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TEMA 1: INTERACCIÓN GRAVITATORIA
GENERALIZACIÓN DEL CONCEPTO DE TRABAJO A UNA FUERZA
VARIABLE
PARTE 1
•
•
•
•
Generalización del concepto de trabajo a una fuerza variable.
Teorema del trabajo y la energía cinética.
Fuerzas conservativas.
Energía potencial asociada a una fuerza conservativa. Trabajo y diferencia de
energía potencial. Relación entre fuerza conservativa y variación de energía
potencial. Energía potencial en un punto
• Conservación de la energía. Conservación de la energía mecánica
Supongamos que queremos llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B a lo largo de
un determinado camino:
(recuerda que el móvil no tiene porqué moverse
según la resultante de la fuerza que actúa sobre él
porque puede tener algún tipo de restricción)
PARTE 2
• Descripción de una interacción: Acción a distancia y concepto de campo.
• Líneas de fuerza.
• Ley de gravitación universal. Análisis de las características de la interacción
gravitatoria entre dos masas.
• Interacción de un conjunto de masas: Principio de superposición.
• Noción de campo gravitatorio: Intensidad del campo gravitatorio de una masa
puntual.
• Campo gravitatorio terrestre. Variación de "g" con la altura
• Campo gravitatorio de un conjunto de masas.
• Energía potencial gravitatoria de una masa puntual en presencia de otra.
• Noción de potencial gravitatorio.
• Superficie equipotencial.
• Relación entre campo y potencial gravitatorio.
r
Por definición, el trabajo realizado por la fuerza F para desplazarlo una longitud
infinitesimal es el producto escalar de la fuerza por el vector desplazamiento:
r r
dW = F • d r
dW = trabajo elemental
r
F = vector fuerza
r
r
r
d r = vector desplazamiento = dx i + dy j
El trabajo total para llevar al cuerpo desde el punto A al B por el camino c lo obtenemos
mediante la integral definida entre esos puntos:
Br
r
WA →B,c = ∫ F • d r
A ,c
PARTE 3
• Leyes de Kepler
• Movimiento de masas puntuales en las proximidades de la superficie terrestre
• Satélites. Velocidad orbital y velocidad de escape.
AMPLIACIÓN
• Circulación de un vector a lo largo de un camino c
• Flujo a través de una superficie
• Flujo de la intensidad de campo a través de una superficie cerrada. Teorema de
Gauss
En general, el trabajo realizado por una fuerza para llevar un cuerpo desde un punto A
hasta otro punto B depende del camino que se siga.
(Más adelante trataremos las fuerzas conservativas, que son aquellas que realizan el
mismo trabajo para llevar un cuerpo desde un punto hasta otro sin importar el camino
seguido.)
Lo expresamos como:
WA → B,c1 ≠ WA → B,c 2
∫
B
r r
Br
r
F • d r ≠ ∫ F • dr
A , c1
A ,c 2
Caso particular: Cuando la fuerza es constante en módulo y dirección.
Si observas las figuras siguientes verás que para desplazamientos grandes el módulo
del vector desplazamiento no coincide con el espacio recorrido sobre la trayectoria, pero
para un desplazamiento infinitesimal sí que son iguales:
Ejemplo: Calcular el trabajo que hacemos para levantar verticalmente, con velocidad
constante, un cuerpo de 2 Kg hasta una altura de 3 metros.
Calcular el trabajo realizado por el peso y el trabajo realizado por la fuerza resultante.
r
∆ r ≠ ∆s
r
d r = ds
pero
r r
Así que podemos poner dW = F • d r = F ⋅ dr ⋅ cos α = F ⋅ ds ⋅ cos α
si F y α son constantes podemos sacarlas de la integral:
WA → B
F. cons tan te
= ∫ F ⋅ cos α ⋅ ds = F ⋅ cos α ∫ ds = F ⋅ cos α ⋅ [s ]s BA = F ⋅ cos α ⋅ (s B − s A ) = F ⋅ s ⋅ cos α
B
sB
A
sA
WA→B
s
= F ⋅ s ⋅ cos α
F. cons tan te
Ejemplo: Un niño tira de un camión de juguete aplicando una fuerza de 20N mediante
una cuerda que forma un ángulo de 60º con la horizontal. Calcular el trabajo que realiza
cuando lo arrastra 10m.
Fíjate bien que cuando en el enunciado dice “levantar con velocidad constante” eso es
un dato muy importante, porque, de acuerdo con las leyes de Newton, quiere decir que
la suma de las fuerzas sobre el cuerpo es nula. Por tanto, si el cuerpo está sometido a la
fuerza peso=mg, la fuerza que deberemos hacer para subirlo con velocidad constante
debe tener el mismo módulo F=mg, la misma dirección y sentido contrario.
Aplicando la definición general de trabajo:
Tendremos en cuenta que el movimiento es sobre el eje Y y que por tanto no varía la
r
r
r
r
coordenada X (dx=0). El vector desplazamiento nos quedaría d r = dx i + dy j = dy j
r
r
B r
y =3
y =3
r
y =3
WA → B = ∫ FFuerzaF • d r = ∫ mg j • dy j = ∫ mg dy = [mg y]y =0 = 20(3 − 0) = 60Julios
FuerzaF
r
r
r
Aplicando la definición general de trabajo y teniendo en cuenta que F = F cos α ⋅ i + Fsen α ⋅ j
y que en este caso como únicamente se desplaza a lo largo del eje X ( no varía de coordenada
r
r
r
r
Y con lo que siempre dy=0) y el vector desplazamiento nos quedaría d r = dx i + dy j = dx i
r
r
r
Br
x =10
r
WA →B,c = ∫ F • d r = ∫ ( F cos α ⋅ i + Fsenα ⋅ j ) • dx ⋅ i
A ,c
x =0
r r
r r
recordando que i • i = 1 y que i • j = 0
Como integramos respecto a x, los límites de integración son desde xA=0 hasta xB=10
WA →B,c = ∫
x =10
x =0
F cos α ⋅ dx = [F cos α ⋅ x ]x = 0 = 20 ⋅ cos 60 ⋅ (10 − 0) = 100Julios
x =10
Como en este caso la fuerza es constante también podríamos haber aplicado la
definición particular de trabajo: WA → B = F ⋅ s ⋅ cos α = 20 ⋅ 10 ⋅ cos 60 = 100 J
Observa que únicamente realiza trabajo la componente de la fuerza que lleva la
dirección del desplazamiento (F.cosα)
y =0
A ,c
y=0
Observa que como ahora hemos integrado respecto a dy, los límites de integración han
sido desde y=0 hasta y=3.
El trabajo que hace la fuerza peso, siguiendo el mismo procedimiento sería:
r
r
B r
y =3
y =3
r
y =3
WA →B = ∫ FPeso • d r = ∫ mg (− j) • dy j = ∫ − mg dy = [− mg y]y =0 = −20(3 − 0) = −60Julios
Peso
y =0
A ,c
y=0
El signo menos del trabajo se interpreta como que la fuerza pero realmente no hará
nunca ese trabajo sino que haría el contrario. Como sabemos por experiencia, el peso no
sube de forma espontánea a los cuerpos sino todo lo contrario.
El trabajo total puede obtenerse de dos formas:
• Como suma de todos los trabajos realizados por cada una de las fuerzas.
WA→ B = ∑ W = 60 + (−60) = 0
TOTAL
r
• Como el trabajo que hace la fuerza resultante. Como FRe sul tan te = 0
B r
r
WA→ B = ∫ FRe sul tan te • d r = 0
TOTAL
A ,c
Aplicando la definición particular de trabajo:
En este caso podemos resolver el ejercicio aplicando la definición particular de trabajo
para fuerzas constantes, ya que (para puntos próximos a la superficie terrestre) podemos
considerar que el peso no varía y tampoco la fuerza que hemos de hacer para subirlo con
velocidad contante, ya que es igual al peso y de sentido opuesto)
WA → B = F ⋅ s ⋅ cos α
Para aplicar esa expresión a la fuerza F tendremos en cuenta que: el módulo de la fuerza
es igual al peso, es decir, FFuerzaF=mg, que el espacio que recorre es s=3m y que el ángulo
que forma la fuerza que hacemos y el desplazamiento es de 0º
Ejemplo: Un cuerpo de 20 Kg se encuentra en la base de un plano inclinado 30º sobre
la horizontal, sin rozamiento. Un hombre tira de él y lo sube hasta una altura de 1,5 m.
a) con qué fuerza debe tirar el hombre para subirlo con velocidad constante
b) que trabajo realiza
c) si otro hombre lo sube verticalmente hasta la misma altura con la ayuda de una polea
d) ¿qué fuerza y que trabajo realizaría en este otro caso?
a) Si el hombre sube el cuerpo con velocidad constante quiere decir, de acuerdo con la
2º ley de Newton, que la suma de las fuerzas es cero, por tanto:
WA →B = FFuerzaF ⋅ s ⋅ cos α = mg ⋅ s ⋅ cos α = 20 ⋅ 3 ⋅ cos 0 = 60 J
FuerzaF
Para aplicar la expresión a la fuerza peso tendremos en cuenta que, al igual que antes, el
módulo del peso es FPeso=mg, el espacio recorrido es s=3m, pero ahora (puesto que se
mueve hacia arriba) el ángulo que forma el desplazamiento y la fuerza peso es de 180º
WA→B = FPeso ⋅ s ⋅ cos α = mg ⋅ s ⋅ cos α = 20 ⋅ 3 ⋅ cos180 = −60 J
de la figura se deduce que para que la suma de las fuerzas sea cero, el hombre debe
ejercer una fuerza igual a la componente del peso que tiene la dirección del plano:
Peso
Observaciones:
Muchos alumnos confunden los vectores con su módulo. Especialmente cuando se trata
de movimientos en una dimensión y se suprimen los vectores unitarios de los ejes
“sustituyéndolos” solamente por su signo. Es decir que (como ocurre en este caso donde
el movimiento es solo en el eje Y) podremos escribir los vectores como:
r
r
r
FFuerzaF = mg j o simplemente +mg (con el + indicamos que lleva dirección y sentido de j )
r
r
r
FPeso = −mg j o simplemente –mg (con el – indicamos que lleva dirección y sentido de − j )
F = mg ⋅ senα = 20 ⋅ 10 ⋅ sen30 = 100 New
b) El espacio recorrido sobre el plano para que ascienda 1,5m se calcula como:
1,5
⇒ s = 3 metros
sen 30 =
s
El trabajo, aplicando la expresión particular porque la fuerza es constante: (Mucho cuidado
de no confundirte con el ángulo. Aquí α es el ángulo que forma la fuerza F con el
desplazamiento, que es 0º):
W = F ⋅ s ⋅ cos α = 100 ⋅ 3 ⋅ cos 0 = 300Julios
c) El hombre que sube el cuerpo con velocidad constante con la ayuda de una polea:
Los módulos de los vectores “nunca tienen signo” ya que el módulo solamente
indica el valor. Entiende de una vez que el signo hace referencia al sentido del
vector y no del módulo.
Ahora bién, las magnitudes escalares sí que pueden tener signo como le ocurre al
trabajo.
De acuerdo a lo anterior, sería un disparate escribir
WA →B = −mg ⋅ s ⋅ cos α = −20 ⋅ 3 ⋅ cos180
Peso
porque al poner –mg estaríamos sustituyendo el módulo de la fuerza por su expresión
r
vectorial (aunque no le pongamos la j ). Por otro lado, el signo menos ya nos aparecerá
como consecuencia de que cos180=–1, pero si lo hiciéramos mal tendríamos dos signos
menos y el trabajo final sería positivo, que sería como decir que la fuerza peso es capaz
de hacer un trabajo y de subir un cuerpo hasta una altura mayor.
Aplicando la segunda ley a todo el sistema
F − mg = ma como v=cte → a=0
F = mg = 20 ⋅ 10 = 200 New
Como vemos, al tratarse de una polea es ideal y que la fuerza
que aplicamos no tiene masa, entonces se transmite
íntegramente: F=mg
d) Como F es una fuerza constante, aplicando la expresión particular del trabajo que
realiza el hombre para subir la masa 1,5 m tendremos:
W = F ⋅ s ⋅ cos α = 200 ⋅ 1,5 ⋅ cos 0 = 300Julios
Observa que el trabajo que realiza el hombre para subir el cuerpo con velocidad
constante por el plano y por la vertical es exactamente el mismo, y eso es así porque no
hay rozamiento, sin embargo la fuerza que debe ejercer si lo sube por el plano es más
pequeña.
En el caso de que hubiese rozamiento el trabajo realizado por el plano sería mayor que
por la vertical, pero aún así la fuerza que debe ejercer sigue siendo menor, de ahí la
utilidad de los planos.
Ejemplo: Un niño tiene una pistola de juguete que funciona con un resorte, como la que
se indica en la figura. La constante de recuperación del muelle es de 500 N/m ¿Qué
trabajo realiza el niño cada vez que comprime el resorte 20 cm para cargarla?
La fuerza que debe hacer el niño para comprimir el muelle, con velocidad constante, es
exactamente igual a la fuerza recuperadora del muelle pero en sentido contrario:
FRe cuperadora = − k ⋅ x
( Muelle )
r
r
o bien FRe cuperadora = −k ⋅ x i
( Muelle )
FDeformador a = k ⋅ x
( Niño )
r
r
o bien FDeformador a = k ⋅ x i
( Niño )
El signo menos de la fuerza recuperadora se
interpreta como que esa fuerza se opone a la
deformación. (Si, como en la figura,
deformamos el resorte hacia la parte positiva
la fuerza recuperadora apunta hacia la parte
negativa y viceversa.)
POTENCIA
Dos máquinas pueden realizar el mismo trabajo, una en poco tiempo y la otra tardando
más. Para identificar a la mejor se define la potencia como el trabajo realizado en la
unidad de tiempo, así:
dW
P=
dt
teniendo en cuenta la definición de trabajo podemos encontrar otra expresión análoga:
P=
r r
dW F • d r r r
=
= F• v
dt
dt
Ejemplo
Un motor eléctrico se utiliza para elevar un peso de 250Kg desde el suelo hasta una
altura de 25m. Se emplea en la operación un tiempo de 5 minutos. Si el motor consume
500 watios ¿Cuánto vale la energía perdida?.
El trabajo que realmente hace el motor es:
Wmotor = P ⋅ t = 500 ⋅ (5 ⋅ 60) = 150000Julios
El trabajo útil es el que realmente hace falta para subir los
250Kg a la altura de 25m:
Wutil = F ⋅ s = mg ⋅ s = 250 ⋅ 10 ⋅ 25 = 62500Julios
El trabajo perdido, que se transformará en calor es:
En este caso la fuerza que hace el niño no es constante puesto que depende de x, por
tanto tendremos que utilizar obligatoriamente la definición general de trabajo. La fuerza
r
r
que hace el niño en forma de vector es FNiño = kx i y el vector desplazamiento, como
r
r
r
r
solo se desplaza a lo largo del eje X, nos quedaría d r = dx i + dy j = dx i
WA → N , Niño
r
r
r
x B =0 , 2
x B =0 , 2
r
1
= ∫ FNiño • d r = ∫
kx i • dx i = ∫
kx ⋅ dx = kx 2
A
x A =0
x A =0
2
B
0, 2
0
=
1
500(0,2 2 − 0 2 ) = 10Julios
2
Este trabajo que ha realizado el niño al cargar la pistola: W = 12 kx 2 queda almacenado en
el resorte (En forma de energía potencial como veremos más adelante). Al apretar el gatillo
r
r
y dejar libre el muelle actúa la fuerza recuperadora FRe cuperadora = − k ⋅ x i y de esta forma se
( Muelle )
nos devuelve el trabajo que realizamos al cargarla. Comprueba que el trabajo hecho por la
fuerza recuperadora para llevar el muelle desde B hasta A es también 10Julios.
Wperdido = Wmotor − Wutil = 87500Julios
El rendimiento del motor sería:
Re n dim iento =
Wutil
62500
100 =
100 = 41,7%
Wmotor
150000
TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERCIA CINÉTICA
Si tenemos en cuenta la definición de trabajo, la segunda ley de Newton y que
r
r
v = d r dt , podemos poner que:
Ejemplo: Un ciclista va a 5 m/s por una calle horizontal. Cuando se le cruza una suegra
frena para no pillarla y se detiene en 5m. ¿Cuánto vale el coeficiente de rozamiento?
r
r
r r
dv r
dv r
dW = F • d r = m • d r = m • v ⋅ dt
dt
dt
r r
teniendo en cuenta que dv y v son vectores en la misma dirección y sentido y que por
tanto el coseno del ángulo que forman es 1:
r r
dW = m ⋅ dv • v = m ⋅ v ⋅ dv
Si el ciclista se termina parando, quiere decir que toda su energía cinética inicial se
disipará en rozamiento. De acuerdo con el teorema del trabajo y la energía cinética:
B
B
1
1
1

WA→ B,Todas las fuerzas = ∫ mv ⋅ dv =  mv 2  = mv 2B − mv 2A
A
2
2
2

A
WA → B ,Todas las fuerzas = Ec B − Ec A = ∆Ec
Lo que nos dice que “el trabajo realizado por la fuerza F (resultante de “todas las
fuerzas”, incluida la de rozamiento si existe) para llevar el cuerpo desde un punto A
hasta otro B es igual a la variación de energía cinética entre esos puntos”. Se conoce
como teorema de las fuerzas vivas.
Ejemplo: Si dejamos caer un cuerpo de 2Kg desde una altura de 5m ¿Qué energía
cinética tendrá al llegar al suelo?
WA→B,Todas las fuerzas = ∆Ec
Sobre el ciclista hay tres fuerzas: peso, normal y FRoz. Como el peso y la reacción del
plano se anulan, finalmente nos queda que la fuerza resultante es igual a la fuerza de
rozamiento FRoz = µN = mg µ . Como la FRoz es una fuerza constante podemos aplicar la
definición particular de trabajo:
1
1
FRoz ⋅ s ⋅ cos 180 = mv f2 − mv i2
2
2
1
mg µ ⋅ s ⋅ ( −1) = − mv i2
2
µ=
⇒
v i2
52
=
= 0,25
2gs 2 ⋅ 10 ⋅ 5
Posiblemente la reacción de algún alumno sea calcular el valor de la velocidad al llegar
al suelo y luego aplicar la fórmula de la energía cinética. Eso estaría bien, pero vamos a
resolverlo aplicando el teorema de las fuerzas vivas.
Ejemplo: Un proyectil de 15gr se mueve con una velocidad de 1500m/s cuando choca
con un saco de arena y se para después de recorrer 10cm ¿Qué trabajo ha realizado la
arena sobre el proyectil?. Suponiendo constante la fuerza que realiza este trabajo,
¿cuánto vale?
Como el peso puede considerarse constante podemos aplicar la definición particular de
trabajo. El trabajo realizado, en este caso, por la fuerza peso que tiene la misma
dirección y sentido del desplazamiento, es:
El ejercicio es exacto al anterior. Aplicando el teorema del trabajo y la energía cinética
concluiremos que el trabajo realizado por la fuerza que hace la arena (fuerza de
rozamiento de la bala con la arena) debe ser igual a la energía cinética que tenía la bala:
W = F ⋅ s ⋅ cos α = mg ⋅ s ⋅ cos 0 = 20 ⋅ 5 ⋅ 1 = 100 julios
Aplicando el teorema del trabajo y la energía cinética y teniendo en cuenta que la
energía cinética en el punto A (arriba) es nula porque parte del reposo, sería:
WA→B,Todas las fuerzas = Ec B − Ec A
⇒
Ec B = 100 julios
WA →B,Todas las fuerzas = ∆Ec
WF. arena
⇒
1
1
1
= mv f2 − mv i2 = − 0,015 ⋅ 1500 2 = −16875Julios
2
2
2
La fuerza (de rozamiento) que disipa este trabajo es:
WF. arena = Farena ⋅ s ⋅ cos180
⇒
Farena =
− 16875
= 168750New
0,10 ⋅ ( −1)
FUERZAS CONSERVATIVAS
En los ejemplos anteriores hemos visto como un cuerpo que tiene energía cinética es
capaz de realizar un trabajo. Supongamos ahora que lanzamos una piedra hacia arriba
con una determinada velocidad inicial. Ya sabemos que, si despreciamos el rozamiento,
la piedra al volver a la posición inicial tendrá la misma velocidad (aunque de sentido
opuesto). Quiere decir que tiene la misma energía cinética inicial y final, y que por tanto
el cuerpo “conserva su capacidad de hacer trabajo”. Las fuerzas gravitatorias, por tanto,
son conservativas.
Un tipo de fuerzas conservativas muy importantes son las fuerzas centrales, como es el
caso de las gravitatorias y eléctricas. (Fuerzas centrales son aquellas cuya dirección pasa
por un punto llamado centro de fuerzas y su módulo depende de la distancia al centro de
fuerzas)
Ejemplo: Calcular el trabajo que la fuerza peso realiza para llevar un cuerpo de 2Kg
desde el punto A hasta el B siguiendo los dos caminos de la figura
Siguiendo con el mismo ejemplo, si ahora consideramos que hay rozamiento, la velocidad
de la piedra al llegar será menor que la inicial, lo que quiere decir que su energía cinética
es menor y por tanto que el rozamiento es una fuerza disipativa o no conservativa.
En general el trabajo realizado por una fuerza F al llevar un cuerpo del punto A al B
depende del camino seguido. “Decimos que una fuerza es conservativa cuando el trabajo
que realiza para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B es independiente del
camino seguido y solamente depende de la posición de los puntos inicial y final”. Por tanto
si el trabajo lo hace una fuerza conservativa podemos poner que:
WA → B,c1 = WA → B,c 2
como al cambiar los límites de integración la integral cambia de signo, podemos escribir:
WA → B,c1 + WB→ A ,c 2 = 0
también se escribe:
o bien, como el camino no importa
WA → B + WB→ A = 0
r r
∫ F • dr = 0
Quiere decir que “el trabajo realizado por una fuerza conservativa a lo largo de una
trayectoria cerrada es nulo”. Fíjate como en la segunda expresión no hemos indicado el
camino seguido, puesto que al tratarse de una fuerza conservativa el trabajo es
independiente de la trayectoria seguida.
Resumiendo, podemos definir a las fuerzas conservativas diciendo:
•
•
Aquellas que al llevar un cuerpo de un punto A hasta otro B, realizan un trabajo
que no depende el camino seguido: WA → B ,c1 = WA → B,c 2 , sino que solamente de la
posición de los puntos inicial y final.
Aquellas que al recorrer una trayectoria cerrada hacen un trabajo nulo:
r r
∫ F • d r = 0 (Quiere decir que el trabajo es nulo cuando parten de un punto y,
siguiendo una trayectoria cualquiera, vuelven al mismo punto.)
Son fuerzas conservativas, obviamente las que cumplen con esas definiciones, pero a
título indicativo diremos que son fuerzas conservativas todas aquellas que no dependen
del tiempo o de la velocidad, es decir, son conservativas las fuerzas que sean constantes
(a excepción de la de rozamiento) y también aquellas que dependen de una coordenada y
actúan a lo largo de ella, como por ejemplo la fuerza elástica de un resorte.
Lo primero de todo será dibujar la fuerza peso, que “siempre” vayamos por donde
vayamos es la misma: tiene un módulo de P=mg=20New y la dirección vertical hacia
r
r
abajo (en forma vectorial sería P = −20 j ). El trabajo por cada camino (teniendo en
cuenta que la fuerza peso puede considerarse constante y podremos aplicar la definición
particular de trabajo) es:
WA→B por el camino 1 será igual al WA→P + WP→B
• WA→P = F.s.cosα = 20.4.cos90 =0
• WP→B = F.s.cosα = 20.3.cos180 = –60 J
• WA→B = WA→P + WP→B = 0 +(– 60) = –60 J
Observa que en el tramo de A→P el trabajo es nulo porque la fuerza peso es
perpendicular al desplazamiento, mientras que en el tramo P→B el trabajo resulta
negativo porque la fuerza y el desplazamiento forman 180º. (El signo menos indica
que la fuerza Peso nunca realizará ese trabajo, sino el contrario)
WA→B por el camino 2
• WA→P = F.s.cosα = 20 ⋅ 5 ⋅ cos126,87 = – 60J
Donde hemos tenido en cuenta que el espacio, de acuerdo
con el teorema de Pitágoras, es s = 4 2 + 3 2 = 5
El ángulo que forma la fuerza y el desplazamiento es
126,87º. Es igual a β+90, donde β = arctg3 / 4 = 36,87º
A la misma conclusión llegaríamos si la trayectoria fuese
cualquier otra, porque siempre podríamos descomponerla en un trozo infinitesimal
r
r
horizontal (a través del cual el trabajo sería nulo porque P ⊥ d r ) y otro vertical (donde el
r
r
trabajo elemental sería P • dy j ).
ENERGÍA POTENCIAL
Imaginemos una maceta en lo alto de un balcón. Como consecuencia de su posición “en
un campo de fuerzas conservativo como el gravitatorio”, tiene una cierta energía
acumulada que puede convertir en trabajo en cualquier momento. Lo mismo podríamos
decir para el caso de un resorte que se encuentra desplazado respecto de su posición de
equilibrio, dado que las fuerzas elásticas también son conservativas.
Puesto que el trabajo realizado por una fuerza conservativa para llevar un cuerpo desde un
punto A hasta otro B es independiente del camino seguido y solamente depende de la
posición de los puntos, a esos puntos podemos asignarle una energía llamada potencial que
es función de la posición. Por definición, “el trabajo que hace una fuerza conservativa para
llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B es igual a menos la variación de energía
potencial entre esos puntos”:
1
1
WA→B,F.Conservativa = Ep A − Ep B = Kx 2A − Kx 2B
2
2
Fuerza elástica resorte
4. No tiene ningún sentido hablar de energía potencial en un punto o energía potencial
absoluta. De acuerdo con su definición como “el trabajo realizado por la fuerza
conservativa para llevar un cuerpo de un punto A hasta otro B …” vemos claramente
que solamente puede hablarse de variación de energía potencial entre dos puntos.
5. No obstante, puede definirse energía potencial absoluta asignando valor cero a la
energía potencial de un punto cualquiera. La elección del punto cuya Ep=0 es
absolutamente arbitraria. Normalmente en el campo gravitatorio y el eléctrico se suele
asignar valor cero a la Ep en el infinito (por la razón que ya veremos). En el caso de un
resorte se le asigna Ep=0 a la energía que tiene en la posición de equilibrio.
Br
r
WA→B,F.Conservativa = −∆Ep = Ep A − Ep B = ∫ FF.Conserv • d r
A
WA → B ,F.Conservati va = − ∆Ep = Ep A − Ep B
El signo menos indica que la fuerza conservativa del campo hace trabajo espontáneo o
real (trabajo positivo) cuando desplaza el cuerpo desde los puntos de mayor energía
potencial a los puntos con menor energía potencial. Dicho de otra forma, cualquier cuerpo
sometido a la acción de una fuerza conservativa se mueve espontáneamente desde los
puntos de mayor energía potencial a los puntos con menor energía potencial. (Observa
que WA →B,F.Conserv .Campo = + cuando EpA > EpB)
Propiedades de la energía potencial:
1. Es una energía que posee un cuerpo debida a la posición que ocupa en un campo de
fuerzas conservativas, o dicho de otra forma, es una energía que depende de la
separación entre las partículas que interaccionan.
2. De lo anterior se deduce que la Ep es una magnitud asociada a la interacción entre
dos cuerpos. Quiere decir que una masa no tiene Ep a menos que esté cerca de otra masa
como la tierra, es decir, que un cuerpo, por el simple hecho de moverse tiene asociada
una energía cinética, pero no tiene porqué tener energía potencial
3. La expresión de la energía potencial depende del tipo de fuerza conservativa. Como
demostraremos más adelante:
WA → B,F.Conservati va
= Ep A − Ep B = mg h A − mg h B
Campo Gravitator io
puntos próximos a la Tierra
WA →B,F.Conservativa
= Ep A − Ep B = −G
Campo Gravitator io
entre dos puntos cualquiera
WA → B,F.Conservati va = Ep A − Ep B = K
Campo Eléctrico
M⋅m
M⋅m
− −G
rA
rB
q ⋅ q´
q ⋅ q´
−K
rA
rB
Si hacemos Ep B = 0
Si a la energía potencial del cuerpo en el punto B (o el A) le asignamos, por acuerdo, el
valor cero, entonces podríamos hablar de energía potencial absoluta en el punto A (o el
B) aunque en realidad sigue siendo una diferencia de energía potencial entre el punto y
el otro al que hemos asignado cero.
En los problemas de mecánica es corriente asignarle cero a la energía potencial en la
superficie de la tierra (aunque sea más riguroso asignar Ep ∞ = 0 ). Así, la energía
potencial de un gato en lo alto de un balcón sería: Ep = mgh como demostraremos más
adelante.
6. En un campo de fuerzas conservativas el trabajo que hacemos nosotros para llevar, contra
las fuerzas del campo y sin aceleración, un cuerpo desde un punto A hasta otro B no se
pierde, sino que queda acumulado en forma de energía potencial. Así podemos decir que “el
trabajo que hacemos nosotros para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B, contra
las fuerzas del campo y sin aceleración, es igual a la variación de energía potencial entre
esos puntos”
WA → B ,nosotros = Ep B − Ep A = ∆Ep = −WA → B, F.Conserv .Campo
Es lógico que el trabajo que hacemos (en contra de la fuerza conservativa para llevar el
cuerpo sin aceleración desde un punto a otro) sea igual al que hace la fuerza conservativa,
pero con distinto signo, ya que para que el cuerpo se mueva sin aceleración la fuerza que
debemos hacer debe ser exactamente igual a la conservativa pero en sentido contrario.
Así pues, el trabajo realizado por nosotros para deformar el muelle una distancia x queda
almacenado en forma de energía potencial elástica. Si soltamos el muelle él volverá a la
posición de equilibrio y realizará el mismo trabajo que hicimos para deformarlo. En otras
palabras nos devuelve el trabajo que hicimos nosotros para deformarlo. (exactamente
igual podríamos decir de la maceta en el balcón.)
Hay que recalcar que los trabajos, aunque sean iguales en valor, son realizados por
fuerzas distintas, así como que la fuerza que hacemos nosotros no es conservativa:
•
•
para subir, sin aceleración, la maceta al balcón o comprimir el resorte, nosotros
hemos de realizar una fuerza contraria al peso, o contraria a la fuerza
recuperadora en el caso del muelle.
cuando soltamos la maceta, el trabajo lo realiza ahora la fuerza conservativa: la
fuerza gravitatoria (el peso), o la fuerza recuperadora en el caso del muelle.
Quiere decir que ahora el trabajo que hicimos y estaba acumulado en Ep nos lo
devuelve el sistema.
Imagina que para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B nosotros hacemos
un trabajo de 10 Julios (por ejemplo para subir un cuerpo hasta una determinada
altura), entonces, si en el punto A tenía una energía potencial x, en el punto B tendrá
una energía potencia x+10 :
Ejemplo: Demuestra que el trabajo realizado por nosotros, contra las fuerzas del campo
y sin aceleración, queda almacenado en forma de energía potencial y es igual al trabajo
que nos devuelve la fuerza conservativa. a) Para las fuerzas elásticas de un resorte b)
Para el peso en las inmediaciones de la superficie terrestre.
Ya hemos dicho que el trabajo para llevar un cuerpo de un punto A hasta otro punto B
que hace la fuerza conservativa y el que hacemos nosotros (para llevarlo sin aceleración)
son iguales aunque de signo contrario. Eso es evidente ya que la fuerza que debemos
hacer nosotros es exactamente igual a la conservativa pero en sentido contrario.
Por otro lado, el trabajo que hace cualquier fuerza (sea la que sea) para llevar un cuerpo de
un punto A hasta otro B es igual y de signo contrario al que hace para regresarlo desde B
hasta A por el mismo camino (o por cualquier otro camino si la fuerza es conservativa). (Es
una propiedad de las integrales definidas: si cambiamos los límites de integración el
resultado es el mismo cambiado de signo.)
De acuerdo con esto y con lo anterior tendremos que WA→B,nosotros = WB→ A ,F.Conserv .Campo
a) Caso del resorte:
Supongamos un resorte como el de la figura, que sigue la ley de Hooke. Para deformarlo
hemos de aplicar una fuerza exactamente igual a la fuerza recuperadora del muelle y de
r
r
sentido contrario, es decir que Fnosotros = kx ⋅ i mientras que al soltarlo quien trabaja es la
r
r
fuerza recuperadora elástica que vale Fresorte = −kx ⋅ i . Por otro lado como el
r
r
desplazamiento es según el eje X, el vector desplazamiento será: d r = dx ⋅ i
Recuerda que aunque la fuerza que hacemos nosotros para llevar el cuerpo “sin
aceleración” sea igual en módulo a la fuerza conservativa peso, no por eso la fuerza que
hacemos es conservativa. (Un Seat Panda puede ir por una carretera a la misma
velocidad que un Mercedes y no por eso el Panda es un Mercedes.)
(
)
Br
r
r B
r B
1
1
WA → B,nos = ∫ Fnos • d r = ∫ kx ⋅ i • dx ⋅ i = ∫ kx ⋅ dx = kx 2 BA = k x 2B − x 2A
2
2
A
A
A
Ar
r
r A
r A
1 2 A 1
WB→A ,resort = ∫ Fresort • d r = ∫ − kx ⋅ i • dx ⋅ i = ∫ − kx ⋅ dx = − kx B = k x 2B − x 2A
2
2
B
B
B
(
)
Como vemos el trabajo realizado por el niño para cargar la pistola queda guardado en
forma de EP y es igual al trabajo que la fuerza elástica del resorte hace para llevarlo de
nuevo del punto B al A.
b) Caso del campo gravitatorio, en puntos próximos a la superficie terrestre:
r
escalar de la fuerza, tanto de la que hacemos nosotros que tiene dirección j como de la
r
que hace el campo, que tiene dirección − j por el vector desplazamiento nos quedaría
r r
lo mismo, ya que como sabemos i • j = 0 porque son vectores perpendiculares y el
coseno de 90º es nulo.
Por ahora nos limitaremos a demostrar para puntos próximos a la superficie terrestre
(donde el valor de g podemos considerarlo constante) el trabajo realizado por nosotros
para llevar una masa de un punto A hasta otro B queda acumulado en forma de Ep y es
igual al trabajo que el campo gravitatorio hace para llevarlo de nuevo del punto B al A.
Ejemplo: Un cuerpo de 20 Kg se encuentra en la base de un plano inclinado 30º sobre
la horizontal, sin rozamiento. Un hombre tira de él y lo sube hasta una altura de 1,5 m.
a) con qué fuerza debe tirar el hombre para subirlo con velocidad constante
b) que trabajo realiza
Podría preguntarse ¿porqué si hemos recorrido un ciclo completo el trabajo en el ciclo
no es nulo? La respuesta es muy simple, porque los trabajos no están hechos por la
misma fuerza, ya que en el primer caso la hacemos nosotros y en el segundo el resorte.
Para subir, sin aceleración, el cuerpo desde al punto A al B tenemos que hacer una
r
r
fuerza exactamente igual al peso y de sentido contrario, es decir que Fnos = mg ⋅ j ,
mientras que para ir desde el punto B al A es la fuerza del campo gravitatorio (el peso)
r
r
la que lo lleva y por tato la que realiza el trabajo Fcampo = −mg ⋅ j . Por otro lado, en este
r
r
caso como nos movemos sobre el eje Y, el vector desplazamiento es: d r = dy ⋅ j
Ya resolvimos este mismo ejemplo mas arriba por métodos dinámicos, ahora lo
resolveremos teniendo en cuenta que el trabajo que hace el hombre para llevar el cuerpo
desde el punto A hasta el B es igual a la diferencia de energía potencial. Además si
consideramos el nivel cero de energía potencial en el punto mas bajo, el A, entonces:
WA →B,nosotros = ∆Ep = Ep B − Ep A = mgh B = 20 ⋅ 10 ⋅ 1,5 = 300Julios
r
r
r
r
WA →B,nos = ∫ Fnos • d r = ∫ mg ⋅ j • dy ⋅ j = ∫ mg ⋅ dy = mgy BA = mgh B − mgh A = mgh
B
A
B
B
A
A
r
r A
r
r A
= ∫ Fcampo • d r = ∫ − mg ⋅ j • dy ⋅ j = ∫ − mg ⋅ dy = − mgy
A
WB→A ,campo
B
B
A
B
= mgh B − mgh A = mgh
Ejemplo: Calcular la variación de energía potencial que experimenta un cuerpo de
70Kg, cuando lo trasladamos desde el punto A(1,2) hasta otro B(5,10).
B
Fíjate que en este ejemplo hemos llevado el cuerpo desde el punto A hasta el B
siguiendo la vertical, pero sería igual si hubiésemos seguido otro camino cualquiera:
B
r
r
r
r
r B
∆Ep = WA → B,nosotros = ∫ Fnosotros • d r = ∫ mg ⋅ j • (dx i + dy j ) = mg ⋅ y
A
y =10
y=2
= 70 ⋅ 10 ⋅ (10 − 2) = 5600 J
A
Evidentemente, podríamos haber resuelto como ∆Ep = mgh B − mgh A
Si tomamos nivel cero de Ep en y=0 tendremos ∆Ep = mgh B − mgh A = mg10 − mg 2 = 5600J
Si tomamos nivel cero de Ep en y=2 (que es el punto más bajo) ∆Ep = mgh B − mgh A = mg8 = 5600J
Como puedes ver el resultado es independiente del nivel cero de Ep porque la energía
potencial es un escalar y se trata de restar la Ep que hay en dos puntos.
En efecto, el resultado sería exactamente el mismo. En este caso al movernos en dos
r
r
r
dimensiones el vector desplazamiento sería d r = dx ⋅ i + dy ⋅ j . Al realizar el producto
FORMA GENERAL DEL PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGIA
De acuerdo con el teorema del trabajo y la energía cinética, el trabajo realizado por la
fuerza resultante de todas las fuerzas (sean conservativas o no) para llevar el cuerpo
desde un punto A hasta otro B es igual a la variación de energía cinética entre esos
puntos: WA → B ,Todas las fuerzas = ∆Ec o bien podríamos escribirlo como:
WA →B,campo + WA → B
F.Conservati vas
dirección de la cuesta) tendremos que el trabajo del motor se invirtió en
aumentar la energía potencial del coche ∆Ep = WA → B
. Si sube,
F. NoConservat
aumentando de velocidad, tendremos que el trabajo del motor se invirtió en
aumentar la energía potencial del coche y en aumentar su energía cinética:
∆Ec + ∆Ep = WA →B
F. NoConserva t
= ∆Ec
F. NoConservat
Principio de conservación de la energía mecánica
Por otro lado, como por definición, “el trabajo que hacen las fuerzas conservativas para
llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B es igual a menos la variación de energía
potencial entre esos puntos”, podemos poner que
WA →B,campo = −∆Ep
Es una particularización del principio general de conservación de la energía, que dice,
que si sobre un cuerpo “solamente actúan fuerzas conservativas” entonces se conserva
la energía mecánica. Resulta evidente, ya que si todas las fuerzas son conservativas
WA → B
=0
F. NoConservat
F.Conservati vas
Así que restando nos queda que
∆Ec + ∆Ep = 0
∆Ec + ∆Ep = WA →B
F. NoConserva t
o lo que es igual:
o bien que:
Ec A + Ep A = Ec B + Ep B = E = const
Ec A + Ep A + WA → B
= Ec B + Ep B
F. NoConservat
Eso quiere decir que la energía mecánica al final puede ser mayor o menor que la
inicial. Todo depende del signo del trabajo de las fuerzas no conservativas, es decir del
sentido de las fuerzas no conservativas:
•
En el caso más frecuente de que se trate de las fuerzas de rozamiento la energía
al final siempre será menor que la inicial, puesto que la fuerza de rozamiento
tiene sentido contrario al desplazamiento y en consecuencia el trabajo que
realiza siempre es negativo (al llevar sentido contrario al desplazamiento el
r r
r
r
producto escalar FRoz • d r resulta negativo − i • i = −1 ).
Ec A + Ep A + WRoz = Ec B + Ep B
•
En el caso de que sobre el cuerpo actúe una fuerza no conservativa en la
dirección del desplazamiento la energía mecánica al final es mayor que la
inicial. Es el caso de cuando un coche sube acelerando por una cuesta. El trabajo
realizado por el motor del coche es responsable que el arriba tenga más energía
que al principio.
Ec A + Ep A + WMotor = Ec B + Ep B
Si observas bien la expresión ∆Ec + ∆Ep = WA → B
verás que arriba de la
F. NoConservat
cuesta el coche tiene mayor energía tanto si sube con velocidad constante como
si aumenta de velocidad mientras sube. Lógico, ya que en ambos casos el motor
debe realizar trabajo. Si sube, con velocidad constante, (para que ΣF=0 el motor
debe ejercer la fuerza necesaria para compensar a la componente del peso en
Nos dice que “Si todas las fuerzas que actúan sobre la partícula son conservativas, la
suma de la energía cinética y potencial es igual para cualquier punto”. A la suma de Ec
y Ep se le llama energía mecánica.
Este teorema que viene a decir que la Ec y Ep pueden variar de unos puntos a otros, pero
que su suma (la energía mecánica) permanece constante, dicho de otra forma, como
∆Ec + ∆Ep = 0 si aumenta la energía cinética (∆Ec↑) eso implica que disminuya la
potencial (∆Ep↓), como ocurre cuando un cuerpo cae en caída libre o desliza por un plano
inclinado “sin rozamiento”.
Ejemplo: Una niña se tira por un tobogán desde una altura de 2 metros.
a) ¿Con qué velocidad llegaría abajo si despreciamos el rozamiento?
b) ¿Con qué velocidad llegaría abajo suponiendo que el coeficiente de rozamiento es 0,5.?
a) Teniendo en cuenta que no hay rozamiento y el resto de las fuerzas son conservativas,
podemos aplicar el teorema de conservación de la energía mecánica. La energía
potencial que la niña tiene arriba se transformará en cinética cuando llegue abajo. Es
decir, de acuerdo con la conservación de la energía mecánica ∆Ec + ∆Ep = 0 la
disminución de energía potencial (∆Ep↓) debe ser exactamente igual al aumento de su
energía cinética (∆Ec↑)
Ec A + Ep A = Ec B + Ep B
⇒
mgh A +
1
1
mv 2A = mgh B + mv 2B
2
2
v A = 2 g h A = 2 ⋅ 10 ⋅ 2 = 4,47m / s
Como vemos, al no haber rozamientos el resultado es el mismo que si la niña cayera en
caída libre desde esa altura. Lógico porque al tratarse de fuerzas conservativas el trabajo
que realizan al llevar el cuerpo de un punto a otro es independiente del camino seguido.
Ejemplo:
¿Con qué velocidad hemos de lanzar una piedra para que llegue hasta una altura h?
Vamos a resolver este sencillo ejercicio, con todo cuidado, para reparar en la forma de
aplicar el principio de conservación de la energía. Presta atención porque es bastante
sutil.
1º Lo habitual es suponer “que ya le hemos comunicado a la piedra la velocidad
necesaria, vo”.
En este caso la piedra tendría una Ec y comenzaría a subir: El aumento de energía
potencial (∆Ep↑) se consigue a costa de disminuir energía cinética (∆Ec↓)
Si despreciamos el rozamiento contra el aire se conservaría la energía mecánica porque
la única fuerza sobre la piedra es el peso, que es conservativa:
∆Ec + ∆Ep = 0
→
b) Cuando hay rozamiento (que una fuerza no conservativa) ya no se conserva la energía
mecánica, pero sí que se conserva la energía total. Como la fuerza de rozamiento es
constante, su trabajo podemos obtenerlo como con la expresión particular:
WA →B
= FRoz ⋅ s ⋅ cos α = ( mg cos 30 ⋅ µ) ⋅ s ⋅ cos180
1
m v 2o = m g h
2
de donde v o = 2 g h
F. NoConservat
F. Rozamiento
Ec A + Ep A + WA → B
= Ec B + Ep B
F. NoConservat
mgh A + (mg cos 30 ⋅ µ) ⋅ s ⋅ cos 180 =
1
mv 2B
2
Ec Suelo + Ep Suelo = Ec h + Ep h
2. Supongamos ahora que estamos en el instante inmediatamente anterior: “Cuando la
piedra aun estaba parada sobre el suelo”. Si no hacemos nada por ella, parada seguiría.
Para que la piedra comience a subir debemos comunicarle una energía mediante una
fuerza que hacemos nosotros y que NO es conservativa. Por tanto, entre el momento en
que la piedra está parada y el que está a una altura h, no se conserva la energía
mecánica, aunque sí se conserva la energía total:
∆Ec + ∆Ep = WA → B
→
Ec Suelo + Ep Suelo + WA → B
F. NoConservat
v B = 2,31m / s
= Ec h + Ep h
F. NoConservat
Si el trabajo realizado por la fuerza no conservativa
se lo comunicamos en forma de
WA → B
F. NoConservat
Como vemos, de acuerdo con la conservación de la energía total ∆Ec + ∆Ep = WA → B
energía cinética, tendremos que:
F. NoConservat
la disminución de energía potencial (∆Ep↓) se emplea en parte en aumentar la energía
cinética (∆Ec↑) y otra parte se pierde en rozamiento transformándose en calor.
1
2
m v que
le propina = Ep h
2
la FNCons
de donde v que le propina = 2 g h
la FNCons
Ejemplo: Cuando sobre un muelle helicoidal, situado verticalmente sobre una mesa,
colocamos una masa de 1Kg, éste se comprime 2cm. Calcular la deformación que
experimentaría el muelle si le dejamos caer la misma masa desde una altura de 1m.
Con el primer dato y aplicando la ley de Hooke calcularemos la constante de
recuperación del muelle. (teniendo en cuenta que le fuerza que deforma al muelle es el
peso de la masa):
mg 1 ⋅ 10
⇒
F = kx
k=
=
= 500N / m
x
0,02
Balance de energías:
Punto A: toda la energía es potencial gravitatoria (Ec=0 porque está parado y la Epelástica=0
porque el muelle está relajado).
Tramo AB: a medida que desciende ∆Epgravitat↓, ∆Ec↑ y ∆Epelástica=0 porque el muelle sigue igual.
Punto B: casi toda la energía inicial se ha transformado en Ec pero aun le queda un poco
de Epgravitat (mghA = EcB+mghy).
Tramo BC: al chocar con el muelle comienza a comprimirlo acumulándose toda la energía
que tiene en potencial elástica: ∆Epgravitat↓, ∆Ec↓ y ∆Epelástica↑.
Punto C: toda su energía es potencial elástica (Ec=0 porque está parado y la Epgravitat=0
porque ha llegado al nivel cero de Ep gravitatoria.)
Aplicaremos el principio de conservación entre el
punto A y C, porque de esta forma toda la energía
potencial gravitatoria se transforma en energía
potencial elástica:
∆Ec + ∆Epgravitat + ∆Epelástica =0
Ec A + Ep gravit , A + Ep elast ,A = Ec C + Ep gravit ,C + Ep elast ,C
mgh A =
1 2
ky
2
1 2
ky
2
⇒
mg(1 + y) =
y = 0,2m
Ejemplo: Un bloque de 3Kg, que parte del reposo,
desliza 7,6m hacia abajo por un plano inclinado 20º
sobre la horizontal y continua recorriendo 2,75m
por un plano horizontal, hasta que choca con un
resorte y finalmente se detiene después de
comprimirlo 15cm, como se muestra en la figura.
Calcular la constante elástica del muelle sabiendo
que el coeficiente de rozamiento es 0,2.
Si tenemos en cuenta que la energía potencial que el bloque tiene arriba, punto (A),
menos la que pierde en rozamientos debe ser igual a la energía potencial elástica del
resorte al final (D)
Aplicando la conservación de la energía entre la posición inicial y final tenemos que:
Ec A + Ep gravit ,A + Ep elast ,A + WA → B
= Ec D + Ep gravit ,D + Ep elast , D
F. NoConservat
1
Kx 2
2
1
3 ⋅ 10 ⋅ 2,6 − [3 ⋅ 10 cos 20 ⋅ 0,2 ⋅ 7,6 + 3 ⋅ 10 ⋅ 0,2 ⋅ (2,75 + 0,15)] = K ⋅ 0,15 2
2
K = 1576 N / m
mgh A + (µ mg cos 20 ⋅s ⋅ cos 180 + µ mg ⋅s´⋅ cos 180) =
E2B.S2011
a) Energía potencial asociada a una fuerza conservativa.
b) Una partícula se desplaza bajo la acción de una fuerza conservativa. ¿Aumenta o
disminuye su energía potencial? ¿Y su energía cinética? Razone las respuestas.
a) Teoría
b) Cualquier partícula bajo la acción de una fuerza conservativa se mueve
espontáneamente hacia donde la energía potencial es menor, ya que por definición
WA → B ,F.Conservati va = − ∆Ep = Ep A − Ep B . (Eso precisamente es lo que indica el signo menos)
De acuerdo con el principio de conservación de la energía mecánica, ∆Ec + ∆Ep = 0 , la
disminución de energía potencial exige que aumente la energía cinética.
Es lo que ocurre cuando cae una piedra: La piedra se mueve bajo la acción de la fuerza
conservativa peso hacia donde disminuya su energía potencial (EpB<EpA) y al hacerlo aumenta
su energía cinética (EcB>EcA)
E6B.S2011
a) Conservación de la energía mecánica.
b) Se lanza hacia arriba por un plano inclinado un bloque con una velocidad v0.
Razone cómo varían su energía cinética, su energía potencial y su energía mecánica
cuando el cuerpo sube y, después, baja hasta la posición de partida. Considere los casos:
i) que no haya rozamiento; ii) que lo haya.
a) Teoría
b) Si no hay rozamiento se conservará la energía mecánica, ∆Ec + ∆Ep = 0 . Si el
bloque sube por el plano aumentará su energía potencial gravitatoria y la conservación
de la energía mecánica exige que disminuya en la misma cantidad la energía cinética.
(Ello explica que a medida que asciende el bloque vaya disminuyendo de velocidad
hasta pararse, en cuyo momento toda la energía cinética inicial se habrá transformado en
potencial)
Cuando hay rozamiento ya no se conserva la energía mecánica, aunque sí la energía
total, ∆Ec + ∆Ep = WA → B
. Ahora la disminución de Ec se invierte en parte en
F. NoConservat
trabajo contra la fuerza de rozamiento (WF.No.Conserv es negativo) y el resto en aumentar
la energía potencial. Naturalmente, como ahora solamente una parte de la energía
cinética se emplea en aumentar la energía potencial el bloque subiría hasta una altura
menor que cuando no había rozamiento y la totalidad de la Ec se convertía en Ep.
E5B.S2011
Un bloque de 200 kg asciende con velocidad constante por un plano inclinado 30º
respecto a la horizontal bajo la acción de una fuerza paralela a dicho plano. El
coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0,1.
a) Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre el bloque y explique las
transformaciones energéticas que tienen lugar durante su deslizamiento.
b) Calcule el valor de la fuerza que produce el desplazamiento del bloque y el aumento
de su energía potencial en un desplazamiento de 20 m.
g = 10 m s−2
a) Si el bloque asciende con velocidad constante quiere decir, de acuerdo con la 1ª ley
de Newton, que la fuerza resultante sobre el bloque es nula.
Sobre el bloque hay 4 fuerzas: el peso, la reacción del plano, la fuerza de rozamiento y la
fuerza F paralela al plano (que es la que debe compensar a la fuerza de rozamiento y a la
componente del peso en dirección del plano para que el bloque se mueva con velocidad
constante).
Transformaciones energéticas: Puesto que hay rozamiento no se conserva la energía
. Como la velocidad es
mecánica, aunque sí la energía total, ∆Ec + ∆Ep = WA → B
F. NoConservat
constante ∆Ec=0, el aumento de energía potencial se debe íntegramente al trabajo
realizado por la fuerzas no conservativas, es decir al trabajo realizado por la fuerza F y
al la FRoz. Puesto que el trabajo que hace la FRoz es negativo, la fuerza F debe realizar el
trabajo necesario para aumentar la Ep y para compensar el que se pierde en rozamiento.
r
r
b) La fuerza F paralela al plano, para que suba con velocidad constante, es F = 1173,2 i
El aumento de energía potencial para un desplazamiento de 20m, o lo que es igual para
un ascenso de h=20.sem30=10 m, podemos calcularlo de tres formas:
* Aplicando directamente la ecuación de la energía potencial gravitatoria. Tomando
nivel cero de energía potencial en el punto más bajo del plano:
∆Ep = Ep B − Ep A = mgh B − mgh A = 200 ⋅ 10 ⋅ 10 = 20000J
* Aplicando la conservación de la energía: ∆Ec + ∆Ep = WA →B
En este caso las
F. NoConserva t
fuerzas no conservativas son la fuerza de rozamiento y la que hacemos paralela al plano:
∆Ec + ∆Ep = WA → B, F.Rozamiento + WA → B,F
∆Ec + ∆Ep = FRoz ⋅ s ⋅ cos180 + F ⋅ s ⋅ cos 0
∆Ec + ∆Ep = 173,2 ⋅ 20 ⋅ (−1) + 1732 ⋅ 20 ⋅ 1 = 20000 J
Observa, una vez más, que al utilizar la expresión particular del trabajo para fuerzas
constantes, al sustituir el valor de las fuerzas escribimos su módulo, por eso al sustituir
la fuerza de rozamiento no se puso el signo menos que tiene en su forma vectorial.
* Aplicando la definición de energía potencial: “el trabajo que una fuerza conservativa
para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B es igual a menos la variación de
energía potencial entre esos puntos”: WA → B,F.Conservati va = − ∆Ep
r
r
r
Teniendo en cuenta que en este caso la fuerza conservativa es el peso: P = −1000 i − 1732 j
y que solamente la componente Px realiza trabajo (porque la componente Py es perpendicular al
desplazamiento), tenemos que:
Respecto de un SR con el eje X paralelo al plano, las fuerzas en forma de vector serían:
r
r
r
r
r
P = − mg sem 30 i − mg cos 30 j = −1000 i − 1732 j
r
r
r
N=
mg cos 30 j =
+ 1732 j
r
r
r
= − 173,2 i
FRoz = − mg cos 30 ⋅ µ i
r r
r
F=F
=F
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
r
r r
ΣF = F − 1173,2 i
r
Como v =constante
r
r r
→ ΣF = F − 1173,2 i = 0
r
r
→ F = 1173,2 i
WA →B,F.Conservativa = − ∆Ep
Px ⋅ s ⋅ cos180 = − ∆Ep
1000 ⋅ 20 ⋅ ( −1) = − ∆Ep
(La componente x del peso forma 180º con el desplazam.)
→ ∆Ep = 20000 J
Por supuesto, también podríamos utilizar para el peso su módulo total, es decir, P=mg,
pero en tal caso tendríamos que tener en cuenta que el ángulo que forma el peso con el
desplazamiento es de 240º (observa la figura).
(El peso forma 240º con el desplazamiento)
P ⋅ s ⋅ cos 240 = −∆Ep
2000 ⋅ 20 ⋅ ( −0,5) = − ∆Ep → ∆Ep = 20000 J
Al mismo resultado llegaríamos si calculamos el trabajo que hace el peso aplicando la
definición general de trabajo:
WA →B,F.Conservativa = − ∆Ep
r
r
r x = 20
B
WA →B,Peso = ∫ ( −1000 i − 1732 j ) • dx i = ∫ − 1000dx = −20000 = − ∆Ep
x =0
A
E4A.S2011
Un bloque de 2 kg se encuentra situado en la parte superior de un plano inclinado
rugoso de 5 m de altura. Al liberar el bloque, se desliza por el plano inclinado llegando
al suelo con una velocidad de 6 m s−1.
a) Analice las transformaciones energéticas que tienen lugar durante el deslizamiento y
represente gráficamente las fuerzas que actúan sobre el bloque.
b) Determine los trabajos realizados por la fuerza gravitatoria y por la fuerza de
rozamiento.
g = 10 m s−2
a) Transformaciones energéticas: Puesto que hay rozamiento no se conserva la energía
mecánica, aunque sí la energía total, ∆Ec + ∆Ep = WA → B
. Al descender disminuye la
F. NoConservat
energía potencial gravitatoria y esa disminución se emplea en aumentar su energía cinética y en
trabajo en rozamiento (ten en cuenta que siempre el trabajo que hace la fuerza de rozamiento es
negativo y por tanto en la expresión anterior sería como ∆Ec ↑ + ∆Ep ↓ + WA → B,F.Roz = 0 )
Seguramente ahora verás con mayor claridad las transformaciones energéticas que
tienen lugar, ya que de la ecuación se deduce claramente que la energía inicial (100 J,
toda potencial) se ha transformado en cinética (36 J) y en trabajo en rozamiento (−64 J)
El trabajo realizado por la fuerza peso es de +100 Julios, ya que la fuerza peso es la única
fuerza conservativa y por definición de variación de energía potencial tenemos que
WA → B,F.Conservati va = WA → B, F.Peso = − ∆Ep = −(−100) = +100 J
(ten en cuenta que ∆Ep =EpB – EpA = 0 – 100 = − 100 J)
También podríamos calcular el trabajo realizado por la fuerza peso aplicando la
definición de trabajo particularizada para fuerzas constantes, y teniendo en cuenta que
solamente realiza trabajo la componente del peso que tiene la dirección del
desplazamiento, es decir la componente Px = mgsenα.
WA →B,Peso = Px ⋅ s ⋅ cos 0 = mg senα ⋅
Sin embargo calcular el trabajo perdido en rozamiento utilizando la definición de
trabajo WA →B,F.Roz = FRoz ⋅ s ⋅ cos180 es bastante más laborioso que como lo hemos
resuelto aplicando la conservación de la energía, porque nos obliga a calcular el valor de
la FRoz utilizando métodos dinámicos.
La fuerza de rozamiento tendríamos que obtenerla aplicando la segunda ley de Newton
y las ecuaciones del movimiento rectilíneo y uniforme:
mg senα − FRoz = m a
v = at
1
s = a t2
2
5
s=
senα
y si tomamos nivel cero de energía
F. NoConservat
potencial en el punto B, por ser el más bajo, podemos poner que:
= Ec B + Ep B
F. NoConserva t
mgh A + WA →B
F. NoConserva t
WA → B
=
1
mv 2B
2
→
FRoz = 12,8 senα
Ahora ya podemos sustituir y tendremos:
b) Teniendo en cuenta que ∆Ec + ∆Ep = WA → B
Ec A + Ep A + WA →B
5
⋅ cos 0 = +100 J
senα
2 ⋅ 10 ⋅ 5 + WA → B
F. NoConservat
=
1
2 ⋅ 62
2
= −64 J, lógico ya que en este caso la fuerza no conservativa es la de rozamiento y
F. NoConservat
su trabajo siempre es negativo porque dicha fuerza siempre tiene sentido contrario al
desplazamiento, y en consecuencia forman ángulo de 180º.
WA →B,F.Roz = FRoz ⋅ s ⋅ cos180 = 12,8 senα ⋅
5
⋅ cos180 = −64 J
senα
CONCEPTO DE CAMPO. INTERACCIÓN A DISTANCIA
La interacción entre dos partículas puede hacerse de dos maneras:
•
•
Por contacto entre ellas, que sería el caso de dos bolas que chocan
Por acción a distancia, esto es, perturbando las propiedades del medio donde se
encuentran las partículas. Supongamos a la tierra como una masa aislada,
decimos que ella crea un campo (campo de fuerzas gravitatorio) porque produce
una perturbación en el espacio que la rodea, de tal manera que si en él
colocamos otra masa, se verá sometida a una fuerza (que le llamamos peso).
Dicho de otra forma, la tierra ejerce una fuerza sobre la otra masa a distancia, sin
necesidad de tocarla.
Para hacernos una idea clara de lo que es un campo, piensa en una fuente sonora, como
una radio. Cuando está en funcionamiento, continuamente emite ondas sonoras que se
propagan por el espacio que la rodea. Podemos decir que en ese espacio hay un campo
de sonido. Ahora vamos a reparar que significa eso:
1. Se necesita un agente que cree el campo. En este ejemplo la radio.
2. En todos los lugares no se percibe la misma intensidad sonora, de manera que si
nos acercamos o alejamos lo oímos más o menos fuerte. En general puede
decirse que un campo es la región del espacio donde se manifiesta una propiedad
física que toma un valor distinto en cada punto.
3. Ya sabemos que la radio crea un campo de sonido, pero ¿cómo sabemos que en
un punto hay campo, hay sonido? Evidentemente la manera de saberlo es
colocar a alguien que no sea sordo o un micrófono. En general diremos que para
probar la existencia de un campo necesitamos un testigo o agente sensible al
campo.
4. El testigo debe ser sensible al campo concreto, dicho de otra forma debe tener la
misma propiedad que el agente que crea el campo. Para probar la existencia de
un campo gravitatorio necesitamos una masa, para un campo eléctrico una carga,
para uno magnético una brújula que no es más que un imán.
5. En el caso de la radio, como comprenderá el sonido producido no llega a todos
los puntos de forma instantánea, sino que lo hará a la velocidad del sonido. En el
caso de los campos gravitatorio y eléctrico la perturbación se propaga a la
velocidad de la luz.
6. Finalmente digamos que el campo creado por un agente no ejerce ninguna
acción sobre él mismo.
Clases de campos
Los campos se clasifican según que la magnitud física sea escalar o vectorial, así
tenemos campos escalares o vectoriales. Si la magnitud física, además de depender de la
posición, dependiera del tiempo al campo se le llama dinámico, y estático si no depende
del tiempo.
A) Campos escalares: Son aquellos en los que la magnitud física que se manifiesta es un
escalar.
Por ejemplo, la densidad de un sólido no homogéneo, como la tierra, puede considerarse
como un campo escalar. Ya sabes que la densidad de la tierra aumenta si nos acercamos
al núcleo, es decir que depende de la posición: ρ=ρ(x,y,z).
Otro campo escalar es la temperatura en la atmósfera, porque en cada punto toma un
valor, ya que depende de la altitud, pero además en este caso se trata de un campo
dinámico, porque los valores en cada punto varían de unos días a otros es decir que
T=T(x,y,z, t). .
Los campos suelen representarse por unas líneas (o también por superficies) obtenidas
uniendo todos los puntos en los que la propiedad física toma el mismo valor, por esa
razón, en los campos escalares, se las llama líneas equiescalares. En algunos casos estas
líneas tienen nombre propio, como en el caso de las temperaturas, donde se llaman
isotermas, o de las presiones, donde se llaman isóbaras.
B) Campos vectoriales: Son aquellos en los que la magnitud física que se manifiesta es
un vector. Los campos gravitatorio y eléctrico son de este tipo, porque en todo punto de
los mismos se puede definir una fuerza cuyo valor es función de la posición en el
campo.
Lo que pasa es que para poner de manifiesto la existencia de esta fuerza es preciso
colocar a un testigo y resulta que el módulo de la fuerza no solo es función de la
posición del punto, sino que también depende de la característica del agente sensible o
testigo.
Convención: En lo que sigue llamaremos M o Q a la masa o carga que crea el campo y
m o q a la masa o carga del testigo, aunque podrían llamarse m y m´
Suponga una masa M (o una carga eléctrica Q) en el origen de un SR. A su alrededor
creará un campo gravitatorio (o un campo eléctrico), de tal forma que si en cualquier
punto del mismo colocamos a un testigo m o q sobre él actuará una fuerza que viene dada
por la ley de gravitación de Newton en el caso de las masas o por la ley de Coulomb en el
caso de las cargas.
r
m ⋅ m´ r
Fgrav = G 2 ( − u r )
r
r
q ⋅ q´ r
Feléctr = k 2 u r
r
La dirección de la fuerza es siempre según la recta que une las cargas (o las masas), por
tanto tiene la misma dirección que el vector de posición de la m o q. En el caso de las
r
masas el sentido siempre es atractivo (en la misma dirección y sentido contrario a r , es
r
decir en la dirección y sentido de − u r ) y en el caso de las cargas depende de sus signos.
1. Coloca al testigo unidad en un
punto, ya que si m´=1Kg o
q´=+1C, fuerza e intensidad de
campo coinciden.
2. Sobre el testigo
aparecerá una fuerza en la
dirección de la recta que
une los centros de las
masas o cargas
3. Si el testigo estuviera
libre se movería dibujando
la línea de campo y
además nos dará el
sentido.
Además se sigue el criterio de dibujar más o menos líneas en función de que la
intensidad de campo sea grande o pequeña.
Siguiendo estos mismos pasos podemos dibujar las líneas de campo para una carga
positiva o negativa obteniendo:
Resulta que la fuerza que actúa sobre el testigo depende de:
•
De la carga o masa que crea el campo (M o Q) y de la posición del punto P, es
decir de la distancia entre las cargas (r). Tanto una como otra son magnitudes
propias del campo.
• Además depende del valor de la masa o carga que hemos colocado como testigo
(m o q)
Para evitar que la fuerza en un punto de un campo dependa del testigo, vamos a definir
una magnitud nueva llamada Intensidad del campo de fuerzas como la fuerza por
unidad de testigo.
•
•
r
La intensidad del campo gravitatorio se representa por g y es la aceleración de
la gravedad, que conoces bien, y se mide en N/m o bien en m/s2.
r
La intensidad del campo eléctrico se representa por E y se mide en N/Coulomb
r
r F
E=
q
En el caso de dos cargas (dipolo) o de dos masas se hace lo mismo, aunque teniendo en
cuenta que en cualquier punto del campo, la fuerza es debida a la suma vectorial que
cada carga o masa hace por separado sobre ella (es lo que más adelante veremos y que
se llama principio de superposición):
r
r F
g=
m
La Intensidad de campo gravitatorio es un vector en la dirección y sentido de la fuerza,
ya que las masas siempre son positivas. En el caso de la intensidad de campo eléctrico
siempre tendrá la misma dirección que la fuerza, pero el sentido dependerá del signo de
q´ (recuerda el producto de un escalar por un vector).
El resultado sería:
LÍNEAS DE FUERZA
El concepto de campo fue introducido por Faraday y a él se le ocurrió además una
forma para visualizarlo mediante unas líneas imaginarias, dibujadas de tal manera que
sean en todo momento tangentes al vector Intensidad de campo (o a la fuerza, que como
sabemos tiene la misma dirección). Para dibujarlas se siguen los pasos:
Propiedades de las líneas de fuerza:
1. Nos dan en todo momento la dirección y sentido de la Intensidad de campo
(precisamente para eso se dibujan)
2. Las líneas de fuerza del campo gravitatorio y del eléctrico no se cierran. Como
puede observarse en las figuras, las líneas de fuerza se inician en las cargas
positivas y terminan en las negativas, por eso a las cargas positivas se las llama
fuentes y a las negativas sumideros, así como las masas.
3. Las líneas de fuerza nunca se cortan. En efecto, ya que la intensidad de campo (y
la fuerza) es tangente a ellas en cada punto, si se cortaran entonces podríamos
dibujar dos tangentes y habría dos fuerzas distintas en el punto, lo que es
absurdo.
Las características de las fuerzas gravitatorias son las propias de las fuerzas centrales:
(Evidentemente el campo eléctrico, al igual que el campo gravitatorio, también es un
campo de fuerzas centrales y para él también podríamos decir todo lo que sigue).
LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Todas las masas en el universo, por el hecho de serlo, se atraen con una fuerza que es
proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia que las separa (medida de centro a centro).
F=G
Las fuerzas gravitatorias son fuerzas centrales ya que al tener la fuerza la dirección de la
recta que une a las masas, siempre pasará por la masa que crea el campo, siendo este
punto el centro de fuerzas.
M⋅m
r2
1) Las fuerzas gravitatorias tienen simetría esférica porque el módulo de la fuerza de
atracción entre dos masas es igual en cualquier punto del espacio que se encuentre a la
misma distancia de la masa que crea el campo, y el lugar geométrico de esos puntos es
una esfera con centro en M y radio r.
La dirección de la fuerza que una masa ejerce sobre la otra es la de la recta que las une,
así que para un SR centrado en una de las masas la fuerza tiene la dirección del vector
de posición, pero el sentido puesto porque es atractiva. Por tanto vectorialmente sería:
r
M⋅m r
F = G 2 (− u r )
r
r
M⋅m r
F = −G 2 u r
r
•
r
u r es el vector unitario del vector de posición de la masa m respecto de M, es
decir es un vector unitario en la dirección de la línea que une los centros de las
masas y el sentido desde la masa que crea el campo hacia la otra.
•
El signo “menos” se interpreta como que son fuerzas atractivas, es decir que la
fuerza tiene la misma dirección y el sentido opuesto al vector de posición, es
r
decir, la dirección y sentido de − u r
•
G es una constante de proporcionalidad llamada “constante de gravitación
universal” (no debe confundirse con la aceleración de la gravedad, ya que son
cosas completamente distintas). Sus unidades se obtienen fácilmente
despejándola de la fórmula y su valor es:
G = 6,67 ⋅ 10 −11 N ⋅ m 2 / Kg 2
Características de la interacción gravitatoria: (e igual para la interacción ente cargas)
2) Una partícula sometida a un campo de fuerzas centrales describe un movimiento en un
plano. En efecto, ya que el vector de posición de la masa m respecto de M, su velocidad y su
aceleración (fuerza) son siempre coplanarios y la partícula se moverá en el plano que
determinan. (Los tres vectores siempre forman un plano porque como la fuerza y el vector
de posición siempre tienen la misma dirección, en realidad es como si solo fuesen dos
r r
vectores F y v .)
Un ejemplo sería el movimiento circular uniforme, en el que la fuerza a la que está
sometida la partícula (fuerza normal) apunta constantemente hacia el centro (por tanto
es central) y tiene la dirección del radio, igual que el vector de posición, de manera que
esos dos vectores con la velocidad siempre formarán un plano, es el del movimiento.
Precisamente esto justifica a la primera ley de Kepler, que dice que los planetas
describen órbitas elípticas planas en uno de cuyos focos está el sol.
r
3) El momento angular L de una partícula sometida a fuerzas centrales se conserva en
r r
el tiempo. En efecto, ya que como r y F tienen siempre la misma dirección, el
r
r r r
r dL
momento de la fuerza es nulo, porque M = r ∧ F = 0 . Y como por otro lado M =
dt
s
al ser nulo el momento quiere decir que L = cte
Al tratarse de un campo de fuerzas conservativas:
La energía que la masa m tiene en cada uno de los puntos del campo creado
por M solamente depende de la posición y por eso se le puede asignar una
energía que llamamos energía potencial.
Una partícula sometida a fuerzas conservativas conserva su energía
mecánica: Ec + Ep = cte
Observación: Es importante tener en cuenta que la fuerza actúa tanto sobre una masa
como sobre la otra y que son iguales y de sentidos opuestos (de acuerdo con la tercera
ley de Newton), es decir, una es la de acción y la otra de reacción:
r
Observa que si L es constante, también justifica que la trayectoria sea plana, ya que ello
quiere decir que no solo no variará ni en módulo ni en dirección, que como sabemos es
r
la perpendicular al plano del movimiento. Si L no cambia en dirección, el plano del
movimiento tampoco
4) El trabajo realizado por una fuerza central para llevar un cuerpo desde un punto A
r r
hasta otro B por una trayectoria circular es nulo. En efecto, ∫ F • d r = 0 porque en todo
r
momento la fuerza y el vector desplazamiento son perpendiculares (porque d r siempre
es tangente a la trayectoria y la fuerza, al ser central, siempre tiene la dirección del
radio).
5) Las fuerzas centrales son fuerzas conservativas, por tanto, el trabajo para llevar a una
masa m desde un punto A hasta otro B es independiente del camino seguido y solo
depende de la posición de los puntos. (Es consecuencia del punto anterior, ya que una
fuerza central solamente realiza trabajo cuando mueve un cuerpo en dirección radial,
mientras que el trabajo es nulo cuando lo desplaza sobre la tangente).
Sea cual sea la trayectoria seguida siempre
podremos descomponerla en tramos infinitesimales
verticales y horizontales. En los tramos horizontales
r
r
(2→3) el trabajo es nulo porque F ⊥ d r . Solo hay
trabajo en los tramos 1→2 y 3→4
El trabajo que hace la fuerza gravitatoria para llevar
a la masa m desde al punto A hasta el B es el mismo
por el camino1 que por el camino2.
r
r
F12 = −F21
F12 = F21
Lo que sucede es que solo nos interesa saber la fuerza que la masa que crea el campo
ejerce sobre el testigo, por ese motivo no prestamos atención a la que el testigo ejerce
sobre la masa que crea el campo, pero ello quiere decir que no exista.
Eso quiere decir que nosotros atraemos a la tierra exactamente con la misma fuerza que
ella nos atrae a nosotros. Te preguntarás porqué entonces la tierra no cae sobre los
cuerpos y sí al contrario. La respuesta es muy sencilla, y es que, la tierra tiene una masa
muy grande comparada con la nuestra, y por tanto presenta una inercia muy grande. Si
la fuerza que ejerce la tierra sobre nosotros es F12 y nuestra masa es m, nos atraerá con
una aceleración que vendrá dada por F12 = m ⋅ a . Por otro lado, nosotros ejercemos
sobre la tierra una fuerza igual en módulo F21 y si la masa de la tierra es M, la
aceleración que nosotros ejercemos sobre ella vendrá dada por F21 = M ⋅ a´ . Como
ambas fuerzas son iguales, al ser M muy grande la aceleración a´ con que la tierra se
mueve hacia nosotros es prácticamente nula.
Ejemplo:
r 1s
Una partícula se encuentra en un campo de fuerzas del tipo F = u τ
r
r
Donde r es la distancia al origen O y u τ es un vector unitario perpendicular al radio
a) ¿Cuál es el lugar geométrico de todos los puntos en los que dicha fuerza tiene el
mismo módulo? ¿Tiene simetría esférica?
b) ¿Este campo de fuerzas es de tipo central?
c) Calcular el trabajo realizado por la fuerza a lo largo de una trayectoria cerrada. ¿Es
un campo conservativo?
a) Es evidente, que puesto que la fuerza solo depende de la distancia al origen O, la
fuerza tendrá el mismo valor en todos los puntos que estén a la misma distancia de O,
por tanto el lugar geométrico será una esfera con radio en O. En consecuencia el campo
tiene simetría esférica.
c) Comparar ambos resultados con los que se obtienen aplicando la fórmula P=mg
DATOS: Rt=6370Km Mt=5,98.1024Kg G=6,67.10−11Nm2/kg2
b) Como puede verse en la figura, al tener la fuerza la dirección de la tangente a la
circunferencia (perpendicular al radio dice el enunciado) no se trata de un campo de
fuerzas centrales porque la dirección de las fuerzas no concurre en un punto.
Como se sabe, a la fuerza con que la tierra atrae a los cuerpos se le llama peso, así que
no es más que la fuerza con que se atraen dos masas, pero cuando una de ellas es la
tierra, por tanto, aplicaremos la ley de gravitación universal:
F=G
M⋅m
r2
a) En el caso de que el cuerpo esté sobre la superficie de la tierra, la distancia que separa
ambos cuerpos es igual al radio de la tierra, porque se mide desde el centro de una masa
al centro de la otra, así que r=Rt
El campo sería central si el vector unitario en lugar de llevar la dirección de la tangente
r 1r
llevara la dirección del radio, es decir su fuera del tipo F = u r
r
c) Para calcular al trabajo a lo largo de una circunferencia como la de la figura:
F=G
b) Cuando la masa está a 100Km de la superficie el problema es exactamente el mismo,
solo que ahora la distancia que separa las masas es r=Rt+h
F=G
•
Mt ⋅ m
5,98 ⋅ 10 24 ⋅ 1
= 6,67 ⋅ 10 −11
= 9,83New
2
Rt
6370.000 2
Mt ⋅ m
5,98 ⋅ 10 24 ⋅ 1
= 6,67 ⋅ 10 −11
= 9,53New
(R t + h ) 2
(6370000 + 100000) 2
El resultado es perfectamente lógico, ya que como puede verse en la ley de gravitación
universal, a medida que aumenta r disminuirá F.
como puede verse el vector desplazamiento y la fuerza siempre tienen la misma
dirección, así que forman 0º.
• el valor del módulo de la fuerza a lo largo de toda la circunferencia es constante,
ya que solo es función de r y valdrá F=1/R
• los límites de integración si queremos recorrer la circunferencia completa serán
desde 0 hasta 2πR.
1
W = F ⋅ s ⋅ cos 0 = 2πR = 2π
R
Como el trabajo a lo largo de una trayectoria cerrada no es nulo, entonces la fuerza no
es conservativa.
Por tanto la misma expresión P=mg vale para ambos casos, simplemente lo que ocurre
es que la aceleración de la gravedad no vale igual en cada caso, porque, como puede
verse depende de r.
Ejemplo:
Calcular la fuerza que la tierra ejercerá sobre un cuerpo de 1Kg de masa situado:
a) Sobre la superficie terrestre
b) a 100Km de la superficie
Lo que sucede es que cuando vemos la expresión P=mg inmediatamente pensamos en
que g=9,81m/s2 sin pararnos a pensar que la aceleración de la gravedad no es una
constante porque depende de la altura, incluso más adelante veremos que también
depende de la latitud. (Concretamente los pesos que hemos obtenido estarían calculados
para el supuesto de que la masa m estuviera en los polos.)
c) La fórmula P=mg es exactamente la misma que la de más arriba ya que, como
veremos enseguida, la aceleración de la gravedad es:
M
g = G 2t
r
INTERACCIÓN DE UN CONJUNTO DE MASAS PUNTUALES. PRINCIPIO DE
SUPERPOSICIÓN
La ley de gravitación universal nos da la fuerza con que se atraen dos masas, pero no
hace referencia a la posible existencia de otras masas. Ello nos lleva al principio de
superposición:
“Si una masa se encuentra en el campo creado por varias masas, la fuerza total sobre
ella es la fuerza resultante de las que cada masa, por separado, ejerza sobre ella.” De
igual forma puede decirse que el campo gravitatorio creado por varias masas en un
punto es igual a la suma vectorial de los campos que crean cada masa en ese punto.
r
r
Ftotal = ∑ Fi
r
r
Ftotal = m ∑ g i
r
r
es decir que g total = ∑ g i
Ejemplo:
En los vértices de un cuadrado de 1m de lado hay tres masas de 1, 2 y 3 Kg. Calcular la
fuerza actuaría sobre una masa de 5Kg colocada en el cuarto vértice.
De acuerdo con el Principio de Superposición, la fuerza total sobre la masa de 5Kg es la
resultante de las fuerzas que cada masa por separado ejerce sobre ella.
Simplemente calculamos el módulo de las fuerzas de cada masa sobre la de 5Kg (la
dirección y sentido la dibujamos teniendo en cuenta que la fuerza siempre es atractiva y
en la dirección de la recta que une las masas y luego elegimos un sistema de referencia
y las sumamos como vectores que son.
m1 ⋅ m
1⋅ 5
= G 2 = 5G
r12
1
m2 ⋅ m
2⋅5
F2 = G
=G
= 5G
r22
( 2)2
r
r
F1 = 5G j
r
r
r
F2 = −5G cos 45 i + 5Gsen 45 j
r
r
F3 = −15G i
r
r
r
F = −18,5G i + 8,5G j
El módulo sería F = ( −18,5G ) 2 + (8,5G ) 2 = 20,35G = 1,36 ⋅ 10 −10 New
El ángulo con el eje X sería α = arctg
8,5G
= −24,67º
− 18,5G
NOCIÓN DE CAMPO GRAVITATORIO: INTENSIDAD DE CAMPO
GRAVITATORIO DE UNA MASA PUNTUAL
Hemos visto que la fuerza que actúa sobre una masa m cuando la colocamos en un
punto del campo gravitatorio creado por otra masa M, depende de magnitudes propias
del campo (la masa que lo crea M y la posición del punto (r)) pero también depende del
valor de la masa m.
Para evitar que la fuerza en un punto de un campo dependa de la masa del testigo,
vamos a definir una magnitud nueva llamada Intensidad del campo gravitatorio como
r
la fuerza por unidad de masa. La intensidad del campo gravitatorio se representa por g
y es la aceleración de la gravedad
r
r F
Mr
g = = −G 2 u r
m
r
• La Intensidad de campo gravitatorio solamente depende de la masa M que crea
el campo y de r, es decir de la posición del punto en el campo.
• La intensidad de campo en un punto nos permite conocer la fuerza que actuará
r
r
sobre un testigo de masa m colocado en ese punto: F = m g . Como se deduce de
la relación, la fuerza es un vector en la dirección y sentido de la fuerza, ya que
las masas siempre
son positivas.
F1 = G
F3 = G
m3 ⋅ m
3⋅5
= G 2 = 15G
r32
1
En el sistema de referencia de la figura, la fuerza en forma de vector creada por cada
masa sobre la masa de 5Kg sería:
Por otro lado, hemos visto que el campo gravitatorio creado por varias masas en un
punto es igual a la suma vectorial de los campos que crean cada masa en ese punto.
r
r
g total = ∑ g i es decir se cumple el principio de superposición.
CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE
menos capas de masas que influyen al campo, de manera que al disminuimos r también
disminuimos la masa.
Suponiendo que la tierra es una esfera de radio R y de masa M, la fuerza con que atraerá
a una masa m colocada en sus inmediaciones vendrá dada por la ley de gravitación
universal de Newton:
r
M⋅m r
F = −G
ur
(R + h) 2
Supondremos de que la densidad de la tierra sea constante.
Teniendo en cuenta que la densidad es ρ = m / V , para una
4
esfera de radio r tenemos que m = ρ ⋅ π r 3
3
r
r
A la fuerza con que la tierra a trae a las masas se le llama peso: F = mg , así que
tenemos que la aceleración de la gravedad en un punto no es más que la Intensidad de
campo gravitatorio en ese punto:
r
g = −G
M
r
ur
(R + h ) 2
Para el caso concreto de puntos próximos a la superficie terrestre, y si despreciamos por
ahora la rotación de la tierra alrededor de su eje, su módulo sería:
g=G
M
5,98 ⋅ 10 24
= 6,67 ⋅ 10 −11
= 9,83m / s 2
2
R
63700002
Factores que influyen en la aceleración de la gravedad
La aceleración de la gravedad no es una constante (a veces de tanto utilizar en los
ejercicios de mecánica el valor de 9,81 m/s2 algunos alumnos llegan a pensar que
siempre vale eso) ya que depende de la distancia entre las masas.
La gravedad en el interior de la Tierra y en la superficie de la Tierra vienen dadas por:
g int
m
= G 2int = G
rint
M
g T = G 2T = G
RT
4
ρ ⋅ π rint3
3
rint2
4
ρ ⋅ π R 3T
3
R 2T
g int rint
=
gT R T
→
g int = g T
rint
RT
Resumiendo, el módulo de la aceleración de la gravedad vale:
g int = g T
r
RT
a) Variación de la gravedad con la distancia:
1. Disminuye con la altura sobre la superficie terrestre, ya que su módulo es:
g=G
M
M
=G
r2
(R + h ) 2
g fuera = G
M
r2
• Dentro de la tierra va aumentando linealmente con la distancia al centro. (es
como una recta de ecuación y=mx)
• En la superficie de la Tierra tiene el valor máximo gT
• Fuera de la Tierra disminuye con el cuadrado de la distancia
Como puede verse, el valor de la aceleración de la gravedad
disminuye con el cuadrado de la distancia entre las masas.
M
= 9,81m s − 2
R2
3. Disminuye linealmente en el interior de la Tierra. A primera vista podría pensarse
que en el interior de la Tierra la gravedad debería aumentar al disminuir r, pero no es
así, ya que solamente la masa encerrada en su interior contribuye al campo y, si te das
cuenta, cada vez que nos vamos adentrando en el interior de la tierra cada vez hay
2. Tiene su valor máximo sobre la superficie de la Tierra: g T = G
b) Variación de la gravedad con la latitud. En la superficie de la Tierra, la gravedad
varía con la latitud, debido al giro de la Tierra. Desde el punto de vista de un observador
no inercial la aceleración será la resultante de la gravedad en ese punto y de la
aceleración centrífuga.
A 45º de latitud y al nivel del mar, la aceleración de la gravedad tiene el valor de 9,81
m/s2, que es el valor que suele tomarse en los ejercicios de mecánica.
Ejemplo:
Encontrar la relación entre el valor de la gravedad en la superficie terrestre y el valor
que tiene a una altura h sobre la superficie.
Ahora bien, al considerar su rotación, la aceleración real en un determinado lugar es la
que resulta de componer vectorialmente la aceleración centrífuga para ese punto con la
aceleración de la gravedad calculada anteriormente:
Si llamemos g al valor en la superficie terrestre y g´ al valor que tiene a una altura h,
tendremos que:
M
g=G 2
R
g´= G
M
(R + h) 2
g (R + h ) 2
=
g´
R2
⇒
g´= g
R2
(R + h ) 2
r
r r
g real = g + a c
Como puede verse a medida que nos alejamos de la superficie terrestre el valor de g´
disminuye.
Ejemplo:
Calcular, en un lugar de la tierra situado a 45º de latitud:
a) la aceleración centrífuga
b) la aceleración de la gravedad
Para un sistema de referencia como el de la figura, las aceleraciones en forma de vector
serían:
r
r
r
g = −9,83 cos 45 i − 9,83sen 45 j
r
r
a c = 0,024 i
r
r
r
g real = −6,927 i − 6,951 j
El módulo de la aceleración en ese punto sería:
g real = ( −6,927) 2 + ( −6,951) 2 = 9,81m / s 2
a) Hay que tener cuidado y darse cuenta de que la circunferencia que describe el punto
de latitud 45º no es igual al radio de la tierra, sino a r. Por tanto la fuerza centrífuga
será:
v2
(ω r ) 2
Fc = m
=m
= m ω2 r
⇒
a c = ω2 r
r
r
como:
2π
2π
2π
• ω=
=
=
= 7,27 ⋅ 10 −5 rad / s
T 1día 24 ⋅ 3600
• r = R ⋅ cos 45 = 6370000 ⋅ cos 45 = 4504270 m
Sustituyendo:
a c = ω 2 r = (7,27 ⋅ 10 −5 ) 2 ⋅ 4504270 = 0,024m / s 2
b) La aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra, suponiendo no girase,
viene dada por:
M
5,98 ⋅ 10 24
g = G 2 = 6,67 ⋅ 10 −11
= 9,83m / s 2
R
63700002
que es el valor que se toma para la aceleración de la gravedad en los ejercicios de
mecánica.
Observa que, de acuerdo con lo anterior, el valor máximo para la aceleración de la gravedad
la tenemos en los polos, y el valor mas pequeño en el ecuador que es donde la aceleración
centrífuga es mayor. ( a c = ω 2 r para el ecuador r=Rt y además es un vector opuesto a g)
M
R2
M
= G 2 − ω2 R
R
g real,polo = G
g real,ecuad
Ejemplo:
¿Qué relación hay entre el peso de una masa m en las inmediaciones de la tierra y en un
planeta que tenga una masa 10 veces superior y el doble de radio?
Muy sencillo, expresamos la fuerza que cada planeta hace sobre la masa y las dividimos
miembro a miembro:
Ftierra
10M ⋅ m
( 2R ) 2
El ángulo con el eje X sería α = arctg
1,7G
= −24,67º
− 3,7G
La fuerza sobre una masa colocada en el punto P se obtiene simplemente con la
expresión F=mg así que:
M⋅m
=G
R2
Fplaneta = G
El módulo sería g = (−3,7G ) 2 + (1,7G ) 2 = 4,07G = 2,71 ⋅ 10 −11 m / s 2
F5 Kg = m 5 g = 5 ⋅ 2,71 ⋅ 10 −11 = 1,36 ⋅ 10 −10 New
Ftierra
4
=
Fplaneta 10
⇒
Fplaneta = Ftierra
10
4
El resultado era de esperar ya que la fuerza de atracción gravitatoria (peso) es
directamente proporcional a la masa e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia que separa las masas, por tanto, será 10 veces mayor y 22 veces más pequeña.
Ejemplo:
En los vértices de un cuadrado de 1m de lado hay tres masas de 1, 2 y 3 Kg. Calcular la
intensidad de campo gravitatorio en el cuarto vértice. ¿Qué fuerza actuaría sobre una
masa de 5Kg colocada allí? ¿Y sobre una masa de 6 Kg?
De acuerdo con el principio de superposición, el campo gravitatorio (g) creado por cada
masa por separado en el punto P es:
m
1
g1 = G 2 = G 2 = G
r1
1
m
2
g2 = G 2 = G
=G
r2
( 2)2
m
3
g 3 = G 2 = G 2 = 3G
r3
1
Ahora solamente queda sumar vectorialmente. En el sistema de referencia de la figura,
la intensidad de campo creada por cada masa sería:
r
r
g1 = G j
r
r
r
g 2 = −G cos 45 i + Gsen 45 j
r
r
g 3 = −3G i
r
r
r
g = −3,7Gi + 1,7Gj
F6 Kg = m 6 g = 6 ⋅ 2,71 ⋅ 10 −11 = 1,63 ⋅ 10 −10 New
Observación: Calcular el valor de la intensidad del campo gravitatorio en un punto (la
gravedad) tiene una ventaja enorme, ya que como vemos, una vez conocida, solamente
hay que multiplicar por la masa en el punto P y obtenemos la fuerza que actúa sobre
ella. (bueno, lo hemos hecho sobre su módulo, pero exactamente igual sería si
hubiéramos multiplicado su expresión vectorial). Sin embargo, si hubiéramos calculado
la fuerza sobre la masa de 5Kg sumando vectorialmente las fuerzas a partir de ese valor
no podemos obtener la fuerza sobre otra masa, como hemos hecho con la de 6Kg, y
habríamos tenido que repetir el ejercicio y la suma de vectores.
Esa es la razón por la que se define la intensidad de campo, porque su valor no depende
de la masa del testigo, sino de los agentes propios que crean el campo, es decir de las
masas que lo crean y de la posición.
ENERGIA POTENCIAL GRAVITATORIA DE UNA MASA EN PRESENCIA
DE OTRA
El campo gravitatorio es un campo de fuerzas centrales y por tanto conservativo, así que
en él puede definirse una energía potencial.
El trabajo que hace una fuerza conservativa para llevar un cuerpo desde un punto A
hasta otro B es independiente del camino seguido y solamente depende de la posición
de los puntos A y B. Por eso precisamente a esos puntos se le puede asociar una energía
“que solamente depende de la posición” y que llamamos energía potencial.
(Naturalmente, como es lógico, en un campo de fuerzas conservativo la energía potencial en un punto no
depende exclusivamente de la posición de ese punto, también depende de la masa que crea el campo" y de
la masa que hayamos colocado en ese punto". Precisamente para que tampoco dependa de la masa
colocada en ese punto definiremos más adelante el Potencial (V) como la energía potencial de una masa
unidad.)
Por definición, “el trabajo que una fuerza conservativa hace para llevar un cuerpo desde
un punto A hasta otro B es igual a menos la variación de energía potencial entre esos
puntos”:
WA → B ,F.Conserv .Campo = − ∆Ep = Ep A − Ep B
Significado del signo menos: El signo menos indica que la fuerza conservativa del
campo hace trabajo espontáneo o real (trabajo positivo) cuando desplaza el cuerpo
desde los puntos de mayor energía potencial a los puntos con menor energía potencial.
Dicho de otra forma, bajo la acción de la fuerza conservativa un cuerpo se mueve
espontáneamente desde los puntos de mayor energía potencial a los puntos con menor
energía potencial. (Observa que WA → B ,F.Conserv .Campo = + cuando EpA > EpB)
En un campo de fuerzas conservativas el trabajo que hacemos nosotros para llevar, contra
las fuerzas del campo y sin aceleración, un cuerpo desde un punto A hasta otro B no se
pierde, sino que queda acumulado en forma de energía potencial. Así podemos decir que “el
trabajo que hacemos nosotros para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B, contra
las fuerzas del campo y sin aceleración, es igual a la variación de energía potencial entre
esos puntos”
WA → B,nosotros = Ep B − Ep A = ∆Ep = − WA →B,F.Conserva .Campo
Ahora vamos a ver la expresión concreta de la energía potencial gravitatoria, para ello
no hay mas que calcular el trabajo que hace el campo gravitatorio para llevar una
partícula desde el punto A al B:
r
r
r
M⋅m r
M⋅m
= ∫ Fgrav • d r = ∫ − G 2 u r • d r = ∫ − G 2 ⋅ dr
r
r
A
A
A
B
Ep A − Ep B = WA →B,campo
B
B
donde hemos tenido en cuenta que vector
r
unitario u r y el vector desplazamiento
r
d r tienen la misma dirección y sentido, así que
si que cos0=1. Teniendo en cuenta además, que
1
1
∫ r 2 dr = − r nos quedaría que:
B
WA → B,campo
1 1
 1
= −G ⋅ M ⋅ m −  = −G ⋅ M ⋅ m  −  = Ep A − Ep B
 rA
 rA rB 
Ep A − Ep B = −G
M⋅m
M⋅m
− −G
rA
rB
(Nota: aunque matemáticamente no es de lo más correcto escribir dos signos menos
seguidos y menos sin un paréntesis, pero lo escribiremos así porque resulta más
didáctico. Además lo pondremos en ese orden para que más adelante veas que estas
expresiones son similares a las del campo eléctrico)
Energía potencial gravitatoria en un punto. Como vemos, estrictamente solamente
podemos hablar de diferencia de energía potencial entre dos puntos (porque es el trabajo
para llevar la masa m desde uno a otro y por tanto debe haber dos puntos), pero si, por
acuerdo, asignamos cero a la energía potencial de uno de esos puntos, entonces
podremos habar de energía potencial absoluta (en realidad referida al punto que
asignemos Ep=0).
Parece que lo razonable sería asignarle cero a la energía potencial en el infinito, porque
como la fuerza disminuye con el cuadrado de la distancia, en ese punto puede decirse
que no hay campo, por tanto, la diferencia de potencial entre un punto A y el infinito
sería la energía potencial en ese punto A.
Dicho de otra manera: La energía potencial de una masa m en un punto es igual al
trabajo que hace el campo para llevar a la masa m desde ese punto hasta el infinito.
(Teniendo que cuenta que nuestro trabajo y el que hace el campo son iguales y de signo
contrario, podríamos decir que la energía potencial de una masa m en un punto es igual
a trabajo que tenemos que hacer para traer a la masa, sin aceleración, desde el infinito
hasta ese punto)
Ep A − Ep ∞ = −G
como 1
∞
M⋅m
M⋅m
− −G
rA
∞
=0
Ep A = −G
M⋅m
rA
donde rA es la distancia que separa las dos masas. Como puedes ver la energía potencial
en un punto siempre es negativa y tiene su “máximo valor negativo” en la superficie
terrestre y va aumentando al alejarnos hasta llegar a cero en el infinito.
Particularización de la energía potencial para puntos próximos a la superficie terrestre:
En los puntos próximos a la superficie es razonable utilizar la conocida expresión:
∆Ep = Ep B − Ep A = mgh
Vamos a ver como se deduce esta expresión particular a partir de la general que hemos
obtenido:
Como puede verse en la figura
rA = Rtierra
rB − rA = h (Altura sobre la superficie terrestre)
Si llamamos M a la masa de la tierra y m a la masa del cuerpo, según hemos visto antes:
r −r
M⋅m
M⋅m
∆Ep = Ep B − Ep A = −G
− −G
= G⋅M⋅m B A
rB
rA
rA ⋅ rB
Teniendo en cuenta que:
• rB − rA = h
• al tratarse de puntos próximos a la superficie terrestre, prácticamente rB ≅ rA con
lo que podemos poner que rA ⋅ rB ≅ rA2 = R 2t .
• y recordando que el módulo de la Intensidad de campo, o gravedad viene dada
M
por g = G 2
Rt
al final nos quedaría que:
∆Ep = Ep B − Ep A = mgh
Cuestión:
De la expresión Ep=mgh, se deduce que la energía potencial es positiva y aumenta con
la altura. ¿Cómo es posible, si de la expresión Ep=–GMm/r se deduce que siempre es
negativa y aumenta con la altura?
La Ep que tiene una masa m en un punto del campo creado por otra M, como indica su
expresión general, siempre es negativa y su valor máximo es cero, que corresponde a la
Ep en el infinito. Lo que pasa es que siempre medimos “diferencias” de energía
potencial y cuando restamos obtenemos el mismo valor con independencia de donde
tomemos el cero. Por tanto entre dos puntos cualquiera hay la misma ∆Ep si el nivel
cero lo tomamos en el infinito (que es lo natural) como si lo ponemos en cualquier otro
lugar como la superficie de la tierra o donde sea:
Fíjate que, independientemente de donde tomemos el cero de Ep, el ∆Ep entre dos
puntos siempre vale igual: EpB ‒ EpA = 20 J. Es exactamente el mismo caso que si
montamos a un niño sobre una mesa para medir su altura. Tanto si lo medimos de pies a
cabeza, como si medimos desde el suelo a la cabeza y restamos la distancia del suelo a
los pies obtendremos lo mismo. “No importa que al cambiar de sistema de referencia en
cada medida tengamos valores distintos, lo que importa que es la diferencia siempre
tendrá el mismo valor”.
Energía potencial “de una masa” debida al campo creado por una asociación de
masas: de acuerdo con el principio de superposición la energía potencial que tendrá es
la debida al campo que independientemente cada masa crea sobre ella, así que:
Ep = −G
m1 ⋅ m
m ⋅m
m ⋅m
m
−G 2
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −G n
= −Gm ∑ in=1 i
r1
r2
rn
ri
Energía potencial de una asociación de masas: En este caso la energía potencial
debida a todas ellas se obtiene sumando la energía potencial de todos los pares de
masas. Por ejemplo la energía potencial de la asociación de la figura sería:
m m
mm
m m 
Ep = −G  1 2 + 1 3 + 2 3 
r
r
r23 
13
 12
Ep = −G ∑
mim j
rij
Ejemplo:
Imagina que hay dos masas m1=10Kg y m2=20Kg como se indica en la figura. Calcular el
trabajo que hemos de hacer para llevar una masa m de 5Kg desde la posición A(4,0) hasta la
B(8,0)
Como sabemos el trabajo que hacemos nosotros es igual al incremento de energía
potencial, así que solamente tenemos que calcular la Ep que la masa m tiene al final y al
principio y restarlas.
WA → B ,nosotros = ∆Ep = Ep B − Ep A = − WA → B ,F.Conservat .
De acuerdo al principio de superposición, la Ep que la masa m tiene en el punto A es
debida a la que tiene como consecuencia del campo que crea m1 mas la debida al campo
que crea la masa m2, es decir:
m ⋅m
m ⋅m
 10 10 
Ep A = −G 1
+ −G 2
= −Gm +  = −32,5G
r1A
r2 A
5
4
De igual forma, la Ep cuando está en el punto B será:
Ep B = −G
m1 ⋅ m
m ⋅m
 10 10 
+ −G 2
= −Gm +
 = −17,96G
r1B
r2 B
 8 8,54 
Por tanto:
WA → B, nosotros = Ep B − Ep A = −32,5G − ( −17,96G ) = +15,54G
POTENCIAL GRAVITATORIO
Recuerda que la fuerza que actúa sobre una masa m, en un punto de un campo creado
por otra masa M, depende del valor de m. Para evitar ese inconveniente se definió la
intensidad de campo como fuerza por unidad de masa.
Lo mismo le ocurre a la variación de energía potencial de una masa m entre dos puntos
A y B, de un campo creado por otra masa M, que también depende del valor de m. Para
evitar ese inconveniente vamos a definir una magnitud nueva como variación de energía
potencial por unidad de masa y que llamaremos variación Potencial (V):
B
Ep A − Ep B WA → B,F.Conserv
VA − VB =
=
=
m
m
r
∫F
F.Conserv
r
• dr
A
m
B
r r
= ∫ g • dr
A
B
r r B
r B
Mr
M
VA − VB = ∫ g • d r = ∫ − G 2 u r • d r = ∫ − G 2 ⋅ dr
r
r
A
A
A
donde hemos tenido en cuenta que vector
r
unitario u r y el vector desplazamiento
r
dr tienen la misma dirección y sentido, así que si
que cos0=1. Teniendo en cuenta además, que
1
1
∫ r 2 dr = − r nos quedaría que:
B
1 1
 1
VA − VB = −G M ⋅ −  = −G M ⋅  − 
 r A
 rA rB 
VA − VB = −G
M
M
− −G
rA
rB
Obviamente llegaremos al mismo resultado si dividimos la deferencia de energía
potencial por el testigo m ya que, como hemos dicho, la ddp entre dos puntos se definie
como la diferencia de Energía potencial que tiene entre esos puntos un testigo unidad:
VA − VB =
Ep A − Ep B
M
M
= −G
− −G
m
rA
rB
Potencial gravitatorio en un punto. Como sabemos estrictamente solamente podemos
hablar de ddp entre dos puntos (porque se ha definido como el trabajo pare llevar a la
unidad de masa entre esos dos puntos). No obstante si, por acuerdo, asignamos cero al
potencial de uno de esos punts, entonces podremos habar de potencial absoluto en un
punto. El punto que se elige es el infinito porque allí se supone que ya no hay campo.
W
Dicho de otra manera, teniendo en cuenta que VA − VB = A →B,F.Conservat podemos decir
c
que: El potencial en un punto A es igual al trabajo que hace el campo para llevar una
masa de 1Kg desde ese punto hasta el infinito. (Teniendo que cuenta que nuestro trabajo
y el que hace el campo son iguales y de signo contrario, podríamos decir que el
potencial en un punto A es igual al trabajo que tenemos que hacer para traer una masa
de 1Kg desde el infinito hasta ese punto).
M
M
VA − V∞ = −G
− −G
rA
∞
1
=0
como
∞
M
VA = −G
rA
donde rA es la distancia que separa la masa que crea el campo del punto A.
Ejemplo:
Calcular el potencial gravitatorio creado por una esfera de 100Kg de masa y dos metros
de diámetro en un punto situado a 9m de su superficie. ¿Cuál será la energía potencial
de una masa de 1Kg situada en dicho punto?
Suponiendo que la esfera es homogénea
podemos considerarla como una masa
puntual concentrada en su centro.
RELACION ENTRE CAMPO Y POTENCIAL
r
Si te das cuenta el campo ( g ) es un vector y el potencial (V) es un escalar, así que su correcta
relación es a través de un operador vectorial llamado gradiente, pero eso escapa de la
programación de bachillerato, así que nos limitaremos a relacionar el módulo del campo y el
potencial.
Caso particular de campo uniforme, es decir, de puntos cercanos en los que la gravedad
puede considerarse constante, entonces, teniendo en cuenta la definición de ddp,
B
r r
VA − VB = ∫ g • d r = g r
B
A
= g (rB − rA ) = g ⋅ d
A
Dice que la ddp entre dos puntos, entre los que
puede considerarse constante el valor del
campo, es igual al valor del campo por la
distancia entre esos puntos. A la misma
conclusión llegaríamos restando el potencial
en el punto A del que tiene en B:
VA − VB = −G
M (rB − rA )
M (rB − rA )
M
M
− −G = G
≅G
= g(rB − rA ) = g ⋅ d
rA
rB
rA rB
rA2
La relación referida a un punto concreto, teniendo en cuenta las expresiones del módulo
r
de g y la del potencial V en un punto:
VA = −G
M
M r
= −G ⋅ A = − g A .rA
rA
rA rA
a) Como hemos visto la ddp entre el punto A y el infinito será igual al potencial en el
punto A, que vale:
M
6,67 ⋅ 10 −11 ⋅ 100
VA = −G = −
= −6,67 ⋅ 10 −10 J / Kg
rA
10
b) De acuerdo con su definición, la energía potencial de una masa unidad en un punto y el
potencial en ese punto son exactamente la misma cosa, así que Ep A = −6,67 ⋅ 10 −10 Julios
Quiere decir que: si multiplicamos el módulo del campo en un punto A por la distancia
del punto a la masa que crea el campo al punto se obtiene el potencial en ese punto.
Hay un detalle importante:
•
Para otro valor cualquiera de m´ la relación entre ambas magnitudes sería:
Ep A = m´⋅VA
•
r
Si en un punto de un campo conocemos el valor de la Intensidad de campo ( g o
r
E ) podremos presumir exactamente lo que ocurrirá cuando coloquemos una
masa m o a una carga q en un punto cualquiera (podremos calcular exactamente
r
r
el módulo de la fuerza que actuará, su dirección y sentido, ya que F = mg o bien
r
r
F = qE )
Sin embargo, si en un punto del campo solo conocemos el potencial en ese punto
no podremos predecir lo que ocurrirá. Cosa distinta sería si conocemos el
potencial en dos puntos, entonces sí, porque, tanto la masa como la carga se
moverán hacia donde disminuya su energía potencial.
SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES
Como su propio nombre indica (equi significa igual) una superficie equipotencial es
aquella en la que en todos sus puntos hay el mismo potencial. Dibujemos una superficie
y supongamos que es equipotencial:
4. Dos superficies equipotenciales nunca pueden cortarse porque ello implicaría que en
los puntos de corte podríamos trazar dos perpendiculares y, como ya vimos, las líneas
de campo no se cortan. Además, imagina que dos superficies equipotenciales se
cortaran, entonces en ambas habría el mismo potencial y por tanto sería la misma
superficie.
Propiedades de las superficies equipotenciales:
1. Las superficies equipotenciales son siempre perpendiculares al vector intensidad de
campo.
En efecto, ya que para desplazamos de un punto a otro de la superficie es necesario que
r
el vector desplazamiento d r sea coplanario con la superficie, y puesto que según la
definición de ddp entre dos puntos:
B
r r
VA − VB = ∫ g • d r
A
r
r
si la superficie es equipotencial VA−VB=0 lo que quiere decir que: g = 0 o que d r = 0
ambas cosas son absurdas porque si no hay campo o no hay desplazamiento no habría
problema, así que la única otra alternativa es que el producto escalar de ambos vectores
sea nulo, es decir que formen ángulo de 90º.
2. El trabajo para lleva una masa de un punto A de una superficie equipotencial a otro B
de la misma superficie equipotencial es cero. Obvio, ya que
WA →B,F.Conservat = m (VA − VB ) y al movernos por la misma superficie equipotencial
r r
VA=VB. Además es cero porque como g y F tienen la misma dirección, entonces
r
r
F ⊥ dr .
3. Para el caso de una masa, o de una carga las superficies equipotenciales son esferas
concéntricas. En efecto, ya que como las líneas de campo son radiales, para que las
superficies sean normales a ellas deben ser esferas con centro en la masa o carga que crea el
campo.
Ejemplo:
Imagina tres puntos 1, 2 y 3 en los que el potencial gravitatorio va disminuyendo, es
decir que V1>V2>V3. ¿ Hacia donde se movería una masa m si la colocamos en el punto
2 y la dejamos libre?
La masa m (o una carga independientemente del signo) se mueve espontáneamente
hacia el punto en el que disminuya su energía potencial. (Recuerda que eso
precisamente es lo que indica el signo menos de la definición
WA → B,F.Conserv .Campo = − ∆Ep = Ep A − Ep B )
Como Ep=m.V y teniendo en cuenta que las masas siempre son positivas (cosa que no
ocurre con las cargas) es obvio que Ep1>Ep2>Ep3 y en consecuencia las masas se
mueven siempre de forma espontáneamente hacia potenciales decrecientes. En este caso
hacia V3.
Si se tratara de una carga, como Ep=q.V resulta que si la carga es positiva se movería
hacia potenciales decrecientes, pero si fuese una carga negativa se movería hacia donde
aumente el potencial.
Ahora que sabemos hacia donde se moverá la masa
r
podremos dibujar el vector campo g pero no podríamos si
solamente conociéramos el potencial en un punto.
Ejemplo:
Entre dos puntos A y B de un campo eléctrico existe una diferencia de potencial de 100
voltios. ¿Qué trabajo realiza el campo para llevar una carga positiva de 2µC desde A
hasta B?
Al tratarse de un campo eléctrico, la característica del campo es la carga eléctrica, por
tanto podemos poner que:
WA → B,campo = q(VA − VB )
sustituyendo
WA →B,campo = 2 ⋅ 10 −6 ⋅ 100 = 2 ⋅ 10 −4 Julios
Como puede verse el Potencial se mide en Julios/Coulombio que recibe el nombre
especial de Voltio. De manera análoga el Potencial gravitatorio se mide en Julios/Kg
que no tiene un nombre especial.
Si en lugar de preguntarnos por el trabajo del campo, nos hubiesen preguntado ¿qué
trabajo hacemos nosotros para llevar la carga de 2µC desde A hasta B? La respuesta,
obviamente, sería –2.10−4J
LEYES DE KEPLER
1. Los planetas describen órbitas elípticas planas, en uno de cuyos focos está el sol.
Esta ley resulta evidente si tenemos en cuenta que las fuerzas gravitatorias son fuerzas
centrales y que, por tanto, se conserva el momento angular. Al ser constante el momento
r r
r
angular L = r ∧ mv (tanto en módulo como en dirección) el plano formado por los
r
v
vectores r y v también debe permanecer constante.
2. El radio vector que une el sol con uno de los planetas barre áreas iguales en tiempos
iguales. Dicho de otra forma, la velocidad con la que el vector de posición del planeta
respecto al sol barre áreas es constante.
En la figura hemos representado el área barrida por el vector de posición en el tiempo ∆t .
Como recordarás, el módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al área del
paralelogramo que forman, y obviamente la mitad al triángulo. Y teniendo en cuenta
r
r
que la velocidad es v = d r / dt
dA =
r
1r r 1r r
1 s
1 r
r ∧ d r = r ∧ v dt =
r ∧ mv dt =
L dt
2
2
2m
2m
dA
1 r
=
L = cte.
dt 2m
3. Los cuadrados de los periodos de revolución de los planetas son proporcionales a los
cubos de la distancia media de los planetas al sol: T2 = kR3
SATÉLITES: VELOCIDAD ORBITAL Y VELOCIDAD DE ESCAPE
Velocidad orbital: Para que un satélite de masa m orbite a una distancia r alrededor de
la tierra, desde el punto de vista de un observador no inercial, es preciso que la fuerza
peso con que lo atrae la tierra sea igual a la fuerza centrífuga:
Fgrav = Fc
G
La demostración de la tercera ley es consecuencia de la ley de gravitación universal de
Newton. Que el planeta se mantenga en órbita supone, desde el punto de vista de un
observador no inercial, que el peso del satélite se compense con la fuerza centrífuga:
Peso = Fc
⇒
G
M⋅m
v2
=m
2
r
r
Teniendo en cuenta la relación entre la velocidad lineal y angular del planeta es
v = ω ⋅ r y que ω = 2π / T
G
v orbital =
GM
r
Órbita geoestacionaria: Como vemos la velocidad orbital del satélite no depende de su
masa, solamente depende del radio de la órbita y viceversa. Por tato, habrá un radio para
el que el satélite tenga la misma velocidad angular que la Tierra (a esa órbita se le llama
geoestacionaria)
Los satélites geoestacionarios,
como los de comunicaciones,
son los que se encuentran en
todo momento sobre el mismo
punto, dicho de otra forman
giran con la misma velocidad
angular que la tierra
(ω=2π/1día). Su órbita, además,
debe estar en el plano del
ecuador.
M⋅m
v2
4 π2
=m
= ω2 r 2 = 2 r 2
2
r
r
T
despejando el periodo:
T2 =
M⋅m
v2
=m
2
r
r
4π 2 3
r
GM
T2 = k ⋅ r3
Como puede verse todo lo que engloba el círculo son constantes (no aparece la masa del
planeta) y el resultado de la operación, lógicamente, corresponde a una constante
Simplemente se trata de poner el radio de la órbita en función del periodo, “que debe ser
1 día”, para gire con la misma velocidad angular de la tierra. Para un SRNI, la fuerza de
atracción gravitatoria debe compensarse por la centrífuga, así que: (es como deducir la
tercera ley de Kepler, pero ahora despejamos el radio)
G
M⋅m
v2
4 π2
=m
= ω2 r 2 = 2 r 2
2
r
r
T
despejando el radio de la órbita, y sustituyendo T=1día:
r=3
GM ⋅ T 2 3 6,67 ⋅ 10 −11 ⋅ 5,98 ⋅ 10 24 ⋅ ( 24 * 3600) 2
=
= 42259Km
4π 2
4π 2
La energía total del satélite cuando está en su órbita a una distancia r del centro de la
tierra será suma de cinética y potencial, es decir:
E = Ec + Ep
E=
1
M⋅m

