1. No category

Temas Selectos de Matemáticas
Diverti-Guía Anual
Prof. Leonel Magaña Mejía
La Guía Anual de Temas Selectos de Matemáticas es la suma de
exámenes de periodo, exámenes parciales con su respectiva
resolución, tareas ejercicios del libro de consulta y trabajos que
fueron solicitados para su compilación en la Carpeta de Evidencias
por parte del Docente desde principio del ciclo escolar 2014 - 2015.
Los ejercicios siguientes son un extracto de los conocimientos
adquiridos durante el ciclo y aunados a la Carpeta de Evidencias,
proporcionarán lo necesario para el estudio y acreditación de la
materia.
Academia de Matemáticas, Física e Informática Ciclo 2014 – 2015 Unidad 1. Conjuntos, Lógica e Inducción Matemática
Ø Conjuntos
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
o Definición
o Extensión
o Comprensión
Conjuntos Particulares
o Universal
o Vacío
o Iguales
o Disjunto
o Equivalente
§ Correspondencia Biunívoca
o Idéntico
o Complementario
o Finito
o Infinito
Subconjunto
Subconjunto Propio
Operaciones con Conjuntos (Demostraciones)
o Unión
o Intersección
o Diferencia
o Complemento
o Producto Cartesiano
Leyes de Morgan (Demostraciones)
Diagramas de Venn-Euler
Ø Lógica
Ø Proposiciones Simple
o Abierta
o Cerrada
Ø Proposiciones Compuestas
o Conjunción
o Disyunción
o Implicación
o Conversa
o Doble Implicación
Ø Negación de Proposiciones Compuestas
o Conjunción
o Disyunción
Ø Leyes de Morgan
Ø Tablas de Verdad
Academia de Matemáticas, Física e Informática Ciclo 2014 – 2015 Ø Métodos de Demostración
o
o
o
o
o
o
Razonamiento Inductivo
Razonamiento Deductivo
Contrapuesta
Reducción al Absurdo
Demostración formal
Inducción Matemática
1. Demostrar que la diferencia entre los cuadrados de dos números enteros
consecutivos es un número entero impar.
2. Demostrar que restando 1 al cuadrado de un número entero impar, se obtiene
un múltiplo de 4.
3. Suma tres números consecutivos. El resultado es siempre múltiplo de un
número. ¿De qué número? Demuéstralo.
4. Tomamos tres números consecutivos. Multiplicamos el menor por el mayor.
Calculamos el cuadrado del nº intermedio. ¿Qué relación hay entre los dos
resultados obtenidos? Demuéstralo.
5. Dado un rectángulo ABCD y un punto P en su interior. Demostrar la siguiente
igualdad: PA2+PC2=PB2+PD2
6. Demostrar que en un triángulo rectángulo se cumple que la suma de los dos
ángulos agudos es igual a 90º.
7. Demostrar que las soluciones a la ecuación polinomial ax 2 + bx + c = 0 está dada
− b ± b 2 − 4ac
por x =
2a
8. Sean P y Q dos puntos distintos en el plano. Si se coloca un punto R distinto a
ellos, que condición o condiciones habría que probar para garantizar que son
colineales. (Tip: pendientes y distancias)
9. El triángulo ABC de la figura es isósceles (en el dibujo no se ha puesto el
vértice A). Trazamos la altura desde el vértice A y la prolongación del lado AC,
de manera que AD = AC. Sitúa el vértice A en la figura y demuestra que el
triángulo BCD es rectángulo en B.
Academia de Matemáticas, Física e Informática Ciclo 2014 – 2015 10.Probar que la suma de los ángulos internos (S) de una figura regular, esta
dada por. S = 180n – 360
11. Probar la Ley de Senos: Para un triángulo cualquiera,
a
b
=
senA senB
12.Probar a Ley de Cosenos: Para un triángulo cualquiera,
a 2 = b2 + c 2 − 2bc ⋅ cos A
13. Probar que el área sombreada de la figura siguiente es igual a
que el radio de las circunferencias menores es igual a r.
Academia de Matemáticas, Física e Informática πr 2 , dado
Ciclo 2014 – 2015 14. Determinar el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia
de radio r.
15. Dado un triángulo equilátero de lado k, hallar el área de uno de los sectores
determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los
vértices.
