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Tecnicatura Superior en Informática c/o en Sistemas de Información a Distancia
ALGEBRA
Instituto Superior Jujuy
Carrera: Tecnicatura Superior
en Informática con
orientación en Sistemas de Información
Algebra
Primer Año
Profesor: Alancay, Bernardo Arturo
Prof. Alancay, Bernardo Arturo
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Tecnicatura Superior en Informática c/o en Sistemas de Información a Distancia
ALGEBRA
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ALGEBRA
UNIDAD Nº 1
NUMEROS REALES:
Presentación del tema de la unidad: Conjunto – Objetivo: Se pretende que los
alumnos puedan lograr tener los conocimientos mínimos para fortalecer el aprendizaje
del algebra en este presente curso.
Diagrama de contenidos
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ALGEBRA
Numeros
reales
Conjunto
Operaciones: ejercicios y
problemas
Unidad nº 1 : Conjunto
Introducción:
La matemática es una ciencia que ya ha cumplido 2000 años de edad, y aunque
actualmente está estructurada y organizada, esta operación llevó muchísimo tiempo.
La matemática es como un juego, y para entender un juego hay que conocer las reglas
del mismo. Como es muy antigua, por lo tanto, se ha tenido muchísimo tiempo para
armar "las instrucciones de cómo jugarla". Si existen reglas, es lógico pensar que
existen elementos, cosas, que obedecen esos mandatos. Dichos elementos se
conocen con el nombre de conceptos primitivos, conceptos que no podemos decir qué
son, sino qué se hace con ellos.
La matemática puede describirse como una construcción edilicia cuyos cimientos están
representados por axiomas, afirmaciones que aceptamos sin discusión. Por ejemplo, el
punto y la recta son conceptos primitivos, indicando que "por un punto pasan infinitas
rectas" estamos enunciando un axioma. En base a los axiomas se pueden "construir"
propiedades, a las que denominamos teoremas, afirmaciones cuya validez puede
probarse, deducirse lógicamente. De estas propiedades se deducen otras, y así
sucesivamente hasta quedar armada una intrincada red.
De la misma manera que no se puede entender una película a la que empezamos a ver
por la mitad, no podemos entender (apreciar ni disfrutar) del poder de las matemáticas.
Así que comencemos por lo básico.
Conjuntos
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Los conjuntos son conceptos primitivos, podemos imaginar lo que son; una totalidad,
una reunión de cosas. ¿Qué hacemos con ellos?
Comencemos por conocer la reglamentación básica: a todo conjunto se le da un
nombre que siempre es una letra mayúscula. Los elementos que lo forman se
representan mediante letras minúsculas. Podemos dibujarlo o escribirlo. Para dibujarlo
utilizamos una línea cerrada, que llamamos diagrama de Venn. Para escribirlo
empleamos un par de llaves "{" entre las cuales indicamos los elementos que
pertenecen al conjunto separándolos, uno de otro, con ";".
Hasta este momento sólo hemos nombrado los elementos que componen al conjunto,
lo hemos definido por extensión. Pero podemos indicar "la característica" de esos
elementos, buscar en dos o tres palabras, como máximo, lo que distingue a ese
conjunto de elementos, de esa manera estamos definiendo al conjunto por
comprensión.
Pongamos un ejemplo:
Si definimos por extensión escribimos: A = {a; e; i; o; u}
Por comprensión se escribe: A = {x/x es una letra vocal }
Este conjunto está compuesto por letras, cada una de éstas tienen una característica
en común, cada elemento es una vocal. Es importante distinguir que como nos
referimos a cada elemento que compone el conjunto, hablamos en singular. Conviene,
entonces, utilizar una letra a manera de "nombre" para no tener que estar indicando
(escribiendo a cada momento) "que el elemento del conjunto es..." Utilizamos una letra
para que represente a cualquier tipo de elemento, esa letra siempre es la "x". Al escribir
" x/x " (se lee x tal que x) indicamos lo que es x, lo que es "cada" elemento que
compone al conjunto.
Demos otros ejemplos:
B = {x/x es una nota musical }
B = {do; re; mi; fa; sol; la; si}
C = {x/x es un número de una sola cifra}
C = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
Tamaño o Cardinal de un Conjunto
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Intuitivamente podemos darnos cuenta que dos conjuntos no tienen la misma cantidad
de elementos. Por ejemplo, el conjunto A = {x/x es una vocal} está compuesto por cinco
elementos mientras que el conjunto B = {x/x es una nota musical} está compuesto por
siete.
Estamos listos para definir una nueva propiedad matemática para los conjuntos, el
cardinal. Así pues, el cardinal es el número que determina el tamaño del conjunto, la
cantidad de elementos que contiene.
Aclaremos que cuando se indica que cierta propiedad "determina", se está diciendo
que existe y es única.
Volviendo al cardinal, hay varias formas de representar esta propiedad. Algunos
autores suelen asignarle un símbolo (#), otros encierran al número entre barras. De
esta manera el conjunto D = {x/x es un mes del año} tiene por cardinal a 12 y se lo
puede designar: #12 ó |12|.
Conjunto vacío: Si el conjunto no tuviera elementos, se lo denomina vacío, y se lo
designa con el símbolo ó {}. En este caso su cardinal es cero .
Conjunto infinito: Cuando no podemos indicar la cantidad de elementos que compone
a un conjunto, por que son tantos que no existe un cardinal que pueda determinar su
tamaño, decimos que el conjunto es infinito.
Infinito, cuyo símbolo es , no es un número, indica que el conjunto crece o decrece
sin final. Por ejemplo, el conjunto de las estrellas que vemos en el cielo es infinito, así
mismo los siguientes conjuntos que trataremos, los conjuntos numéricos, también lo
son.
Volveremos al tema del "infinito" más adelante...
Conjunto Numérico
Cuando un niño descubre a los números se maravilla, se sorprende. Los números
parecieran ser elementos mágicos por que le permiten conocer cuantos caramelos
puede comer; comparar y decidir si tiene más o menos bolitas que su amiguito, etc.
Esa misma fascinación pudo haberla sentido el hombre primitivo al aprender a contar;
justamente, los primeros números que naturalmente aprendemos son los números
naturales como el 1, el 2, el 3, el 4, el 10, el 23, el 120, etc.
Los números naturales forman un conjunto, el conjunto de los números naturales que
se representa con la letra N.
Conjuntamente con el descubrimiento del número, incluso sin darnos cuenta,
empezamos a sumar. Hasta parece tonto aclarar que si se suman dos números
naturales obtenemos otro número natural "N + N = N" , pero en matemática lo obvio
hay que dejarlo bien claro.
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De la suma surge, por contraposición, la resta y a partir de ella nos encontramos con
un pequeño problema: al restar dos números naturales no siempre obtendremos otro
natural.
Pongamos un ejemplo: 2 – 5 = – 3 (el resultado no es natural)
Evidentemente se necesita un nuevo conjunto de números, los números negativos,
para poder solucionar este tipo de operaciones. Aquí nos encontramos con números
positivos y negativos, pero todos ellos enteros; nos hemos topado, por lo tanto, con un
nuevo conjunto, el conjunto de los números enteros y ellos se representan mediante la
letra "Z".
Aunque parezca redundante, el sumar o restar números enteros nos da como resultado
otro número entero.
Z+Z=Z
Z–Z=Z
Si sumamos "5 + 5 + 5 + 5" estamos sumando cuatro veces cinco, lo podemos indicar
como: 4.5 en ambos casos el resultado es el mismo, 20.
"La suma da origen a otra operación matemática, la multiplicación".
Vimos como de la suma surge, como contraposición, la resta y con ella los números
negativos. De esa misma manera de la multiplicación emerge la división, el resultado
de esta operación expresada como fracción se denomina razón, por lo tanto, todo
número obtenido de este modo lo llamaremos racional (Q) Y los números racionales
también forman un conjunto, el conjunto de los números racionales.
Todas las fracciones son divisiones de números enteros cuyos resultados son
decimales periódicos. Ojo está mal dicho números fraccionarios o quebrados, los
números se denominan racionales.
La fracción representa la división entre dos números
enteros a y b
Si el decimal no es periódico, entonces, no puede obtenerse mediante la división de
dos números enteros, por lo tanto, ese número se lo llamará número irracional. Todos
ellos forman el conjunto de los números irracionales.
El prestigioso
es un irracional muy conocido, pero también lo son
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etc.
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A todos estos números que hemos visto hasta ahora se los denomina números reales;
al conjunto de los números reales se lo representa con la letra "R".
Pertenencia e inclusión
Cuando hablamos de un elemento, decimos que este pertenece a un conjunto. Cuando
un conjunto tiene todos los elementos del otro y más, decimos que el primer conjunto
está incluido.
Cuando un conjunto está incluido en otro más grande se lo denomina subconjunto. Por
ejemplo N (naturales) es un subconjunto de Z (enteros).
Operaciones básicas entre conjuntos
Intuitivamente un álgebra es una estructura en donde ciertos objetos de un conjunto
base se combinan por medio de distintas operaciones para formar elementos del
mismo conjunto base. Tome, por ejemplo, la estructura de los números naturales. El
conjunto base es en este caso el conjunto de los números naturales, y hay varias
operaciones, como por ejemplo la suma.
En esta sección presentamos un álgebra para los conjuntos, esto es, describimos
ciertas operaciones entre conjuntos y estudiamos sus propiedades.
Definición (Unión) Si
y
conjunto
son conjuntos, definimos el
o
todo ,
Definición (Intersección) Si
conjunto
todo
y
.
son conjuntos, definimos el
y
,
. Es decir, para
.
Diremos que
si
. Es decir, para
y
son disyuntos si no comparten elementos (es decir,
).
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Ejemplo Sea
,
1.
2.
3.
y
. Tenemos:
,y
y
.
y
.
son conjuntos disyuntos.
Para antes de seguir leyendo:
1. Si
posee cuatro elementos y
posee cinco elementos, ¿cuántos elementos
como máximo posee
? ¿Y como mínimo?
posee
elementos y
posee
elementos, ¿cuántos elementos
2. Si
como máximo posee
? ¿Y como mínimo?
3. ¿Existe un conjunto disyunto de sí mismo?
4. Si
y
son disyuntos y
y
son disyuntos, ¿puede concluirse
que
y
son disyuntos?
Las siguientes propiedades básicas de la unión y la intersección son evidentes y
y de :
descansan en las propiedades lógicas de
Lema
Para cualquier par de conjuntos
1. Idempotencia:
2. Conmutatividad:
y
;
valen las siguientes propiedades:
.
;
3. Asociatividad:
.
;
4.
;
.
5.
;
.
6.
si y sólo si
;
si y sólo si
.
.
Demostración. [Prueba]
Mostremos, por ejemplo, la primera parte de la última propiedad (las otras pruebas son
semejantes y se dejan al lector).
``
'': Sea
inclusión: ``
. Hay que mostrar
'': Si
necesariamente
. Utilicemos el principio de la doble
, entonces como todo elemento de
es elemento de
.
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,
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``
'': Si
``
, entonces
por propiedad 5.
'': Supongamos
Entonces
terminamos.
. Debemos probar
. Sea
, pero por hipótesis este conjunto es
.
, luego
y
es una operación binaria. Por esto, una expresión de la forma
en
ó
. Pero en virtud
principio es ambigüa y debe traducirse a
del lema anterior ambas expresiones denotan el mismo conjunto, y por lo tanto
definimos
como
(o
observación anterior también vale si cambiamos
!). Por supuesto la
por
.
Si uno se encuentra con una expresión de la forma
en
o en
, puede transformarla
, según le convenga. A continuación un ejemplo:
Ejemplo Muestre que
Demostración. [Solución]
.
, la última igualdad
valiendo por asociatividad.
Ahora avanzamos un poco más, y comenzamos a relacionar la unión con la
intersección mediante las llamadas leyes de la distribución:
Lema (Distribución) Para
,
y
conjuntos:
1.
.
2.
.
Demostración. [Prueba] (1): Lo mostramos utilizando doble inclusión: ``
Sea
primero,
. Entonces
o
. Si
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y
, entonces
'':
. Por lo
. Si
,
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entonces
. Luego
o
decir,
``
, es
.
'': Sea
. Entonces
o
. En el primer
caso, como
, entonces
, luego
. En el segundo
caso, como
, entonces
, luego
. En cualquier
caso,
.
(2): La prueba es similar a (1) y se deja para el lector.
Figura: Unión e intersección
Así como podemos restar números, podemos restar conjuntos, de una manera natural:
Definición (diferencia) Para
conjunto
todo
y
conjuntos, definimos su diferencia como el
. Por lo tanto, para
,
.
se denomina ``
menos
''.
Algunos ejemplos:
1.
.
2. Si
3. Si
y
y
son disyuntos, entonces
4. Pregunta: ¿Es cierto que
conjuntos
y
)?
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, entonces
.
. (¿Por qué?).
(para cualquier par de
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Dado un conjunto
, el conjunto de todos sus elementos
es
mismo:
. Pero el conjunto de todos sus subconjuntos resulta ser
muy distinto, como se verá más adelante.
un conjunto, definimos el
Definición (Conjunto partes) Dado
conjunto
. Esto es, para
todo ,
.
suele llamarse tambien el conjunto potencias
de .
Ejemplo 16 (Algunos ejemplos del conjunto potencias)
1.
, para cualquier A.
: para ver esto, basta preguntarse qué conjunto
2.
ser subconjunto de
: Si
posee al menos un elemento
por ende
. Por otro lado,
particular de él mismo.
3. Sea
entos.
.
4. Sea
tiene
.
tiene
5. Sea
, entonces
,y
es subconjunto de cualquier conjunto, en
elemento.
tiene
es candidato a
.
tiene
elementos.
elem
.
elementos.
.
tiene
elementos.
.
tiene
mentos.
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ele
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Definición (complemento) Para un conjunto
complemento
. Note que
Algunos autores suelen notar
cualquier
,
.
por
,
o incluso
. Note que para
se puede escribir como la unión disyunta de
complemento, esto es, (1)
doble inclusión: Si
entonces
, definimos su
y (2)
, dado que tanto
. Ahora, sea
Si por el contrario
. Para mostrar (1) utilizamos
como
son subconjuntos de
. Hay dos casos: si
luego
. Mostremos ahora (2) por contradicción: si
existe
. Pero entonces
concluye
.
,
, entonces
, lo cual es una contradicción. Se
.
Algunas propiedades del complemento:
Lema
1.
2.
3.
Para
,
subconjuntos de
:
.
(doble complemento).
, si y sólo si
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,
, entonces
, entonces (por definición de complemento)
y
y su
.
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Demostración. [Prueba] (1): Para
si y sólo si
(2): Si
y
, entonces
y
)
, luego necesariamente
.
. Pero además
(de lo contrario se
), y entonces (por definición de complemento),
tendría
'' : Suponga que
Entonces
de lo contrario
``
si y sólo si (
.
, entonces
Ahora, si
(3): ``
arbitrario,
. Hay que mostrar que
.
. Sea
.
y
. Este último hecho más la hipótesis implican que
sería elemento de ).
'' : Suponga que
(o
. Por la implicación que acabamos de mostrar
(donde
juega el papel de
y
más (1) garantizan el resultado.
el de
) se tiene que
, y esto
Note que la prueba de (1) no fue descompuesta en dos inclusiones, como de
costumbre, sino que consistió en mostrar directamente que pertenecer al primer
conjunto equivalía a pertenecer al segundo (luego al ambos conjuntos tener los mismos
elementos, deben ser iguales). Quien no haya quedado convencido de esta prueba
puede hacer otra utilizando doble inclusión, y después volver a revisar la que hemos
presentado. Pese a la elegancia del método directo, el lector se dará cuenta con el
tiempo de que muchas pruebas de igualdad de conjuntos deben hacerse utilizando la
doble inclusión.
Teorema (Leyes de De Morgan) Para
1.
:
(el complemento de la unión es la intersección de los
complementos).
2.
(el complemento de la intersección es la unión de los
complementos).
Demostración. [Prueba] La prueba de (1) se deja al lector, y probamos (2):
Si
, entonces
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y
; pero esto último
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implica
ó
. Por ende, necesariamente
es,
ó
, ésto
.
Si
, entonces (i)
luego
, ó (ii)
. En el caso (ii),
tanto
y
. En el caso (i),
y
, e.d.,
, luego
,
. Por lo
.
Imagine ahora la siguiente situación: se le entregan dos conjuntos
decidir cómo se relacionan entre sí. Hay varias posibilidades:
1.
pero
, es decir,
(
2.
pero
(es decir,
).
3.
y
: en este caso,
y
: en este caso diremos que
4.
y
y
y usted debe
es subconjunto propio de
).
.
y
no son comparables (entre
sí).
Figura 2.3: Dados dos conjuntos
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y , ocurre una y sólo una de estas cuatro
posibilidades.
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UNIDAD Nº 2
Diagrama de contenidos