2
mv orb
+ − G

2
r 

2
1  GM  
M⋅m
m
+ − G

2 
r  
r 
1 M⋅m
E=− G
2
r
E=
•
Mientras el satélite permanezca en esa órbita no consume energía, porque se
desplaza por una superficie equipotencial. Recuerda que:
WA → B,campo = m (VA − VB )
Si VA=VB ⇒ W=0
Por eso solemos decir: “se lanza un cuerpo con una velocidad inicial vo …”.
Si balanceamos entre cuando el satélite está en el suelo y ya le hemos comunicado esa
energía y cuando está arriba orbitando, ahora ya sí que se conserva la energía mecánica,
puesto que ahora la única fuerza es la gravitatoria, que es conservativa: ∆Ec + ∆Ep = 0
1
donde Ec suelo = mv o2 = WA →B
Ec suelo + Ep suelo = Ec B + Ep B
2
F. NoConservat
Como ves, ambos razonamientos son idénticos aunque parezcan distintos.
La velocidad de escape de un cuerpo que es lanzado desde la superficie de la tierra es
aquella que permite que el cuerpo escape de la atracción terrestre y ello requiere que su
energía total sea positiva o nula como mínimo.
En efecto, ya que como sabemos, cuando lanzamos un cuerpo desde la superficie de la
tierra, la atracción gravitatoria hace que su velocidad vaya disminuyendo conforme se
aleja a la vez que se va transformando en potencial.
•
•
además en el caso del campo gravitatorio resulta obvio, ya que la fuerza gravitatoria
y el vector desplazamiento por una superficie equipotencial (que son esferas
concéntricas) forman ángulo de 90º y su coseno es 0
•
Si queremos que el cuerpo escape completamente debemos comunicarle una
energía cinética de manera que no se detenga hasta llegar al infinito.
Y en el infinito su energía mecánica sería cero porque llega con velocidad cero y
porque allí su Ep=0, ya que es inversa a la distancia, así que como la energía
mecánica en el lanzamiento debe ser igual a la que tiene en el infinito:
Ec tierra + Ep tierra = Ec ∞ + Ep ∞
El signo menos de la energía total del satélite indica que se trata de un sistema
ligado a la tierra, es decir que por sí mismo nunca se podría escapar de la
atracción terrestre. Para escapar debería tener energía positiva o como mínimo
nula.
La energía necesaria para poner un satélite en órbita: Esta energía es positiva porque
debemos hacerla nosotros. Supongamos que inicialmente el satélite está en reposo sobre
el suelo. Para que empiece a subir tenemos que ejercer un trabajo sobre él (WF.NoConserv)
y en consecuencia no se conserva la energía mecánica, por tanto:
∆Ec + ∆Ep = WA → B
F. NoConservat
Ec suelo + Ep suelo + WA →B
= Ec B + Ep B
F. NoConserva t
M⋅m
1
M⋅m
2
−G
+ WA →B
= mv orbital
−G
RT
2
r
F. NoConserva t
2
WA →B
F. NoConserva t
WA →B
F. NoConserva t
1  GM 
M⋅m
M⋅m
m
−G
+G
2 
r 
r
RT
 2r − R T 

= GMm
 2R T r 
=
Ese trabajo se lo comunicamos en forma de energía cinética: WF.NoConserv. = 12 mv o2
E=
1
M⋅m 1
M⋅m


2
mv 2escape +  − G
 = mv ∞ +  − G

2
R  2
∞ 


de donde:
v escape =
2GM
R
•
Si el cuerpo estuviera a una altura h la velocidad de escape, sería v escape =
donde r=R+h
•
Como puedes ver comparando la velocidad orbital y la velocidad de escape:
v escape = 2 ⋅ v orbital
2 GM
r
Ejemplo:
Imagina un planeta que tuviese una masa igual a 3.1015 Kg y un radio de 1000 Km.
Calcula:
a) La energía potencial, cinética y total de un satélite de 500 Kg cuando está en la
superficie de ese planeta a punto de lanzarse al espacio.
b) La energía potencial, cinética y total del satélite cuando esté orbitando a 250 Km
sobre la superficie del planeta.
c) Qué energía hemos debido aportar al satélite para ponerlo en esa órbita.
d) Velocidad para que escape de la atracción del campo gravitatorio
e) La energía adicional que hemos de aportarle para que escape del campo gravitatorio
Datos: G=6,67.10−11 N m2 Kg−2
Fgrav = Fc ⇒ G
M⋅m
v2
=m
⇒ v orbital =
2
r
r
GM
6,67 ⋅ 10 −11 ⋅ 3 ⋅ 1015
=
= 0,4 m / s
r
1000000 + 250000
La energía cinética que tendrá en la órbita es:
2
Ec Órbita =
1
1  GM 
1 M⋅m
 = G
mv 2 = m
= 40 m / s
2
2  r 
2
r
E Órbita = Ec + Ep = +40 − 80 = −40 Julios
Observa la relación que guardan las distintas energías entre sí. Precisamente se han
escogido estos valores para obtener números sencillos que ayuden a ver claramente esas
relaciones que son las mismas con independencia de los datos.
c) La energía que hemos de aportarle para ponerlo en órbita es:
1. la energía necesaria para subirlo hasta la altura h, que será igual a la variación de
energía potencial ∆Ep = WA → B
= −80 − ( −100) = 20 Julios . Como ya
F. NoConservat
a) Cuando está en reposo sobre la superficie del planeta solamente tiene energía
potencial, que además es donde tiene el valor más pequeño (el máximo negativo).
Ep SupPlaneta = −G
Ec SupPlaneta =
M⋅m
3 ⋅ 1015 ⋅ 500
= −6,67 ⋅ 10 −11
= −100 Julios
R
1000000
1
mv 2 = 0
2
E Órbita = Ec + Ep = −100 Julios
indicamos, ese trabajo que hemos de hacer es el mismo que si subimos una
piedra hasta un tejado, con la única diferencia de que al ser h muy grande la
gravedad no puede considerarse constante y no podemos utilizar la expresión
particular ∆Ep = mgh sino que hemos utilizado su expresión general.
2. la energía necesaria para que orbite con la velocidad orbital, es decir 40 Julios
Por tanto la energía necesaria para ponerlo en órbita será 60 Julios.
A la misma conclusión se llegaría aplicando el principio de conservación de la energía
entre la superficie del planeta y la órbita:
∆Ep + ∆Ec = WA → B
F. NoConservat
WA →B
F. NoConservat
b) Cuando el satélite está a una altura h sobre la superficie del planeta tiene una energía
potencial (que es independiente de si está girando o no):
Ep SupOrbita = −G
M⋅m
3 ⋅ 1015 ⋅ 500
= −6,67 ⋅ 10 −11
= −80 Julios
r
1000000 + 250000
fíjate que la energía potencial a una altura h es mayor que la que tenía en la superficie
de la tierra. Es un número negativo que va creciendo con la altura hasta alcanzar su
valor máximo igual a cero en el infinito.
Si subimos el satélite hasta esa altura y no hacemos nada más el satélite nos caería
encima exactamente igual que cuando se lanza una piedra hacia arriba. Si pretendemos
que el satélite orbite ahora debemos comunicarle una velocidad tangencialmente (igual
a la velocidad orbital) de forma que (desde el punto de vista de un observador no
inercial) la fuerza centrífuga compense el peso de satélite:
= ( Ep Órbita − Ep Sup.Planeta ) + ( Ec Órbita − Ec Sup.Planeta )
= ( −80 − ( −100)) + (40 − 0) = +60 J
WA →B
F. NoConserva t
d) La velocidad de escape es la velocidad que hemos de comunicarle para mandarlo al infinito
con velocidad cero y donde la energía potencial también es cero y por tanto la energía total en
el infinito es cero. Fíjate que conforme sube su velocidad disminuye y también su energía
cinética hasta hacerse nula, mientras que la potencial va aumentando (se hace un número
negativo cada vez menor) hasta llegar a su valor máximo igual a cero.
Ec B + Ep B =
1
M⋅m
2
mv escape
−G
=0
2
r
2GM
2 ⋅ 6,67 ⋅ 10 −11 ⋅ 3 ⋅ 1015
=
= 0,566 m / s
r
1000000 + 250000
e) La energía necesaria para que escape del campo gravitatorio es la energía para
mandarlo hasta el infinito, donde la Ec=0 y la Ep=0, así que aplicando la conservación
de la energía entre el punto B y el infinito:
v escape =
GM
=
r
v orbital =
∆Ep + ∆Ec = Wb →∞
F. NoConservat
WA →B
F. NoConservat
WA →B
= ( Ep ∞ − Ep Órbita ) + (Ec ∞ − Ec Órbita )
F. NoConservat
Ep Órbita = −G
fíjate que
• la energía para mandar el satélite al infinito coincide con la energía total que
tiene, pero cambiada de signo.
• la energía para mandarlo al infinito no es la energía cinética que corresponde a la
velocidad de escape, (esta sería ½.500.0,5662=80J). Esta energía sería la necesaria
para que escapase si estuviese parado a esa altura (Ep=−80J), pero es que como
está orbitando además de la potencial tiene una energía cinética adicional de +40J,
por eso solamente hemos de aportar 80J−40J que ya tiene = 40J
• el resultado está de acuerdo con lo que habría sido necesario para mandarlo al
infinito desde la superficie de la tierra. Allí tenía una energía total de −100 J, así
que el trabajo necesario para mandarlo al infinito sería de +100J.
En el caso que nos ocupa hemos invertido +60J en ponerlo a orbitar y luego
+40J en mandarlo al infinito, en total +100J.
Ejemplo:
Un satélite de 100Kg de masa describe una orbita circular a 200Km de la superficie
terrestre.
a) Energía potencial del satélite cuando está en la superficie de la tierra.
b) Calcular su velocidad orbital
b) Energía potencial, cinética y total del satélite
c) ¿Qué le pasaría al radio de la órbita si por efecto del rozamiento el satélite va
perdiendo energía? Y en particular ¿Qué le ocurriría a su velocidad angular?
d) Periodo
e) Energía necesaria para ponerlo en órbita
f) Velocidad necesaria para que escape del campo gravitatorio
g) Energía necesaria para que escape del campo gravitatorio.
Datos: MT=5,98.10 Kg
a) Ep Sup .Tierra = −G
RT=6370Km
.
−11
G=6,67 10
2
−2
N m Kg
M⋅m
5,98 ⋅ 10 24 ⋅ 100
= −6,67 ⋅ 10 −11
= −6,26 ⋅ 10 9 Julios
r
6370000
b) Para un observador situado en el satélite, éste
estará sometido a dos fuerzas en la misma dirección
y sentido contrario: El peso y la F.centrífuga, y
ambas deben ser iguales para que se mantenga en
órbita.
r = R Tierra + h
Fgrav = Fc
de donde:
6,67 ⋅ 10 −11 ⋅ 5,98 ⋅ 10 24
= 7792m / s
6370000 + 200000
b) La energía potencial, cinética y total serían:
= (0 − (−80)) + (0 − 40) = +40 J
24
GM
=
R+h
⇒
G
M⋅m
v2
=m
2
r
r
M⋅m
5,98 ⋅ 10 24 ⋅ 100
= −6,07 ⋅ 10 9 Julios
= −6,67 ⋅ 10 −11
r
6370000 + 200000
2
Ec Órbita =
1
1  GM 
1 M⋅m
mv 2 = m
= G
= 3,04 ⋅ 10 9 m / s
2
2 
r 
2
r
E Órbita = Ec + Ep = 3,04 ⋅ 10 9 + ( −6,07 ⋅ 10 9 ) = −3,04 ⋅ 10 9 Julios
O bien
E Órbita =
1
M⋅m
1 M⋅m

mv 2 +  − G
= −3,04 ⋅ 10 9 Julios
=− G
2
r
2
r


1 M⋅m
c) Teniendo en cuenta que la energía total es E = − G
resulta que, puesto que es
2
r
negativa, disminuirá siempre que aumente en valor absoluto, es decir cuando disminuya el
radio. Así pues, cuando por efecto del rozamiento pierda energía comenzará a describir una
espiral de radio cada vez menor hasta caer en la tierra, o lo que es igual, la altura h cada vez
será menor y como:
GM
v orbital =
R+h
al disminuir h, su velocidad lineal aumentará, y lo mismo le sucederá a la velocidad
angular, ya que:
v
GM
ω= =
r
(R + h ) 3
al disminuir h, la velocidad angular aumenta con mayor rapidez que la lineal.
d) El periodo
M⋅m
v2
4π 2
4π 2 r 3
4π 2 (6570000) 3
=m
= (ω r ) 2 = 2 r 2 ⇒ T =
=
= 5298seg
2
GM
6,67 ⋅10 −11 ⋅ 5,98 ⋅10 24
r
r
T
o bien teniendo en cuenta que:
v 2π
2π r 2 ⋅ π ⋅ 6570000
⇒
T=
= 5298seg
ω= =
=
v
7792
r
T
G
e) La energía que hemos de comunicarle nosotros para ponerlo en órbita será la necesaria
para subirlo hasta esa altura (∆Ep) más la energía cinética que luego hay que comunicarle
tangencialmente para que comience a orbitar. Aplicando el principio de conservación de la
energía entre la superficie de la tierra y la órbita:
∆Ep + ∆Ec = WA → B
F. NoConservat
WA →B
F. NoConserva t
= ( Ep Órbita − Ep Sup.Tierra ) + (Ec Órbita − Ec Sup .Tierra )
= ( −6,07 ⋅ 10 9 − ( −6,26 ⋅ 10 9 )) + (3,04 ⋅ 10 9 − 0) = +3,23 ⋅ 10 9 J
WA →B
F. NoConserva t
f) La velocidad de escape es la velocidad que hemos de comunicarle para mandarlo al
infinito, donde la energía es cero, así que:
Ec A + Ep A =
v escape =
2GM
=
r
1
M⋅m
mv 2escape − G
=0
2
r
2 ⋅ 6,67 ⋅ 10 −11 ⋅ 5,98 ⋅ 10 24
= 11019m / s
6370000 + 200000
1 M⋅m
E=− G
2
r
b2. Que la componente tangencial de la velocidad < vorbital. Entonces volvería a la
superficie terrestre, como ocurre cuando lanzamos una piedra o un proyectil a poca
velocidad.
b3. Que la componente tangencial de la velocidad > vorbital (pero más pequeña que la
de escape) entonces el cuerpo seguirá ligado al campo gravitatorio, pero describirá
una órbita elíptica en lugar de circular.
FORMAS DE LA TRAYECTORIA DEL LANZAMIENTO DE UN COHETE
En primer lugar vamos a recordar que:
•
•
•
La energía potencial gravitatoria siempre es negativa y que va aumentando
conforme nos alejamos de la superficie de la tierra (donde tiene su máximo
negativo) hasta llegar a cero en el infinito.
La energía cinética por el contrario siempre es positiva, aunque si lanzamos un
cuerpo hacia arriba ira disminuyendo hasta llegar a cero.
La energía mecánica total, que es la suma de la cinética y de la potencial, podrá
por lo tanto ser negativa, cero o positiva.
Energía mecánica negativa: Si la energía mecánica es negativa decimos que el cuerpo
está ligado a la gravedad terrestre y que por tanto no puede escapar de su campo.
Pueden ocurrir:
A) Si la velocidad es menor que la de escape “y tiene la dirección del peso” sería como
tirar una piedra verticalmente hacia arriba: subirá hasta una determinada altura (más
o menos grande dependiendo del valor de la velocidad inicial) y volverá a caer al
suelo.
Ep Superf .Tierra + Ec quelehemos = Ec arriba + Ep arriba < 0
comunicado
Como ∆Ec+∆Ep=0 → mientras sube, la disminución de ∆Ec conlleva un aumento de
la ∆Ep y al contrario mientras baja.
B) Si la velocidad con que lo lancemos “tiene componente vertical y horizontal” el
cuerpo subirá hasta la altura h (la componente vertical de la velocidad es quien le
hace subir) y allí pueden pasar tres cosas:
b1. Que la componente tangencial de la velocidad sea igual a la que debe tener para
orbitar a esa altura a la que ha llegado v orbital = GM / r . En ese caso, una vez arriba,
describirá una órbita circular alrededor de la tierra y su energía como hemos
deducido valdrá:
Energía mecánica cero : Si la energía mecánica es cero (Ec+Ep=0), entonces el satélite
tendrá la energía mínima para escapar del campo, y lo haría siguiendo una trayectoria
parabólica. A la velocidad necesaria se le llama velocidad de escape: v escape = 2GM / r
Energía mecánica positiva: Es decir, si le comunicamos una velocidad tal que Ec>Ep
entonces, por supuesto escapará del campo gravitatorio, pero lo haría siguiendo una
trayectoria hiperbólica. Además como puede suponerse llegaría al infinito con una
velocidad>0.
E6B.S2008
a) Explique qué se entiende por velocidad de escape de la Tierra y deduzca
razonadamente su expresión.
b) Suponiendo que la velocidad de lanzamiento de un cohete es inferior a la de escape,
explique las características del movimiento del cohete y realice un balance de energías.
EJEMPLO:
a) Se lanza hacia arriba un objeto desde la superficie terrestre. Calcula la velocidad inicial
que hemos de comunicarle para que llegue a una distancia r del centro de la tierra.
Particularice la expresión de la velocidad inicial para puntos próximos a la superficie
terrestre.
b) Comente los cambios energéticos que tienen lugar durante el ascenso del objeto
considerando despreciable el rozamiento.
c) Calcule la velocidad orbital para que gire en una órbita r
d) Se lanza hacia arriba un objeto desde la superficie terrestre. Calcula la velocidad inicial
que hemos de comunicarle para que llegue a una distancia r del centro de la tierra y orbite.
e) Calcular la velocidad de escape del objeto si lo lanzamos desde la superficie de la tierra.
¿ y si lo lanzáramos desde la órbita de radio r?
DATOS: G, MT, RT, m = masa del objeto
sube el satélite hasta la altura a que debe orbitar y una vez allí se le comunica
horizontalmente una velocidad igual a la orbital.)
a) Cuando a un cuerpo le comunicamos (por algún procedimiento) una energía cinética
estamos aumentando su energía mecánica y puesto que la fuerza gravitatoria es conservativa
podemos aplicar el principio de conservación de la energía mecánica. Teniendo en cuenta
que si se lanza verticalmente hacia arriba irá subiendo hasta pararse, poner que:
Ec tierra + Ep tierra = Ec P + Ep P
Ec tierra + Ep tierra = Ec P + Ep P

M ⋅m 1
M ⋅m
1

 = mv 2P +  − G T
mv 02 +  − G T

2
R
2
r 


T

de donde:
 1 1
 r − RT
v 0 = 2GM T 
−  = 2GM T 
 RT r 
 RT ⋅r

 h 
 = 2GM T 


 RT ⋅r 
Particularización para puntos próximos a la superficie terrestre: Teniendo en cuenta que en
tal caso las distancias entre las masas RT y r son prácticamente iguales, y que la gravedad
es g = GMT/R2 podemos poner:
 h
v 0 = 2GM T  2
 RT

M ⋅m 1
M ⋅m
1

 = mv 2P +  − G T
mv 02 +  − G T

2
R
2
r 



T
sustituyendo vp por la velocidad orbital:
2

M ⋅ m  1  GM T  
MT ⋅ m 
1
 = m
mv 02 +  − G T

 +  − G r 
2
R
2
r


T



 = 2 g h

de donde
En realidad este ejercicio es igual al que hemos resuelto en cursos anteriores (aunque utilizando
la expresión de Ep válida para puntos próximos): “Calcular la altura que alcanza un cuerpo
cuando se le comunica verticalmente y hacia arriba una inicial vo”. En tal caso lo que hacíamos
era aplicar, exactamente igual, la conservación de la energía mecánica, pero asignábamos nivel
cero de Ep en la superficie de la tierra y la expresión mgh para la Ep a una altura h: (sería igual si
asignamos EpA=mghA y a EpB=mghB ya que en tal caso mg(hB– hA) =mgh )
Ec tierra + Ep tierra = Ec P + Ep P
1
2
→
mv 0 + m g h A = 0 + m g h B
v0 = 2g h
2
 2r − R T 

v 0 = GM T 
 RT r 
d2. podríamos haber hecho otro razonamiento (aunque en el fondo es exactamente lo
mismo). Se trataría de calcular la diferencia de energía mecánica que tiene la masa m
cuando está en la órbita r y cuando está parada sobre la superficie de la tierra. Esa
diferencia de energía es la que hemos de comunicarle en forma de energía cinética:
E A = Ec A + Ep A = −G
M⋅m
RT
2
b) De acuerdo al principio de conservación de la energía mecánica, ∆Ec + ∆Ep = 0 , como
el incremento de energía cinética es negativo (puesto que al subir va disminuyendo su
velocidad), la energía potencial debe incrementarse en el mismo valor pero positivamente.
c ) Teniendo en cuenta que para un observador no inercial que se mueva con la masa m la
fuerza resultante sobre ella es nula:
M ⋅m
GM T
v2
Fgrav = Fc → G T 2 = m
→ v orbital =
r
r
r
d) d1.Este caso es parecido al apartado a) con una diferencia: que una vez que llegue a
la distancia r no puede tener velocidad nula, sino precisamente una velocidad igual a la
velocidad orbital y además esa velocidad debe ser tangencial (ya que si tuviese
componente vertical seguiría subiendo). (En realidad no se hace así, sino que primero se
E B = Ec B + Ep B =
1  GM  
M⋅m
M⋅m
+ − G
m
 = −G
2 
r  
r 
2r
La diferencia de energía de cuando está orbitando con radio r y cuando estaba en reposo en
la superficie de la tierra es EB–EA=WF.No.Conserv =GMm(2r–R/2Rr)
Teniendo en cuenta que ese trabajo que le comunicamos lo debe adquirir en forma de
energía cinética, tenemos que:
 2r − R T
GMm
 2R T r
 1
 = mv 02
 2
→
 2r − R T
v 0 = GM T 
 RT r



En realidad hay una diferencia entre ambos razonamientos. En el primer caso se parte de
que el cuerpo está sobre la superficie de la tierra, pero ya se le ha comunicado la energía
suficiente y por eso ahora ya todas las fuerzas son conservativas, entonces: ∆Ec + ∆Ep = 0
En el segundo caso se parte de un momento anterior, es decir cuando el cuerpo aun está en
reposo sobre la tierra, y por tanto para que comience a subir necesita que se le comunique
una energía, entonces: ∆Ec + ∆Ep = WA → B
F. NoConservat
v escape =
 r − RT 

v 0 y = 2GM T 
 RT ⋅r 
El módulo de la velocidad inicial será, por tanto:

 2r − R T
 = GM T 

 RT r



No confundas la componente Y de la velocidad inicial con la componente Y del vector velocidad total. Esta sí que
depende del tiempo, ya que este es suma de la velocidad inicial y de la debida a la gravedad sería:
r
v=
 r − RT
GM T r 
i +  2GM T 
 R ⋅r

r
 T

r

 −g t j




donde g = G M
r2
La componente Y de la velocidad inicial depende del tiempo, ya que es la suma de la componente Y de la velocidad
inicial (que es constante e igual a la que requiere para elevarse hasta una distancia r del centro de la tierra) y de la debida
a la gravedad (que depende del tiempo).
e) La velocidad de escape es aquella que permite que el cuerpo escape de la atracción
terrestre y ello requiere que su energía total sea positiva o nula como mínimo.
Si queremos que el cuerpo escape completamente debemos comunicarle una energía
cinética de manera que no se detenga hasta llegar al infinito, donde su energía mecánica
sería cero porque llega con velocidad cero y porque allí su Ep=0, ya que es inversa a la
distancia. Por tanto, como la energía mecánica en el lanzamiento debe ser igual a la que
tiene en el infinito:
Ec tierra + Ep tierra = Ec ∞ + Ep ∞
2GM
R
Si el cuerpo estuviera a una altura h la velocidad de escape, sería v escape =
La componente X de la velocidad inicial debe coincidir con
la velocidad orbital. (ya que durante todo el movimiento es
la misma y por tanto debe ser igual a la que tiene en el punto
más alto)
GM T
v 0 x = v orbital =
r
La componente Y de la velocidad inicial, que tampoco
depende del tiempo, es igual a la que requiere para elevarse hasta una distancia r del centro
de la tierra y ya hemos calculado antes.
 r − RT
GM T
+ 2GM T 
r
 RT ⋅r
1
M⋅m 1
M⋅m


2
mv 2escape +  − G
 = mv ∞ +  − G

2
R  2
∞ 


de donde:
d3. Para aclarar los conceptos y enlazar con lo que
aprendimos en los tiros de proyectiles, fíjate que la velocidad
inicial del cuerpo debe formar un cierto ángulo, teniendo dos
componentes:
2
2
v = v 0x
+ v 0y
=
E=
2 GM
r
donde r=R+h
Como puedes ver comparando la velocidad orbital y la velocidad de escape: v escape = 2 ⋅ v orbital
Ejemplo:
¿Con qué velocidad habría que lanzar desde la superficie de la tierra una nave para que
llegue a la luna?
Datos: MT=5,98.1024Kg ML=7,35.1022Kg
dT−L=3,84.108m
Esto es casi igual si que nos
pidieran la velocidad con que
hay que lanzar una piedra para
que llegue al tejado. La
pequeña diferencia es que, en
este caso, solo tenemos que
llevar el cuerpo hasta una
distancia x donde el campo
gravitatorio y el lunar se
igualan y luego ya será la luna la que tire del cuerpo y lo lleve hasta su superficie.
El punto Po donde la gravedad terrestre y lunar se igualan, es decir gT=gL :
G
MT
ML
=G
x2
(d − x ) 2
→
x=3,45.108m
Y ahora simplemente, aplicamos la conservación de la energía mecánica entre la
superficie de la tierra y ese punto Po donde la gravedad es cero, que es donde hay que
llevar al cuerpo.
Ec tierra + Ep tierra = Ec P 0 + Ep P 0
M ⋅m 1
M ⋅m
1


mv 2 +  − G T
 = mv 2Po +  − G T

2
R  2
x 


 1
1
v = 2GM T 
−  = 1,11 ⋅ 10 4 m / s
R
 T x
La intensidad de campo puede ser nula en el infinito o, como hemos visto en este caso,
en un punto entre la tierra y la luna donde la gravedad terrestre se compense con la
gravedad lunar.
AMPLIACIÓN
No obstante, habrás visto la ingravidez aparente de los astronautas en un satélite en
órbita. Se explica sencillamente porque la aceleración del satélite es igual a la aceleración
de la gravedad.
v2
Para un observador inercial g ≡ a normal =
y para un observador no inercial
r
2
v
g = a centrífuga =
r
Sería exactamente igual que si vamos en un ascensor y se rompe la cuerda. La
aceleración con que nos moveríamos sería igual a la de la gravedad, con lo que, respecto
de la cabina del ascensor, tendríamos aceleración cero y la sensación de ingravidez. Si
en tal situación soltamos un objeto nos daría la impresión de que no cae porque siempre
guardaría la misma posición respecto a nosotros, sin embargo respecto de un SRI,
realmente ambos estamos cayendo con una aceleración igual a la de la gravedad.
El concepto de circulación se introdujo primero en hidrodinámica para saber si un fluido
circulaba, es decir si hay un movimiento neto del mismo a través de un camino o conducción.
CIRCULACIÓN DE UN VECTOR A LO LARGO DE UN CAMINO C
De la misma forma se puede aplicar al vector Intensidad de campo, aunque en este caso
realmente no hay nada que circule. Imagina un camino cualquiera, abierto o cerrado.
r
r
Tomemos un elemento de camino d r entonces la circulación del vector I a lo largo del
mismo se define como el producto escalar de la intensidad de campo por el vector
desplazamiento:
r r
dC = I • d r
dC = Circulación a lo largo del elemento de camino dr
r
I = Intensidad de campo
r
d r = vector desplazamiento que ya conocemos (vector tangente al camino):
r
r
r
r
d r = dx i + dy j + dzk
α = ángulo que forman la Intensidad de campo y el vector desplazamiento
r
Si dividimos el camino a seguir en elementos d r y evaluamos para cada uno el
diferencial de circulación y los sumamos todos, tendremos la circulación total del vector
r
I entre los puntos A y B a lo largo del camino c. Esto se expresa con la integral de línea
siguiente:
Br
r B
C A →B,c = ∫ I • d r = ∫ I ⋅ cos α ⋅ dr
A ,c
A,c
Se lee: la circulación entre los puntos A y B a lo largo del camino c
Si la circulación fuese a lo largo de un camino cerrado, es decir desde el punto A al B y
luego desde el B al A, tendríamos:
B
C=
r
r
A
r
r
r
r
∫ I • d r + ∫ I • d r = ∫ I • dr
A ,c1
B, c 2
La integral con el circulito indica que el camino es
cerrado.
El concepto de circulación que se ha definido es aplicable a cualquier vector:
• La circulación del vector fuerza entre los puntos A y B a lo largo de un camino c
no es más que el trabajo realizado por la fuerza para llevar al cuerpo desde el
punto A al B por ese camino. (Ya recordarás cuando definimos el trabajo, que
dijimos que en general depende del camino seguido. No obstante si la fuerza es
conservativa no sería necesario especificar el camino porque no depende de él.)
Br
r
C A → B,c = ∫ F • d r = WA → B,c
y = 2x
camino c1:
•
sustituyendo, la primera integral nos quedaría como:
•
en la segunda integral debemos hacer lo mismo, poner todo en función de una
sola variable. Así que, si despejamos la x y sustituimos, nos quedaría: ∫ y / 2 ⋅ dy
pero también si derivamos la ecuación de la trayectoria tendremos que
dy = 2dx , así que también podríamos optar por poner la segunda integral de la
• La circulación del vector intensidad de campo entre los puntos A y B es igual a
la menos la diferencia de potencial entre esos puntos. (En este caso nos da igual
el camino seguido porque la diferencia de potencial entre dos puntos solo
depende de la posición de los puntos.)
B
B
r r
r 
Mr
M 
M
C A → B = ∫ g • d r = VA − VB = ∫ − G 2 u r • d r =  − G  −  − G 
rA  
rB 
r

A
A
forma:
∫ x ⋅2dx . Da igual tomar una u otra aunque claro, según optemos, los
límites de integración serían desde yA a yB o desde xA a xB .
WA →B,c1 =
x =1
∫ 3x
2 x ⋅ dx +
2
x =0
B
WA →B,c1 =
r
B
r
∫ F • dr = ∫ (3x
A ,c1
WA →B,c1 =
2
y ⋅ dx + x ⋅ dy)
A ,c1
[ ]
 6x 4 
2
WA →B,c1 = 
 + x
 4 0
∫ x ⋅ 2dx
1
0
= 2,50Julios
b) El trabajo para llevar la partícula a lo largo del camino c2 se hace exactamente igual,
con la única diferencia de que ahora la relación entre las variables x e y es distinta,
porque viene dada por la ecuación del camino:
y = 2x 2
camino c2:
•
r r
r
r
y i + x j) • (dx i + dy j )
A , c1
B
∫ (3x
2
x =1
x =0
1
Nos dice que calculemos el trabajo, pero sería exactamente igual si nos hubiesen dicho
que calculemos la circulación del vector fuerza entre esos puntos y por esos caminos, ya
que como sabemos es la misma cosa.
•
Sustituyendo la ecuación de la trayectoria en la primera integral, nos quedaría
2
2
∫ 3x ⋅ 2x ⋅ dx y los límites de integración, como integramos respecto de x,
serían xA y xB, es decir entre 0 y 1
Teniendo en cuenta que si derivamos la ecuación de la nueva trayectoria
( y = x 2 ) obtendremos dy = 4 x ⋅ dx si sustituimos en la segunda integral nos
quedará
∫ x ⋅ 4x ⋅ dx
y los límites de integración, como también integramos
respecto de x, serían xA y xB, es decir entre 0 y 1
La integral podemos descomponerla en dos integrales, una donde, como puedes ver, se
integra respecto a x y la otra donde se integra respecto a y.
WA →B,c 2 =
x =1
∫ 3x
2
2x 2 ⋅ dx +
x =0
B
WA → B,c1 =
∫
A ,c1
B
3x 2 y ⋅ dx +
3x 2 ⋅ 2x ⋅ dx y los límites
de integración, como integramos respecto de x, serían xA y xB, es decir entre 0 y 1
A,c
Ejemplo:
r r
r
Calcular el trabajo realizado por la fuerza F = 3x 2 y i + x j cuando lleve a una partícula
desde la posición A(0,0) hasta la B(1,2) a través de los caminos:
a) de la recta y = 2 x
b) de la parábola y = 2x 2
∫
∫
x ⋅ dy
A , c1
a) Hasta aquí es lo mismo sigas la trayectoria que sigas, porque solamente hemos
sustituido F por su valor y realizado el producto escalar.
fíjate que, por ejemplo, en la primera integral se integra respecto de x, pero la y no es
una constante porque depende de x, así que antes de realizar la integral debemos poner
todo en función de una sola variable y para eso es para lo que necesitamos la ecuación
de la trayectoria, así que como:
x =1
∫ x ⋅ 4x ⋅ dx
x =0
1
1
 4x 3 
 6 x5 
WA → B,c 2 = 
+
 = 2,53Julios

 5 0  3 0
Como puede verse, en general, el trabajo depende de la trayectoria seguida. Por el
contrario, si solo dependiera de la posición de los puntos A y B diríamos que la fuerza
es conservativa.
Ejemplo:
FLUJO A TRAVES DE UNA SUPERFICIE
El concepto de flujo se introdujo en hidrodinámica para expresar el flujo neto de fluido
a través de la superficie. En un campo vectorial se aplica el concepto de flujo de manera
análoga para indicar el número de líneas de fuerza que atraviesan una superficie, aunque
está claro que como las líneas de campo son imaginarias, en realidad a través de la
superficie no fluye nada.
Sea una superficie cualquiera, abierta o cerrada, si tomamos un elemento diferencial de
superficie dS, el flujo (φ) de la Intensidad de campo a través de ella se define como el
producto escalar del vector Intensidad de campo por vector de superficie:
dφ = Flujo a través del elemento dS
r
I = Intensidad de campo que lo atraviesa
r
dS = vector perpendicular a la superficie y de
módulo igual al área del elemento
α = ángulo que forman la Intensidad de campo y la
normal a la superficie
Si dividimos la superficie S en elementos infinitesimales dS y calculamos para cada uno
la diferencial de flujo y las sumamos todas tendremos el flujo total a través de toda la
superficie, lo que se expresa como la integral de superficie:
El Flujo φ2 a través de la cara anterior es:
φ 2 = E ⋅ S ⋅ cos α = E ⋅ S ⋅ cos 0º = E ⋅ πR 2
El flujo φ3 a través de la cara de atrás es:
S
No tienes que preocuparte por la aparición de una integral de superficie, porque en
todos los casos que se van a plantear se resolverá sin tener que recurrir a cálculos
complejos. Por ejemplo:
r
A) Si el campo es constante y perpendicular a la superficie, dS , es decir que I=cte y
α=0º nos quedaría que:
r r
φ = ∫ I • dS = ∫ I ⋅ dS ⋅ cos 0º = I ∫ dS = I ⋅ S
S
B) Si el campo es constante y paralelo a la superficie, es decir α=90º , entonces, como
el producto escalar es nulo:
φ=0
C) Si el campo es constante y forma un ángulo α con la perpendicular a la superficie:
φ = I ⋅ S ⋅ cos α
φ1 = E ⋅ S ⋅ cos α = E ⋅ S ⋅ cos 90º = 0
siendo R el radio del cilindro
r r
φ = ∫ I • dS
S
Vamos a calcular el flujo a través de la pared lateral, luego de la cara anterior y luego de
la posterior. Sumando tendremos el flujo total a través de toda la superficie del cilindro
El flujo φ1 a través de la pared lateral es cero, porque el campo y el vector superficie
forman 90º y su coseno es nulo:
r r
dφ = I • dS
S
r
Un cilindro está en un campo eléctrico uniforme E como se indica en la figura.
¿Cuánto vale el flujo a través del cilindro?
φ3 = E ⋅ S ⋅ cos α = E ⋅ S ⋅ cos180º = −E ⋅ πR 2
El flujo total se obtiene sumando:
φ = φ1 + φ 2 + φ 3 = 0
Más adelante estudiemos el teorema de Gauss, según éste, el flujo total a través de una
superficie cerrada es nulo si no encierra cargas en su interior (o masas en el caso del
campo gravitatorio).
Ejemplo:
Una espira cuadrada de 4cm de lado se encuentra en un campo magnético de 2Weber/m2.
Calcular el flujo que atraviesa a la espira:
a) Cuando está perpendicular al campo
b) Cuando está paralela al campo
c) Cuando forma un ángulo de 60º con la dirección del campo
d) Cuando gira con una velocidad angular ω
FLUJO DE LA INTENSIDAD DE CAMPO A TRAVES DE UNA SUPERFICIE
CERRADA. TEOREMA DE GAUSS
El teorema de Gauss nos permite calcular el flujo de la Intensidad de campo a través de
una superficie cerrada de forma cualquiera. Supongamos una superficie cerrada de
forma esférica, (para mayor sencillez, aunque el resultado es general) y que en su
interior encierra una masa m. El flujo a través de un elementode superficie sería:
Hemos definido el flujo de forma general como el producto escalar de un vector a
r
través de una superficie, En este caso el vector es la inducción magnética B y la
superficie, en realidad no es tal, puesto que una espira no es más que un hilo conductor
que se cierra sobre sí, pudiendo tener forma circular, cuadrada o cualquier otra.
r r
dφ = g • dS
a)
φ = B ⋅ S ⋅ cos 0º = B ⋅ S = 2 ⋅ 0,04 2 = 3,2 ⋅ 10 −3 Weber
El flujo a través de toda la superficie se obtiene integrando a toda ella:
r r
m
m
m
φ = ∫ g • dS = ∫ − g dS = ∫ − G 2 dS = −G 2 ∫ dS = −G 2 ⋅ 4πr 2 = −4πGm
r
r S
r
S
S
S
b) Cuando la espira está paralela al campo el flujo es cero, porque en ese caso el vector
superficie y el campo forman 90º y su coseno es nulo
c) Cuando la espira forma un ángulo de 60º con la inducción magnética, fíjate que el
ángulo que ésta forma con el vector superficie sería de 30º (no olvides que el vector
superficie es perpendicular a la superficie)
resolviendo el producto escalar y
teniendo en cuenta que α=180º
r r
g • dS = g ⋅ dS ⋅ cos180 = −g dS
La integral de superficie es la suma de
todas las superficies elementales y por
tanto la superficie de la esfera 4πr2
φ = B ⋅ S ⋅ cos 30º = B ⋅ S = 2 ⋅ 0,04 2 ⋅ cos 30 = 3,8 ⋅ 10 −3 Weber
d) Cuando la espira gire con una velocidad angular ω, el ángulo α será función del
tiempo, estando relacionados ambos, como sabemos por: α = α o + ω ⋅ t
φ = B ⋅ S ⋅ cos α = B ⋅ S ⋅ cos ωt
φ = 3,2 ⋅ 10 −3 cos ωt
En el caso de que dentro de la superficie hubiera varias masas, el flujo total sería la
suma del debido a cada una de ellas, es decir que:
φ = −4πG ∑ m i
Es muy importante tener en cuenta que:
•
Se trata del un flujo variable, porque depende del tiempo como puede verse. Mas adelante
veremos que si un circuito (la espira en este caso) es atravesado por un flujo magnético
variable, en él aparece una fuerza electromotriz inducida (e) que viene dada por:
e=−
dφ
d(B ⋅ S ⋅ cos ωt )
= BSω ⋅ senωt
=−
dt
dt
Precisamente en esto se basa la producción industrial de corriente alterna.
•
•
Solamente contribuyen al flujo a través de la superficie cerrada las masas (o cargas en
el caso del eléctrico) que se encuentren en su interior.
De ello se deduce que el flujo a través de una superficie cerrada que no contiene masas
(o cargas) en su interior es nulo. La consecuencia es que la líneas de campo gravitatorio
son abiertas (sumideros para las masas y confluyen en un punto) con lo que entrarían en
la superficie por un lado y saldrían por el otro dando resultante de flujo nula.
El flujo a través de la superficie cerrada es independiente de la posición de las masas
en su interior, ya que su expresión no depende de r.
El flujo del campo gravitatorio a través de una superficie cerrada debido a las
masas que encierra en su interior siempre es negativo.
Ejemplo:
Dentro de una caja de galletas hay dos bolas iguales de masa m y fuera de ella hay otra
bola también de masa m.
a) Cual será el flujo del campo gravitatorio a través de la caja?
b) Como se calcularía el campo en un punto P fuera de la caja?
Como hemos dicho, solamente contribuyen al flujo a través de la superficie cerrada las
masas en su interior y además que el flujo es independiente de la posición de las masas
en el interior de la superficie:
φ = −4 π G ( m + m )
TEMA 2: VIBRACIONES Y ONDAS
PARTE 1
•
•
•
•
•
•
Movimiento periódico: Periodo
Movimiento Oscilatorio: Características
Movimiento armónico simple
Características cinemáticas del MAS
Características dinámicas del MAS
Energía del MAS
PARTE 2
Sin embargo para calcular el campo en un punto sí que
habría que tener en cuenta a todas las masas, estén donde
estén, y además también habrá que tener en cuenta las
posiciones que ocupa cada masa respecto al punto.
Aplicando el principio de superposición, no habría más que
calcular el valor del campo en el punto P debido a cada
masa por separado y sumarlos vectorialmente.
Ejemplo:
Obtener, utilizando el teorema de Gauss, la expresión de la intensidad de campo
gravitatorio creado por una masa m a una distancia r.
Por supuesto ya sabemos la expresión que tiene, pero vamos a obtenerla a partir del
teorema de Gauss. Dibujamos alrededor de la masa una superficie cerrada que va a ser
una esfera cuya distancia a la masa será r. Según la ley de Gauss:
• Fenómenos ondulatorios: Pulsos y ondas
• Rasgos diferenciales de ondas y partículas: Deslocalización espacial, transporte
de cantidad de movimiento y energía sin transporte de materia.
• Ondas longitudinales y transversales. Descripción cualitativa de los fenómenos
de polarización.
• Magnitudes de una onda: Amplitud, frecuencia, periodo, longitud de onda y
número de ondas. Relación entre ellas.
• Velocidad de propagación: Descripción cualitativa de su dependencia de las
propiedades del medio.
• Ondas armónicas: Expresión matemática de la función de onda y descripción de
sus características.
• Periodicidad espacial y temporal de las ondas: su independencia.
• Velocidad y aceleración con que vibran los puntos del medio.
• Magnitudes asociadas a una onda: Energía, Intensidad y Absorción
PARTE 3
r r
φ = ∫ g • dS
expresión general del flujo
S
φ = −4πGm
Teorema de Gauss
Como:
r
r
• El vector g y el vector dS forman ángulo de 180º
• El módulo de g es constante en toda la superficie, porque al ser la superficie
esférica en todos sus puntos dista igual a la masa m.
m
− g ∫ dS = −4πGm
⇒
⇒
− g ⋅ 4π r 2 = −4π G m
g=G 2
r
S
• Superposición de ondas: Descripción cualitativa de los fenómenos de
interferencia de dos ondas.
• Ondas estacionarias: Ondas estacionarias en resortes y cuerdas. Ecuación de una
onda estacionaria y análisis de sus características. Diferencias entre ondas
estacionarias y ondas viajeras.
• Principio de Huygens
• Propagación de una onda: Reflexión y refracción en la superficie de separación
de dos medios.
• Difracción: Diferencias de comportamiento de la luz y del sonido en los
fenómenos cotidianos.
AMPLIACIÓN
• Pulsaciones
• Efecto Doppler
• Ondas de choque
MOVIMIENTO PERIÓDICO
Una partícula describe un movimiento periódico cuando a intervalos iguales de tiempo,
que llamamos periodo, repite sus valores cinemáticos (posición, velocidad y
aceleración).
El movimiento armónico simple puede ser representado como la proyección de un
movimiento circular uniforme sobre un diámetro. Imagina una lápiz sobre el plato de un
tocadiscos que gira con velocidad angular constante. Si lo proyectamos sobre la pared
obtendríamos un MAS.
Son movimientos periódicos el giro de la manecillas de un reloj, el movimiento circular
uniforme, el bote elástico de una pelota, etc
MOVIMIENTO OSCILATORIO. CARACTERÍSTICAS
Un movimiento oscilatorio es el de una partícula que se desplaza sucesivamente de un
lado a otro de un punto central, o de equilibrio, a intervalos regulares de tiempo, que
llamamos periodo, y repite sus valores cinemáticos (posición, velocidad y aceleración).
Si la trayectoria es rectilínea y el origen se encuentra en el centro se llama vibratorio.
Son movimientos oscilatorios el de un muelle, un péndulo, una varilla sujeta por un
extremo, una cuerda de guitarra, etc, siempre que en todos los casos se desplacen de la
posición de equilibrio y se suelten.
Supongamos un punto P que describe un movimiento circular uniforme con una velocidad
angular ω y gira en sentido antihorario con un radio A. Según que lo proyectemos sobre un
eje u otro obtendríamos el MAS de un resorte que oscila verticalmente o el MAS de un
resorte oscila horizontalmente.
Las dos magnitudes que sirven para definir un movimiento oscilatorio son el periodo y
la frecuencia:
•
•
•
Se llama periodo al tiempo (T) comprendido entre dos posiciones sucesivas de
las mismas características cinemáticas.
Se llama frecuencia (ν) al número de oscilaciones que tienen lugar en la unidad
de tiempo. (Se mide en seg−1 que recibe el nombre de Hercio)
La frecuencia y el periodo son funciones inversas:
T=
1
ν
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
De todos los movimientos oscilatorios, el más importante es el movimiento armónico
simple (MAS), debido a que además de ser el de más sencilla descripción matemática,
es una aproximación muy buena de muchas oscilaciones presentes en la naturaleza.
El MAS :
•
•
•
es un movimiento vibratorio y periódico
es rectilíneo
es acelerado, y en todo momento su aceleración es proporcional y de sentido
contrario al desplazamiento de la posición de equilibrio:
a = −ω x
2
donde ω es una constante de proporcionalidad y el signo menos indica que la
aceleración se opone a la deformación, es decir, que cuando x está en el lado
positivo del SR, a apunta hacia el negativo y viceversa.
Como vemos, al proyectar sobre el eje X obtenemos una función coseno y si proyectamos
sobre el eje Y obtenemos una función seno. Ambos resultados son equivalentes ya que el
seno de un ángulo es igual al coseno de su ángulo complementario, así que no habría más
que sumarle o restarle π/2 al ángulo inicial ϕo para que las dos funciones sean la misma.
Quiere decir que cos α = sen (α + π2 ) o bien que senα = cos(α − π2 ) (Precisamente π/2 es
lo que ha variado nuestro punto de vista para obtener una u otra proyección.)
Para el describir el movimiento de una partícula que ejecuta un MAS utilizaremos la
expresión:
x = Asen(ω ⋅ t + ϕ o )
CINEMÁTICA DEL MAS
Si la elongación del MAS viene dada por x = Asen(ωt + ϕ o ) entonces la velocidad
vendrá dada por su derivada respecto al tiempo, así que:
donde:
•
•
•
•
•
v=
x es elongación, es decir, la distancia en cada momento a la posición de
equilibrio. Normalmente utilizamos la x, pero si el MAS tiene lugar en dirección
vertical podríamos escribir y = Asen(ω ⋅ t + ϕ o )
A es la amplitud, es decir la elongación máxima
ω se llama pulsación o frecuencia angular e indica el número de veces que el
ciclo completo se repite en 2π segundos.
2π
ω=
= 2πν
T
ωt + ϕ o se llama fase e indica la situación del punto que vibra en relación a un
ciclo completo
ϕ o es la fase inicial, es decir la situación en referencia al ciclo completo que
tiene la partícula en el momento t=0.
Si representamos la elongación en función del tiempo, obtendremos una sinusoide. Para
eso le damos valores al tiempo cada cuarto de periodo:
dx
= Aω ⋅ cos(ωt + ϕ o )
dt
si representamos la velocidad en función del tiempo, y para ello le damos valores de
cuarto en cuarto de periodo, obtendremos:
•
•
como es de suponer la gráfica de la función coseno está desfasada π/2 respecto
de la función seno
comparando la gráfica de la elongación con la velocidad se observa que cuando
x=0, la velocidad es máxima y que cuando x=A, v=0. Eso es lo esperado, ya que
si pensamos por ejemplo en el muelle, en los extremos, donde la elongación es
máxima la velocidad es nula, porque allí se para, y luego empieza a crecer hasta
llegar a su máximo en la posición de equilibrio, donde x=0.
Relación entre la velocidad y la elongación. Si elevamos la ecuación de la velocidad al
cuadrado y tenemos en cuenta que sen 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1
v 2 = A 2 ω 2 cos 2 ϕ = A 2 ω 2 (1 − sen 2 ϕ) = ω 2 ( A 2 − A 2 sen 2 ϕ) = ω 2 (A 2 − x 2 )
sustituyendo x:
v = ±ω A 2 − x 2
(la representación en el caso de que ϕ o ≠ 0 sería igual, solo que desplazando el eje el
valor correspondiente. El eje sería el de color verde.)
Observa en la gráfica como el valor de la elongación va aumentando con el tiempo hasta
llegar al valor máximo (amplitud) en el momento en que t=T/4 y luego comienza a
disminuir hasta anularse para t=T/2. Luego sigue creciendo hasta llegar al máximo
negativo para t=3T/4, etc
Observa como efectivamente, cuando x=0 la velocidad es máxima e igual a Aω. El
signo positivo o negativo es la consecuencia de resolver la raíz cuadrada, e indica que
para cada valor de x hay dos velocidades una de cuando el móvil se acerca a la posición
de equilibrio y otra para cuando está en el mismo sitio pero alejándose.
La aceleración se obtiene derivando respecto al tiempo la ecuación de la velocidad:
a=
dv
= −Aω 2 sen (ωt + ϕ 0 )
dt
teniendo en cuenta que x = Asen(ωt + ϕ o ) , podemos poner que :
Resumen: Para mayor sencillez vamos a suponer que la fase inicial es φo=0, es decir,
que en el momento t=0, x=0
Magnitudes cinemáticas
Valor máx
x = A sen ωt
x máx = A
Relación con x
gráfica (magnitud/t)
a = −ω x
2
que como ya dijimos anteriormente es la condición para que un movimiento sea MAS.
Si representamos gráficamente la ecuación de la aceleración obtendremos:
v=
dx
= Aω ⋅ cos ωt
dt
v máx = Aω
v = ±ω A 2 − x 2
a=
dv
= −Aω 2 sen ωt
dt
a máx = Aω 2
a = −ω 2 x
Si observas detenidamente las ecuaciones de x y v comprenderás que ambas magnitudes
estén desfasadas un cuarto de periodo ya que una es función seno y la otra coseno. Ello
significa que cuando una toma su valor máximo la otra toma su valor nulo. Puedes verlo
también en las gráficas correspondientes. También puedes verlo muy claramente en la
relación entre ambas, ya que si por ejemplo x=0 → v = ±ω A 2 − 0 2 = Aω = v máx
•
•
La aceleración está desfasada π respecto de la elongación
La aceleración toma sus valores máximos absolutos en los mismos momentos
que la elongación, lo que pasa es que como tienen un desfase de π, cuando una
tiene su máximo positivo la otra tiene el máximo negativo y viceversa.
Por su parte x y a están desfasadas medio periodo, ya que ambas son función seno, pero
una tiene el signo cambiado respecto a la otra,. Ello significa que cuando una toma el
valor máximo positivo, la otra toma su máximo negativo. Puedes verlo claramente en la
relación entre ambas magnitudes a = −ω 2 x , que además es la condición de MAS.
Cuando x=0 → a=0 y cuando x=A → a = −Aω 2
En la figura hemos dibujando las tres gráficas “superpuestas“ correspondientes a masa
que ejecuta un MAS sujeta a un resorte.
Préstale atención a cada una de las gráficas hasta que las entiendas muy bien, en
especial a los valores que cada una de las magnitudes cinemáticas toma cada cuarto de
periodo y a cómo esos valores se corresponden con las curvas de la derecha.
Imaginemos una masa sujeta a un resorte y que ejecuta un MAS. Supongamos que
empezamos a contar el tiempo cuando la masa pasa por la posición de equilibrio
moviéndose hacia la derecha. En tal caso:
Durante el primer cuarto de periodo la masa se mueve desde la
posición de equilibrio x=0 (donde la velocidad es máxima) hasta
x=A. Durante ese tramo la aceleración tiene sentido opuesto a la
velocidad (y por supuesto la Fuerza recuperadora del muelle que
r
r
es quién la provoca FRe cup = −K x i ) por eso el cuerpo va
frenando hasta pararse en x=A.
Ejemplo:
Cuando la cuerda de una guitarra da la nota La vibra con una frecuencia de 440 Hz. Si
se desplaza 5mm a ambos lados de la posición de equilibrio, y si en el momento inicial
se encuentra a 2mm a la izquierda de la posición de equilibrio y moviéndose a la
derecha, calcula:
a) Ecuación de la elongación, velocidad y aceleración
La pulsación será:
ω=
2π
= 2π ⋅ ν = 880π rad/s
T
teniendo en cuenta que la amplitud es igual al máximo desplazamiento de la posición de
equilibrio, A=0,005m, la ecuación de la elongación del MAS será:
x = Asen(ωt + ϕ o ) = 0,005 ⋅ sen (880πt + ϕ o )
En x=A la masa está parada, pero la fuerza recuperadora, que
sigue apuntando hacia la posición de equilibrio (tiene sentido
r
− i ,) comienza a tirar de ella. Como ahora velocidad y
aceleración tienen el mismo sentido el movimiento es acelerado.
Cuando llega a la posición x=0 la velocidad vuelve a ser máxima,
aunque ahora tiene sentido contrario al inicial.
para completar la ecuación todavía nos queda calcular la fase inicial. Para ello
tendremos en cuenta que tal como puede verse en la figura, en el momento inicial (t=0)
la elongación es x=−0,002m. ¿Entiendes ahora el significado de la fase?
Por inercia rebasa la posición de equilibrio, pero inmediatamente
que entra en x negativo la fuerza recuperadora cambia de sentido
y, al tener aceleración en sentido contrario a la velocidad,
empezará a frenar hasta pararse en x=‒A.
(*) Al tomar x valores negativos, la fuerza recuperadora
r
r
r
FRe cup = −K x i tiene sentido + i , por eso siempre apunta hacia
la posición de equilibrio.
para el momento t=0, tenemos que:
Una vez parado en x=‒A, la fuerza recuperadora (responsable de
haberlo frenado) como mantiene el sentido hacia la posición de
equilibrio comienza a acelerarlo conforme disminuye su distancia
a x=0, donde llegará otra vez con la velocidad máxima.
Al haberse empleado un periodo completo, la masa vuelve a
tener exactamente los mismo valores cinemáticos
− 0,002 = 0,005 ⋅ sen (ϕ o )
⇒
ϕ o = −0,41 rad
así que la ecuación de la elongación de un punto de la cuerda será:
x = 0,005 ⋅ sen (880πt − 0,41)
Su velocidad y aceleración serán la primera y segunda derivada respecto al tiempo, así:
v=
dx
= 0,005 ⋅ 880π cos(880πt − 0,41) = 4,4π cos(880πt − 0,41)
dt
a=
dv
= −4,4π ⋅ 880πsen (880πt − 0,41) = −3872 π 2 sen (880πt − 0,41)
dt
DINAMICA DEL MAS
El péndulo simple o matemático no es más que
una masa m sujeta a un hilo de longitud L y masa
despreciable que está sujeto por el otro extremo
y ejecuta pequeñas oscilaciones de forma que
prácticamente el arco que describe sea una recta.
Como sabemos, en este caso, la fuerza
recuperadora es debida a la componente del
peso:
Teniendo en cuenta que un MAS es un movimiento vibratorio en el que debe cumplirse
que a = −ω 2 x . De acuerdo con la segunda ley de Newton, si la condición de MAS la
multiplicamos por la masa del oscilador tendremos que la fuerza que provoca el MAS
(llamara fuerza recuperadora por lo que ahora veremos) será:
Frecup = m a = − m ω 2 x = − k x
quiere decir que:
• La fuerza es proporcional al desplazamiento de la posición de equilibrio y el
“signo menos” indica que la fuerza (al igual que aceleración) se opone a la
deformación, , es decir, que cuando x está en el lado positivo del SR, a apunta
hacia el negativo y viceversa, por ese motivo se llama fuerza recuperadora
porque siempre apunta hacia la posición de equilibrio.
• La constante de proporcionalidad, llamada constante elástica, es k = m ω 2 y es
una constante característica para cada sistema.
• Para una masa determinada, la frecuencia angular es también una constante del
sistema. Como ω = 2π = 2π ν quiere decir también que cada sistema vibra con
T
un periodo propio y una frecuencia propia y característica.
El oscilador armónico ideal no es más que una
masa m sujeta a un muelle de constante elástica
k. Como sabemos la fuerza recuperadora, que
viene dada por la ley de Hooke es:
 2π 
Frecup = −kx = ma = −m ω 2 x = −m   x
 T 
2
donde se ha tenido en cuenta que la condición
para que un movimiento se pueda considerar
un MAS es que en todo momento su
aceleración sea proporcional y de sentido
contrario al desplazamiento de la posición de
equilibrio: a = −ω 2 x , así como que ω = 2π / T
x
 2π 
= ma = −m ω 2 x = −m   x
L
T 
2
Frecup = −mgsenα = −mg
donde se ha tenido en cuenta que senα = x/L y que la condición para que un movimiento
se pueda considerar un MAS es que en todo momento su aceleración sea proporcional y
de sentido contrario al desplazamiento de la posición de equilibrio: a = −ω 2 x , así como
que ω = 2π / T .
Despejando el periodo de la 3º y última:
T = 2π
L
g
Observa que:
• El periodo no depende de la amplitud de las oscilaciones, ni tampoco de la masa.
Solo depende de la longitud del péndulo y del valor de la gravedad
Ejemplo:
La lámpara de la iglesia de Atarfe está colgada de un hilo de 5 m de longitud. Si comienza a
oscilar ligeramente como consecuencia de una corriente de aire, podemos contar que ejecuta
13 oscilaciones en un minuto. Calcular el valor de la aceleración de la gravedad.
La frecuencia de las oscilaciones es:
Despejando k de la 2ª y 3ª
k = m ω2
Despejando el periodo de la 2ª y última
m
T = 2π
k
Observa que:
• El periodo (y la frecuencia) no depende de la amplitud de las oscilaciones. Solo
depende de la masa y de la constante del muelle (como ya apuntamos antes)
• También es independiente de si el muelle oscila horizontal o verticalmente
ν=
13
= 0,22Hz
60
T=
⇒
1
1
=
= 4,54seg
ν 0,22
y como:
T = 2π
L
g
⇒
g=
4π 2 L 4 π 2 ⋅ 5
=
= 9,6m / s 2
T
4,54 2
E1A.S2014
1. a) Describa el movimiento armónico simple y comente sus características dinámicas.
b) Un oscilador armónico simple está formado por un muelle de masa despreciable y
una partícula de masa, m, unida a uno de sus extremos. Se construye un segundo
oscilador con un muelle idéntico al del primero y una partícula de masa diferente, m’.
¿Qué relación debe existir entre m’ y m para que la frecuencia del segundo oscilador sea
el doble que la del primero?
ENERGÍA EN UN MAS
Energía potencial: Ya hemos dicho anteriormente, que las fuerzas recuperadoras
elásticas son fuerzas centrales y por tanto conservativas, así que como consecuencia
podemos definir el incremento de energía potencial entre dos puntos como el trabajo
que hemos de realizar nosotros para llevarlo desde un punto a otro.
b) Como los dos muelles son iguales, ambos tienen la misma constante elástica K.
Escribimos la frecuencia (inversa al periodo) para ambos sistemas y dividimos miembro
a miembro:
1 k
2π m
1 k
ν´= 2ν =
2π m´
ν=
1
m´
=
2
m
→
m´= m / 4
E1B.S2001
Un objeto de 0,2 kg, unido al extremo de un resorte, efectúa oscilaciones armónicas de
0,1 π s de período y su energía cinética máxima es de 0,5 J.
a) Escriba la ecuación de movimiento del objeto y determine la constante elástica.
b) Explique cómo cambiarían las características del movimiento si: i) se sustituye el
resorte por otro de constante elástica doble; ii) se sustituye el objeto por otro de masa
doble.
a) x = A sen (ω ⋅ t + ϕ o )
2π 2π
ω=
=
= 20 rad / s
T 0,1π
1
1
Ec máx = mv 2máx = m (Aω) 2 →
2
2
x = 0,11sen (20 t )
→
F = − K x = m a = m (−ω 2 x )
b)
v=
dx
= Aω ⋅ cos( ωt )
dt
a=
0,5 =
1
0,2 (A 20) 2 →
2
A=0,11m
K = m ω 2 = 0,2 ⋅ 20 2 = 80 N / m
dv
= −Aω 2 sen (ωt )
dt
i) Si duplicamos la constante elástica, manteniendo la masa, debe variar la
frecuencia angular, ya que K´= m ω´2 = 2 ⋅ K = 2 ⋅ m ω 2 → ω´= 2 ⋅ ω
La velocidad máxima (vmáx=Aω) aumentará en 2
La aceleración máxima (amáx =Aω2) aumentará el doble.
ii) Si duplicamos la masa, manteniendo K, igualmente debe variar la frecuencia
ω
angular, ya que K = m´ ω´2 = 2m ω´2 = m ω 2
→
ω´=
2
La velocidad máxima disminuirá en 1 / 2 y la aceleración máxima se hará la mitad.
WA →B
F.Conser .( F. Re cuperadora )
Br
r
r B
r B
1
= ∫ FRe cuperadora • d r = ∫ − kx ⋅ i • dx ⋅ i = ∫ − kx ⋅ dx = − kx 2
2
A resorte
A
A
1 2 1 2
= kx A − kx B = −∆Ep = Ep A − Ep B
2
2
B
A
Si asignamos cero a la Ep del resorte cuando está en la posición de equilibrio, podremos
hablar de energía potencial absoluta, así la Ep de un punto que dista x del origen sería:
1
Ep = kx 2
2
• Como vemos la Ep es máxima en los extremos, donde x=±A , Ep max = 12 kA 2 y
es nula en la posición de equilibrio, donde x=0.
• A partir de esa expresión y teniendo en cuenta que para un oscilador k = m ω 2 ,
1
1
podríamos escribirla como: Ep = kx 2 = mω 2 x 2
2
2
La representación gráfica de la Ep que tiene el punto en función de x, es decir, de la posición
que ocupa respecto de la posición de equilibrio sería exactamente igual que si representásemos
la función y=5x2, una parábola, solo que ahora en el eje de ordenadas estará la Ep y en el eje de
abscisas la x que tomará valores desde −A hasta +A puesto que no puede tomar otros.
La Energía cinética de la masa que oscila ejecutando un MAS es:
1
Ec = mv 2
2
Si tenemos en cuenta que v = ±ω A 2 − x 2 , podemos escribir la Ec en función de la
elongación como:
1
1
1
Ec = mv 2 = mω 2 (A 2 − x 2 ) = k (A 2 − x 2 )
2
2
2
• Como puede verse en ambas formas de expresar a la Ec, en el caso de que el
punto se encuentre en el origen, donde x=0 y la velocidad es máxima,
Ec max = 12 mv 2max = 12 m ω 2 A 2 = 12 kA 2 (Recuerda que v = dx
dt = Aω ⋅ cos(ωt + ϕ o )
y que por tanto la v max = Aω )
La representación gráfica de la Ec que tiene el punto en función de x, es decir, de la
posición que ocupa respecto de la posición de equilibrio sería exactamente igual que si
representásemos la función y=10−5x2, una parábola invertida. En el eje de ordenadas
estará la Ec y en el eje de abscisas la x que tomará valores desde −A hasta +A puesto
que no puede tomar otros.
Conservación de la energía mecánica en el MAS: Puesto que las fuerzas recuperadoras
son centrales y por tanto conservativas, se tiene que cumplir el principio de
conservación de la energía mecánica, de manera que en todo momento:
E = Ec + Ep = cte.
Al conservarse la energía mecánica será igual en todo momento a la suma de ambas,
pero también será igual a la potencial máxima Ep max = 12 kA 2 y también a la cinética
máxima Ec max = 12 mv 2max = 12 m ω 2 A 2 (Si te das cuenta verás que ambas expresiones
son totalmente equivalente, ya que k = m ω 2 )
E = Ec + Ep =
1
1
1
1
1
1
mv 2 + kx 2 = mω 2 ( A 2 − x 2 ) + mω 2 x 2 = mω 2 A 2 = kA 2
2
2
2
2
2
2
Ec + Ep
Ec + Ep
Ec máx
Epmáx
para x=0 para x=A
Como puede verse:
• En los extremos, donde x=±A, la Ec=0 y la Ep es máxima.
• En el origen la velocidad es máxima y también la energía Ec, mientras que Ep=0
• En cualquier otro punto se cumple que E = Ec + Ep = 12 mω 2 A 2 = 12 kA 2 = cte.
como corresponde a un sistema conservativo.
Representación gráfica
• Si representamos la ecuación de la energía potencial Ep = 12 kx 2 en función de la
elongación obtendremos una parábola (gráfica en rojo, que es exactamente igual
que si representásemos una ecuación como y = 5x 2 )
• Si ahora representamos la energía cinética Ec = 12 m ω 2 ( A 2 − x 2 ) en función de
la elongación obtendremos una parábola invertida (gráfica en azul, que es
exactamente igual que si representásemos una ecuación como y = 10 − 5x 2 , por
cierto que en este caso 10 sería la energía total)
• Si representamos a la energía mecánica obtendremos una recta ya que es
constante. (Es como si representásemos y=10)
• Observa como para cualquier valor de x, la suma de la Ec + Ep = E
Ejemplo:
Si una lámpara tiene una masa de 20Kg y está colgada de un hilo de 5 metros, calcular
su energía mecánica cuando está oscilando y forma un ángulo máximo de 2º respecto de
la vertical. ¿Cuánto valdrá la Ec y la Ep en el momento en que forma 1º con la vertical?
a) Si la cuerda de 5m se desplaza 2º de la vertical, la amplitud será:
A = 5 ⋅ sen 2º = 0,174m
g
por tanto, como la energía
L
mecánica es igual, por ejemplo, a la potencial máxima:
La pulsación del péndulo es ω =
E = Ep máxima =
1
1 g
1 10
mω 2 A 2 = m A 2 = 20 0,174 2 = 0,60J
2
2 L
2
5
o bien, teniendo en cuenta que Frecup = −mgsenα = −mg
y como E = Ep máxima =
x
mg
= −Kx → K =
L
L
1
1 g
KA 2 = m A 2 = 0,60J
2
2 L
b) En el momento en que forma 1º con la vertical, la elongación será
x = 5 ⋅ sen1º = 0,087m
1
1
1 g
1 10
mv 2 = mω 2 (A 2 − x 2 ) = m (A 2 − x 2 ) = 20 (0,174 2 − 0,087 2 ) = 0,45J
2
2
2 L
2
5
1
1 g 2 1 10
2 2
2
Ep = mω x = m x = 20 0,087 = 0,15J
2
2 L
2
5
Ec =
Como puedes ver se cumple que E=Ec+Ep
E4B.S2012
2. a) Energía mecánica de un oscilador armónico simple. Utilice una representación
gráfica para explicar la variación de las energías cinética, potencial y mecánica en
función de la posición.
b) Dos partículas de masas m1 y m2 (m2 > m1), unidas a resortes de la misma constante
k, describen movimientos armónicos simples de igual amplitud. ¿Cuál de las dos
partículas tiene mayor energía cinética al pasar por su posición de equilibrio? ¿Cuál de
las dos pasa por esa posición a mayor velocidad? Razone las respuestas.
a) Teoría
b1) Al pasar por la posición de equilibrio tendrá la energía cinética máxima (igual a la
energía mecánica) viene dada por E = 12 mω 2 A 2 = 12 KA 2 . Aparentemente, de la primera
forma de expresar la energía mecánica podría pensarse que es función de la masa, pero
no es así ya que si cambia la masa también debe cambiar la frecuencia para mantener el
valor de K. Así que donde se ve claramente que ambas masas tendrán la misma energía
cinética es en la segunda forma de expresar la energía mecánica, ya que solo depende de
K y de A y es independiente de la masa.
b2) Puesto que la energía cinética máxima es igual para las dos masas, es evidente que
la de mayor masa deberá tener menor velocidad, ya que Ec = 12 m v 2
E3A.S2010
a) Explique qué es un movimiento armónico simple y cuáles son sus características dinámicas.
b) Razone cómo cambiarían la amplitud y la frecuencia de un movimiento armónico
simple si: i) aumentara la energía mecánica, ii) disminuyera la masa oscilante.
a) Teoría
b) Teniendo en cuenta que:
1
K A 2 por tanto,(
2
para un sistema concreto de constante elástica K), solo depende de la amplitud.
• Por otro lado, la frecuencia del MAS de un oscilador viene dada por:
m 1
T = 2π
= que como vemos solamente depende de la masa oscilante y de
K ν
la constante elástica. Quiere decir que para un sistema concreto formado por un
resorte y una masa fija, la frecuencia de oscilación es una característica del
sistema.
b1) Al aumentar la energía mecánica aumentará la amplitud, pero permanecerá
inalterada la frecuencia de oscilación que es una característica del sistema.
b2) Al disminuir la masa oscilante aumentará la frecuencia, pero permanecerá constante
la amplitud, ya que no depende de la masa.
• La energía mecánica viene dada por E = Ec + Ep = Ep máx =
E2A.S2010
Un cuerpo, situado sobre una superficie horizontal lisa y unido al extremo de un resorte,
efectúa un movimiento armónico simple y los valores máximos de su velocidad y
aceleración son 0,6 m.s−1 y 7,2 m.s−2 respectivamente.
a) Determine el período y la amplitud del movimiento.
b) Razone cómo variaría la energía mecánica del cuerpo si se duplicara: i) la frecuencia;
ii) la aceleración máxima.
a) La ecuación general de un cuerpo que ejecuta un MAS es: x = Asen(ω ⋅ t + ϕ o ) .
Derivándola respecto al tiempo obtenemos la velocidad y a su vez, derivando ésta
obtenemos la aceleración, así que:
dx
v=
= Aω ⋅ cos(ωt + ϕ o )
dt
dv
a=
= −Aω 2 sen (ωt + ϕ 0 )
dt
como vemos, los valores de la velocidad máxima y de la aceleración máxima son:
v máx = Aω
0,6 = Aω
a máx = Aω 2
7,2 = Aω 2
de donde A = 0,05m y ω=12 rad/s
Teniendo en cuenta que ω=2π/T se deduce que T=π/6 seg y que la frecuencia es ν=6/π Hz
b1−a) La respuesta estricta a esta pregunta sería que un sistema concreto vibra con una
frecuencia característica y por tanto no es posible cambiarla, ya que la frecuencia
solamente depende de la constante del muelle (que es una característica del muelle) y de
la masa que oscila. Sabemos que el periodo (y la frecuencia que es la inversa) viene
dado por
T = 2π
m 1
=
K ν
E2B.S2009
a) Escriba la ecuación de un movimiento armónico simple y explique el significado de
cada una de las variables que aparecen en ella.
b) ¿Cómo cambiarían las variables de dicha ecuación si se duplicaran el periodo de
movimiento y la energía mecánica de la partícula?
a) Teoría
b) La ecuación de una partícula que ejecuta un MAS es x = Asen(ω ⋅ t + ϕ o )
En primer lugar, si se duplica el periodo de las oscilaciones variará la pulsación o
frecuencia angular haciéndose la mitad ya que es inversamente proporcional al periodo:
b1−b) Como puede verse, la frecuencia solo depende de la masa oscilante y de la
constante. Si no podemos cambiar la masa del cuerpo y queremos cambiar la frecuencia
de oscilación deberemos cambiar de muelle.
Vamos a ver qué relación existe entre la energía de dos muelles que vibran con
frecuencias ν y 2ν. Teniendo en cuenta que los resortes son sistemas conservativos, y que
por tanto la suma de la energía cinética y potencial permanece constante, resulta que la
energía mecánica será igual a la potencial máxima o bien a la cinética máxima, y como
K=mω2 y ω=2π/T=2πν:
E = Ec + Ep = Ep máx =
1
1
1
KA 2 = mω 2 A 2 = m 4π 2 ν 2 A 2
2
2
2
Como vemos, la energía de un sistema concreto solo es función de su amplitud (de su
cuadrado) y de la constante. Por eso decíamos de cambiar de muelle para poder alterar
la frecuencia del sistema, ya que la energía mecánica es proporcional al cuadrado de la
frecuencia E=f(ν2) por tanto, si se duplica la frecuencia ("cambiando de resorte"), la
energía mecánica se hará 4 veces mayor.
Podríamos contestar a otra pregunta: “Qué relación guardan las constantes elásticas de
dos resortes para que uno oscile con una frecuencia doble que el otro”. Despejando K
tenemos:
K = m ω 2 = 4π 2 m ν 2
K´= m ω´2 = 4π 2 m ν´2 = 4π 2 m (2ν) 2
div. miembro a miembro → K´= 4K
b2). Teniendo en cuenta que la a máx = Aω 2 (y puesto que para un sistema concreto la
frecuencia con que oscila es una constante característica del mismo y por tanto también
lo será la frecuencia angular ω = 2 π ν ), es evidente que, si se duplica la aceleración
máxima se duplica la amplitud.
Y como:
1
E = Ec + Ep = Ep máx = KA 2
2
Si la amplitud A se hace el doble, la energía mecánica se hará 4 veces mayor.
ω´=
2 π 2π ω
=
=
T' 2T 2
Por otro lado, si la energía mecánica se hace el doble variará la amplitud, puesto que
depende del cuadrado: E= ½KA2
Lo que ocurre es que si la energía se hace el doble la amplitud no aumenta en A´= 4 A
como parece a bote pronto, ya que si también hemos duplicado el periodo hemos necesitado
cambiar la constante elástica (el periodo depende de la masa y de la constante: K=mω2 ).
Así pues:
1
mω 2 A 2
2
1
E´= mω´2 A´2
2
E=
Div.miembro a miembro
E
1
ω2 A 2
ω2 A 2
= 2 2 =
=
2
E´ ω´ A´
2
ω
 
2
  A´
2
 
⇒ A´= 8A
FENÓMENOS ONDULATORIOS
En éste capítulo nos referiremos solo a ondas mecánicas, que son aquellas que necesitan
un medio elástico para propagarse. Imaginemos un medio compuesto por muchas
partículas unidas por una sustancia elástica. Si uno de sus extremos se perturba, es decir
sufre una deformación, la experiencia nos dice que ésta se propaga a través del medio,
aunque no lo hace de manera instantánea.
Cuando tiramos una piedra a un estanque la deformación se transmite de unos puntos a
otros y así sucesivamente, pero lo hace con un cierto retraso que depende de las
propiedades del medio.
En una onda transversal cada punto del medio ejecuta un MAS en dirección
perpendicular a la de propagación de la onda.
Cuando se enciende una bombilla, se da una palmada o tiramos una piedra al agua
generamos fenómenos que tienen una cosa en común: En cada caso hay una propiedad
que varía con el tiempo (la propagación de un campo electromagnético, la presión de los
puntos del medio o el desplazamiento de las partículas de agua) y se transmite a través
del medio de unos puntos a otros, pero de forma que el medio en sí no es transportado.
Las ondas transversales para propagarse necesitan un medio que presente fuerzas
tangenciales que se opongan a la deformación, por esa razón solamente se propagan en
sólidos y no pueden propagarse en el interior de líquidos ni gases, ya que sus
moléculas carecen de este tipo de fuerza tangenciales. Las ondas longitudinales, por el
contrario, pueden propagarse en cualquier medio.
Por tanto, en un movimiento ondulatorio hay un transporte de energía a través del medio,
pero no de masa, ya que las partículas el medio oscilan alrededor de una posición de
equilibrio y se transfieren la energía de unas a otras, pero no se desplazan en conjunto.
•
Ondas longitudinales: Son aquellas en las que las partículas del medio
vibran en la misma dirección en que se propaga la onda.
Tipos de ondas: Las ondas se pueden clasificar atendiendo a varios aspectos.
1. Según el medio en que se propagan se clasifican en :
•
•
Ondas mecánicas. Son aquellas en las que la perturbación producida en un punto
se transmite a las demás debido a las propiedades elásticas del medio, es decir
que la presencia del medio es indispensable para que tenga lugar la propagación
y por tanto la onda. (No obstante insistimos que el medio en su conjunto no se
desplaza, solo vibra. Piensa en una boya que al alcanzarla la ola sube y baja,
pero no se desplaza en conjunto.) El sonido es una onda de este tipo y por tanto
no puede propagarse en el vacío.
En una onda longitudinal cada punto del medio ejecuta un MAS en la misma dirección en
que se desplaza la onda. Este tipo de ondas se explica mediante una serie de
comprensiones y enrarecimientos (expansiones) sucesivos en el medio. Para entenderlo
mejor piensa en varias bolas todas iguales suspendidas a la misma altura.
Ondas no mecánicas: Son las que pueden propagarse aun sin un medio soporte, es
decir que pueden hacerlo en el vacío. A este tipo pertenecen todas las ondas
electromagnéticas, como la luz, que son el objetivo de otro tema.
2. Atendiendo a la relación que existe entre la vibración de las partículas del medio y la
dirección de propagación de la onda, se clasifican en :
•
Ondas transversales: Son aquellas en las que las partículas del medio vibran en
dirección perpendicular a la propagación de la onda.
Al dejar caer la primera bola, la energía que tiene es la que
comunica a la segunda y esta a la siguiente y así sucesivamente
hasta llegar a la última. En este caso, como en una onda, se
transporta la energía de una bola a la siguiente pero no la masa y
tiene lugar por las comprensiones y enrarecimientos
mencionados:
El sonido es una onda longitudinal y su propagación se explica como en el caso de las
bolas, así cuando se da una palmada la perturbación da lugar a una serie de
comprensiones y enrarecimientos de la masa gaseosa que se encuentra a su alrededor.
MAGNITUDES DE UNA ONDA.
Longitud de onda (λ) es la distancia que hay entre dos puntos consecutivos que están en
fase, es decir que tienen los mismos valores de elongación, velocidad, aceleración, etc)
Polarización de las ondas transversales
En una onda transversal la dirección de vibración de los puntos es perpendicular a la
dirección de propagación de la onda. quiere decir que, si por ejemplo la onda se propaga en
dirección del eje X, los puntos podrán vibrar en cualquier dirección siempre que esté
contenida en el plano YZ, como se muestra en la figura. Esta sería una onda no polarizada:
En el caso de que todos los puntos vibren en la misma línea si dice que la onda está
polarizada linealmente o que tiene polarización plana (porque todos los puntos vibran en
el plano formado por la línea de vibración y la dirección de propagación)
El número de onda (ν~ ) es una magnitud que indica el número de longitudes de onda
que hay en 1 metro. Es la inversa de la longitud de onda, y por tanto se mide en m−1:
1
~
ν=
λ
Una onda se puede polarizar de varias formas. Por ejemplo haciéndola pasar por una
rendija, tras lo cual saldrá polarizada en el plano que forma la rendija con la dirección
de propagación:
Periodo (T) es el tiempo que tarda la onda en recorrer una longitud de onda, es decir el
tiempo que tarda en pasar una longitud de onda por delante de un observador
estacionario. El periodo coincide con el periodo de vibración de las partículas del
medio, que como sabemos es el tiempo que tardan en dar una oscilación completa.
Frecuencia (ν) es la inversa del periodo, es decir es el número de longitudes de onda que
ve pasar un observador estacionario en la unidad de tiempo.
T=
También se puede polarizar por reflexión, ya que siempre que una onda se refleja se
polariza en mayor o menor medida, dependiendo del ángulo con que incide. (La
polarización es total cuando el ángulo de incidencia es tal que el de reflexión + el de
refracción suman 90º). La luz también se puede polarizar por absorción como ocurre en
las hoja polaroid (está formada por moléculas largas ordenadas paralelamente que hacen
de rendija).
La polarización es un fenómeno exclusivo de las ondas transversales, incluida la luz.
No tiene ningún sentido para las ondas longitudinales puesto que es ellas los puntos
solamente tienen una única dirección de vibración que es la que coincide con la
dirección de propagación de la onda.
1
ν
Amplitud (ymáx) es la separación máxima de la posición de equilibrio que experimentan
los puntos del medio cuando vibran. Como ya vimos en el MAS depende de la energía
que lleve la onda:
1
E = K y 2máx
2
donde K era una constante elástica característica del medio.
VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN DE LAS ONDAS
La velocidad de propagación de la onda (v) es la distancia recorrida por la onda en la
unidad de tiempo.
Todas las ondas tienen una velocidad de propagación constante que depende de las
características del medio, ya que influyen las fuerzas recuperadoras elásticas del medio.
(En la ampliación puedes ver esta dependencia de las características del medio con
velocidad de propagación de las ondas transversales, longitudinales y electromagnéticas.)
Puesto que el tiempo que la onda tarda en recorrer una longitud de onda es por
definición el periodo, tenemos que:
v onda =
•
•
y es la elongación de cada uno de los puntos de la cuerda
x es la distancia de cada punto x al origen o foco.
Supongamos que la onda avanza hacia la derecha con una velocidad v, entonces al cabo
de un tiempo t habrá avanzado un espacio vt y la ecuación de la onda será:
t=t
y = f ( x − vt )
λ
= λ ⋅ν
T
No debe confundirse la velocidad con que se propaga la onda (que es constante para
cada medio) con la velocidad con que vibran los puntos del medio, que como sabemos
ejecutan un MAS y su velocidad viene dada por v puntos = Aω ⋅ cos( ωt + ϕ o )
Ejemplo
Sabiendo que las ondas electromagnéticas se propagan a la velocidad de la luz (c=3.108
m/s) Calcular la longitud de onda en que emite Radio Ilíberis, si lo hace a una
frecuencia de 101,5 MHz.
v = λ ⋅ν
3 ⋅ 108 = λ ⋅ 101,5 ⋅ 10 6
λ = 2,96m
Efectivamente esa es la ecuación de una onda que se propaga hacia la derecha, puesto
que para que la fase se mantenga constante al aumentar t también aumenta x, de esta
forma al restar se mantiene fijo el término (x–vt).
Si representamos la ecuación de una onda que avanza hacia la izquierda su ecuación
sería del tipo y = f ( x + vt ) .
ONDAS ARMÓNICAS. EXPRESIÓN MATEMÁTICA DE LA ECUACIÓN DE
La función f puede tener cualquier expresión matemática, pero vamos a considerar
solamente aquellas cuyo perfil es de tipo seno o coseno, por las razones que más
adelante veremos. A estas ondas se les llama senoides u ondas armónicas, porque en
ellas cada partícula del medio ejecuta un movimiento armónico simple.
ONDAS
La ecuación de una onda armónica en el instante t=0 es:
t=0
En un movimiento vibratorio era suficiente con conocer la elongación del único punto
que vibra en función del tiempo: y=f(t)
En una onda (como hay muchos puntos ejecutando un movimiento vibratorio) es preciso
conocer la elongación (y) de cada punto (x) y en cada momento (t), es decir que y=f(x,t). Es
muy importante recordar que la ecuación de una onda depende de dos variables: x y t
Supongamos una cuerda larga en dirección del eje X por la que avanza una onda
transversal. Si en el instante t=0 le hacemos una foto, la forma de la cuerda se podría
representar por una ecuación del tipo:
t=0
Donde:
y = f ( x)
y = y max sen 2π
x
λ
donde:
•
•
•
•
y es la elongación de los puntos
x es la distancia del punto x al origen o al foco
ymax es la amplitud de la sinusoide
λ es la longitud de onda
Observa que, al tratarse de una función seno, el valor de y en un momento concreto será
el mismo para los puntos que disten del foco las distancias:
x, x+λ, x+2λ, x+3λ, ..., x+nλ
Supongamos que la onda se propaga hacia la derecha con una velocidad v. Al cabo de
un tiempo t la ecuación de la onda será:
x − vt
t=t
y = y max sen 2π
λ
λ
o bien, si tenemos en cuenta que v = podríamos escribirla como:
T
PERIODICIDAD ESPACIAL Y TEMPORAL DE LAS ONDAS
Una onda es doblemente periódica. Ya hemos visto que la ecuación de una onda
depende de dos variables: la posición y el tiempo, es decir que y = f ( x + vt )
Para un valor dado de t, es decir en un momento determinado, la ecuación de la onda
nos da el desplazamiento de la posición de equilibrio de cada punto del medio. Es como
si fuese una foto de la onda en ese instante:
x t 
y = y max sen 2π  − 
λ T
que es la ecuación de una onda armónica que se propaga hacia la derecha. Observa que,
al tratarse de una función seno, el valor de y de un punto concreto (que dista x=x1 del
foco) será el mismo en los instantes:
t, t+T, t+2T, t+3T, ..., t+nT
La ecuación de la onda también se suele escribir de la forma:
y = y max sen ( kx − ωt )
donde como puedes ver comparando:
•
•
2π
λ
2π
ω=
T
k=
es el Número de onda: Nº de ondas que hay en una distancia de 2π
es la Frecuencia angular
el valor de y en ese instante concreto será el mismo para los puntos que disten del foco
las distancias x, x+λ, x+2λ, x+3λ, ... , o en general que los puntos que distan x+nλ
están en fase. Lo contrario puede decirse de los que distan λ/2 , o múltiplo impar, que
están en oposición de fase.
Para un valor dado de x, es decir para un punto determinado que dista una distancia x
del foco, la ecuación de la onda nos da las distintas posiciones que ese punto ocupa
conforme transcurre el tiempo. Como ya sabemos el punto ejecuta un MAS:
Recuerda que :
"y es la elongación del punto x en el momento t". (Deberías llamarla siempre
así, con esa frase completa para ser consciente de que y depende de dos
variables). Lógico, ya que en el medio hay muchos puntos y con la x nos
referimos a uno en concreto [al que dista esa distancia del foco], pero ese punto
ejecuta un MAS y para poder medir la distancia a la que se encuentra de su
posición de equilibrio necesitamos indicar un momento t)
el valor de y de un punto concreto (que dista x=x1 del foco) será el mismo en los
instantes t, t+T, t+2T, t+3T, ... o en general que el punto x en los momentos t+nT
está vibrando en fase.
Los parámetros que caracterizan a la onda son: 1.La amplitud, 2.la longitud de la
onda (o su número de onda) y 3.el periodo (o su frecuencia angular)
Ejemplo:
Dada la onda armónica y = sen 2π(0,25x − 0,5t ) donde y, x se expresan en cm y t en
seg, calcular:
a) El periodo y la frecuencia de la onda
b) Longitud de onda y número de ondas
c) Velocidad de propagación de la onda y su sentido
d) Ecuación del foco
e) Ecuación del punto que dista 6cm del foco
f) Ecuación de la onda en los instantes t=0 y t=6 seg
g) Cuanto ha avanzado la onda en 6 seg.
h) Razona si la onda es longitudinal o transversal
i) Razona si otra onda del doble de amplitud y mitad de frecuencia tiene la misma velocidad
vamos a representar estas dos ecuaciones, que como ves son las ecuaciones del MAS de
esos puntos, ya que nos dan la elongación en función del tiempo de esos puntos
concretos, pero aun antes de hacerlo nos damos cuenta de que ambos puntos están
vibrando en oposición de fase ya que distan 6cm que es igual a 3(λ/2)
Para representar estas funciones lo más sencillo es darles al tiempo valores de cuarto en
cuarto de periodo, es decir, t=0, t=0,5, t=1, ... y vamos anotando los valores que va
tomando y:
y\t
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
yx=0
0
−1
0
1
0
−1
0
1
yx=6
0
1
0
−1
0
1
0
−1
No hay más que comparar la ecuación general de una onda con la de esta onda concreta:
x t 
y = 1 ⋅ sen 2π − 
 4 2
x t 
y = y max sen 2π − 
λ T
a), b) Como vemos por comparación:
y max = 1cm
T = 2seg y la frecuencia que es su inversa: ν =
1
= 0,5Hz
T
~ = 1 = 0,25m −1
λ = 4cm y el número de ondas: ν
λ
c) La onda debe propagarse hacia la derecha ya que al aumentar t debe aumentar x para
mantener constante el argumento, y un aumento de x significa desplazarse hacia la parte
positiva del eje X
λ 4
v = = = 2cm / s
T 2
d) El foco es el punto para el cual x=0, por tanto:
y
t =0
 t
= 1 ⋅ sen 2π −  = sen ( −πt )
 2
e) Un punto que dista x=6cm del foco tiene por ecuación:
y
t =6
t
6 t 