16. Obtener el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud P.
17. En una circunferencia de radio igual a s se inscribe un cuadrado y sobre los
lados de este y hacia el exterior se construyen triángulos equiláteros. Hallar el
área de la estrella así formada.
18. Probar que el área sombreada de la figura siguiente es igual a
que el radio de las circunferencias menores es r.
4πr 2 , dado
19. Dadas dos circunferencias concéntricas de radio r1 y r2, se trazan los radios
OA y OB, que forman un ángulo de 60°. Calcular el área del trapecio circular
formado.
20. Calcula el área de la parte sombreada, siendo AB = t, ABCD un cuadrado y
APC Y AQC arcos de circunferencia de centros B y D.
Academia de Matemáticas, Física e Informática Ciclo 2014 – 2015 Inducción. Probar que…
𝑛 6𝑛! + 15𝑛! + 10𝑛! − 1
30
21.
1! + 2! + 3! + ⋯ + 𝑛! =
22.
2! + 2! + 2! + ⋯ + 2! = 2!!! − 2
23.
3! + 3! + 3! + ⋯ + 3! =
24.
Encontrar la suma de:
a) 4! + 4! + 4! + ⋯ + 4!
b) 5! + 5! + 5! + ⋯ + 5!
25.
Probar por inducción los incisos del problema 4.
26.
1 ∙ 2 + 3 ∙ 4 + 4 ∙ 5 + ⋯ + 2𝑛 − 1 2𝑛 =
27.
1 ∙ 2 ∙ 3 + 2 ∙ 3 ∙ 4 + 3 ∙ 4 ∙ 5 + ⋯+ 𝑛 𝑛 + 1 𝑛 + 2 =
28.
1
2
𝑛
𝑛(𝑛 + 1)
+
+ ⋯+
=
2∙3∙4 3∙4∙5
𝑛 + 1 𝑛 + 2 (𝑛 + 3) 4 𝑛 + 2 (𝑛 + 3)
3!!! − 3
2
𝑛 𝑛 + 1 4𝑛 − 1
3
Academia de Matemáticas, Física e Informática 𝑛 𝑛+1 𝑛+2 𝑛+3
4
Ciclo 2014 – 2015 Unidad 2. Progresiones y Series
Ø
Ø
Ø
Ø
Progresión Aritmética
Serie aritmética
Progresión Geométrica
Serie Geométrica
I. A continuación se muestran algunos datos de una Progresión Aritmética, obtener el valor
del dato solicitado en cada uno de ellos. Algunos problemas pueden tener dos respuestas,
será necesario plantear ambas para tener el valor total acreditado del ejercicio.
a) a8 = 11, d = -2, a1 = ¿?
b) a1 = -5, a11 = -45, d = ¿?
c) an = -3/5, d = -1/5, Sn = 0, ¿a1 y n?
d) an = -5, d = -3, Sn = 28, ¿a1 y n?
e) an = 13, d = 2, Sn = 49, ¿a1 y n?
f) an = 4, d = 2/3, Sn = 14, ¿a1 y n?
g) a1 = 2, a5 = 15, ¿a3 y S7?
h) (1/4) + (3/8) +…+ (11/8); ¿n y Sn?
II. Resolver los siguientes problemas, planteando claramente los procesos y fórmulas
empleadas.
a) Una progresión aritmética de 50 términos empieza por 9 y termina por 200.
a. Calcular su diferencia y la suma de sus términos.
b) En una progresión aritmética, la suma de los 100 primeros términos es 100 y la suma
de los 100 siguientes, desde a101 hasta a200 es 200. ¿Cuál es la diferencia común de la
progresión?
c) La suma de 18 enteros positivos consecutivos es un cuadrado perfecto. ¿Cuál es el
menor valor posible de la suma de ellos?
Academia de Matemáticas, Física e Informática Ciclo 2014 – 2015 d) Los 4 primeros términos de una PA son a, x, b, 2x. Calcula el valor de a/b
e) Crea una PA, donde el primer término sea 26 y el noveno 58. ¿Cuánto suman los 30
primeros términos?
f) Se llenan los cuadrados vacíos de la tabla de la figura de manera que los números de
cada fila, de cada columna y de las dos diagonales forman progresiones aritméticas.