Decimal
CONCEPTO
Binario
BASE
Sistema de
Numeración
Quintal
Y
EJERCICIOS
Octal
NOTACIÓN
EXPANDIDA
PROBLEMA
Hexadecimal
Desarrollo temático
Sistemas de numeración
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Introducción
Mucho de los componentes electrónicos de un computador son de naturaleza biestable,
es decir pueden estar en dos estados. Estos estados comúnmente se denotan por 0 y
1, que son los símbolos de los dígitos binario.
Una unidad de información se representa en el computador por una secuencia de estos
dígitos binarios, llamados bits y muchos computadoras usan el sistema binario no solo
para representar cantidades, sino para efectuar cálculos usando la aritmética binaria.
El sistema numérico decimal y el binario es un sistema de numeración posicional.
Cualquier sistema solo requiere solo un numero finito de símbolos llamados dígitos.
Sistema Decimal
El sistema decimal tiene 10 (diez) dígitos denotados por los símbolos:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 así la base del sistema decimal es b=10.
Cualquier entero positivo, puede expresarse como una suma de potencias de 10, con
cada potencia ponderada por un dígito.
2534 = 4.100 + 3.101 + 5.102 + 2.103
Notación expandida
Ejemplo
Cualquier entero positivo, puede expresarse como un punto intercalado, puede
expresarse también en notación expandida usando potencias negativas de 10
Ejemplo
235.43 = 5.100 + 3.101 + 2.102 + 4.10-1 + 3.10-2
Sistema Binario
El sistema binario es el sistema de numeración posicional con base b=2, sus dos
dígitos denotados con 0 y 1. Cualquier numero binario es una sucesión de Bits,
posiblemente con un punto binario intercalado.
Los valores de posición en el sistema binario son las potencias de la base b = 2.
Específicamente, los valores de posición de la parte entera de un numero binario son
las potencias no negativas de dos: 20, 21, 22, 23..... y los valores de posición de la parte
fraccionaria de un numero binario son las potencias negativas de dos: 2-1, 2-2, 2-3...
Conversión binaria a decimal
Cualquier numero binario se puede escribir en notación expandida como la suma de
cada dígito él numero de veces el valor de tal dígito.
Ejemplo 1:
11011 = 1.20 + 1.21 + 1.22 + 1.23 + 1.24
Notación Expandida
11.01 = 1.20 + 1.21 + 0.2-1 + 1.2-2
Notación Expandida
Ejemplo 2:
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Como cada potencia de dos esta ponderada por 0 o por 1, él numero binario es
simplemente la suma de aquellos valores de posición en los cuales aparece el Bit, esta
suma nos da el equivalente decimal del Nº binario.
Conversión decimal a binario
Para convertir el decimal a su equivalente binario, dividimos al decimal y cada cociente
sucesivo por 2, tomando nota de los residuos como sigue el ejemplo. 72 = 1001000
72
12
0
2
36
16
0
2
18
0
2
9
1
2
4
0
2
2
2
0
1
1
Observe que los residuos solamente pueden ser 0 o 1 y a que las siguientes divisiones
son por 2. La sucesión de residuos de abajo hacia arriba, como indica la flecha, da el
equivalente binario requerido.
Para convertir la parte fraccionaria decimal a su equivalente binario multiplique cada
parte fraccionaria por 2, observando la parte entera del producto, la parte fraccional
cero indica el fin de los cálculos. Observe que la parte entera de cualquier producto
solamente puede ser 0 ó 1, y a que se están doblando números que son menores que
uno.
0.78125 = 0.11001
0.78125
x2
0.56250
x2
0.12500
x2
0.25000
x2
0.50000
x2
0.00000
1
1
0
0
1
Operaciones con binarios
La ejecución de cálculos numéricos es esencialmente igual en todos los sistemas de
numeración posicional.
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Suma de Binarios: Teniendo en cuenta que en el sistema binario los números de una
cifra son 0 y 1, la tabla de sumar correspondiente a ellos es:
+
0
1
0
0
1
1
1
0
Llevando 1 a la columna siguiente.
1 + 1 + 1 = 1 Llevando 1 a la columna siguiente
Donde el numero 102 (que es el Nº 2 en el sistema decimal) es la suma de 1 + 1 de los
números que encabezan la fila y la columna a los que aquel pertenece.
Procedimiento practico: Análogamente a como se procede en la suma de Nº en base
10, cuando se trata de sumar dos o más Nº binarios de varias cifras, es cómodo
disponerlo uno debajo del otro.
Cuando en una columna el resultado supera a 1, hay que llevar la cifra correspondiente
a la columna de la izquierda, como se hace, en la numeración decimal.
Ejemplo 1:
Numeración
Binaria
1012
112
10002
↔
↔
↔
Numeración
decimal
5
3
8
↔
↔
↔
Numeración
decimal
4
7
11
Ejemplo 2:
Numeración
Binaria
1002
1112
10112
Producto Binario
Recuerde que la multiplicación de Nº decimal se puede reducir a multiplicar Nº por
dígitos y luego, sumar.
El procedimiento practico para el producto decimal es también valido para el producto
binario.
La multiplicación Binaria es mas sencilla, ya que al multiplicar un Nº por el Bit 0 ó 1 da
respectivamente o el mismo numero.
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1101011
10110
11.01
101.1
11010110
1101011
1101011
100100110010
1101
1101
110110001.111
Observemos que es extremadamente importante alinear los Nº en las columnas
correctas
Sustracción Binaria
La sustracción binaria también usa el algoritmo que el numero decimal. Para efectuar
una sustracción binaria se necesita de la siguiente tabla.
0–0=0
1–0=1
1–1=0
0–1=1
Presentando un 1 de la columna siguiente.
Las primeras tres líneas son traducciones de lo hecho en la adición.
0+0=0
1+0=1
0+1=1
0=0–0
0=1–1
0=1–1
La ultima línea viene de que 1 + 1 = 102 -> 10 – 1 = 1 es decir la diferencia 0 – 1
requiere prestar obteniéndose 1.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
0
0 11
11101
1011
100102
11000
10011
001012
División binaria
Multiplicar el divisor por el único dígito no-cero, 1, no cambia él numero por lo tanto, el
algoritmo para la división se reduce a sustracciones repetidas del divisor.
Ejemplo 1:
1010001
-11
0 1
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11
11011
20
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100
-11
01
0100
11
011
11
00
La división de fracciones binarias se maneja de la misma manera que la división de
fracciones decimales, o sea, convierte el divisor en un entero moviendo el punto binario
tanto en el divisor como en el dividendo el mismo numero de veces.
Otros Sistemas
Cualquier numero positivo b > 1 puede ser escogido como base para un sistema
numérico posicional similar al sistema decimal o al sistema binario. Tal sistema usa b
símbolos enteros: 0, 1, 2, 3, ....b –1 estos símbolos se denominan dígitos.
Sistemas Quintal
Considere el sistema de numeración quintal de base b = 5 y sus dígitos 0, 1, 2, 3, 4
Conversión Quintal – Decimal
•
235 = 3.50 + 2.51
•
= 3 + 10
= 13
32..215= 2.50 + 3.51 + 2.5-1 + 1.5 -2
Notación Expandida
Sistema Octal
El sistema numérico Octal es el sistema que tiene como base b= 8. Los dígitos octales
son 0,1,2,3,4,5,6 y 7 . Como 8 = 23, cada dígito Octal tiene una única representación
binaria de 3 bits.
Conversión del sistema Octal al Decimal
La conversión entre los sistemas Octal y decimal se logra por medio de los dos
algoritmos que ya estudiamos, con base b = 8.
•
23 8 = 3.80 + 2.81
Notación Expandida
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= 3 + 16
= 19
Conversión Octal binario
Convertir un numero Octal a binario es reemplazar cada dígito Octal por su equivalente
binario. Recíprocamente, convierta un numero binario a su forma Octal particionando el
numero en bloques de a 3 Bits (comenzando desde el punto binario y agregando ceros
si es necesario) y reemplazando cada bloque por su dígito Octal equivalente.
•
243 8 = 10100011 2
2
010
•
•
4
3
10 0
011
101001001 2 = 511 8
5
1 0 10 0 10 0 1
1
1
3
0 1 1 0 1 1. 0 1 0
3
2
4
11011.0101 2 = 33..24 8
1 0 0
Sistema Hexadecimal
El sistema numérico con base b = 16 se llama sistema Hexadecimal (a veces
abreviado Hex)
El sistema requiere 16 dígitos, para los cuales los símbolos son los 10 dígitos junto con
las 6 primeras letras del alfabeto. Como 16 = 24. Cada dígito Hexadecimal tiene una
única representación de 4 Bits, los valores de posición en el sistema hexadecimal son
las potencias de 16.
Dígitos
Hexadecimales
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
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Valores
Decimales
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Equivalentes
Binarios
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
22
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D
13
1101
E
14
1110
F
15
1110
Conversión Hexadecimal – Decimal
La conversión entre los sistemas Hexadecimal y Decimal se logra mediante los
algoritmos ya estudiados. Hay una dificultad adicional, ya que tenemos que saber como
manejar los dígitos A, B, C, D, E y F.
Ejemplo
• 72 A 16 = 10.160 + 2.161 + 7.162
= 10 + 32 + 1792
= 1834
• 39.B8 16
= 9.16 0
+ 3.161 + 11.16-1 + 816-2
= 9 + 48 + 0.6875 + 0.03125
= 57.71875
Conversión Decimal – Hexadecimal
•
719 = 2 C F 16
719 16
079 44
16
=15= =12= 2
•
0.78125 = .C8 16
0.78125
x 16
12.50000
x 16
8.00000
12
8
Conversión Hexadecimal – Binaria
Esta se logra exactamente como en la ínter conversión Octal - Binario
•
9
3 D59 16
= 11110101011001 2
3
0 0 1 1
•
27.A3 16
2
7
A
3
->
->
->
->
D
5
1 1 0 1 0 1 0 1
= 100111.10100011
0010
0111
1010
0011
Actividades de aprendizaje obligatorias: Presénciales y domiciliarias
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23
1 0 0 1
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Actividad Nº 1
Sistemas de numeración
1) Escriba los dígitos en el sistema numérico:
a) b = 4
b) b = 9
c) b = 12
d) b = 3
2) Convierta a forma decimal:
a) 20356
b) 11011012
b) 24.0425
f) 1111.0012
c) 1213458
g) 3EF16
d) 44448
h) 4A5C16
3) Convierta a forma binaria.
a) B9E416
b) 6170258
e) 4325
f) 324
4) Complete el siguiente cuadro.
Decimal
33
....................
....................
....................
....................
c) 1035
g) 18
Binario
....................
1110012
....................
....................
....................
d) 30.0625
h) 101
Octal
....................
....................
328
....................
....................
Hexadecimal
....................
....................
....................
6516
....................
5)Transformar al sistema binario y resolver.
a)
c)
1001112 + 12 6 =
118 / 11012 =
b)
d)
147 - 10102 =
11110112 * 238
=
CLAVE DE CORRECCION:
Para resolver el ejercicio 4 del trabajo practico se procede de la siguiente forma:
Por ejemplo para convertir 33 del sistema decimal al sistema binario se procede
dividiendo al numero dado por 2 que el digito del sistema binario, tal es así que el resto
de la división siempre será “ uno o cero”
Por ejemplo: 33 2
=1= 16 2
=0= 8 2
=0= 4 2
=0= 2 2
=0= 1
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ALGEBRA
Una vez finalizada la división se escribe de abajo hacia arriba desde el ultimo cociente
y todos los restos de la división por dos, es decir, 33 = 1000012 . De igual forma se
procede para los otros casos
Auto evaluación :
1) Indique si las afirmaciones son verdaderas o falsas
a) El siguiente número 1121012 es binario
b) 12 en el sistema decimal representa 148
c) Los dígitos del sistema cuaterno es 0,1,2,3,4
2) Completa con mayor, menor o igual
a) 11012 .......... 128
b) 2103 .......... 113
c) 11012 .......... 13
3) Completa el cuadro.
+
11012
100112 234
.......... .........
........... .......... 1012
4) Calcular el área de la siguiente figura:
A
C
B
D
AB = 1101112
BD = 111012
5) Calcula el Volumen del cubo cuya arista es de 11012
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LOGICA MATEMATICA
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ALGEBRA
DIAGRAMA DE CONTENIDOS
CONCEPTO
RAZONAMIENTO
LOGICA
PROPORCIONAL
Lógica
Matemática
OPERACIONES
PROPORCIONALES
PROPOSICIONES
EQUIVALENTE
RAZONAMIENTO
DEDUCTIVO
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Deductivo
o
Inductivo
SIMPLE
COMPUESTA
NEGACIÓN
CONJUNCIÓN
DISYUNCIÓN
IMPLICACIÓN
DOBLE IMPLICACIÓN
TAUTOLOGÍA
CONTRADICCIÓN
CONTINGENCIA
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ALGEBRA
Lógica Matemática
Lógica
Sentido Amplio
Inductivo
Sentido Restringido
Deductivo
Ciencia
Cuál es el Objeto?. Es el estudio de los razonamientos deductivos y el proveer de
métodos para restringir los validos de los inválidos.
Conceptos previos
Razonamiento: Es el lenguaje tenemos expresiones lingüísticas como ser la palabra,
la frase, la oración. La oración cumple distintas funciones:
a) Función Expresiva: Son las que manifiestan estado de animo, deseo, aprobación o
desaprobación.
Ejemplos
¡Es magnifico! , ¡Ojalá llueva! ¡Cómo nos divertimos! O la mayoría de las oraciones
de las poesías.
b) Función Prescriptiva o Directiva: Son aquellos que están encaminadas a producir
e impedir determinada acción. Por ejemplo:
Alcánzame mi libro, por favor. Circule con precaución. Las ordenes, pedidos, los
ruegos, las normas son ejemplo de este tipo.
c) Función Informativa: Se caracteriza por que afirma o niega algo.
Por ejemplo:
Hubo dos grandes guerras Mundiales
Cinco es numero impar
Montevideo es capital de Perú
Antes de definir el razonamiento debemos caracterizar las proposiciones que son
aquellas expresiones lingüísticas que poseen una función informativa; afirma o niega
algo y tiene dos sentidos de decir de ellas que son V o F. La verdad y la falsedad son
los valores de verdad, las proposiciones pueden ser V o F, pero no ambas cosas.
Razonamiento : Se llama razonamiento a un conjunto de proposiciones donde una
llamada conclusión se deduce de otras llamadas premisas.
Ejemplo:
Si el congreso asigna los fondos, el proyecto se puede llevar a cabo. El
congreso asigna los fondos. Por lo tanto el proyecto se puede llevar a cabo.
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Premisas:
El congreso asigna fondos.
El proyecto se puede llevar a cabo.
Conclusión:
El proyecto se puede llevar a cabo.
2) Razonamiento Deductivo: Un razonamiento es deductivo, cuando la conclusión se
infiere directamente de las premisas.
Ejemplo: Todos los pájaros vuelan. Los gorriones son pájaros. Por lo tanto los
gorriones vuelan.
Premisas: - Los pájaros vuelan
- Los gorriones son pájaros.
Conclusión:
- Los gorriones vuelan.
3) Razonamiento Inductivo: Un razonamiento es inductivo cuando la conclusión se
infiere con cierto grado de probabilidad de las premisas.
Ejemplo.
Juan, Mario y Pedro entienden muy bien álgebra. Por lo tanto todo el
grupo de alumno aprobara el examen de álgebra.
Lógica Proposicional
Las proposiciones se clasifican en:
Simples: Son aquellas que no contienen dentro de sí ninguna otra proposición.
Ejemplo: “12 es un numero par”, “Brasilia es capital de Brasil”
Compuestas: Son aquellas que contienen dentro de si otras proposiciones.
Ejemplo: “Hubo elecciones y eligieron senador”, “Si llego temprano te llamare por
teléfono”.
Notación: Para denotar las proposiciones utilizaremos letras minúsculas p, q, r, s, etc.
Conectivos lógicos:
proposiciones.
Conectivo
∼
∧
∨
⇒o→
⇔o↔
Son
símbolos
que
permiten
realizar
operaciones
Operación asociado
Negación
Significado
∼ p : No es cierto
p.
Conjunción
p ∧ q: p y q
Disyunción
p∨ q: p o q
Condicional o implicación
p → q: Si p
entonces q
Bicondicional
o
doble p ↔ q : p si solo si
implicación
q
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con
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Operaciones proposicionales: Realizamos una operación proposicional cuando
partiendo de los valores de verdad de determinadas proposiciones llegamos a
determinar los valores de verdad o de otras proposición resultante.
1) Negación: Dada una proposición “p” su negación será ∼p (no p) cuya tabla de la
verdad es la siguiente:
Ejemplo.
P
∼p
p: 2 es un numero par
V
F
∼p: 2 no es un Nº par
F
V
2) Conjunción: Dadas dos proposiciones p y q llamamos conjunción a la proposición p
∧ q (p y q) cuya tabla de la verdad es la siguiente:
Ejemplo: p: París es capital de Francia q: 2 + 2 = 4
P
q
p∧q
V
V
V
•París es capital de Francia y 2 + 2 = 4
V
F
F
•París es capital de Francia y 2 + 2 = 5
F
V
F
•París es capital de Italia y 2 + 2 = 4
F
F
F
•París es capital de Italia y 2 + 2 = 5
Conclusión : La conjunción es V solamente cuando los dos conjuntivos son V y F en
los casos restantes.
3) Disyunción: Dada dos proposiciones p y q llamamos disyunción a la proposición p ∨
q (p o q), cuya tabla de valores de verdad es la siguiente.
P
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∨q
V
V
V
F
•París es capital de Francia o 2 + 2 = 4
•París es capital de Francia o 2 + 2 = 5
•París es capital de Italia o 2 + 2 = 4
•París es capital de Italia o 2 + 2 = 5
Conclusión: La disyunción es F cuando los dos disyuntivos son F y V en los casos
restantes.
4) Condicional o Implicación: Dada dos proposiciones (p, q) llamamos condicional o
implicación a la proposición p → q (si p entonces q) donde la proposición “q” precedida
por la palabra “entonces” se llama consecuentemente tesis.