= 1 ⋅ sen 2π −  = sen 2π1,5 − 
4
2
2




f) La ecuación de la onda en los momentos t=0 y t=6 es:
x
y t = 0 = senπ
2
x

y t = 6 = sen 2π − 3 
4

Estas ecuaciones no corresponden a un MAS (y no es una función del tiempo), sino que
representan la forma que la onda tiene en esos instantes, es como si fuesen fotos de la
onda en esos momentos: una foto en el momento t=0 y luego otra en el t=6seg
Puesto que la diferencia de tiempo entre esos dos instantes es 6 seg = múltiplo entero
del periodo, en ambos instantes la forma de la cuerda será la misma.
Para representarlas vamos a darle a darle a x valores de cuarto en cuarto de longitud de
onda, es decir x=1, x=2, x=3, ...:
y\x
yt=0
yt=6
0
0
0
1
1
1
2
0
0
3
−1
−1
4
0
0
5
1
1
6
0
0
7
−1
−1
VELOCIDAD Y ACELERACIÓN CON QUE VIBRAN LOS PUNTOS DEL MEDIO
Hay que distinguir claramente entre la velocidad con que se propaga la onda, que como
sabemos es constante v = λ / T = λ ⋅ ν y la velocidad con que vibran los puntos del
medio que como sabemos ejecutan un MAS y por tanto no es constante, ni tampoco su
aceleración, puesto que proviene de una fuerza del tipo F = −ky .
Como ya vinos en el MAS, la velocidad con que vibran los puntos es:
g) Puesto que la onda se propaga a una velocidad constante de 2cm/s, en 6 seg habrá
avanzado: s = v ⋅ t = 12cm . Obvio, ya que en 6 seg = 3 periodos, la onda habrá
avanzado 3 longitudes de onda, es decir, 3*4 = 12 cm.
h) La ecuación de la onda indica la forma en que cada uno de los puntos del medio
vibran en función del tiempo, y tanto si vibran en la dirección de propagación (onda
longitudinal) o perpendicularmente a la dirección de propagación (onda transversal)
responden a una misma ecuación, salvo por las letras que utilicemos.
Si nos fijamos en las letras utilizadas, podemos ver que los puntos del medio los hemos
definido con la variable (x) lo que quiere decir que están sobre el eje X, mientras que el
desplazamiento de esos puntos de la posición de equilibrio se mide con (y), es decir,
vibran en el eje Y. En consecuencia la ecuación y = sen 2π(0,25x − 0,5t ) corresponde a
una onda transversal
v=
dy
 2π 
x t 
= y max  −  cos 2π − 
dt
 T 
λ T
y la aceleración:
dv
 2π 
x t 
= − y max  −  sen 2π − 
dt
 T 
λ T
2
a=
 t x
podríamos haber partido de la ecuación de la onda escrita como y = y max sen 2π − 
T λ
con lo que al derivarla habríamos obtenido:
v=
i) Si otra onda tiene doble amplitud y mitad de frecuencia tendrá distinta velocidad, ya
que v=λ.ν (tendría la mitad de velocidad). La energía que transporta sería mayor, ya que
E = 12 K y 2máx .
dy
 2π 
 t x
= y max   cos 2π − 
dt
 T 
T λ
dv
 2π 
 t x
= − y max   sen 2π − 
dt
 T 
T λ
2
a=
Ejemplo:
d 
 t
Dada la ecuación y = 8sen 2 
−  donde las distancias se expresan en cm.
0
,
05
20


a) Indicar la amplitud del movimiento periódico, su periodo, su frecuencia y su longitud de onda.
b) Al cabo de 0,15 seg y a una distancia de 40cm del foco determinar la elongación y velocidad
c) Determine la velocidad máxima y la velocidad de propagación de la onda.
i) Razona como sería la velocidad máxima con que vibran los puntos de otra onda del
doble de amplitud y mitad de frecuencia
a) Antes de comparar la ecuación con la ecuación general de una onda, fíjate que le falta
el número π, así que la vamos a escribir como:
d 
 t
y = 8sen 2π 
−

0
,
05
π
20
π

 t x
comparando con:
y = y max sen 2π  − 
T λ
y max = 8cm
T = 0,05π seg y la frecuencia que es su inversa: ν =
1 20
=
Hz
T π
1 0,05 −1
λ = 20π cm y el número de ondas: ~
ν= =
m
λ
π
b) La elongación (y) del punto que dista x=40cm del foco en el instante t=0,15seg es:
40 
 0,15
y x = 40, t = 0,15 = 8sen 2π 
−
 = 7,27cm
 0,05π 20π 
dy
2
d 
 t
v=
=8
cos 2 
− 
dt
0,05
 0,05 20 
la velocidad:
y sustituyendo para x=40cm y t=0,15seg, resulta que v=–133,17cm/s
c) Una cosa es la velocidad con la que vibran los puntos del medio, que varía con el
tiempo, puesto que cada uno ejecuta un MAS y otra cosa es la velocidad con que se
propaga la onda, que es constante y solamente depende de las características del medio.
La velocidad con que vibran los puntos del medio es:
v puntos =
dy
2
d 
 t
=8
cos 2 
− 
dt
0,05
 0,05 20 
→
v máx = 8
2
= 320 cm / s
0,05
ENERGÍA QUE TRANSPORTA UNA ONDA
Sabemos que en una onda elástica que se propaga a través de un medio elástico cada partícula
ejecuta un MAS y por tanto tiene una energía que se transmite a las siguientes y que es en parte
cinética y en parte potencial debida a su posición respecto de la posición de equilibrio.
A lo largo de un periodo una partícula cede toda su energía a la siguiente y a su vez la recibe
de la anterior, de manera que como puede suponerse la energía que transportada por la onda
es la total que posee la partícula.
La energía total es igual a la suma de Ec+Ep o bien igual a la cinética máxima o a la potencial
máxima, esta última igual a la que tiene cuando la partícula se encuentra en su desplazamiento
máximo:
1
E = Ep max = k ⋅ y 2max
2
donde k es la constante elástica del medio e ymax es la amplitud. Teniendo en cuenta que
2
para un punto que ejecuta un MAS: k = mω 2 = m(2π / T ) = m 4π 2 ν 2 nos quedaría
que:
E = m ⋅ 2π 2 ν 2 ⋅ y 2max
Lo que nos dice que la energía transportada por una onda es proporcional al cuadrado de
su frecuencia y al cuadrado de la amplitud.
La velocidad de propagación de la onda es:
v onda =
d) v puntos =
λ
20
= λ ν = 20π ⋅
= 400 cm / s
T
π
dy
 2π 
 t x
= y max   cos 2π −  → v máx, puntos = y max (2π ν )
dt
T
 
T λ
Como vemos, si la amplitud es doble y la frecuencia la mitad la velocidad máxima
con que vibran los puntos de las dos ondas será la misma. Sin embargo la
velocidad de propagación de ambas ondas no es la misma ya que vonda=λ.ν (sería la
mitad)
Al mismo resultado habríamos llegado si tenemos en cuenta que la energía total es igual
a la cinética máxima, ya que:
1
E = Ec max = mv 2max
2
2π
2π
x t 
como la velocidad es v = y max
cos 2π −  está claro que la v max = y max
= y max 2πν
T
T
λ T
y sustituyendo nos quedará el mismo resultado que obtuvimos anteriormente:
E = m ⋅ 2π 2 ν 2 ⋅ y 2max
Cuando una onda se propaga en una sola dimensión, la energía de un punto se transmite
íntegramente al siguiente y así sucesivamente, de manera que todos los puntos tienen la
misma energía y vibran con la misma amplitud.
Sin embargo, cuando se trata de ondas planas como las que se producen en la superficie
de los líquidos o de ondas esféricas como el sonido, a medida que nos alejamos del foco
hay más puntos vibrando y por lo tanto cada uno toca a menos energía (aun suponiendo
que no haya absorción), por eso es mejor definir una magnitud nueva llama intensidad.
FENÓMENOS ASOCIADOS CON LA PROPAGACIÓN DE LAS ONDAS
INTERFERENCIAS
Por experiencia sabemos que cuando dos o más odas se propagan en un mismo medio lo
hacen de manera independiente y que la elongación de una partícula cualquiera es la
suma debida a cada onda por separado. Al proceso de adición vectorial de la elongación
se llama principio de superposición. Fourier demostró basándose en este principio que
cualquier onda por rara que sea se puede obtener como suma de varias ondas armónicas,
de tipo seno y coseno, por ello es por lo que el estudio de las ondas se suele reducir al
estudio de ondas armónicas.
La onda resultante corresponde a una onda que tiene la misma frecuencia, pero que su
amplitud vale:
x − x2
A = 2 y m cos π( 1
)
λ
lo que quiere decir que:
•
Así pues, cuando un punto del medio es alcanzado por dos o más ondas se producen
interferencias y, de acuerdo con el principio de superposición, la elongación del punto
es la suma de la que tiene cada onda por separado. El punto vibrará con:
y = y1 + y 2
Consideremos el caso más sencillo, el de dos ondas iguales que se propagan en la
misma dirección, solamente que tienen un desfase φ (es decir que si les tomásemos una
foto las encontraríamos desplazadas una respecto a la otra). Sus ecuaciones serían:
x t
y1 = y m sen 2π( − )
λ T
x t
y 2 = y m sen 2π( − + φ)
λ T
el desfase entra ambas ondas lo podemos poner como que la distancia del punto a uno
de los focos es distinta, ya que:
y 2 = y m sen 2π(
x + λφ t
− )
λ
T
Habrá refuerzo y la amplitud será máxima (igual a 2ym) cuando el coseno valga 1 o −1,
es decir, para cos0, cosπ, cos2π, cos3π …. Ello ocurre en aquellos puntos en los que
la diferencia de camino x1−x2 sea múltiplo entero de la longitud de onda: 0, λ, 2λ, 3λ,
…
Se produce una interferencia constructiva en los puntos donde la diferencia de
camino recorrido por las dos ondas que interfieren es nλ
cos π(
•
x1 − x 2
x − x2
) = 1 → π( 1
) = 0, π, 2π, 3π,.... es decir para x 1 − x 2 = nλ → A = 2 y m
λ
λ
La amplitud será nula cuando el coseno valga cero, es decir, para cosπ/2, cos3π/2,
cos5π/2 . Ello ocurre en aquellos puntos en los que la diferencia de camino sea λ/2
o un múltiplo "impar", entonces A=0 y tendremos una interferencia destructiva.
cos π(
x1 − x 2
x − x2
π 3π 5π
λ
→ A=0
) = 0 → π( 1
) = , , ,.... es decir para x 1 − x 2 = (2n − 1)
λ
λ
2 2 2
2
Ejemplo:
Un generador de ondas en la superficie del agua tiene forma de T de modo que actúa
como dos focos que generan ondas de la misma frecuencia y amplitud. Si las ondas
generadas tienen una amplitud de 0,6cm, una frecuencia de 60Hz y se propagan con una
velocidad de 30cm/s.
¿Cuál es la ecuación que nos muestra el estado de vibración de un punto P que dista
15cm de un foco y 15,75cm del otro?
y m = 0,6cm
así que las ecuaciones podrían escribirse como:
x
t
y1 = y m sen 2π( 1 − )
λ T
y 2 = y m sen 2π(
x2 t
− )
λ T
teniendo en cuenta el principio de superposición, la onda resultante será y = y1 + y 2 y
A+B
A−B
recordando que senA + senB = 2 ⋅ sen
cos
2
2
y = 2 y m cos 2π(
x1 − x 2
x + x2 t
) ⋅ sen 2π( 1
− )
2λ
2λ
T
ν = 60Hz
⇒
T=
1
= 0,016seg
ν
λ
T
⇒
λ=
30
= 0,5cm
60
v=
La ecuación de vibración del punto P debida a cada onda por separado es:
t 
 15
y1 = 0,6sen 2π
−

0
,
5
0
,
016


t 
 15,75
y 2 = 0,6sen 2π
−

0,016 
 0,5
Ejemplo: Experimento de Young
La interferencia debida a ambas ondas, de acuerdo con el principio de superposición es
y = y1 + y 2 , pero no es necesario sumarlas para saber que ocurre al punto P, ya que:
x 1 − x 2 = 0,75 = 3 ⋅
λ
2
Dos fuentes coherentes de luz están separadas una distancia a=1mm. A una distancia d
de ellas hay una pantalla en la que se recogen las interferencias. Calcular la longitud de
onda de la luz empleada sabiendo que la distancia entre dos franjas brillantes
consecutivas es de h=10−4m y que la distancia entre las fuentes y la pantalla es de 1m.
es decir, que en el punto P las dos ondas interfieren destructivamente, y por tanto la
amplitud de la onda es nula: y=0 y lo mismo le ocurrirá a todos los puntos en los que
λ
x 1 − x 2 = (2n − 1) ⋅ . El lugar geométrico de esos puntos es una familia de hipérbolas
2
con focos en F1 y F2.
Para que haya una interferencia constructiva es necesario que la diferencia de camino
sea igual λ o múltiplo entero, es decir que:
x 1 − x 2 = nλ
De igual forma, en todos los puntos en los que x 1 − x 2 = nλ habrá una interferencia
constructiva y los puntos vibrarán con una amplitud doble. Todos ellos definen otra
familia de hipérbolas.
En el centro hay interferencia constructiva, puesto que para ese punto x 1 − x 2 = 0 y el
punto brillante más próximo es aquel para el que n=1, es decir aquel en el que ;
x 1 − x 2 = λ (*)
por otro lado, de la figura podemos deducir lo que vale la diferencia de camino x 1 − x 2
ya que si trazamos una línea para construir un triángulo isósceles el ángulo que forma
con la abertura es α, que es el mismo que forma la línea del centro (en rosa, que es la
altura del triángulo) con la distancia de la abertura a la pantalla (los ángulos son iguales
porque tienen sus lados perpendiculares). Así que:
x 1 − x 2 = a ⋅ senα (**)
El ángulo α puede calcularse fácilmente, ya que de la figura se deduce que:
α = arctg
h
10 −4
= arctg
= 10 − 4 rad
d
1
así que
λ = a ⋅ senα = 10 −3 sen10 −4 = 10 −7 m
La luz de longitud de onda igual a 10−7m, o bien de 3.1015Hz cae dentro del ultravioleta,
aunque próximo al visible. En la pantalla habría que tener una película fotográfica
porque el ojo no vería esa luz.
ONDAS ESTACIONARIAS
Un caso particular de interferencias es el que tiene lugar cuando se dan dos condiciones:
1. En el medio concurran dos ondas iguales que avanzan en sentidos opuestos, como por
ejemplo ocurre en una cuerda sujeta por uno de sus extremos (o los dos) o en un resorte,
ya que en este caso tendremos la onda que va y la que se refleja, es decir dos ondas
iguales propagándose en sentidos opuestos.
2. Que la frecuencia de las ondas que interfieren sea igual a la frecuencia fundamental de
vibración de la cuerda o múltiplo de ella (frecuencias resonantes), aunque de este detalle
nos ocuparemos después.
Si representamos la onda estacionaria en varios momentos, como si tomásemos fotos en
varios instantes, podríamos tener las siguientes instantáneas, donde puede verse que los
nodos, al igual que los antinodos, están separados media longitud de onda.
Las ondas iguales que viajan en sentidos opuestos se pueden representar por las
ecuaciones: (*)
x t
Avanza hacia la izquierda
y1 = y m sen 2π( + )
λ T
x t
y 2 = y m sen 2π( − )
λ T
Avanza hacia la derecha
La superposición y = y1 + y 2 y recordando que senA + senB = 2 ⋅ sen
x
t
y = 2 y m sen 2π cos 2π
λ
T
A+B
A−B
cos
2
2
Ec. onda estacionaria
Fíjate que:
1. la amplitud de la onda estacionaria no es la misma para todos los puntos, sino que
depende de la distancia x de cada punto al foco:
A = 2 y m sen 2π
x
λ
2. la amplitud es máxima en todos aquellos puntos en los que se cumpla que seno = ±1 . A estos
puntos donde la amplitud es máxima (igual a 2ym) se les llama vientres o antinodos.
sen 2π
x π 3π 5π
λ 3λ 5λ
x
= 1 → 2π = , , ,.... es decir para x = , , ,....
λ
λ 2 2 2
4 4 4
Generalmente la vibración es muy rápida de modo que solamente vemos la envolvente
del movimiento, es decir que veríamos algo así como la siguiente figura:
Antinodos, A=2ym
3. la amplitud es "siempre nula” en aquellos puntos en los que seno=0 y se llaman
nodos. Son aquellos en los que:
sen 2π
x
x
λ
3λ
= 0 → 2π = 0, π, 2π, 3π,.... es decir para x = 0, , λ, ,2λ,....
λ
λ
2
2
Lo más importante de una onda estacionaria es:
Nodos, A=0
•
•
No es una onda viajera, ya que su ecuación no es del tipo f(x,t).
Su ecuación se parece más a la de un MAS, con la diferencia de que cada punto vibra
x
con una amplitud distinta que depende de su posición: A = 2 y m sen 2π
λ
•
•
Hay unos puntos que no vibran nunca (los nodos) y otros que vibran con una amplitud
máxima igual al doble de la amplitud de las ondas que por superposición forman la onda
estacionaria.
Una onda estacionaria no puede transportar energía ni hacia un lado ni al otro, porque los
nodos no vibran y en consecuencia no puede fluir más allá de un nodo.
(*) Por simplicidad, anteriormente hemos preferido superponer dos ondas iguales sin desfasar
viajando en sentidos opuestos, como la que va y se refleja en una cuerda con el extremo libre.
Podría pensarse que en el caso de una cuerda con el extremo fijo, el resultado podría ser
diferente, ya que al tener el extremo fijo la onda que va invierte su fase al reflejarse, asi
que las ecuaciones de las ondas originales serían:
y1 = y m sen (
2π x 2 π t
+
)
λ
T
y 2 = y m sen (
Avanza hacia la izquierda
2π x 2π t
−
+ π) Avanza hacia la derecha desfasada π
λ
T
La superposición y = y1 + y 2 y recordando que senA + senB = 2 ⋅ sen
A+B
A−B
cos
2
2
 2π x π   2 π t π 
y = 2 y m sen 
+  cos
− 
2  T
2
 λ
teniendo en cuenta que
π
sen (α + ) = cos α
2
π
cos ( α + ) = sen α
2
finalmente
x
t
y = 2 y m cos 2π sen 2π
λ
T
Ec. onda estacionaria
Como hemos visto, esta expresión aparentemente distinta, solo difiere en la fase de las
funciones y representa a la misma onda, aunque desfasada. Ahora el primer nodo está en
x=λ/4 (obvio porque ahora en x=0 debe haber un vientre), y los siguientes nodos, como
siempre, de media en media longitud de onda.
RESONANCIA
Un péndulo o una masa unida a un resorte tienen una única frecuencia natural de
1 g
1 K
y ν=
vibración, la que viene dada por las conocidas expresiones ν =
2π L
2π m
respectivamente, sin embargo muchos sistemas, como pasa en una cuerda, pueden
vibrar con muchas frecuencias. A la más pequeña se le llama frecuencia fundamental o
primer armónico y al resto, que son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental, se
les llama frecuencias resonantes (2º armónico, 3º armónico, ..) o sobretonos (1º
sobretono, 2º sobretono …) respectivamente.
Empezaremos explicando la resonancia para el caso más sencillo de un péndulo o de un
niño en un columpio. Si le empujamos una vez, empezará a oscilar con su frecuencia
natural (con la única que tiene) pero debido a las pérdidas por rozamiento la oscilación se
irá amortiguando, es decir, al perder energía su amplitud se hará cada vez menor
( E = 12 KA 2 ). Si queremos mantener el balanceo del niño tendremos que aportar energía al
columpio, pero …. pero eso no basta como sabemos por experiencia, tenemos que
aportarle esa energía empujándole con la misma frecuencia con la que oscila el columpio,
o de lo contrario lo que haremos es frenarlo. De hecho si le empujamos adecuadamente y
no hubiera pérdida de energía (o si en el empujón le aportamos un poco más de la que
pierde) el sistema irá acumulando energía y cada vez oscilará con mayor amplitud.
Cuando le comunicamos energía a un sistema a intervalos con una frecuencia distinta a su
frecuencia natural termina oscilando con nuestra frecuencia y decimos que oscila forzado
y en tal caso la energía aprovechada por el sistema es solo una pequeña parte de la que le
suministramos. Por el contrario cuando le suministramos energía a un sistema con una
frecuencia igual a su frecuencia natural decimos que oscila en resonancia y en tal caso el
sistema absorbe íntegramente la energía que le aportamos. Dicho de otra forma,
suministrando pequeñas cantidades de energía con la misma frecuencia con que oscila el
sistema podemos conseguir oscilaciones de gran amplitud.
Igual puede decirse para una cuerda sujeta por un extremo y a la que comunicamos
energía por el otro extremo. Si la hacemos vibrar con una frecuencia distinta a su
frecuencia natural (vibración forzada) la onda que va y la que vuelve interferirán
destructivamente en mayor o menor medida dando lugar a una onda de poca energía.
Cuando suministramos energía a la cuerda haciéndola vibrar en uno de sus extremos
con una frecuencia igual a una de sus frecuencias naturales conseguimos una onda
estacionaria. La diferencia con el péndulo o la masa unida a un resorte es que la cuerda
tiene infinitas frecuencias de resonancia, todas ellas son múltiplo entero de la frecuencia
más pequeña llamada fundamental.
Supongamos una cuerda atada por un extremo y siempre sometida a la misma tensión
(para que la velocidad de propagación de la onda sea la misma). Si por el otro extremo
la hacemos oscilar a diferentes frecuencias obtendremos ondas estacionarias como las
siguientes cuando la frecuencia de oscilación coincidan con ν1, 2ν1, 3ν1, 4ν1, … (donde
ν1 es la frecuencia fundamental de vibración de la cuerda, para esa tensión y esa
longitud):
cuerda obtendremos los distintos modos de vibración dependiendo de la tensión. (La
tensión de la cuerda podemos medirla muy fácilmente con la ayuda de una polea y
varias masas, como se indica en la figura de más abajo.)
Teniendo en cuenta que la velocidad de propagación de una onda es v = λ ⋅ ν y que en
el caso de ondas que se propagan por una cuerda la velocidad es v = T / µ , donde T es
la tensión de la cuerda y µ es la densidad lineal de la cuerda (masa/longitud), tenemos:
v=
Si te das cuenta hay una relación entre la longitud de la cuerda (L) y la longitud de onda (λ) de
las ondas que por superposición dan lugar a la onda estacionaria. Siempre la cuerda debe
λ
2L
contener un número de veces media λ, es decir: L = n o lo que es igual λ =
2
n
Puesto que la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud de onda ( v = λ ⋅ ν )
si en cada modo de vibración λ se hace la mitad, la tercera parte, la cuarta parte … la
frecuencia será doble, triple, cuádruple …. Es decir que las frecuencias para las que se
produce onda estacionaria son ν = n ν 1 , donde ν 1 es la frecuencia fundamental de
vibración de la cuerda.
T
2L
= λν =
ν
µ
n
→
ν=
n T
2L µ
L = longitud de la cuerda
µ = densidad lineal = masa de la cuerda/longitud
T = Tensión de la cuerda = mg = peso de la masa que tira de la cuerda, como se indica
en el esquema siguiente, y que hace que en la cuerda se forme una onda estacionaria.
Según el número de vientres le daremos a n el valor que corresponda: Cuando vibre con
un solo vientre (n=1) obtenemos la frecuencia fundamental de vibración. Para n=2, 3, …
obtenemos la frecuencia del resto de los armónicos.
Calculo de la frecuencia fundamental de vibración: (Ampliación)
Como verás enseguida, la frecuencia fundamental de vibración de una cuerda depende
de la tensión de la cuerda, de su longitud y de su masa. Quiere decir que cuando
calculemos una frecuencia lo hacemos para determinados valores de esos tres
parámetros. Otra advertencia antes de comenzar es que no confundas la frecuencia de
vibración del foco que transmite la energía a la cuerda con la frecuencia de vibración de
la cuerda, aunque ambas coincidan cuando la cuerda vibre en resonancia.
Lo más sencillo sería disponer de un aparato capaz de vibrar a diferentes frecuencias.
No hay más que colocarlo al otro extremo de la cuerda y tensarla. (ves? ahora tenemos
valores concretos para T, L y masa de la cuerda). Ahora vamos variando la frecuencia
de oscilación del vibrador hasta conseguir en la cuerda una onda estacionaria con un
solo vientre. En tal caso, como la cuerda estaría resonando con el vibrador, la frecuencia
de éste sería igual a la fundamental de la onda. (Ojo, que si variamos la tensión, o la
longitud de la cuerda tendremos una frecuencia distinta).
Como es bastante probable que no dispongamos de tal aparato, podemos hacer otra
cosa: vamos a poner un vibrador de frecuencia única (un cronovibrador de los que hay
en cualquier laboratorio que vibran a 60 Hz, igual que la corriente alterna) y, como no
podemos variar su frecuencia, lo que haremos es variar la tensión de la cuerda hasta que
la frecuencia de la onda iguale a la del cronovibrador. En tal caso resonarán y en la
Relación entre la longitud de la cuerda (L) y la longitud de la ondas que por
superposición dan lugar a la onda estacionaria
Ya hemos visto que en todos los modos de vibración de una onda estacionaria se
cumple que la longitud de cuerda debe contener un número de veces media λ. El motivo
es muy sencillo:
Cuando en una punta de la cuerda generamos una onda, ésta viaja hacia la otra punta
donde se refleja. Cuando llega al punto de partida vuelve a reflejarse por segunda vez.
Como en cada reflexión invierte la fase en π, la onda ahora está como al principio
después de recorrer un espacio 2L (suponiendo que no se perdió energía). Si en este
momento el vibrador genera una onda nueva, ahora tendremos dos ondas que
interferirán constructivamente, y la onda resultante tendrá una amplitud doble que las
ondas que la producen, si la diferencia de camino es un múltiplo entero de λ, es decir,
λ
2L
cuando x1-x2 = nλ = 2L → L = n o lo que es igual λ =
2
n
Con este sencillo razonamiento se explica la relación que hay entre la longitud de la
cuerda (L) y la longitud de la ondas que por superposición dan lugar a la onda
estacionaria, pero además nos ayuda a entender porqué la amplitud de la onda
estacionaria puede llegar a ser muy grande con respecto a la amplitud de las ondas que
genera el vibrador. Es muy sencillo, porque cada vez que la onda que está viajando por
la cuerda llega al punto de partida vuelve a interferir constructivamente con la nueva
onda que generado el vibrador. Por eso cada nueva onda hace aumentar la amplitud más
y más. Hasta el infinito si no hubiera pérdidas de energía.
Ondas estacionarias en una cuerda con un extremo libre.
Ejemplo:
En una cuerda, con sus dos extremos fijos, se ha generado una onda estacionaria que
tiene por ecuación y = 4 ⋅ cos 0,5πx ⋅ sen 20πt (S.I.). calcular:
a) la amplitud, periodo, frecuencia y longitud de onda de las ondas que dan lugar a ella.
b) la distancia entre dos nodos
c) la velocidad con que se propaga
d) la expresión de la velocidad de una partícula que dista 2m del foco, en función del tiempo
e) la ecuación de las ondas que dan lugar a esa onda
f) qué longitud mínima debe tener la cuerda para que pueda contener esa onda
g) qué longitud debe tener la cuerda para que la onda estacionaria presente 3 nodos
h) si la onda en cuestión presenta 1 vientre ¿qué podríamos hacer para que, en esa
misma cuerda sin cambiar su longitud, presente 2 vientres? ¿cambiaría su frecuencia?
Cuando una onda que viaja por una cuerda llega al otro extremo puede ocurrir dos cosas:
1. Que el otro extremo esté fijo. En tal caso, al no poder vibrar se comporta como un
nodo y al llegar a él la onda se refleja y consecuentemente invierte su fase, es decir, la
onda que vuelve está desfasada π respecto de la que incide. Este es el caso
correspondiente a los dibujos anteriores.
2. Que el otro extremo esté libre. En tal caso la onda al llegar al extremo se vuelve sin
cambiar de fase, en consecuencia en se extremo siembre tendremos un vientre:
Obviamente todo lo anterior vale para esta situación, con la salvedad de que en este caso
la longitud de la cuerda no contiene un número entero de λ/2, sino que ahora (como en
el extremo debe haber un vientre) la longitud de la cuerda debe ser un número "impar"
de λ/4.
a) Comparando la ecuación de la onda con la ecuación general de una onda estacionaria:
(esta onda se ha obtenido superponiendo dos ondas armónicas desfasada π radianes
respecto de las que nosotros hemos considerado, pero eso no cambia nada)
y = 4 ⋅ cos 0,5πx ⋅ sen 20πt
x
t
y = 2 y m sen 2π cos 2π
λ
T
Amplitud de la OE: A = 4 ⋅ cos 0,5πx (es distinta para cada punto x) y máx .OE = 4 m
Amplitud de las ondas que generan la OE: y max = 2 m
T = 0,1seg y la frecuencia que es su inversa: ν = 1 / T = 10Hz
λ = 4m
b) La distancia entre dos nodos (o antinodos) consecutivos es λ/2 = 2 m
c) la velocidad de propagación de las ondas que generan esta onda estacionaria es:
v=
λ
4
=
= 40 m / s
T 0,1
d) La velocidad de cualquier partícula se obtiene derivando la ecuación de la onda
respecto al tiempo:
dy
v=
= 4 ⋅ 20π ⋅ cos 0,5πx ⋅ cos 20πt
dt
el punto x=2 m
v x = 2 = −80π ⋅ cos 20πt
e) Las ecuaciones de las ondas que por superposición dan lugar a esta onda estacionaria
deben ser dos ondas iguales de amplitud 2cm y de la misma longitud de onda y periodo,
solo que deben viajar en sentidos opuestos, por tanto:
x
t
y1 = 2sen 2π( + )
4 0,1
x
t
y 2 = 2sen 2π( −
+ 0,5)
4 0,1
si sumamos: y = y1 + y 2 = 2 y máx sen (2π
Avanza hacia la izquierda
¿Cambiaría su frecuencia? Teniendo en cuenta que v = λ ν resulta obvio que al variar la
longitud de onda pueden ocurrir dos cosas:
Avanza hacia la derecha (Desf. π)
x π
t π
x
t
+ ) cos(2π − ) = 2 y máx cos 2π sen 2π
λ 2
T 2
λ
T
π
π
donde se ha tenido en cuenta que sen (α + ) = cos α y que cos( α − ) = sen α
2
2
f) La longitud de la cuerda debe ser un múltiplo entero de media longitud de onda, ya
λ
que en cada extremo debe haber dos nodos: L = n . Por tanto, para una λ = 4 m la
2
cuerda debe, como mínimo, tener una longitud de 2 m:
1. Si la velocidad no varía deberá cambiar la frecuencia de la onda. Como λ se hace la
mitad es preciso que ν se haga el doble. La primera cuerda vibra con una frecuencia de
10 Hz llamada frecuencia fundamental o primer armónico. La segunda cuerda vibra con
frecuencia de 20 Hz y corresponde al segundo armónico o primer sobretono.
2. Si queremos que la cuerda vibre con la misma frecuencia, deberá cambiar la
velocidad de propagación de la onda por la cuerda. Como λ se hace la mitad es preciso
que la velocidad se reduzca también a la mitad y eso se puede conseguir disminuyendo
la tensión de la cuerda ya que v = T / µ , donde T es la tensión de la cuerda y µ es la
densidad lineal de la cuerda (masa/longitud).
PRINCIPIO DE HUYGENS
El principio de Huygens permite conocer cual es el nuevo frente de una onda dado el
anterior. (Se llama frente de onda al lugar geométrico de todos los puntos que en un
momento dado están en fase)
El principio de Huygens dice que todos los puntos que son alcanzados por un frente de
ondas se comportan como focos secundarios. Al cabo de un tiempo, el nuevo frente de
ondas será la envolvente de todas las ondas elementales.
g) Para que en la cuerda tenga lugar una onda estacionaria como y = 4 ⋅ cos 0,5πx ⋅ sen 20πt que
λ
contenga 3 nodos, la longitud de la cuerda debe ser L = n [donde n= 2 (nº de vientres)] = 4m
2
h) Si la onda estacionaria tiene 1 solo vientre y una λ = 4 m , quiere decir, como hemos
razonado en el apartado f), que la longitud de la cuerda es L=2 m
Si ahora queremos que en esos L=2 m haya dos vientres, la longitud de la nueva onda
debe ser λ = 2 m como puede comprenderse observando la figura:
Supongamos que en un instante determinado el frente de ondas es (1). Según el
principio de Huygens los puntos A, B, C, etc de éste frente de ondas se comportan como
emisores de ondas secundarias. Al cabo de un tiempo t habrán avanzado vt y la tangente
a todas ellas será el nuevo frente de ondas (2)
Los puntos A, B, C, etc en realidad no se comportan como verdaderos focos, ya que la
intensidad de las ondas que emiten no es la misma en todas direcciones. Es máxima
hacia delante y mínima hacia atrás, y precisamente por eso la onda avanza hacia delante.
segundo. A esta relación se le llama índice de refracción del segundo medio
respecto del primero (n21)
A continuación vamos a ver como el principio de Huygens puede explicar muchos
fenómenos ondulatorios como la reflexión, refracción y difracción.
REFLEXIÓN
seni v1
=
= n 21
senr v 2
Cuando una onda llega a la superficie de separación de dos medios una parte de ella se
refleja en el mismo medio y otra parte se difracta y viaja en el segundo medio.
Las leyes de la reflexión de Snell son:
•
•
El rayo incidente, la normal y el rayo reflejado están en el mismo plano
El ángulo de incidencia (i) y el ángulo de reflexión (r) son iguales
Vamos a explicarlo haciendo uso del principio de Huygens. Supongamos un frente de
ondas plano AB que viaja por el medio (1) e incide en el medio (2) donde se propaga
con una velocidad menor.
(rayo es la línea que corresponde a la dirección en que
se propaga la onda, es decir es la perpendicular al
frente de ondas)
Ahora vamos a ver como se pueden explica estas leyes
sin más que tener en cuenta el principio de Huygens.
Supongamos un frente de ondas plano AB que choca
contra un obstáculo:
Cuando A llegue a la superficie según Huygens se comportará como un nuevo foco, pero
como en el medio (2) la onda viaja más despacio entonces la distancia AC = v 2 t será menor
que la que en el mismo tiempo ha recorrido en el otro medio BD = v 1 t , es decir que:
Cuando el punto A del frente de ondas toca en el obstáculo, de acuerdo al principio de
Huygens comienza a formar ondas y, puesto que viajan en el mismo medio, tardan en
llegar a C lo mismo que B en llegar a D, es decir, AC = BD = v t . Según esto tenemos
dos triángulos iguales (porque tienen dos lados y un ángulo iguales) y por tanto i = r
REFRACCIÓN
Las leyes de la refracción son:
•
•
El rayo incidente, la normal y el rayo refractado están en el mismo plano
El seno del ángulo de incidencia dividido por el seno del ángulo de refracción es
igual a la velocidad de la onda en el primer medio dividido por la que tiene en el
v1 t
seni AD v1
=
=
= n 21
senr v 2 t v 2
AD
Resulta evidente, que como la velocidad de la onda varía al cambiar de medio y la
frecuencia siempre permanece invariable, debe cambiar la longitud de onda, así que:
v
λν λ
seni
= n 21 = 1 = 1 = 1
senr
v2 λ 2ν λ 2
Resulta muy ilustrativa la experiencia de Tyndal, en la que
utilizó un modelo mecánico formado por un par de ruedas de
un coche de juguete que se dejan caer por una rampa hasta
entrar en el agua. Naturalmente, como en el agua la velocidad es menor, al entrar en
contacto la primera rueda disminuye su velocidad, mientras que la otra continúa
moviéndose mas rápido y como consecuencia el rayo (la dirección del movimiento) se
acerca a la normal.
Si el rayo pasa de un medio en el que la velocidad es menor a uno en el que la velocidad
es mayor se aleja de la normal.
DIFRACCIÓN
Supongamos que disparamos una escopeta de cartuchos sobre una pared y que
interponemos un objeto. Es evidente que en lo que sería su sombra no recogeremos ni
un solo impacto. De igual forma, si interponemos un objeto con un orificio solamente
recogeríamos los impactos que pasan por el orificio. Este es el comportamiento de las
partículas:
En la lección siguiente volveremos a estudiar estos conceptos aplicados a la naturaleza
ondulatoria de la luz y además trataremos los conceptos de ángulo límite y reflexión
total.
Ejemplo:
Un rayo de luz blanca incide con un ángulo de 30º desde el aire sobre una lámina de
vidrio. ¿Qué ángulos de refracción formarán el rojo y el azul?
Datos: nrojo=1,612 nazul=1,671
sen30
= 1,612
senrrojo
⇒
rrojo = 18,07 º
sen30
= 1,671
senrazul
⇒
razul = 17,41º
Sin embargo si lo que llega a los obstáculos es un tren de ondas “de longitud de onda
comparable a la del tamaño del obstáculo o de la ranura” se produce un fenómeno
curioso: las ondas bordean el obstáculo como si lo ignorasen:
En ambos casos, muy fáciles de ver en la cubeta de ondas, la onda parece bordear los
objetos, en lugar de propagarse rectilíneamente.
Como se ve, al tener distinto índice de refracción, porque depende ligeramente de la longitud
de onda, hace que los rayos que componen la luz blanca tengan distintas velocidades y que
se separen una vez que atraviesan el cristal. Al fenómeno se le llama dispersión.
Además, estamos familiarizado con estos fenómenos, ya que debido a la difracción del
sonido podemos oír detrás de una puerta. (En el caso del sonido la longitud de onda va
de unos 17m, para los graves hasta 0,017m para los agudos. Como se sabe por
experiencia a través de una puerta, en otra habitación, se escuchan muy bien los graves
pero no los agudos al ser su longitud de onda muy pequeña comparada con las
dimensiones de la puerta.
Los mismos resultados se pueden observar para la luz, solo que en este caso como su
longitud de onda es pequeñísima necesita rendijas muy pequeñas. De todas formas si
casi cierras los ojos puedes notar la difracción de la luz entre las pestañas.
Debido a la difracción de la luz es imposible obtener un rayo de luz mediante un
diafragma, porque a medida que lo cerremos se va pareciendo aun rayo, pero llega un
momento (cuando el diámetro es comparable a la longitud de onda de la luz) que se
difracta y se abre.
Cuando una luz monocromática pasa a través de una abertura circular, de diámetro a, y
se recoge sobre una pantalla, situada una distancia d, se obtienen una serie de anilos
concéntricos claros y oscuros.
AMPLIACION
VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN DE LAS ONDAS EN ALGUNOS MEDIOS
•
La velocidad de propagación de las ondas transversales en una cuerda depende
de la tensión de la cuerda y de la densidad lineal (µ=masa/longitud)
v=
•
•
El disco central es brillante y en él se concentra la mayoría de la luz
Al ángulo para el que se ve el primer anillo brillante puede obtenerse
λ
senα =
a
Estos hechos se explican suponiendo que todos los puntos de la abertura son focos
elementales, de acuerdo al principio de Huygens, y que la figura no es más que la
interferencia producida por todos ellos. En otras palabras, la difracción no es más que
las interferencias producidas por un número elevado de focos.
Por ejemplo, en el caso concreto de una cuerda que
sujeta a una masa m como en la figura, su tensión será
igual al peso de la masa. Por tanto si la longitud de la
cuerda es L y su masa es mc
v=
En efecto, teniendo en cuenta que las interferencias constructivas se producen para
diferencias de recorrido múltiplos de la longitud de onda: x 1 − x 2 = nλ . El círculo
central tiene lugar para n=0, el primer anillo claro se produce para n=1, el segundo para
n=2, etc
T
µ
•
T
=
µ
mg
=
mc
L
mgL
mc
La velocidad de propagación en las ondas longitudinales:
En los sólidos depende de la constante elástica del sólido (módulo de Young:
Y=fuerza/deformación ) y de su densidad.
v=
Y
ρ
En los gases, como el sonido en el aire, la velocidad es proporcional a la
temperatura absoluta del gas. Como depende de la densidad y de la presión,
al ser los gases muy comprensibles, la densidad de las expansiones y
enrarecimientos cambia al variar la presión.
fíjate en la figura que si trazamos una línea para construir un triángulo isósceles el ángulo
que forma con la abertura es α, que es el mismo que forma la línea del centro (en rosa, que
es la altura del triángulo) con la distancia de la abertura a la pantalla (los ángulos son
iguales porque tienen sus lados perpendiculares). Así que para el primer anillo (n=1):
λ
λ
que introduciendo un factor puede escribirse como α = 1,22
senα =
a
a
Además, como de la figura tgα = h / d es fácil calcular la distancia h a que estará el
primer anillo con interferencia constructiva.
v=
γ⋅P
= k Tª
ρ
observa que, según la ecuación de los gases perfectos, PV = nRT y como el
número de moles es igual a la masa dividido por el peso molecular n = m / Pm
y la densidad es ρ = m / V
PV = nRT
⇒
PV =
m
RT
Pm
⇒
ρ=
m P ⋅ Pm
=
V
RT
v=
•
γ⋅P
=
ρ
γ⋅P
=k T
P ⋅ Pm
RT
La velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas es una constante y
es igual a la relación que existe entre el valor máximo de la intensidad del
campo eléctrico y el valor máximo del campo magnético:
v=
E max
1
=
= 3 ⋅ 10 8 m / s
B max
µ⋅ε
La permeabilidad magnética (µ) es una constante que depende de las
propiedades del medio y representa la capacidad del medio para ser atravesado
por un campo magnético. Para el vacío µ o = 4π ⋅ 10 −7 N/A2
La constante dieléctrica (ε) también depende del medio e indica la forma en que el
medio se afecta por un campo eléctrico. Para el vacío ε o = 8,85 ⋅ 10 −12 N.m2/C2
Ejemplo:
a) Una cuerda de guitarra tiene una longitud de 70 cm y una masa de 6 g. Calcular la
velocidad de propagación de la onda cuando se somete a una tensión de 203,3 N.
b) Longitud de onda de la onda generada al pulsar la cuerda.
c) frecuencia
d) Cómo varía la frecuencia de la onda si aumentamos la tensión.
e) Cómo varía la frecuencia de la onda si aumentamos la masa de la cuerda (Cambiamos
la cuerda por otra cuerda más gruesa).
a) La velocidad con la que se propaga la onda por la cuerda, que solo es función de la
tensión y de densidad lineal es:
T
T
100
v=
=
=
= 154 m / s
mc
0,006
µ
0,70
L
b) Al pulsar la cuerda se obtiene una onda estacionaria como consecuencia de la
superposición de dos ondas exactamente iguales que viajan en sentidos opuestos. (La
que va y la que se refleja.). La cuerda vibrará con su frecuencia natural, que es aquella
que tiene dos nodos (uno en cada extremo).
c) La velocidad de propagación de la onda es v = λ / T = λ ⋅ ν → 154 = 1,4*ν → ν = 110 Hz
(Esa frecuencia corresponde al LA de la quinta cuerda al aire)
T
= λ⋅ν
mc
L
Puesto que la longitud de la cuerda no varía y tampoco la longitud de onda (que en su
frecuencia natural es λ=2L) tenemos que:
Teniendo en cuenta que v =
T
=
µ
d) Si aumentamos la tensión de la cuerda aumentará la frecuencia de la onda, ya que
ν = f T . Lo que está de acuerdo con la experiencia, ya que sabemos que al apretar
una cuerda suena más agudo, es decir, aumenta su frecuencia.
( )
e) Si aumentamos la masa de la cuerda disminuirá la frecuencia de la onda, ya que
ν = f 1 / m . También confirma nuestra experiencia, ya que sabemos que las cuerdas
más gordas producen frecuencias más bajas.
(
)
OTRAS MAGNITUDES ASOCIADAS A UNA ONDA:, INTENSIDAD y ABSORCIÓN
Intensidad de una onda se define como la energía que transporta una onda por unidad de
área y tiempo o, lo que es igual, la potencia que atraviesa la unidad de superficie
colocada en dirección normal a la dirección de propagación:
En el caso concreto de una onda esférica, a una distancia r del foco, si la potencia es P y
teniendo en cuenta que el área de la espera es 4πr 2 la intensidad de la onda sería:
I=
P
E/t
=
4πr 2 4πr 2
Como ya suponíamos y ahora podemos comprobar, si el medio es isótropo, la energía
radiada por el foco se irá repartiendo en ondas esféricas, con lo que la intensidad
disminuirá con el cuadrado de la distancia. Sin embargo la potencia radiada por el foco,
o lo que es igual la energía transmitida por segundo, permanecerá constante:
P = 4πR 12 I1 = 4πR 22 I 2
de donde
I1 R 22
=
I 2 R 12
Teniendo en cuenta que la distancia entre dos nodos consecutivos es media longitud de
onda, tenemos que λ=1,40m (el doble de la longitud de la cuerda)
Como la intensidad es proporcional a la energía y ésta es proporcional al cuadrado de la
amplitud ( E = m ⋅ 2π 2 ν 2 ⋅ y 2max ), podemos poner que:
2
I1 R 22 E1 y max,1
= 2 =
= 2
I 2 R 1 E 2 y max, 2
ln
Así que para el caso de una onda esférica la amplitud disminuye linealmente con la
distancia a foco:
y max,1 R 2
=
y max, 2 R 1
Naturalmente estos resultados se han obtenido para el caso de una onda esférica y no
valen para una plana, ya que en ella la energía no se reparte en esferas, sino en
circunferencias, y por tanto la intensidad no disminuirá con tanta rapidez. En este caso
la intensidad se define como la potencia que atraviesa la unidad de longitud, así que:
I=
I
= −βL
Io
I = I o e − βL
Como puedes ver la intensidad de una onda decae exponencialmente a medida que se
propaga. Si la representamos obtendremos:
Al camino recorrido para que la
intensidad se reduzca a la mitad se le
llama espesor de semiabsorción (X).
Sustituyendo tendremos que:
1
= e −βX
2
P
2πr
tomando logaritmos neperianos y
espejando X:
Como puedes demostrar siguiendo el mismo razonamiento, los cuadrados de las
amplitudes son proporcionales a las distancias al foco. Por último, en el caso de una
onda que se propaga en una dimensión, ahí si que todos los puntos tienen la misma
energía, puesto que se la transmiten de uno al siguiente, y por tanto también todos ellos
vibran con la misma amplitud.
ln 1 − ln 2 = −βX
⇒
X=
ln 2
β
Absorción: Hemos quedado que en una onda (salvo que se propague en una dimensión),
la amplitud va disminuyendo conforme nos alejamos del foco, pero en realidad como el
medio absorbe energía la disminución de la intensidad es aún mas rápida.
PULSACIONES
Como la disminución de intensidad (−dI) al atravesar un espesor recorrido (dx) es
proporcional a la intensidad de la onda se puede poner que: (el signo menos indica que
la intensidad disminuye al recorrer un espesor dx)
−
dI
= β⋅I
dx
Las pulsaciones son un caso especial de interferencias que tienen lugar cuando
coinciden dos ondas de frecuencias distintas pero muy parecidas. Las pulsaciones se
producen, por ejemplo, cuando se tocan dos notas próximas de un piano, o cuando dos
instrumentos están a punto de afinarse.
donde β es una constante de proporcionalidad llamada coeficiente de absorción del
medio
dI
= −β ⋅ dx
I
Si integramos y tenemos en cuenta que inicialmente, cuando x=0, la intensidad es Io y
cuando x=L la intensidad es I
I
L
dI
=
∫ I ∫0 − β ⋅ dx
I0
[ln I]II
= [− βx ]o
L
o
ln I − ln I o = −βL
Al tratarse de un sonido, nuestro sistema auditivo no es capaz de percibir separadamente
las dos frecuencias presentes, sino que se percibe una frecuencia única promedio (ν1 +
ν2) / 2, pero que cambia en amplitud, y puesto que la intensidad sonora es proporcional
al cuadrado de la amplitud, el resultado es que percibios el sonido como si subiera y
bajara.
EFECTO DOPPLER
El efecto Doppler consiste en la variación de frecuencia con que un observador percibe
una onda cuando éste y el foco tienen un movimiento relativo. Cuando el observador y
el foco están en reposo no hay efecto Doppler y el observador percibe la onda con su
frecuencia real con que la emite la fuente:
v
(1)
ν = onda
λ
B) Supongamos que el observador está en reposo (vobs=0) y el Foco se acerca con una
velocidad vF.. Es evidente que para el observador la longitud de onda será más pequeña
que la que en realidad emite la fuente, porque en un tiempo igual al periodo, la onda
viaja un espacio igual a λ pero el foco se ha desplazado un espacio igual a v Foco t , donde
si ha recorrido una λ el tiempo será igual al periodo, es decir que:
λ´= λ − v Foco T
Sin embargo, si el observador y el foco se acercan la frecuencia aparente es mayor que
la que emite el foco (en el caso del sonido se escucharía mas agudo) y si se alejan
ocurriría lo contrario y el sonido se percibiría como más grave.
A) Supongamos que el foco está en reposo (vF=0) y el observador se acerca con una
velocidad vobs.
teniendo en cuenta que ν = v onda / λ y que ν´= v onda / λ´ y que T = 1 / ν podemos
poner:
v onda v onda v Foco
λ´= λ − v Foco T →
de donde:
=
−
ν´
ν
ν

v onda
ν´= ν
v
 onda − v Foco
Si las ondas viajan con una velocidad vonda, el observador pensará que se le acercan con
una velocidad vonda+vobs y en consecuencia las oirá con una frecuencia igual a :
ν´=
v onda + v obs
λ
(2)
eliminado la longitud de onda entre esta ecuación y la (1) que nos da la frecuencia real
del foco, resultará que:
v onda
λ
v onda + v obs
ν´=
λ



El foco se acerca al observador
Como puede verse, cuando el foco se acerca al observador la frecuencia que éste
percibe es mayor que la que realmente emite, y el sonido se escucharía más agudo. Un
ejemplo bastante elocuente de un que cuando un foco se nos acerca la longitud de onda
que percibios disminuye lo tenemos en el caso de un bicho que avanza hacia nosotros
nadando y a medida que lo hace emite ondas en la superficie del agua (Observador B de
la figura):
ν=
v
+ v obs
ν´= ν onda
 v onda



Observador que se acerca al foco
Como puede verse la frecuencia que se percibe al acercarse en mayor y el sonido es más
agudo. De la misma se puede razonar para el caso de que el observador se aleje y
resultaría:
v
− v obs 

ν´ = ν onda
Observador que se aleja del foco
v
onda


Razonando de manera parecida, cuando el foco se aleja del observador obtendríamos
que la frecuencia es menor y el sonido más grave (Observador A de la figura):

v onda
ν´= ν
v
 onda + v Foco



Ejemplo:
El foco se aleja del observador
Resumiendo:
•
•
Cuando el observador y el foco se acercan uno respecto al otro la frecuencia
aparente es mayor que la emitida por la fuente y viceversa
Las anteriores expresiones se pueden resumir en:
v
± v obs
ν´= ν onda
v
±
 onda v Foco



Donde “el signo + del numerador y el menos del denominador corresponden al caso de
que el observador y el foco se acerquen”. Si el foco estuviera en reposo haríamos
vFoco=0 y si el observador estuviera en reposo haríamos vobs=0.
Recuerda que v es la velocidad de propagación de la onda en el medio.
Ejemplo:
Una ambulancia se acerca con una velocidad de 20m/s tocando la sirena. Si la
frecuencia del sonido que emite es de 1000Hz y la velocidad del sonido es de 340m/s:
a) Cual es la longitud de onda delante de la ambulancia?
b) Con qué frecuencia perciben el sonido de la sirena los sanitarios que están
esperando?
a) La longitud de onda que emite la sirena es:
v
340
λ = sonido =
= 0,34m
ν
1000
Cuando la onda avanza 0,34m, en lo que invierte un tiempo igual al periodo, la
ambulancia habrá avanzado un espacio igual a vFT es decir:
1
s = v Foco T = 20 ⋅
= 0,02m
1000
por tanto la longitud de onda de la sirena delante de la ambulancia será:
λ´= λ − v Foco T = 0,34 − 0,02 = 0,32m
b) Para los sanitarios que están en reposo la longitud de onda que perciben es λ´ y por
tanto la frecuencia del sonido será:
v
340
ν´= sonido =
= 1062Hz
λ´
0,32
Al mismo resultado habríamos llegado aplicando la ecuación general y haciendo vobs=0:
v
± v obs
ν´= ν onda
v
±
 onda v Foco