¿Cuál debe ser el número x?
a.
g) Calcula el término general de una PA sabiendo que a7=6 y a15= 10, obtener el término
que ocupa el lugar 51º y la suma de los 51 primeros términos.
h) En una PA, cuyo primer término es 67 y la diferencia común es -6, la suma de los
primeros n términos es 408. ¿Cuántos términos forman la progresión y cuál es el
último de ellos?
i) Las edades de cuatro hermanas forman una PA y su suma es 32. La menor tiene 6
años menos que la mayor. ¿Cuáles son las edades de las cuatro hermanas?
j) En una sala de cine, la primera fila de butacas dista de la pantalla 8.60 m y la sexta
13.4 m. ¿En qué fila estará alguien si su distancia a la pantalla es de 23 metros?
k) En una plantación hay 51 filas de árboles. Cada fila tiene dos árboles más que la
anterior. La fila 26 tiene 57 árboles, calcular cuántos árboles hay en la primera fila,
en la última y el número total de árboles.
III. Determina el término generador de cada una de las siguientes PG.
Academia de Matemáticas, Física e Informática Ciclo 2014 – 2015 a) -1, ½, -¼, 1/8,....
b)
√2, √3, 3√2, ...
c) -32, 16, -8, 4, ...
IV. Determina los términos b1, b4, b8 y b15 de cada una de las siguientes PG.
a) b1, -8, 16, b4, ...
b) b1, 12, 6, b4, ...
c) b1, 1, 1/3, b4, ...
V. Determina los dos primeros términos de una PG que cumple con los siguientes datos.
a) b8 = 27b2 y
b1+b2+b3 = 4+√3
b) b6=4/9 y b7 = -4/27
c) b11=6144 y b15 = 32b10
VI. Resolver los siguientes problemas, planteando claramente los procesos y fórmulas
empleadas.
1. Si a, b, c, d son números reales positivos tales que a, b, c, d forman una PA creciente
y a, b, d una PG, calcular el valor de a/d.
2. En una PG la suma de los primeros dos términos es 7 y la suma de los primeros 6
términos es 91. ¿Cuánto vale la suma de los 4 primeros términos?
3. En una liga de basketball juegan 16 equipos. Cada equipo juega una vez contra todos los
demás. En cada partido, el ganador consigue un punto y el perdedor 0 puntos; no hay
empates. Una vez jugados todos los partidos, los puntos obtenidos por los equipos
forman una progresión aritmética. ¿Cuántos puntos tiene el último clasificado?
Academia de Matemáticas, Física e Informática Ciclo 2014 – 2015 4. ¿Qué grosor adquirirá una hoja de papel de 0.13 mm de espesor si se plegara 50 veces?
5. El pago de un coche de segunda mano se decide hacer de la siguiente manera: el primer
mes $40,000, el segundo $30,000, y cada mes 3/4 partes de lo que se ha pagado el mes
anterior. ¿Qué cantidad total se habrá pagado durante el primer año?
6. Un coronel manda 5050 soldados y quiere formar con ellos un triángulo para una
exhibición, de forma que la primera fila tenga un soldado, la segunda dos, la tercera tres,
etc. ¿Cuántas filas completas logrará hacer y cuántos soldados tendría que aumentar
para completarla?
7. A las 8 de la mañana llegó a una ciudad de 100.000 habitantes un vecino de la capital
llevando una noticia. En la estación, el viajero comunicó la noticia a 3 persones que no la
conocían, eso sucedió en 20 minutos. Conocida la noticia, cada uno de estos tres vecinos
la comunicó a otros tres, también en 20 minutos. Si se continúa este proceso, ¿cuánto
tiempo tardarían en enterarse todos los vecinos de la ciudad?
8. Observa cómo se construye esta estructura y cuenta cuántos palos y cuántas bolas tiene:
· ¿Cuántos palos y cuántas bolas hacen falta para hacer una fila de 10 cuadrados?
· ¿Y para hacer una fila de n cuadrados?
Academia de Matemáticas, Física e Informática Ciclo 2014 – 2015 Unidad 3. Análisis Combinatorio y Teorema del Binomio
Ø Análisis Combinatorio
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
Principio Fundamental de Conteo
Notación Factorial
Permutaciones
Permutaciones con repetición
Combinaciones
Relaciones de Permutaciones
Relaciones de Combinaciones
1. Resolver los siguientes problemas. Plantear desarrollos aritméticos.
a)
8P4=
b)
6P3=
c)
10P6=
d)
7P0=
e)
5P6=
f)
8P1=
g)
9P9=
h)
15P14=
Academia de Matemáticas, Física e Informática Ciclo 2014 – 2015 i)
nP3=60 n=¿?
j)
6Pr=360 r = ¿?
k)
7Pr=2520 r = ¿?
l)
nPr= 120 y n=r, n = ¿?
