Curso Inferencia Estad´ıstica Antonio Soriano Flores [email protected] Estad´ısticaAntonio Soriano Flores [email protected] Inferencia Correlaci´on El coeficiente de correlaci´ on lineal lo definimos como Cov (X , Y ) σX Y , y mide el grado de ρ= = σX σY Var (X ) Var (Y ) asociaci´on lineal entre las variables aleatorias X y Y , y se puede probar que −1 ≤ ρ ≤ 1. Estad´ısticaAntonio Soriano Flores [email protected] Inferencia µ3 El coeficiente de asimetr´ıa lo definiremos como γ1 = 3 , bajo σ este contexto γ1 = 0 nos indica una distribuci´ on sim´etrica con respecto a µ. γ1 < 0 nos indica una distribuci´ on asim´etrica positiva con respecto a µ. γ1 > 0 nos indica una distribuci´ on asim´etrica negativa con respecto a µ. Estad´ısticaAntonio Soriano Flores [email protected] Inferencia µ4 La kurtosis la definiremos como γ2 = 4 − 3, bajo este σ contexto γ2 = 0 nos indica una distribuci´ on mesocurtica γ2 < 0 nos indica una distribuci´ on platocurtica o aplanada γ2 > 0 nos indica una distribuci´ on leptocurtica o puntiaguda. Estad´ısticaAntonio Soriano Flores [email protected] Inferencia Algunas funciones de distribuci´ on discretas Nombre Par´ ametro Bernoulli p ∈ (0, 1) Binomial n ∈ N, p ∈ (0, 1) Geom´ etrica p ∈ (0, 1) Binomial Negativa Poisson p ∈ (0, 1) , k ∈ N λ ∈ (0, ∞) P (X = x) p x (1 − p)1−x n x x p (1 − p) n−x (1 − p)x p x−1 k−1 k p (1 − p) x−k e −λ λx x! Estad´ısticaAntonio Soriano Flores [email protected] Inferencia Rango E (X ) Var (X ) x ∈ {0, 1} p p(1 − p) x ∈ {0, 1, . . . , n} np np(1 − p) x ∈ {0, 1, 2, . . .} 1 p (1−p) p2 x ∈ {k, k + 1, . . . , } k p k(1−p) p2 x ∈ {0, 1, 2, . . .} λ λ Algunas funciones de distribuci´ on continuas Nombre Par´ ametro fX (x) Rango E (X ) Var (X ) Uniforme a < b, a, b ∈ R 1 b−a x ∈ (a, b) b+a 2 (b−a)2 12 Exponencial λ ∈ R+ λe −λx x ∈ (0, ∞) 1 λ 1 λ2 α, β ∈ R+ β α α−1 −βx x e Γ(α) x ∈ (0, ∞) α β α β2 x ∈ (0, 1) α α+β αβ (α+β+1)(α+β)2 x ∈R µ σ2 Gamma Beta Normal Γ(α+β) α−1 x Γ(α)Γ(β) + α, β ∈ R 2 + µ ∈ R,σ ∈ R √ 1 2πσ 2 exp (1 − x) β−1 (x−µ)2 − 2σ 2 Estad´ısticaAntonio Soriano Flores [email protected] Inferencia Variables aleatorias bidimensionales Si el resultado del experimento aleatorio que hacemos da como resultado dos observaciones conjuntas entonces tenemos una variable aleatoria bidimensional (X , Y ). Este vector puede ser cualquier punto del plano R × R. Cada entrada del vector es una variable aleatoria unidimensional con su respectivo campo de variaci´on o rango que nos determinan el rango del vector conjunto. El vector aleatorio (X , Y ) tendr´a un campo de variaci´on y una funci´on distribuci´on de probabilidad, que denotaremos FX Y (·, ·) o distribuci´on conjunta, donde FX Y (x, y ) = P ({X ≤ x} ∩ {Y ≤ y }) = P (X ≤ x, Y ≤ y ) . Estad´ısticaAntonio Soriano Flores [email protected] Inferencia A partir de la FX Y (x, y ) podemos obtener FX (x) y FY (y ) de la siguiente manera FX (x) = lim FX Y (x, y ) y →∞ y FY (y ) = lim FX Y (x, y ) , x→∞ a estas funciones las llamaremos las funciones de distribuci´on marginales. Estad´ısticaAntonio Soriano Flores [email protected] Inferencia La manera de definir FX Y (x, y ) nos permite calcular la probabilidad de un rect´angulo, en t´erminos de la funci´on de distribuci´on conjunta FX Y (·, ·). Supongamos que x1 < x2 y y1 < y2 , entonces la probabilidad del rect´angulo (x1 , x2 ] × (y1 , y2 ] est´a dada por: P (x1 < X ≤ x2 , y1 < Y ≤ y2 ) = P (X ≤ x2 , Y ≤ y2 ) − P (X ≤ x1 , Y ≤ y2 ) − P (X ≤ x2 , Y ≤ y1 ) + P (X ≤ x1 , Y ≤ y1 ) = FX Y (x2 , y2 ) − FX Y (x1 , y2 ) − FX Y (x2 , y1 ) + FX Y (x1 , y1 ) . Estad´ısticaAntonio Soriano Flores [email protected] Inferencia Propiedades de FX Y (·, ·) 1 Se verifica que para FX Y (·, ·) 1 2 2 Si y0 es un valor fijo y x es una variable entonces FX Y (x, y0 ) es continua por la derecha. Si x0 es un valor fijo y y es una variable entonces FX Y (x0 , y ) es continua por la derecha FX Y (·, ·) cumple lo siguiente 1 lim FX Y (x, y ) = 0 y →−∞ 2 lim FX Y (x, y ) = 0 y x→−∞ 3 lim x→∞y →∞ 3 FX Y (x, y ) = 1. Y si x1 < x2 y y1 < y2 , entonces FX Y (x2 , y2 ) − FX Y (x1 , y2 ) − FX Y (x2 , y1 ) + FX Y (x1 , y1 ) ≥ 0. Estad´ısticaAntonio Soriano Flores [email protected] Inferencia Variables Aleatorias bidimensionales discretas Una variable aleatoria bidimensional es discreta cuando las dos variables que componen al vector tienen una distribuci´on discreta y por lo tanto (X , Y ) toma una cantidad finita o numerable de puntos con masa positiva. Supongamos que el rango del vector aleatorio (X , Y ) son los puntos {(x1 , y1 ) , (x2 , y2 ) , (x3 , y3 ) , . . .