Ejemplo: p: mañana me levanto temprano q: Mañana llego a horario al trabajo.
p → q Si mañana me levanto temprano entonces llego a horario al trabajo.
Nota: No siempre aparece la palabra entonces puede ser suprimida por una coma.
Ejemplo:
p: Pedro aprueba álgebra
q: Pedro presta sus apuntes a Diego.
A veces se cambia la palabra si por la palabra cuando.
Cuando Pedro aprueba álgebra entonces presta sus apuntes a Diego.
p → q si Pedro aprueba álgebra entonces presta sus apuntes a Diego.
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ALGEBRA
Relacionar el condicional con un compromiso. Implicación → Compromiso.
P
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p→q
V
F
V
V
Conclusión: La implicación es falsa, solo cuando partiendo de un antecedente V se
llega a un consecuente F. En nuestro ejemplo el compromiso no se cumple, ya que si
habiendo aprobado álgebra no presto sus apuntes a Diego.
5) Bicondicional o Doble Implicación: Dado 2 proposiciones p, q se llama
bicondicional o doble implicación a la proposición compuesta “p” si y solo si “q” (p ↔ q).
Esta proposición surge de la conjunción de dos condiciones (p → q) ∧ (q → p).
Tabla de la verdad
p
q
V
V
F
F
V
F
V
V
p→
→q q→
→p (p→
→q)∧
∧(q→
→p
)
V
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
V
Conclusión: es V cuando las 2 proposiciones tienen el mismo valor de verdad los dos
V o los dos F.
p: El triángulo ABC es rectángulo
Ejemplo:
Q: El triángulo ABC tiene un ángulo recto.
p↔q El triángulo es rectángulo si y solo si tiene un ángulo recto. De acuerdo a
los valores de las tablas de verdad las estructuras proposicionales se clasifican en:
Tautológica: Se llama tautológica a toda proposición compuesta que resulta V siempre
independiente de los valores de verdad de las proposiciones simples intervenientes.
Ejemplo:
Demostrar que la proposición p → (p ∨ q) es una tautológica
p q p∨
∨q p→
→(p ∨ q)
V V V
V
V F V
V
F V V
V
F F F
V
p → (p ∨ q) es una tautológica
Contradicción: Se llama contradicción a toda proposición compuesta que resulta F
siempre; independiente de los valores de verdad de las proposiciones simples
intervinientes.
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Demostrar que la prop. p ∧ (∼p) es una contradicción.
p ∼p p∧
∧(∼ p)
V F F
F V F
p ∧ (∼p) es una contradicción
Contingencia: Se llama contingencia a toda proposición compuesta que asume por lo
menos un valor V y uno F.
Demostrar que la prop. p q es una contingencia.
Ejemplo:
p
V
V
F
F
∼p
F
F
V
V
q
V
F
V
F
∼p→
→q
V
V
V
F
∼p→q es una contingencia.
Orden de los conectivos
- Si la operación proposicional presenta paréntesis se resuelve en primer lugar la
proposición que esta dentro del paréntesis.
- Si no hay paréntesis el orden va a ser:
1. Negación
2. Conjunción
3. Disyunción
4. Condicionales
Ejemplo
Colocar paréntesis en las expresiones siguientes para indicar el orden correcto.
a)
(p ∧ q) → (r ∨ 1)
b)
( ∼p) → q
c)
[ (p ∧ q) ∨ 1] → r
Construcción de tablas de valores de verdad para tres proposiciones simple
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
Para construir una tabla de valores de verdad para tres proposiciones simples.
1. Se coloca como cabeza de columna las proposiciones simples.
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ALGEBRA
2. Se escriben las 8 combinaciones posibles de valores de verdad
(a) En al primera columna 4 V y a continuación 4 F
(b) En la segunda columna 2 V y 2 F de manera alternada.
(c) En la tercera columna se escribe V y F en forma alternada.
Ejemplo: Construir la tabla de verdad de la siguiente proposición Comp.
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
∼r
F
V
F
V
F
V
F
V
p∧
∧q
V
V
F
F
F
F
F
F
(p ∧ q) ∨ (∼
∼ r)
V
V
F
V
F
V
F
V
Proposiciones equivalentes
Dada 2 proposiciones compuestas:
P(p, q, r..) y Q (p, q, r,...).
Diremos que P y Q son equivalentes (o lógicamente equivalente) si ambas tienen los
mismos valores de verdad.
Notación
P≡Q
Siempre y cuando:
P ≡ Q si solo si P ↔ es una Tautología.
Ejemplo:
Demostrar que las proposiciones ∼(p ∧ q) es equivalente a la proposición ( ∼p) ∨
(∼ q) y demostrar también que ∼ (p q) ↔ ( ∼p) ∨ (∼ q) es una tautología.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
∼
F
V
V
V
p∧q
V
F
F
F
≡
F
V
V
V
∼p
F
F
V
V
v
F
V
V
V
∼q
F
V
F
V
Leyes lógicas: Como en lógica se puede realizar operaciones proposicionales, estas
operaciones están regidas por determinadas leyes las cuales llamamos leyes lógicas y
cuya demostración se deduce a través de la confección de la tabla de valores de la
verdad.
1º) Ley de Inducción: ∼( ∼p) ↔ p Al demostrar las leyes lógicas y cuya demostración
siempre es una tautología.
2º) Ley de Idempotencia:
* (p ∧ p) ↔ p
* (p ∨ p) ↔ p
3º)Conmutatividad:
a) de la conjunción: p ∧ q ↔ q ∧ p
b) de la disyunción: p ∨ q ↔ q ∨ p
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ALGEBRA
4º)Asociatividad: a) de la conjunción: (p ∧ q) ∧ r ↔ p ∧ (q ∧ r)
b) de la disyunción: (p ∨ q) ∨ r ↔ p ∨ (q ∨ r)
5º)Distributividad: a) de la conjunción: p ∧ (q ∧ r) ↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
b) de la disyunción: p ∨ (q ∨ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
6º)Leyes de Morgan:
a) La negación de una conjunción es ≡ a la disyunción de las negaciones.
∼ (p ∧ q) ↔ ∼ p ∨ ∼ q
b) La negación de una disyunción es ≡ a la conjunción de las negaciones
∼ (p ∨ q) ↔ ∼ p ∧ ∼ q
Razonamiento deductivo
Método directo: Este método consiste en formar un condicional que tiene como
antecedente la premisa (en caso de ser una) o la conjunción de las premisas (en caso
de ser mas de una) y como consecuente la conclusión del razonamiento. Si al resolver
el condicional es tautología, el razonamiento será valido.
(p1 ∧ p2 ∧ p3 .. .∧ pn ) → C Si es tautología entonces el razonamiento será valido.
Un razonamiento no será valido únicamente, en el caso de que partiendo de premisas
verdaderas lleguemos a una conclusión F. No se debe confundir el significado de
razonamiento valido con el significado de una conclusión V es decir razonamiento
valido no necesariamente significa conclusiones verdaderas.
Por ejemplo. Determinar si el siguiente razonamiento es valido.
Si la suma de los dígitos de un numero es divisible por 3, entonces, el Nº también es
divisible por 3. La suma de los dígitos de 693 es divisible por 3, por lo tanto 693 es
divisible por 3.
P: La suma de los dígitos de un numero es divisible pr 3
Q: Él numero es divisible por 3
1er Premisa p →q
2da Premisa p
Conclusión q
(p →q) ∧ p → q
Tabla de verdad
p →q (p → q) ∧ [ (p → q) ∧ p ]
p
→q
V V V
V
V
V F F
F
V
F V V
F
V
F F V
F
V
p
q
Razonamiento valido
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34
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ALGEBRA
Trabajo Práctico Nº 1
LOGICA
MATEMATICA
1) Indicar cuales de los siguientes conjuntos de proposiciones son razonamiento.
a) x es igual a y, e y es menor que z. Luego, x es menor que z.
b) Si mañana sale el sol iré a visitarte, sino te llamare por teléfono.
c) Ningún hombre acepta consejos, pero todos los hombres aceptan dinero; por lo
tanto, el dinero es mejor que los consejos.
d) El imperio Romano se derrumbo porque carecía del espíritu de liberalismo y de la
libre empresa.
2) Clasificar las siguientes proposiciones en simples y compuestas. En caso de ser
compuesta escribirla en forma simbólica.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Cuando llueve baja la temperatura.
4 es un numero primo
Cobro el salario y ni liquido sus deudas.
No tengo quien me acompañe, entonces no voy al cine.
Gasta mas de lo que tiene.
Silvia sale a pasear o estudia matemáticas.
3) Sean p: “los precios son altos” y q: “los precios suben”. Escribir en lenguaje
corriente las expresiones simbólicas siguientes.
a) ∼p
b) p∧ q
c) p∨ q
d) q ∧ ∼ p
e)∼ p ∨∼ q
f) ∼p ⇒ q
4) Construir la tabla de la verdad para los siguientes enunciados y clasificarlos:
a) ∼ ( p ∨ q) ⇔ ( ∼ p ∧ ∼ q)
b) ( p ⇔ q) ⇔ [(p ∧ q) ∨ ( ∼ p ∧ ∼ q)]
c) [ (p ⇒ ( q ⇒ r) ] ⇒ [ (p ∧ q) ⇒ r]
a) [ (p ⇒ q) ∧ ∼ q] ⇒ ∼ p
5) Enunciar la reciproca y la contraria de:
Si me levanto tarde es feriado.
6) Traduzca a la forma simbólica y verifique la validez del argumento
a) Si una persona lee el diario, entonces esta bien informada.
Esta persona esta bien informada.
Por lo tanto esta persona lee el diario.
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b) Si una persona va a la universidad, llegara a ganar mucho dinero. Tu no vas a la
universidad.
Por lo tanto, tu no llegaras a ganar mucho dinero.
c) Si el escritorio del alumno esta desordenado, entonces es un genio. El escritorio del
alumno esta desordenado.
Por lo tanto, el alumno es un genio.
CLAVE DE CORRECCION:
Para desarrollar el ejercicio Nº 6 del segundo práctico se procede de la siguiente forma.
Se realiza una comprensión lectora para traducir del lenguaje vernáculo al lenguaje
simbólico, es decir, se debe encontrar las premisas para formar la conjunción de las
premisas y luego realizar la tabla de la verdad, por ejemplo:
Si una persona lee el diario, entonces esta bien informada : p --->q
Esta persona esta bien informada :
q
Por lo tanto esta persona lee el diario:
p
Desarrollo mediante tabla de verdad
[( p
V
V
F
F
-
V
F
V
V
q) Λ
V
F
V
F
V
F
V
F
q]
V
F
V
F
--
V
V
F
V
p
V
V
F
F
Por lo tanto no es un razonamiento valido
AUTOEVALUACION
1) Completar los siguientes enunciados de manera que resulten verdaderos.
a) La
conjunción
de
dos
proposiciones
cuando............................................................-
es
verdadera
b) Cuando una proposición compuesta es siempre verdadera, cualquiera sea el valor
de
verdad
de
las
proposiciones
simples
que
la
forman
se
llama.......................................................................c) Si p ⇒ q
;
llama..................................-
“p” se llama....................................
y
“q” se
d) Si (p ∧ q) ⇒ r es falsa ; por lo tanto “r” es falsa , entonces “q” es................y “ p”es
.............-
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ALGEBRA
e) Cuando dos proposiciones tienen la misma tabla de verdad se dicen que
son....................................................2) Sean p: “Marcos es rico “ y q: “Marcos es feliz “ . Escriba cada una de las
siguientes proposiciones en forma simbólica.
a) Marcos es pobre pero feliz .
b) Marcos ni es rico ni feliz.
c) Marcos o es rico o es feliz .
d) Marcos es pobre o si no él es tanto rico como infeliz.
3) Escriba la negación de cada uno de los siguientes enunciados d la manera mas
sencilla posible.
a) El es alto pero buen mozo
b) El es rubio o de ojos azules
c) El ni rico ni feliz
d) El perdió su trabajo o no fue a trabajar hoy
4) Demuestre que: p ∨ ( p ∧ q ) ≡ p construyendo la tabla de la verdad apropiada
5) Traduzca a la forma simbólica y verifique la validez del argumento
“ Si un hombre es soltero, es infeliz . Si un hombre es infeliz , muere joven , por lo tanto
los solteros mueren joven “
Parcial correspondiente a la primera y segunda unidad:
Criterios de Evaluación: Para la evaluación del total de ejercicios propuestos deben
resolver el 60% para aprobar, para ello se tendrá en cuenta correcto desarrollo,
resultado numérico y presentación.
............................................................................................................................................
...............................
1)Completar el siguiente cuadro:
Sistema Binario
Sistema hexadecimal
Sistema octal
..............
2416
.............................
.............
....................
428
2)Transformar al sistema binario y resolver.
a)
1001112 + 12 4 =
b)
135 - 10002 =
c)
104 / 11012 =
d)
110112 * 238 =
3) Calculara el área de la siguiente figura en el sistema binario.
DC= 1110112 ;
AB = 208
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AH = 104
A
B
37
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D
C
4) Sea “p”: Luis lee La Prensa ; “q” : Luis lee El Mundo y “r: Luis lee El
Universal. Escriba lo siguiente e forma simbólica:
a) Luis lee La Prensa o El Mundo, pero no El Universo.
b) Luis lee La Prensa y El Mundo, o él no lee La Prensa y El Universal.
c) No es cierto que Luis lee La Prensa pero no El Universal.
d) No es cierto que Luis lee El Universal o El Mundo pero no La Prensa.
5) Demuestre que: a ) p
q=(pv q)
(pΛq)
6) Demuestre si es un razonamiento valido mediante la tabla de verdad:
Si trabajo, no puedo estudiar.
O trabajo, o paso matemática.
Pasé matemáticas.
..........................................................
Por lo tanto, estudié.
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38
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UNIDAD Nº 3
Diagrama de contenidos
Definición
Ejercicios
Tipos de matrices
Y
Operaciones de matrices
Matriz
atriceses
Problemas
Operaciones elementales
de fila
Matriz inversa
Desarrollo temático
Matriz
Definición: Llamamos matriz a la agrupación de los elementos; también se llama
matriz a la ordenación de los vectores filas y vectores columnas.
Se escribe del siguiente modo:
A4x3
2
3
-1
0
8
3
4
2
1
0
1
0
Donde (4): Indica la cantidad de filas
Donde 3: Indica la cantidad de columnas
Cada uno de los Nº que se encuentran en la matriz recibe el nombre de “Elementos
genéricos de la matriz”.
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39
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Definición Formal: Sea la matriz Amxn Real, “m”: indica la cantidad de filas de “A” y “n”
la cantidad de columnas de A entonces A es una matriz de orden m x n. El elemento
genérico (a ij) : indica o hace referencia al elemento que esta en la fila “i” y columna “j”.
∀1≤i <my i ≤j≤n
En símbolo
Amxn
=
a11
a21
a31
a41
a51
.
.
am1
a12
a22
a32
a42
a52
.
.
am2
q13 ............a1n
a23 ............a2n
a33.............a3n
a43.............a4n
a53.............a5n
.
.
.
.
am3............amn
Matrices especiales
Matriz cuadrada: Se llama matriz cuadrada a aquella que posee igual Nº de filas y
columnas.
Sea A m x n matriz real diremos que A es cuadrada si m = n. Ejemplo. A 4 x 4 ; B 3 x 3 .
En una matriz cuadrada, se llama Diagonal principal a la diagonal que va desde el
extremo superior izquierdo al extremo inferior derecho. Es la diagonal formada por los
elementos aij donde i = j o sea a11 , a22 , a33 ,... anm . Se llama Traza de una matriz
cuadrada A a la suma de los elementos de la diagonal principal : Tr = a11 + a22 + a33 +
....+ anm
Matriz unidad o identidad: Es aquella en que los elementos de la diagonal son todos
iguales a uno y los restantes iguales a cero.
Sea A m x n una matriz cuadrada, diremos que 1 son los elementos de la diagonal
principal para ello el elemento genérico
aij = 1 si
i=j
y
aij = 0
si i ≠ j.
Ejemplo:
A 3x3
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
⇒
1
0
0
0
1
0
0
0
1
= I 3x3
Matriz Traspuesta:
La traspuesta de uan matriz A se representa por At y es la matriz que se obtine de A
cambiando las filas por las columnas.
Es decir que si A ∈ K mxn, diremos que B es la traspuesta de A y escribi,os B = A t si y
solamente si b ij = a ij
a11
a12
a13 ............a1n
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a11 a21
a31 .....am1
40
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Amxn
a21
a31
a22
a32
am1
am2
=
a23 ............a2n
a33.............a3n
.
.
.
am3............amn
t
⇒ A
.
a12 a22
a13 a23
.
.
a1n a2n
a32 .....am2
a33 .....am3
.
a3n .....amn
Matriz triangular superior: es una matriz cuadrada A = ||a ij || de orden n, cuyos
elementos a ij = 0 ∀ i > j se llama triangular superior , es decir una matriz triangular
superior es aquella en la que todos sus elementos están por debajo de la diagonal
principal son nulos.
A3x3
2
0
0
4
3
0
3
2
1
Matriz Triangular Inferior: es una matriz cuadrada A = ||a ij || de orden n, cuyos
elementos a ij = 0 ∀ i < j se llama triangular inferior. Es una matriz cuadrada con la
que todos sus elementos por encima de la diagonal principal son nulos.
2
0
0
A 3x3
1
4
0
2
4
3
Matriz Diagonal: Es la matriz cuadrada en que los elementos que no están en la
diagonal principal son todos nulos.
A mxn es matriz diagonal ⇔ i ≠ j ⇒ a ij = 0
A 3x3
a 11
0
0
0
0
a 22 0
0 a 33
Matriz escalar: Es una matriz diagonal en que los elementos de la diagonal principal
son iguales.
a ij = 0
si i ≠ j
A mxn es matriz escalar
a ij = α si i = j
A 3x3
α
0
0
0
α
0
0
0
α
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41
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Matriz nula: Se denomina matriz nula o cero, a aquella matriz cuyos elementos son
ceros.
En símbolo 0 m x n
Ejemplo
O 3x2
0
0
0
=
0
0
0
Matriz simétrica: Una matriz cuadrada es simétrica si y solamente si es igual a su
traspuesta.
A mxn es matriz simétrica ⇔ A = At
3
-7
0
A3x3
A = At
⇒
-7
1
0
5
5
At =
3
-7
-2
-7
1
0
0
5
5
-2
A es simétrica
Matriz Antisimetrica: Una matriz cuadrada es Antisimetrica si y solamente si es igual a
la opuesta de su trspuesta
A mxn es matriz antisimétrica ⇔ A = - At
( a ij = - a ij )
Ejemplo:
1 5
0
 0 1 − 5
 0 −1