 =


v onda
ν
v
 onda − v Foco

340 
 = 1000
 = 1062Hz
− 20 
340


La longitud de onda de la luz que procede de las galaxias, tan alejadas de nosotros que
pueden considerarse como puntos luminosos, presenta una desviación hacia el rojo.
¿Qué significa esto?
Datos: El espectro visible va del azul al rojo: λ azul < λ rojo
Puesto que la velocidad de la onda, en este caso la luz, es c = λ ⋅ ν un corrimiento hacia
el rojo significa que la longitud de onda aumenta, o lo que es igual que la frecuencia de
la luz que nos llega de la galaxia es más pequeña que la que en ella se origina.
Por tanto, si la frecuencia que percibimos es menor de la que realmente se origina, eso
quiere decir que la galaxia se aleja de la tierra a gran velocidad, lo que está de acuerdo
con la teoría de expansión del universo del big−bang.
VELOCIDADES SUPERSÓNICAS. ONDAS DE CHOQUE
TEMA 3. ÓPTICA
Cuando la fuente viaja a una velocidad superior a la de propagación del sonido (vFoco>vonda)
decimos que la velocidad es supersónica. En el caso contrario sería subsónica.
PARTE 1
Supongamos una fuente F que emite ondas y que vFoco>vonda. Al cabo de un cierto
tiempo t la onda habrá avanzado un espacio vondat, pero en ese mismo tiempo el foco
habrá avanzado vFoco .t con lo que siempre se encontrará por delante de la onda:
Si se representan las ondas que fue emitiendo por las distintas posiciones que pasó, la
envolvente es un cono en cuyo vértice está el foco:
Controversia histórica sobre la naturaleza de la luz: modelos corpuscular y
ondulatorio. Dependencia de la velocidad de la luz con el medio. Algunos
fenómenos producidos con el cambio de medio: reflexión, refracción, absorción y
dispersión.
• Modelo corpuscular y Modelo ondulatorio; caracterización y evidencia experimental en
apoyo de cada modelo.
• Reflexión y refracción de la luz; Leyes de Snell.
• Índice de refracción. Relativo y Absoluto
• Ángulo límite.
• Reflexión total.
• Lámina de caras plano paralelas
• Prisma
• Dependencia de la velocidad de la luz en un medio material con la frecuencia; dispersión
• Absorción de la luz
• Espectros de emisión y de absorción
PARTE 2
Óptica geométrica: comprensión de la visión y formación de imágenes en espejos y
lentes delgadas. Pequeñas experiencias con las mismas. Construcción de algún
instrumento óptico.
senα =
v onda t v onda
=
v Foco t v Foco
Al inverso de vonda/vFoco se le llama número de Mach.
Un ejemplo sencillo lo tenemos en una lancha que se mueve sobre el agua. El cono que
forman las ondas que emite tiene esa forma porque la lancha viaja más deprisa que las
ondas en la superficie del agua.
Lo mismo ocurre con los aviones supersónicos. En este caso, habrás escuchado el
estruendo que hacen algunas veces. Esto ocurre justamente en el momento en que se
atraviesa la barrera del sonido. Literalmente se trata de una barrera de ondas, ya que
justamente en el momento en que el avión vuela a la misma velocidad del sonido todos
los frentes de ondas se encuentran delante justo de él reforzándose unas ondas a otras:
•
•
•
•
•
Propagación rectilínea de la luz. Formación de imágenes por reflexión y refracción.
Dioptrio esférico y dioptrio plano. Formación de imágenes y características.
Espejos. Formación de imágenes y características. Aplicaciones.
Lentes delgadas. Formación de imágenes y características.
Instrumentos ópticos (lupa, cámara fotográfica, proyector, anteojo, microscopio).
PARTE 3
Estudio cualitativo del espectro visible y de los fenómenos de difracción,
interferencias y dispersión. Aplicaciones médicas y tecnológicas.
• Diferentes regiones del espectro electromagnético; características y aplicaciones.
NATURALEZA DE LA LUZ
Es evidente que un rayo luminoso transporta energía, no hay más que tumbarse al sol o
acercar la mano a una bombilla para comprobarlo. Como sabemos las únicas formas de
propagar la energía es mediante un corpúsculo o mediante una onda, y así tenemos las
dos teorías que se han ido desarrollando a lo largo de la historia.
corrientes son apropiadas, pero como la luz tiene una longitud de onda muy pequeña
necesita rendijas pequeñísimas.
3. Young (1773−1829) y Fresnel (1788−1827)
1. Teoría corpuscular de Newton (1642−1726)
Consiguieron fenómenos de interferencias y difracción con rayos luminosos,
demostrando que luz mas luz puede dar oscuridad, ambos fenómenos inexplicables
desde fuera de un modelo ondulatorio.
Para Newton la luz emite unos pequeños corpúsculos que se propagan en línea recta y a
gran velocidad y que pueden ser reflejados por la materia.
Por si fuera poco se consiguió polarizar la luz, con lo que además se puso de manifiesto
que era una onda transversal.
La teoría de Newton podía explicar fácilmente la propagación rectilínea de la luz y la
formación de sombras y penumbras, así como la reflexión de la luz de la misma manera
que si se tratara de una pelota que choca contra el suelo.
Además Foucault y después Michelson probaron que la velocidad de la luz era mayor en
el aire que en el agua, dando la razón a Huygens. Todos estos motivos supusieron el
triunfo de la teoría ondulatoria sobre la corpuscular.
Sin embargo no pudo explicar la refracción de la luz, ya que si fuese como una pelota,
al chocar con el agua, donde la velocidad es menor, su componente vertical se vería
frenada mientras que no le ocurriría nada a la componente horizontal, y como
consecuencia el rayo se alejaría de la normal, cosa que no ocurre:
4. Maxwel (1831−1879)
para explicar lo que realmente ocurre, que es justo lo contrario ya que como sabemos el
rayo se acerca a la normal, Newton sugirió que el corpúsculo de luz era atraído por la
superficie del agua y que entones su velocidad en el agua era mayor, cosa que no es
verdad, pero que dado el prestigio de Newton tuvo una amplia aceptación.
Maxwel desarrolló su teoría sobre las ondas electromagnéticas, demostrando que eran
debidas a la propagación de un campo eléctrico y otro magnético variables que se
propagaban perpendicularmente y a la velocidad de la luz.
Ello llevó a pensar que la luz era una onda electromagnética y así se puso de manifiesto
cuando Herz obtuvo con un circuito oscilante OEM (ondas de radio) de las mismas
características a las de la luz salvo que de una frecuencia mucho menor, lo que probó
sin lugar a dudas que la luz era una OEM.
Además como las OEM pueden propagarse en el vacío se eliminó definitivamente el
problemático concepto del éter.
2. Teoría ondulatoria de Huygens (1629−1695)
Huygens, contemporáneo de Newton, pensaba que la luz tenía naturaleza ondulatoria,
similar al sonido. El problema es que como no se concebía la idea de que una onda se
propagara en el vacío se ideo un medio mas sutil que el aire al que se llamó éter y que
debería llenar el vacío.
Con esta idea Huygens explicó mediante el principio que lleva su nombre las leyes de la
reflexión y de la refracción.
Se le achacaba que si la luz era como el sonido ¿porqué no bordeaba los objetos, es
decir porqué no se producía difracción?. Hoy sabemos que para que se produzca
difracción el tamaño de la rendija debe ser de unas dimensiones comparables a la
longitud de onda de la luz. En el caso del sonido las dimensiones de los objetos
La teoría de la OEM de Maxwel supuso el mazazo definitivo a la teoría corpuscular y
así a finales del siglo XIX todo parecía muy claro a favor de una teoría ondulatoria de la
luz.
5. Luis de Broglie (1892−1987)
Pronto aparecieron nuevos fenómenos como la interpretación de la radiación del cuerpo
negro, el efecto fotoeléctrico y especialmente el efecto Comptom que eran totalmente
inexplicables desde un punto de vista ondulatorio y sí desde un punto de vista
corpuscular.
Luis de Broglie puso fin a la controversia indicando que, no solo la luz, sino todas las
partículas en movimiento tienen asociada una onda ( λ = h / mv ), es decir que la luz
tiene doble naturaleza: de onda y de corpúsculo. Esta suposición quedó plenamente
confirmada cuando Thomson y Davisson consiguieron la difracción de electrones, es
decir que los electrones, que sin ningún género de dudas son partículas, pueden dar
lugar a fenómenos de difracción que son típicos y exclusivos de las ondas.
Índice de refracción absoluto de un medio (n): Al definirse el índice de refracción como
el cociente entre la velocidad de la onda en el primer medio por la velocidad en el
segundo medio, obviamente se requieren dos medios. No obstante, si el primer medio es
el vacío (o el aire) podemos definir índice de refracción absoluto como el cociente entre
la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad en ese medio:
REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE LA LUZ
n medio =
Cuando una rayo de luz llega a la separación de dos medios transparentes una parte se
refleja en el mismo medio y otra parte se refracta y viaja en el segundo medio.
por tanto, el índice de refracción del vacío ( y aproximadamente el del aire) es n=1. Para el
resto de los medios, siempre es mayor que 1, puesto que c siempre es mayor que vmedio.
Las leyes de la reflexión son:
•
•
c
v medio
El rayo incidente, la normal y el rayo reflejado están en el mismo plano
El ángulo de incidencia y el ángulo de reflexión son iguales
De acuerdo a lo anterior podemos definir Índice de refracción relativo del medio 2
respecto del medio 1 (n21) se define como el cociente entre el incide de refracción
absoluto del medio 2 dividido por el del medio 1
n 21
c
n 2 v2
v
=
=
= 1
c
n1
v2
v1
Las leyes de la refracción son:
•
•
de acuerdo con esto, la ley de snell de la refracción puede escribirse de otra forma:
El rayo incidente, la normal y el rayo refractado están en el mismo plano
El seno del ángulo de incidencia dividido por el seno del ángulo de refracción es
igual a la velocidad de la onda en el primer medio dividido por la que tiene en el
segundo. A esta relación se le llama índice de refracción del segundo medio
respecto del primero (n21)
seni v1
=
= n 21
senr v 2
n
seni v1
=
= n 21 = 2
senr v 2
n1
o bien escribirse como:
n 1seni = n 2 senr
Longitud de onda e índice de refracción: Resulta evidente, que si la velocidad de la onda
varía al cambiar de medio, mientras que su frecuencia permanece invariable, debe cambiar
la longitud de onda, así que:
v
λν λ
n 21 = 1 = 1 = 1
v2 λ2 ν λ2
Si el medio 1 es el vacío, n21 será siempre mayor que la unidad, por tanto la longitud de
onda en el vacío siempre será mayor que la longitud de onda en el segundo medio.
Del estudio de la refracción de la luz se deduce que:
•
•
•
La velocidad de la luz es mayor en el vacío que en el resto de los medios
En el vacío la velocidad de la luz es constante y no depende la longitud de onda,
mientras que en el resto de los medios la velocidad depende de la longitud de
onda de la luz
La frecuencia de la luz no varia y es la misma en el vacío que en el resto de los
medios
Todas las expresiones se resumen en:
n
λ
seni v1
=
=n 21 = 2 = 1
senr v 2
n1 λ 2
Ángulo límite es aquel ángulo de incidencia que da lugar a un ángulo de refracción de
90º, es decir, que hace que el rayo refractado salga tangente a la superficie de separación
de los dos medios, por tanto:
seni v1
=
senr v 2
Si r = 90º ⇒ seni lím =
v1 n 2
=
v 2 n1
b)
Condiciones: Como el valor del seno no puede ser mayor que 1, para que se produzca
ángulo límite es preciso que v1 < v 2 o bien que el índice de refracción absoluto del
segundo medio sea menor que el del primero, como ocurre por ejemplo cuando la luz
pasa del agua al aire: n 1 > n 2 .
Al cambiar de medio la frecuencia permanece inalterable, pero sí que cambia la
velocidad de propagación y su longitud de onda, por tanto:
v2 = λ2 ⋅ ν
Como vemos, para un ángulo de incidencia igual al cociente de la velocidad de
propagación ente los dos medios el rayo de refractado saldrá tangente a la superficie
separación entre ambos medios, pero si el ángulo de incidencia en aun mayor entonces
el rayo no llegará a cambiar de medio porque se reflejará, diciéndose que se produjo
reflexión total.
E1A.S2008
Un teléfono móvil opera con OEM de frecuencia ν=9.108 Hz
a) Determina la longitud de onda y el número de onda en el aire.
b) Si la onda entra en un medio en el que su velocidad de propagación es 3c/4, razona
qué valores tienen la frecuencia, la longitud de onda y el índice de refracción del medio.
c) Si la onda incide en el medio con un ángulo de 30º, dibuja los fenómenos que tienen lugar.
d) Explica que entiendes por ángulo límite y calcula su valor.
DATOS: c=3.108 m/s ; naire=1
3 ⋅ 3 ⋅ 108
= λ 2 ⋅ 9 ⋅ 108
4
⇒
el índice de refracción absoluto del medio es, por definición el referido al vacío:
c
c
n2 =
=
= 1,33
v 2 3c / 4
el índice de refracción relativo es: (en este caso tiene también el mismo valor, ya que el
primer medio es el vacío (n1=1)
n
1,33
n 21 = 2 =
= 1,33
n1
1
c) Cuando la onda incide con un ángulo de 30º:
• una parte se reflejará saliendo reflejada con un ángulo igual al de incidencia, es
decir de 30º
• otra se refractará, y el ángulo de refracción, de acuerdo con la ley de snell será:
n
λ
seni v1
=
= n 21 = 2 = 1
senr v 2
n1 λ 2
c
v aire
⇒
vaire = c = 3.108 m/s
La velocidad del rayo viene dada por: v medio = λ medio ⋅ ν La frecuencia no varía al
cambiar de medio, por tanto las únicas variables dependientes son la velocidad que tiene
en un medio concreto y la longitud de onda que tiene en ese medio.
v aire = λ aire ⋅ ν
⇒
3 ⋅ 108 = λ ⋅ 9 ⋅ 108
el número de ondas:
1
1
~
ν= =
= 3m −1
λ 0,33
⇒ λ = 0,33m
⇒
sen30 c
= 3c = 1,33
senr
4
(podríamos utilizar cualquiera de las combinaciones, pero
es mejor utilizar que seni/senr=v1/v2 porque son los datos)
a) En primer lugar calculamos la velocidad de la luz en el aire. Teniendo en cuenta que
su índice de refracción absoluto es 1, por tanto, si
naire=1=
λ 2 = 0,25m
⇒
r = 22º
d) El ángulo límite es aquel ángulo de incidencia que da lugar a un ángulo de refracción
de 90º, es decir, que hace que el rayo refractado salga tangente a la superficie de
separación de los dos medios, por tanto, según la ley de snell:
seni v1
=
senr v 2
⇒
seni lim v1
=
sen90 v 2
⇒
seni lim =
v1
v2
evidentemente, si la velocidad en el primer medio es mayor que la velocidad en el
segundo medio nunca habrá ángulo límite porque el seno de un ángulo no puede ser
mayor que la unidad, por tanto no habrá ángulo límite en este caso.
Ahora bien, si el rayo tuviera la dirección contraria, es decir si pasara el medio al aire
entonces sí. En este otro caso el ángulo límite sería de 48,59º
Fibra óptica: Es una de las aplicaciones más importantes de las reflexión total. Está
formada por un cable, dentro del cual hay dos materiales: un núcleo de cristal de óxido
de silicio, cuyo índice de refracción es muy elevado, recubierto por un manto de plástico
cuyo índice de refracción es pequeño. De esta manera la onda luminosa que entra por un
extremo en el núcleo queda “atrapada” dentro porque al chocar con la envoltura se
produce reflexión total (aunque el ángulo de incidencia sea pequeño, ya que n2/n1~0) y
de esa manera se conduce hasta el otro extremo.
sen i lim =
v1
v2
=
n2
n1
≈0 ⇒
î lim ≈ 0
La transmisión por fibra óptica se hace cambiando las señales eléctricas en pulsos de
luz, mediante un codificador, y enviando los pulsos hacia el núcleo de una fibra óptica.
Una vez que llegan al extremo opuesto, los pulsos los recibe un decodificador que los
cambia de nuevo a señales eléctricas como las originales.
Teniendo en cuenta que, como es lógico, n1´=n2 y que n2´=n1, y que de la figura se
)
)
deduce que los ángulos r y i ´ son iguales (por ser ángulos de lados paralelos), resulta
que la ley de snell para la segunda refracción puede escribirse como:
senr n 1
=
senr´ n 2
Si le damos la vuelta a la expresión y comparamos con la ley de snell para la primera
) )
refracción, se deduce que los ángulos i y r´ también son iguales, es decir, que el rayo
no varía en dirección, aunque como vemos sí que sufre un desplazamiento.
2. ¿Qué espacio recorre en rayo dentro de la lámina en función del ángulo de incidencia
y los índices de refracción del primer medio, sabiendo el espesor de la lámina.
Suponiendo que el espesor de la lámina es h, el camino recorrido AB dentro de la
misma se calcula fácilmente teniendo en cuenta (fíjate en el triángulo en verde)
De esta forma se pueden mandar señales luminosas sin pérdidas a largas distancias. Las
ventajas de la fibra óptica son (1) que es más barata que los cables de cobre y (2) que además
no produce interferencias, por lo que es muy apropiada para la transmisión de datos.
Lámina de caras plano−paralelas. Cuando un rayo atraviesa una lámina de caras
paralelas no experimenta ningún cambio de dirección, aunque sí que se desplaza:
cos r =
h
AB
⇒
AB =
h
cos r
3. ¿Cuál es el desplazamiento (d) que sufre el rayo? (fíjate en el triángulo en amarillo)
Después de dibujar la marcha de un rayo vamos a resolver las siguientes cuestiones:
1. ¿Qué relación guardan los distintos ángulos de incidencia y de refracción?
Si escribimos la ley de snell para la primera y para la segunda refracción:
n
λ
seni v1
=
= n 21 = 2 = 1
senr v 2
n1 λ 2
y para la segunda refracción
seni´ n 2 ´
=
senr´ n 1´
senβ =
d
y como los ángulos opuestos por el vértice son iguales: β + r = i tenemos:
AB
h ⋅ sen (i − r )
d = AB ⋅ sen (i − r ) =
cos r
E2A.S2006
Un rayo de luz monocromática incide en una de las caras de una lámina de vidrio, de
caras planas y paralelas, con un ángulo de incidencia de 30º. La lámina está situada en
el aire, su espesor es de 5 cm y su índice de refracción 1,5.
a) Dibuje el camino seguido por el rayo y calcule el ángulo que forma el rayo que
emerge de la lámina con la normal.
Prisma óptico: es un cristal de láminas no paralelas que forman un ángulo α
b) Calcule la longitud recorrida por el rayo en el interior de la lámina
a) Como sabemos, cuando un rayo incide sobre una superficie translúcida parte se
refracta y parte se refleja, de manera que el resultado sería algo así como el siguiente,
donde los rayos reflejados se han dibujado en color rojo :
1. Relación entre el ángulo del prisma, el ángulo de refracción y el segundo de
incidencia:- Si nos fijamos en el triángulo dibujado en verde y recordamos que la suma
de los ángulos de un triángulo es igual a 180º:
Teniendo en cuenta que, como hemos demostrado anteriormente, el rayo solamente
sufre un desplazamiento, pero no varía en dirección; el ángulo de incidencia en la
lámina es igual al ángulo de refracción de salida, resulta que r´=30º.
⇒
sen30 1,5
=
senr
1
⇒
⇒
α = r + i´
2. Desviación (δ) que sufre el rayo tras atravesar el prisma. Si nos fijamos en el
triángulo en amarillo que se forma al prolongar la dirección del rayo que incide y el que
sale del prisma:
b) Aplicando la ley de snell, el ángulo de la primera refracción es:
n
λ
seni v1
=
=n 21 = 2 = 1
senr v 2
n1 λ 2
(90 − r ) + α + (90 − i´) = 180
r = 19,5º
y el camino AB recorrido por el rayo en el interior de la lámina es:
AB =
h
5
=
= 5,3cm
cos r cos19,5
(i − r ) + (180 − δ) + (r´−i´) = 180
⇒
δ = i + í´− r − r´
c) Si tenemos en cuenta que la suma de los ángulos de un triángulo es de 180 y nos
fijamos en el que está dibujado en color verde:
Ejemplo:
Sobre un prisma de ángulo 60º, incide un rayo luminoso monocromático que forma un
ángulo de 41,3º con la normal a la cara AB. Sabiendo que en el interior del prisma el
rayo es paralelo a la cara AC:
a) Calcula el índice de refracción del prisma
b) Realiza el esquema gráfico de la trayectoria seguida a través del prisma
c) Determina el ángulo de desviación del rayo al atravesar el prisma
d) Explica si la frecuencia y la longitud de onda correspondiente al rayo luminoso son
distintas o no dentro y fuera del prisma.
a) Como vemos en la figura, en ángulo de la primera refracción es de 30º, ya que los
ángulos de lados perpendiculares son iguales:
(41,3 − 30) + (180 − δ) + ( 41,3 − 30) = 180
δ = 22,6º
⇒
d) La frecuencia del rayo de luz es la misma en cualquier medio, pero puesto que varía
el índice de refracción varía la velocidad y por lo tanto la longitud de onda.
Como el índice de refracción es igual al cociente entre la velocidad de la luz en el vacío
y la velocidad en el prisma y vale 1,32:
así que aplicando la ley de snell:
n
λ
seni v1
=
=n 21 = 2 = 1
senr v 2
n1 λ 2
n prisma =
⇒
sen 41,3 n 2
=
sen30
1
⇒
n 2 = 1,32
b)
λ ν
c
= vacío = 1,32
v prisma λ prisma ν
⇒
λ prisma =
λ vacío
1,32
al mismo resultado llegaríamos teniendo en cuenta, como siempre, que:
λ
n
seni v1
=
=n 21 = 2 = 1
senr v 2
n1 λ 2
⇒
sen 41,3 λ vacío
=
sen30
λ prisma
⇒
λ prisma =
λ vacío
1,32
La longitud de onda del rayo monocromático se hace 1,32 veces menor a la que tenía en
el vacío. Lógico, pues si la velocidad de la luz en cualquier medo es menor que en el
aire su longitud de onda también debe ser menor, dado que la frecuencia siempre es la
misma.
)
)
puesto que el rayo es paralelo a la base del prisma, los ángulos r y i ´ son iguales de
)
)
30º, y también son iguales entre sí los ángulos los r´ y i y valen 41,3º
DISPERSIÓN. DEPENDENCIA DE LA VELOCIDAD CON LA FRECUENCIA
Newton observó que cuando la luz blanca (policromática) atraviesa un prisma se
descompone en colores, a los que llamó espectro. Estos colores ya no se descomponen
más (son nomocromáticos), pero si se juntan de nuevo se obtiene la luz blanca.
Como la velocidad de la luz es máxima en el vacío, la longitud de onda en el
vacío siempre será mayor que la longitud de onda en el segundo medio.
Resumiendo: La dispersión de la luz es la separación de un rayo de luz en los colores o
frecuencias que lo componen al cambiar de medio, debido a que cada color presenta
distinto índice de refracción y eso hace que cada uno tenga una desviación diferente.
)
Cada frecuencia (color) ⇒ ≠ r (desviación) ⇒ ≠ n y ≠ velocidad
El arco iris se forma por la dispersión de la luz solar en
las gotas de agua suspendidas por el aire tras la lluvia.
Para verlo tenemos que tener el sol a la espalda
•
La luz monocromática está formada por ondas de una sola frecuencia. A cada
color le corresponde una frecuencia característica, por ejemplo:
Infra−Rojo
Rojo
Naranja
Amarillo
Verde
Azul
Violeta
Ultra−Violeta
•
•
< 3,8 ⋅ 10 14 Hz
3,8 ⋅ 10 14 − 4 ,9 ⋅ 10 14 Hz
4 ,9 ⋅ 10 14 − 5 ,1 ⋅ 10 14 Hz
5 ,1 ⋅ 10 14 − 5 ,3 ⋅ 10 14 Hz
5 ,3 ⋅ 10 14 − 6 ,1 ⋅ 10 14 Hz
6 ,1 ⋅ 10 14 − 7 ,0 ⋅ 10 14 Hz
7 ,0 ⋅ 10 14 − 8 ,0 ⋅ 10 14 Hz
> 8 ,0 ⋅ 10 14 Hz
¿Qué luz se desvía más en el prisma óptico: la luz roja o la luz azul?. Di cual de ellas
tiene mayor índice de refracción en el prisma y cual de ellas se propaga en su interior
con mayor velocidad.
Dato: El índice de refracción color rojo es menor que el índice de refracción del color azul.
Como podemos ver en la figura, la luz que sufre mayor desviación, respecto del rayo
incidente, es la luz azul, que es la que tiene menor longitud de onda. No obstante, el
ángulo de refracción mayor lo tiene el rojo, “porque los ángulos se miden sobre la normal
al plano”.
La descomposición de la luz se debe a que cada color que forman la luz blanca se
desvía un ángulo distinto en el prisma. Es decir, todas las frecuencias (colores) que
componen la luz blanca inciden con el mismo ángulo de incidencia, pero al penetrar en
el prisma cada color tiene un índice de refracción distinto y por eso se separan.
Si para un mismo ángulo de incidencia cada color tiene un ángulo de refracción
distinto al entrar en el prisma eso implica que cada color tiene un índice de refracción
diferente y que viaja a una velocidad diferente en el prisma.
n
λ
sen i
c
=
= 2 = 1
senr v 2
1
λ2
•
Ejemplo:
Para demostrarlo escribiremos las leyes de la refracción para cada color:
Como en el prisma cada color tiene una velocidad distinta, mientras que la
frecuencia de cada color permanece invariable, eso implica que cada color
cambia la longitud de onda al pasar de un medio a otro (ya que v=λ.ν)
n rojo λ rojo
seni
c
=
=
=
senrrojo v rojo
1
λ´rojo
n
λ
seni
c
=
=n 21 = 2 = 1
senr v 2
1
λ2
n
λ
seni
c
=
= azul = azul
senrazul v azul
1
λ´azul
si dividimos miembro a miembro:
senrazul
senr
rojo
=
v azul
v
rojo
=
n rojo
n
<1
Un espectro de emisión es el espectro de la luz que emite un cuerpo, mientras que si
hacemos pasar la luz blanca a través del cuerpo y analizamos la luz que deja pasar, el
espectro se llama de absorción. Ambos son complementarios, quiere decir que los
colores que le faltan a uno son justamente los que tiene el otro.
azul
Si tenemos en cuenta que el índice de refracción del rojo es menor que el del azul, se
deduce que todos los numeradores son menores que los denominadores, así pues:
•
•
•
El índice de refracción del rojo es menor
El ángulo de refracción del azul es menor (se desvía más)
La velocidad del azul es menor
Rojo
Azul
λ
6,40⋅10−7m
4,86⋅10−7m
n para el vidrio
v
1.50917
1,988⋅108m/s
1.51690
1,978⋅108m/s
ABSORCIÓN DE LA LUZ
Como sabemos, cuando la luz incide sobre un cuerpo, este se calienta. Eso ocurre
porque parte de la luz se refleja y otra parte se absorbe y esa diferencia de energía es la
que se transforma en calor.
Sin embargo la absorción por los cuerpos de las frecuencias de luz es selectiva, de
manera que absorben algunos de los colores monocromáticos que componen la luz
blanca y reflejan el resto. Precisamente esos colores que reflejan son el color del que
vemos los objetos.
Este tomate absorbe todos los colores monocromáticos
menos el rojo, que es el que refleja y por tanto el color del
que lo vemos.
Los objetos que vemos blancos emiten casi el 100% de la
luz que reciben mientras que los que vemos negros la
absorben casi completamente, por esa razón se calientan
más cuando están expuestos a la luz.
ESPECTROS DE EMISIÓN Y DE ABSORCIÓN
Un espectroscopio es un aparato capaz de separar la luz en los colores monocromáticos
que la componen. Así que un espectroscopio simple no es mas que un prisma.
El espectro de la luz blanca es continuo porque al descomponerse contiene la totalidad
de los colores desde el rojo al violeta, mientras que si solo hay unos pocos se llama
espectro discontinuo.
El conjunto de líneas espectrales que se obtiene para un elemento concreto es siempre el
mismo, incluso si el elemento forma parte de un compuesto complejo, es decir que cada
elemento produce su propio espectro diferente al de cualquier otro elemento, y por lo
tanto el espectro de un elemento es como si fuera su huella digital.
PROPAGACIÓN RECTILÍNEA DE LA LUZ. FORMACIÓN DE IMÁGENES POR
REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN
Conceptos previos y convenio de signos
Si la luz solar penetra por una pequeña abertura en un local oscuro, las partículas de
polvo iluminadas al paso de la luz ponen de manifiesto que ésta se propaga en línea
recta.
•
De acuerdo con el principio de Fermat, el camino que la luz sigue entre dos
puntos es aquel en el que emplee el menor tiempo posible.
•
Los rayos de luz son líneas perpendiculares a la superficie de onda, es decir, son
líneas rectas que nos indican la dirección en que se propaga la luz.
•
Los rayos de luz tienen una trayectoria rectilínea siempre que el medio sea
homogéneo e isótropo, es decir, que tenga las mismas propiedades en todos los
puntos.
•
La trayectoria que siguen los rayos de luz es reversible, lo que quiere decir que
si la luz se propagara en sentido inverso recorrería el mismo camino.
Cámara oscura: este es el fundamento de la cámara fotográfica. Si en una caja cerrada
hacemos un orificio pequeño y colocamos un cuerpo luminoso delante, dentro de la caja
aparecerá la imagen del mismo invertida. Teniendo en cuenta la propagación rectilínea
de la luz, los rayos inclinados que llegan al orificio continúan su recorrido rectilíneo
formando una imagen invertida como se ve en la figura.
El orificio de las cámaras oscuras debe ser pequeñísimo para dar imágenes nítidas, pero
así se reduce la luminosidad de la imagen formada.
La consecuencia de la propagación rectilínea de la luz es la formación de sombras
cuando el foco es puntual y de sombras y penumbras si no es puntual.
Fuente luminosa puntual: es aquella que se supone que es ínfimamente pequeña por
consiguiente cualquier cuerpo opaco colocado entre la misma y una pantalla, además de
quedar en sombra parte del cuerpo, formará en la pantalla una sombra de igual forma al
cuerpo (si es una esfera formará un circulo) y tamaño proporcional a las distancia.
Formación de imágenes:
A) Por reflexión: Son las imágenes que se forman en el mismo medio donde está el
objeto. Son las imágenes que se obtienen en los espejos (esféricos o planos).
A) Por refracción: Son las imágenes que se forman después de que los rayos de luz
provenientes del objeto atraviesen un medio de distinto índice de refracción al del
medio donde está el objeto. Son las imágenes que se obtienen en los dioptrios
(esféricos o planos) y en las lentes
Fuente luminosa no puntual extensa: es aquella que tiene dimensiones geométricas a
considerar. Ahora gracias a que la fuente no es solo un punto, es un cuerpo con
dimensiones a tener en cuenta, cuando colocamos por ejemplo una esfera entre pantalla
y fuente se nos forman dos conos. De este modo se nos forman tres zonas: la sombra
propiamente dicha, la zona totalmente iluminada que recibe todos los rayos de luz y la
penumbra o faja angular comprendida entre las dos anteriores zonas.
.
Dioptrio esférico
Un Dioptrio es el sistema formado por la superficie de separación de dos medios de
distinto índice de refracción. El caso mas general es el del dioptrio esférico, que
naturalmente es aquel en que la superficie de separación entre los medios es esférica,
de radio R.
•
•
•
Rayos paraxiales son los rayos que forman con el eje óptico ángulos muy pequeños.
Imagen real: es la imagen que se forma por intercesión de dos rayos procedentes
del objeto. No pueden verse y para verlas hay que proyectarlas sobre un plano.
Imagen virtual: es la imagen que se forma por intercesión de la prolongación de
los rayos que salen del objeto. No se pueden proyectar en un plano, pero pueden
verse.
Las imágenes en un dioptrio se obtienen trazando dos rayos:
• uno que incide paralelamente al eje óptico (rojo en la fig.) y que, de acuerdo a la
definición de foco imagen, se refracta pasando por el foco imagen
• otro que pase por el foco objeto que se refractará saliendo paralelo al eje óptico
(en color rosa).
• uno que pase por el centro de curvatura no se desvía. Lógico porque si pasa por
el centro tiene la dirección de la normal, es decir ángulo de incidencia 0 y según
las leyes de la refracción de Snell le corresponde ángulo de refracción cero.
• En el punto de corte se forma la imagen real si los rayos se cortan o virtual si se
cortan la prolongación de los rayos. En el punto de corte se forma la imagen real.
Convenciones y definiciones:
•
•
•
•
•
•
•
Los rayos se mueven de izquierda a derecha
s1 o s = La distancia del objeto al dioptrio. s2 o s´ = distancia del dioptrio a la imagen.
Los ángulos de incidencia y refracción son positivos cuando se miden sobre la
normal por el camino mas corto.
Centro de curvatura (C). Es el centro de la esfera. En la figura es el punto C. Los
rayos que pasan por él no se desvían.
Centro del dioptrio o Polo (O). Es el vértice del casquete sobre el eje óptico,
donde se sitúa el origen del sistema de coordenadas. Las distancias medidas
hacia la derecha se consideran positivas y las que se miden hacia la izquierda
negativas. (En la figura, por ejemplo, s1=−3 y s2=+6 )
Eje óptico. Es la recta que pasa por el centro de curvatura y por el polo.
Foco Objeto (F1 o F). Es un punto del eje principal del que parten todos los rayos
que luego salen paralelos al eje. La distancia de ese punto al polo se llama
distancia focal objeto (f1 o f)
La ecuación general del dioptrio para rayos paraxiales es la siguiente:
n 2 n1 n 2 − n1
−
=
s 2 s1
R
A partir de esta ecuación pueden obtenerse fácilmente las ecuaciones de los focos objeto
e imagen, ya que:
•
•
Foco Imagen (F2 o F´). Es un punto del eje principal en el que confluyen todos los
rayos que llegan paralelos al eje. La distancia al polo se llama distancia focal (f2 o f´)
Si ponemos el objeto justo en el foco objeto, s1=f1
todos los rayos saldrían paralelos al eje y formarían la
imagen en el infinito, es decir que s2=∝
n 2 n1 n 2 − n1
−
=
R
∞ f1
•
⇒
f1 =
− n 1R
n 2 − n1
Si ponemos el objeto en el infinito, s1=∝, todos los
rayos incidirán paralelos y confluirán en el foco imagen
donde formarán la imagen: s2=f2
•
n 2 n1 n 2 − n1
n 2R
−
=
⇒
f2 =
f2 ∞
R
n 2 − n1
Sumando las distancias focales objeto e imagen se obtiene el radio: f1 + f 2 = R
El aumento de la imagen se deduce fácilmente a partir de la ley de snell y de la figura,
ya que si trazamos un rayo que pase por el polo y nos fijamos en los triángulos en
amarillo, y que si los rayos son paraxiales la hipotenusa es prácticamente igual a s1 y s2:
Al contrario ocurre cuando un buzo mira
desde debajo del agua a un avión que lo verá
más alejado de lo que realmente está.
Ejemplo:
Un hombre está sentado, como se muestra en la figura, y sobre
la mesa hay una taza, de la que no puede ver el fondo. ¿Cómo
podría saber, sin levantarse, si en su interior hay una moneda?
seni n 2
=
senr n 1
⇒
Es muy sencillo, solo tendría que llenar la taza de agua.
y1
s1
n
= 2
y2
n1
s2
⇒
n ⋅s
y 2 = y1 1 2
n 2 ⋅ s1
Dioptrio plano: El dioptrio plano puede considerarse como un dioptrio esférico de
radio infinito y por tanto su expresión se deduce fácilmente sin más que hacer R = ∞ :
n 2 n1 n 2 − n1
−
=
∞
s 2 s1
⇒
n 2 n1
=
s2
s1
La refracción de la luz en la superficie de un dioptrio plano origina que un observador que
mire un objeto sumergido a una distancia s1 (dist.real) vea la imagen virtual del objeto a
una distancia de la superficie del agua s2 (dist.aparente) menor que la real, dando la
impresión de que está más cerca. Esto es así porque el índice de refracción del agua (de
donde parte el rayo) es mayor que el del aire. No obstante, el tamaño de la imagen es igual
al del objeto: y2 = y1, lo que se deduce fácilmente sin más que sustituir en la expresión que
relaciona el tamaño de las imágenes que para el dioptrio plano n1s2/n2s1=1.
n 2 n1
=
s2
s
1
ATENCIÓN: Recuerda que el ojo lo que ve es
la luz que reflejan los objetos, por eso, cuida
mucho al dibujar el sentido del rayo. Siempre
sale del objeto y va hacia el ojo.
Cuando la taza está vacía, como los rayos se propagan rectilíneamente no puede ver el
fondo, sin embargo al llenarla de agua, que tiene un índice de refracción mayor que el
del aire (1,33), los rayos se doblan, acercándose a la normal. Como el cerebro está
acostumbrado a ver en línea recta, lo que verá es la imagen virtual que se obtiene
prolongando la dirección de incidencia hasta que corte a la vertical.
ESPEJOS. FORMACIÓN DE IMÁGENES Y CARACTERÍSTICAS
Un espejo es una superficie perfectamente pulida y opaca que es capaz de reflejar todos
los rayos. Los elementos de un espejo esférico son los mismos que los de un dioptrio,
aunque en el caso de los espejos el foco imagen y el foco objeto coinciden y la distancia
focal es la mitad del radio: f = R / 2
Si el objeto está entre el centro de
curvatura y el foco se obtiene una
imagen real, invertida y mayor
Si el objeto está en el foco, no se
forma imagen, ya que los rayos se
cortarían en el infinito.
Las imágenes en los espejos se obtienen trazando dos rayos:
•
•
•
•
uno que incide paralelamente al eje óptico (rojo en la fig.) y que, de acuerdo a la
definición de foco, se refleja pasando por el foco.
otro que pase por el foco objeto que se reflejará saliendo paralelo al eje óptico
(en color rosa).
O bien, otro que pase por centro de curvatura no se desviará (porque incide con
i=0 → r=0) y se refleja siguiendo el mismo camino a la inversa. (en color verde).
En el punto de corte de cualquiera de estos rayos forma la imagen, que será real
si los rayos se cortan o virtual si se cortan la prolongación de los rayos. Según la
posición del objeto la imagen puede ser:
Si el objeto está mas lejos que el
centro de curvatura se obtiene una
imagen real, invertida y menor
Si el objeto está en el centro de
curvatura se obtiene una imagen
real, invertida y del mismo
tamaño
Si el objeto está entre el foco y el
espejo se obtiene una imagen
virtual, derecha y mayor
Espejos convexos (también llamados espejos divergentes) la focal y el centro
de curvatura están detrás de la parte reflexiva. Siempre forman imágenes:
* virtuales porque los rayos siempre divergen y en consecuencia solo pueden
cortarse sus prolongaciones (porque no pueden pasar por el foco y el centro de
curvatura, ya que están al otro lado del espejo).
* derechas porque el objeto y la imagen están a ambos lados del espejo
* menores porque siempre s1 > s2
En un espejo convexo la imagen
siempre es virtual, derecha y
menor.
La ecuación de los espejos puede obtenerse a partir del la ecuación del dioptrio esférico,
si tenemos en cuenta que la reflexión es como un caso particular de refracción en el que
el rayo rebota sobre el mismo medio, así que n 2 = − n 1 y teniendo en cuenta que en los
espejos f = R / 2
n 2 = −n 1
n 2 n1 n 2 − n1
−
=
s 2 s1
R
y la imagen es del mismo tamaño que el objeto, ya que:
− n1 n1 − n1 − n1
−
=
s2
s1
R
1 1
2
⇒
+ =
s 2 s1 R
⇒
1 1 1
+ =
s 2 s1 f
El aumento de la imagen se deduce fácilmente también a partir del aumento de la
imagen para el dioptrio:
n 2 = −n 1
y 2 = y1
n1 ⋅ s 2
n 2 ⋅ s1
⇒
y 2 = − y1
s2
s1
y 2 = − y1
s2
s1
como s 2 = −s1
⇒
y 2 = y1
Los espejos son superficies perfectamente pulidas, mientras que cualquier otra
superficie es rugosa (aunque sea microscópicamente rugosa) y no puede formar
imágenes porque, aunque se sigan cumpliendo las leyes de la reflexión, debido a su
rugosidad los rayos reflejados no tienen todos la misma dirección y el resultado es una
reflexión difusa.
Quiere decir que la imagen será derecha cuando s1 y s2 tengan distinto signo. Eso ocurre
cuando objeto e imagen estén a ambos lados del espejo, que es lo que pasa siempre en
los espejos convexos y en los cóncavos cuando el objeto está entre el foco y el espejo
Espejos planos: Pueden considerarse como un caso particular de los esféricos, donde el
radio es infinito.
Para obtener la imagen en un espejo plano:
•
•
•
Se traza un rayo paralelo al eje y se prolonga. Seguirá paralelo puesto que el
foco está en el infinito
Se traza un rayo cualquiera, que obviamente se reflejará en el espejo de manera
que el ángulo de reflexión sea igual al de incidencia. Luego se prolonga y en la
intercesión se obtiene un punto de la imagen, que naturalmente es virtual y
derecha.
Haciendo lo mismo se obtienen el resto de los puntos
Aplicaciones de los espejos: Además de facilitar el aseo se utilizan en la
construcción de muchos instrumentos ópticos, como por ejemplo el periscopio de
los submarinos, que está formado por dos espejos formando ángulo de 45º
Como en un espejo convexo, la imagen es siempre virtual, derecha y más pequeña
que el objeto, se suelen utilizar en los retrovisores de coches y motos, debido a
que proporcionan un mayor campo de visión. También, se colocan grandes
espejos convexos en las esquinas de algunos cruces de poca visibilidad o en algunas
tiendas.
Por el contrario un espejo cóncavo que tenga una distancia focal muy grande, de manera
al mirarnos siempre nos coloquemos entre el foco y el espejo servirá para vernos
aumentados y se venden como espejos para afeitarse.
Ejemplo: E5A.S2007
Como los ángulos de incidencia y de reflexión son iguales, los triángulos en amarillo
también lo son y por tanto la imagen se forma a la misma distancia que está el objeto, es
decir que: s 2 = −s1 (el signo menos indica que la imagen se forma al otro lado del
espejo). De todas formas, la ecuación para el espejo plano es fácil de deducir, sin más
que tener en cuenta que para ellos el foco está en el infinito:
1 1 1
+ =
s 2 s1 f
⇒
1 1 1
+ =
s 2 s1 ∞
⇒
s 2 = −s 1
Es corriente utilizar espejos convexos como retrovisores en coches y camiones o en
vigilancia de almacenes, con objeto de proporcionar mayor ángulo de visión con un
espejo e tamaño razonable.
a) Explique con ayuda de un esquema las características de la imagen formada en este
tipo de espejos.
b) En estos espejos se suele indicar: “Atención los objetos están mas cerca de lo que
parece” ¿Porqué parecen estar más alejados?
a) como puede verse en el esquema, la imagen es siempre derecha, mas pequeña (por
aumentan el campo visual) y virtual.
LENTES. FORMACIÓN DE IMÁGENES Y CARACTERÍSTICAS
Una lente es un sistema transparente formado por dos superficies esféricas, aunque una
de ellas puede ser plana. Por tanto puede considerarse como dos dioptrios unidos.
Además, la imagen que viene dada por:
y 2 = − y1
s2
s1
• y2 es positiva ⇒ es una imagen derecha (ya siempre y1 es positiva, s1 negativa y
s2 es positiva)
• la imagen es menor ya que en valor absoluto s2<s1 ⇒ que y2<y1
b) El hecho de que los objetos nos parezcan más alejados es precisamente por el
reducido tamaño con que los vemos.
Elementos de una lente:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Centros de curvatura (C1, C2). Son los centros de las esferas que forman la lente.
Centro óptico (O). Es el centro geométrico de la lente sobre el eje óptico, donde
se sitúa el origen del sistema de coordenadas. Las distancias medidas hacia la
derecha se consideran positivas y las que se miden hacia la izquierda negativas.
Los rayos que pasan por él no se desvían.
Eje óptico. Es la recta que pasa por el centro óptico y los centros de curvatura.
Foco Objeto (F1). Es un punto del eje principal del que parten todos los rayos que
luego salen paralelos al eje. La distancia de ese punto al polo se llama distancia
focal objeto (f1)
Foco Imagen (F2). Es un punto del eje principal en el que confluyen todos los
rayos que llegan paralelos al eje. La distancia al polo se llama distancia focal (f2)
Lente delgada: Se considera a aquella que tiene un espesor despreciable
comparado con los radios de curvatura de las lentes. En una lente delgada la
distancia del foco objeto e imagen coinciden, así que f1 = −f 2 . El signo menos
quiere decir que cada foco está a un lado de la lente.
Potencia de la lente (P): Se define como el inverso de la distancia focal: P = 1
f2
Su unidad es la dioptría (D). Por tanto, una dioptría es la potencia de una lente de
distancia focal igual a 1 metro.
Lente convergente: Es aquella cuya distancia focal imagen es positiva ( f2 está a la
derecha). En esta lente los rayos que inciden paralelos, después de atravesar la
lente convergen en el foco imagen:
Lente divergente: Es aquella cuya distancia focal imagen es negativa (f2 está a la
izquierda). En esta lente los rayos que inciden paralelos, después de atravesar la lente
divergen (se abren) ya que convergen en el foco imagen que está a la izquierda:
Si el objeto está en el foco, no se
forma imagen, ya que los rayos se
cortarían en el infinito.
Para obtener las imágenes producidas por las lentes se siguen los mismos criterios
que el dioptrio y los espejos, es decir teniendo en cuenta que:
•
•
•
•
Si un rayo incide un rayo paralelo al eje óptico después de atravesar la lente pasa
por el foco imagen
Si un rayo procede del foco objeto después de atravesar la lente sale paralelo al
eje óptico.
Cualquier rayo que pase por centro óptico no se desviará y después de atravesar
la lente sigue el mismo camino (en color verde)
En el punto de corte de cualquiera de estos rayos forma la imagen, que será real
si los rayos se cortan o virtual si se cortan la prolongación de los rayos. Según la
posición del objeto la imagen puede ser:
Si el objeto está entre el foco y la lente
se obtiene una imagen virtual, derecha
y mayor. LUPA.
En una lente divergente la imagen
siempre es virtual, derecha y menor.
Si el objeto está mas lejos que el doble
de la distancia focal se obtiene una
imagen real, invertida y menor
Las ecuaciones para las lentes delgadas, para las que f1 = −f 2 son:
Si el objeto está a una distancia igual
al doble de la distancia focal se
obtiene una imagen real, invertida y
del mismo tamaño
 1
1 1
1
− = ( n − 1)
−
s 2 s1
 R1 R 2
 1
 =
 f2
el aumento de la imagen se deduce fácilmente de la figura (observa los triángulos en
amarillo), teniendo en cuenta que como el rayo que pasa por el centro de la lente no sufre
desviación los ángulos a ambos lados son iguales por ser opuestos por el vértice, así que:
Si el objeto está entre el doble de la
distancia focal y el foco se obtiene una
imagen real, invertida y mayor
tgα =
y1 y 2
=
s1 s 2
⇒
y 2 = y1
s2
s1
la expresión es parecida a la del aumento de los espejos, solo que el signo menos que
tenía para los espejos era consecuencia de que el rayo rebotaba, cosa que aquí no ocurre.
Ejemplo:
Una lente convergente forma, de un objeto real, una imagen también real, invertida y
aumentada 4 veces. Al desplazar el objeto 3 cm hacia la lente, la imagen que se obtiene
es virtual, derecha y con el mismo aumento en valor absoluto. Determina:
a) La distancia focal imagen y la potencia de la lente
b) Las distancias del objeto a la lente en los dos casos citados
c) Las respectivas distancias de la imagen
d) Las construcciones geométricas correspondientes.
teniendo en cuenta ahora la relación entre las distancias a la lente con la focal (fórmula
1 1 1
) para ambos casos:
del constructor de lentes:
− =
s 2 s1 f 2
1 1
1
caso 1
(3)
− =
s 2 s1 f 2
1
1
1
(4)
caso 2
−
=
s´2 (s1 + 3) f 2
resolviendo el sistema de 4 ecuaciones tenemos que:
f 2 = 6cm
;
s 1 = −7,5cm
s 2 ´= −18cm
La potencia de la lente, que es la inversa de la distancia focal será:
P=
d) Evidentemente si en el primer caso la imagen es real, aumentada e invertida, debe
estar comprendida entre una distancia F y 2F, mientras que si en el segundo caso es
virtual, derecha e invertida estará entre el foco y la lente, así que:
s 2 = 30cm y
1
= 0,17dioptrías
f2
c) la distancia a la que se forma la imagen en el primer caso es s2 = 30cm y la distancia
a que se forma la imagen en el segundo caso es s2´ = −18cm
Tanto los valores de s1 y de s1´ concuerdan con la suposición inicial: en el primer caso
la imagen está mas a la izquierda del foco (6cm) y en el segundo entre el foco y la lente.
Por otro lado, los signos de todas las distancias también concuerdan con lo que cabe
esperar de la figura, es decir, positivos los que están a la derecha de la lente y negativos
a la izquierda.
•
•
•
Al tamaño del objeto (que es el mismo en ambos casos) le llamaremos y1 e y´1
Al tamaño de las imágenes las llamaremos y 2 e y´2
A la distancia inicial del objeto a la lente le llamaremos s1. A la distancia del objeto
en el segundo caso a la lente le llamaremos s´1 = s1 + 3 (cuidado, que al acercar el
objeto a la lente, de acuerdo al criterio de signos, lo que estamos haciendo es
aumentar en 3 cm)
a) teniendo en cuenta la relación entre el tamaño del objeto y de la imagen en ambos
casos:
caso 1
caso 2
y1 − 4 y1
=
s1
s2
y´1
4 y´1
tgα´=
=
s1 + 3 s´2
tgα =
⇒
s 2 = −4s1
(1)
⇒
s´2 = 4(s1 + 3)
(2)
INSTRUMENTOS ÓPTICOS
Cámara fotográfica: Es básicamente una cámara oscura, que consta de las siguientes
partes:
•
•
Proyector: Es un sistema capaz de obtener imágenes reales aumentadas para
proyectarlas sobre una pantalla. El problema está en conseguir una iluminación
adecuada y eso se consigue mediante una lente convergente llamada condensador.
El tamaño del orificio de entrada de luz se ajusta mediante un diafragma.
Para mejorar la formación de la imagen se coloca en el orificio una lente
convergente. Moviendo la posición de la lente hacia delante y hacia atrás se
logra un punto de enfoque en el que la nitidez es máxima. Para eso, el objetivo,
que es donde está montada la lente, puede girar hasta obtener una imagen nítida
sobre el plano de la película.
•
•
•
•
•
El obturador es una especie de cortina que se abre y cierra y cuya misión regular
la cantidad de luz que está entrando en la cámara y que ilumina a la película.
En el fondo de la cámara, donde se forma la imagen, se coloca una película
fotográfica impregnada de sales de plata que se oscurecen al darle la luz y de esa
manera se forma el negativo. (Se llama así porque la imagen obtenida en la
película es justo la contraria, ya que los puntos que reciben mas luz se oscurecen
más.)
La única misión de la lente condensadora es dar luminosidad a la imagen. Para
conseguir que al final resulte iluminada uniformemente se coloca muy cerca del
objeto, es decir de la diapositiva a proyectar.
La lente objetivo se coloca exactamente en el foco de la lente condensadora.
La imagen que se recoge en la pantalla es la que forma del objeto la lente
objetivo
Microscopio: Es un instrumento que permite obtener imágenes ampliadas combinando
dos lentes convergentes, llamadas lente objetivo y lente ocular:
Lupa: Es simplemente una lente convergente. Colocando el objeto entre el foco y la
lente se obtiene una imagen virtual aumentada, es decir nos permite observarla con un
ángulo de visión mayor:
•
•
El objeto a visualizar debe estar cerca del foco del objetivo aunque un poco más
alejado, con lo que forma una imagen real y aumentada.
La imagen creada por el objetivo se forma entre el foco y la lente del ocular y es
la que a su vez hace de objeto para que finalmente se cree una imagen virtual y
más aumentada.
•
En otras palabras, el ocular hace de lupa para aumentar a un más la imagen
intermedia creada por el objetivo.
mayor recorrido por el vidrio con lo que se hace notable la dispersión y las imágenes
aparecen difusas, es lo que se conoce como aberración cromática.
Anteojo: Como el microscopio, está formado por dos lentes llamadas objetivo y ocular,
pero su objeto es ver aumentados objetos muy lejanos. En realidad lo que hace es
aumentar el campo de visión. A diferencia del microscopio:
•
la lente del objetivo tiene una distancia focal mucho mayor que la del ocular:
f obj > f ocul
•
Como los rayos proceden de objetos muy lejanos inciden casi paralelos en el
objetivo, de forma que se juntan en el foco
las dos lentes están colocadas de tal manera que el foco del objetivo y el foco del
ocular coinciden
Como los rayos que llegan al ocular provienen del foco (se colocó así
expresamente) los rayos una vez que atraviesan la lente vuelven a salir paralelos,
de manera que el ojo ve la imagen en el infinito con un aumento angular.
•
•
A newton se le ocurrió sustituir la lente convergente por un espejo cóncavo, que sería el
encargado de recoger los rayos en un punto (como sabemos f=R/2). Posteriormente un
espejo plano los refleja sobre una lente convergente que finalmente los devuelve
paralelos a su eje óptico.
El primer anteojo, de Lippershey, y posteriormente mejorado por Galileo utilizaba una
lente convergente como objetivo y una divergente como ocular. La imagen que se
obtiene es derecha:
como en este caso los rayos procedentes del objeto lejano se convergen por reflexión en
un espejo esférico o parabólico a estos telescopios se les llama reflectores, mientras que
cuando se convergen con la ayuda de una lente como ocurre en los anteojos se les llama
refractores.
Kepler posteriormente construyó otro anteojo de más aumentos sustituyendo la lente
divergente por otra también convergente. La imagen se obtiene invertida, aunque como
se trataba de observar planetas eso no suponía un problema:
Telescopio: En teoría se pueden conseguir anteojos más potentes empleando lentes
mayores, de hecho Newton pasó un tiempo investigando la forma de construir grandes
lentes de calidad (para evitar la aberración esférica), hasta que se dio cuenta de que,
aunque eso fuera posible, al aumentar el tamaño de la lente los rayos de luz tienen un
Una variante del telescopio de Newton es el de Schmidt−Cassegrain donde el espejo
plano se sustituye por uno convexo, con lo que se consigue mayor ganancia con
aparatos más pequeños:
REGIONES DEL ESPECTRO ELECTROLAGNÉTICO
4. Las OEM, como todas las ondas, transportan energía procedente del foco emisor. La
energía que transportan es tanto mayor cuanto mayor es la frecuencia de la OEM, ya
que como sabemos la energía es proporcional al cuadrado de la amplitud y al cuadrado
de la frecuencia de la onda.
Analogías entre las distintas OEM:
1. Todas las ondas electromagnéticas OEM tienen la misma naturaleza, es decir, son
sondas transversales, no mecánicas (no necesitan de un medio material para propagarse)
y están constituidas por un campo eléctrico y otro magnético que se propagan
perpendicularmente y en fase por el espacio, cada uno de los cuales satisface a la
ecuación de una onda viajera:
5. La longitud de onda y la frecuencia está relacionadas por:
c = λ ⋅ν
Diferencias entre las distintas OEM
Todas las diferencias que pueda haber entre unas OEM y otras son consecuencia
exclusivamente de su distinta frecuencia (o longitud de onda, ya que ambas están
relacionadas). Según la frecuencia las OEM se clasifican en:
x t 
E = E m sen 2π − 
λ T
c=
Em
Bm
x t 
B = B m sen 2π − 
λ T
r r
2. La dirección de propagación de la OEM viene dada por un vector como el E ∧ B . La
velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas es una constante y es igual a la
relación que existe entre el valor máximo de la intensidad del campo eléctrico y el valor
máximo del campo magnético:
c=
E max
1
=
= 3 ⋅ 10 8 m / s
B max
µ⋅ε
La permeabilidad magnética (µ) es una constante que depende de las propiedades del
medio y representa la capacidad del medio para ser atravesado por un campo magnético.
Para el vacío µ o = 4π ⋅ 10 −7 N/A2
La constante dieléctrica (ε) también depende del medio e indica la forma en que el medio
se afecta por un campo eléctrico. Para el vacío ε o = 8,85 ⋅ 10 −12 N.m2/C2
3. Todas las OEM son radiadas por cargas aceleradas.
Ondas de radio u ondas hertzianas
Son OEM cuyas frecuencias oscilan entre aproximadamente los 104 y 109 Hz y entre
ellas podemos distinguir de menor a mayor frecuencia (o de mayor a menor longitud de
onda):
LF
MF
HF
VHF
UHF
Low Frecuency (onda larga)
Médium Frec. (Onda media)
High Frec. (Onda corta)
Very High Frecuency
Ultra High Frecuency
Todas estas ondas se generan en circuitos oscilantes y se detectan también mediante
circuitos electrónicos.
Son OEM cuyas frecuencias oscilan entre aproximadamente los 109 y 1011 Hz. Las
microondas se generan con circuitos electrónicos especiales como el magnetrón.
Aplicaciones:
•
Se utilizan en sistemas de comunicación de radio y televisión. Las cuatro
primeras en radio (la frecuencia modulada utiliza ondas VHF) y las dos últimas
en TV.
Las ondas largas, medias y cortas pueden utilizarse para comunicaciones a grandes
distancias, ya que la ionosfera (cáscara de iones que rodea a la tierra) las refleja. Las
VHF y UHF al tener menor longitud de onda y atraviesan la ionosfera, por tanto solo
sirven para comunicarse a pequeñas distancias a menos que se instalen repetidores en
torres o satélites.
•
Microondas y Radar:
Aplicaciones:
•
•
Telefonía móvil y wifii, aunque naturalmente se tienen que utilizar repetidores.
En radar. Un radar básicamente consta de una emisora de ondas, un receptor
para recoger los ecos o reflexiones y un analizador. Como puede verse en la
figura el transmisor emite ondas que son reflejadas por el objeto y son recogidas
y amplificadas por el receptor y mandadas al dispositivo analizador que nos
puede dar inmediatamente datos como la distancia, dirección y velocidad
relativa del objeto.
Las ondas cortas se utilizan también en medicina contra el reuma para dar
masajes celulares. Al aparato vulgarmente se le llama “las corrientes”.
Como las ondas reflejadas son una porción muy pequeña, el receptor debe ser muy
sensible. Para que el receptor no capte las ondas que está lanzando el emisor, ambos
elementos deben funcionar intermitentemente, es decir, cuando el emisor lanza un
pulso al espacio, el receptor no funciona e inmediatamente se hace muy sensible para
escuchar el eco de la onda reflejada si la hay.
El circuito A es un simple circuito oscilante que es el que genera las OEM. El
circuito B funciona por resonancia, lo que se consigue ajustando el condensador C´
hasta que la frecuencia propia del circuito B sea la misma que la del A y ello ocurre
cuando:
LC = L´C´
Puesto que el campo eléctrico varía en el interior del condensador, donde está el
paciente, con una frecuencia muy grande (del orden del 107 Hz) no se producen
efectos desagradables para el organismo porque la inercia de los iones y dipolos
celulares les impide seguir los cambios tan rápidos del campo. El único efecto es
un leve masaje celular que se produce por vibración de los dipolos y las partículas
cargadas de las células y que va acompañado de un calentamiento interno.
•
Hornos microondas. Tienen como característica que cocinan con rapidez y que
no calientan las paredes metálicas del horno ni los platos. Su funcionamiento es
similar al explicado para al aparato de onda corta utilizado en medicina, con la
diferencia de que al trabajar con OEM de mayor frecuencia pueden calentar más.
Infrarrojos:
Visible:
Son OEM cuyas frecuencias oscilan entre aproximadamente los 1011 y 4.1014 Hz. Se
llaman así porque sus frecuencias estás justamente por debajo del rojo del visible.
Dentro de los infrarrojos se distingue entre IR lejano, medio y cercano:
Son OEM cuyas frecuencias oscilan en el pequeño margen comprendido entre 4.1014 y
8.1014 Hz.
Son generadas cuando se excitan los electrones de los átomos y luego regresan a los
niveles más bajos de energía. Ya conoces el espectro del hidrógeno. Los saltos que el
electrón da desde los niveles superiores hasta el segundo nivel (serie Balmer)
corresponden a frecuencias del visible. Las OEM radiadas cuando los saltos son hasta al
primer nivel corresponden al UV y los saltos hasta los niveles 3, 4... corresponden a
frecuencias más pequeñas, es decir al IR.
los rayos infrarrojos son emitidos por las moléculas en sus vibraciones y rotaciones, así
como por los cuerpos calientes.
La radiación infrarroja se puede detectar mediante termopilas o películas fotográficas
especiales. El ojo naturalmente no los detecta porque sus frecuencias son demasiado
pequeñas para excitar el mecanismo de la visión, sin embargo los detectamos en forma
de calor y especialmente los de mayor frecuencia.
Aplicaciones de los infrarrojos:
•
En análisis molecular. Como sabemos, cuando se excitan los electrones de un
átomo absorben la energía y saltan a niveles de mayor energía y al volver a los
niveles inferiores la radian en forma de OEM dando lugar a los espectros de
emisión. Pues de forma parecida les ocurre a las moléculas, las cuales poseen
diferentes estados de vibración y dentro de ellos de rotación que también están
cuantizados.
Lo especial de esta pequeña banda del espectro electromagnético es que nuestros ojos
son sensibles a ellas y podemos verlas de diferentes colores según sea su frecuencia:
Como puede verse, dentro de cada nivel de vibración hay varios niveles de rotación
muy juntos. Al pasar la molécula de un estado a otro inferior se radia energía en
forma de OEM que corresponde al infrarrojo lejano, incluso microondas para los
saltos entre niveles de rotación y al infrarrojo cercano para los saltos entre niveles de
vibración.
•
Para ver objetos en la oscuridad, siempre que naturalmente estén más calientes
que el medio que los rodea (por ejemplo una persona camuflada en la
oscuridad). Como los objetos calientes emiten radiación infrarroja, con una
película adecuada puede obtenerse una imagen exactamente de la misma forma a
la que se obtiene cuando lo que refleja es luz diurna.
Infra−Rojo
Rojo
Naranja
Amarillo
Verde
Azul
Violeta
Ultra−Violeta
< 3,8 ⋅ 10 14 Hz
3,8 ⋅ 10 14 − 4 ,9 ⋅ 10 14 Hz
4 ,9 ⋅ 10 14 − 5 ,1 ⋅ 10 14 Hz
5 ,1 ⋅ 10 14 − 5 ,3 ⋅ 10 14 Hz
5 ,3 ⋅ 10 14 − 6 ,1 ⋅ 10 14 Hz
6 ,1 ⋅ 10 14 − 7 ,0 ⋅ 10 14 Hz
7 ,0 ⋅ 10 14 − 8 ,0 ⋅ 10 14 Hz
> 8 ,0 ⋅ 10 14 Hz
Así que entre una onda de radio, un rayo X y otra onda que da al ojo la impresión del
color verde no hay ninguna diferencia más que en sus frecuencias. El ojo humano es
sensible a unas pocas de ellas de la misma forma que el oído solo es sensible a ondas
sonoras comprendidas entre 20 y 20.000 Hz. Un murciélago es capaz de escuchar
sonidos por encima de 20.000 Hz y una abeja puede ver OEM del UV, pero nosotros ni
una cosa ni otra ¿qué vamos a hacer?
Rayos ultravioleta (UV)
Son OEM cuyas frecuencias oscilan entre aproximadamente los 8.1014 y 1017 Hz. Se
llaman así porque sus frecuencias estás justamente por encima del violeta del visible.
Estas radiaciones son emitidas por átomos muy excitados en los que tienen lugar saltos
de los electrones más internos. El sol es una buena fuente de radiación UV. Son
precisamente los rayos UV los que producen el bronceado de la piel, sin embargo las
quemaduras se deben a los IR.
Los rayos X son ionizantes como puede comprobarse con el siguiente experimento: Se
coloca una batería de corriente continua a las placas de un condensador entre las que
hay un gas, por ejemplo aire. Evidentemente una vez que se carga el condensador deja
de pasar corriente.
Pueden detectarse con células fotoeléctricas o con películas fotográficas especiales.
Aplicaciones:
•
•
•
•
•
Para esterilizar instrumentos médicos, ya que estas radiaciones eliminan las
bacterias.
Para descubrir falsificaciones en billetes y cuadros. Las pinturas modernas
tienen elementos que fluorecen cuando se iluminan con radiación UV. Estas
sustancias también las llevan los detergentes y por eso una camisa blanca a la
que le quedan restos fluorece con la luz UV de las discotecas.
En espectroscopia, ya que como hemos dicho, algunas transiciones electrónicas
corresponden al UV
En fotoquímica, para disociar las moléculas y activar las reacciones por radicales
libres.
En circuitos electrónicos que utilizan células fotoeléctricas, como por ejemplo
para abrir una puerta al acercarse una persona.
Rayos X:
Son OEM cuyas frecuencias oscilan entre aproximadamente los 1017 y 1019 Hz. Se
llaman así porque fue el nombre que le puso Roetgen, su descubridor. Según la
frecuencia los rayos X se clasifican en blandos y duros
Se producen en los tubos de rayos X. Un tubo de rayos X está formado por un filamento
que una vez puesto al rojo emite electrones (por efecto termoiónico) y que luego son
acelerados por una elevada d.d.p. del orden de 100.000 voltios. De esta forma adquieren
una gran energía cinética y cuando chocan con en anticátodo pierden toda esa energía y
la radian en forma de OEM, aunque parte de ella se transforma en calor ya que el
anticátodo se calienta mucho.
Al iluminar con rayos X entre las placas del condensador se produce una corriente
porque se ionizan las moléculas que componen el aire, es decir, se arrancan electrones
de las moléculas del gas los cuales se mueven hacia la placa positiva y posteriormente
son bombeados por la pila hasta la otra placa, donde al unirse de nuevo al resto positivo
de la molécula dan de nuevo moléculas neutras.
Aplicaciones:
•
•
•
•
En medicina. Los rayos X atraviesan bien las partes blandas del organismo y
peor los huesos, de manera que estos pueden hacerse visibles y ver las fracturas.
En el control de calidad de piezas para detectar fracturas internas.
En las aduanas
En el estudio de la estructura de cristales, ya que las distancias interatómicas son
del orden de la longitud de onda de los rayos X y por tanto producen fenómenos
de difracción de los que se pueden obtener datos a cerca de la celdilla unidad del
cristal.
Rayos γ
Son las OEM de frecuencias superiores a 1019 Hz y por tanto las de mayor energía.
Son de origen nuclear y se generan en las desintegraciones de elementos radioactivos,
así como en las reacciones nucleares.
Se detectan con pantallas fluorescentes o películas fotográficas lo mismo que los rayos
X, pero además debido a su gran poder de ionización hay una serie de artilugios capaces
de medirlas como la cámara de niebla de Wilson, el contador Geiger−Müller, etc.
Aplicaciones:
•
•
•
En medicina para destruir células cancerosas, aunque hay que tener muy
localizadas las células porque igualmente destruye las sanas.
Para inducir mutaciones. Aunque los resultados son impredecibles, a veces se
obtienen especies de gran rendimiento.
En metalurgia para obtener fotografías de piezas fundidas y descubrir posibles
defectos en soldaduras, grietas, etc. El funcionamiento es como en los rayos X,
pero con la ventaja de que esta radiación, al tener menor longitud de onda, es
mucho mas penetrante.
b) Teniendo en cuenta que una OEM está se debe a la propagación de un campo
eléctrico y otro magnético que se propagan en dirección perpendicular, y que la relación
entre los valores máximos del campo eléctrico y magnético es la velocidad de la luz,
tenemos que:
E
10 −4
c = máx
⇒ B máx =
= 3,33 ⋅ 10 −13 Teslas
B máx
3 ⋅ 108
Por tanto la ecuación del campo magnético que da lugar a la onda electromagnética es
B = 3,33 ⋅ 10 −13 sen (9,42 ⋅ 10 6 x − 2,82 ⋅ 1015 t ) (donde x se mide en metros, t en segundos
y B en Teslas)
Teniendo en cuenta que la dirección de propagación de la OEM viene dada por un
r r
r
vector como el E ∧ B . Si E se propaga en el plano XY en dirección +x, teniendo en
cuenta la definición de producto vectorial de dos vectores tenemos que admitir que
r
B debe propagarse en el plano XZ
Ejemplo:
El campo eléctrico de una onda electromagnética que se mueve en el plano XY viene
dado por E(x,t)=Eosen(kx−ωt) donde k es el número de ondas 2π/λ.
a) Si el campo eléctrico máximo para esta onda es 10−4 V/m y su frecuencia es de 4,5.1014 Hz
obtener la ecuación del campo eléctrico que define a la OEM, razonando el sentido de
propagación.
b) Obtener la expresión del campo magnético y razona el plano en que se propagará.
Datos: c = 3.108 m/s
a) Teniendo en cuenta que la velocidad de propagación es c = λ ν tenemos que
c
3 ⋅ 108
=
= 6,67 ⋅ 10 −7 m
ν 4,5 ⋅ 1014
2π
ω=
= 2 π ν = 2,82 ⋅ 1015 s −1
T
λ=
⇒
k=
2π
= 9,42 ⋅ 10 6 m −1
λ
La ecuación del campo eléctrico de la OEM es E = 10 −4 sen (9,42 ⋅ 10 6 x − 2,82 ⋅ 1015 t )
(donde x se mide en metros, t en segundos y E en V/m)
El campo viaja hacia la parte positiva del eje X, ya que a medida que aumenta el tiempo
para mantener la fase x también debe aumentar.
Ejemplo:
En un tubo de rayos X se acelera a un electrón mediante una d.d.p. de 105 voltios. ¿Qué
energía cinética adquiere?
Suponiendo que al chocar contra el anticátodo radia toda la energía adquirida ¿Cuál será
la frecuencia de la radiación? (ten en cuenta que E = hν )
DATOS: Carga del e− 1,6.10−19C ; Constante de Planck h =6,6.10−34 J.s
Teniendo en cuenta que el campo eléctrico es un campo conservativo, y que por tanto se
conserva la energía mecánica, podemos poner que ∆Ep + ∆Ec = 0
Por otro lado, teniendo en cuenta que por definición, el trabajo que hace el campo para llevar
un cuerpo (en este caso una carga) de un punto a otro es igual a menos la variación de
energía potencial entre esos puntos: WA →B,campo = −∆Ep = −q´∆V , finalmente nos queda que:
q´∆V + ∆Ec = 0
sustituyendo: − 1,6 ⋅ 10 −19 *10 5 + Ec B − Ec A = 0
de donde tenemos que la Energía cinética final es EcB = 1,6.10−14 J
Si toda esa energía se radia en forma de una OEM, de acuerdo con la ecuación de Plank,
el fotón tendrá una frecuencia:
1,6 ⋅ 10 −14
⇒ ν=
E = h⋅ν
= 2,4 ⋅ 1019 Hz
6,6 ⋅ 10 −34
que corresponde a un rayo X muy duro.
AMPLIACIÓN: FÓRMULA DEL DIOPTRIO
FÓRMULA DEL CONSTRUCTOR DE LENTES
Vamos a deducir la fórmula de la imagen formada por refracción en un dioptrio esférico
para el caso de rayos paraxiales.
Relaciona la curvatura que debe dar a las caras y el índice de refracción de la lente para obtener
una determinada potencia. Puede obtenerse a partir de la fórmula del dioptrio esférico:
n 2 n1 n 2 − n1
−
=
s 2 s1
R
Supongamos una lente delgada, de índice de refracción
n rodeada de aire (n=1) . Sean los radios de curvatura
de sus caras R1 y R2.
Podemos considerar que la imagen final es el resultado de una primera refracción en la primera
lente seguida de otra segunda refracción en la segunda lente, donde la imagen formada en la
primera refracción hace de objeto para la segunda refracción.
Del triángulo en amarillo (teniendo en cuenta que la suma de los ángulos de un
triángulo es 180º, y que dos ángulos sobre una recta (suplementarios) también suman
180º) tenemos que α + β + (180 − i) = 180 de donde:
i = α+β
De la misma forma, en el triángulo rosa se deduce que r + γ + (180 − β) = 180 o lo que
es igual:
r =β−γ
sen i n 2
La rey de la refracción de Snell para la refracción es
=
sen r n 1
Teniendo en cuenta que para ángulos muy pequeños (como es el que forman los rayos
paraxiales):
• el seno del ángulo es prácticamente igual al ángulo y viceversa
• la hipotenusa del triángulo rectángulo es prácticamente igual al lado contiguo
• De acuerdo al criterio de signos los ángulos de incidencia y de refracción son
positivos cuando se miden sobre la normal por al camino más corto.
• De acuerdo con el criterio general los ángulos son positivos cuando se miden
desde el eje X en sentido antihorario. En caso contrario son negativos. De
acuerdo con esto las anteriores relaciones habrá que escribirlas como:
i = α −β
r = −β + γ
en la ley de la refracción de Snell podemos escribir:
h h
−
s1 R
n
sen i
α −β
≈
≈
= 2
h h
sen r − β + γ
n1
− +
R s2
1 1
 1 1
n 1 h  −  = n 2 h  − + 
s
R
 1

 R s2 
→
n 2 n1 n 2 − n1
−
=
s 2 s1
R
Para la primera refracción tenemos que n1=1 y que n2=n. Supongamos que el objeto se encuentra a
una distancia s de la lente y que la primera imagen se forma a una distancia sPrimeraIm. Sustituyendo
nos quedaría:
n
1 n −1
− =
s Pr imera Im s1
R1
Ahora la imagen obtenida en la primera refracción hace de objeto para refractarse en la
segunda lente. Tenemos ahora que n1=n y que n2=1 y como la primera imagen se formó a una
distancia sPrimeraIm resulta que la distancia de “este objeto” a la segunda lente es –sPrimeraIm
porque está al otro lado.
1
n
1− n
−
=
s 2 − s Pr imera Im
R2
sumando nos queda que:
 1
1 1
1 
− = ( n − 1) 
−

s 2 s1
R
R
2 
 1
De acuerdo con la definición de foco imagen, un objeto situado en el infinito (o muy alejado
para que los rayos sean paraxiales) ( s1 = ∞ ) dará lugar a una imagen en el foco, es decir que s2
= f2.
 1
1 1
1 
− = ( n − 1) 
−