2. Resolver los siguientes incisos.
a) En una empresa 5 ejecutivos asisten a una junta dónde hay 7 lugares, ¿de cuántas
formas las pueden ocupar?
b) ¿Cuántos números pueden formarse con los dígitos pares sin repetir y tomando 3, 4 y 5
a la vez?
c) De cuántas formas pueden ordenarse 27 autos en 1, 2, 10 y 27 lugares de
estacionamiento.
Academia de Matemáticas, Física e Informática Ciclo 2014 – 2015 d) Un grupo de 28 alumnos forman una mesa directiva de Presidente, Vicepresidente,
Secretario y Tesorero. ¿De cuántas formas lo pueden realizar?
e) Un señor tiene 5 camisas y 23 corbatas. De cuántas formas las puede usar.
Resolver los siguientes problemas. Plantear desarrollos aritméticos.
m)
8C4=
n)
6C3=
o)
10C6=
p)
7C0=
q)
5C6=
r)
8C1=
Academia de Matemáticas, Física e Informática Ciclo 2014 – 2015 s)
9C9=
t)
15C14=
u)
nC3=165 n=¿?
v)
16Cr= 1820 r = ¿?
w)
17Cr=6188 r = ¿?
x)
nCr= 1 y n=r, n = ¿?
2. Resolver los siguientes planteamientos.
Suponiendo que se toman las fichas del juego por turnos...
a) ¿De cuantas formas se pueden tomar las 7 fichas de una partida de dominó. para el
primer jugador?
b) ¿De cuantas formas se pueden tomar las 7 fichas de una partida de dominó para el
segundo jugador?
c) ¿De cuantas formas se pueden tomar las 7 fichas de una partida de dominó para el
tercer jugador?
d) ¿De cuantas formas se pueden tomar las 7 fichas de una partida de dominó para el
cuarto jugador?
Academia de Matemáticas, Física e Informática Ciclo 2014 – 2015 Suponiendo que se reparten las cartas a 5 jugadores de forma individual
e) ¿De cuántas formas se puede repartir una mano de póker para el primer jugador?
f) ¿De cuántas formas se puede repartir una mano de póker para el segundo jugador?
Ø Teorema del Binomio
o
o
o
o
Triángulo de Tartaglia
Triángulo de Pascal
Obtención del n término de un desarrollo binomial
Generalización de coeficientes binomiales
Ø Teorema del Binomio de Newton
Ø Generalización del Teorema del Binomio
o Aplicaciones: aproximación de valores irracionales
Ø Interés simple
Ø Interés Compuesto
Ø Interés Continuo
I. Resolver los siguientes problemas:
1. Decides invertir $80,000 pesos al 20% de interés compuesto efectivo anual pagadero
mensualmente durante 4 años, ¿cuánto tendrás al final del periodo de inversión?
2. Con base en el problema anterior, un banco extranjero te ofrece una tasa de interés menor
pero más segura del 17.5%, ¿Cuánto tiempo deberá ser tu periodo de inversión para obtener
el mismo monto que con el primer banco?
3. Deseas comprar un automóvil con valor de $250,000 pesos en 3.5 años, sabemos que las
tasas de interés bancarias para los ahorradores (interés simple) es del 7.5% anual pagadera
semestralmente. ¿cuánto debe de ser tu capital para poder comprarte tu auto?
4. Un buen amigo decide prestarte $15,000 pesos para tu viaje de graduación, los cuales
deberás pagarle dentro de exactamente un año con su respectiva “comisión” de $5,000
pesos. ¿cuál es el interés que te quiere cobrar tu buen amigo?
5. Ahorraste durante la preparatoria $11,500 pesos y quieres tener $30,000 pesos dentro de
cierto tiempo para irte de viaje a Europa. Dado que no quieres trabajar, decides meter tu
dinero en un banco que te ofrece una tasa del 6.5% efectiva anual simple, ¿cuánto tiempo
Academia de Matemáticas, Física e Informática Ciclo 2014 – 2015 deberás esperar para poder hacer tu viaje?