t
t
A = 1
0 3
A = − 1 0 − 3 ; - A =  − 1 0
− 5 − 3 0
 5 3 0 
− 5 − 3
para todo ij
5
3
0
A = - At ⇒ A antisimetrica .
En una matriz Antisimetrica, los elementos de la diagonal principal son todos ceros
Matriz ortogonal:
Una matriz cuadrada y regular es ortogonal si y solo si su inversa es igual a sus
traspuesta.
A ∈ K m*m es ortogonal ⇔ A-1 = At
 3

Ejemplo: A =  5
4
−
 5
4
5
3

5
3

; At  5
4

5
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4
− 
5
3 

5 
; A-1
3
5
4

5
4
− 
5
3 

5 
42
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Ya que se verifica que : A-1 . A = A . A-1 = I ⇒
ortogonal
A-1 = At por lo tanto A es matriz
Operaciones entre matrices
Suma de matrices: Para poder sumar dos o más matrices es necesario que tengan un
mismo orden, el resultado es otra matriz de igual orden.
Simbólicamente :
∀ 1≤ i < m
Dados:
aij
+ bij
Amxn + B mxn = C mxn
= Cij.
∀ 1≤ j ≤n
Propiedades: La suma de matrices M x N goza de las siguientes propiedades; las cuales
si demuestran por el hecho de que en la estructura a la cual pertenecen los elementos
de las matrices también se verifican ellas son:
a) Asociativa
b) Conmutativa
c) La matriz Nula, O m x n, sí el elemento neutro con respecto de la suma.
d) Con cada matriz, existe la matriz contraria, cuyos elementos son, respectivamente
contrarios y la suma de dos matrices contraria es igual a la matriz nula.
Ejemplo
Dados:
1
4
-1
B2x3 =
-2
5
1
0
0
0
B2x3 + C2x3 =
-1
-4
1
0
0
0
C2x3 =
2
-5
-1
Producto de una matriz por un escalar
Multiplicar una matriz por un escalar, significa multiplicar todos los elementos de la
matriz dada por un cierto escalar.
Sea A mxn matriz real y K ∈ R ⇒ K.A = B m x n
Donde K[aij] = [bij]
Ejemplo.
2
-4
-4
A3x2 = -1
0
y K = -2 ⇒ K.A=
2
3/2
½
-3
8
0
-1
Propiedad: Es asociativa ⇒ 3 A = A + A + A.
Producto de matrices
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Condición necesaria: El producto de matrices de A * B es posible, si el numero de
columnas de la primera matriz es igual al numero de filas de la segunda matriz.
El resultado es otra matriz que tiene igual cantidad de filas que la primera matriz e igual
cantidad de columnas de la segunda matriz.
En símbolo
Sea A m x n * B r x q = C m x q Es posible si n = r
Regla: El elemento genérico del producto de la matriz A * B se obtiene sumando los
productos de cada elemento de la fila “i” de “A” por el correspondiente de la columna “j”
de “B”.
Propiedad: El producto de matrices no es conmutativo.
A*B ≠ B*A
Ejemplo:
Sea
a11
a12
b11
b12
b13
A3x2 a21
a22
y B2x3 =
a31
a32
b21
b22
b23
⇒
c11=
c12=
c13=
c11
A3*2 * B2x3 = C3x3 = c21
c31
a11 b11 + a12 b21
a11 b12 + a12 b22
a11 b13 + a12 b23
c12
c22
c32
c13
c23
c33
c21 =a21 b11 + a22 b21
c22 = a21 b12 + a22 b22
c23 =a21 b13 + a22 b23
c31 =a31 b11 + a32 b21
c32=a31 b12 + a32 b22
c33=a31 b13 + a32 b23
Operaciones elementales de filas: Son las operaciones que se realizan en la filas de
la matriz.
Primera: Es la operación que permutan la posición de dos filas.
En símbolo: Cip
A3x2
=
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a31
a21
a11
a32
a22
a12
1
1
0
2
4
2
C13
Ejemplo
A3x2
=
1
0
1
2
2
4
C23
Segunda: Se multiplica una fila de la matriz por un escalar (K) cualquiera distinto de
cero. En símbolo: C i (K)
En Símbolo:
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A3x2
a11
a21
a31
=
a12
a22
a32
a11
(-1)a21
a31
a12
(-1)a22
a32
C2(-1)
Ejemplo
5
2
-1
A3x2 =
4
3
-2
1
2
-1
4/5
3
-2
C1(1/5)
1
2
4
4/5
3
8
C3(-4)
Tercero: A una fila de la matriz se le suma otra fila premultiplicada por un escalar
distinto de cero. En símbolo Ci + C(K)
A3x2
a11
a21
a31
=
a12
a22
a32
a11
2 a31+a21
a31
a12
2 a32 +a22
a32
C2+3(2)
2 -1 0
4 5 6
3 2 4
A3x3 =
-6 -11
4
5
3
2
-12
6
4
C1+2(-2)
-6
11/2
3
-11
6
2
-12
8
4
C2+3(1/2)
Ejercicios propuestos
(1) Para la siguiente matriz encontrar otra matriz cuyo primer elemento sea 1
5
7
1
7/5
3
-2
3
-2
A2x2 =
C1(1/5)
(2) Para la siguiente matriz encontrar otra matriz cuyo primer elemento sea 1 y los
restantes elementos de la columna de 1 sean cero.
A3x2=
3
4
-1
2
1
4
-1/3
2
Prof. Alancay, Bernardo Arturo
1 -1/3
0 10/3
1 -1/3
0 10/3
45
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8
-2
8
-2
C1 (1/3)
8
-2
C2+1(-4)
0
2/3
C3+1(-8)
Matriz reducida por filas
Sea A m x n matriz real es reducida por filas si cumple los siguientes pasos:
1er Paso: Si A tiene elementos nulos, estos están por debajo y por encima de los no
nulos.
2 do Paso: Los elementos conductores están en escalera y son iguales a uno.
3er Paso: Los elementos correspondientes a la columna del elemento conductor son
todos ceros.
Ejemplo:
A3x3
1
0
0
=
0
1
0
0
0
1
1
A3x2 = 0
0
0
1
0
Calculo de la matriz reducida
Sea A m xn matriz real, para encontrar la reducida por filas de “A”, debemos aplicar
operaciones elementales de filas hasta obtener por definición la reducida de “A”.
Podemos aplicar para reducir por filas los siguientes pasos:
Primer paso: tomar el 1er elemento de “A” como conductor, transformarlo en 1.
Segundo paso: Transformar los restantes elementos de la primera columna en cero
(0).
Tercer paso: Aplicar lo anterior en cada fila de “A”, hasta obtener por definición la
reducida por filas.
Ejemplo:
3 -4
1 0
a3X2= 5 2
1
6 3
c1(1/3)
1 -4/3
1 -4/3
5 2
0 26/3
6 3
6
c2+1(-5)
3
1 -4/3
0 26/3
0
c3+1(-6)
11
0
0 11
c2(3/26)
1 -4/3
1 -4/3
1
0
0
1
0
c3+2(-11)
0 0
c1+2(4/3)
Matriz Inversa
Prof. Alancay, Bernardo Arturo
0
46
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ALGEBRA
Definición: Sea A m x n matriz real, si es posible encontrar otra matriz B tal que A.B =
B.A = I siendo “B” matriz inversa de “A”. Se denota como matriz inversa por A-1.
Condiciones: Sea A mxn matriz real, para que “A” admita inversa debe cumplirse lo
siguiente:
a) A mxn debe ser cuadrada.
b) Si aplicamos operaciones elementales de filas a la matriz A mxn hasta transformarla
en la matriz identidad entonces admite inversa.
Calculo de la matriz inversa
Sea A mxn matriz real y cuadrada, para encontrar la inversa aplicamos operaciones
elementales de fila hasta obtener la matriz identidad y luego aplicamos las mismas
operaciones en el mismo orden a la matriz identidad hasta obtener la matriz inversa.
Ejemplo.
3
4
1
0
1
2
0
1
1
4/3
1/3
0
1
2
0
1
1
4/3
1/3
0
0
2/3
-1/3
1
1
4/3
1/3
0
0
1
-1/2
3/2
1
0
1
-2
0
1
-1/2
3/2
C1(1/3)
C2+1(-1)
C2(2/3)
C1+2(-4/3)
C1(1/3)
A-1 Matriz Inversa
Verificación: Si multiplicamos la matriz A 2x2 * A-1 2x2 se obtiene la matriz identidad de I
2x2.
3
4
1
-2
*
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1
0
=
47
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1
2
-1/2
3/2
0
1
I11= 3*1 + 4*(-1/2) = 1
I12= 3*(-2) + 4*(3/2) = 0
I21= 1*1 + 2*(-1/2) = 0
I22= 1*(-2) + 2*(3/2) = 1
Actividad Nº 3
Matrices
1) Escriba la forma genérica de una matriz de A 4 x 2,T5 x 3, P 2x 2.
2) Calcular
2A - 3B
(A + B) – 4B
3/2A - (A – B)
a)
b)
c)
Si:
-3
0
2
1
A2x2
-4
3
½
2
B2x2
3) Calcular cuando sea posible A x B y B x A para:
a) A 1x3 [1, 0, 1]
2
B 3x2 3
4
b)
1
A 3x3 -3
2
0
4
6
10
8
9
7
c)
2
4
8
A 2x2
-3
B 3x3 -1
-2
-1
-4
-6
1
B 3x2 2
3
4
5
6
-7
-1
-2
4) Analizar si existe A-1 Calcularla en cada caso que exista.
1
0
2
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1
1
1
48
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A 3x3
2 -1 3
A 3x3 -1 -3 -2
4 1 8
1 1 1
5) Problemas:
a) Las velocidades medias de tres coches A, B, C, en km/h, vienen dada por la
matriz V3x2. El numero de horas que cada coche viaja viene dado por la matriz
H2x3 (3, 4, 6). Calcula los productos HxV y VxH, interpretando los valores de los
términos de las matrices resultantes.
V 3x2
50
80
120
b) Se realiza una comparación del precia de 4 productos entre supermercados
distintos. Los precios por kg. De los productos en los distintos almacenes viene
dado por la siguiente matriz:
Verdura
Carne
Pan
Fruta
80
400
40
120
90
500
40
150
100
400
35
14
El numero de Kg. Comprados respectivamente de cada producto esta dado por la
matriz (2, 3, 1, 2). Mediante el producto apropiado de matrices, compara el costo del
total de la compra en los tres almacenes.
Prof. Alancay, Bernardo Arturo
49
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Autoevaluacion:
1) Responder: Justificando
a) ¿Es cierto que todo vector fila de “m” componentes es una matriz de 1 x
m?. Entonces ¿Qué tipos de matrices son los vectores columnas?.
b) Acomode las siguiente matices, de tal manera que sea posible formar un
producto con todas ellas. ¿ cual será la dimensión de dicho producto?
A4x1 ; B3x5 ; C1x3 ; D2x4
c) En la igualdad A.B = C , la matriz B es de orden 3x5 y C es de orden 2x5.
¿De qué orden es A?
2) Completar las siguientes proposiciones para que sean verdaderas. Justificar
a)
Si
la
matriz
Anxn
es
invertible,
el
orden
de
A-1
es
.....................................................................b)
La
matriz
I
es
inversa
de
.........................................................................................................., el determinante de A es
c)
La matriz Anxn es invertible , si solo si
..........................................3) Resuelve la ecuación matricial : M X + N = P , Sabiendo que :
− 1 0 
1 2 
4 3 
M =
; N=
y P=