f2 ∞
R
R
 1
2
→
1
1
1 
= (n − 1) 
−

f2
R
R
 1
2 
La fórmula del constructor de lentes puede escribirse también como:
1 1
1
− =
s 2 s1 f 2
Como vemos, nos permite conocer la distancia focal (Potencia de la lente) en función de los
radios de curvatura y el índice de refracción, o bien en función de la posición del objeto de la
imagen final.
TEMA 4: INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
FUERZA ENTRE CARGAS EN REPOSO. LEY DE COULOMB
PARTE 1: Campo eléctrico. Magnitudes que lo caracterizan: intensidad de campo y
potencial eléctrico.
La ley de Coulomb dice: La fuerza con que dos cargas en reposo se atraen o repelen,
según sean sus signos, es proporcional en módulo al producto de sus cargas e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. La dirección de la
fuerza es según la recta que une las cargas y el sentido atractivo si las cargas tienen
distinto signo y repulsivo si tienen el mismo.
• Fuerza entre cargas en reposo; ley de Coulomb. Características de la interacción
entre dos cargas puntuales.
• Interacción de un conjunto de cargas puntuales; superposición
• Energía potencial electrostática de una carga en presencia de otra.
Superposición.
• Potencial electrostático de una carga puntual y de un conjunto de cargas
puntuales.
• Campo eléctrico de una carga puntual.
• Relación entre campo y potencial electrostáticos.
• Campo electrostático de un conjunto de cargas puntuales.
PARTE 2: Relación entre fenómenos eléctricos y magnéticos. Campos magnéticos
creados por corrientes eléctricas. Fuerzas magnéticas: ley de Lorentz e interacciones
magnéticas entre corrientes rectilíneas. Experiencias con bobinas, imanes, motores, etc.
Magnetismo natural. Analogías y diferencias entre campos gravitatorio, eléctrico y
magnético.
• Las cargas en movimiento como origen del campo magnético: experiencias de
Öersted.
• Justificación del carácter relativo del campo magnético.
• Campo creado por una corriente rectilínea indefinida.
• Campo creado por una espira circular.
• Fuerza magnética sobre una carga en movimiento; ley de Lorentz.
• Movimiento de cargasen un campo magnético uniforme.
• Fuerza magnética entre dos corrientes rectilíneas indefinidas.
SI elegimos un SR centrado en la carga q que crea el campo. como la dirección de la
fuerza que ejerce sobre la carga q´ tiene la dirección de la recta que las une, resulta que
tendrá la misma dirección que el vector de posición.
r
Q⋅q r
F = K 2 ur
r
•
r
u r es un vector unitario del vector de posición de q respecto de Q, es decir, es un
vector en la dirección de la línea que une los centros de las cargas y el sentido,
como se hacía en el campo gravitatorio, se toma desde la carga que crea el campo
hacia la otra.
•
Observa que, a diferencia de la ley de gravitación de Newton, esta expresión no
lleva signo menos y ello se debe a la existencia de dos tipos de carga. El signo
“menos” se interpretaba como una fuerza atractiva, es decir que tiene la
r
dirección del vector unitario − u r . Ahora no es necesario, porque cuando se trate
de dos cargas positivas, o dos cargas negativas, al sustituir resultará un vector en
r
dirección y sentido de u r , es decir se repelen. Cuando se trate de una carga
r
positiva y otra negativa resultará un vector en la dirección y sentido de − u r , es
decir se atraen.
PARTE 3: Inducción electromagnética. Producción de energía eléctrica, impactos y
sostenibilidad. Energía eléctrica de fuentes renovables.
•
•
•
•
•
Introducción elemental del concepto de flujo.
Fenómenos de inducción electromagnética: introducción fenomenológica.
Fuerza electromotriz inducida y variación de flujo. Ley de Lenz Faraday.
Producción de corrientes alternas; fundamento de los generadores.
Transporte y uso de las corrientes alternas; fundamento del transformador.
Ventajas de la corriente alterna frente a la corriente continua.
A este respecto es muy importante tener en cuenta que si queremos calcular el vector
fuerza debemos sustituir los valores de las cargas con su signo incluido que es
precisamente quién nos dará el sentido de la fuerza. Sin embargo si solamente
queremos calcular el valor del módulo de la fuerza entonces será suficiente con
sustituir el valor de las cargas en valor absoluto.
•
K es una constante de proporcionalidad llamada “constante de Coulomb” y hace
un papel similar al que hacía G en la ley de gravitación universal aunque, a
diferencia de aquella, ésta no es realmente una constante porque depende del
medio en el que están situadas las cargas.
1
K=
4πε
ε es una constante específica de cada medio que se llama permitividad o
constante dieléctrica. Su valor para algunos medios es:
Medio
Vacío
Aire
Agua
Vidrio
Mica
ε (C2/N.m2)
8 ,85 ⋅ 10 −12
8 ,85 ⋅ 10 −12
716 ,85 ⋅ 10 −12
53,00 ⋅ 10 −12
35 ,00 ⋅ 10 −12
Las unidades de K se obtienen fácilmente despejándola de la fórmula de Coulomb y
su valor para el caso del vacío o del aire es:
Podrías preguntarte porqué en el encabezamiento dice: fuerzas entre cargas en reposo.
Como ya sabes, una carga eléctrica siempre crea a su alrededor un campo eléctrico, pero
si está en movimiento, entonces, además crea otro magnético como veremos mas
adelante y por tanto la cosa cambia.
INTERACCIÓN DE UN CONJUNTO DE CARGAS PUNTUALES. PRINCIPIO DE
SUPERPOSICIÓN
La ley de Coulomb nos da la fuerza con que se atraen dos cargas, pero no hace
referencia a la posible existencia de otras cargas. Ello nos lleva al principio de
superposición:
“Si una carga se encuentra en el campo creado por varias cargas, la fuerza total sobre
ella es la fuerza resultante de las que cada carga, por separado, ejerza sobre ella.” De
igual forma puede decirse que el campo eléctrico creado por varias cargas en un punto
es igual a la suma vectorial de los campos que crean cada carga en ese punto.
K = 9 ⋅ 10 9 N ⋅ m 2 / C 2
Características de la interacción entre cargas: (las mismas que ya vimos para la
interacción ente masas).
Son fuerzas centrales con lo que ello conlleva: (1) El campo eléctrico tiene simetría
esférica, (2) una carga sometida a un campo de fuerzas centrales describe un movimiento
r
en un plano, (3) el momento angular L de una partícula sometida a fuerzas centrales se
conserva en el tiempo y (4) el trabajo realizado por la fuerza central para que q orbite
alrededor de ella es nulo porque en todo momento la fuerza y el vector desplazamiento son
r r
perpendiculares, por tanto ∫ F • d r = 0 y (5) Son fuerzas conservativas con lo que ello
conlleva: (a) el trabajo para llevar a la carga q desde un punto A hasta otro B es
independiente del camino seguido y solo depende de la posición de los puntos, (b) la
energía que la carga q tiene en cada uno de los puntos del campo creado por q solamente
depende de la posición y por eso se le puede asignar una energía que llamamos energía
potencial y (c) una carga sometida a fuerzas conservativas conserva su energía mecánica:
Ec + Ep = cte
r
r
Ftotal = ∑ Fi
r
r
Ftotal = q ∑ E i
r
r
E total = ∑ E i
es decir que
Ejemplo: Dos cargas fijas q 1 = −3µC y q 2 = −6µC están separadas en el vacío una
distancia de 0,3m. Calcular la fuerza que se ejercen entre ellas. ¿Dónde deberíamos
colocar una carga q = +1µC para quede en reposo?
a) La fuerza con que se repelen las dos cargas, puesto que tienen el mismo signo, viene
dada por la ley de Coulomb:
Observaciones: Es importante tener en cuenta que, lo mismo que con las masas, la
fuerza actúa tanto sobre una carga como sobre la otra son iguales y de sentidos
opuestos, es decir, una es la de acción y la otra de reacción:
r
r
F12 = − F21
F12 = F21
Lo que sucede es que solo nos interesa saber la fuerza que actúa sobre el testigo, por ese
motivo a la que actúa sobre la masa que crea el campo no le prestaremos atención, sin
que ello quiera decir que no exista.
q1 ⋅ q 2
r2
−6
3
⋅
10
o 6 ⋅ 10 −6
F = 9 ⋅ 10 9
= 1,8N
(0,3) 2
F12 = F21 = K
b) Para que la carga esté en equilibrio es necesario que la suma de todas las fuerzas
sobre ella sea cero. De acuerdo al principio de superposición la fuerza resultante es la
suma vectorial de las fuerzas que cada carga hace por separado sobre q´). Para que sea
nula es necesario que (1) las dos fuerzas tengan la misma dirección, (2) sentidos
opuestos y (3) el mismo módulo.
F1 = F2
K
q1 ⋅ q
q ⋅q
= K 22
r12
r2
6 ⋅ 10 −6 ⋅ q
3 ⋅ 10 −6 ⋅ q
=K
2
x
(0,3 − x ) 2
x = 0,12m
Ejemplo: Tres cargas eléctricas se encuentran en los vértices de un
triángulo equilátero de lado a como se indica en la figura ¿Qué
fuerza actúa sobre la carga q?
Dar el resultado en función de +q, +Q, −Q y a.
K
r
r
r
F1 = F1 cos 60 i + F1sen 60 j
r
r
r
F2 = F2 cos 60 i − F2 sen 60 j
r
r
r
F = ( F1 + F2 ) cos 60 i + (F1 − F2 )sen 60 j
Q⋅q
nos quedaría que
a2
r
Q⋅q r
F=K 2 i
a
Teniendo en cuenta que como hemos visto antes F1 = F2 = K
r
r
Q⋅q
F = 2K 2 cos 60 i
a
y como cos60=1/2
Sencillamente no hay más que aplicar el principio de superposición, así que
calcularemos la fuerza que cada carga hace por separado sobre +q y luego las sumamos
vectorialmente.
NOCIÓN DE CAMPO ELÉCTRICO: INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO DE
UNA CARGA PUNTUAL
La fuerza que la carga +Q ejerce sobre +q es repulsiva por tener el mismo signo y en la
dirección de la recta que une ambas cargas. Su módulo de acuerdo con la ley de Coulomb es:
Hemos visto que la fuerza que actúa sobre una carga q cuando la colocamos en un punto del
campo eléctrico creado por otra carga Q, depende de magnitudes propias del campo (la
carga que lo crea Q y la posición del punto (r)) pero también depende del valor de la carga q.
F1 = K
Q⋅q
a2
La fuerza que la carga –Q ejerce sobre +q es atractiva por tener distinto signo y en la
dirección de la recta que las une, y el módulo (recuerda que para calcular el módulo solo
tomamos las cargas en valores absolutos)
F2 = K
Q⋅q
a2
Para evitar que la fuerza en un punto de un campo dependa de la carga del testigo,
vamos a definir una magnitud nueva llamada Intensidad del campo eléctrico como la
s
fuerza por unidad de carga. La intensidad del campo eléctrico se representa por E :
r
r F
Qr
E = = K 2 ur
q´
r
• La Intensidad de campo eléctrico solamente depende de la carga q que crea el
campo y de r, es decir de la posición del punto en el campo.
• La intensidad de campo en un punto nos permite conocer la fuerza que actuará
r
r
sobre un testigo de carga q colocado en ese punto: F = q E . Como se deduce de
la relación, la fuerza es un vector que siempre tiene la misma dirección que el
campo, pero su sentido depende el signo de la carga q. Si q es positiva ambos
vectores tendrán la misma dirección. Si q es negativa tendrán sentidos opuestos.
Ahora solo hay que sumar dos vectores. Para ello elegimos un sistema de referencia
cualquiera, aunque parece apropiado uno como el de la figura:
el siguiente paso es descomponer los vectores según los ejes del sistema de referencia
elegido, y luego se escriben vectorialmente las fuerzas:
Por otro lado, hemos visto que el campo eléctrico creado por varias cargas en un punto
es igual a la suma vectorial de los campos que crean cada carga en ese punto.
r
r
E total = ∑ E i es decir, se cumple el principio de superposición.
Ejemplo E6A.S2007
Una partícula de masa m y carga −10−6 C se encuentra en reposo al estar sometida al
campo gravitatorio terrestre y a un campo eléctrico uniforme E = 100 N C−1 de la
misma dirección.
a) Haga un esquema de las fuerzas que actúan sobre la partícula y calcule su masa.
b) Analice el movimiento de la partícula si el campo eléctrico aumentara a 120 N C−1 y
determine su aceleración.
Ejemplo E1B.S2007
a) Explique las analogías y diferencias entre el campo eléctrico creado por una carga
puntual y el campo gravitatorio creado por una masa puntual, en relación con su origen,
intensidad relativa, dirección y sentido.
b) ¿Puede anularse el campo gravitatorio y/o el campo eléctrico en un punto del
segmento que une a dos partículas cargadas? Razone la respuesta.
a) Analogías:
a) Obviamente para que la partícula cargada esté en equilibrio, la fuerza peso debe
contrarrestarse con la eléctrica. Como sabemos las líneas de fuerza tienen el sentido en que
se movería una carga positiva (ese fue el criterio que se adoptó) así que como la fuerza
eléctrica debe ir hacia arriba para compensar al peso y como la carga es negativa, el campo
r
r
r
eléctrico debe ir hacia abajo. (Recuerda que F = q E , por tanto al multiplicar un vector ( E )
r
por un escalar negativo (q) el resultado es un vector ( F ) en la misma dirección y sentido
contrario).
Podemos prescindir del carácter vectorial de las magnitudes ya que el movimiento tiene
lugar en una sola dimensión, por tanto nos limitaremos a igualar los módulos de las
fuerzas y en ese caso recuerda que el valor de la carga se sustituye en valor absoluto.
Felectr = Fgravit
m = 10 −5 Kg
r
De hacer el tratamiento vectorial, habríamos planteado que ∑ F = 0 , (en tal caso al
sustituir los valores de la carga debemos incluir su signo), es decir que:
r
r
m ⋅ 10(− j) + ( −10 −6 ) ⋅ 100(− j ) = 0
⇒
m = 10 −5 Kg
b) Si el campo eléctrico aumenta de valor, la fuerza eléctrica será mayor que el peso y en
consecuencia habrá una fuerza neta y, por tanto, de acuerdo con la segunda ley de Newton, la
partícula tendrá un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado hacia arriba, es decir, en
la dirección y sentido de la fuerza resultante. Aplicando la segunda ley de Newton:
r
r
∑F = F
electr
r
r
+ Fgravit = m a
r
r
r
qE + mg = ma
r
r
r
− 10 −6 ⋅ 120(− j ) + 10 −5 ⋅ 10(− j) = 10 −5 a
r
r
r
1,2 ⋅ 10 −4 j − 10 −4 j = 10 −5 a →
r
r
a = 2 jm / s2
Los dos son campos de fuerzas centrales, y por tanto conservativos
Todas las expresiones de uno y otro son semejantes. (El papel que la constante
de gravitación universal y las masas hacen en el campo gravitatorio, en el
eléctrico lo hacen la constante de Coulomb y las cargas.
Las líneas de fuerza en estos campos son abiertas, es decir, no se cierran sobre sí
mismas como suceda en el campo magnético.
Diferencias:
•
•
•
m ⋅ 10 = 10 −6 ⋅ 100
⇒
•
•
mg = qE
r
r
mg + qE = 0
•
•
Hay dos tipos de cargas: positivas y negativas y solo una clase de masas.
Como consecuencia de lo anterior la fuerza entre dos cargas puede ser atractiva
o repulsiva, mientras que en las masas siempre es atractiva
Consecuencia directa de lo anterior es el signo menos que aparece en las
expresiones del campo gravitatorio
La constante de gravitación universal G es una constante, mientras que la
constante de Coulomb realmente no lo es puesto que depende del medio:
K = 1 / 4πε ya que depende de ε que es la constante dieléctrica del medio en que
se encuentran las cargas.
b) Como hemos dicho antes, hay solo una clase de masas, así que siempre podremos
encontrar un punto en la línea que une dos masas donde el campo gravitatorio sea nulo,
pero en el caso de las cargas eso solo será posible si las dos cargas tienen el mismo
signo, (las dos positivas o las dos negativas), pero si tienen signo contrario en cualquier
punto de la línea que une las cargas los campos creados por cada carga tendrán el
mismo sentido, siendo imposible que se anulen:
ENERGIA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA DE UNA CARGA EN
PRESENCIA DE OTRA. SUPERPOSICIÓN.
si que cos0=1. Teniendo en cuenta además, que
El campo eléctrico es un campo de fuerzas centrales y por tanto conservativo, así que en
él puede definirse una energía potencial.
1 1
 1
WA →B,campo = K ⋅ Q ⋅ q −  = K ⋅ Q ⋅ q  −  = Ep A − Ep B
 rA
 rA rB 
1
∫r
2
dr = −
1
nos quedaría que:
r
B
El trabajo que hace una fuerza conservativa para llevar un cuerpo desde un punto A
hasta otro B es independiente del camino seguido y solamente depende de la posición
de los puntos A y B. Por eso precisamente a esos puntos se le puede asociar una energía
“que solamente depende de la posición” y que llamamos energía potencial.
Por definición, “el trabajo que una fuerza conservativa hace para llevar un cuerpo desde
un punto A hasta otro B es igual a menos la variación de energía potencial entre esos
puntos”:
WA →B,F.Conserv .Campo = − ∆Ep = Ep A − Ep B
Significado del signo menos: El signo menos indica que la fuerza conservativa del
campo hace trabajo espontáneo o real (trabajo positivo) cuando desplaza la carga desde
los puntos de mayor energía potencial a los puntos con menor energía potencial. Dicho
de otra forma, bajo la acción de la fuerza conservativa un cuerpo se mueve
espontáneamente desde los puntos de mayor energía potencial a los puntos con menor
energía potencial. (Observa que WA → B,F.Conserv .Campo = + cuando EpA > EpB)
En un campo de fuerzas conservativas el trabajo que hacemos nosotros para llevar,
contra las fuerzas del campo y sin aceleración, un cuerpo desde un punto A hasta otro
B no se pierde, sino que queda acumulado en forma de energía potencial. Así podemos
decir que “el trabajo que hacemos nosotros para llevar un cuerpo desde un punto A
hasta otro B, contra las fuerzas del campo y sin aceleración, es igual a la variación de
energía potencial entre esos puntos”
WA →B,nosotros = Ep B − Ep A = ∆Ep = − WA →B,F.Conserva .Campo
Ahora vamos a ver la expresión concreta de la energía potencial eléctrica, para ello no
hay más que calcular el trabajo que hace el campo eléctrico para llevar una carga q
desde el punto A al B:
Br
r B Q⋅q r
r B Q⋅q
Ep A − Ep B = WA →B,campo = ∫ Felectr • d r = ∫ K 2 u r • d r = ∫ K 2 ⋅ dr
r
r
A
A
A
donde hemos tenido en cuenta que vector
r
unitario u r y el vector desplazamiento
r
d r tienen la misma dirección y sentido, así que
Ep A − Ep B = K
Q⋅q
Q⋅q
−K
rA
rB
Energía potencial eléctrica en un punto. Como sabemos estrictamente solamente podemos
hablar de diferencia de energía potencial entre dos puntos (porque es el trabajo para llevar
la carga q desde uno a otro), pero si, por acuerdo, asignamos cero a la energía potencial de
uno de esos puntos, entonces podremos hablar de energía potencial absoluta en un punto.
Parece que lo razonable sería asignarle cero a la energía potencial en el infinito, porque
como la fuerza disminuye con el cuadrado de la distancia, en ese punto puede decirse
que no hay campo, por tanto, la diferencia de potencial entre un punto A y el infinito
sería la energía potencial en ese punto A.
Dicho de otra manera: La energía potencial de una carga q en un punto es igual al
trabajo que hace el campo para llevar a la carga q desde ese punto hasta el infinito.
(Teniendo que cuenta que nuestro trabajo y el que hace el campo son iguales y de signo
contrario, podríamos decir que la energía potencial de una carga q en un punto es igual a
trabajo que tenemos que hacer para traer a la carga desde el infinito hasta ese punto)
Ep A − Ep ∞ = K
como 1
∞
Q⋅q
Q⋅q
−K
rA
∞
=0
Ep A = K
Q⋅q
rA
donde rA es la distancia que separa las dos cargas. Como puedes ver la energía potencial
eléctrica en un punto no es siempre negativa como pasaba a la gravitatoria. En este caso
solo será negativa si las cargas tienen signo contrario
Cuando las cargas tienen el mismo signo, la Ep es positiva porque para llevar la carga q
desde el infinito hasta al punto A tenemos que hacer realmente un trabajo. La carga q no
iría sola puesto que se repelen.
Por el contrario, cuando las cargas tienen distinto signo (como pasaba con las masas) la
carga q iría sola desde el infinito hasta el punto A y por eso su Ep es negativa, porque el
trabajo no lo haríamos nosotros sino el campo creado por la carga Q.
Observa que:
1. La Ep eléctrica tiene su “máximo valor positivo si las cargas son del mismo signo” (o
“máximo valor negativo si las cargas son de distinto signo”) en la superficie de la carga
que crea el campo y va disminuyendo (o aumentando) al alejarnos hasta llegar a cero en
el infinito. En cualquier caso, en el infinito la Ep es cero.
Ejemplo E3B.S2008
Una bolita de plástico de 2 g se encuentra suspendida de un hilo de 20 cm de longitud y,
al aplicar un campo eléctrico uniforme y horizontal de 1000 N C− 1 el hilo forma un
ángulo de 15º con la vertical.
a) Dibuje en un esquema el campo eléctrico y todas las fuerzas que actúan sobre la
esfera y determine su carga eléctrica.
b) Explique cómo cambia la energía potencial de la esfera al aplicar el campo eléctrico.
a) Se trata de un péndulo ideal que se encuentra probablemente entre las armaduras de
un condensador plano, entre las que se crea un campo eléctrico uniforme (salvo en los
bordes). La masa del péndulo está sometida por una lado a su peso y por otro lado, al
estar cargada, a la fuerza eléctrica debida al campo eléctrico. Suponiendo que la carga
sea positiva, el campo iría hacia la derecha, ya que en tal caso la fuerza y el campo
r
r
tienen la misma dirección y sentido: F = qE
2. Una carga se mueve espontáneamente hacia donde disminuye su energía potencial
(Tanto si la carga es positiva como si es negativa)
3. La energía potencial que tiene en el infinito la carga q es nula, tanto si la carga que
crea el campo es positiva como si es negativa.
Energía potencial “de una carga” debida al campo creado por una asociación de cargas:
de acuerdo con el principio de superposición la energía potencial que tendrá es la suma
de la energía potencial que independientemente el campo de cada carga crea sobre ella,
así que:
Q ⋅q
Q ⋅q
Q ⋅q
Q
Ep = K 1 + K 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + K n
= Kq ∑ in=1 i
r1
r2
rn
ri
Para que el péndulo esté en equilibrio, es preciso que la suma de las fuerzas sea nula, así
que eligiendo un sistema de referencia como el de la figura no hay más que
descomponerlas e igualar las componentes en el eje X.
mg ⋅ senα = qE ⋅ cos α
Energía potencial de una asociación de cargas: En este caso la energía potencial debida
a todas ellas se obtiene sumando la energía potencial de todos los pares de cargas. Por
ejemplo la energía potencial de la asociación de la figura sería:
Ep = K
qq
q q
q 1q 2
+K 1 3 +K 2 3
r12
r13
r23
Ep = K ∑
qiq j
rij
⇒
q=
mg ⋅ tgα 0,002 ⋅ 10 ⋅ tg15
=
= 5,36 ⋅ 10 −6 C
E
1000
Las componentes en eje Y también dan resultante nula: T = mg ⋅ cos α + qE ⋅ senα
b) La energía potencial de la bolita es la suma de la Ep gravitatoria y de la Ep eléctrica.
A medida que la bolita se mueve espontáneamente ∆Epgravit ↑+ ∆Epeléctr ↓ hasta que el hilo
forma un ángulo α, tal que para él la energía potencial total es mínima.
Vamos a calcular la variación de energía potencial gravitatoria y eléctrica:
Si tomamos nivel cero de Epgrav en el punto A, y
teniendo en cuenta que el punto B está por encima
una altura h = L − L cos α
∆Ep gravit = mgh B − mgh A = mg (L − L cos α)
∆Ep gravit = 0,002 ⋅ 10(0,2 − 0,2 cos15) = 1,36 ⋅ 10 −4 J
POTENCIAL ELÉCTRICO
Recuerda que la fuerza que actúa sobre una carga q, en un punto de un campo creado
por otra carga Q, depende del valor de m. Para evitar ese inconveniente se definió la
intensidad de campo como fuerza por unidad de carga.
Lo mismo le ocurre a la variación de energía potencial de una carga q entre dos puntos
A y B, de un campo creado por otra carga Q, que también depende del valor de q. Para
evitar ese inconveniente vamos a definir una magnitud nueva como variación de energía
potencial por unidad de caga y que llamaremos variación Potencial (V):
Br
r
WEléctr ,A →B = − ∆Ep Eléctr = ∫ FEléctr • d r =
A
r
r
r
B
xB = Lsen α
= ∫ q E i • (dx i + dy j) = ∫
q E dx =
A
xA =0
= q E [x ]0
Lsen α
B
= q E L senα =
−6
−4
= 5,36 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 0,2 ⋅ sen15 = 2,77 ⋅ 10 J
3
Ep A − Ep B WA →B,F.Conserv
VA − VB =
=
=
q
q
r
∫F
F.Conserv
r
• dr
A
q
B r
r
= ∫ E • dr
A
−4
∆Ep Eléctr = −2,77 ⋅ 10 J
B
VA − VB =
r
r
B
∫ E • dr = ∫
A ,campo
B
r
Qr
Q
u r • d r = ∫ K 2 ⋅ dr
2
r
r
A ,campo
K
A , campo
La variación total de energía potencial es:
∆Ep = ∆Epgravit + ∆Epeléctr = 1,36·10−4 – 2,77·10−4 = − 1,41·10−4 J
donde hemos tenido en cuenta que vector
r
unitario u r y el vector desplazamiento
r
d r tienen la misma dirección y sentido, así que si
que cos0=1. Teniendo en cuenta además, que
1
1
∫ r 2 dr = − r nos quedaría que:
Como ampliación vamos a comprobar el ángulo para el que quedaría en equilibrio una bola de
2g de masa y carga +5,36·10−6C que está colgada de un hilo o de 20 cm.
∆Ep = ∆Epgravit + ∆Epeléctr = m g L(1 − cos α) − q E L senα
Tomando cero de energía potencial en el punto A, tendríamos que la expresión anterior
correspondería a la energía potencial en el punto B.
Si ahora recuerdas que el mínimo de una función y=f(x) se obtiene derivando respecto a
x e igualando a cero, pues eso mismo es lo que vamos a hacer porque la posición más
estable corresponde a aquel ángulo de desplazamiento del hilo que hace mínima a la
energía potencial. Ahora tenemos una función del tipo Ep=f(α) y de acuerdo a lo
anterior, derivaremos la expresión de la Ep respecto al ángulo e igualaremos a cero:
dEp
qE
5,36 ⋅ 10 −6 ⋅ 10 3
= m g L senα − q E L cos α = 0 ⇒ α = arctg
= arctg
= 15º
dα
mg
0,002 ⋅ 10
B
1 1
 1
VA − VB = K ⋅ Q ⋅ −  = K ⋅ Q ⋅  −
 rA
 rA rB
VA − VB = K