6. La tasa de crecimiento del DF según datos del INEGI, es del 5.9% continuo anual. Si
actualmente hay 20 millones de habitantes registrados, ¿cuál será la población de tu ciudad
dentro de 10 años?
7. Cierta población registró durante un censo una población de 780,010 habitantes. Tres años
después se realizó un conteo donde indicó que la población era de 853,022 habitantes. ¿Cuál
es la tasa de crecimiento continuo de dicha población?
II. Por medio del uso del Teorema del binomio y el triángulo de 16Tartaglia,
desarrollar los siguientes binomios.
Nota: ∇ = La 1ª letra de tu apellido paterno y ℘ = La 2ª letra de tu apellido paterno
1. (∇ + 3℘) 4
2. (3℘− ∇)6
⎛ 4
⎞
3. ⎜ ℘2 + ∇ ⎟
⎝ 3
⎠
4.
5
( 2∇ + 3)
3
4
III. Encontrar el término indicado.
Nota: ∇ = La 1ª letra de tu apellido materno y ℘ = La 2ª letra de tu apellido materno
1. El tercer y quinto término del desarrollo: (2∇ − 3)6
2. El segundo y último término del desarrollo: ( 2℘ −
∇ 6
)
2
3. El cuarto y sexto término del desarrollo: (2∇ +℘)9
Academia de Matemáticas, Física e Informática Ciclo 2014 – 2015 IV. Encontrar una expresión que proporcione cualquier término de un desarrollo
binomial.
V. Obtener una aproximación a 5 términos del desarrollo binomial de los siguientes
números irracionales. Nota: Θ = Número de Lista.
1.
5
2.
3
3.
3
4.
5.
4
37
61
5+Θ
32 − Θ
3⋅ Θ
Academia de Matemáticas, Física e Informática Ciclo 2014 – 2015 Unidad 4. Ecuaciones e Inecuaciones
Ø Ecuaciones
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
Ecuación como proposición abierta
Número de raíces de un polinomio
Ecuación lineal
Aplicaciones a la Economía.
Relación de ecuación y función lineal
Sistema de ecuaciones lineales
Ecuación Cuadrática (2º grado)
Operaciones con números imaginarios
Valor Absoluto
Análisis de Raíces
Gráfica de ecuación cuadrática (álgebra, geometría analítica, cálculo diferencial)
Gráficas en R2 y R3
Ø Inecuaciones
o
o
o
o
o
Resolución de inecuaciones en ℜ y ℜ 2
Resolución de sistemas de inecuaciones (método gráfico)
Inecuaciones lineales y cuadráticas
Valor absoluto
Gráficas en R2 y R3
1. Proporciona la ecuación de las gráficas siguientes:
Academia de Matemáticas, Física e Informática Ciclo 2014 – 2015 Academia de Matemáticas, Física e Informática Ciclo 2014 – 2015 2.
Encontrar el sistema de inecuaciones que generan la siguiente área sombreada.
Academia de Matemáticas, Física e Informática Ciclo 2014 – 2015 3. Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones.
y ≥ |x+1| - 5
y < −(x+1)2 + 2
Academia de Matemáticas, Física e Informática x≤0
Ciclo 2014 – 2015 Aplicaciones:
1. Depreciación lineal.
Un fabricante compra maquinaria por un valor de 20,000 dólares que se deprecia linealmente
hasta que su valor es de 1000 dólares después de 10 años.
a) Expresar el valor de la maquinaria a través del tiempo.
b) Calcular el valor de la maquinaria después de 4 años.
2. Decisiones sobre producción.
Una compañía fabrica dos tipos de cierto producto. Cada unidad del primer producto requiere 2
horas maquina y cada unidad del segundo requiere 5 horas-maquina. Si hay 280 horas-maquina
disponibles cada semana.
a) Si se fabrican x unidades del primer tipo y y unidades del segundo tipo cada semana, encontrar la
relación entre x y y si se emplean todas las horas-maquina disponibles.
b) ¿Cual es la pendiente de la ecuación obtenida en el inciso anterior? ¿Que representa?
c) ¿Cuántas unidades del primer tipo pueden fabricarse por semana si se producen 30 unidades del
segundo tipo a la semana?