 0 − 1
3 4 
 2 1
4) En el Instituto Superior Jujuy hay alumnos de tres barrios Alberdi, Luján y Gorriti,
distribuidos por cuatrimestres según la matriz.
Alberdi
Luján
Gorriti
1º
2º
3º
4º
9
3
5
7
8
1
4
5
4
0
2
3
Una empresa de transporte elabora dos rutas r y s. Los kilómetros que recorría cada
alumno según la ruta aparecen en la siguiente matriz.
Alberdi
r
s
8
9
Luján
7
5
Gorriti
6
4
Si el precio por kilómetro recorrido y por alumno es de $0,25, expresa en forma de
matriz lo que se recaudaría por curso para cada itinerario.
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Segundo parcial correspondiente a la tercera unidad
Criterios de Evaluación: Para la evaluación del total de ejercicios propuestos deben
resolver el 60% para aprobar, para ello se tendrá en cuenta correcto desarrollo,
resultado numérico y presentación.
............................................................................................................................................
....................
1) Calcula f ( A ) si f ( x ) = x 2 - 2 x , Sabiendo que la matriz dada es :
2
1
3
2
2) Resolver la siguiente ecuación:
son:
A X + B = C Sabiendo que las matrices dadas
2 1
1
0
3 2
2
1
3) Hallar A n Sabiendo que la matriz dada es :
4
2
3
1
b
1
0
b
4) Problema: Las velocidades medias de 3 coches A , B , C en Km / h viene dado por
la matriz:
20 y el número de horas de cada coche viene dado por la matriz H ( 2 4 5).
40
60
Calcula los productos de H . V y V . H
5) Demuestra que la matriz A es periódica y de que periodo es:
1
-3
2
-2
2
0
-6
9
-3
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UNIDAD Nº 4
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53
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ALGEBRA
Determinante
Diagrama de contenidos
Concepto
Propiedades
Determiante
Menor y
Adjunto de
un elemento
Ejercicios
y
Metodos
Regla de Chió
Problemas
Regla de Sarrus
Desarrollo temático
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DETERMINANTE:
El determínate de una matriz cuadrada de orden n , que se designa por det ( A ) ; ∆ (
A) ó | A | , es una suma de todos los productos que se pueden formar con los
elementos de A, de modo que en cada producto haya un elemento de cada fila y un
elemento de cada columna, es decir es un número real que se asocia a dicha matriz.
Determinante de segundo orden:
Si A es una matriz cuadrada de orden 2 :
a
a12
a
a
A = 11
; el determinante de A es el número: | A |= 11 12 = a11.a22 − a12 .a21
a21 a22
a21 a22
Determinante de tercer orden:
Si la matriz cuadrada de orden 3 :
a11 a12 a13
A = a21
a22
a23 ; el determinante de A es el número :
a31
a32
a33
a11
a12
a13
| A |= a21
a22
a23 = a11.a22.a33 + a12. a23.a31 + a13.a21. a32+ a13 – (a13.a22.a31 + a21
a31
a32
a33
a12.a33 + a11.a23. a32
Mas adelante veremos distintos métodos para calcular determinantes de cualquier
orden.
Propiedades de los determinantes:
A continuación enunciaremos las propiedades de los determinantes. No daremos las
demostraciones de esas propiedades por escapan al alcance del presente curso. Sin
embargo las verificaciones con determinantes de orden 3 que podemos resolver
aplicando la regla de Sarrus.
1) Los determinantes de una matriz a y d su traspuesta A t son iguales.
| A |= | At|
3
2
1
Ejemplo: | A |= 4 − 2 0 = −18 + 20 + 0 − 2 − 0 − 24 = −24
−1 5 3
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3
−1
4
| A |= 2 − 2
1 0
5 = −18 + 0 + 20 − 2 − 0 − 24 = −24
t
3
Esta propiedad nos permite asegurar además que en toda propiedad de los
determinantes, referida a sus filas ,es valida también para sus columnas.
2) Si una matriz cuadrada S tiene una fila ( columna ) ceros, su determinante
es cero.
3 2 1
A = 0 0 0 = 0+0+0−0−0−0 = 0
−1 5 3
3) Si una matriz cuadrada A tiene dos filas
determinante es cero.
1
( columnas ) iguales su
2 3
A = − 1 5 6 = 15 − 6 + 12 − 15 − 12 + 6 = 0
1
2 3
4) Si dos filas ( columnas ) de una matriz cuadrada A son proporcionales, el
determinante de la matriz es cero.
1 −2 5
A = 3
4
5 = 40 − 60 − 20 − 40 + 20 + 66 = 0
2 − 4 10
5) Si se permutan 2 filas ( o Columnas ) consecutivas de una matriz cuadrada
A , su determinante cambia de signo.
1 3 −2
A = 3 1 5 = 3 − 18 + 90 + 12 − 15 − 27 = 45
6 3
3
1 3 −2
B = 6 3
3 1
3 = 15 − 12 + 27 + 18 − 3 − 90 = −45
5
6) Si se intercambian 2 filas ( columnas ) cualesquiera de una matriz cuadrada
A , su determinante cambia de signo.
1 3 −2
A = 6 3
3 1
3 = −45
5
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−2 3 1
B = 3
5
3 6 = −18 + 3 + 90 − 15 + 12 − 27 = 45
1 3
7) Si una matriz B se obtienen a partir de otra A , multiplicando una fila ( o
columna ) de ésta por un escalar λ , el determinante de B es igual al
determinante de A multiplicado por λ .
| B |= λ | A |
1 3 −2
A = 6 3
3 = −45 multiplicamos la 1º columna por (- 2 )
3 1
−2
5
3 −2
B = − 12 3
−6
3 = −30 + 24 − 54 − 36 + 6 + 180 = +90
1
5
8) Si todos los elementos de una matriz cuadrada A se multiplican por un
escalar λ , se obtienen una matriz B cuyo determinante es igual al
determinante de A multiplicado por el escalar λ elevado a una potencia igual
al orden de A.
| B |= λ | A |
⇒
| B |= | λ A |
⇒ | B |= λ n | A |
1 3 −2
A = 6 3
3 = −45
3 1
5
−2
−6
B = − 12 − 6
−6
Multiplicamos todos los elementos de A por (–2)
4
− 6 = −120 + 96 − 216 − 144 + 24 + 720 = 360
− 2 − 10
360 = ( -8) .45
| B |=( - 2 )3 | A |
9) Si una fila ( columna ) de una matriz cuadrada, es combinación lineal de las
demás, el determinante de la matriz es cero.
1
3
−2
A = 6
3
3
4 −3
, la tercera fila es igual a la 2º menos el doble de la primera.
7
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1
−2
3
⇒ A = 6 3
3 = 21 + 36 + 36 + 24 + 9 − 126 = 0
4 −3 7
10) Si a una fila ( columna ) de una matriz se le suma una combinación lineal de
las demás filas( columnas ), el determinante no cambia.
1 3 −2
A = 6 3 3 = −45 , a la segunda fila le sumamos la 1º y le restamos el doble de la
3 1
5
3º.
6 + 1 – 6= 1 ; 3 + 3 - 2 = 4 ; 3 - 2 - 10 = -9
1 3 −2
B = 1 4 − 9 = 20 − 2 − 81 + 24 + 9 − 15 = −45
3 1
5
11) Si cada elemento de una fila ( o columna ) de una matriz cuadrada se puede
escribir como la suma de dos términos, su determinante se puede escribir como
la suma de dos determinante de las matrices que contienen, cada una, uno de los
términos ( columna ) en cuestión pero en cualquier otro lugar son iguales a la
matriz originaria.
| A | = - 45 de los ejemplos anteriores.
Descomponemos la tercera fila de A como sigue:
1 3 −2
1
3
−2
A = 6 3
3 1
1
A = 6
3
3
1 −1
3 =
5
6
3
3
1+ 2 −1+ 2 6 −1
−2 1 3 −2
3 + 6 3 3 = (18 + 12 + 9 + 6 + 3 − 108) + (−3 − 24 + 18 + 12 − 6 + 18) =
6
2 2
−1
⇒ − 60 + 15 = −45
Calculo del determinante
Definición : Dada una matriz de orden n , se denomina Menor complementario de
un elemento a ij , y se designa con M ij , al determinante de orden ( n – 1 ) que se
obtiene eliminando de la matriz dada la fila y la columna a las que pertenece el
elemento a ij.
Ejemplo:
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1
Sea A =
−3
0
−1 0
, una matriz de orden 4
−1 3
4
2
−5 −2
0
5
−2 1
4
1 −3 5
4
M 33 = 4
2
0 = 94
0
4
1
2
−1
; M 14 = − 5 − 2 − 1 = 32
0
4 −2
Definición: Dada una matriz A de orden n , se denomina Adjunto o cofactor de
un elemento a ij , al menor complementario de ese elemento precedido de un signo
que depende de la posición del elemento a ij en la matriz.
⇒ A ij = ( - 1 )i+j M ij
Ejemplo: para la misma matriz A dad en el ejemplo anterior los adjuntos o
cofactores de los elementos a 33 y a 14 son respectivamente.
A 33 = ( - 1 ) 3+3 . M 33 = 94
A 14 = ( - 1 ) 1+4 . M 14 = - 32
Teorema. Sea A una matriz cuadrada de orden n , tal que a ij ≠ 0 y a 1j = 0 , ∀ j
≠ 1 . Entonces el determinante de A es igual al producto dl elemento a 11 por su
menor complementario.
2
0
0
Sea A = 3 4 − 1 , ⇒ | A | = -14
−2 5 −3
M
11
=
−1
= −12 + 5 = −7
5 −3
4
, a 11 . M 11 = 2 . ( -7 ) = - 14
⇒ | A | = a 11 . M 11
Regla de Chio:
Este método permite en un solo paso transformar un determinante de orden n en
otro equivalente de orden ( n – 1 ).
Cualquier determinante puede escribirse en forma tal que uno de sus elementos,
elegidos arbitrariamente, sea igual a uno. Para ello basta dividir la línea a que ese
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elemento pertenece por el valor del mismo y luego multiplicar todo el determinante
por dicho valor.
Al número 1 ( uno ) elegido lo llamamos pívot.
Conviene trazar las perpendiculares que corresponden al pivote a ij de un
determinante de orden n . Se resta de cada elemento el producto de los elementos
correspondiente a esas perpendiculares.
El determinante de orden ( n – 1 ) formado con estos nuevos elementos se tomará
con el mismo signo o con signo contrario según sea ( i + j ) par o impar,
respectivamente. Simbólicamente, el desarrollo de un determinante por la regla de
Chio se puede expresar en la forma que sigue:
Amxn
a11
a21
a12
a22
a13 ............a1n
a23 ............a2n
a31
1
am1
am2
a33 .............a3n
.
.
.
am3............amn
=
=
.
.
.
.
a11
a21
- a12. a31
- a22. a31
a13
a23
- a12. a33
- a22. a33
............
............
a1n- a12. a3n
a2n- a22. a3n
an1
- an2. a31
an3
- an2. a33
............
ann- an2. a3n
Ejemplo: Resolver por el método de Chio
1
2
−5
| A |= 2
1
−1
3 − 10 − 7
1
2
−5
| A |= 2
1
−1 =
3 − 10 − 7
+
1 − 2 .2
− 5 − 2.(−1)
1− 4 − 5 + 2
−3 −3
=
=
= 51 + 69 = 120
3 − 2.(−10) − 7 − (−1).(−10) 3 + 20 − 7 − 10
23 − 17
Matriz Adjunta o ( Adjunto clásico)
Dada una matriz A, cuadrada de orden n , se llama matriz adjunta de A, a la
matriz traspuesta de los factores de los elementos a ij de A .
⇒ A = | | a ij || ⇒ adj A = | | A ji ||
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Amxn
A11
A21
A12
A22
A13 ............A1n
A23 ............A2n
A31
A32
Am1
Am2
A33 .............A3n
.
.
.
Am3............Amn
=
.
.
.
.
Se ha demostrado que para toda matriz cuadrada A se cumpla que:
A . adj A = adj A . A= | A| = I , es decir que una matriz cuadrada a y su adjunta son
conmutables.
En particular si | A| ≠
0 , podemos escribir A..
adjA adjA
=
.A = I
| A|
| A|
, de donde por
definición de matriz inversa resulta:
adjA
A .− 1 =
Esta expresión nos permite enunciar que : Una matriz cuadrada A
| A |
admite inversa o regular si y solamente si | A| ≠ 0 .
Por ejemplo: Dada la matriz:
1 −2 1
| A |= 2 1 3
0
1
0
Calcula el menor del elemento a21 y el adjunto del elemento a23 y, si es posible, la
matriz inversa de A. Utilizando la matriz adjunta.
Según lo visto antes, el menor de los elementos de una matriz cuadrada es el
determinante que resulta de eliminar la fila y la columna del elemento en cuestión . En
este caso:
−2 1
M 21 =
= 0 − 1 = −1
1 0
El adjunto de un elemento es el menor precedido de un signo positivo (+ ) o negativo (
- ) según la posición del elemento. Para el elemento a23,
A23 = ( -1 )2+3 . M23 = −
1 1
= −(3 − 2) = −1
2 3
El determinante de la matriz A , calculado es – 1 , luego es una matriz regular y tiene
inversa.
adjA
A .− 1 =
| A |
Para hallar Adj ( A ) = ( Aij ), se calculan los adjuntos de todos los elementos.
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A11 = +
1 3
1 0
= −3
; A12 = −
A21 = −
−2 1
=1
1 0
;
A31 = +
−2 1
= −7
1 3
; A32 = −
2 3
0 0
A22 = +
−3
Luego : ( A ij ) ( Aij ) = 1
; A13 = +
1 1
=0
0 0
2
0
−1
t
[ Adj ( A ) ] = 0
5
Como el determinante de A = - 1; entonces A
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0 1
2
–1
=2
1 −2
= −1
0 1
; A33 = +
−3
y
2 1
; A23 = −
1 1
= −1
2 3
0
− 7 −1
=0
1 −2
=5
2 1
1
−7
0
−1
−1
5
−3 1 −7
3 −1 7
1
=
0
0 −1 = 0
0
1
−1
2 −1 5
−2 1 −5
62
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ALGEBRA
Guia de ejercicio Nº 4
Tema. Determinate
1) Calcula el valor de los siguientes determinantes:
2
2 3 4
a) | A |= 5 6 7
8 9 1
b) A =
;
4 −5
−1 − 2
; A=
1 7 4
3 2 1 1
−1 0 0 1
2
4 3 7
2) Resuelve las sigueites ecuaciones.
a)
x − 1 2x − 3
2
x
2 0 1
=2
b) 1 x 2 = 1
4 x 0
;
3) Demuestra que :
a 1 1 1
1 a 1 1
= ( a + 3 ).( a − 1 )3
1 1 a 1
1 1 1 a
4) Dada la matriz :
 − 1 2 − 1