Q
Q
−K
rA
rB
Al mismo resultado llegaremos, como ya hemos dicho, si dividimos la deferencia de
energía potencial por el testigo q´ ya que la ddp entre dos puntos es igual a la diferencia
de Energía potencial que tiene entre esos puntos un testigo unidad:
VA − VB =
Ep A − Ep B
Q
Q
=K −K
q
rA
rB
Es obvio que lleguemos al mismo resultado, ya que en realidad hemos hecho lo mismo. En el
r
primer caso hemos calculado la circulación de E y en el segundo hemos dividido la circulación
r
r
de F por q (acuérdate que la circulación de F es Ep A − Ep B . Mira más arriba (*)
Definición de voltio: La ddp eléctrica se mide en J/C que recibe el nombre de voltio.
Un voltio es la ddp entre dos puntos, A y B, cuando el trabajo que hemos de realizar
para llevar una carga de 1 Culombio de uno a otro es de 1 Julio.
WA →B,campo = − ∆Ep = −q ∆V = q ( VA − VB )
E1B.S2010
a) Explique la relación entre el campo y el potencial electrostáticos.
b) Una partícula cargada se mueve espontáneamente hacia puntos en los que el potencial
electrostático es mayor. Razone si, de ese comportamiento, puede deducirse el signo de la
carga.
o bien que:
WA → B,nosotros = ∆Ep = q ∆V = q ( VB − VA )
El campo eléctrico realiza trabajo (W+) cuando desplaza una carga positiva desde un
punto A en el que el potencial es alto a otro B en el que el potencial es más bajo. Si q>0
y VA>VB entonces WA →B,campo = + ⋅ + = + . Dicho de otra forma, una carga positiva se
mueve espontáneamente hacia donde el potencial es menor. (Lo contrario puede decirse
para una carga negativa)
Potencial eléctrico en un punto. Como sabemos estrictamente solamente podemos
r
hablar de ddp entre dos puntos (porque se ha definido como la circulación de E entre
esos dos puntos), pero si por acuerdo asignamos cero al potencial en un punto, entonces
podremos habar de potencial absoluto en un punto. El punto que se elige es el infinito
porque allí se supone que ya no hay campo.
WA →B,campo
podemos decir
Dicho de otra manera, teniendo en cuenta que VA − VB =
q
que: El potencial en un punto A es igual al trabajo que hace el campo para llevar una
carga de 1C desde ese punto hasta el infinito. (Teniendo que cuenta que nuestro trabajo
y el que hace el campo son iguales y de signo contrario, podríamos decir que el
potencial en un punto A es igual al trabajo que tenemos que hacer para traer una carga
de 1C desde el infinito hasta ese punto).
Q
Q
VA − V∞ = K − K
rA
∞
1
=0
como
∞
Q
VA = K
rA
donde rA es la distancia que separa la carga que crea el campo del punto A.
Como puedes ver, el potencial eléctrico puede ser positivo o negativo, dependiendo el
valor de la carga, sin embargo el potencial gravitatorio siempre es negativo.
Potencial en un punto debido al campo creado por una distribución de cargas: En el caso
de que el campo sea debido a la presencia de más de una carga, el potencial en un punto
A, aplicando el principio de superposición será la suma de los potenciales debidos a
cada carga, y por tanto:
VA = K
Q1
Q
Q
Q
+ K 2 + K 3 + ... = K ∑ i
r1A
r2 A
r3A
riA
a) Teoría (Siguiente pregunta)
b) Naturalmente. Cualquier carga (o masa) se mueve siempre de forma espontánea hacia
el sitio donde su energía potencial disminuya, es decir hacia donde ∆Ep es negativo.
∆Ep = Ep fnal − Ep inicial = q (Vfinal − Vinicial ) = − ⇒ Se mueve espontáneamente
Si en nuestro caso tenemos que el potencial final es mayor que el inicial, quiere decir
que ∆V = + , y para que el producto q ⋅ ∆V sea negativo es necesario que la carga q sea
negativa.
También podría razonarse teniendo en cuenta que las líneas de campo eléctrico tienen la
dirección en que se mueven las cargas positivas (o las masas en el caso del gravitatorio)
y apuntan en la dirección en la que disminuye la energía potencial y el potencial. Por
tanto, para que una carga se mueva espontáneamente al revés debe ser negativa. La
r
r
expresión F = q E indica claramente que para que la carga se mueva en sentido
contrario al campo, el escalar q debe ser negativo.
Otro razonamiento, similar al primero, sería decir que una caga o masa se mueve
espontáneamente hacia donde el campo hace trabajo + sobre ella (por eso una piedra se
mueve espontáneamente hacia el suelo), por tanto:
WA →B,campo = − ∆Ep = −q ∆V = q (VA − VB )
Para que WA →B,campo sea + en el caso de que VA<VB es preciso que la carga q sea
negativa, ya que entonces WA →B,campo = − ⋅ − = +
RELACION ENTRE CAMPO Y POTENCIAL ELECTROSTÁTICO
r
Si te das cuenta el campo ( E ) es un vector y el potencial (V) es un escalar, así que su correcta
relación es a través de un operador vectorial llamado gradiente, pero eso escapa de la
programación de bachillerato, así que nos limitaremos a relacionar el módulo del campo y el
potencial.
Ejemplo E4A.S2008:
El potencial eléctrico en un punto P, creado por una carga Q situada en el origen, es 800
V y el campo eléctrico en P es 400 N C−1.
a) Determine el valor de Q y la distancia del punto P al origen.
b) Calcule el trabajo que se realiza al desplazar otra carga q = 1,2·10−6 C desde el punto (3,
0) m al punto (0, 3) m. Explique por qué no hay que especificar la trayectoria seguida.
K = 9 ·109 N m2C−2
Caso particular de campo uniforme: teniendo en cuenta la definición de ddp,
B
r r
VA − VB = ∫ E • d r = E r
B
A
= E (rB − rA ) = E ⋅ d
A
Dice que la ddp entre dos puntos, entre los que puede
considerarse constante el valor del campo, es igual al
valor del campo por la distancia entre esos puntos. A
la misma conclusión llegaríamos restando el potencial
en el punto A del que tiene en B:
EP =
K⋅Q
rP2
400 =
9 ⋅ 10 9 Q
rP2
VP =
K⋅Q
rP
800 =
9 ⋅ 10 9 Q
rP
Q = 1,78 ⋅ 10 −7 C ; rP = 2m
b) Para calcular el trabajo que tenemos que hacer solo hay que calcular el potencial en el
punto A y luego el potencial en el punto B y tener en cuenta que:
VA − VB = K
Q (rB − rA )
Q (rB − rA )
Q
Q
− K =K
≅K
= E (rB − rA ) = E ⋅ d
rA rB
rA
rB
rA2
La relación referida a un punto concreto, teniendo en cuenta las expresiones del módulo
r
de E y la del potencial V en un punto:
VA = K
Q
Q r
= K ⋅ A = E A .rA
rA
rA rA
Quiere decir que: si multiplicamos el módulo del campo en un punto A por la distancia
del punto a la varga que crea el campo al punto se obtiene el potencial en ese punto.
Hay un detalle importante:
r
r
• Si en un punto de un campo conocemos el valor de la Intensidad de campo ( g o E)
podremos presumir exactamente lo que ocurrirá cuando coloquemos una masa m o a
una carga q en un punto cualquiera (podremos calcular exactamente el módulo de la
r
r
r
r
fuerza que actuará, su dirección y sentido, ya que F = m g o bien F = q E )
• Sin embargo, si en un punto del campo solamente conocemos el potencial en ese
punto no podremos predecir lo que ocurrirá. Cosa distinta sería si conocemos el
potencial en dos puntos, entonces sí, porque, tanto la masa como la carga se
moverán hacia donde disminuya su energía potencial.
WA →B,nosotros = − WA → B,campo = −q (VA − VB )
Como el punto A y el punto B están a la misma distancia de P, el potencial en ambos es el
mismo, y por tanto WA →B,nosotros = q (VB − VA ) = 0 . (A la misma conclusión llegamos si
calculamos el trabajo como WA → B,nosotros = Ep B − Ep A = − WA →B,campo ).
No hay que indicar el camino porque el campo eléctrico es conservativo
FLUJO DE LA INTENSIDAD DE CAMPO A TRAVES DE UNA SUPERFICIE
CERRADA. TEOREMA DE GAUSS
El teorema de Gauss no da la expresión del flujo de la Intensidad de campo a través de
r
una superficie cerrada de forma cualquiera. El flujo de E a través de un elemento de
superficie dS, de acuerdo con la definición general de flujo, es:
r r
dφ = E • dS
dφ = Flujo a través del elemento dS
r
I = Intensidad de campo que lo atraviesa
r
dS = vector perpendicular a la superficie y de
módulo igual al área del elemento
α = ángulo que forman la Intensidad de campo y
la normal a la superficie
Supongamos una superficie cerrada de forma esférica, (para mayor sencillez, aunque el
resultado es general) y que en su interior encierra una carga q. El flujo a través de un
elemento de superficie sería:
Es muy importante tener en cuenta que:
• Solamente contribuyen al flujo las cargas (o masas en el caso del gravitatorio)
que estén encerradas en el interior de la superficie.
• El flujo es independiente de la posición de las cargas en el interior de la
superficie, ya que su expresión no depende de r.
• Como puede verse, el flujo del campo eléctrico a través de una superficie
cerrada debido a las cargas que encierra en su interior puede ser positivo o
negativo, dependiendo del signo de las cargas, mientras que en el caso del
campo gravitatorio siempre era negativo ( φ = −4πGm ).
Mediante la ley de Gauss podemos calcular muy fácilmente el valor de la intensidad de
campo eléctrico creada por una distribución de cargas, siempre que podamos calcular el
valor de la superficie gausiana.
Ejemplo:
Obtener, utilizando el teorema de Gauss, la expresión de la intensidad de campo
eléctrico creado por una carga Q a una distancia r de la misma. ¿Qué fuerza actuará
sobre una carga q colocada en dicho punto?
Por supuesto ya sabemos la expresión que tiene, pero vamos a obtenerla a partir del
teorema de Gauss. Dibujamos alrededor de la carga una superficie cerrada que va a ser
una esfera cuya distancia a la carga será r. Según la ley de Gauss:
r r
dφ = E • dS
:
Según la definición de producto escalar, y
teniendo en cuenta que α=0º
r r Q
φ = ∫ E • dS =
ε
S
dφ = E ⋅ dS ⋅ cos α = E ⋅ dS
El flujo a través de toda la superficie se obtiene integrando a toda ella:
φ = ∫ E ⋅ dS = ∫ K
S
S
q
q
q
q
dS = K 2 ∫ dS = K 2 ⋅ 4πr 2 = 4πKq =
ε
r2
r S
r
donde hemos tenido en cuenta que la integral de superficie como representa a todos los
sumandos elementales de la esfera, su solución será la superficie de ésta, es decir 4πr2 y
posteriormente que K = 1 / 4πε
En el caso de que dentro de la superficie hubiera varias cargas, el flujo total sería la
suma del debido a cada una de ellas, lo que se conoce como ley de Gauss, y es una de
las 4 ecuaciones de Maxwell fundamentales del electromagnetismo:
r r
φ = ∫ E • dS =
∑q
ε
i
Como:
r
r
• El vector E y el vector dS forman ángulo de 0º
• El módulo de E es constante en toda la superficie, porque al ser la superficie
esférica en todos sus puntos dista igual a la carga Q, por tanto podemos sacarlo
fuera de la integral y:
E ∫ dS =
S
Q
ε
⇒
E ⋅ 4π r 2 =
Q
ε
⇒
E=
1 Q
Q
=K 2
4πε r 2
r
Si en el punto P colocamos una carga q sobre ella actuará una fuerza dada por:
F = qE = K
Q⋅q
r2
que es la ley de Coulomb y que como vemos puede demostrarse fácilmente a partir de la
ley de Gauss. Procediendo de forma análoga, si la carga Q en lugar de ser puntual
hubiese tenido forma esférica el resultado habría sido el mismo, lo que nos indica que es
como si toda la carga de la esfera estuviese concentrada en su centro. Por esa razón
cuando medimos las distancias entre dos cargas (o masas) lo hacemos desde centro a
centro.
Ejemplo ampliación:
Obtener la expresión del campo eléctrico creado por una chapa delgada de superficie
infinita y que se encuentra cargada con una densidad superficial de carga σ.
Ejemplo ampliación:
Calcular el campo eléctrico a una distancia r de un hilo indefinido cargado
uniformemente con una densidad lineal de carga λ.
La dirección del campo eléctrico creado por el hilo cargado, por razones de simetría, es
perpendicular al hilo, por tanto elegiremos como superficie de gauss un cilindro de radio
r y una altura h cualquiera.
Por simetría, la dirección del campo eléctrico es perpendicular a la chapa. Elegimos una
superficie gausiana, por ejemplo, cilíndrica como la de la figura, cuyas tapas tienen una
superficie igual a A. Como sabemos:
r
r
q
∫ E • dS = ε
S
El teorema de Gauss nos dice que el flujo a través de una superficie cerrada, el cilindro
en este caso, es igual a la carga que encierra en su interior dividido por la constante
dieléctrica:
r r q
∫S E • dS = ε
El flujo a través de todo el cilindro es igual al flujo a través de las tapas más el flujo a
r
través de la envoltura. El flujo de E a través de las tapas es nulo, porque como vemos
r
r
en la figura E y dS forman ángulo de 90º y su producto escalar es nulo porque
cos90º=0.
Nos queda entonces que el flujo total será el que atraviesa la envoltura lateral del
r
r
cilindro: en ese caso E y dS tienen la misma dirección. Teniendo en cuenta que el área
de la envoltura es 2π r ⋅ h
r r
q
∫S E • dS = E ⋅ 2πr ⋅ h = ε
⇒
q
E=
2πε ⋅ r ⋅ h
Teniendo en cuenta ahora que λ es la densidad lineal de carga, es decir, la carga por
unidad de longitud. La carga que hay encerrada en el cilindro de altura h será q = λ ⋅ h y
por tanto, sustituyendo nos quedaría que:
λ
E=
2πε ⋅ r
Y puesto que como se ve en la figura, la única contribución al flujo es a que tiene lugar
r
r
a través de las tapas anterior y posterior, donde E y dS tienen la misma dirección, así
que:
q
E⋅A + E⋅A =
ε
Teniendo en cuenta ahora que σ es la densidad superficial de carga, es decir, la carga
por unidad de área. La carga que hay encerrada en el cilindro será q = σ ⋅ A y por tanto,
sustituyendo nos quedaría que:
E ⋅ 2A =
σ⋅A
ε
⇒
E=
σ
2ε
Observa como el valor de la intensidad de campo es el mismo para todos los puntos a
ambos lados de la chapa. El resultado también es válido para el caso de que la chapa
tenga dimensiones finitas, aunque no valdría en los bordes de la chapa.
Ejemplo ampliación:
Calcular el valor del campo eléctrico entre las placas de un condensador plano de
superficie A.
Un condensador es un dispositivo formado por dos placas (llamadas armaduras) muy
próximas, cargadas igualmente pero con cargas de signo contrario. Recordando que la
dirección del campo es la que tomaría una carga positiva, podemos dibujar el campo:
PROPIEDADES DE LA CARGA ELÉCTRICA
La carga, como hemos visto, es una magnitud que se introduce para explicar los
fenómenos eléctricos. Las propiedades más importantes de la carga son:
1. Hay dos tipos de carga: positiva y negativa. Esta denominación corresponde al físico
Benjamín Franklin, que le asignó carga negativa al electrón y positiva al protón, aunque
ninguno de ellos tienen nada intrínseco que les haga ser negativo o positivo.
Simplemente se les asignó de esa forma.
Como sabes, un cuerpo cargado negativamente es aquel que tiene un exceso de
electrones, mientras que un cuerpo cargado positivamente es aquel que ha perdido los
electrones. Los electrones son los que se ganan o se pierden, pero nunca los protones, ya
que si así fuera los elementos dejarían de ser los que son y se transformarían en otros.
Como puedes ver la intensidad de campo eléctrico fuera del condensador es
prácticamente nula porque el campo creado por una placa se anula con el que crea la
otra armadura. Solo dentro del condensador el campo tiene un valor distinto de cero.
Para calcular el campo dentro del condensador elegimos una superficie gausiana como si
se tratara de una caja de cerillas que pase por medio de la armadura, como se ve en la
figura:
2. La carga está cuantificada. Esto quiere decir que no puede tomar cualquier valor, sino
que siempre debe ser múltiplo de un valor discreto. Esto es fácil de entender ya que
como un cuerpo se carga porque gana o pierde electrones es obvio que su carga siempre
será múltiplo entero de la carga del electrón, porque un cuerpo puede ganar dos o tres
electrones, pero nunca dos y medio. Dicho de otra forma, la carga del electrón 1,6 ⋅ 10 −19
Culombios es la carga elemental.
3. La carga se conserva. Quiere decir que no aparece ni desaparece, solamente se
traspasa de unos cuerpos a otros. Quiere decir que si un cuerpo tiene 2 electrones de
más habrá otro que será quien se los ha cedido. Como ejemplo podemos ver, por
ejemplo, la desintegración del uranio 238: El uranio tiene 92 protones y se desintegra
emitiendo una partícula alfa, que tiene dos. La conservación de la carga exige que se
forme un elemento con 90 protones, como así sucede:
238
234
U 92
→ Th 90
+ α 42
r
El flujo de E a través de todas las caras de la caja de cerillas es nulo salvo de la cara
interior. La explicación es sencilla:
•
•
•
r
r
en las caras superior e inferior es nulo porque E y dS formarían ángulo de 90º y
su producto escalar es nulo.
En la cara que pasa por medio de la armadura el flujo es nulo, porque como
veremos más adelante el campo eléctrico en el interior de un conductor en
equilibrio es nulo.
r
r
Solo queda la cara que está entre las armaduras, donde E y dS tiene la misma
dirección.
r r q
q
q
⇒
⇒
E⋅A =
E=
∫S E • dS = ε
ε
ε⋅A
El campo eléctrico dentro del condensador no depende de la distancia
a las placas, y por tanto tiene el mismo valor en todos los puntos entre
ellas (salvo en los bordes). Se dice entonces que es uniforme.
A continuación vamos a describir el experimento de Millikan para determinar la carga
del electrón.
Ejemplo:
Una gota de aceite cargada eléctricamente y de masa 2,5.10−7 Kgr está situada entre las
placas de un condensador plano con las placas paralelas horizontales, de 0,0175 m2 de
superficie. Cuando la placa superior tiene una carga de 4,5.10−7 C y la inferior igual,
aunque negativa, la gota se mantiene en equilibrio. ¿cuál es su carga? Desprecia las
fuerzas viscosas y el empuje. Datos: ε = 8,85.10−12 C2/N.m2
CONDUCTORES Y ALISLANTES
Conductores eléctricos son aquellos cuerpos en los que las cargas (los electrones)
pueden moverse libremente.
Unos conductores excelentes son los metales, porque en la redes metálicas los
electrones de la última capa electrónica no están ligados a ningún átomo en particular
sino que pertenecen a todo el metal y pueden moverse libremente por él.
Los electrones libres se mueven aleatoriamente como lo hacen las moléculas de un gas
contenido en un recipiente. Pero si entre los extremos del conductor establecemos una
ddp, en el interior del conductor metálico se establece un campo eléctrico constante y
los electrones modifican sus movimientos aleatorios, siendo arrastrados en sentido
r
r
r
opuesto al campo eléctrico E porque sobre ellos actúa una fuerza F = q E
Millikan utilizó un dispositivo como el de la figura. La tapa superior tiene una pequeña
abertura por donde se introducen gotas de aceite cargadas, lo que se consigue
irradiándolas con rayos X. Las armaduras están conectadas a una pila variable, mediante
la cual se puede ajustar la ddp adecuada entre las placas hasta conseguir que la gota
quede en equilibrio, lo que se puede ver a través de un visor.
La gota de aceite al encontrarse en el campo eléctrico creado entre las placas del
condensador estará sometida, si despreciamos el rozamiento y el empuje, al peso y a la
fuerza eléctrica que deben ser iguales para que la gota se equilibre.
Por el contrario, cuando en un cuerpo los electrones está muy ligados a sus átomos
decimos que se trata de un aislante, sin embargo no existe el aislante perfecto, puesto
que siempre podremos establecer una ddp para la cual el campo eléctrico sea suficiente
para arrancarlos de los átomos y en consecuencia hacer que se vuelva conductor. Como
aclaración mira algunos voltajes que aplicados a aislantes de 1 cm de espesor los
volvería conductores:
Mica
Vidrio
Aire (a 1 atm)
300.000 a 2.000.000 V
300.000 a 1.500.000 V
30.000 V
Además de estos tipos de cuerpos hay otros llamados semiconductores, porque su
capacidad para conducir la electricidad es intermedio. Los semiconductores son
prácticamente aislantes a bajas temperaturas, pero a medida que aumenta se comportan
casi como conductores, aunque sin llegar a tanto. Ejemplos de ellos son el silicio y el
germanio.
q ⋅ E = mg
Teniendo en cuenta que la intensidad de campo eléctrico entre las placas del
condensador es E = Q / εS , (donde Q es la carga del condensador y S el área de sus
armaduras), sustituyendo nos queda que :
q=
mg ⋅ ε ⋅ S 2,5 ⋅ 10 −7 ⋅ 10 ⋅ 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 0,0175
=
= 8,6 ⋅ 10 −13 C
Q
4,5 ⋅ 10 − 7
El valor de la carga tendría signo menos por deberse a un exceso de electrones.
Millikan comprobó que los valores de las cargas eran siempre múltiplos de una carga
elemental, la del electrón. Por consiguiente pudo medir la carga eléctrica que posee un
electrón. Este valor es: e = 1,602 × 10−19
PROPIEDADES DE LOS CONDUCTORES EN EQUILIBRIO
Se dice que un conductor está en equilibrio cuando o hay movimiento macroscópico de
cargas en él. Las propiedades son:
r
1. El campo eléctrico en el interior de un conductor en equilibrio es nulo: E = 0 . En
r
r
efecto, ya que de no ser así sobre los electrones actuaría una fuerza F = q E y entonces
se moverían, dejando de estar en equilibrio.
2. La carga en el interior de un conductor en equilibrio es nula y se encuentra distribuida
en la superficie. En efecto, ya que de acuerdo con el teorema de Gauss, si el campo en el
interior es nulo la carga también:
r r q
φ = ∫ E • dS =
ε
S
⇒ Si en el interior E=0 ⇒ q=0
3. El campo eléctrico en la superficie del conductor en equilibrio no es nulo, pero es
absolutamente necesario que su dirección sea normal al conductor o de lo contrario la
componente tangencial del mismo haría que se moviesen las cargas dejando de estar en
equilibrio.
CONCEPTO DE CAMPO MAGNÉTICO. EXPERIENCIA DE OERSTED
r
Así como una carga crea a su alrededor un campo eléctrico definido por E , un imán o
una corriente eléctrica crean a su alrededor un campo magnético que se puede poner de
manifiesto con una brújula.
r
El vector intensidad de campo magnético B también llamado inducción magnética se
puede representar por unas líneas de inducción de la misma forma que la intensidad de
campo eléctrico se representaba por las líneas de fuerza. Las líneas de inducción
magnética se dibujan de modo que:
4. Todo el conductor en equilibrio es una superficie equipotencial: V=cte. En efecto, ya
que teniendo en cuenta la relación entre el campo eléctrico y el potencial:
B
VA − VB =
r
r
∫ E • dr
r
r
⇒ como E ⊥ d r ⇒ VA = VB
•
•
•
r
La tangente a ellas en cualquier punto nos de la dirección de B
r
El número de ellas sea proporcional al valor de B
El sentido de las líneas es aquel en el que movería un polo norte ideal (ideal,
puesto que como sabemos los polos no pueden separarse y si partimos un minan
obtendríamos dos imanes)
Las líneas de inducción de un imán recto presentan el aspecto de la figura y son muy
fáciles de reproducir sin más que espolvorear unas limaduras de hierro sobre el imán
A , campo
r
r
r
como E es normal a la superficie, entonces E ⊥ d r ello implica su producto escalar sea
cero y que por tanto VA = VB lo que quiere decir que V=cte, es decir que en todo el
conductor el potencial es el mismo.
Si colocásemos una brújula dentro del campo magnético del imán esta se orientaría en la
dirección de la tangente a las líneas, de modo que la línea le entre por el sur y le salga
por el norte:
Pero ya hemos dicho que el imán no es el único capaz de producir un campo magnético.
Toda carga que se encuentre en movimiento crea a su alrededor un campo magnético.
(Si está en reposo crea un campo eléctrico, pero si se mueve, además crea otro
magnético)
El físico danés Hans Christian Oersted puso de manifiesto con su famoso experimento
que una corriente eléctrica (electrones en movimiento) era capaz de mover una brújula y
por tanto que crea un campo magnético a su alrededor.
FLUJO DE CAMPO MAGNÉTICO. LEY DE GAUSS
r
El flujo de B a través de una superficie cualquiera representa el número de líneas de
campo que atraviesan dicha superficie y se define, de acuerdo con la definición general
de flujo, como:
r r
φ B = ∫ B • dS
S
dφ = Flujo a través del elemento dS
r
B = Intensidad de campo que lo atraviesa
r
dS = vector perpendicular a la superficie y de
módulo igual al área del elemento
α = ángulo que forman la Intensidad de campo y la
normal a la superficie
Si dejamos que la brújula se oriente libremente y
luego colocamos un hilo conductor paralelo a la aguja
veremos que no ocurre nada mientras el circuito esté
abierto.
Una vez que cerramos el circuito y por el hilo circula
corriente, la brújula tiende a pone perpendicular al
hilo conductor y tanto más cuando mayor es la
intensidad de la corriente que circula por el hilo
El flujo de a través de una superficie cerrada es nulo (Ley de gauss para el magnetismo)
Si cambiamos la pila de polaridad e invertimos el
sentido de la corriente, la brújula tiende a seguir
colocándose perpendicular al hilo, pero cambia los
polos.
Ello es consecuencia de que las líneas de campo magnético son cerradas, como hemos
visto en los ejemplos anteriores, y pone de manifiesto que no existen polos magnéticos
aislados. El flujo de campo magnético se mide en weber (Wb=T/m2)
r r
φ B = ∫ B • dS = 0
Si comparamos la ley de Gauss para el campo magnético y para el campo eléctrico, que
son dos de las 4 ecuaciones fundamentales del electromagnetismo de Maxwell:
Las líneas de inducción magnética debidas a una corriente rectilínea son, como puede
comprobarse experimentalmente, circunferencias concéntricas situadas en el plano
perpendicular al conductor y cuyo sentido viene dado por la regla del tornillo que gire
para avanzar en el sentido de la corriente, o bien por la regla de la mano derecha: la
líneas tienen el sentido en que cierra la mano derecha y el pulgar nos daría el sentido de
la corriente.
r
r
q
∫ E • dS = ε
r
r
∫ B • dS = 0
Consecuencias:
•
•
r
El flujo de E a través de una superficie cerrada que encierra una carga q no es
nulo indica la existencia de cargas libres y que sus líneas de campo son abiertas
(fuentes para las positivas y sumideros para las negativas)
r
El flujo de B a través de una superficie cerrada es nulo indica que no existen
polos magnéticos aislados y que las líneas de campo se cierran sobre sí mismas.
CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CORRIENTE RECTILINEA
Vamos a calcular la expresión del campo magnético a una distancia r creado por un
conductor rectilíneo e indefinido por el que circula una corriente I.
CIRCULACIÓN DE CAMPO MAGNÉTICO. LEY DE AMPERE
Ya sabemos que un conductor por el que circula una corriente I crea un campo
magnético a su alrededor y que las líneas de campo son circunferencias concéntricas
situadas en el plano perpendicular al conductor.
r
La circulación de B a través de una línea cerrada por la que circula una corriente
eléctrica de intensidad I , constante, es:
r
r
∫ B • dl = µ
o
I
A esta expresión se la conoce como Ley de Ampere, y con una pequeña modificación,
que la hace útil para el caso de que el campo eléctrico varíe con el tiempo, constituye la
tercera ley de Maxwell del electromagnetismo.
Elegimos entonces como trayectoria de
integración una circunferencia de radio r,
que por tanto coincide con la línea de
r
campo, y en consecuencia los vectores B
r
(tangente a la línea de campo) y d l
(tangente a la trayectoria) tendrán siempre
la misma dirección.
µ o es una constante para cada medio, llamada permeabilidad magnética, que
para el vacío vale µ o = 4π ⋅ 10 −7 T ⋅ m / A
I es la intensidad de la corriente que atraviesa la línea cerrada
r
r
d l es el vector desplazamiento (aunque aquí se haya preferido llamar d l en
r
lugar de d r como se hace normalmente). Por tanto es un vector tangente a la
trayectoria.
∫ B ⋅ dl ⋅ cos 0 = µ
Consecuencias de la Ley de Ampere:
•
•
r
Como muestra la Ley de Ampere, la circulación de B a través de una línea
cerrada no es necesariamente nula y por tanto el campo magnético no es un
campo conservativo
r
Puesto que B no es un campo conservativo no tiene ningún sentido definir una
energía potencial magnética, ni un potencial magnético.
Acuérdate que, por el contrario, en los campos gravitatorio y eléctrico la circulación de
la intensidad de campo a lo largo de una trayectoria cerrada era siempre nula por
tratarse de campos conservativos. Resumiendo:
r
r
∫ E • dl = 0
r
r
Aplicando la ley de Ampere y teniendo en cuenta que B y d l tienen siempre la misma
dirección:
r r
∫ B • dl = µoI
r
r
∫ B • dl = µ
o
o
I
r
Como dada la simetría B es constante ya que a lo largo de toda la trayectoria se encuentra
a la misma distancia del hilo conductor podemos sacarlo fuera de la integral, así que:
B∫ dl = µ o I
Como la integral a lo largo de todo el camino no es más que la longitud de la
circunferencia: 2π ⋅ r
B ⋅ 2π ⋅ r = µ o I
de donde:
µ I
B= o
2π ⋅ r
I
La ley de Ampere es muy útil para calcular la expresión del campo magnético
producido por distribuciones de corriente en las que exista cierta simetría como vamos a
ver en los siguientes ejemplos.
Fíjate que en este caso, lo mismo que cuando aplicando la ley de Gauss calculamos el
valor del campo eléctrico creado por un alambre cargado con densidad lineal de carga λ
obtuvimos la expresión
λ
E=
2πε ⋅ r
en ambas expresiones aparecen constantes características de los campos en cuestión y
que ambos disminuyen con la distancia, pero además muestran que E es debido a la
carga λ del alambre mientras que B es debido a la corriente I que circula por él.
Esta expresión se deduce fácilmente a partir de la ley de Ampere si elegimos una línea
cerrada que pase por el interior de la bobina:
CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA ESPIRA CIRCULAR
La dirección del campo magnético creado por una espira circular por la que circula una
corriente I es perpendicular al plano de la espira y su sentido está determinado por el
avance de un sacacorchos que gire como la espira o la mano derecha al cerrar:
Teniendo en cuenta que en el exterior del solenoide el campo es prácticamente nulo y
r
r
que en las caras verticales B y d l forman 90º y su producto escalar es nulo, resulta que
el único tramo por el que circula corriente es por la línea interior que tiene una longitud
L igual al solenoide.
r r
∫ B • dl = µoI
B∫ dl = µ o I
⇒
B ⋅ L = µoI
teniendo en cuenta que como tiene N espiras la intensidad que atraviesa la línea cerrada
(en verde) es N ⋅ I finalmente nos queda que:
El campo magnético en el centro de la espira de radio R por la que circula una corriente
I es:
µ I
B= o
2R
Un solenoide o bobina es un conjunto de espiras circulares paralelas que pueden ser
recorridas por una corriente. El campo magnético en su interior es prácticamente
uniforme y muy intenso, similar al producido por un imán recto. Si además en su
interior colocamos un núcleo de hierro conseguimos concentrar las líneas de campo en
su interior y es lo que se llama un electroimán.
B=
µo N ⋅ I
L
FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UNA CARGA EN MOVIMIENTO: LEY DE
LORENTZ
r
Supongamos una región del espacio donde exista un campo magnético B , si lanzamos
r
una carga q con una velocidad v podemos observar experimentalmente que:
r
1. Si la carga se mueve en la dirección del campo magnético B , sobre ella no actúa
ninguna fuerza.
r
2. Para cualquier otra dirección, la carga se ve sometida a una fuerza F , llamada
fuerza de Lorentz, cuya dirección es perpendicular al plano que forman la velocidad
r
de la carga y B
r
3. El módulo de la fuerza es proporcional al valor de la carga q, a su velocidad v y al
r
valor del campo magnético B
Podemos resumir las observaciones escribiendo que:
El campo magnético en el interior de un solenoide que tiene N espiras y una longitud L,
por la que circula una corriente I es:
µ N⋅I
B= o
L
r
r r
F = qv ∧ B
r
r
Esta expresión es la análoga a la que teníamos para el campo eléctrico F = q E aunque
como vemos en el caso del campos magnético para que sobre la carga actúe una fuerza
r r
es necesario que esté en movimiento y que v y B no formen 90º.
Para recordar la dirección y sentido de los tres vectores que aparecen en la expresión de
Lorentz utilizaremos la regla de la mano izquierda (es la única regla para la que se
utiliza esta mano), que nos da la dirección de la fuerza que actúa sobre una carga en
movimiento en el seno de un campo magnético:
Por tanto, estamos ante la misma situación que cuando una piedra da vueltas en un
plano horizontal, o un coche toma una curva, o un satélite gira alrededor de la tierra o
un electrón gira alrededor del núcleo como en el modelo de Bohr. La única diferencia es
que el origen de la fuerza normal en el primer caso es debida a la tensión de la cuerda,
en el segundo a la fuerza de rozamiento, en el tercero a la fuerza de atracción
gravitatoria o eléctrica y en este caso la fuerza la fuerza de Lorentz.
En el caso de tratarse de una carga negativa, obviamente, la fuerza tendrá sentido
opuesto al dado por esta regla.
La unidad de campo magnético en el SI es la Tesla, o bien el Weber/m2. Como puede
deducirse fácilmente de la expresión de Lorentz, una tesla es:
T=
N
N
=
m A⋅m
C
s
Desde el punto de vista de un observador inercial, teniendo en cuenta que la fuerza
normal o centrípeta, en este caso es la fuerza magnética de Lorentz, el radio de la
trayectoria será: (Desde el punto de vista de un observador no inercial, que se mueva
con la carga, el resultado habría sido exactamente el mismo, aunque en este caso
habríamos tenido que introducir la fuerza centrífuga como fuerza de inercial:
Fmag=Fcentríf)
En el caso de que la carga se mueva en el seno de un campo eléctrico y de un campo
magnético, evidentemente, la fuerza que actuará sobre ella será la suma vectorial de la
que cada campo ejerce por separado, es decir que:
r
r
r r
F = qE + qv ∧ B
Fmag=Fnormal
MOVIMIENTOS DE CARGAS EN UN CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME.
Según la dirección del movimiento de la carga respecto del campo magnético se pueden
dar tres casos:
1. La carga se mueva con una velocidad paralela al campo magnético: En este caso
sobre la carga no actuará ninguna fuerza debida al campo magnético, ya que el módulo
de la fuerza de Lorentz F = q v B ⋅ senα = 0 En efecto es cero, tanto si tienen el mismo
sentido, donde α = 0 , como si tienen sentidos opuestos, donde α = 180 . En ambos
casos el seno es cero.
2. La carga se mueva perpendicularmente al campo magnético: En este supuesto
simplemente tenemos el movimiento de un cuerpo (la carga en éste caso) que se mueve
bajo la acción de una fuerza normal a su velocidad y por tanto, como sabemos, la
aceleración normal que es la responsable de los cambios en dirección de la velocidad,
dará lugar a un movimiento circular uniforme.
El mismo
razonamiento para el
campo gravitatorio:
Fgrav=Fnormal
qvB = m
v2
4 π2
= m ω2 r = m 2 r
r
T
mv
qB
2πm
el periodo T =
qB
el radio
r=
(igualando 1 y 2)
(igualando 1 y 4)
G
M⋅m
v2
4 π2
=m
= m ω2 r = m 2 r
2
r
r
T
GM
v2
4π 2 3
T2 =
r
GM
r=
o bien v orbital =
GM
r
(3ª ley de Kepler T 2 = k r 3 )
Observa que aunque las dos situaciones (y el razonamiento) son prácticamente iguales
los resultados obtenidos difieren muchísimo:
• Para el caso de un satélite que gire alrededor de la tierra, su radio es
independiente de la masa del satélite, mientras que en el caso de una carga que
gira en el seno un campo magnético el radio es proporcional a la masa.
Precisamente en esto se basa el espectrógrafo de masas.
• Para el caso de un satélite el periodo de revolución depende del radio (es la
tercera ley de Kepler) mientras que en el caso de una carga que gira en el seno
un campo magnético el periodo es constante (solo depende de la masa y carga de
la partícula y del valor del campo). Precisamente en esto se basa el
funcionamiento del ciclotrón.
3. La carga se mueva con una velocidad que forma un ángulo α con el campo
magnético: En este caso el vector velocidad siempre podrá descomponerse en dos
vectores:
•
•
•
Una componente de la velocidad perpendicular al campo magnético, que dará
lugar a que gire describiendo un movimiento circular uniforme
Otra componente de la velocidad en la dirección del campo magnético que,
como dijimos en el apartado primero, le hará avanzar sin desviarse.
El resultado de ambos movimientos es que la partícula describirá una especie de
trayectoria helicoidal similar al borde de un tornillo.
•
El resultado de componer los dos movimientos es una hélice, ya que como el
periodo es el tiempo que tarda en dar una vuelta la partícula, en ese mismo
tiempo la componente v x le ha hecho avanzar un espacio:
s = v x T = v cos α
2πm
qB
Ejemplo:
a) (Apartado a de E4B.S2013) Una partícula con carga +q se encuentra en reposo en el
punto (0,0). Si aplicamos un campo eléctrico uniforme E en el sentido positivo del eje
OY, describa el movimiento seguido por la partícula y la transformación de energía que
tiene lugar a lo largo del mismo.
b) Una masa m se encuentra en reposo en el punto (0,0) de un SR. Si se deja en libertad
donde hay un campo gravitatorio g, describa el movimiento seguido por la partícula y la
transformación de energía que tiene lugar a lo largo del mismo.
c) Una carga +q se encuentra en reposo en el punto (0,0). Si se aplica un campo
magnético perpendicular al plano del papel, describa el movimiento de la partícula.
d) (Similar al apartado a de E1B.S2013) Una carga +q se mueve con una velocidad v
hacia la parte positiva el eje OY. Si se aplica un campo magnético perpendicular al
plano del papel, describa el movimiento de la partícula. ¿Varía la energía cinética de la
partícula? ¿Y la energía potencial?
e) Una carga +q se mueve con una velocidad v en línea recta y penetra en una región en la
que existen un campo eléctrico E y un campo magnético B, perpendiculares entre sí y
perpendiculares a la velocidad inicial de la partícula. Haga un esquema y razone qué
condición debe cumplirse para que la partícula continúe su trayectoria rectilínea.
En primer lugar lee muy, muy bien el enunciado hasta que comprendas claramente las
similitudes y diferencias entre los distintos apartados.
Vamos a descomponer la velocidad de la partícula en un sistema de referencia como el
r
de la figura, en el que B lleva la dirección y sentido del eje X:
•
•
r
v x = v cos α Tiene la dirección y sentido de B por tanto esta componente no
origina ninguna fuerza magnética. Simplemente hace que la partícula avance,
con ese velocidad constante, a lo largo del eje X)
r
v y = vsenα Esta componente es perpendicular a B y por tanto será la
responsable de que aparezca una fuerza magnética normal a ella y que
evidentemente provocará un giro. El radio será:
v 2y
= q vyB
R
Y el periodo de será:
m
⇒
T=
R=
mv ⋅ senα
qB
2πR 2πm
=
vy
qB
fíjate que la expresión del periodo es la misma que obtuvimos antes y que por
r r
tanto no depende el ángulo que forman v y B
r
r
a) Sobre la carga aparecerá una fuerza F = q E . Puesto que la carga
es positiva, la fuerza tendrá la misma dirección y también el mismo
r
sentido que el campo E . Por otro lado, si el campo es uniforme, la
fuerza también lo será en módulo y dirección (siempre vertical
hacia arriba) y consecuentemente la aceleración que provocará. Por
tanto la carga se moverá verticalmente hacia arriba con un
r
r
r
movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado ( F = q E = m a
r
r
de donde a = q E / m ).
Si la única fuerza sobre la partícula es la debida al campo eléctrico se conservará la
energía mecánica: ∆Ec + ∆Ep = 0 . Puesto que la partícula tiene un movimiento
uniformemente acelerado su velocidad irá aumentando y consecuentemente su energía
cinética. La conservación de la energía exige que la energía potencial disminuya. (Es lo
esperado, ya que una partícula, ya sea una masa, o una carga, con independencia de su
signo, siempre se mueve de forma espontánea hacia donde disminuya la energía
potencial. No obstante, como ∆Ep = c ⋅ ∆V las masas y las cargas positivas también se
mueven espontáneamente hacia donde disminuya el potencial, pero las cargas negativas
se mueven hacia potenciales crecientes ya que en la expresión anterior el valor del
testigo es un número negativo.)
b) Este podría ser el caso de una piedra que dejamos caer libremente.
Seguramente dirás, con razón, que tendrá un movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado hacia abajo, y que su energía cinética irá
aumentando a la vez que disminuye su energía potencial. Sin embargo,
posiblemente pases por alto que este apartado es idéntico al anterior,
con la salvedad de que ahora tenemos una masa en lugar de una carga,
r
r
que la intensidad de campo ahora es g en lugar de E y que en ningún
momento nos dicen que la intensidad de campo vaya para abajo (es más, como no nos
r
predeterminan la dirección y sentido de g , en el esquema la vamos a pintar para arriba a
cosa hecha). Todo el razonamiento sería exactamente el mismo: En este caso
r
r
r
r r
F = m g = m a de donde a = g lo que quiere decir que el cuerpo se mueve sometido a
una aceleración igual a la intensidad de campo gravitatorio. Si la masa que crea el campo
fuese la tierra (cosa que el enunciado no dice) estaríamos frente a un cuerpo en caída libre
que cae con una aceleración igual a la gravedad.
c) En el apartado a hemos visto que al dejar en libertad una carga, inicialmente en
reposo, en el seno de un campo eléctrico se mueve en la dirección del campo (en el
mismo sentido si es positiva o el contrario si fuese negativa) … No obstante, si dejamos
en libertad una carga, inicialmente en reposo, en el seno de un campo magnético la
carga continua igual, ya que la fuerza que un campo magnético ejerce sobre una carga
r
r r
(fuerza de Lorentz F = q v ∧ B ) sería nula y de acuerdo con la primera ley de Newton
la carga mantendría su estado.
d1) Si la carga se mueve en el seno de un campo magnético sobre ella
r
r r
aparecerá la fuerza de Lorentz F = q v ∧ B . Al tratarse de un producto
vectorial de dos vectores, la fuerza será un vector perpendicular al plano
r r
que forman v y B , su sentido como el de un tornillo que gire como lo
r
r
haría v para coincidir con B por el camino más corto y su módulo
r r
F = q v B senα = q v B (porque v y B forman 90º)
r r
Tanto si v y B forman ángulo de 90º como otro cualquiera (siempre que
no sea α = 0 porque en tal caso F=0) la fuerza tendrá el módulo máximo o
más pequeño, pero siempre será un vector perpendicular a la velocidad, es
decir, se trata de una fuerza normal: Fmag = q v B = m v 2 / r = FNormal . Eso
quiere decir que la velocidad de la carga no variará en módulo y que
solamente variará en dirección, haciendo que describa una circunferencia
(porque la aceleración normal es constante a Normal = v 2 / r = q v B / m ).
d2) Puesto que la fuerza de Lórentz es normal a la velocidad no provocará cambios en su
módulo y en consecuencia su energía cinética permanecerá constante a lo largo de toda la
trayectoria.
A la misma conclusión llegamos si tenemos en cuenta que el trabajo que hace la fuerza
magnética para llevar la carga desde un punto A hasta otro punto B a lo largo de esa
r
r
trayectoria circular es nulo. (porque Fmag y d r (que es tangente a la trayectoria) son
vectores perpendiculares y su producto escalar es nulo). Y como, de acuerdo con el
teorema del trabajo y la energía cinética, el trabajo realizado por la fuerza F para llevar el
cuerpo desde un punto A hasta otro B es igual a la variación de energía cinética entre esos
puntos: WA →B = ∆Ec = 0
d3) El campo magnético no es un campo conservativo ya que la circulación del vector
intensidad de campo magnético a lo largo de una trayectoria cerrada no es nulo, sino
r r
que ∫ B • d l = µ o I que es la ley de Ampere. Por tanto la Energía potencial, que es un
concepto asociado exclusivamente a los campos de fuerzas conservativos, aquí no
existe.
e) Supongamos que la carga se mueve perpendicularmente al
campo magnético tal como se ha dibujado en el apartado d1).
En tal caso el campo eléctrico debería tener la misma dirección
que la fuerza de Lorentz y el sentido opuesto para que la fuerza
eléctrica compense a la magnética: FElec=Fmag ⇒ qE=qvB ⇒
v=E/B
Ejemplo E5A.S2008:
En una región en la que existe un campo magnético uniforme de 0,8 T, se inyecta un
protón con una energía cinética de 0,2 MeV, moviéndose perpendicularmente al campo.
a) Haga un esquema en el que se representen el campo, la fuerza sobre el protón y la
trayectoria seguida por éste y calcule el valor de dicha fuerza.
b) Si se duplicara la energía cinética del protón, ¿en qué forma variaría su trayectoria?
Razone la respuesta. Datos: mp = 1,67·10−27 kg ; e = 1,6·10−19 C ; 1 eV = 1,6·10−19 J
Imaginemos que la dirección del campo
magnético es perpendicular al papel y saliendo. Si
el protón se mueve hacia la derecha, aplicando la
regla de la mano izquierda, la fuerza estará en el
plano del papel, tal como se indica en la figura.
En primer lugar vamos a calcular la velocidad del protón que tiene una energía cinética
de 0,2 MeV = 0,2.106 eV (para ello tendremos en cuenta que 1eV = 1,6 ⋅ 19 −19 Julios )
Ec =
1
mv 2
2
v=
2Ec
=
m
Ejemplo E6B.S2008:
2 ⋅ (0,2 ⋅ 10 6 ⋅ 1,6 ⋅ 19 −19 )
= 6,19 ⋅ 10 6 m / s
1,67 ⋅ 10 − 27
el módulo de la fuerza que el campo magnético ejerce sobre el protón es:
F = qvB ⋅ sen90 = qvB
F = 1,6 ⋅ 10 −19 ⋅ 6,19 ⋅ 10 6 ⋅ 0,8 = 7,92 ⋅ 10 −13 New
r
r
Un electrón entra con velocidad v = 10 j ms−1 en una región en la que existen un
r
r
r
r
campo eléctrico, E = 20k N C−1, y un campo magnético, B = B o i T.
a) Dibuje las fuerzas que actúan sobre el electrón en el instante en que entra en la
región donde existen los campos eléctrico y magnético y explique las características del
movimiento del electrón.
b) Calcule el valor de B0 para que el movimiento del electrón sea rectilíneo y uniforme.
El módulo de la fuerza es constante y siempre en
la dirección normal a la velocidad del protón, por
esa razón describirá un movimiento circular
uniforme.
r
r
El campo eléctrico ejerce una fuerza sobre el electrón Felec = qE que como puede verse
en la expresión tiene la misma dirección del campo, aunque en este caso al tratarse de
un electrón tiene sentido opuesto, ya que q es unarmagnitud negativa. Como se ha
dibujado en la figura es un vector en dirección − k
b) Si se duplica la energía cinética, su nueva velocidad será:
1
Ec = mv 2
2
1
mv 2
Ec
= 12
2Ec 2 mv´2
Ec´= 2Ec =
⇒
v´= v 2
1
mv´2
2
La fuerza resultante sobre el electrón será la suma vectorial de ambas fuerzas, y como
tienen la misma dirección y sentidos opuestos simplemente la obtendremos restando sus
módulos. Si las dos fuerzas no son iguales, como se dice en el apartado b, puede ocurrir:
Como el radio de la trayectoria que viene dado por:
F=m
v2
= qvB
R
R=
⇒
mv
qB
El nuevo valor del radio de la trayectoria, teniendo en cuenta la nueva velocidad, sería:
R´=
mv´ mv 2
=
qB
qB
⇒
Como vemos, aumenta el radio de la trayectoria en
r
r r
El campo magnético ejerce una fuerza sobre el electrón F = qv ∧ B que como puede
verse será (de acuerdo con la definición de producto vectorial) perpendicular al plano
r r
formado por v y B , es decir tendrá dirección del eje Z. Su sentido el de un
r
r
sacacorchos que gire como v para coincidir con B por el camino mas corto, aunque en
este caso al tratarse de un electrón tiene sentido opuesto, así que tendrá dirección y
r
sentido de k . (Al mismo resultado llegaríamos aplicado la regla de la mano izquierda)
R´= R 2
2
• Que la fuerza magnética sea mayor, en cuyo
caso como esta fuerza siempre es normal a la
velocidad tenderá a describir un movimiento
circular en el plano ZY.
• Si la fuerza eléctrica es mayor, la partícula
describirá una parábola en el plano ZY,
parecido a cuando se lanza una piedra
horizontalmente.
F=m
v2
= qE − qvB
R
⇒
R=
mv 2
qE − qvB
b) Como ya hemos razonado anteriormente, el electrón permanecerá en movimiento
rectilíneo y uniforme, cuando de acuerdo con la primera ley de Newton sobre él no
actúe ninguna fuerza, es decir, cuando la resultante de las dos que hay sea nula, por
tanto, como tienen la misma dirección y sentidos opuestos, basta con que sus módulos
sean iguales:
E 20
Felec = Fmang
⇒
⇒
B= =
= 2Teslas
qE = qvB
v 10
Ciclotrón: El ciclotrón es un acelerador de partículas ideado en 1930 por Lawrence. Consiste
en dos piezas huecas de forma semicircular llamadas “DES”, por su forma, que están en el
seno de un campo magnético perpendicular y entre las que se establece una ddp que va
alternando de polos.
APLICACIONES DEL MOVIMIENTO DE CARGAS EN UN CAMPO MAGNETICO
r
r r
De acuerdo con la ley de Lorentz, F = qv ∧ B la fuerza magnética siempre es
r r
perpendicular al plano que forman los vectores v y B , por tanto la fuerza es siempre
perpendicular a la trayectoria de la partícula.
El trabajo que hace la fuerza magnética para llevar la
carga desde el punto A hasta el punto B, de acuerdo
con la definición de trabajo, es nulo porque es el
producto escalar de dos vectores perpendiculares:
Br
r
WA →B,camp.mag = ∫ Fmag • d r = 0
A
De acuerdo con el teorema del trabajo y la energía cinética o teorema de las fuerzas
vivas, como el trabajo realizado por la fuerza F para llevar el cuerpo desde un punto A
hasta otro B es igual a la variación de energía cinética entre esos puntos
WA →B = ∆Ec
Su funcionamiento está basado en que, como hemos visto, el periodo de rotación de una
partícula cargada en el interior de un campo magnético uniforme es independiente del
radio y de la velocidad:
2πR 2π m
T=
=
v
qB
El funcionamiento es el siguiente:
• Una vez que la fuente emite la partícula cargada, se acelerada hacia la D1 por un
campo eléctrico que se crea estableciendo una ddp entre D1 y D2. ( V = E ⋅ d )
• La ddp entre las DES debe tener exactamente la misma frecuencia que el
movimiento circular que describe la partícula, es decir ν = 1 / T
• Al llegar a la D1, la partícula ha alcanzado una velocidad v1. De acuerdo en el
teorema de las fuerzas vivas:
Welectrico = qV = ∆Ec
•
•
Si el trabajo es cero, la energía cinética no varía y por tanto la velocidad en toda la
trayectoria es la misma (su módulo, porque en dirección sí que varía).
•
•
•
Una vez que entra en la D1, por efecto del campo magnético describe un movimiento
circular. Dentro de la DE está un tiempo igual a la mitad del periodo: T/2
Cuando sale de D1 lleva la misma velocidad v1, con que entró, pero en este
momento cambia la polaridad de la ddp y ahora la partícula se acelera nuevamente
por efecto del campo eléctrico hasta la D2, a la que llega con una velocidad v2
mayor.
Nuevamente describe una trayectoria circular, tardando el mismo tiempo, T/2, y
sale de D2 con la misma velocidad con que entró.
Otra vez cambia la polaridad de la ddp y vuelve a acelerarse, llegando a la D1
con una velocidad v3 mayor, y así sucesivamente. Cada media vuelta va
aumentando la velocidad, por efecto del campo eléctrico entre las DES, hasta
que finalmente sale del ciclotrón.
La velocidad de salida, que depende del radio del ciclotrón es:
v2
qBR
= qvB
⇒
v=
R
m
Espectrómetro de masas: Es un dispositivo utilizado para medir la masa de los iones o
partículas cargadas, que se basa en que el radio de la trayectoria seguida por la carga al
entrar en el campo magnético es directamente proporcional a su masa. Como ya hemos
visto:
v2
mv
F=m
= qvB
⇒
R=
R
qB
F=m
Ejemplo:
En un espectrógrafo de masas los campos eléctrico y magnético del filtro de velocidades
valen respectivamente E=120.000 N/C y B=0,2 T. En estas condiciones pasa un protón.
a) Cual es la velocidad que posee el protón
b) Al penetrar en la región donde solo existe el campo magnético describe una
trayectoria circular de 3,13 cm de radio ¿Cuál es la masa del protón?
Datos: e = 1,6 ⋅ 10 −19 C
a) En primer lugar vamos a ver como un campo eléctrico y otro magnético
perpendiculares pueden funcionar como un auténtico filtro de partículas que tienen una
determinada velocidad:
De solo existir el campo magnético la partícula describiría una
trayectoria circular por estar sometida a una fuerza normal a su
velocidad. Ten en cuanta que la fuerza magnética “siempre” es
normal a la velocidad y por tanto da lugar a una aceleración normal
responsable del cambio de dirección de la velocidad y de que la
trayectoria sea circular.
La velocidad de entrada de los iones se controla fácilmente mediante un campo eléctrico
perpendicular al campo magnético, es lo que se llama filtro de velocidades. Ya hemos
visto anteriormente que en este caso, en el que los campos son perpendiculares, no se
desviarán aquellos iones para lo que se cumpla que:
Felec = Fmang
⇒
qE = qvB
v=
⇒
E
B
Los iones que tienen la velocidad v entrarán por la rendija (el resto los desviará uno u
otro campo y no entrarán). Ahora como solo están sometidos al campo magnético
describirán una trayectoria circular hasta chocar en la película fotográfica. Según su
masa describirán una trayectoria de más o menos radio:
R1 =
m1 v
qB
R2 =
m2v
qB
R3 =
m3v
qB
En el caso de desconocer la masa y la carga de la partícula, como mínimo, siempre será
posible medir la relación entre la masa y la carga, ya que:
m B
= R
q v
De solo existir el campo eléctrico la partícula describiría una
parábola, ya que estaría sometida a una fuerza siempre en la
misma dirección (de la placa positiva a la negativa). La situación
será exactamente igual a cuando se lanza una piedra
horizontalmente. Tendríamos una componente de la velocidad
que le hace avanzar uniformemente y otra componente
perpendicular, que en este caso en lugar de ser debida a la
gravedad sería debida al campo eléctrico.
La partícula no se desvía cuando ambas fuerzas son iguales en módulo, ya que tienen la
misma dirección y sentidos opuestos:
E 120.000
⇒
⇒
Felec = Fmang
qE = qvB
v= =
= 6 ⋅ 10 5 m / s
B
0,2
b) Una vez que la partícula entra en la región donde solo existe el campo magnético
perpendicular a su velocidad comenzará a describir un movimiento circular uniforme.
Como en este caso la fuerza normal es de origen magnético:
F=m
v2
= qvB
R
⇒
m=
q B R 1,6 ⋅ 10 −19 ⋅ 0,2 ⋅ 0,0313
=
= 1,67 ⋅ 10 − 27 Kg
v
6 ⋅ 10 5
FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UN CONDUCTOR. LEY de LAPLACE
Cuando por un hilo conductor circula una corriente, si se encuentra en un campo
magnético, sobre él aparecerá una fuerza que es simplemente la suma de las fuerzas que
el campo magnético ejerce sobre cada una de las cargas que se mueven y que
constituyen la corriente.
Supongamos que el hilo tiene una sección A, una longitud L y que por él circula una
corriente I.
y teniendo en cuenta que I = q ⋅ n ⋅ A ⋅ v y que un vector se puede escribir como
producto de su módulo por un vector unitario en su dirección y sentido (en este caso
r
r
v = v ⋅ u v ) finalmente, nos queda que:
r
r
r
F = q ⋅n ⋅A ⋅L⋅ v⋅uv ∧ B
r
r
r
F = I⋅ L⋅ uv ∧ B
r
evidentemente u v es un vector unitario en la dirección y sentido en que se mueven las
cargas positivas. Para el caso de un conductor rectilíneo, esta dirección coincide con la
del hilo conductor, así que la expresión, llamada Ley de Laplace, se escribe como:
r
r r
F = I⋅L ∧ B
Si cada carga elemental tiene un valor q y llamamos n al número de cargas por unidad
de volumen, la carga total Q que circulará por el conductor será:
Q = n ⋅ q ⋅A ⋅ L
Si llamamos v a la velocidad con que se mueven las cargas en el interior del conductor,
también llamada velocidad de arrastre, y tenemos en cuenta que, por definición, la
intensidad de la corriente es igual a la carga total que atraviesa una sección de
conductor en la unidad de tiempo:
I=
La dirección y sentido de la fuerza puede obtenerse con la misma regla de la mano
izquierda, solo que cambiando el dedo que nos indica la velocidad de la carga positiva
por el sentido de la intensidad de corriente, que obviamente viene a ser lo mismo.
Ejemplo:
Un alambre de 0,5m de longitud y 10 g de masa está suspendido mediante unos alambres
flexibles, como se indica en la figura, encontrándose en el seno de un campo magnético de
0,4 T.
¿Cuál debe ser la magnitud y dirección de la corriente que se requiere para eliminar la
tensión en los alambres que lo sostienen?
Q q ⋅ n ⋅ A⋅L
=
= q⋅n⋅A⋅v
t
t
Como empezamos diciendo, la fuerza magnética sobre el conductor es la suma de la que
el campo ejerce sobre cada carga en movimiento:
Por tanto si la carga total que circula por el conductor es Q la fuerza ejercida por el
r
campo magnético B sobre el conductor será:
r
r r
r r
F = Q⋅v ∧ B = q⋅n ⋅A⋅L⋅v ∧ B
Para eliminar la tensión de los resortes que sostienen el conductor es necesario que la
fuerza que el campo hace sobre el conductor compense el peso del mismo. Por tanto es
necesario que dicha fuerza sea vertical y hacia arriba, con lo que aplicando la regla de la
mano izquierda, resulta que la corriente por el hilo debe circular desde A hasta B, tal
como se muestra en la figura.
m g 0,01 ⋅ 10
⇒
I=
=
= 0,5Amp
mg = I LB
L B 0,5 ⋅ 0,4
MOMENTO SOBRE UNA ESPIRA EN UN CAMPO MAGNÉTICO
Una aplicación importante la podemos encontrar en el galvanómetro, que es un aparato
que se utiliza para medir intensidades de corriente:
Imaginemos una espira cuadrada en el seno de un campo magnético, tal como se
muestra en la figura:
Como hemos visto el momento que hace girar a la espira es proporcional a la intensidad de
la corriente que circula por la espira (o por la bobina formada de N espiras) M = N ⋅ ISB ,
de manera que graduando la escala podemos saber la intensidad que circula en función del
ángulo que gira la bobina.
El lado b
•
•
Inicialmente no ejerce ninguna fuerza porque la corriente y el campo tienen la
misma dirección, α = 0 , así que su producto escalar es nulo.
Cuando la espira gire un ángulo α ≠ 0 entonces la fuerza de los lados b ya no es
nula, porque valdrá Fb = IbBsenα , pero como puede verse en la figura la fuerza
de ambos lados tienen la misma dirección y sentidos opuestos, por lo que se
anularían. (Fíjate que esa fuerza varía en módulo, porque depende del ángulo α
que forman la corriente y el campo, pero siempre tiene la misma dirección
vertical.
La bobina tiene acoplado a su eje de giro un resorte que la mantiene en el cero cuando no
hay corriente y cuando por ella circula corriente gira hasta que el momento del par debido a
la fuerza magnética iguala al momento del par del resorte.
FUERZA MAGNÉTICA ENTRE DOS CORRIENTES RECTILÍNEAS
INDEFINIDAS
El lado a
•
•
En todo momento la intensidad de la corriente y el campo magnético forman
90º, así que la fuerza siempre tiene su valor máximo: Fa = IaB
En todo momento la fuerza es perpendicular al hilo conductor, y como puede
verse en la figura, forman un par de fuerza que tiene de hacer girar a la espira
con un momento igual a:
M = Fa ⋅ b = IaB ⋅ b = ISB
Ya hemos visto que el campo magnético creado por un conductor rectilíneo, por el que
circula una corriente I a una distancia r es:
B=
µoI
2π r
Si cerca de ese conductor hay otro conductor, sobre éste actuará una fuerza debida al
campo magnético creado por el primero, y viceversa. Sean A y B dos conductores por
los que circulan corrientes IA e IB y que se encuentran separados una distancia d.
donde se ha tenido en cuenta que el área de la espira es S = ab
En forma vectorial, el momento sobre la espira es:
r r
r
M = IS ∧ B
r
r
Teniendo en cuenta que se llama momento magnético de la espira: m = IS podemos
poner que:
r
r r
M =m∧B
Llamemos BA al campo magnético que el
conductor A crea a su alrededor, y que a
una distancia d, valdrá:
BA =
µoIA
2π d
I I
F
= 2 ⋅ 10 −7 A B
L
d
Como el conductor B se encuentra en el seno de un campo magnético (el creado por A)
sobre él actuará una fuerza FB cuya dirección y sentido vendrá dada por la regla de la
mano izquierda y que valdrá:
r
r r
FB = I B ⋅ L ∧ B A
r
r
Teniendo en cuenta que los conductores son paralelos, L y B forman 90º, de manera que
el módulo de la fuerza será:
µ I
FB = I B LBA = I B L o A
2π d
A la misma conclusión llegaremos si calculamos la fuerza que el conductor B hace
sobre el A, de manera que:
µ I I
FA = FB = o A B L
2π d
Es fácil comprender que si: L=1m, IA=IB=1Amp, d=1m entonces F= 2 ⋅ 10 −7 N, por
tanto:
Definición de Amperio: Amperio es la intensidad de corriente que circula por dos hilos
paralelos, situados en el vacío a una distancia de un metro, para que se atraigan o
repelan con una fuerza de 2 ⋅ 10 −7 Newton por cada metro. (Se dice para que se atraigan
para el caso de que por ambos circule la corriente en el mismo sentido o se repelan si las
corrientes circulan en sentidos contrarios)
Ejemplo:
La balanza de Cotton es un dispositivo como el de la figura que permite medir la fuera
que actúa sobre un conductor cuando se encuentra en un campo magnético.
Si el hilo A, que cuelga de la balanza, tiene una longitud de 1 m, está recorrido por una
corriente de 50 Amp y separado del conductor B una distancia de 5 cm ¿Qué corriente y
en qué sentido debe circular por el conductor B para que la balanza se equilibre con 2 gr?
Y la fuerza por unidad de longitud de conductor sería:
F µoIA IB
=
L
2π d
En el caso de que por los conductores circulen las corrientes en sentido contrario la
fuerza tendrá el mismo valor en módulo, aunque en este caso se repelerían:
Para compensar el peso del platillo, la fuerza que el conductor B tiene que hacer sobre
el A debe ser atractiva, luego por los dos hilos las corrientes deben circular en el mismo
sentido:
Para que el sistema está en equilibrio F = mg es decir:
Definición internacional de Amperio. Como sabes, el amperio es una de las magnitudes
fundamentales. Si recuerdas que en el vacío la constante de permeabilidad magnética
vale:
µ o = 4π ⋅ 10 −7 T ⋅ m / A
la fuerza por unidad de longitud de conductor nos quedaría que en el vacío sería:
µoIAIB
L = mg
2π d
4π10 −7 ⋅ 50 ⋅ I B ⋅ 1
= 0,002 ⋅ 10
2π0,05
Ejemplo E3A.S2007:
⇒
I B = 100Amp
Dos conductores rectilíneos, muy largos y paralelos, distan entre si 0,5 m. Por ellos
circulan corrientes de 1 A y 2 A, respectivamente.
a) Explique el origen de las fuerzas que se ejercen ambos conductores y su carácter
atractivo o repulsivo. Calcule la fuerza que actúa sobre uno de los conductores por
unidad de longitud.
b) Determine el campo magnético total en el punto medio de un segmento que una los
dos conductores si las corrientes son del mismo sentido.
a) Como sabemos una corriente no es más que un
montón de cargas en movimiento, por tanto a su
alrededor creará un campo magnético. Lo mismo
puede decirse el otro conductor y en consecuencia,
cada conductor al encontrarse en el campo
magnético creado por el otro estará sometido a una
fuerza en la dirección normal a los conductores y
cuyo sentido depende del sentido de las corrientes,
siendo atractivo si ambas circulan en el mismo
sentido y repulsivo si las corrientes circulan en
sentidos contrarios:
Como hemos deducido anteriormente, la fuerza por unidad de longitud que un
conductor hace sobre el otro viene dada por:
F µoIA IB
=
L
2π d
⇒
F 4π10 −7 ⋅ 1 ⋅ 2
=
= 8 ⋅ 10 −7 New
L
2π0,5
b) Suponiendo que por los dos conductores circulen las corrientes en el mismo sentido,
el campo magnético en el punto medio de un segmento que los une sería:
Como puede verse en la figura, en el punto medio el segmento que separa a los
conductores, ambos campos tienen la misma dirección (la del plano normal a los
conductores), pero tienen sentidos opuestos, así que el módulo del campo resultante
puede obtenerse simplemente restando el módulo del campo que en ese punto crea cada
conductor por separado:
BA =
µ o I A 4π10 −7 ⋅ 1
=
= 8 ⋅ 10 −7 T
2π d
2π0,25
B = 8 ⋅ 10 −7 T
BB =
µ o I B 4π10 −7 ⋅ 2
=
= 16 ⋅ 10 − 7 T
2π d
2π0,25
Como era de suponer, es mayor el campo creado por el conductor B, porque por él
circula una corriente mayor. Fíjate también que en el caso de que la corriente que
circulara fuese la misma el valor del campo en el punto medio sería nulo.
FENÓMENOS DE INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
Una vez que Oersted puso de manifiesto que una corriente podía producir un campo
magnético, muchos físicos empezaron a plantearse si ocurriría lo contrario: que un
campo magnético fuese capaz de crear una corriente. Vamos a describir los
experimentos que llevaron a cabo Faraday en Inglaterra y Henry en E.U. y que ponen de
manifiesto el fenómeno de la inducción.
1. Un circuito inerte es aquel que no tiene ninguna pila y solamente está formado por un
arrollamiento de conductor, al que llamaremos solenoide o bobina, conectado a un
galvanómetro.
En lo que se refiere al solenoide, era de esperar que tuviese estos efectos sobre el
circuito inerte, puesto que como sabemos un solenoide que está atravesado por una
corriente se comporta como un imán y por tanto esta experiencia sería básicamente
igual a las anteriores.
Como es lógico el galvanómetro no marcará nada, porque al no haber un generador que
provoque una ddp no habrá movimiento de cargas y por tanto I=0
4. Si al solenoide de la experiencia anterior lo dejamos quieto, pero le ponemos un
interruptor, al abrirlo y cerrarlo también se induce una corriente en el circuito inerte y
según de cierra o abra el circuito la corriente inducida tiene sentido contrario.
Sin embargo si le acercamos un imán por cualquiera de sus polos veremos que el
galvanómetro acusa el paso de corriente, es decir que por la razón que sea en el circuito
inerte se induce una corriente:
5. Hay muchos más experimentos que conducen a lo mismo, a inducir una corriente en
el circuito inerte, como por ejemplo dejar quiero el imán mientras metemos y sacamos
de la bobina un núcleo de hierro. O ponerle al circuito del solenoide un reostato y actuar
sobre el botón del mismo
Lo curioso es que la corriente inducida tiene un sentido cuando el imán se acerca y el
contrario cuando se aleja. Lo mismo podemos decir cuando en lugar de acercar o alejar
el imán por un polo lo hacemos por el polo opuesto.
2. Idénticos resultados obtendríamos si dejásemos quieto el imán y moviéramos la
bobina. Resumiendo, podemos decir que mientras haya un movimiento relativo entre la
bobina y el imán, en ésta se induce una corriente.
3. Si a nuestro circuito inerte le acercamos un solenoide por el que circula corriente
sucede como en las experiencias anteriores: que en el circuito inerte se induce una
corriente.
FUERZA ELECTROMOTRIC INDUCIDA Y VARIACIÓN DE FLUJO: LEY DE
FARADAY−LENZ
Faraday comprendió que el denominador común de todos estos experimentos, aparentemente
tan distintos, era que producían un flujo magnético variable en el circuito inerte.
En las tres primeras experiencias la variación de flujo (de las líneas de campo magnético
que atraviesan el circuito inerte) se conseguía acercando o alejando el imán, con lo que el
flujo se hacía mayor al acercarse, y menor al alejarse. Vuelve a mirar los dibujos y lo
entenderás.
En la experiencia 4, al abrir o cerrar el interruptor lo que estamos haciendo es variar la
intensidad de la corriente y por tanto el campo magnético creado por la bobina. La
misma explicación podemos dar para el caso de colocarle una resistencia variable y
moverla, que variamos la intensidad de la corriente.
En el caso de meter y sacar el núcleo de hierro dentro de la bobina el resultado es el
mismo, ya que como el núcleo lo que hace es concentrar las líneas de campo, al
introducirlo conseguimos aumentar el flujo a través del circuito inerte y al sacarlo lo
disminuimos.
Ahora podemos explicar lo que ocurre:
De acuerdo con la ley de Faraday−Lenz, cuando acercamos el
norte del imán al circuito inerte, en éste debe inducirse una
corriente que “se oponga a la causa que lo crea”, es decir que la
bobina debe comportarse como si fuera un imán que rechace al que
le acercamos.
Es como si dijéramos que la bobina del circuito presenta una
inercia a cambiar su estado inicial: Inicialmente no estaba
atravesada por ninguna línea de campo y por eso al acercarle el imán y comenzar a
penetrar las líneas de campo del imán la bobina creara unas “de forma inducida” en
sentido contrario para contrarrestar a las del imán:
La ley de Faraday−Lenz dice que la fuerza electromotriz inducida es igual a “menos” la
variación de flujo magnético que atraviesa el circuito con respecto al tiempo:
e=−
dφ B
dt
Observa que:
•
•
La f.e.m. inducida no se debe a la existencia de flujo, sino a su variación. Si no
r
hay variación de flujo de B a través del circuito, la f.e.m. inducida será cero.
El signo menos indica que la f.e.m. inducida debe ser aquel que se oponga a las
causas que la originan. (Es decir al movimiento relativo del imán y la bobina,
etc) Es lo que se conoce como ley de Lenz.
Y aplicando la regla de la mano derecha a la bobina, nos daría la
dirección de la corriente, tal como se ha dibujado en la figura.
Cuando alejamos el imán sucede lo contrario: Cuando el imán está
cerca el circuito, éste está siendo atravesado por muchas líneas de
campo, y al alejarlo lo que hacemos es disminuir el flujo. Entonces
la bobina “que se opone a ese cambio” crea sus propias líneas en el
mismo sentido de las que lo atravesaban, como si ahora no quisiera
Antes de explicarlo con detalle, recuerda
que una bobina al ser atravesada por una
corriente se comporta como un imán y el
sentido de las líneas de campo lo
obteníamos con la mano derecha:
cerrándola en el sentido de la corriente, el
pulgar nos indicaba el sentido de las líneas
y por tanto cual sería el polo norte:
renunciar a ellas:
La ley de Faraday−Lenz, para el caso de una bobina que tiene N espiras, como en cada
una se induce la misma fuerza electromotriz, la escribiremos como:
e=−
N ⋅ dφ B
dt
En realidad esta ley no es más que otra manera de expresar el principio de conservación
de la energía, ya que imagina que se cumpliera lo contrario, que al acercar el imán a la
bobina ésta lo atrajera cada vez con una fuerza mayor y por tato se indujera una
corriente cada vez mayor. Entonces tendríamos que admitir que el circuito se alimenta
solo, lo que resulta absurdo.
Sin embargo la energía que el circuito pierde por efecto Joule es igual al trabajo que
nosotros hacemos al acercar el imán. Esto sí tiene sentido. La ley de inducción de
Faraday−Lenz es la cuarta ecuación del electromagnetismo de Maxwell.
E4A.S2005
1. Una espira cuadrada está cerca de un conductor, recto e indefinido, recorrido por una
corriente I. La espira y el conductor están en un mismo plano.
Con ayuda de un esquema, razone en qué sentido circula la corriente inducida en la espira:
a) Si se aumenta la corriente en el conductor.
b) Si, dejando constante la corriente en el conductor, la espira se aleja de éste
manteniéndose en el mismo plano.
µo I
⇒ al alejar la espira disminuye B ⇒ teniendo en cuenta los mismos
2π ⋅ r
razonamientos, se inducirá una corriente, pero esta vez como B disminuye el Bind
intentará compensar esa disminución y por tanto tendrá la misma dirección y sentido.
Para que Bind tenga ese sentido la corriente inducida en la espira debe circular en
sentido horario, tal como se muestra en la figura.
b) Como B =
Ten en cuenta que si en caso a) la corriente deja de variar o en el caso b) la espira deja de
moverse, entonces el flujo de B a través del circuito sería constante y la f.e.m. inducida nula.
Ejemplo:
La barra AB de la figura tiene una longitud de 25 cm y se mueve con una velocidad
uniforme de 16 m/s sin rozamiento sobre unos raíles conductores. Si el conjunto está
sometido a un campo magnético uniforme de 1T, calcular:
a) La f.e.m. inducida
b) Si R=4Ω ¿cuánto vale la intensidad inducida y su sentido?
c) ¿Qué fuerza debemos ejercer sobre la barra para que su movimiento sea uniforme?
La ley de Faraday−Lenz dice que la fuerza electromotriz inducida es igual a “menos” la
dφ
variación de flujo magnético que atraviesa el circuito con respecto al tiempo e = − B
dt
Por tanto para que en un circuito se induzca una corriente es necesario que el flujo de
r r
campo magnético ( φ = B • S = B ⋅ S ⋅ cos α ) a través del circuito varíe con el tiempo.
a) Teniendo en cuenta que el campo
magnético creado por un conductor a
una distancia r es un vector tangente a
la circunferencia de radio y su módulo
µ I
viene dado por B = o
2π ⋅ r
Si aumenta la corriente (I) por el
conductor ⇒ B variará aumentando
también ⇒ el flujo de B variará ⇒ en la
espira se inducirá una corriente.
Por otro lado, el signo menos indica que la corriente inducida debe ser tal que se oponga
a las causas que la producen. En ese caso se trata de un flujo de B que va aumentando y,
en consecuencia, en la espira la corriente debe tener el sentido que rechace este aumento
de campo, es decir que el campo creado
por la espira (Bind) debe tener sentido
opuesto ⇒ apuntando con el pulgar en el
sentido de Bind al cerrar la mano
obtenemos el sentido de la corriente
inducida.
r
a) Lo primero que tenemos que ver es cual es la expresión del flujo de B a través del
circuito, que como se comprenderá irá aumentando con el tiempo, al ir moviéndose la
barra AB. Como al cabo de un tiempo t, la barra se habrá desplazado un espacio x = v t
r r
φ = B•S = B⋅S = B⋅ x L = B⋅ vt L
r
r
Donde hemos tenido en cuenta que los vectores B y S tienen la misma dirección, así
que su producto escalar es igual al producto de sus módulos.
Según la ley de Faraday−Lenz:
e=−
dφ B
d ( B v t L)
=−
= −B v L
dt
dt
e = −1 ⋅ 16 ⋅ 0,25 = −4Volt
La f.e.m. inducida es de 4 voltios y el signo menos indica, como vamos a ver, que esta
f.e.m. se va a oponer al movimiento de la barra que ha sido la causa de su origen.
b) Al mover la barra AB el circuito es atravesado cada vez por un mayor número de
líneas de campo, por tanto el circuito se comportará como un imán que tiende a
rechazarlas, es decir que las cree hacia dentro del papel:
Esta fuerza que el campo magnético ejerce sobre el conductor rectilíneo por el que
circula una corriente Iind vale:
F = I LB = 1 ⋅ 0,25 ⋅ 1 = 0,25New
Por tanto, si queremos que la barra AB se mueva con movimiento uniforme, la suma de
todas las fuerza sobre ella debe ser nula, así que tendremos que aplicar una fuerza igual
y en sentido contrario, es decir una fuerza de 0,25 New en la dirección y sentido del
movimiento de la barra.
PRODUCCIÓN DE CORRIENTES ALTERNAS. GENERADORES
La producción de la corriente que consumimos se basa en los fenómenos de inducción
que acabamos de ver. Lo que se hace es hacer girar a una bobina entre los polos de un
imán:
Aplicando la regla de la mano derecha que nos da la dirección de las líneas en función
del sentido de la corriente tendremos que si las líneas entran en el papel, el sentido de la
corriente inducida es el que se dibuja:
Cuando se hace girar la bobina varía el flujo de campo magnético que la atraviesa y en
consecuencia se induce una corriente. Vamos a detallarlo, y para ello recuerda que el
flujo es:
r r
φ = B • S = BS ⋅ cos α
Una vez que hemos razonado el sentido de la corriente inducida, calcular su valor es
muy fácil. Aplicando la ley de Ohm:
e 4
I = = = 1Amp
R 4
donde α es el ángulo que forman las líneas de campo magnético con el vector
superficie, que como sabes es un vector perpendicular a la superficie, es decir, a la
espira:
c) Por la barra AB circula una corriente, y como se encuentra en el seno de un campo
magnético, sobre ella aparecerá una fuerza cuya dirección venía dada por la regla de la
mano izquierda:
Si a la bobina se le hace girar con una velocidad ω, entonces el ángulo que forman los
r
r
vectores B y S vendrá dado por α = ω ⋅ t + α o donde hemos considerado para más
sencillez que para t=0, αo=0. Así que el flujo será:
Como puedes ver, la fuerza magnética se opone al movimiento de la barra. ¿Entiendes
ahora la Ley de Lenz? El movimiento de la barra indujo una corriente y debido a ella
apareció una corriente inducida y una fuerza magnética que tiende a frenar a la barra.
φ = BS ⋅ cos ω ⋅ t
y la f.e.m. inducida, según la ley de Faraday−Lenz:
a) De acuerdo con la ley Faraday−Lenz, la f.e.m. de la espira es:
dφ
e=−
= BSω senω ⋅ t
dt
Como puede verse la f.e.m. inducida depende del tiempo y viene dada por una función
sinusoidal, siendo la f.e.m. máxima:
E max = BSω
o bien E max = N ⋅ BSω para el caso de que la bobina tuviese N espiras. Finalmente
podemos poner que la f.e.m. inducida instantánea es: e = E max senω ⋅ t
e=−
dφ
= −10sen 20 t
dt
de donde:
φ = ∫ 10sen 20tdt = −0,5 cos 20t = 0,5 cos(20t + π) (*)
Donde se ha tenido en cuenta que cosα = − cos(α + π )
Si ahora tenemos en cuenta que el flujo por definición es el producto escalar del vector
campo por el vector superficie y que la espira al estar girando con una velocidad angular
ω constante el ángulo, que depende del tiempo, es α = ωt + α o
φ = BS ⋅ cos(ω ⋅ t + α o ) (*)
Si comparamos las dos expresiones (*) obtenidas para el flujo tendremos que:
BS = 0,5
S=
⇒
0,5 0,5
=
= 0,25m 2
B
2
Si la espira es circular:
S = πR 2 = 0,25
2π
ω = 20 =
T
Fíjate como cada periodo (T) se repiten los valores de la f.e.m. y que toma valores
positivos, nulos y negativos, por ese motivo se le llama corriente alterna, porque cambia
dos veces de sentido cada periodo. A la velocidad angular con que gira la bobina se le
llama pulsación de la corriente alterna, y como sabes:
2π
ω=
= 2π ν
T
⇒
R = 0,28m
⇒ Diámetro = 0,56m
T = π / 10 seg.
b) Si la velocidad angular con que gira la espira se reduce a la mitad: ω´ = ω / 2
2π
T
2π
ω´=
T´
ω=
Al dispositivo descrito se le llama generador de corriente alterna o simplemente
alternador. La frecuencia de la corriente es igual a la frecuencia con que gira la bobina,
que en Europa es de 50 Hz.
Ejemplo:
Cuando una espira circular, situada en un campo magnético uniforme de 2 T, gira con
velocidad angular constante en torno a uno de sus diámetros perpendicular al campo, la
fuerza electromotriz inducida es:
e(t) = −10 sen (20 t) (S.I.)
a) Deduzca la expresión de la f.e.m. inducida en una espira que gira en las
condiciones descritas y calcule el diámetro de la espira y su periodo de revolución.
b) Explique cómo variarían el periodo de revolución y la f.e.m. si la velocidad angular
fuese la mitad.
c) Una espira circular se encuentra situada perpendicularmente a un campo
magnético uniforme. Razone qué fuerza electromotriz se induce en la espira, al girar
con velocidad angular constante en torno a un eje, en los siguientes casos: i) el eje es un
diámetro de la espira; ii) el eje pasa por el centro de la espira y es perpendicular a su
plano. (E6A.S2008)
⇒
ω T´
=
ω´ T
⇒
T´= T
ω
ω
=T
= 2T
ω´
ω/ 2
Como vemos, al disminuir la velocidad angular a la mitad el periodo se hace el doble,
cosa absolutamente lógica y de esperar, ya que al hacerse la mitad la velocidad angular
tardará el doble en completar una vuelta que es precisamente el periodo.
e=−
d[BS ⋅ cos(ω ⋅ t + α o )]
dφ
=−
= BSω sen (ω t + α o ) = − BSω senω t
dt
dt
La f.e.m. inducida máxima vale: Emax = BSω y puesto que es directamente proporcional
a la velocidad angular con que gira la espira se hará la mitad al hacerse la mitad ω. (En
el desarrollo anterior se ha tenido en cuenta que como en este caso α o = π y
senα = −sen (α + π)
c) i) Si el eje es un diámetro de la espira, como vemos en la figura de la izquierda, al
girar la espira variará el flujo de líneas de campo y por tanto se inducirá una f.e.m. en la
forma que hemos razonado mas arriba. ii) Pero si el eje pasa por el centro de la espira y
es perpendicular a su plano, como en la figura de la derecha, al girar siempre estará
atravesada por el mismo número de líneas de campo y en consecuencia al no variar el
r
flujo de B con el tiempo no se inducirá ninguna corriente.
TRANSPORTE Y USO DE LAS CORRIENTES ALTERNAS. FUNDAMENTO DEL
TRANSFORMADOR
La electricidad es la energía más consumida por varios motivos:
•
•
•
Es fácil de transportar a las grandes distancias.
Es fácil de transformar en otras energías. (Mecánica en los motores, térmica en
una estufa, luminosa, etc)
No contamina ni produce residuos, aunque algunas de sus formas de producción
sí, dependiendo del tipo de central eléctrica.
La energía eléctrica se transporta desde las centrales eléctricas hasta los lugares de
consumo mediante el tendido eléctrico, lo que pasa es que si se transportara a la tensión
de consumo las pérdidas caloríficas por efecto joule serían enormes, debido a la
resistencia de los conductores, de manera que lo que se hace es aumentar mucho su
voltaje, para que así disminuya su intensidad y en consecuencia las pérdidas. (Recuerda
que el calor es proporcional al cuadrado de la intensidad: Q = I 2 R t )
La tensión de la corriente que se genera en la centrales es de alrededor de 20.000 voltios
y se eleva entre los 250.000 y 500.000 voltios, que es la tensión a la que se transporta
hasta las subestaciones, donde se reduce a unos 50.000 voltios y posteriormente se
reduce en los transformadores próximos a las viviendas hasta los 220 voltios para su
consumo.
A la bobina por la que se hace circular corriente alterna se la llama “primario”, y el
campo magnético variable que origina induce una corriente en la otra bobina que se
llama “secundario”. Ambas corrientes son de la misma frecuencia, sin embargo la f.e.m.
inducida es función del número de vueltas de las bobinas.
Cuando al primario se le aplica una fuerza electromotriz alterna, el flujo magnético
variable que produce atraviesa tanto al primario como al secundario. De acuerdo con la
ley de Faraday−Lenz, si N1 es el número de espiras del primario la fuerza electromotriz
autoinducida será:
dφ
V1 = − N 1
dt
y en el secundario la fuerza electromotriz inducida por el primario será:
dφ
dt
donde se ha tenido en cuenta que, debido al núcleo de hierro, las pérdidas son muy
pequeñas y por tanto el flujo a través de las dos bobinas es prácticamente el mismo.
Combinando las dos ecuaciones se obtiene la relación entre la tensión de entrada y de
salida:
N
V1 V2
→
=
V2 = V1 2
N1 N 2
N1
V2 = − N 2
Como vemos, se puede obtener la f.e.m de salida deseada simplemente ajustando el
número de espiras del primario y del secundario. A la relación N 2 / N 1 se le llama
“relación de transformación”.
El núcleo de hierro hace que las pérdidas sean insignificantes, no obstante una pequeña
parte de la energía se pierde y se transforma en calor porque en el metal también se
inducen corrientes como consecuencia del flujo magnético variable, llamadas corrientes
de Foucault. Para minimizarlas el núcleo de hierro se lamina.
Como vemos los transformadores juegan un papel muy importante en el proceso de
transporte de energía eléctrica. Un transformador está formado por dos bobinas
arrolladas alrededor de un núcleo de hierro como se muestra en la figura:
Y puesto que en los transformadores la energía perdida es insignificante, la potencia
( P = IV ) en el primario y en el secundario debe ser igual, así que:
P = I1 V1 = I 2 V2
Como puedes ver, si la tensión de salida aumenta la intensidad disminuye, porque son
inversamente proporcionales. Ahora puedes entender porqué se utilizaba un
transformador para elevar la tensión de la corriente para transportarla.
VENTAJAS DE LA CORRIENTE ALTERNA FRENTE A LA CORRIENTE
CONTINUA.
•
Las corrientes de Foucault: Ya hemos dicho que son corrientes en torbellino que se
originan en el interior del metal al atravesarlo un flujo magnético variable y son las
causantes de pérdidas de energía, que por efecto Joule se transforma en calor. Para
evitarlas el núcleo de hierro en lugar de ser macizo se construye pegando varias láminas
delgadas.
Sin embargo, a veces se les saca partido a estas corrientes, y este es el caso de los
hornos de inducción de alta frecuencia.
Ejemplo:
Alguna vez habrás visto un transformador doméstico. Antiguamente se utilizaban
mucho porque la corriente se suministraba a 125 Voltios, mientras que muchos aparatos
funcionaban a 220 V. Si en el primario, que tiene 500 vueltas, conectamos una corriente
alterna de 125 V y una intensidad máxima de 0,5 A.
a) Cuantas vueltas debe tener el secundario para obtener una tensión de 220 V
b) Que valor tendrá la intensidad máxima de la corriente de salida.
a) Si tenemos en cuanta que el flujo de líneas de campo magnético es prácticamente
igual en el primario y secundario, de acuerdo con la ley de Faraday−Lenz:
V
V
dφ
=− 1 =− 2
dt
N1
N2
⇒
N2 =
V2 N 1 220 ⋅ 500
=
= 880vueltas
V1
125
b) Teniendo en cuenta, si despreciamos la pérdidas, que la potencia en el primario y
secundario es la misma:
P = I1 V1 = I 2 V2
⇒
I2 =
I1 V1 0,5 ⋅ 125
=
= 0,28Amp
V2
220
Como vemos, al aumentar la tensión de salida, la intensidad se hace más pequeña, lo
que es absolutamente lógico, ya que de otra forma estaríamos creando energía de la
nada.
•
La CA es muy fácil de generar como hemos visto. (Aunque se podría generar
CC empleando el mismo sistema y solamente una pequeña modificación en las
escobillas del generador.)
La CA es fácil de transportar, porque puede modificarse su tensión utilizando
transformadores, lo que es imposible en el caso de la CC, y por tanto esta
cualidad es la que realmente la hace tan especial y útil.
La mayoría de los aparatos electrónicos funcionan con CC, sin embargo eso no es un
problema porque la CA puede transformarse en CC mediante los diodos.
Los diodos son unos pequeños elementos formados de elementos semiconductores, que
funcionan como si fuesen válvulas, es decir que dejan pasar la corriente solo en un
sentido, por lo que rectifican media onda. Mediante un puente de 4 diodos puede
rectificarse la onda completa y con la ayuda de un condensador suavizar los picos,
obteniéndose una corriente prácticamente continua.
TEMA 5: INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA MODERNA
INSUFICIENCIA DE LA FÍSICA CLÁSICA
PARTE 1: El efecto fotoeléctrico y los espectros discontinuos: insuficiencia de la
Física clásica para explicarlos. Hipótesis de De Broglie. Relaciones de indeterminación.
Valoración del desarrollo científico y tecnológico que supuso la Física moderna.
La física clásica trata a las partículas y las ondas como cosas diferentes. El
comportamiento de las partículas puede explicarse mediante las leyes de Newton y el de
las ondas mediante la teoría de Huygens y las leyes de Maxwell para el
electromagnetismo.
• Descripción fenomenológica y análisis de la insuficiencia de la física clásica
para explicar el efecto fotoeléctrico y los espectros atómicos.
• Hipótesis de Planck: cuantización de la energía.
• Teoría de Einstein del efecto fotoeléctrico : concepto de fotón (aspecto
corpuscular de la radiación).
• Espectros discontinuos: niveles de energía en los átomos.
• Hipótesis de De Broglie (aspecto ondulatorio de la materia)
• Dualidad onda - corpúsculo (superación de la dicotomía partícula-onda
característica de la física clásica).
• Principio de incertidumbre de Heisenberg.
• Determinismo y probabilidad
• Dominio de validez de la física clásica.
PARTE 2: Física nuclear. La energía de enlace. Radioactividad: tipos, repercusiones y
aplicaciones. Reacciones nucleares de fisión y fusión, aplicaciones y riesgos.
• Breve referencia al modelo atómico: núcleo y electrones.
• Interacciones dominantes en los ámbitos atómico molecular y nuclear y órdenes
de magnitud de las energías características en los fenómenos atómicos y
nucleares.
• Energía de enlace y defecto de masa.
• Principio de equivalencia masa energía.
• Estabilidad nuclear.
• Radiactividad; descripción de los procesos alfa, beta y gamma y justificación de
las leyes del desplazamiento.
• Ley de desintegración radiactiva; magnitudes.
• Balance energético (masa energía) en las reacciones nucleares.
• Descripción de las reacciones de fusión y fisión nucleares; justificación
cualitativa a partir de la curva de estabilidad nuclear.
Sin embargo, a final del siglo XIX y comienzos del XX aparecieron nuevos fenómenos
que pusieron en duda la validez de las leyes clásicas:
•
•
•
•
Radiación del cuerpo negro
Efecto fotoeléctrico
Efecto Compton
Interpretación de los espectros atómicos
INTERPRETACIÓN DE LA RADIACIÓN TÉRMICA. HIPÓTESIS DE
PLANCK.
Exposición del fenómeno:
Sabemos que los cuerpos absorben y emiten energía. Un cuerpo frío absorbe más de la
que emite, mientras que un cuerpo caliente emite más energía que absorbe.
Supongamos que empezamos a calentar un trozo de hierro. Todos sabemos que al ir
aumentando su temperatura comienza a tomar un tono rojizo, después rojo intenso hasta
ponerse amarillo brillante. Sencillamente lo que ocurre es que los restos positivos del
metal vibran cada vez con más rapidez en sus posiciones en la red, es decir, que se
comportan como si fueran osciladores armónicos:
Es evidente que al tratarse de cargas aceleradas radiarán energía en forma de ondas
electromagnéticas. A medida que se calienta más, aumentan las frecuencias de vibración
y por tanto la frecuencia de las OEM que radia y por eso va pasando a rojo y luego al
amarillo.
Si para una temperatura determinada, analizamos la energía que radia por unidad de
área y tiempo (es decir, la potencia por unidad de área, un concepto similar a la
intensidad) para cada frecuencia (o longitud de onda) se obtiene una curva como la de la
figura:
Cada material tiene una familia a de curvas distintas, por eso, y para facilitar su estudio,
se ha pensado en un cuerpo ideal que absorba todas las radiaciones (sean de la
frecuencia que sean) y que por tanto sea capaz de emitir todas las radiaciones. A este
cuerpo ideal se le llama cuerpo negro.
observaremos que :
•
•
Radia más energía cuanto mayor es la temperatura del hierro.
Si la temperatura del hierro es mayor, aumenta la frecuencia para la cual radia el
máximo de energía, es decir se va desplazando desde el IR (donde solo notamos
el calor) hacia al visible y por ese motivo lo empezamos a ver rojo
Un cuerpo negro puede ser una caja negra impregnada de negro de humo en la que se ha
practicado un pequeño orificio. Así al entrar la luz en ella, a fuerza de reflejarse se
absorberá completamente antes de salir:
Si se calienta el cuerpo negro a gran temperatura, sus paredes comenzarán a emitir
radiaciones, que en parte él mismo absorberá, pero el resto saldrán por el orificio. A esta
se la llama radiación del cuerpo negro.
Representando la energía radiada por unidad de tiempo y área en función de la
frecuencia, a varias temperaturas, se obtienen una familia de curvas similares a las
anteriores:
De esta forma, si variamos la temperatura y medimos la energía radiada para cada
frecuencia podemos obtener una familia de curvas.
Se observa que:
•
Al aumentar la temperatura del cuerpo negro, éste radia más energía.
Experimentalmente se ha demostrado que la energía total radiada por unidad
tiempo y de área (potencia por unidad de área) es proporcional a la cuarta
potencia de la temperatura, lo que se conoce como ley de Stefan–Boltzman
Eν = σT4
σ = cte. de Stefan–Boltzman = 5,67 ⋅ 10 −8 Wat/m2ºK4
B) Interpretación cuántica de Max Planck: Este físico alemán, en una conferencia el 14
de diciembre de 1900, que es una fecha histórica para la física, dijo que para poder
explicar la radiación del cuerpo negro había que desechar la idea de que los cuerpos
pueden absorber y emitir energía de forma continua.
Hay que admitir que la energía se absorbe y emite en forma de pequeños paquetes de
energía, que llamó “cuantos” (posteriormente Einstein los llamó fotones) y su energía es
proporcional a su frecuencia:
E = hν
Para los cuerpos no negros la ley de Stefan–Boltzman se escribe igual, pero
introduciendo una coeficiente de absorción característico de cada material:
Eν = α σT4
•
La frecuencia para la cual la radiación es máxima sufre un corrimiento hacia el
visible. Wien encontró la relación que existe entre la temperatura a la que está el
cuerpo y la frecuencia para la cual emite la radiación máxima:
T
ν max
= cte = 9,65 ⋅ 10
−12
h = cte. de Planck = 6,62 ⋅ 10 −34 J ⋅ s
Según esto, un cuerpo puede absorber o emitir un fotón, o dos, o tres, es decir n ⋅ hν
donde n es un número entero, lo que quiere decir que “la energía está cuantizada”.
•
Planck supuso que la radiación electromagnética era emitida por pequeños
osciladores submicroscópicos que solo podían vibrar con múltiplos enteros de cierta
frecuencia ν, y no con cualquiera, así que radiaban energía en múltiplos de hν.
•
Como el número de osciladores es enorme y cada uno de ellos oscila con una
frecuencia distinta, el cuerpo puede emitir todas las frecuencias y el espectro es
continuo.
•
Planck partiendo de esta idea, absolutamente nueva, consiguió una fórmula
empírica que reproducía exactamente la curva experimental de la radiación el
cuerpo negro.
º K ⋅s
Basándose en esto y estudiado la ν max o la λmax de la luz emitida por las estrellas
podemos calcular la temperatura a la que se encuentran. (Teniendo en cuenta
que c = λ ν , la ley de Wien también puede escribirse como
T ⋅ λ max = 2,89 ⋅ 10 −3 º K ⋅ m )
Interpretaciones:
A) Interpretación clásica de Rayleigh–Jeans: Estos dos físicos ingleses,basándose en la
teoría electromagnética y en que los átomos al vibrar se comportan como pequeños
osciladores armónicos que emiten continuamente OEM, llegaron a una expresión
matemática, que más o menos concordaba con la curva experimental para bajas
frecuencias (en el IR), pero que para altas frecuencias crecía exponencialmente,
desviándose de la curva experimental, por lo que los físicos la llamaron “catástrofe
ultravioleta”, porque de acuerdo con esto, la teoría electromagnética clásica no era
capaz de explicar este fenómeno.
Planck puso los cimientos de la física moderna, pero no recibió el premio Nóbel por su
descubrimiento del cuanto hasta varios años después, cuando Einstein hizo uso de éste
concepto para explicar el efecto fotoeléctrico, quedando la revolucionaria idea fuera de
dudas.
Ejemplo:
Calcular la temperatura de la superficie del sol y la energía radiada por unidad de área y
tiempo, sabiendo que la longitud de onda para la cual la energía radiada es máxima es
λ max = 5,1 ⋅ 10 −7 m .
Datos: Cte de Wien = 2,89.10–3 mºK; Cte de Stefan–Boltzman = 5,67.10–8 W/m2ºK4
De acuerdo a las unidades en que nos dan la constante de Wien, escribiremos la ley de
Wien como:
T ⋅ λ max = 2,89 ⋅ 10 −3 º K ⋅ m
de donde:
T=
2,89 ⋅ 10 −3 m⋅º K
= 5666,67º K
5,1 ⋅ 10 − 7 m
De acuerdo con la ley de Stefan–Boltzman, la energía por unidad de área y tiempo
radiada por el sol (potencia por unidad de área)
Eν = σT4
sustituyendo:
E ν = 5,67 ⋅ 10 −8 ⋅ 5666,67 4 = 5,85 ⋅ 10 7 W / m 2
EFECTO FOTOELÉCTRICO
Exposición del fenómeno:
El efecto fotoeléctrico consiste en la emisión de electrones por parte de los metales al
ser iluminados.
Un sencillo experimento puede ponerlo de manifiesto: Si adosamos una lámina de zinc
al conductor de un electroscopio descargado, veremos que al iluminar la placa de zinc
con luz UV se separan las láminas del electroscopio porque se carga positivamente
como consecuencia de que emite electrones:
Se puede estudiar el fenómeno introduciendo el zinc en una ampolla de vidrio como
cátodo (al dispositivo se le llama célula fotoeléctrica)
1. En primer lugar se puede observar que para cada metal hay una frecuencia mínima
(frecuencia umbral νo) por debajo de la cual no hay ninguna emisión de electrones.
Lógicamente los metales más electropositivos, al tener los electrones de valencia menos
ligados, tienen frecuencias umbrales más pequeñas que los otros:
ν o ,Sodio = 4,5 ⋅ 1014 Hz (rojo)
ν o ,Zinc = 8,5 ⋅ 1014 Hz
(UV)
2. Si se aumenta la intensidad de la luz, aumenta el número de electrones que
abandonan el metal, es decir, aumenta la intensidad de la corriente, como era de esperar
de acuerdo con la teoría electromagnética clásica.
Lo curioso del caso, y que ya no se puede explicar con la teoría electromagnética
clásica, es que por muy intensa que sea la luz, si no tiene una frecuencia igual o mayor
que la umbral no sale ni un solo electrón. (Según la física clásica la energía de una onda
es proporcional al cuadrado de la amplitud, de manera que se puede tener ondas de gran
energía aunque su frecuencia sea pequeña, como por ejemplo ocurre con las olas)
Si la frecuencia de la luz es menor que la
umbral no hay emisión:
Si h ν < E o ⇒ No sale
3. Si se ilumina con una luz de frecuencia mayor a la umbral, los electrones salen
disparados con una energía cinética que no depende de la intensidad de la luz, sino
solamente de su frecuencia. La energía cinética de los fotoelectrones puede medirse
conectando a la célula fotoeléctrica una pila variable al revés:
Si la frecuencia de la luz es justamente la
umbral, entonces arranca al electrón, pero
éste queda sin energía porque toda ella se
ha invertido en arrancarlo:
Si h ν = E o ⇒ Sale el electrón, pero
queda sin energía
Si la frecuencia de la luz es mayor que la
umbral:
Al potencial que anula la corriente fotoeléctrica se le llama potencial de detención, Vo.
Por tanto, teniendo en cuenta que el trabajo eléctrico es W=qV, podemos poner que :
eVo =
Si h ν > E o ⇒ Sale el electrón y la
energía que sobra de arrancarlo se invierte
en energía cinética
1
mv 2
2
donde e es la carga del electrón y m es su masa.
4. Cuando la luz incide sobre el metal, los electrones son emitidos instantáneamente.
Esto tampoco puede explicarse con la teoría electromagnética clásica, ya que si el
electrón extrae energía de la onda, debería transcurrir un tiempo hasta que acumule la
energía necesaria para escapar del metal.
De esta forma Einstein escribió que:
1
h ν = E o + mv 2
2
o lo que es igual:
h ν = h νo +
1
mv 2
2
Explicación de Einstein al efecto fotoeléctrico:
despejando la velocidad con que sale el electrón:
Planck creía que solo estaba cuantificado el intercambio de energía (absorción y
emisión), pero que después la luz se comportaba como una onda.
Einstein fue más atrevido, supuso que la energía electromagnética es sí misma era la
que estaba cuantificada en pequeños paquetes de energía que llamó fotones. La energía
de un fotón es:
E = hν
Vamos a ver como con la suposición de Einstein pueden explicarse todas las
observaciones anteriores:
Si llamamos trabajo de extracción o función trabajo (Eo) a la energía mínima que debe
tener el fotón para arrancar un electrón del metal. Es evidente que el fotón debe tener
una frecuencia mínima νo (la umbral) para arrancar al electrón:
Eo = h νo
v=
2 h (ν − ν o )
m
Como puede verse la velocidad de los fotoelectrones, y por tanto su energía cinética, no
depende de la intensidad de la luz. Solamente depende de la frecuencia y lo demás son
constantes.
Al aumentar la intensidad de la luz, lo que aumenta es el número de fotones y por tanto
es mayor el número de electrones que salen del metal. Ello explica que aumente la
intensidad de la corriente:
Ejemplo E5B.S2007:
Al aumentar la intensidad de la luz (el nº
de fotones) aumenta es el número de
electrones que salen del metal, y por tanto
la intensidad de la corriente.
Por último queda explicar la instantaneidad con que son emitidos los fotoelectrones,
pero es fácil, ya que como se dice en la hipótesis, los fotones son paquetes de energía
concentrada y no ondas que tienen su energía distribuida por todo el frente de onda.
Einstein recibió el premio Nóbel, no por su teoría de la relatividad como cree mucha
gente, sino por la interpretación del efecto fotoeléctrico que acabamos de ver.
Un fotón incide sobre un metal cuyo trabajo de extracción es 2 eV. La energía cinética
máxima de los electrones emitidos por ese metal es 0,47 eV.
a) Explique las transformaciones energéticas que tienen lugar en el proceso de
fotoemisión y calcule la energía del fotón incidente y la frecuencia umbral de efecto
fotoeléctrico del metal.
b) Razone cuál sería la velocidad de los electrones emitidos si la energía del fotón
incidente fuera 2 eV.
h = 6,6 ·10–34 J s ; e = 1,6 ·10–19 C
a) La energía del fotón incidente (hν) se invierte en extraer el electrón del metal y la
restante en comunicarle energía cinética, por tanto:
1
h ν = E o + mv 2 = 2 + 0,47 = 2,47eV
2
Ejemplo E4A.S2005
Al iluminar una superficie metálica con luz de frecuencia creciente empieza a emitir
fotoelectrones cuando la frecuencia corresponde al color amarillo.
a) Explique razonadamente qué se puede esperar cuando el mismo material se irradie
con luz roja. ¿Y si se irradia con luz azul?
b) Razone si cabría esperar un cambio en la intensidad de la corriente de fotoelectrones
al variar la frecuencia de la luz, si se mantiene constante el número de fotones
incidentes por unidad de tiempo y de superficie.
a) Para que se produzca efecto fotoeléctrico los fotones de luz deben tener una
frecuencia igual a la umbral o superior. Según se deduce del enunciado, para este
material la frecuencia umbral corresponde al amarillo, por lo que al iluminar con luz
roja, que tiene una frecuencia menor, no se producirá efecto fotoeléctrico,
independientemente de la intensidad de la luz roja.
Por el contrario, al iluminar con luz azul el metal emitirá electrones que saldrán con una
energía cinética igual a la diferencia entre la energía del fotón de luz azul y la del fotón
de luz amarilla (trabajo de extracción).
b) Cada fotón arranca un electrón (siempre que tenga una frecuencia igual a la umbral o
superior) por lo que si se mantiene el número de fotones la intensidad de la corriente
será la misma. No obstante, si variamos la frecuencia lo que sí variará será la energía
cinética de los electrones emitidos (siempre que la frecuencia sea igual a la umbral o
superior).
en julios:
h ν = 2,47 ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 = 3,95 ⋅ 10 −19 J
La frecuencia del fotón incidente, despejando será:
ν=
3,95 ⋅ 10 −19 J
= 5,98 ⋅ 1014 Hz
6,6 ⋅ 10 −34 J.s
La frecuencia umbral es la que corresponde a un fotón de energía igual al trabajo de
extracción:
2 * 1,6 ⋅ 10 −19 J
νo =
= 4,86 ⋅ 1014 Hz
6,6 ⋅ 10 −34 J.s
b) Es evidente, según hemos dicho antes, que si la energía del fotón incidente es igual al
trabajo de extracción la energía cinética sería cero, y por tanto la velocidad de los
electrones nula.
Ejemplo E3A.S2007:
EFECTO COMPTON
Sobre una superficie de sodio metálico inciden simultáneamente dos radiaciones
monocromáticas de longitudes de onda λ1 = 500 nm y λ2 = 560 nm. El trabajo de
extracción del sodio es 2,3 eV.
a) Determine la frecuencia umbral de efecto fotoeléctrico y razone si habría emisión
fotoeléctrica para las dos radiaciones indicadas.
b) Explique las transformaciones energéticas en el proceso de fotoemisión y calcule la
velocidad máxima de los electrones emitidos.
c = 3 ·108 m s–1 ; h = 6,6 ·10–34 J s ; e = 1,6 ·10–19 C ; me = 9,1·10–31 kg
Explicación del fenómeno:
a) En primer lugar debemos calcular la energía de los dos fotones. Si su energía es
mayor o igual al trabajo de extracción habrá emisión, y en caso contrario no porque no
llegarían al umbral. (recuerda que 1nm=10–9m)
E1 = hν 1 = h
El trabajo de extracción en julios es E o = 2,3eV = 2,3 ⋅ 1,61019 = 3,68 ⋅ 10 −19 J
Como podemos ver, solamente el primer fotón tiene energía suficiente para arrancar un
electrón del metal, el segundo no producirá efecto fotoeléctrico independientemente de
la intensidad que tenga la luz.
La frecuencia umbral es la frecuencia mínima que debe tener un fotón para arrancar un
electrón y por tanto es la energía de un fotón que coincide con el trabajo de extracción:
⇒
•
•
Los rayos X dispersados tenían una frecuencia ν´ menor (o lo que es igual que
tenían una longitud de onda mayor que los rayos incidentes)
El incremento que sufre la longitud de onda del fotón es función del ángulo de
rechazo: ∆λ = f ( φ )
c
3 ⋅ 108
= 6,6 ⋅ 10 −34
= 3,96 ⋅ 10 −19 J
λ1
500 ⋅ 10 −9
c
3 ⋅ 108
E 2 = hν 2 = h
= 6,6 ⋅ 10 −34
= 3,54 ⋅ 10 −19 J
λ2
560 ⋅ 10 −9
Eo = h νo
Compton hizo incidir un haz de rayos X duros, de frecuencia ν, sobre un bloque de
grafito y observó que:
νo =
Este fenómeno es inexplicable mediante la física clásica, porque según ella, al incidir
los rayos X de frecuencia ν sobre el grafito, sus átomos se verían obligados a vibrar con
esa frecuencia y por tanto radiarían OEM también de la misma frecuencia ν.
Explicación de Compton:
Compton explicó este fenómeno haciendo uso de las ideas de Einstein sobre el fotón.
Pensó que el fotón incidente chocaba con un electrón libre del grafito, de la misma
manera que lo hacen dos bolas de billar, pero en este caso que no cede toda su energía al
electrón (como sucede en el efecto fotoeléctrico) solamente cede una parte y por eso se
convierte en otro fotón de menor frecuencia ν´<ν (o de mayor longitud de onda). El
efecto Compton es el apoyo más evidente al comportamiento corpuscular de la luz.
E o 3,68 ⋅ 10 −19
=
= 5,58 ⋅ 1014 Hz
h
6,6 ⋅ 10 −34
A la misma conclusión habríamos llegado si calculamos la frecuencia de cada fotón
( ν = v / λ ) y la comparamos con el valor de la umbral.
b) La energía del fotón (3,96.10–19J) se transmite al electrón. Parte de ella se emplea en
arrancarlo del metal (3,68.10–19J) y la restante se emplea en comunicarle energía
cinética.
1
h ν = E o + mv 2
2
3,96 ⋅ 10 −19 = 3,68 ⋅ 10 −19
1
+ 9,1 ⋅ 10 −31 v 2
2
v = 2,48 ⋅ 10 m / s
5
El tratamiento al problema es el mismo que el de un choque elástico entre dos bolas de
billar, es decir que antes y después del choque se conserva la energía y, por supuesto, el
momento lineal. A partir de estas consideraciones puede demostrarse que el incremento
de la longitud de onda del fotón dispersado es:
∆λ =
h
(1 − cos φ)
m ec
a la constante h/mec se le llama longitud de onda Compton = 2,4.10–12 m pudiéndose
escribir también como:
∆λ = λ c (1 − cos φ)
Como puede verse, el corrimiento Compton ( ∆λ = λ´−λ ) solo es función del ángulo de
rechazo del fotón. Si φ=0 entonces ∆λ = 0 , es decir que λ´= λ y no hay efecto
Compton.
Es muy importante recalcar que mientras en el efecto fotoeléctrico desaparece el fotón,
porque cede toda su energía al electrón, en el efecto Compton el fotón solo cede una
parte de su energía al electrón, con lo que no desaparece, sino que se convierte en otro
fotón de menor energía.
Compton recibió el Nóbel por sus estudios e interpretación de éste fenómeno.
Ejemplo:
 1

1
1 1 
 = 2,55 ⋅ 10 −16 J = 1591eV
Ec electr = hc  −  = 6,62 ⋅ 10 −34 3 ⋅ 108 
−
11
−11 
λ
λ
´
3
⋅
10
3
,
12
⋅
10