3. Demanda.
Para predecir la demanda de cierto artículo se sabe que si el precio es de 2500 por unidad se venderán
50 unidades, y que si el precio es de 3000 entonces solo se venderán 30 unidades.
a) Encontrar una relación lineal que describa la demanda.
b) Estimar la demanda si el precio es de 1000 por unidad.
4. Modelo de costo lineal.
a) El hotel A renta un cuarto a una persona por 170 pesos por cada noche.
¿Cuánto deberá pagar esta persona si se hospeda x noches?
Expresar y graficar el total como función del número de noches x.
b) El hotel B renta un cuarto a una persona a 200 pesos la primera noche y a 150 pesos por cada
una de las noches siguientes. ¿Cuánto deberá pagar si se hospeda x noches en el hotel?
Expresar y graficar el total en función del número de noches x.
Academia de Matemáticas, Física e Informática Ciclo 2014 – 2015 c) Utilizando las graficas que representan el costo de hospedaje en los hoteles A y B,
(considerando que ambos ofrecen un servicio equivalente) sin efectuar ningún cálculo,
indicar cual hotel es más conveniente.
5. Presupuestos
El gobierno de una ciudad tiene un presupuesto de 200 millones para gastos en transporte e
intenta utilizarlos para construir otras líneas de tren subterráneo y supercarreteras. Si cuesta 2.5
millones construir 1km de carretera y 4 millones 1km de tren subterráneo. ¿Qué puede
construirse usando la totalidad del presupuesto?
6. Ingresos, Costos y Utilidades
Una empresa fabrica un producto que tiene costos variables de 6 por unidad y costos fijos de
80,000. Cada unidad tiene un precio de venta de 10. Determinar el número de unidades que
deben venderse para que la compañía obtenga utilidades de 60,000.
7. Reducción de inventarios.
Una tienda tiene 650 unidades del articulo x en la bodega y su promedio de ventas por día de
ese artículo es de 2.5 unidades.
a) Si Y representa el inventario (de artículos x en la bodega) al tiempo t (medido en días), determine
la relación entre Y y t (Use t=1 para representar el término del primer día).
b) ¿Cuánto tiempo llevara vaciar la bodega?
c) ¿En cuántos días de ventas deberán hacer un nuevo pedido si han decidido hacerlo cuando el
nivel de la bodega sea de 125 unidades?
8. Modelo de costos.
Un fabricante puede vender su producto en 110 dólares cada uno. El costo total está formado
por los costos generales de 7500 dólares más los costos de producción de 60 dólares cada unidad.
a) ¿Cuántas unidades se deben vender para no tener perdidas?
b) ¿Cuál es la utilidad de 100 unidades?
c) ¿Cuantas unidades se deben vender para tener una utilidad de 1250 dólares?
9. Toma de decisiones.
a) Una compañía organiza desayunos a grupos de 10 o más personas, a un costo de 25 por
persona. Expresar y graficar el costo, y que cobrara la compañía por x personas.
b) Otra compañía ofrece desayunos para cualquier número de personas, a un costo de 20 por
persona, más un cargo adicional de 100. Encontrar y graficar el costo, y como función del
número de personas x.
Academia de Matemáticas, Física e Informática Ciclo 2014 – 2015 c) Si se quieren organizar 2 desayunos, uno para 15 personas y otro para 50 personas, ¿Cuál
compañía conviene contratar en cada caso? Trate de resolver el problema gráficamente.
10. Maximizar tiempo de producción.
Una empresa produce 2 productos A y B que se procesan en dos máquinas.
Para producir una unidad del producto A se requieren 3 hrs de la máquina I y 1 hr de la II.
El producto B requiere 1 y 2 hrs. de las máquinas I y II respectivamente. Si se dispone de la máquina I
por 45 hrs y de la II por 20 hrs.
¿Cuántas unidades de cada producto deben producirse con el objeto de emplear todo el tiempo
disponible de las máquinas?
11. Distribución de maquinaria.
Una empresa fabrica dos productos, A y B. Cada producto tiene que ser procesado por dos
máquinas, I y II. Cada unidad del tipo A requiere una hora de procesamiento de la máquina I y 1.5
horas de la máquina II y cada unidad del tipo B requiere de 3 horas de la máquina I y 2 horas de
la máquina II.
Si la máquina I está disponible 300 horas al mes y la máquina II, 250 horas al mes.