A= 2
2
0  Calcula su inversa
 4 −2 5 


5) Calcula los siguientes determinantes por la regla de Sarrus:
a −1 a + 5 a + 2
0
3
4
−1
5
2
1+ a
;
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1
1
1
1
1+b 1
1
1
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AUTOEVALUACIÓN:
1) A es una matriz cuadrada de orden 3 cuyo determinante vale 2. Calcula
razonadamente el valor del siguiente determinante | 3 .A |.2) Resuelve la ecuación matricial: A X + B = C ; donde :
4 3

A = 
 1 1
− 1 0

; B = 
 2 3
5 −7 

y C = 
4 2 
3) Calcula el valor del determinante y encuentra dos soluciones:
1 1
1
1 x
1 =0
1 1
x2
Parcial correspondiente a Determinante.
Criterios de Evaluación: Para la evaluación del total de ejercicios propuestos deben
resolver el 60% para aprobar, para ello se tendrá en cuenta correcto desarrollo,
resultado numérico y presentación.
............................................................................................................................................
............... 1) Calcula, por la regla d e Sarrus , el valor del determinante siguiente.
1 2 3
4 5 6
7 8 9
2) Calcula el siguiente determinante mediante la regla de Chio:
 2 1 − 7 4
 3 2 1 1


− 1 0 0 1 


 2 4 3 7
3) Demuestre que :
1 a b+c
1 b a+c =0
1 c a+b
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4) Calcula el valor de “x” y del determinante :
1 1 1
1 x
1 =0
1 1
x2
5) Halla el rango de la siguiente matriz:
 4 6 8 0
1 2 3 0 


3 4 5 1
UNIDAD Nº 5
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Diagrama de contenidos
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65
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Definición
Compatible
Sistemas de
Ecuaciones
Clasificación
Incompatible
Vectorial
Formas
Matricial
Eliminación de
Gauss
Ejercicios
Metodos
Método de
Gauss Jordán
y
Regla de Cramer
Problemas
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66
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Desarrollo temático
Sistema de Ecuaciones Lineales
Definición: En un cuerpo K, se llama sistema de “m” ecuaciones lineales con “n”
incógnitas a un conjunto de ecuaciones de la forma:
(1)
a11 x1
a21 x1
a31 x1
..
..
..
am1 x1
+
+
+
+
a12 x2
a22 x2
a32 x3
..
..
..
am2 x3
+
+
+
+
a13 x3 +.............+ a1n xn
a23 x3 +..........+ a2n xn
a33 x3 +...........+ a3n xn
..
..
..
..
..
..
am3 x3 +...........+ amn xn
= b1
= b2
= b3
.
.
.
= bm
donde todos los aij y b i pertenecen al cuerpo K .
El sistema es lineal porque ninguna de las incógnita esta elevada a una potencia
superior a 1. Hemos colocados dos subíndice a los coeficientes para que pueda ser
perfectamente localizarla. El primer subíndice remite a la ecuación a la que pertenece,
mientras que el segundo subíndice dice referirse a la incógnita de la cual es coeficiente.
Además, este doble subíndice será de gran utilidad mas adelante para la construcción
de ciertas matrices que usaremos en el análisis y en la resolución de los sistemas de
ecuaciones.
Sistema de Ecuaciones Lineales homogéneo
Definición: Una ecuación lineal es homogéneo si su termino independiente es igual a
cero.
En símbolo:
a11 x1
a21 x1
a31 x1
..
..
..
am1 x1
+
+
+
+
a12 x2
a22 x2
a32 x3
..
..
..
am2 x3
+
+
+
+
a13 x3 +......... + a1n xn
a23 x3 +.......... + a2n xn
a33 x3 +...........+ a3n xn
..
..
..
..
..
..
am3 x3 +...........+ amn xn
=0
=0
=0
.
.
.
=0
Formas de expresión de los sistemas de ecuaciones lineales:
a) Expresión vectorial
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 a11 
a 
 21 
Con los coeficientes de las incógnitas de x1 podemos construir un vector a31.  matriz
 
 : 
 am1 
mx1
Lo mismo podemos hacer con los coeficientes de cada uno de los otras incógnitas y
con los términos independientes.
Entonces el sistema dado en ( 1 ) puede expresarse como sigue:
 a11 
 a11 
 a1n 
 b1 
a 
a 
a 
b 
 21 
 22 
 2n 
 2
a31.  x1 +  a32.  x2 +..............+ a3n.  xn = b3.  y esa es la forma vectorial del
 
 
 
 
 : 
 : 
 : 
:
 am1 
am 2 
amn 
bm 
sistema de ecuaciones lineales. Si el sistema tiene solución, quiere decir que existen
escalares x1 , x2, .........., xn que satisfacen la igualdad.
b) Expresión matricial:
Otra forma de expresar un sistema de ecuaciones lineales es por medio de matrices. A
partir del sistema ( 1 ) dado podemos construir tres matrices.
 a11 a12
a
 21 a22
a
a33
A =  31
:
 :
 :
:

am1 am 2
a13
a23
a33
:
:
am 3
..
..
..
:
:
..
..
..
..
:
:
..
a1n 
a2 n 
a3n 

: 
: 

amn 
A de orden mxn y se llama: Matriz de los coeficientes.
Otra forma es una matriz columna cuyos elementos son n incógnitas.
 x1 
x 
 2
x =  x3 
 
:
 xn 
; x es de orden nx1 y se llama Matriz de las incógnitas.
Finalmente la tercera matriz será también una matriz columna cuyos elementos son los
términos independientes:
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 b1 
b 
 2
B = b3  ; B es una matriz de orden mx1 y se llama Matriz constante .
 
:
bn 
Como A es de orden mxn y X es de orden nx1 el producto de A . X es posible y
entonces podemos escribir: A . X = B que se llama forma matricial o forma compacta
del sistema .
Antes de continuar con el desarrollo de nuestro tema diremos que a partir del sistema
dado se puede construir una cuarta matriz que llamaremos matriz ampliada y que
simbolizamos con A´.
La matriz ampliada A´ es una matriz de orden mx ( n+1) y sus columnas son las
columnas de A a los que se agrega la columna de los términos independientes.
 a11 a12
a
 21 a22
a
a33
Á =  31
:
 :
 :
:

am1 am 2
del sistema.
a13
a23
a33
:
:
am 3
..
..
..
:
:
..
b1 
b2 
b3 
 ; usaremos esta matriz cuando realicemos el análisis
:
:

bn 
a1n
a2 n
a3n
:
:
amn
Sistema Equivalentes
Definición: Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si y solo si tienen el
mismo conjunto solución.
Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales.
Sistema de ecuaciones lineales
Tiene solución:
Sistema compatible
Solución única
No tiene solución:
Sistema incompatible
Infinitas soluciones
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Compatible determinado
69
Compatible indeterminado
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ALGEBRA
El siguiente teorema nos permitirá hacer el análisis de un sistema cualquiera.
Teorema de Rouché – Frobenius
Un sistema de “m” ecuaciones lineales con “n” incógnitas tiene solución si y solo si el
rango de la matriz de los coeficientes igual rango de la matriz ampliada.
A .X = B tiene solución ⇔ h ( A ) = h ( A´)
En algunos textos, este teorema lo encontraremos enunciando como sigue: “ La
condición necesaria y suficiente para que un sistema de “m” ecuaciones con “n”
incógnita sea compatible es que el rango de la matriz ampliada A´ sea igual al rango de
la matriz A “
Ejemplo1: Sean los sistemas:
1)
x1
x1
2 x1
+
+
+
x2
3 x3
6 x3
= 1
= 0
= 0
2)
5x1
- x1
x1
+
-
+
5 x2 = 3
25 x2 = 15
5 x2 = 3
En cada caso calculamos el rango de la matriz A y el rango de la matriz ampliada A´.
Usaremos el método estudiado en el capitulo anterior para calcular el rango de cada
matriz.
Para simplificar los cálculos escribimos ambas matrices en un solo esquema:
1)
2)
1 1 0 1
1 0 3 0
1
5 3
2 0 6 0
5 25 15
1 1 0 1
−1 − 5 3
0 −1 3 −1
1
5 3
0 −2 6 −2
0
0 0
1 1 0 1
0
0 6
0 −1 3 −1
0 0 0 0
h ( A ) = 2 y h ( A´) = 2
h ( A ) = h ( A´)
Sistema compatible Tiene solución
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h ( A ) = 1 y h ( A´) = 2
h ( A ) ≠ h ( A´)
Sistema incompatible no tiene solución
70
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Hemos visto como determinamos si un sistema tiene solución o no, es decir si es
compatible o incompatible.
Veremos ahora como determinar que un sistema compatible es determinado o
indeterminado.
Para ello se presentan dos casos:
a)
h ( A ) = h ( A´) ⇒ r = n ( numero de incógnitas ) , el sistema es
compatible determinado y tienen una única solución.
b)
h ( A ) = h ( A´) ⇒ r < n ( numero de incógnitas ) , el sistema es
compatible indeterminado y tienen infinitas soluciones.
Solución de un sistema de ecuaciones lineales
Resolver un sistema de ecuaciones lineales significa encontrar los valores de las
incógnitas que satisfacen simultáneamente cada una de las m ecuaciones del mismo.
Definición: Una n – upla de escalares ( α1 , α 2 , α 3 ,.......... α n ) es una solución del
sistema si satisface cada una de las ecuaciones del mismo, se lo llama solución
particular .Como vimos un sistema de ecuaciones pude tener una , infinitas o ninguna
solución. Si el sistema tiene solución, se llama conjunto solución o solución general, al
conjunto de todas las soluciones del sistema.
En el caso de los sistemas homogéneos, claramente se observa que tienen siempre al
menos una solución que es la n – upla ( 0 , 0 , 0 ,....0 ) que recibe el nombre de
solución trivial. Existen diferentes métodos para resolver un sistema de ecuaciones.
1) Método de Eliminación de Gauss
El método consiste en obtener un sistema equivalente al de partida pero escalonado.
Consiste en eliminar la primera incógnita de todas las ecuaciones salvo de la primera,
luego eliminar la segunda incógnita de todas las ecuaciones salvo de la segunda y
primer. Después eliminar la tercera incógnita salvo de la primera, segunda y tercera y
así sucesivamente. En caso de que fuera conveniente se puede intercambiar dos
ecuaciones. Se obtiene así un sistema escalonado equivalente al dado( es decir que
tiene el mismo conjunto solución.
Sea entonces :
(1)
a11 x1
a21 x1
a31 x1
..
..
..
am1 x1
+
+
+
+
a12 x2
a22 x2
a32 x3
..
..
..
am2 x3
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+
+
+
+
a13 x3 +.............+ a1n xn
a23 x3 +..........+ a2n xn
a33 x3 +...........+ a3n xn
..
..
..
am3 x3 +...........+ amn xn
= b1
= b2
= b3
..
..
..
= bm
.
.
.
71
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Si a11 , a22 y a33 ≠ 0 entonces existe solución única por la técnica de sustitución de
para atrás.
Para formar la forma la forma escalonada el elemento genérico aij = 0 si ∀
i > j
entonces.
Se tiene:
(2)
a11 x1
0
0
+
+
+
a12 x2
a22 x2
0
+
+
+
a13 x3
a23 x3
a33 x3
= b1
= b2 Forma escalonada
= b3
Resolvemos de (2) la ultima ecuación para la incógnita x3
Entonces
a33 x3 = b3
X3 = b3
a33
Luego, sustituimos x3 en la penúltima ecuación de (2).
Se tiene:
a22 x2 + a23 b3 = b2
a33
x2 =
b2 - a23 b3
a33
a22
Seguidamente sustituimos x3 y x2 en la ante penúltima ecuación, este proceso termina
cuando determinemos la primera incógnita x1.
Este método de eliminación Gousina, es uno de los métodos mas antiguos y
frecuentemente usado para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales,
consta de dos partes:
La primera parte consiste en una triangulación del sistema, paso por paso, de tal
manera que al final este queda en forma triangular.
La segunda parte consiste en resolver el sistema triangular por sustitución de para
atrás.
Por ejemplo.
Resolver el siguiente sistema
x + 2y + 5 z
=-9
x – y + 3 z= 2
3x - 6y - z = 25
Primero: Elimino x de la segunda y tercera ecuación:
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72
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x + 2y + 5 z
=-9
-3 y - 2 z = 11
-12 y -16 z = 52
Segundo: Elimino y de la tercera ecuación.
x + 2y + 5 z
=-9
-3 y - 2 z
= 11
-8z = 8
Queda así el sistema equivalente al dado cuya solución será:
-8z = 8
z =-1
Luego, sustituimos z en la penúltima ecuación de (2).
Se tiene:
-3 y - 2 z
-3 y - 2 ( - 1 )
-3 y + 2
-3 y
-3 y
= 11
= 11
= 11
= 11 - 2
=9
y
= -3
Seguidamente sustituimos z e y en la antepenúltima ecuación:
x + 2y + 5 z = - 9
x + 2 ( - 3 ) + 5 ( -1 ) = - 9
x -6 -5
=-9
x =-9 + 6 +5
x = 2
La solución es única y es l a terna ( 2 , - 3 , -1 ) en consecuencia el sistema es
compatible determinado
cuyo conjunto solución es S :
( 2 , - 3 , -1 )
Regla practica:
Se puede resolver por este método trabajando con la matriz de los coeficientes del
sistema.
En el ejemplo anterior, se escribe la matriz de los coeficientes y se agrega una columna
con los términos independientes. Es decir
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1
2
5
−9
1
−1
3
2
3
1
−6
2
−1
5
25
−9
0
−3
−2
11
0 − 12 − 16
52
1
2
5
−9
0
−3
−2
11
0
0
−8
8
Como se puede observar las filas distintas de cero de una matriz escalón son
linealmente independientes y además el rango de una matriz, es el máximo número de
vectores filas linealmente independientes .
En consecuencia el rango de la matriz es igual rango de la matriz ampliada e igual al
número de incógnitas, entonces el sistema es compatible determinado.
R ( A ) = R ( A´) = 3 = n
2 ) Método de Gauss – Jordan
Este método permite, analizar el sistema ( de acuerdo al teorema de Rouche ) y
también resolverlo en el caso de que sea compatible.
Esencialmente, mediante operaciones elementales de filas en la matriz asociada a un
sistema de ecuaciones, se trata de formara el máximo número de vectores canónicos
linealmente independientes. Tal número es precisamente el rango de la matriz del
sistema ( y de la matriz ampliada ).
Por ejemplo:
Resuelve el siguiente sistema
x
2x
x
-x
- y + z=4
+ y -2z=3
+ y - z =24
+2 y + z = 1
La matriz asociada al sistema es :
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74
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Se puede realizar un cuadro como el de la derecha
en donde se coloca la matriz. Se elige en la matriz
un elemento 1 en lo posible, sino se multiplica a la
fila por un escalar distinto de cero hasta hacerlo 1.
Este será el pivote. Luego se hacen cero todos los
restantes elementos de la columna pivote. Así se
obtiene el primer vector canónico ( columna ). A
continuación se elige otro pivote que no pertenezca
ni a la fila ni a la columna del pivote anterior y se
procede de igual forma. Luego, el número de
vectores canónicos distintos obtenidos es el rango
de la matriz del sistema y agregando la ultima
columna será la ampliada. El rango del Sistema es
3 y el rango de la ampliada es 3, entonces el
sistema es compatible, además, el número de
incógnitas también es 3 por lo tanto el sistema es
compatible determinado.
La solución se obtiene considerando los valores de
los términos independientes en correspondencia
con los coeficientes de las incógnitas, en le sistema
equivalente obtenido, por lo tanto la solución será:
x=3
y=1
z=2
1
−1
2
1
−2 3
1
1
−1 2
−1
1
4
2
1 1
1 −1 1
4
0
3
−4 −5
0
2
−2 −2
0 1
1 0
2
3
5
9
0 0 − 10 − 20
0 0
−6
− 12
0 1
1 0
2
3
5
9
0 0 − 10 − 20
0 0
1
2
0 1
2
1
0
0
5
3
0
0
0
0
0
0
1
2
0
1
1
0
0
0
1
3
0
0
0
0
0
0
1
2
0
1
0
1
3) Regla de Cramer
Regla: El valor de cada incógnita es igual al cociente de dos determinantes.
El determinante del denominador está constituido por los coeficientes de las variables.
El determinante del numerador es igual que el anterior pero remplazando la columna de
los coeficientes de las incógnitas buscada por la de los términos independientes.
En símbolos:
∆x
∆y
x=
; y=
∆
∆
; z=
∆z
∆
Ejemplo:
x + 2y - z = 3
2x -y + z =2
3x + y – 2z = 11
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75
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Solución:
Calculo de x :
1 2 −1
∆ = 2 − 1 1 = 1.(2 − 1) − 2.(−4 + 1) + 3.(2 − 1) = 10
3 1 −2
3
2
−1
∆x = 2 − 1 1 = 3.(2 − 1) − 2.(−4 + 1) + 11.(2 − 1) = 20
11 1 − 2
x=
∆x
∆
=
1
20
=2
10
3
−1
∆y = 2 2 1 = 1.(−4 − 11) − 3.(−4 − 3) − 1.(22 − 6) = −10
3 11 − 2
∆y
− 10
= −1
∆
10
Análogamente se obtiene z = - 3
Por lo tanto el conjunto solución será:
x=
=
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[2,−1,−3]
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Guía de Estudio Nº 4
1) Resuelve los siguientes sistemas por el método que te resulte mas apropiado.
2 x − 5 y + 2 z = 7
2 x + 3 y = z + 1
2 x + 2 y − z = −5



b) 3 x + 2 z = 8 − 5 y c)  x − 3 y + z = −2
a)  x + 2 y − 4 z = 3
3 x − 4 y − 6 z = 5
3 z − 1 = x − 2 y
− 2 x + y − 2 z = −1



2) Discute el siguiente sistema. Resuélvelo para : a = 0 ; a = 1 y a = 2
x + 2 y − z = 1

 x + 4 y + ( a + 1 )z = 3
− x + 2 z = 0

3) Determinar el valor de K para que el siguiente sistema homogéneo tenga solución
distinta a la trivial:
 y − 2z = 0

2 x + z = 0
 Kx + y − z = 0

4) Resuelve los siguientes problemas:
a) Tres amigos suben a una báscula de dos en dos. Andrés y Benjamín suman 173
Kg , Andrés y Carlos 152 Kg , mientras que entre Benjamín y Carlos pesan 165
Kg . ¿Cuánto pesa cada uno?
b) Una persona tiene dinero colocado en tres depósitos bancarios diferentes A, B y
C. El dinero invertido en a le produce un 4 % de beneficio, en B, un 7 % , y en C
un 6 %. Sus beneficios totales fueron $ 327.000 anuales . Debido a los cambios
en los tipos de interés, el segundo año los beneficios son 3,5 % en a , el 6 % en
B y el 5 % en C, siendo sus beneficios de $ 278.000. ¿Cuánto dinero tiene
invertido en cada deposito si en total tiene $5.000.000?
c) Una empresa destina $ 900.000 para gratificar a sus 51 empleados. Concede $
25.000 a los empleados de nivel A, $ 20.000 a los de nivel B y $ 15.000 a los de
nivel C. Teniendo en cuenta que para los de nivel B destina en total el doble que
para los del A , ¿Cuántos empleados hay en cada nivel?
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AUTOEVALUACIÓN:
1) Responda si son correctas las siguientes proposiciones y en caso de No
serlo , explique el porque.
a) Si el determinante de los coeficientes de un Sistema n . n , de Ecuaciones
Homogéneas es nulo, solo admite soluciones triviales.
b) Un sistema de ecuaciones homogéneas es siempre incompatible.
c) Si el determinante de los coeficientes de un sistema n. N, de ecuaciones lineales
es nulo, significa que el sistema es incompatible.
d) Un sistema de Ecuaciones homogéneas solo admite infinitas soluciones cuando
el determinante de los coeficientes n. n es igual a cero ( nulo ).
e) Si el determinante de un Sistema de Ecuaciones Lineales es nulo, el sistema
admite infinitas soluciones.
2) Resuelve el siguiente sistema por el método mas conveniente:
x + 2 y − z = 3

