http://plato.stanford.edu, 2002.
[145] Jesús Mosterı́n, Los lógicos, Espasa Calpe, Madrid, 2000.
[146] Jan Mycielski, Analysis without actual Infinite, The Journal of Symbolic Logic
46 (1981), no. 3, 625 – 633.
[147] Joaquı́n Navarro, Los secretos del número π ¿por qué es imposible la cuadratura
del cı́rculo?, RBA Editores, 2014.
[148] John Von Neumann, On the introduction of transfinite numbers, From Frege to
Gödel. A sourcebook in mathematical logic 1879-1931 (Jean Van Heijenoort,
ed.), Harvard University Press, 2011, pp. 346–354.
[149] John D. Norton, A Quantum Mechanical Supertask, Foundations of Physics 29
(1999), 1265 – 1302.
[150] Javier Ordoñez, Victor Navarro, and José Manuel Sánchez Ron, Historia de la
Ciencia, Espasa Calpe, Madrid, 2004.
[151] Alba Papa-Grimaldi, Why mathematical solutions of Zeno’s paradoxes miss the
point: Zeno’s one and many relation and Parmenides prohibition, The Revew of
Metaphysics 50 (1996), 299–314.
[152] Derek Parfit, Reasons and Persons, The Clarendon Press, Oxford, 1984.
[153] Parménides, Acerca de la naturaleza, De Tales a Demócrito. Fragmentos
presocráticos (Alberto Bernabé, ed.), Alianza, Madrid, 1988, pp. 159 – 167.
[154] Clifford A. Pickover, Keys to Infinity, Wiley, New York, 1995.
[155] I. Pitowsky, The Physical Church Thesis and Physical Computational
Complexity, Iyyun 39 (1990), 81 –99.
[156] Jon Pérez Laraudogoitia, A Beautiful Supertask, Mind 105 (1996), 49–54.
[157]
, Classical Particle Dynamics, Indeterminism and a Supertask, British
Journal for the Philosophy of Science 48 (1997), 49 – 54.
[158]
, Infinity Machines and Creation Ex Nihilo, Synthese 115 (1998), 259 –
265.
, Why Dynamical Self-excitation is Possible, Synthese 119 (1999), 313 –
[159]
323.
[160]
, Supertasks, The Stanford Encyclopaedia of Philosophy (E. N. Zaltax,
ed.), Standford University, URL = http://plato.stanford.edu, 2001.
[161] Jon Pérez Laraudogoitia, Mark Bridger, and Joseph S. Alper, Two Ways of
Looking at a Newtonian Supertask, Synthese 131 (2002), no. 2, 157 – 171.
✐
✐
✐
✐
✐
✐
“ElFinDelInfinito” — 2015/8/28 — 13:10 — page 21 — #21
✐
✐
Referencias ——- 21
[162] W. Purkert, Cantor’s view on the foundations of mathematics, The history of
modern mathematics (D. Rowe and J. McClearly, eds.), Academic Press, New
York, 1989, pp. 49–64.
[163] Marcus E. Raichle, The Brain’s Dark Energy, Science 319 (2006), 1249–1250.
[164] Martin Rees, Just Six Numbers. The deep forces that shape the universe,
Phoenix. Orion Books Ltd., London, 2000.
[165] Nicholas Rescher, Process Philosophy, Stanford Encyclopedia of Philosophy
(Edward N.. Zalta, ed.), Stanford University, URL = http://plato.stanford.edu,
2002.
[166] Robert J. Richards, El significado de la evolución. La construcción morfológica y
la reconstrucción ideológica de la teorı́a de Darwin, Alianza, Madrid, 1998.
[167] Mark Ridley, La evolución y sus problemas, Pirámide, Madrid, 1985.
[168] Giacomo Rizzolati, Leonardo Fogassi, and Vittorio Gallese, Neuronas espejo:,
Investigación y Ciencia 364 (2007), 14–21.
[169] Adina L. Roskies, The Binding problem, Neuron 24 (1999), 7–9.
[170] Brian Rotman, The Ghost in Turing Machine, Stanford University Press,
Stanford, 1993.
[171] Rudy Rucker, Infinity and the Mind, Princeton University Press, Princeton, 1995.
[172] Wesley C. Salmon, Introduction, Zeno’s Paradoxes (Wesley C. Salmon, ed.),
Hackett Publishing Company, Inc, Indianapolis, Cambridge, 2001, pp. 5 – 44.
[173] Javier Sampedro, Deconstruyendo a Darwin, Crı́tica, 2007.
[174] Máximo Sandı́n, Lamarck y los mensajeros. La función de los virus en la
evolución, Istmo, Madrid, 1995.
[175] Steven Savitt, Being and Becoming in Modern Physics, The Stanford
Encyclopedia of Philosophy (Edward N. Zalta, ed.), The Stanford Encyclopedia
of Philosophy, 2008.
[176] Erwin Schrödinger, La naturaleza y los griegos, Tusquets, Barcelona, 1996.
[177] Bruce A. Schumm, Deep Down Things. The Breathtaking Beauty of Particle
Physics, The Johns Hopkins University Press, Baltimore, 2004.
[178] Jan Sebestik, La paradoxe de la réflexivitédes ensembles infinis: Leibniz,
Goldbach, Bolzano., Infini des mathématiciens, infini des philosophes (Fran çoise
Monnoyeur, ed.), Belin, Paris, 1992, pp. 175–191.
[179] Sebastian Seung, Connectome. how the brain’s wiring makes us who we are,
Houghton Mifflin Harcourt, New York, 2012.