¿Cuántas unidades de cada tipo podrán fabricarse al mes si se desea utilizar el tiempo total
disponible en las dos máquinas?
Academia de Matemáticas, Física e Informática Ciclo 2014 – 2015 Unidad 5. Matrices y Determinantes
Ø Matrices
Conceptos Básicos:
-
Definición de matriz
Tamaño de una matriz
Tipos de Matrices:
a) Cuadrada
b) Rectangular
c) Cero
d) Unitaria
e) Diagonal
f) Triangular superior e inferior
g) Transpuesta
h) Simétrica
i) Idempotente
j) Nilpotente
Operaciones Básicas:
-
Suma
Resta
Producto Escalar
Producto Matricial
Intercambio de renglones
Multiplicar un renglón por escalar
Suma o resta entre renglones
Academia de Matemáticas, Física e Informática Ciclo 2014 – 2015 Rotación de figuras geométricas por medio de matrices.
Con base en el libro de texto que fue solicitado como consulta de la materia:
Temas Selectos de Matemáticas
Autor: Elena de Oteyza de Oteyza
1. Revisar y estudiar las páginas [21 – 26]
2. Resolver los ejercicios propuestos que inician en la página 26, del 1 al 15.
Procesos:
-Obtención de la matriz inversa.
-Método Gauss-Jordan
-Resolución de Sistemas de Ecuaciones de 2x2 y 3x3 y 4x4
Ø Determinantes
Conceptos básicos:
-Definición
-Método Cramer
-Resolución de ecuaciones de 2x2 y 3x3 y 4x4
Ejercicios.
Ø Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de determinantes
y Gauss Jordan colocando los valores de X y Y en los cuadros correspondientes.
Academia de Matemáticas, Física e Informática Ciclo 2014 – 2015 1.
3.
5.
x+ y=5
2x − y = 1
3x − y = 1
2 x + 5 y = 41
x+ y=7
3x + 3 y = 21
2.
x + y = −1
3x − y = 3
x + ay = b
2 x − by = a
a, b ∈ ℜ
4.
6.
x − 2y = 4
2x + y = 2
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de determinantesCramer y Gauss Jordan colocando los valores de X , Y y Z en los recuadros
correspondientes.
2x + 3y − 4z = 1
7. 3x − y − 2 z = 4
x+ y + z =3
8. 2 x + y − z = −6
4 x − 7 y − 6 z = −7
4 x + 4 y − 3z = 3
9. 2 x + 3 y + 2 z = −4
3x − y + z = 11
3x + y + 4 z = 6
10. 2 x − 3 y − 5 z = 2
3x − y + 4 z = 4
2 x − 3 y − 3z = 9
3x − 4 y + 3z = 8
6x + 2 y + 4z = 2
11. x + 3 y + 2 z = 3
12. 4 x − y + 2 z = −3
3x − 4 y − z = 4
7 x − 2 y − 3z = 5
Ø Resolver el siguiente problema por medio del método de incremento de renglones con
determinantes.
- Un equipo está formado por 60 jugadores de las facultades de Economía, Ingeniería y Actuaría. Hay 10 alumnos
menos de Actuaría que la suma de los de Economía e Ingeniería y el número de alumnos de Ingeniería y Actuaría
es el doble del número de alumnos de Economía. ¿Cuántos alumnos hay en cada facultad?
Ø Encontrar los siguientes valores empleando determinantes (Método Cramer), por el
método Gauss Jordan y Matriz inversa.
Academia de Matemáticas, Física e Informática Ciclo 2014 – 2015 1. Encontrar C, D y E tales que la elipse x2 +Cy2 + Dx + Ey + 204 = 0 pase por los
puntos: (-7,-3),(-2,-2) y (3,-3).
2. Encontrar D, E y F tales que la circunferencia 19x2+19y2+Dx+Ey+F = 0 pase por los
puntos: (-4,7),(-1,2) y (4,0).
3. Encontrar D, E y F tales que la parábola y2+Dx+Ey+F=0 pase por los puntos (3/4 ,
9), (-5/4 , 1 ) y (0,11).