2 x − y + z = 2
3 x + y − 2 z = 11

3) Resuelve el siguiente problema: La edad de un padre es igual a la suma
de las de sus dos hijos. Cuando pasen tantos años como tiene el hijo
mayor, el padre tendrá 70 años y la suma de las edades de los tres será
de 164 años. ¿Qué edad tiene ahora cada uno?
UNIDAD Nº 6
Vectores en el plano
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Diagrama de contenidos
Definición
Vectores en
el plano
Vector
Operaciones
de vectores
Vector
posición
Vector
unitario
Suma de dos
vectoes
Resta de
vectoes
Definicion
Propiedades
Producto
escala de
Vectores
perpendiculares
Enunciado de contenidos:
UNIDAD Nº 6 : VECTORES
Magnitudes escalares y vectoriales. Vector libre. Propiedades. Igualdad de vectores.
Angulo entre vectores. Operaciones: suma y resta de vectores. Multiplicación de un
vector por un escalar. Producto vectorial y mixto. Propiedades. Interpretación
geométrica de producto escalar y vectorial. Unidad
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VECTORES FIJOS
Un vector fijo del plano es un segmento cuyos extremos están dados en un cierto
orden (se suele decir que es un segmento orientado). Se representa por ,
siendo los extremos A y B
A un segmento
le corresponden dos vectores fijos distintos:
y
.
Se considera como caso singular el vector fijo definido por un segmento cuyos
extremos coinciden. En este caso el vector fijo se reduce a un solo punto.
Los puntos en los que empieza y termina un vector se llaman origen y
extremo, respectivamente.
Módulo, dirección y sentido de un vector fijo
En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo
define.
El módulo de un vector fijo
se representa por
y se leerá «módulo de
».
Se dice que un vector fijo tiene la misma dirección que otro si los segmentos
que los definen pertenecen a rectas paralelas.
Dados dos vectores fijos
y
del plano que tengan la misma dirección, se
dice que tienen el mismo sentido si los segmentos
y
(los segmentos que
unen el origen de cada uno con el extremo del otro) tienen un punto en común.
En otro caso se dice que los dos vectores tienen sentido contrario o sentido
opuesto.
También se puede decir que dos vectores de la misma dirección tienen el mismo
sentido si la recta definida por sus orígenes deja a los extremos en el mismo
semiplano.
Estas dos definiciones son válidas en el caso en que los dos vectores se
encuentren en distinta recta. Si los dos vectores se encontrasen en la misma
recta, se buscaría un vector fijo en una recta paralela que tuviese el mismo
sentido que ambos. Si lo hubiese, se diría que los dos vectores tienen el mismo
sentido. En otro caso se diría que los dos vectores tienen sentido contrario.
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80
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ALGEBRA
Vectores equipolentes
Se dice que dos vectores son equipolentes si tienen el mismo módulo, la
misma dirección y el mismo sentido.
Si
y
son equipolentes, el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo.
VECTORES LIBRES DEL PLANO
Un vector libre es el conjunto de todos los vectores fijos del plano que son
equipolentes a uno dado.
Como todos los vectores fijos del plano consistentes en un solo punto son
equipolentes, definen un único vector libre, que recibirá el nombre de vector cero,
.
Representantes de un vector libre
A uno cualquiera de los vectores que constituyen un vector libre se le denomina
representante del vector libre.
Para representar un vector libre se escribe uno cualquiera de sus
representantes, o bien se escribe una letra con una flecha encima.
Resultado fundamental
Dados un punto P y un vector libre del plano, , existe un único representante de
con origen en P. Igualmente se puede encontrar un único representante de
con extremo en el punto P.
SUMA DE VECTORES
Dados dos vectores libres del plano y , se define su suma como el vector libre
construido así:
Se elige un punto arbitrario del plano, O.
Con origen en O se busca un representante del vector . Se llamará P a su
extremo.
Con origen en P se busca el vector
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, representante de .
81
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ALGEBRA
El vector suma + viene representado por el vector fijo,
representante de con el extremo del representante de ).
(se une el origen del
Propiedades de la suma de vectores
Conmutativa: Dados dos vectores del plano
Asociativa: Dados tres vectores
y ,
+
=
+ .
y y del plano, ( + ) + = + ( + ).
Elemento neutro: Dado , un vector cualquiera del plano,
+ = +
= .
Es decir, el vector es el elemento neutro de la operación suma de vectores
libres del plano.
Elemento simétrico: Dado un vector del plano, existe otro vector - , tal que,
+ (- ) = (- ) + = . El vector - recibe el nombre de simétrico u opuesto de .
Demostración:
Bastará con demostrar una de las dos igualdades:
Sea
un representante de . Considérese el vector - =
+ (- ) =
+
=
= y (- ) + =
.
Como consecuencia de todas las propiedades vistas se dice que el conjunto de
los vectores fijos del plano, junto con la suma de vectores, constituye un grupo
conmutativo.
Observaciones:
1. Dado un vector , su opuesto - tiene el mismo módulo, la misma dirección y
sentido contrario al de , Basta con ver la contrucción de - .
2. Dados dos vectores y , existe un único vector
que verifica =
El vector (- ) + recibe el nombre de diferencia entre los vectores
suele representarse por - .
+ .
y ,y
PROD. DE VECTOR POR NÚM. REAL
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82
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ALGEBRA
Sean un vector del plano y r un número real. Se define el producto r ·
siguiente forma:
a) Si r = 0 ó
de la
= , el producto es r · =
b) El caso contrario, es decir, si
= 0 y r = , se define:
Obsérvese que el producto de un vector por un número sólo puede ser nulo en el
caso de serlo alguno de ellos. En dichos casos las propiedades son de
comprobación inmediata, por lo que, en lo que sigue, se supondrá que tanto el
número como el vector son no nulos.
Primeras propiedades del producto de números por vectores
1. Dado un vector se verifica que 1· = .
Demostración:
En efecto, |1· | = |1| | | = | |
Por definición 1· tiene la misma direción que .
Como 1 es positivo, el sentido de 1· es el de .
Por tener el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido, los vectores
libres y 1· coinciden.
2. Para cualquier vector , se verifica que (-1)· = Demostración:
Para verlo conviene recordar que - tiene el mismo módulo, la misma dirección y
sentido contrario al de . Si se concluye que (-1)· cumple esas tres condiciones,
se tendrá la propiedad dada.
|(-1)· | = |-1| | | = 1| | = | |
La dirección de (-1)· es la de .
El sentido de (-1)· es opuesto al de , porque -1es negativo.
Así pues (-1)· tiene módulo, dirección y sentido iguales a los de - . Por tanto:
(-1)· = - .
3. Sean y dos vectores no nulos. Entonces:
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83
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Si y tienen la misma dirección, existe un número r tal que = r · ; y r es
positivo si y tienen el mismo sentido, y negativo en caso contrario.
A partir de ahora, para diferenciar números de vectores, a los primeros se les
llamará, a menudo, escalares.
Otras propiedades del producto de escalares por vectores
1. Dados dos números reales r y s, y un vector se tiene:
(r ·s) =r (s· )
(Debido al extraordinario parecido que tiene esta propiedad con la propiedad
asociativa del producto de números, a veces se la denomina propiedad
asociativa.)
2. Propiedad distributiva del producto respecto de la suma de escalares
Dados dos números r y s y un vector , se cumple la igualdad:
(r +s) =r +s
3. Propiedad distributiva del producto respecto de la suma de vectores
Dados un número real r y dos vectores
y , se verifica r ( + ) = r + r .
COMBINACIONES LINEALES
Dada una familia de vectores 1, 2, 3, ... y un vector cualquiera , se dice que
es combinación lineal de la familia, si existen números reales x1, x2, x3, ... tales
que
= x1 1 + x2 2 + x3 3 + ...
Prof. Alancay, Bernardo Arturo
84
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Primera propiedad
Los vectores que son combinación lineal de un solo vector son el vector y
todos los vectores que son paralelos a .
Demostración:
Si
es combinación lineal de , es de la forma
a) Si r = 0,
b) Si r
0,
= r · . Entonces:
= 0· =
= r · , luego
es paralelo a por tener ambos la misma dirección.
Segunda propiedad
Dados dos vectores del plano 1 y 2 que tengan distinta dirección, el único
vector que es combinación lineal de cada uno de ellos es el vector .
Teorema
Sean 1 y 2 dos vectores del plano con distinta dirección. Entonces cualquier
vector del plano se puede poner de manera única como combinación lineal de
1 y 2.
PRODUCTO ESCALAR
Dados dos vectores no nulos del plano, se llama producto escalar al número
obtenido como producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman:
Si alguno de los dos vectores fuese el vector , su producto escalar sería igual a
0.
Propiedades del producto escalar
Primera propiedad del producto escalar
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85
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El producto escalar de dos vectores y es igual al producto del módulo de por
la proyección de sobre (este producto será positivo si y la proyección de
sobre él tienen el mismo signo, y negativo en caso contrario).
Demostración:
La proyección de sobre es un segmento de medida x.
Sustituyendo en la definición de producto escalar:
Propiedad conmutativa del producto escalar de vectores
Dados dos vectores y ,
=
Demostración:
Propiedad distributiva respecto de la suma
Propiedad de ortogonalidad (perpendicularidad)
Dados dos vectores no nulos y , si
= 0, entonces y
perpendiculares, y si y son perpendiculares, entonces
son
=0
Demostración:
Prof. Alancay, Bernardo Arturo
86
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Positividad del producto escalar
Cálculo del módulo de un vector
Para hallar el módulo de un vector se puede aplicar la última propiedad vista
para el producto escalar.
Cálculo del ángulo formado por dos vectores
Prof. Alancay, Bernardo Arturo
87
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UNIDAD Nº 7
Rectas en el plano
Diagrama de contenidos
Ecuación de
la recta
CONCEPTO
Rectas en el
plano
Ecuación
explicita
Ecuación
General
Ecuación
Segmentaría
Ecuación
implícita
Prof. Alancay, Bernardo Arturo
Gráficos
Distancia
entre dos
puntos
Angulo entre
dos rectas
88
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Rectas
Función Lineal: Una función lineal es una función:
f : R -- R
dada por f(x) = a x + b que en lo sucesivo indicamos por y = a x + b
La gráfica de una función lineal es una recta:
Casos particulares
y=ax+b
a≠0
a≠1
y=ax
a= 0
y=x
Si b = 0
a=0
y=0
a≠1
y = a x +b
b
a≠0
Si b≠ 0
a=0
y=x+b
a=0
y=b
FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA LINEA RECTA
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Ecuación De La Recta Que Pasa Por El Origen
Considere la recta l que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación
con el eje
x (fig. 4.6.)
Fig. 4.6
Tómese sobre la recta los puntos P1(x1, y1),P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos
P1, P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen los puntos P’1, P’2, P’3.
Como los triángulos OP1P’1, OP2P’2 y OP3P’3 son semejantes; se tiene que:
Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l,
ó y = mx (1)
La ecuación (1) es la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente conocida
m.
..
Ecuación De La Recta Conocida Su Pendiente m y su Intersección con b y con
El Eje y
Considere una recta l de la que se conocen m (m = tan
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) y b (ver fig. 4.7.)
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fig. 4.7.
Trácese por el origen la recta l’ paralela a l. Sea P(x, y) un punto de l. Al llamar P’ la
proyección de P sobre el eje x; PP’ corta a la recta l’ en un punto P’’ de coordenadas
P’’(x, Y), Y
y.
Como P’’ (x, Y) está sobre l’, entonces
, de donde Y = mx
Ahora, el cuadrilátero OBPP’’ es un paralelogramo.
Luego, P’’P = OB = b. Y se tiene que:
Y = P’P = P’P’’ + P’’P = Y + b = mx + b.
Es decir, para todo (x, y)
l, y = mx + b = (tan
)x + b
La ecuación y = mx + b es la ecuación de la recta en términos de su pendiente m y su
intercepto b con el eje y.
..
Ecuación De La Recta Que Pasa Por Un Punto y tiene Pendiente Conocida
Considere la recta l que pasa por un punto dado P (x , y ) y cuya pendiente m también es
1
1
1
conocida.
.
Al llamar b al intercepto de la recta l con el eje y,
entonces la ecuación de l, viene dada por:
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y = mx + b
(1)
Como P1(x1, y1) l, entonces satisface (1) y en
consecuencia se tiene:
y1 = mx1 + b
(2)
fig. 4.8
Al restar de la ecuación (2) la ecuación (1) se elimina el parámetro b que se desconoce y se
obtiene:
y – y1 = m(x – x1) (3)
La ecuación (3) es conocida como la forma: PUNTO-PENDIENTE de la ecuación de la recta.
Nótese que la ecuación (3) también puede escribirse en la forma:
y = mx + (y1 – mx1).
Lo que indica que el intercepto b con el eje y viene dado por:
b = y1 – mx1
..
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados P1(x1, y1) y P2(x2, y2)
Sea l la recta que pasa por los puntos P (x , y ) y P (x , y ) y llámese m
1
1
1
2
2
2
1
su pendiente.
....
Como l pasa por el punto P1(x1, y1) y tiene
pendiente m1, se tiene de acuerdo a 4.4.3, que
y – y1 = m1 (x – x1)
(1)
representa la ecuación de dicha recta.
Ahora, como el punto P2(x2, y2)
satisface su ecuación.
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l, entonces
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fig. 4.9.
Esto es y2 – y1 =
; de donde
(2)
Sustituyendo (2) en (1) se obtiene
(3)
La ecuación (3) se conoce como la forma: DOS-PUNTOS de la ecuación de la recta.
Observaciones
i. Nótese que la ecuación (2) nos proporciona el valor de la pendiente m y la
ecuación
(3) también puede escribirse en la forma:
Lo que indica que el intercepto de la recta l con el eje y viene dado por:
ii.
Si (x, y) es un punto cualquiera de la recta determinada por P1(x1y1) entonces la
ecuación de la resta (3) también puede escribirse en forma de determinante, así:
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=0
....
Ecuación segmentaria de la linea recta
Considere la recta l de la cual conocemos las intersecciones a y b con los ejes x e y
respectivamente (fig. 4.10)
Como l pasa por los puntos A(a, 0) y B(0, b),
entonces de acuerdo a la sección la ecuación
de lviene dada por:
Es decir,
de donde,
fig. 4.10
Dividiendo esta última ecuación por b, se obtiene:
(1)
La ecuación (1) se conoce como la ecuación SEGMENTARIA, CANÓNICA O FORMA DE LOS
INTERCEPTOS de la linea recta. Los números a y b son las medidas de los segmentos que
la recta intercepta con cada eje, con su signo correspondiente, pues haciendo en (1)
y = 0, resulta x = a (Intercepto con el eje x)
x = 0, resulta x = b (Intercepto con el eje y)
..
Ecuación general de la linea recta
La ecución Ax + By +C = 0 donde A, B, C son números reales y A, B no son
simultáneamente nulos, se conoce como la ECUACIÓN GENERAL de primer grado en las
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variables x e y.
La ecuación explícita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye las rectas paralelas
al eje y, cuyas ecuaciones son de la forma x = constante, pero todas las rectas del plano,
sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0 que se conoce como:
laecuación general de la linea recta, como lo afirma el siguiente teorema:
TEOREMA
La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 (1) , A, B, C
simultáneamente nulos, representan una linea recta.
R; A y B no son
Demostración
i.
Se puede Considerar varios casos:
A = 0, B diferente de 0.
En este caso, la ecuación (1) se transforma en By + C = 0,0de donde
(2)
La ecuación (2) representa una linea recta paralela
al eje x y cuyo intercepto con el eje y es
(fig. 4.11)
fig. 4.11.
ii.
En este caso, la ecuación (1) se transforma en Ax + C = 0, de donde
(3)
La ecuación (3) representa una linea recta paralela al
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eje y y cuyo intercepto con el eje x es
(fig. 4.12)
fig. 4.12.
iii.
En este caso, la ecuación (1) puede escribirse en la siguiente forma:
(4)
La ecuación (4) representa una linea recta, cuya
pendiente es
eje yviene dado por
y cuyo intercepto con el
(fig. 4.13)
fig. 4.13.
obeservaciones
i.
Es posible escribir la ecuación general de la linea recta en varias formas, de tal
manera que solo involucre dos constantes. Es decir, si A, B y C son todos distintos
de cero, podemos escribir la ecuación (1), en las siguientes formas equivalentes:
(1A)
(1B)
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(1C)
En cada una de las ecuaciones (1A), (1B) y (1C) existe esencialmente solo dos
constantes independientes, por ejemplo
en (1A)
Esto indica que para determinar la ecuación de una recta en particular, necesitamos
conocer dos condiciones, como por ejemplo, dos puntos, un punto y la pendiente, en
concordancia con lo establecido en los numerales anteriores.
iii.
Cuando la ecuación de una recta esta expresada en la forma general
Ax + By + C = 0, su pendiente ó coeficiente angular con respecto al eje x, m
viene dado por
viene dado por
y su coeficiente angular n, con respecto al eje y
.
Los coeficientes A y B se denominan coeficientes directores de la recta.
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TRABAJO PRÁCTICO
Temas: Función lineal. Ecuación de la recta.
Actividad 1: Las tablas corresponden a los resultados obtenidos en dos experimentos
realizados para determinar la forma en que crece un pez durante su primer mes de
vida.
Tiempo 1
3
8
10 16 20 30
Tiemp 1
3
8
10 16 20 30
Longit 2,7 4,2 8
11 14 16 17
o
Longitu 2,
d
5
3,
6
7
10 12 17
5
ud
5
5
a) ¿Cuál de las tablas contiene datos que corresponden a una función lineal? ¿Por
qué?
b) Muestre gráficamente los resultados obtenidos en el inciso a)
c) Escriba el dominio y la imagen de las funciones.
d) Obtenga la expresión algebraica de la función lineal.
e) ¿Qué relación existe entre el comportamiento de la función lineal y su pendiente?
Actividad 2: Considere las funciones f ( x ) =
1
x − 4 y g ( x ) = 2( 5 − x ) .
2
a) Si las gráficas se cortan, determine el punto correspondiente.
b) Obtenga los intervalos en los que las funciones son positivas.
c) Para qué valores de x la función f es mayor que la función g.
d) Pruebe gráficamente que los resultados son correctos.
Actividad 3: Las gráficas corresponden a dos propuestas de salario mensual en
función de las ventas realizadas.
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a) Obtenga la expresión para calcular el
salario de cada propuesta.
b) Cual debe ser el valor de las ventas
para que el salario sea el mismo.
c) Para que valores de venta conviene la
propuesta
A.
Determine
algebraicamente.
Actividad 4: La gráfica muestra la cantidad de agua que contiene un recipiente
cilíndrico, de 60000 litros de capacidad, en un período de 18 días.
a) Escriba el dominio y la imagen de la
función.
b) De acuerdo al comportamiento de la gráfica,
describa lo que sucede con el agua en el
tanque.
c) Determine la expresión matemática de la
función
d) La rapidez con que disminuye el volumen
es siempre la misma.
e) Calcular el volumen de agua el primer día y
a los 15 días. ¿en qué momentos el tanque
tendrá un volumen de 20000 litros?
Actividad 5: Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (4,-3) y:
a) Es paralela a la recta de expresión 6 x – 4 y =1
b) Tiene la misma pendiente de una recta paralela al eje x
c) Es perpendicular a la recta –x + 2 y = 4 – 2x
d) Es perpendicular al eje de las abscisas
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Actividad 6: A partir de un análisis teórico o algebraico, construya y complete cada
tabla de acuerdo a las condiciones o gráficas de rectas dadas.
Tabla 1
Condicione
Ecuació Funció Funci
s
n de la
n
ón
recta
Características
de las gráficas
lineal
b≠0
m≠0
b=0
b≠0
m=0
b=0
m no existe
Tabla 2
Gráficas
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Expresió Comportamie Relació
n de cada
nto
n entre
recta
Tipos de
pendien
rectas
tes
Punto de
corte
100
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