} donde P [X = xi , Y = yi ] > 0, entonces debe pasar que ∞ P [X = xi , Y = yi ] = 1. i=1 Estad´ısticaAntonio Soriano Flores [email protected] Inferencia Ejemplo Se lanzan dos tetraedros con caras del experimento es (1, 1) (2, 1) Ω= (3, 1) (4, 1) numeradas del 1 al 4. El espacio muestral (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) Sea X la variable aleatoria que indica el n´ umero obtenido en el primer tetraedro y Y indica el m´ aximo de las dos caras obtenidas. De acuerdo a las definiciones de las variables aleatorias, ambas toman los valores 1, 2, 3 y 4; adem´ as si X = j entonces Y ≥ j, as´ı que las parejas de valores que puede tomar el vector aleatorio (X , Y ) (con probabilidad positiva) s´ olo pueden ser parejas (x, y ) donde x ≤ y . Estad´ısticaAntonio Soriano Flores [email protected] Inferencia Continuaci´on de Ej. Como se trata de dos variables aleatorias que son discretas, podemos calcular las densidades conjuntas: (x, y ) resultados de Ω P [X = x, Y = y ] (x, y ) resultados de E P [X = x, Y = y ] (1, 1) (1, 1) (1, 2) (1, 2) (1, 3) (1, 3) (1, 4) (1, 4) (2, 2) (2, 1) , (2, 2) 1 16 1 16 1 16 1 16 2 16 (2, 3) (2, 3) (2, 4) (2, 4) (3, 3) (3, 1) , (3, 2) , (3, 3) (3, 4) (3, 4) (4, 4) (4, 1) . . . (4, 4) 1 16 1 16 3 16 1 16 4 16 de manera que, por ejemplo, fXY (3, 3) = Estad´ısticaAntonio Soriano Flores [email protected] 3 , 16 fXY (2, 3) = Inferencia 1 . 16 Continuaci´on de Ej. continuaci´ on de ejemplo Para calcular la distribuci´ on conjunta FXY (x, y ) llenemos la siguiente tabla: y <1 1≤y <2 2≤y <3 3≤y <4 4≤y x <1 0 0 0 0 0 1≤x <2 0 2≤x <3 0 3≤x <4 0 4≤x 0 1 16 2 16 3 16 4 16 1 16 4 16 6 16 8 16 1 16 4 16 9 16 12 16 1 16 4 16 9 16 16 16 3 . N´ otese que FXY es una funci´ on de R2 al As´ı por ejemplo, FXY (1.5, 3.2) = 16 [0, 1] que es no decreciente en cada una de las dos direcciones de su dominio. Estad´ısticaAntonio Soriano Flores [email protected] Inferencia Variables Aleatorias bidimensionales continuas Una variable aleatoria bidimensional es continua cuando la funci´on de distribuci´on FX Y : R × R → R es continua y existe una funci´on fX Y : R2 → R que llamaremos funci´ on de densidad conjunta, que cumple con x y −∞ −∞ FXY (x, y ) = fXY (u, v ) dvdu, adem´as de que fXY (x, y ) ≥ 0 para todo (x, y ) ∈ R2 y por u ´ltimo ∞ ∞ −∞ −∞ fXY (x, y ) dydx = 1. Estad´ısticaAntonio Soriano Flores [email protected] Inferencia Independencia entre variables aleatorias Diremos que las variables aleatorias X y Y son independientes, si y s´olo si FX Y (x, y ) = FX (x) FY (y ) para todo (x, y ) ∈ R × R ´o tambi´en si fX Y (x, y ) = fX (x) fY (y ) para todo (x, y ) ∈ R2 . Estad´ısticaAntonio Soriano Flores [email protected] Inferencia Podemos hablar de vectores aleatorios de dimensi´ on mayor a tres. Supongamos que tenemos n variables aleatorias unidimensionales X1 , X2 , . . . , Xn . Entonces podemos definir la La funci´ on de distribuci´ on conjunta de X1 , X2 , . . . , Xn como FX1 X2 ···Xn : Rn → [0, 1] dada por FX1 X2 ···Xn (x1 , x2 , . . . , xn ) = P (X1 ≤ x1 , X2 ≤ x2 , . . . , Xn ≤ xn ) . Si suponemos independencias entre las variables aleatorias X1 , X2 , . . . , Xn entonces tenemos que FX1 X2 ···Xn (x1 , x2 , . . . , xn ) = P (X1 ≤ x1 ) P (X2 ≤ x2 ) × . . . × P (Xn ≤ xn ) n P (Xi ≤ xi ) = i=1 n = F (xi ) . i=1 o equivalentemente n fX1 X2 ···Xn (x1 , x2 , . . . , xn ) = f (xi ) . i=1 Estad´ısticaAntonio Soriano Flores [email protected] Inferencia
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