[180] Waclaw Sierpinski, Cardinal and ordinal numbers, PWN-Polish Scientific
Publishers, Warszawa, 1965.
[181] Z. K. Silagadze, Zeno meets modern science, Philsci-archieve (2005), 1–40.
[182] Hourya Sinaceur, Le fini et l’infini, Infini des mathématiciens, infini des
philosophes (Fran çoise Monnoyeur, ed.), Belin, Paris, 1992.
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“ElFinDelInfinito” — 2015/8/28 — 13:10 — page 22 — #22
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22 ——- Referencias
[183]
, ¿existen los números infinitos?, Mundo Cientı́fico(La Recherche) Extra:
El Universo de los números (2001), 24 – 31.
[184] Hourya Sinaceur and J. M. Salanski(eds.), Le labyrinthe du continu,
Springer-Verlag, Berlin, 1992.
[185] Wolf Singer, Consciousness and the Binding Problem, Annals of the New York
Academy of Sciences 929 (2001), 123–146.
[186] J. Maynard Smith, D. Bohm, M. Green, and C. H. Waddington, El status del
neodarwinismo, Hacia una Biologı́a Teórica (C. H. Waddington, ed.), Alianza,
Madrid, 1976, pp. 295 – 324.
[187] Lee Smolin, Three roads to quantum gravity. A new understanding of space, time
and the universe, Phoenix, London, 2003.
[188] Lee Smolin, Átomos del espacio y del tiempo, Investigación y Ciencia (Scientifc
American) (2004), no. 330, 58 – 67.
[189]
, The trouble with physics, Allen Lane. Penguin Books, London, 2007.
[190] Carlos Solı́s and Luis Sellés, Historia de la ciencia, Espasa Calpe, Madrid, 2005.
[191] Steven M. Stanley, El nuevo cómputo de la evolución, Siglo XXI, Madrid, 1986.
[192] Paul Steinhardt, El universo cı́clico, El nuevo humanismo y las froteras de la
ciencia (John Brockman, ed.), Kairós, Barcelona, 2008, pp. 363–379.
[193] Robert R. Stoll, Set Theory and Logic, Dover, New York, 1979.
[194] K. D. Stroyan, Foundations of Infinitesimal Calculus, Academic Press, Inc, New
York, 1997.
[195] Patrrick Suppes, Axiomatic Set Theory, Dover, New York, 1972.
[196] Leonard Susskind, Los agujeros negros y la paradoja de la información,
Investigación y Ciencia (Scientifc American) (1997), no. 249, 12 – 18.
[197] Richard Taylor, Mr. Black on Temporal Paradoxes, Analysis 12 (1951 - 52), 38 –
44.
[198] James F. Thomson, Tasks and Supertasks, Analysis 15 (1954), 1–13.
[199] Alan M. Turing, On Computability Numbers, With an Application to the
Entscheidungsproblem, Proc. London Math. Soc. Series 2 43 (1937), 230 – 265.
[200] Sime Ungar, The koch curve: A geometrical proof, The American Mathematical
Monthly 114, 1 (2007), 61–66.
[201] Gabriele Veneziano, El universo antes de la Gran Explosión, Investigación y
Ciencia (Scientifc American) (2004), no. 334, 58 – 67.
[202] Gregory Vlastos, Zeno’s Race Course, Journal of the History of Philosophy IV
(1966), 95–108.
[203]
, Zeno of Elea, The Encyclopaedia of Philosophy (Paul Edwards, ed.),
McMillan and Free Press, New York, 1967.
[204] Helge von Koch, Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une
construction géométrique élémentaire, Arkiv for Matematik 1 (1904), 681–704.
✐
✐
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“ElFinDelInfinito” — 2015/8/28 — 13:10 — page 23 — #23
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Referencias ——- 23
[205]
, Une méthode géométrique élémentaire pour l’étude de certains questions
de la théorie des courbes planes, Acta Mathematica 30 (1906), 145–174.
[206] G. H. Von Wright, Time, Change and Contradiction, Cambridge University
Press, Cambridge, 1968.
[207] David Foster Wallace, Everything and more. Acompact history of infinity, Orion
Books Ltd., London, 2005.
[208] John Watling, The sum of an infinite series, Analysis 13 (1952 - 53), 39 – 46.
[209] Eric W. Weistein, Superfactorial, Eric Weisstein World of Mathematics, Wolfram
Research Inc., http://mathworld.wolfram.com, 2009.
[210] H. Weyl, Philosophy of Mathematics and Natural Sciences, Princeton University
Press, Princeton, 1949.
[211] Klaus Wilhelm, La cultura entre los primates, Mente y Cerebro 29 (2008), 66–71.
[212] Ludwig Wittgenstein, Remarks on the Foundations of Mathematics, Basil
Blackwell, Oxford, 1978.
[213] Stephen Wolfram, Mathematical notation: Past and future.
http://www.stephenwolfram.com/publications, Wolfram Media Inc, 2010
(English).
[214] Alexander J. Yee and Shigeru Kondo, 12.1 trillions digits of pi,
www.numberworld.org, 2013.
[215] F. J. Ynduráin, Electrones, neutrinos y quarks, Crı́tica, Barcelona, 2001.
[216] Lofty A. Zadeh, Fuzzy Sets, Information and Control 8(3) (1965), 338–353.
[217] Mark Zangari, Zeno, Zero and Indeterminate Forms: Instants in the Logic of
Motion, Australasian Journal of Philosophy 72 (1994), 187–204.
[218] Semir Zeki, Una visión del cerebro, Ariel, Barcelona, 1995.
[219] Paolo Zellini, Breve storia dell’infinito, Adelphi Edicioni, Milano, 1980.
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