4. Encontrar C, D, E y F tales que la hipérbola x2+Cy2+Dx+Ey+F=0 pase por los puntos
(3,1), (4,5/2), (-6,-1/2) y (4,-1/2)
Unidad 6. Probabilidad y Estadística
Ø Probabilidad
Conceptos Básicos:
-Probabilidad
-Espacio Muestral
-Punto Muestral
-Evento o Suceso
-Experimento Aleatorio
-Evento nulo
-Evento seguro
-Tipos de Sucesos
-Probabilidad Axiomática
-Unión de Eventos
-Intersección de Eventos
Academia de Matemáticas, Física e Informática Ciclo 2014 – 2015 Cálculo de Probabilidades:
Ejercicios Tipo:
1.- Se seleccionan al azar dos cartas entre 7 cartas numeradas de 1 a 10. Hallar la probabilidad
p de que la suma sea par si:
a) Las dos cartas se sacan juntas.
b) Se sacan una tras otra sin sustitución.
c) Las dos cartas se sacan una después de la otra con sustitución.
2.- Se escogen al azar 4 pilas de 25 de las cuales 5 son defectuosas. Hallar la probabilidad p de
que...
a) Ninguna sea defectuosa.
b) Una exactamente sea defectuosa.
c) 2 por lo menos sean defectuosas.
d) Todas sean defectuosas.
3.- Se selecciona una carta al azar entre 50 cartas numeradas de 1 a 50. Hallar la probabilidad
de que el número de la carta sea...
a) Divisible por 5
b) Primo
c) Racional
d) Par
4.- Una clase esta formada por 5 estudiantes de primero, 4 de segundo, 8 de penúltimo y 3 de
último año. Se escoge un estudiante al azar para representar la clase. Hallar la probabilidad de
que el estudiante sea...
a) Sea de segundo.
b) Sea de último año.
c) No sea de primer año.
d) No sea de primer, ni último año.
5.- Un experimento consiste en lanzar 3 dados. Hallar la probabilidad p de que...
a) La suma sea mayor a 4.
b) La suma sea menor a 12.
Academia de Matemáticas, Física e Informática Ciclo 2014 – 2015 6.- Se sacan 3 cartas al azar de una baraja. Hallar la probabilidad p de que...
a) Sean 2 reinas y 1 as.
b) Sean 2 espadas, 1 de corazones.
c) 1 as, 1 rey y cualquier otra carta.
d) 3 reinas.
7.- ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de 20 años de edad, llegue a fallecer antes de
los 30 años, si de acuerdo a una tabla de mortalidad de cada 63498 personas de 20 años de
edad, 61004 llegan a los 30 años?.
8.- Para un desfile se tienen 3 tanques iguales, 4 camiones iguales y 5 autos blindados iguales.
Si empiezan su recorrido ordenados en fila, hallar la probabilidad de que los tanques ocupen
los 6 primeros lugares.
Ø Estadística
Conceptos Básicos:
-Estadística
-Población (finita e infinita)
-Datos
-Variable
Cuantitativa (continuas y discretas)
-Categoría
-Muestra
-Investigación estadística
Academia de Matemáticas, Física e Informática Ciclo 2014 – 2015 Ø Medidas de Tendencia Central
Conceptos:
Media
-Definición
-Obtención para datos no agrupados
Moda
-Definición
-Obtención para datos no agrupados
Mediana
-Definición
-Obtención para datos no agrupados
Ø Medidas de Dispersión
Conceptos:
Desviación Media
-Definición
-Interpretación
-Obtención para datos no agrupados
Varianza
-Definición
-Interpretación
Academia de Matemáticas, Física e Informática Ciclo 2014 – 2015 -Obtención para datos no agrupados
Desviación Estándar
-Definición
-Interpretación
-Obtención para datos no agrupados
-Obtención para datos agrupados en una tabla simple
Ejercicio:
Se obtuvieron las calificaciones del examen de un grupo de 50 alumnos, se
muestran a continuación:
7.6 9.3 6.0 7.8 6.4 7.2 9.1 8.7 5.6 6.1
6.1 7.9 8.2 8.7 8.7 9.2 9.7 9.8 10 5.4
7.9 8.1 9.0 8.7 6.4 7.2 10 9.9 7.3 7.0
6.1 4.2 7.2 8.4 9.2 9.3 8.1 6.2 7.4 8.5
5.9 7.8 6.1 7.2 9.5 8.5 10 6.1 7.2 8.0
Obtener las medidas de tendencia central y de dispersión para el análisis de las calificaciones.
Enjoy!!!
Academia de Matemáticas, Física e Informática Ciclo 2014 – 2015