ESPECTROS DISCONTINUOS. NIVELES DE ENERGÍA EN LOS ÁTOMOS
Ya sabemos que cuando la luz blanca se hace pasar a través de un prisma se
descompone dando lugar a un espectro que contiene la totalidad de los colores desde el
rojo al violeta, por lo que se llama espectro continuo, mientras que si solo hay unos
pocos se llama espectro discontinuo.
Un espectro de emisión es el espectro de la luz que emite un cuerpo, mientras que si
hacemos pasar la luz blanca a través del cuerpo y analizamos la luz que deja pasar, el
espectro se llama de absorción. Ambos son complementarios, quiere decir que los
colores que le faltan a uno son justamente los que tiene el otro.
Cuando un fotón de rayos X duros, de longitud de onda 3.10–11 m incide sobre un
electrón en reposo sale disparado formando un ángulo de 60º. Calcular:
a) La longitud de onda del fotón dispersado
b) La energía cinética del electrón sobre el que chocó el fotón.
Datos: Long.de onda Compton = 2,4.10–12 m ; h = 6,62.10–34J.s ; e = 1,6–10–19 C
En un espectro atómico:
h
∆λ = λ´−λ =
(1 − cos φ)
mec
•
sustituyendo:
∆λ = 2,4 ⋅ 10 −12 (1 − cos 60) = 1,2 ⋅ 10 −12 m
de donde:
λ´= ∆λ − λ = 1,2 ⋅ 10 −12 − 3 ⋅ 10 −11 = 3,12 ⋅ 10 −11 m
b) Puesto que se trata de un choque elástico y en consecuencia se conserva la energía, la
energía del fotón incidente debe ser igual a la del fotón dispersado más la energía
cinética que adquiere el electrón, por tanto:
hν = hν´+ Ec electr
por tanto:
h
c
c
= h + Ec electr
λ
λ´
•
•
El conjunto de líneas espectrales que se obtiene para un elemento concreto es
siempre el mismo, incluso si el elemento forma parte de un compuesto
complejo, es decir que cada elemento produce su propio espectro diferente al de
cualquier otro elemento, y por lo tanto el espectro de un elemento es como si
fuera su huella digital, por eso inicialmente los químicos alemanes Kirchoff y
Bunsen comenzaron a emplearlos como medio de análisis.
Los espectros contienen rayas agrupadas en series espectrales que van desde el
IR hasta el UV
Cada serie está formada por infinitas rayas cada vez mas juntas hasta llegar al
límite de la serie.
Si se descompone al luz emitida por un tubo de descarga lleno de hidrógeno, se obtiene
su correspondiente espectro, en el que se pueden distinguir sus series espectrales. Una de
ellas, la serie Balmer, cae dentro del visible, otra en el UV y el resto están en el IR.
tratarse de una carga acelerada debería radiar OEM de la misma frecuencia que la
frecuencia de revolución con lo que terminaría cayendo sobre el núcleo.
La deducción teórica de la ecuación de Rydberg vino de mano de Bhor, que propuso un
modelo atómico basado en el de Rutherford, pero en el que el electrón solo puede girar
en unas órbitas estacionarias, donde no emite energía, y que son aquellas en las que el
momento angular del electrón es un múltiplo entero de h/2π.
l = r mv = n
h
2π
donde n es un número entero que toma valores 1, 2, 3 ... e indica la órbita y se llama
número cuántico principal.
Las transiciones electrónicas se producen absorbiendo y luego emitiendo un fotón de
energía igual a la diferencia de energía entre los niveles y dan lugar a los espectros
discontinuos.
El sueco Rydberg encontró empíricamente la relación que existía entre la longitud de
onda de cada raya en cada una de las series:
 1
1
1 
= R H  2 − 2 
λ
n
n
 i
f 
•
•
•
•
RH es la constante de Rydberg = 1,09.107 m–1
ni y nf son números enteros.
n1 determina la serie. Haciendo n1=1 se obtiene la serie Lyman, haciendo n1=2
se obtiene la serie Balmer, con n1=3 la serie Paschen, etc
Limitando el valor de n1 para una serie concreta, el conjunto de rayas espectrales
se obtiene dándole a n2 valores enteros consecutivos al valor de n1, es decir n2 =
n1+1, n1+2, n1+3, ....
Serie
Lyman
Balmer
Paschen
Bracket
Pfund
ni
1
2
3
4
5
nj
2, 3, 4, ...
3, 4, 5, ...
4, 5, 6, …
5, 6, 7, …
6, 7, 8, …
Región del esp.
UV
Visible
IR
IR
IR
El modelo atómico de Rutherford era incapaz de explicar los espectros discontinuos de
los átomos porque según éste el electrón puede girar en cualquier órbita (cualquier valor
del radio es bueno) y por tanto el espectro debería ser continuo, y además porque al
En la figura se muestra como un fotón excita al electrón, que inicialmente se encuentra
en el nivel mas bajo de energía, y lo manda hasta el nivel 4. Posteriormente vuelve a su
estado fundamental emitiendo un fotón correspondiente a la serie Balmer y otro a la
serie Lyman.
La energía de los fotones es igual a la diferencia de energía entre los niveles entre los
que salta:
 1
c
1 
∆E = E 2 − E 1 = hν = h = hcR H  2 − 2 
λ
n
n
 i
f 
R´= h c R H = 2,16 ⋅ 10 −18 J
Por ejemplo, el salto que se muestra en la figura, correspondiente a la segunda raya de la
serie Balmer, corresponde a un fotón de:
1 
 1
∆E = E 4 − E 2 = 2,16 ⋅ 10 −18  2 − 2  = 4,06 ⋅ 10 −19 J = 2,54eV
4 
2
E = hν
⇒
ν=
E 4,06 ⋅ 10 −19
=
= 6,13 ⋅ 1014 Hz (azul)
h 6,62 ⋅ 10 −34
Ejemplo práctico:
DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE RYDBERG
Si observamos la luz emitida por un tubo de
descarga de hidrógeno con la ayuda de un
espectroscopio podremos ver varias rayas de colores
(la serie Balmer).
De acuerdo con la idea de Rutherford, el átomo de hidrógeno está formado por un
protón en el núcleo y un electrón girando a su alrededor a una distancia r, de tal manera
que la fuerza de atracción eléctrica se compense con la fuerza centrífuga (SR Inercial)
Leyendo sobre la escala del espectroscopio puedes
ver que la raya de color rojo corresponde a una luz
con una longitud de onda de aproximadamente 660
nm y que la raya de color azul corresponde a una luz
de longitud de onda aproximadamente 490 nm.
Para cada una de esas dos rayas vamos a calcular la energía del fotón correspondiente, o lo que es
igual, la diferencia de energía entre los dos niveles atómicos entre los que ha saltado el electrón.
Los datos que vamos a necesitar son la constante de Planck, la carga del electrón (para
pasar de Julios a eV) y la velocidad de la luz (para poder calcular la frecuencia, ya que
c = λ⋅ν)
E Rojo = h ⋅ ν Rojo = h
c
3 ⋅ 10
= 6,62 ⋅ 10 −34
= 3,01 ⋅ 10 −19 J = 1,88 eV
λ Rojo
660 ⋅ 10 −9
E Azul = h ⋅ ν Azul = h
c
3 ⋅ 10
= 6,62 ⋅ 10 −34
= 4,05 ⋅ 10 −19 J = 2,53 eV
λ Azulo
490 ⋅ 10 −9
Felectr = Fcentrif
⇒
Como verás, los valores que hemos calculado
experimentalmente coinciden bastante bien
con los que pueden obtenerse a partir de la
gráfica de energía del átomo de hidrógeno.
Corresponden a los saltos desde el nivel 3 al
nivel 2 (raya roja):
∆E = E 3 − E 2 = −1,5 − −3,4 = 1,9 eV
y desde el nivel 4 al nivel 2 (raya azul)
∆E = E 4 − E 2 = −0,9 − −3,4 = 2,5 eV
e2
v2
=m
2
r
r
de donde se puede despejar el radio de la órbita o bien la velocidad con la que debe girar
para mantenerse:
8
8
Lógicamente la raya azul al tener menor longitud de onda (o mayor frecuencia)
corresponde a un fotón de mayor energía, o lo que es igual, a un salto más grande, es
decir, desde un nivel más exterior.
K
v=
Ke 2
mr
r=
Ke 2
mv 2
Como vemos, en el modelo de Rutherford cualquier radio es aceptable con tal que de
gire con la velocidad adecuada (el resto de las magnitudes son constantes), con lo que
los espectros atómicos deberían ser continuos.
La energía del electrón en la órbita, que será la suma de la cinética más la potencial (la
Ep es negativa porque las cargas del electrón y del protón tienen distinto signo: q=e y
q´=–e)
1
e2
E = Ec + Ep = mv 2 − K
2
r
sustituyendo v:
2
E=
1  Ke 2 
e 2 Ke 2 Ke 2
Ke 2
m
−K
=
−
=−
2  mr 
r
2r
r
2r
La energía del electrón es función del radio de la órbita y aumenta con la distancia hasta
hacerse cero en el infinito (ten en cuanta que es negativa).
Hasta aquí el razonamiento de Rutherford. Ahora Bhor en su modelo para explicar los
saltos electrónicos introduce la idea de que cualquier órbita no es buena, solo aquellas
en las que el momento angular del electrón es múltiplo entero de h/2π.
l = rmv = n
h
2π
h
2π mv
En 1924, Luis De Broglie en su tesis doctoral hizo el siguiente razonamiento:
si elevamos al cuadrado y sustituimos la expresión encontrada para la velocidad:
r2 = n2
Durante el primer cuarto del siglo XX la física tenía un dilema sobre la naturaleza de la
luz entre ondulatoria y corpuscular.
Por una lado la radiación del cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico, el efecto Compton y
la interpretación de los espectros atómicos apuntaban hacia la naturaleza “cuántica” de
la luz, mientras que los fenómenos de interferencias, difracción y polarización
evidenciaban su naturaleza ondulatoria.
Por tanto las órbitas buenas son:
r=n
HIPÓTESIS DE De BROGLIE
•
h2
h 2 ⋅ mr
= n2 2 2
2
2
2
4π m ⋅ v
4π m ⋅ Ke 2
Si la luz está formada por corpúsculos, éstos se podrán caracterizar por su
momento lineal como cualquier partícula: p=mc con lo que la ecuación de
Einstein se podrá escribir como:
simplificando:
r = n2
E = mc 2 = pc
h2
4π mKe 2
2
•
Si la luz es una onda se podrá caracterizar por su longitud de onda:
Por tanto la energía del electrón en cualquiera de esas órbitas será:
E = hν = h
Ke 2
Ke 2 ⋅ 4π 2 mKe 2
K 2 e 4 ⋅ 2π 2 m
E=−
=−
=−
2 2
2r
2⋅n h
n 2h 2
Como vemos, salvo n el resto todo son constantes: K=9.109Nm2/C2 ; e=1,6.10–19C ;
m=9,1.10–31Kg y h=6,62.10–34 J.s de manera que si operamos nos quedaría que:
E = −2,16 ⋅ 10
−18
Si tenemos en cuenta que esa energía es la que se emite en forma de OEM y es la
energía del fotón de frecuencia ν y de longitud de onda λ
c
λ
⇒
1 ∆E R´  1
1
=
= 
−
λ hc hc  n i2 n f2
Igualando ambas expresiones se deduce la relación entre la longitud de onda y el
momento lineal de los fotones asociados a ella:
λ=
1
1
= − R´ 2
n2
n
Teniendo en cuenta que la energía del fotón corresponde a la diferencia de energía entre
dos niveles dados:
 1
1
1
1 
∆E = E f − E i = −R´ 2 − − R´ 2 = R´ 2 − 2 
nf
ni
n
n
 i
f 
∆E = E f − E i = hν = h
•

 1
1
 = R H  2 − 2

 ni nf



que es la ecuación que Rydberg encontró de forma empírica. Como vemos la constante
de Rydberg se obtiene como:
K 2 e 4 ⋅ 2π 2 m
RH =
h 3c
c
λ
h
p
o bien que
λ=
h
mv
De Broglie hizo extensiva su hipótesis a todas las partículas en general, y en particular a
los electrones diciendo: “A todo corpúsculo en movimiento se le puede asociar una
onda, cuya longitud de onda es inversamente proporcional a su momento lineal”
La hipótesis de De Broglie no tenía ningún apoyo experimental y por tanto debía
confirmarse, es decir habría que conseguir fenómenos de difracción con electrones, lo
que probaría que las partículas llevan asociada una onda.
Davisson y Germer, y poco después Thonson (hijo), consiguieron realizar experimentos
de difracción con electrones haciendo incidir un haz de electrones sobre una superficie
muy fina de níquel, obteniendo una figura de difracción similar a la que se obtiene por
difracción de rayos X y a partir de la que podía calcularse la longitud de onda asociada a
los electrones y que coincidía con la prevista por De Broglie.
Si dejamos caer un puñado de harina a través de una criba veremos como la mayoría de
las partículas siguen una trayectoria recta y solo las que choquen con los alambres se
desvían. El resultado sería un montón:
sin embargo cuando hacemos lo mismo con una onda el resultado como sabemos es
diferente, porque se obtiene una figura de difracción. Y eso mismo ocurre cuando se
lanza un haz de electrones contra una criba apropiada como es un cristal (la distancia
entre átomos es comparable a la longitud de onda), que hay lugares donde la intensidad
es máxima y otros donde es nula, dependiendo de que las ondas interfieran
constructivamente o no, es decir de que la diferencia de camino sea múltiplo entero de λ
o de λ/2.
La difracción a través de un cristal, como hemos visto, es la difracción de Laue, pero
también se puede obtener difracción por planos (difracción de Bragg) ya que los planos
del cristal reflejan los electrones como un espejo refleja la luz:
De Broglie, mediante su hipótesis pudo demostrar lo que hasta entonces nadie había
podido: El porqué las órbitas del modelo atómico de Bhor estaban cuantificadas, es
decir que solo eran posibles aquellas en las que el momento angular del electrón es un
múltiplo entero de h / 2π
h
l = rmv = n
n=1, 2, 3, ....
2π
De Broglie dijo que si el electrón lleva asociada una onda, solo podrá girar en aquellas
órbitas para las cuales la onda sea estacionaria, lo que solamente puede ocurrir cuando
la longitud de la circunferencia sea un múltiplo entero de λ, porque en caso contrario la
onda se autodestruiría por sucesivas interferencias:
2π r = nλ
Sustituyendo λ por el valor de De Broglie
Como es natural, en la curva de distribución de intensidad no hay electrones
amontonados y la curva debe interpretarse como la probabilidad de la presencia de ellos.
2π r = n
h
mv
⇒
rmv = n
h
2π
Una aplicación práctica de la dualidad onda–corpúculo es el microscopio electrónico
ideado por Müller. La limitación de un microscopio está en que no pueden resolverse
imágenes mas pequeñas que la longitud de onda de la luz que emplea. Cuando
empleamos luz del visible puede resolver hasta los 300 o 350 nm, así que no es posible
ver algo que mida menos de eso.
Los rayos X en principio podrían ser una solución, porque tienen longitudes de onda
entre 10 y 0,01nm, pero no valen porque son muy difíciles de enfocar y dan lugar a
imágenes muy borrosas.
Los electrones sin embargo cuando se aceleran mediante un campo eléctrico pueden
llegar a tener longitud de onda muy pequeñas, de hasta 0,001nm, (recuerda que de
acuerdo con la expresión de De Broglie la longitud de onda es inversamente
proporcional a la velocidad de los electrones λ = h / mv ) y los electrones son fáciles de
enfocar utilizando campos eléctricos y magnéticos, como se hace en los tubos de TV.
λp =
h
mp vp
λp
λe
λe =
=
h / 2m p Ec
h / 2m e Ec
=
me
mp
⇒ λp = λe
me
mp
⇒ λp < λe
h
mevp
Ejemplo E2B.S2007:
Un haz de electrones se acelera con una diferencia de potencial de 30 kV.
a) Determine la longitud de onda asociada a los electrones.
b) Se utiliza la misma diferencia de potencial para acelerar electrones y protones.
Razone si la longitud de onda asociada a los electrones es mayor, menor o igual a la de
los protones. ¿Y si los electrones y los protones tuvieran la misma velocidad?
h = 6,6 ·10–34 J s ; e = 1,6 ·10–19 C ; me = 9,1·10–31 kg
Ejemplo E4B.S2007 / E4B.S2008:
Razone si la longitud de onda de De Broglie de los protones es mayor o menor que la de
los electrones en los siguientes casos:
a) ambos tienen la misma velocidad.
b) ambos tienen el mismo momento lineal?
c) ambos tienen la misma energía cinética.
a) El trabajo eléctrico que hace la fuente sobre el electrón es igual a la carga del electrón
por la d.d.p. y teniendo en cuenta el teorema de las fuerzas vivas, será igual a la
variación de energía cinética:
Welectrico = q ⋅ V = ∆Ec
1,6 ⋅ 10 −19 30000 =
a) Como sabemos la masa del protón es mucho mayor que la masa del electrón (algo
más de 1800 veces mayor), por tanto si el protón y el electrón tienen la misma
velocidad la longitud de onda del protón será menor:
λp =
h
mpv
λe
λe =
=
h / mpv
h / me v
⇒
λp = λe
me
mp
⇒
λp < λe
h
mev
b) Si el protón y el electrón tienen el mismo momento lineal, ambos tendrán también la
misma longitud de onda asociada, ya que λ = h / p . Evidentemente, en este caso, como
p = m p v p = m e v e para que ambas partículas tengan el mismo momento lineal deben
tener distinta velocidad, porque tienen distinta masa.
c) Este ejercicio es básicamente como los anteriores
Ec = 12 mv 2 ⇒ 2mEc = (mv) 2 ⇒ mv = 2mEc
⇒
v = 1,03 ⋅ 108 m / s
y de acuerdo con De Broglie:
λ=
λp
1
9,1 ⋅ 10 −31 v 2
2
h
6,6 ⋅ 10 −34
=
= 2,07 ⋅ 10 −11 m
mv 9,1 ⋅ 10 −31 ⋅ 1,03 ⋅ 108
b) Puesto que los electrones y los protones tienen la misma carga en valor absoluto,
ambas partículas tendrán la misma energía cinética cuando se aceleren mediante la
misma ddp (aunque no la misma velocidad porque tienen distinta masa), y en tal caso,
como hemos razonado en el ejercicio anterior la longitud de onda de los protones será
menor.
También hemos razonado que si ambas partículas tienen la misma velocidad los
protones tendrán también menor longitud de onda.
Un microscopio electrónico utiliza un haz de electrones acelerados por un campo eléctrico
entre dos puntos entre los que existe con una diferencia de potencial de 10.000 V.
a) Calcular la longitud de onda asociada a dichos electrones.
b) Si el poder de resolución de un microscopio (capacidad para distinguir dos puntos
separados por una determinada distancia) es inversamente proporcional a la longitud de
onda empleada, calcular cuantas veces aumenta aumentará la resolución de un
microscopio electrónico frente al ordinario, que utiliza luz de 555 nm.
Datos: h = 6,67.10−34 J.s ; me = 9,1.10−31 Kg; e = 1,6.10−19 C.
PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG
a) Teniendo en cuenta que el campo eléctrico es un campo conservativo, y que por tanto
se conserva la energía mecánica, podemos poner que ∆Ep + ∆Ec = 0
Por otro lado, teniendo en cuenta que por definición, el trabajo que hace el campo para llevar
un cuerpo (en este caso una carga) de un punto a otro es igual a menos la variación de
energía potencial entre esos puntos: WA →B,campo = −∆Ep = −q´∆V , finalmente nos queda que:
En el mundo microscópico, sin embargo, los errores son más importantes. Supongamos
que existiera un supermicroscopio con el que fuera posible ver el átomo de hidrógeno.
Como el poder de resolución del microscopio depende de la longitud de onda empleada
y es mas o menos igual a ella, resulta que tendríamos que iluminar al átomo con una luz
q´∆V + ∆Ec = 0
1
sustituyendo: − 1,6 ⋅ 10 −19 *10 4 + 9,1 ⋅ 10 −31 v 2B − 0 = 0
2
de donde tenemos que la velocidad final de los electrones es vB = 5,93.107 m/s
La longitud de onda de De Broglie asociada a una partícula viene dada por:
λe =
h
6,67 ⋅ 10 −34
=
= 1,24 ⋅ 10 −11 m
m e v 9,1 ⋅ 10 −31 * 5,93 ⋅ 10 7
b) Si el poder de resolución (PR) es inversamente proporcional a la longitud de onda
empleada podemos poner que PR=k/λ, donde k sería la constante de proporcionalidad,
por tanto aplicando la ecuación al microscopio electrónico y el óptico y dividiendo
miembro a miembro tenemos que:
λ m.optico
PR m.electronico
555 ⋅ 10 −9
=
=
= 44758
PR m.optico
λ m.electronico 1,24 ⋅ 10 −11
Quiere decir que el microscopio electrónico tiene un poder de resolución casi de 45.000
veces superior que el microscopio óptico ordinario.
Como es de suponer, es imposible realizar una medida sin interaccionar de alguna
manera con el sistema a medir, por ejemplo si para medir la temperatura de un líquido
introducimos un termómetro en él, éste intercambiará calor con el líquido que manera
que cuando alcance el equilibrio no nos dará la temperatura a la que realmente estaba el
líquido. Pero claro el termómetro es muy pequeño y el error que introduce en la medida
es insignificante.
o
o
de aproximadamente λ = 1 A = 10 −10 m . Pero claro, un fotón de 1 A tiene una energía:
E = hν = h
c
3 ⋅ 10 8
= 6,6 ⋅ 10 −34 −10 = 1,98 ⋅ 10 −15 J = 12375 eV
λ
10
Si tenemos en cuenta que el potencial de ionización (energía necesaria para arrancarle
un electrón a un átomo) del átomo de hidrógeno es solo de 13,6 eV comprenderemos
que la interacción con el átomo sería tan grande que de ninguna manera podríamos verlo
como es en estado normal.
El principio de incertidumbre formulado por Wrener Heisenberg dice que “es imposible
conocer con exactitud y a la vez la posición y el momento lineal de una partícula.
Cuanto mayor sea la sea la precisión con que conocemos su posición, mayor será el
error con que podemos conocer su momento lineal y viceversa, de forma que el
producto de las incertidumbres siempre será mayor o igual que h/2π.”
∆x ⋅ ∆p ≥
h
2π
Esta incertidumbre nada tiene que ver con los instrumentos de medida, sino que es
intrínseca del hecho de medir.
Einstein extendió el principio de incertidumbre de Heisenberg a todas las parejas de
magnitudes conjugadas, es decir que tuvieran las mismas dimensiones que la posición
por el momento, es decir: ML2T–1, como ocurre con la energía y el tiempo, así que
también puede escribirse como:
h
∆E ⋅ ∆t ≥
2π
Ejemplo:
h
h
6,62 ⋅ 10 −34
⇒
∆x ≥
=
= 1,9 ⋅ 10 −9 m
2π
2π ⋅ ∆p 2π ⋅ 5,46 ⋅ 10 − 26
En el caso de la pelota:
∆v = 100 ⋅ 0,01 = 1m / s
∆x ⋅ ∆p ≥
a) Calcular la longitud de onda asociada a un electrón que se mueve de una placa a otra
de un condensador entre las que existe una ddp de 100 V
b) Calcular la longitud de onda asociada a una pelota de tenis de 100 g que se mueve
con una velocidad de 100 m/s. Compara los resultados obtenidos.
c) Si la velocidad del electrón y de la pelota estuvieran medidas con un error del 1%
¿Cuál es el error con que podría determinarse la posición del electrón y de la pelota?.
Compara los resultados.
a) La velocidad del electrón se calcula teniendo en cuenta que:
Welectrico = q ⋅ V = ∆Ec
1
⇒
1,6 ⋅10 100 = 9,1 ⋅ 10 −31 v 2
2
y la longitud de onda asociada:
−19
λ=
v = 6 ⋅ 10 6 m / s
−34
h
6,62 ⋅ 10
=
= 1,22 ⋅ 10 −10 m = 1,22 A
mv 9,1 ⋅ 10 −31 ⋅ 6 ⋅ 10 6
o
b) En el caso de la pelota, la longitud de onda asociada sería:
λ=
−34
o
h
6,62 ⋅ 10
=
= 6,62 ⋅ 10 −35 m = 6,62 ⋅ 10 − 25 A
mv
0,1 ⋅ 100
Como puede verse, la longitud de onda del electrón es comparable a la de los rayos X y
es del orden de las distancias interatómicas de los átomos en un cristal y por tanto es
apropiada para producir fenómenos de difracción y poner de manifiesto las propiedades
ondulatorias de la onda asociada al electrón.
Sin embargo, la longitud de onda asociada a la pelota de tenis es tan extremadamente
pequeña que en la naturaleza no existe nada comparable y por tanto, en la práctica,
resulta imposible poner de manifiesto la onda asociada a la pelota.
c) Supongamos ahora que las velocidades anteriores se han obtenido con un error del
1%. En el caso del electrón el error cometido habría sido de:
∆p = m∆v = 0,1 ⋅ 1 = 0,1Kg ⋅ m / s
∆x ⋅ ∆p ≥
h
2π
⇒
∆x ≥
h
6,62 ⋅ 10 −34
=
= 10 −33 m
2π ⋅ ∆p
2π ⋅ 0,1
Como vemos, en el caso del electrón la incertidumbre es del orden de las distancias
interatómicas, y por lo tanto es importante, pero en el caso de la pelota es absolutamente
despreciable porque no es ni siquiera del tamaño de un núcleo, es decir que a efectos
prácticos podríamos decir que sí podríamos determinar con precisión la posición de la
pelota.
En otras palabras, podemos decir que dada la pequeñez de la constante de Planck, la
incertidumbre en nuestro mundo macroscópico es despreciable, pero no ocurre así en el
mundo microscópico.
DETERMINISMO Y PROBABILIDAD
Como consecuencia del principio de incertidumbre de Heisenberg no podemos situar al
electrón en órbitas sencillas y bien definidas y además conocer su velocidad como
puede hacerse en el modelo de Bhor, que nos permite calcular el radio (posición) y la
velocidad (momento).
Schrodinger elaboró su mecánica cuántica ondulatoria partiendo de las ideas de De
Broglie y suponiendo que los estados estacionarios de los átomos corresponden a ondas
de materia estacionarias, a las que llamó función de onda ψ, que es una función de la
posición y del tiempo.
El significado de la función de onda ψ es probabilístico y nos da la probabilidad de
encontrar al electrón en un elemento de volumen dV:
P = ∫ Ψ 2 dV
V
∆v = 6 ⋅ 10 6 ⋅ 0,01 = 6 ⋅ 10 4 m / s
Así que el error con que habríamos medido el momento lineal sería:
∆p = m∆v = 9,1 ⋅ 10 −31 ⋅ 6 ⋅ 10 4 = 5,46 ⋅ 10 −26 Kg ⋅ m / s
así que:
Los valores de probabilidad oscilan entre 0 y 1. Es importante recalcar que ψ2 nos da
una medida de la probabilidad de encontrar al electrón en un volumen dado, es decir, no
donde está, sino donde es probable que esté, y por tanto no contradice el principio de
incertidumbre.
Supongamos el caso sencillo de una cuerda que está vibrando entre dos puntos. Como
es natural, esos dos puntos entre los que vibra serán nodos y además solo podrá vibrar
con unos determinados valores de λ, es decir que la longitud de onda está cuantizada ya
que solo puede tomar valores para los que la longitud de la cuerda sea siempre un
múltiplo entero de λ/2
λ
L=n
2
Por ejemplo, dos modos posibles de vibración de la cuerda serían:
EL NÚCLEO ATÓMICO. CONCEPTOS PREVIOS
1. El núcleo atómico está formado por protones y neutrones. A ambos se les llama
indistintamente con el nombre de nucleones y tienen las siguientes características:
protón
1,007597
Masa
referida al e−
1836
neutrón
1,008982
1838
Masa (uma)
En el caso de una partícula encerrada entre esas paredes, la ecuación de esas ondas es la
que se representa por ψ, y la probabilidad de encontrar a la partícula entre esas paredes
viene dada por ψ2:
Como puedes ver, para n=1 es más probable que la partícula se encuentre en el centro,
sin embargo una interpretación clásica daría la misma probabilidad en cualquier lugar.
Aplicando estos mismo conceptos al átomo se obtienen unas regiones de máxima
probabilidad de encontrar al electrón que se llaman orbitales.
Carga (C)
+1,6.10
−19
Carga
referida a e−
+1
0
0
Símbolo
1
1
1
0
p
n
Hoy día sabemos que de las tres partículas elementales que inicialmente se pensaba que
formaban los átomos, solamente lo es el electrón. Los protones y neutrones a su vez
están formados de otras partículas elementales llamadas quarks.
La Unidad de Masa Atómica (uma) se define como la doceava parte de la masa del
isótopo 12 del carbono:
Para hallar el equivalente de la uma y el Kg recordemos que 1 mol de carbono 12 tiene
una masa de 12 gramos y contienen un número de Avogadro de átomos, es decir que:
1 mol de át.de C12 −−− tiene una masa de 12 gr −−−− contiene 6,023.1023 át.de
C
12
por tanto, la masa de 1 solo átomo de carbono será:
C12 =
0,012
= 1,99 ⋅ 10 − 26 Kg
6,023 ⋅ 10 23
y la uma, que es la doceava parte del C12 sería:
1uma =
C12
= 1,66 ⋅ 10 − 27 Kg
12
Número atómico (Z): Es el número de protones de un núcleo y es el que nos define al
elemento químico. (Un átomo en estado normal tiene igual número de protones y
electrones. Si pierde o gana electrones se convierte en un ión positivo o negativo del
mismo elemento, pero si perdiera o ganada un protón se transformaría en otro elemento
distinto, el anterior o posterior en la tabla periódica.)
Número másico (A): Es el número de protones y neutrones, es decir el número de
nucleones.
De acuerdo con esto, es evidente que el número de neutrones de un núcleo será:
N = Z−A
Lo núcleos se representan con el símbolo del elemento y un número en la parte inferior
que indica el número atómico (que es informativo, porque realmente es redundante) y
otro número en la parte superior que indica su masa:
A
Z
A
X AZ
X
ZX
Isótopos: Son aquellos núcleos que tienen el mismo número de protones, y por tanto
definen al mismo elemento, pero difieren en el número de neutrones y por tanto tienen
distinta masa. Tienen igual Z y distinto A. El hidrógeno tiene tres isótopos:
m = A ⋅ 1,66 ⋅ 10 −27 Kg
•
El volumen:
4
4
πR 3 = π ⋅ R 3o A = 7,24 ⋅ 10 − 45 A m3
3
3
V=
•
La densidad sería:
ρ=
m A ⋅ 1,66 ⋅ 10 −27
=
= 2,29 ⋅ 1017 Kg / m 3
V 7,24 ⋅ 10 − 45 A
Hay que fijarse en lo grande que es la densidad nuclear. Para que te hagas una idea,
imagina que la cabeza de un alfiler de 1mm de diámetro estuviera formada de material
nuclear, entonces:
4
m = Vρ = π(0,5 ⋅ 10 −3 ) 3 ⋅ 2,29 ⋅ 1017 = 1,2 ⋅ 108 Kg
3
Es importante recordar que las propiedades químicas de los elementos vienen
determinadas por la disposición de los electrones de la última capa, así pues todos los
isótopos de un elemento se comportan químicamente igual y en este aspecto son
indistinguibles. Sin embargo tienen distintas propiedades físicas, empezando porque
tienen distinta masa y porque no todos tienen la misma estabilidad.
2. Carga. En el núcleo se encuentra concentrada toda la carga positiva del átomo, debida
a los protones.
3. Masa. Es evidente que en el núcleo está concentrada casi la totalidad de la masa del
átomo, puesto que la masa de los electrones es muy pequeña. El 99,9% de la masa del
átomo corresponde al núcleo.
4. Dimensiones. Se puede considerar al núcleo como una espera de radio del orden
de 10−15 metros.
10−15 m = 1 Fermi (fm)
Experimentalmente se ha deducido que el radio del núcleo de un átomo es proporcional
a su masa A, de acuerdo con la siguiente expresión:
R = Ro 3 A
donde Ro es una constante cuyo valor es 1,2.10−15 m.
No confundas el volumen del núcleo (que crece proporcionalmente al número de masa),
con el volumen del átomo, que no sigue esa proporción, porque influyen los electrones.
5. Densidad. La densidad nuclear es muy elevada y es independiente del número
másico. Si suponemos el núcleo como una esfera y teniendo en cuenta que:
•
La masa de un átomo cualquiera es m=A umas, en Kg sería:
Lo que quiere decir que la cabeza del alfiler tendría una masa de 120 millones de Kg.
Una densidad tan elevada nos indica además que los nucleones se encuentran muy
compactos y que, por el contrario, la materia macroscópica está prácticamente vacía.
FUERZAS NUCLEARES
Los protones del núcleo ejercen mutuamente entre sí fuerzas de repulsión electrostática,
sin embargo, los núcleos atómicos son entidades muy estables. De ello se deduce que en la
escala nuclear deben existir otro tipo de fuerzas que mantengan la cohesión del núcleo y
que son de naturaleza diferente a las gravitatorias y a las electromagnéticas conocidas en el
mundo macroscópico.
Estas fuerzas, responsables de que se mantengan unidos los nucleones, se denominaron
fuerzas nucleares fuertes o de corto alcance. Tienen las siguientes características:
1. Son de muy corto alcance. Quiere decir que solo se manifiestan a distancias muy
pequeñas, del orden de 1 fm (1Fermi=10−15m)
•
•
Al aumentar la distancia disminuyen muy rápidamente. A una distancia de 2fm
ya se hacen 10 veces más pequeñas.
A distancias menores de 1fm de repente se vuelven repulsivas
2. Son muy intensas. Las fuerzas nucleares en su radio de acción son 1000 veces
mayores que las eléctricas y millones y millones de veces mayores que las gravitatorias.
de las fuerzas electromagnéticas las partículas mediadoras serían los fotones y en el
caso de la interacción fuerte los gluones.
MODELOS NUCLEARES
Existen varios modelos, aunque ninguno es definitivo, son complementarios:
3. Las fuerzas nucleares son independientes de la carga, esto quiere decir que tienen
lugar indistintamente entre p−p, n−n y p−n
Modelo de la gota líquida: Este modelo fue propuesto por Bohr y considera el núcleo
formado por protones y neutrones mezclados al azar como las moléculas en una gota de
agua, de manera que cada partícula interacciona solo con las que tiene alrededor, y las
de la superficie al no compensar todas las fuerza crearían una especie de tensión
superficial que las mantendría unidas en forma de esfera:
Explicación teórica: Se debe al físico japonés Hideki Yukawa, quién supuso que de la
misma manera que dos jugadores de ping−pong se lanzan la pelota y es ella la que los
mantiene unidos, las fuerzas que mantienen unidos a los nucleones son debidas al
intercambio de una partícula que llamó mesón, porque según sus cálculos teóricos su
masa estaría entre la del electrón y la del protón.
Frank Powell en 1950 recibió el Nóbel por el descubrimiento de unas partículas de masa
300 veces la del electrón. Eran los mesones π o piones predichos por Yukawa, quien
también recibió el Nóbel por dicha predicción.
Según el modelo de Yukawa un protón expulsa un pión+ y se transforma en neutrón y
viceversa.
p ⇔ π+ + n
También puede ocurrir que un neutrón expulse un pión– y se transforme en protón y
viceversa:
n ⇔ π− + p
Esquemáticamente se podría ilustrar de la siguiente forma:
Su fundamento se basa en que:
•
•
La densidad casi uniforme de todos los núcleos de los elementos, que es el del
orden de 1017 Kg/m3. De la misma manera que la densidad en cualquier punto de
una gota es la misma.
La energía total de enlace es proporcional a su masa, de la misma manera que el
calor de vaporización de un líquido es proporcional a su masa
∆E
≈ Cte.
A
El modelo explica:
•
•
•
Que la densidad nuclear sea casi igual para todos los núcleos
La emisión de partículas α de una manera parecida a la evaporación, es decir,
cuando los nucleones, mediante choques, adquieren energía suficiente para
vencer la barrera nuclear.
Las reacciones de fisión, suponiendo que al entrar una partícula nueva en el
núcleo, puede romper la armonía y dividirse en dos fragmentos.
Modelos de capas concéntricas: Fue ideado en 1950 por Mayer y supone que los
nucleones están situados en capas o niveles de energía dentro del núcleo, de forma
parecida a como los electrones están colocados en la corteza en el modelo de Bohr.
Se basa en el hecho de que los núcleos con un número de protones o neutrones igual a 2,
8, 20, 28, 50, 82 o 126, presentan una gran estabilidad. Correspondería con capas que
están completas de protones y/o neutrones, como pasa con los niveles de electrones de
un átomo. A esos números se les llama números mágicos.
La actual teoría del Modelo Estándar, mediante la que se trata de unificar todas las leyes
físicas, explica las fuerzas como el resultado del intercambio de partículas por parte de
las partículas de materia, conocidas como partículas mediadoras de la fuerza. En el caso
Ambas teorías, actualmente se combinan en el modelo colectivo
ENERGÍA DE ENLACE Y DEFECTO DE MASA.
En la gráfica puede observarse lo siguiente:
•
La masa de un núcleo puede determinarse experimentalmente con gran precisión
mediante el espectrógrafo de masas y resulta que siempre es inferior a la masa teórica
que resulta de sumar los protones y neutrones que lo constituyen.
•
A la diferencia entre la masa teórica y la masa experimental se le llama defecto de masa:
•
∆m = m teórica − m exp erimental
[
]
∆m = Z ⋅ m p + ( A − Z)m n − m exp erimental
A la energía que corresponde a esta pérdida de masa, de acuerdo con la relación de
Einstein E = mc 2 , se le llama energía de enlace o de cohesión y representa la energía
que se desprendería al formarse el núcleo a partir de sus componentes y por tanto sería
la energía mínima que tendríamos que aportar para romperlo.
Como consecuencia, la energía de enlace nos puede dar una idea de la estabilidad del
núcleo. Sin embargo lo que pasa es que la energía de enlace es tanto mayor cuanto
mayor es el número de nucleones de un núcleo y por lo tanto no se puede emplear a
título comparativo, y es por eso que se define energía de enlace por nucleón, como la
energía de enlace de un núcleo dividida por el número de nucleones que tiene:
∆E
A
La energía de enlace por nucleón sí sirve para comparar relativamente la estabilidad de
los diferentes núcleos. Si representamos la energía de enlace por nucleón en función del
número de nucleones de los diferentes núcleos obtendremos una gráfica como la de la
figura:
Cuanto mayor es la energía de enlace por nucleón mayor es la estabilidad del
núcleo
Los núcleos más estables son los que tienen un número de masa (A) entre 40 y
80, y entre ellos el Fe56 es de los más estables.
Se explica que se libere energía cuando se unen dos núcleos ligeros para formar
otro más pasado (Fusión) o cuando un núcleo pesado se divida en dos más
ligeros (Fisión). De ambas reacciones trataremos más adelante.
Ejemplo:
La masa atómica del isótopo 147 N es 14,000109 u.
a) Indique los nucleones de este isótopo y calcule su defecto de masa.
b) Calcule su energía de enlace y la energía de enlace por nucleón.
c = 3,0·108 m s−1 ; 1 u = 1,67·10−27 kg ; mp = 1,007276 u ; mn = 1,008665 u
a) Como el número atómico es 7, quiere decir que tiene 7 protones, y si el número de
masa (p+n) es 14, quiere decir que tiene 7 neutrones, por tanto su masa teórica será:
m teórica = 7m p + 7 m n = 7 ⋅ 1,007276 + 7 ⋅ 1,008665 = 14,111587umas
∆m = m teórica − m exp erimental = 14,111587 − 14,000109 = 0,111478umas
en Kg sería:
∆m = 0,11478 ⋅ 1,67 ⋅ 10 −27 = 1,86168 ⋅ 10 −28 Kg
b) La energía de enlace, de acuerdo con la expresión de Einstein será
∆E = ∆m ⋅ c 2 = 1,86168 ⋅ 10 −28 (3,0 ⋅ 10 8 ) 2 = 1,67551 ⋅ 10 −11 J
dividiendo por la carga del electrón, la podemos expresar en unidades de eV
∆E =
1,67551⋅ 10 −11
= 1,04719 ⋅ 10 8 eV = 104,719MeV
1,6 ⋅ 10 −19
La energía de enlace por nucleón, que es el valor que sirve para comparar la estabilidad
∆E 104,719
de unos núcleos con otros, sería:
=
= 7,48MeV que como vemos
A
14
corresponde al valor que se representa en el gráfico.
ESTABILIDAD NUCLEAR
•
La estabilidad nuclear es el equilibrio entre las fuerzas de repulsión eléctrica de los
protones y la fuerza atractiva nuclear de corto alcance que experimentan los protones y
neutrones del núcleo. La relación entre el número de protones (Z) y neutrones (N) es por
lo tanto clave para la estabilidad del núcleo.
Supongamos, por ejemplo, el caso del circonio (número atómico Z=40) que tiene isótopos
desde A=78 hasta A=110. Vamos a pintar en negro todos isótopos más o menos estables que
tiene: 90 Zr , 91 Zr , 92 Zr , 93 Zr , 94 Zr y 96 Zr . El resto de isótopos son inestables y los que
tienen mayor número de masa (desde el A=97 hasta el A=110) los vamos a pintar en azul,
mientras que los que tienen menos neutrones (desde A=78 hasta el A=89) los pintaremos en
rojo.
Si hacemos lo mismo con todos los elementos podremos obtener una gráfica de todos
los átomos donde representamos el número de neutrones en función del número de
protones:
Llega un momento en que la acumulación de cargas positivas en un volumen tan
pequeño hace que no pueda contrarrestarse por una simple adición de neutrones
y así los elementos superiores al 209
83 Bi son inestables y ello se traduce en la
emisión espontánea de partículas con objeto de acercarse a configuraciones más
estables. A este proceso se le llama radioactividad.
RADIACTIVIDAD NATURAL
Como hemos dicho, los núcleos correspondientes a átomos con número atómico superior
a 83 son inestables y pueden fragmentarse de manera espontánea en otros núcleos más
ligeros. Este proceso natural, que se llama radiactividad, no es más que una reacción
nuclear en la que el núcleo padre trata de estabilizarse emitiendo partículas y emitiendo
energía.
La emisión de energía se debe a que la suma de las masas de los núcleos resultantes de
la reacción (hijos) es menor que la de los núcleos originales (padres), de manera que la
diferencia de masa detectada se convierte en energía, y esa energía se manifiesta en
energía cinética de los núcleos hijos y en radiación electromagnética (fotones γ).
Las radiaciones emitidas por un núcleo inestable natural son de tres tipos:
•
•
Partículas α, que son núcleos de helio (formados por 2 p y 2 n)
Partículas β, que son electrones. En el núcleo no hay electrones, pero se forman
por transformación de un neutrón en un protón + electrón y más otra partícula
llamada antineutrino, de la que ya hablaremos.
n → p+ + e− + ν
•
o bien
1
o
n → 11 p + −10 e + ν
Radiación γ que son fotones de energía E = hν
La carga de las tres clases de partículas puede ponerse de manifiesto con un campo eléctrico:
•
•
•
Los núcleos más estables son los que aparecen dibujados como puntos negros
Para los núcleos ligeros la estabilidad nuclear se consigue con un número de protones
y neutrones similar. Como puede verse la curva se confunde con la recta N=Z
A medida que aumenta el número atómico hay una tendencia a aumentar el
número de neutrones, precisamente para atenuar las fuerzas repulsivas entre
protones, pudiendo llegar en los núcleos más pesados a que N/Z=1,5, es decir a
que tengan 3 neutrones por cada dos protones.
Las transformaciones que tienen lugar en un núcleo inestable se recogen en las leyes de
Soddy y Fajans:
1. Cuando un núcleo emite partículas α se transforma en otro núcleo en el que suma es
4 unidades más pequeña y su número atómico 2 unidades menor (dos lugares antes en la
tabla periódica). Ejemplo:
238
92
U→ 23490Th + 42 α + Energía
La desintegración α es propia de los núcleos pesados y con ella tienen a convertirse en
núcleos que se acerquen más a la curva de estabilidad.
2. Cuando un núcleo emite una partícula β se transforma en otro que aunque tiene la
misma masa (son isóbaros) tiene un número atómico 1 unidad mayor (es el siguiente en
la tabla periódica). Ejemplo:
0
Th → 234
91 Pa + −1 β + Energía
234
90
Este tipo de emisiones tiene lugar en los núcleos con demasiados neutrones. Son los que
están por encima de la curva de estabilidad, los dibujados en azul en la gráfica de
estabilidad. Fíjate que en realidad lo que hace es cambiar un neutrón por un protón
( n → p+ + e− + ν )
3. La emisión de un rayo γ no altera ni la carga ni la masa del núcleo. Ocurre cuando un
núcleo se encuentra en estado excitado y se estabiliza emitiendo un fotón de energía hν.
El proceso es similar al que tiene lugar con los electrones de la corteza, solo que aquí
los fotones emitidos son de mucha mayor energía, ya que como sabes los rayos γ son los
de mayor frecuencia del espectro electromagnético. Generalmente la radiación γ
acompaña a las emisiones de partículas α y β.
Además de las anteriores emisiones radiactivas se han observado otras dos más: la
emisión de positrones y la captura de electrones.
La emisión β+ es propia de los núcleos con un exceso de protones en relación con el
número de neutrones. En este caso lo que ocurre es que un protón del núcleo se
transforma en un neutrón, un positrón y un neutrino:
p+ → n + e+ + ν
o bien
1
1
p →10 n + +10 e + ν
las partículas β+ por tanto son positrones, es decir, partículas en todo igual a los
electrones pero que tienen carga positiva.
debida al salto de un electrón de la capa de valencia hasta la primera capa para ocupar el
hueco que dejó el electrón capturado por el núcleo.
Todos los procesos de desintegración anteriores, al igual que cualquier reacción nuclear,
tienen lugar cumpliendo ciertas reglas:
•
•
•
•
•
El número de nucleones (A) se debe conservar
La carga eléctrica se debe conservar
La energía se debe conservar
El momento lineal se debe conservar
El movimiento angular (incluyendo el movimiento angular Spín) se debe
conservar.
Ejemplo:
a) Describa la estructura de un núcleo atómico y explique en qué se diferencian los
isótopos de un elemento.
b) Razone cómo se transforman los núcleos al emitir radiación alfa, beta o gamma.
c) Razone qué desviación sufren los distintos tipos de radiación al ser sometidos a un
campo magnético.
a) Teoría. Respecto a la estructura del núcleo debes explicar como las fuerzas de corto
alcance son capaces de mantener unidos los nucleones. Hacer una breve referencia a los
modelos nucleares y a la estabilidad nuclear en función de la relación de protones y
neutrones. Al referirte a los isótopos debes justificar el tipo de emisión previsible según
sea la relación de protones y neutrones.
b) Explica las leyes de Soddy y Fajans
c) Si en lugar de establecer un campo eléctrico sometemos los tipos de radiación que se
producen en un proceso de desintegración a un campo magnético también podremos
separarlos puesto que las partículas α y β tienen carga distinta:
En este caso el nuevo núcleo tiene la misma masa y su número atómico disminuye en
una unidad (se ha cambiado un protón por un neutrón) y es el tipo de emisión que tienen
lugar en los núcleos dibujados en rojo en la gráfica de estabilidad nuclear.
Captura electrónica, llamada también captura K, es la que tiene lugar en algunos
núcleos en los que, como en el caso de la emisión β+, tienen un exceso de protones y
pueden capturar uno de sus electrones de la capa más interna y en tal caso reemplazan
un protón por un neutrón, según:
p+ + e− → n + ν
En este caso, aunque el resultado sea el de un átomo con un protón menos, lo mismo
que en la emisión β+, el proceso es diferente y además en este caso la energía que se
emite es menor y corresponde solo a un rayo X en lugar de a un rayo γ. Esta energía es
Como puede verse en la figura, aplicado la regla de la mano izquierda, la fuerza
magnética que actuaría sobre las partículas α y las partículas β tiene sentido contrario
r
r
porque, aunque se mueven en el seno del mismo campo B y con la misma velocidad v ,
tienen distinta carga.
Sin embargo el radio de sus trayectorias no es el mismo, ya que desde el punto de vista
de un SRNI, teniendo en cuenta que la fuerza normal o centrípeta, en este caso es la
fuerza magnética de Lorentz, el radio de la trayectoria será:
F=m
v2
= qvB
R
⇒
R=
mv
qB
Suponiendo que las partículas α y β salgan disparadas con la misma velocidad, tienen
masa y carga distinta. Así que:
•
•
•
La carga de las partículas α (núcleos de helio) es positiva y doble que la de las
partículas β (electrones)
La masa de las partículas α, al estar formada por 2 protones y dos neutrones, es
aproximadamente 4*1800=7200 veces mayor que la de las partículas β
Por tanto, como puede entenderse el radio de la trayectoria de las partículas α
será aproximadamente 3600 veces mayor, lo que quiere decir que aun en el caso
de que ambas partículas tuviesen la misma carga, también podríamos separarlas
mediante un campo magnético. Precisamente ese es el fundamento del
espectrógrafo de masas.
Escribiendo la expresión anterior de otra forma:
dN
= −λ dt
N
si integramos y tenemos en cuenta que en el instante t=0 había No núcleos:
N
t
dN
= − λ dt
N t =∫0
No
∫
ln N
N
No
= −λ t
t
0
ln N − ln N o = −λ t
ln
N
= −λ t
No
N
= e −λ t
No
LEY DE LA DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA
Las leyes de la desintegración nuclear son de naturaleza estadística exponencial, eso
quiere decir que no es posible saber cuando se va a desintegrar un núcleo, solamente la
probabilidad de que ese proceso tenga lugar.
Supongamos que inicialmente, en el instante t, tenemos un número N de átomos
radiactivos, y supongamos que en el intervalo de tiempo dt se desintegran un número de
núcleos dN.
La velocidad de desintegración será –dN/dt donde el signo negativo indica que la
desintegraciones dan lugar a una disminución del número de núcleos iniciales. Como
cuanto mayor sea la muestra mayor será la probabilidad de que ocurra una
desintegración, es decir, que como la velocidad de desintegración es proporcional al
número de átomos existentes, se puede poner:
−
dN
= λN
dt
donde λ es una constante característica de cada elemento radiactivo llamada constante
de desintegración, y puede interpretarse como una medida de la rapidez con que se
desintegran los núcleos o más exactamente como una medida de la probabilidad de que
un núcleo se desintegre en la unidad de tiempo.
N = N o e −λ t
• La ley de desintegración radiactiva de de decaimiento exponencial por el signo
negativo del exponente.
• Como puede verse los elementos que tengan una λ elevada se desintegrarán
rápidamente y su vida media será pequeña ya que ambas magnitudes son recíprocas.
• Nos da el número de núcleos (N) que “probablemente” quedan después de un tiempo
(t) y viceversa. El resto de las magnitudes que aparecen (No y λ) son constantes.
Si representamos gráficamente el número de núcleos que quedan en función del tiempo:
Se llama periodo de semidesintegración T1 / 2 al tiempo necesario para que el número de
núcleos iniciales se reduzca a la mitad. Es decir que:
t = T1 / 2 ⇒
N=
No
2
sustituyendo en la ecuación de la ley de desintegración radiactiva tenemos que:
No
= N o e −λ T1 / 2
2
⇒
1
= e −λ T1 / 2
2
1
= −λ T1 / 2
2
⇒
ln
T1 / 2
ln 2
=
λ
⇒
ln 1 − ln 2 = −λ T1 / 2
Ejemplo:
En una muestra radiactiva hay 1020 átomos radiactivos. Si su periodo de
semidesintegración es de 3 años.
a) ¿cuántos átomos quedarán en la muestra después de 3 años?
b) ¿cuántos átomos quedarán en la muestra después de 1,5 años?
a) Obviamente, al cabo de un tiempo igual al periodo de semidesintegración, por
definición deben quedar la mitad de los átomos iniciales, así que:
t = T1 / 2 ⇒
N o 10 20
=
= 5 ⋅ 1019 átomos
2
2
N=
Lo que es fácil de comprobar aplicando la ley de la desintegración:
Se llama vida media (τ) al promedio de vida o tiempo de un núcleo, es decir, el promedio
del tiempo que un núcleo tarda en desintegrarse . Es la inversa de la constante de
desintegración:
τ=
N = N o e −λ t = N o e
1
λ
λ N = λ N o e −λ t
⇒
A = A o e −λ t
•
La actividad en el SI se mide en Rutherford (Rt), que es la actividad de una
sustancia en la que se desintegran 106 núcleos por segundo
La actividad también suele medirse en Curios (Ci). El curio es la actividad de
una sustancia en la que se desintegran 3,7.1010 núcleos por segundo.
1 Rt = 106 núcleos/s
1 Ci = 3,7.1010 núcleos/s
•
−
ln 2
3
3
= 5 ⋅ 1019 átomos
N = N o e −λ t = N o e
−
ln 2
t
T
= 10 20 e
−
ln 2
1, 5
3
= 7,07 ⋅ 1019 átomos
Como el número de átomos es proporcional a la masa (*), podríamos escribir la ley de
desintegración radiactiva como:
N = N o e −λ t
m = m o e −λ t = m o e
⇒
−
ln 2
t
T
sustituyendo:
Unidades de actividad:
•
= 10 20 e
Ejemplo:
Una muestra radiactiva de 20gr tiene un periodo de semidesintegración de 170 días.
¿Qué cantidad quedará después de una semana?
dN
ln 2
A=
= λN =
N
dt
T1 / 2
⇒
ln 2
t
T
b) Para cualquier otro valor de tiempo que no sea T1/2 debemos calcular el número de
átomos siempre aplicando la ley de la desintegración radiactiva, ya que como ves el
número de átomos y el tiempo no guardan una relación lineal, sino exponencial, así que
nada de reglas de tres.
Al valor absoluto de la velocidad de desintegración se le llama Actividad de la sustancia
(A). Como puede verse, la actividad de una muestra radiactiva es proporcional al número
de núcleos que haya en ese momento, ya que λ es una constante.
N = N o e −λ t
−
En medicina se utiliza la magnitud Exposición y se define como la carga eléctrica
producida por ionización del aire de 1 Kg de muestra radiactiva. Su unidad,
obviamente, será el Culombio/Kg, aunque suele medirse en Roentgen. 1 R=2,57.10−9
C/Kg
m = 20 e
−
ln 2
7
170
= 19,437gr
fíjate que no es necesario poner el tiempo en segundos, obviamente lo que sí debe estar
es en las mismas unidades en que se mida el periodo de semidesintegración.
(*) El número de átomos (N) es proporcional a la masa (m), siendo N =
m ⋅ N Av
Pat
1 mol de átomos −−− tiene una masa Pat gr −−−− contiene NAv át.
m gr −−−−−−−−−−− N át.
Ejemplo:
Una muestra de radio de 27,156 gr tiene una actividad de 1012 desintegraciones por
segundo. Calcular el número de Avogadro, sabiendo que el tiempo de
semidesintegración del radio es 1590 años y que el peso atómico del mismo es 226,1.
De acuerdo con la definición de velocidad de desintegración o actividad:
A=
dN
ln 2
= λN =
N
dt
T1 / 2
Para calcular el número de átomos de radio que hay en la muestra de 27,15 gr.
Tendremos en cuenta que en 1 mol de cualquier sustancia, en este caso de Ra, hay un
número de Avogrado de átomos, por tanto:
1 mol de át.de Ra −−− tiene una masa de 226,1 gr −−−− contiene NAv át.de Ra
27,15 gr −−−−−−−−−−−−−−−−−−− N át.de Ra
N=
n º gramos
N Av
P.Atómico
A=
ln 2 n º gr
⋅
N Av
T1 / 2 P.At
sustituyendo:
1012 =
ln 2
27,156
⋅
N Av
1590 ⋅ 365 ⋅ 24 ⋅ 3600 226,1
de donde:
N Av = 6,023 ⋅ 10 23 át/mol
(Fíjate que esta vez el tiempo lo hemos puesto en segundos, porque es la unidad en la
que nos han expresado la actividad de la muestra)
E4B.S2005
4. El núcleo radiactivo 232
92 U se desintegra, emitiendo partículas alfa, con un período de
semidesintegración de 72 años.
a) Escriba la ecuación del proceso de desintegración y determine razonadamente el
número másico y el número atómico del núcleo resultante.
b) Calcule el tiempo que debe transcurrir para que su actividad se reduzca al 75 % de la
inicial.
a) De acuerdo con las leyes de Soddy y Fajans, cuando un núcleo radiactivo emite una
partícula alfa (núcleo de helio) se transforma en otro de número atómico dos unidades
menor y de número de masa 4 unidades menos, por tanto el elemento sería el 22890Th
232
92
U→ 22890Th + 42 α
Como en todas las reacciones nucleares se conserva el número de nucleones
(232=228+4) y la carga (92=90+2). Además debe conservarse la energía relativista, el
momento lineal, angular y el spin.
b) La ley de desintegración nuclear es N = N o e − λ t . Teniendo en cuenta que la actividad
es en un momento determinado es proporcional al número de núcleos que quedan
(A=λN) podemos escribir que A = A o e − λ t . Sustituyendo, y teniendo en cuenta que:
• si la actividad inicial es Ao, cuando se reduzca un 75% la actividad final será un
25% de la actividad inicial, por tanto 0,25Ao
• la relación entre el periodo de semidesintegración y la constante de
desintegración: λ=ln2/T
N = N o e − λ t ⇒ A = A o e −λ t ⇒
0,25A o = A o e
−
ln 2
t
72
⇒ ln 0,25 = −
ln 2
t ⇒ t=150 años
72
FAMILIAS RADIACTIVAS NATURALES
APLICACIONES DE LOS ISÓTOPOS RADIACTIVOS
La radiactividad no es nada nuevo, en la naturaleza existen núcleos naturales que son
inestables, es decir radiactivos, y que por tanto se descomponen dando lugar a su vez a
otros, y estos a su vez a otros y así sucesivamente hasta que llegan finalmente a uno que
es estable, el resultado es toda una cadena llamada serie o familia radiactiva.
Aplicaciones en geología y arqueología:
En este caso se utilizan para fechar muestras, ya que la ley de desintegración radiactiva
permite relacionar la cantidad de núcleos radiactivos que tiene en la actualidad una
muestra geológica o arqueológica con los que había inicialmente:
Existen 3 familias radiactivas naturales que se nombran con el nombre del elemento que
las inicia o padre. Estas son; la del Uranio 238, la del Torio 232 y la del Actino 227.
Como ejemplo, en la familia radiactiva del 238U que se representa mas abajo, podemos
ver que el Uranio 238 emite una partícula α y se transforma en Torio. Este a su vez
emite una partícula β y se transforma en Protactinio, y así sucesivamente se va
desintegrando hasta finalmente llegar al Plomo 206 que es estable.
U→ 23490Th + α
238
92
Th →
234
90
234
91
Pa + β
N = N o e −λ t
Podemos despejar el tiempo: Tomando logaritmos neperianos:
ln
N
= −λ t
No
⇒
1
N
1 N
t = − ln
= ln o
λ No λ
N
y teniendo en cuenta la relación entre la constante de desintegración y el periodo de
semidesintegración (T1/2=1/λ) nos quedaría que:
t=
N
N
T
⋅ ln o = 1,44 T ln o
ln 2
N
N
Como vemos, conociendo el periodo de semidesintegración de la sustancia radiactiva, si
medimos el número de átomo iniciales de la muestra y conocemos los en la actualidad
tiene una muestra igual, podemos saber el tiempo transcurrido.
En arqueología se utiliza como reloj el Carbono 14, porque su tiempo de vida es
comparable al tiempo a medir. El Carbono 14, que es radiactivo, se forma por la acción
de los rayos cósmicos a partir del Nitrógeno 14 existente en la naturaleza en la siguiente
reacción:
14
1
14
1
7 N + 0 n→ 6 C +1 p
•
•
Cualquier ser vivo, al respirar, toma átomos de carbono 12 y de carbono 14, que
incorpora a su estructura (recuerda que los isótopos son indistinguibles
químicamente)
Naturalmente el 14C se va desintegrando por ser radiactivo, pero la proporción
de 14C y 12C se mantiene constante mientras está vivo debido al aporte ordinario
de CO2, donde existen ambos isótopos en proporción estable. El C14 se
descompone dando de nuevo nitrógeno, una partícula β y un neutrino, según la
reacción:
14
6
•
C→147 N + β + ν
Cuando el organismo se muere, el carbono 14 continúa desintegrándose como
siempre, pero ahora no hay aporte que reemplace los átomos perdidos, así que la
proporción de 14C y 12C se hace cada vez menor a medida que pasa el tiempo.
En geología, donde los tiempos que se miden son mucho más grandes se utiliza como
reloj el 235U ya que tiene una vida mucho mayor que el carbono 14.
Ejemplo:
radiactivo, lo que nos permite deducir, sin ninguna duda, que el oxígeno proviene del
agua.
Una muestra de madera recogida en la tumba de Ramsés II tiene una
actividad de 470 partículas/hora, mientras que la madera actual tiene una
actividad de 700 partículas/hora. Sabiendo que el periodo de
semidesintegración del C14 es de 5700 años ¿cuál es la época en la que
vivió este faraón?
Aplicaciones en Medicina:
Los radioisótopos se utilizan en medicina para diagnosticar enfermedades y también
para curarlas:
•
Habría que empezar por despejar el tiempo a partir de la ley de desintegración hasta
llegar a la expresión:
N
t = 1,44 T ln o
N
Teniendo en cuenta que el número de átomos en la muestra es directamente
proporcional a la actividad de la muestra, recuerda que A=λN, podemos poner que:
t = 1,44 T ln
Ao
700
= 1,44 ⋅ 5700 ⋅ ln
= 3.269 años
A
470
Ejemplo:
Una roca de uranio contiene un 2,2% de 235U y el resto 238U. Si se estima que
inicialmente los dos isótopos existían en la misma proporción, calcula la edad de la roca
sabiendo que el periodo de semidesintegración del 235U es de 109 años.
t = 1,44 T ln
No
50
= 1,44 ⋅ 10 9 ⋅ ln
= 4,5 ⋅ 10 9 años
N
2,2
4500 millones de años, que resulta un valor en consonancia con la edad de la tierra
estimada por otros procedimientos.
Aplicaciones en Biología y Química:
Los isótopos radiactivos se utilizan como trazadores con el objeto de dilucidar los
mecanismos de las reacciones y ello puede hacerse gracias al idéntico comportamiento
químico de todos los isótopos de un elemento, ya que las propiedades químicas no
residen en el núcleo del elemento sino en la disposición de los electrones de la última
capa.
Por ejemplo, en la reacción global del proceso de fotosíntesis que tiene lugar en las
plantas tenemos que:
6 CO2 + 6 H2O → C6H12O6 + 6 O2
La pregunta es ¿de donde proviene el oxígeno que se desprende? ¿del CO2 o del agua?.
Para contestar a esta pregunta no hay más que marcar el oxígeno de una de las dos
sustancias, por ejemplo se utiliza agua sintetizada con oxígeno 15 que es radiactivo.
Tras la reacción se puede comprobar que el oxígeno que desprende la planta es
•
•
Para ver el funcionamiento de órganos de difícil acceso. Así en cardiopatía se
inyecta al paciente con 137Ba y del seguimiento de las señales que produce se
puede ver el estado del corazón.
Para descubrir hemorragias internas, ya que allí donde las haya la actividad
radiactiva será mayor. Con el mismo fundamento se utilizan para detectar
escapes o roturas en los oleoductos. El primero en utilizarlos como trazadores
fue George de−Hevesy, quien recibió en Nóbel de medicina por sus
aportaciones.
En radioterapia para la destrucción de células cancerosas
Aplicaciones en Genética:
Debido a que la radiación puede producir mutaciones en el material genético de un
organismo, se utiliza en semillas para inducir cambios genéticos que resulten benéficos
para el cultivo como una mayor resistencia a alguna enfermedad específica, mejor
adaptación a ciertas condiciones ambientales, o un mayor rendimiento en las cosechas.
El problema es que no es posible controlar una irradiación para que sólo produzca
mutaciones beneficiosas, ni mucho menos escoger la característica que deseamos
modificar, por eso este tipo de experimentos son muy largos hasta conseguir mutaciones
que podrían ser beneficiosas. Actualmente, las mejores variedades de cebada, trigo,
arroz, etc. provienen de mutaciones inducidas.
También es muy importante los trabajos realizados para crear especies de insectos
incapaces de reproducirse. De esa forma se sueltan en lugares donde se quieren
exterminar y al aparearse con sus congéneres evitan que las plagas se sigan extendiendo.
Otras aplicaciones:
Debido al alto poder ionizante de la radiación γ, también se utilizan los radioisótopos
para la destrucción de gérmenes en materiales de uso médico y en la preservación de
alimentos.
DETECTORES
El fundamento de todos los medios de detección de partículas se basan en los efectos
ionizantes de las mismas.
Contador Geiger−Müller: Consiste en un filamento rodeado de un cilindro en el que hay
un gas como argón:
Cámara de niebla de Wilson: Este dispositivo es mas bien para ver las trayectorias de
las partículas que para medir la cantidad de radiación. Se basa en que los iones actúan
como núcleos de condensación del vapor de agua saturado.
Una cámara de niebla es simplemente una caja cerrada que contiene vapor de agua
superenfriado y supersaturado, lo que se consigue expandiéndolo con la ayuda de un
pistón una vez que se ha saturado de vapor.
Cuando una partícula cargada, de suficiente energía, interacciona con el vapor lo ioniza
y da lugar a pequeñas gotas de agua que dan lugar a una niebla, con lo que se produce
un rastro a lo largo de su trayectoria similar al de los aviones reactores, de esta forma
puede verse y fotografiarse.
Entre el filamento y el cilindro se establece una ddp elevada, pero insuficiente como
para producir una descarga del gas, de manera que por el circuito no circulará corriente.
Cuando incida la radiación sobre las moléculas de gas, éstas se ionizan y de esta forma
se establece una corriente a través de la resistencia que es proporcional a la cantidad de
radiación.
Como puede comprenderse, dado su funcionamiento, los contadores Geiger pueden
utilizarse para medir cualquier tipo de radiación ionizante, como por ejemplo las
partículas α, β y la rayos X y γ.
Detector de centelleo: Se basa en que cuando una partícula α choca contra una pantalla
de sulfuro de zinc se produce un pequeño destello luminoso. Contando el número de
destellos podemos saber el número de partículas emitidas por la muestra radiactiva.
Utilizando otras sustancias, en lugar del ZnS, se puede producir este mismo destello con
electrones, rayos X y radiación gamma.
En lugar de contar los destellos lo que se hace es convertirlos en una corriente eléctrica
utilizando una célula fotoeléctrica, y así la intensidad de la corriente que se produce nos
mide la cantidad de radiación recibida.
Cámara de burbujas de Glaser: Su funcionamiento es parecido al de la cámara de niebla
de Wilson, solo que aquí se utiliza un líquido a una temperatura justo por debajo de su
punto de ebullición.
Como sabemos, la temperatura de ebullición de un líquido depende de la presión, así
que si se disminuye la presión con la ayuda de un émbolo podemos conseguir que quede
justo a punto de hervir.
En estas condiciones, al entrar la radiación, los iones hacen de núcleos de ebullición, de
forma que puede verse y fotografiarse su trayectoria debido al rastro de burbujas que
van dejando.
La ventaja de la cámara de burbujas sobre la de niebla está en que en el líquido hay
muchísimas más moléculas que en el gas y por tanto la resolución de la trayectoria de
las partículas es muchísimo mayor.
BALANCE ENERGÉTICO MASA−ENERGÍA EN LAS REACCIONES
NUCLEARES
Las reacciones nucleares se producen normalmente bombardeando un núcleo A, que
sirve de blanco, con un proyectil a, como por ejemplo un neutrón, protón o núcleo de
helio, etc. El resultado es otro núcleo B, en su estado normal o excitado, y una partícula
b.
A+a → B+b
(Ec A + m A c 2 ) + ( Ec a + m a c 2 ) = ( Ec B + m B c 2 ) + (Ec b + m b c 2 )
es decir:
también se escribe abreviadamente:
Ec A + Ec a + (m A + m a − m B − m b )c 2 = Ec B + Ec b
Factor de reacción Q
A (a , b ) B
En una reacción nuclear, por tanto, hay una redistribución de los nucleones de los
núcleos por lo que dan lugar a átomos diferentes. Esta es una diferencia muy importante
con las reacciones químicas, en las que solo hay una redistribución de los átomos, con
lo que solo se obtienen moléculas diferentes, pero con los mismos átomos)
El factor de reacción (Q) corresponde a la energía desprendida en la reacción como
consecuencia de la transformación en energía, debida a pérdida de masa. Puede ser
positivo o negativo.
Q = (∑ m reactivos − ∑ m productos ) ⋅ c 2
•
La primera reacción nuclear la consiguió Rutherford bombardeando nitrógeno con
partículas α y dando lugar a oxígeno y un protón:
14
7
En las reacciones nucleares la perdida de energía que experimenta la partícula que
colisiona con el núcleo se invierte en formar un núcleo excitado que inmediatamente se
transforma en otro, o se divide, emitiendo partículas y radiación, dependiendo de la
energía de excitación. Así, la reacción anterior sería:
14
7
•
N + 42 α →178 O+11 p
N + 42 α→189* F→178 O+11 p
Muchas veces en las reacciones nucleares se suelen obtener isótopos que no existen en
la naturaleza, como por ejemplo:
238
92
U + 01 n → 239
92 U
Ejemplo:
Al bombardear el isótopo 10 del boro con un deuterón de una energía de 8,10 MeV se
produce un neutrón y un núcleo residual de carbono 11, que sale formando un ángulo de
45,1º.
a) Escribir la reacción que tiene lugar
b) El factor de la reacción.
c) Si el neutrón producido tienen una energía de 13,0 MeV ¿Cuál será su dirección?
DATOS: Masas atómicas: B10=10,0161, H2=2,0147, n=1,0090, C11=11,0149
1 uma=1,66.10−27Kg, Carga e− =1,6.10−19C
a)
Las reacciones nucleares pueden considerarse como procesos de choques elásticos entre
partículas, en los que deben conservarse las siguientes magnitudes:
•
•
•
•
•
El número de nucleones (A) se debe conservar
La carga eléctrica se debe conservar
La energía se debe conservar (*)
El momento lineal se debe conservar
El movimiento angular (incluyendo el movimiento angular Spín) se debe
conservar.
(*) La conservación de la energía debe escribirse en términos de conservación
relativista. Por ejemplo, suponiendo la reacción A(a,b)B y que inicialmente el núcleo A
se encuentra en reposo se escribiría como:
En el caso de que Q sea positivo la reacción ocurrirá para cualquier energía
cinética del proyectil.
En el caso de que Q sea negativo el proyectil deberá tener una energía cinética
umbral para producir la reacción.
10
5
B+ 21 H→116 C+ 01 n
b) Para calcular el factor de reacción primero vamos a calcular la pérdida de masa que
tiene lugar en la reacción y lo luego vemos a qué energía equivale de acuerdo a la
ecuación de Einstein:
∆m = ∑ m reactivos − ∑ m productos = 10,0161 + 2,0147 − 11,0149 − 1,0090 = 0,0069 umas
Antes de calcular su equivalencia en energía debemos pasar la masa de umas a Kg, de
esa manera la energía la obtendremos en Julios.
por tanto:
0 = 2m n Ec n senα − 2m C Ec C senβ
0 = 2 ⋅ 1,0090 ⋅ 13,0 senα − 2 ⋅ 11,0149 ⋅ 1,53 sen 45,1
⇒
α = 53,4º
∆m = 0,0069 ⋅ 1,66 ⋅ 10 −27 = 1,1454 ⋅ 10 −29 Kg
Así la el factor de reacción, o energía debida a la pérdida de masa de la reacción es:
En la reacción puede verse como, además, se conserva la carga (5+1=6+0) y también
se conserva el número de nucleones (10+2=11+1)
Q = ∆m ⋅ c 2 = 1,1454 ⋅ 10 −29 (3 ⋅ 10 8 ) 2 = 1,0309 ⋅ 10 −12 Julios
Ejemplo:
en MeV:
1,0309 ⋅ 10 −12
Q=
= 6,43 ⋅ 10 6 eV = 6,43MeV
1,6 ⋅ 10 −19
c) Para calcular la trayectoria de rechazo del neutrón, teniendo en cuenta que la reacción
nuclear puede considerarse como un choque elástico entre partículas, no hay mas que
aplicar las ecuaciones de conservación del momento lineal y de la energía:
r
r
r
r
pB + pH = pC + pn
Ec B + Ec H + Q = Ec C + Ec n
De la segunda ecuación se puede calcular la EcC sustituyendo el resto de los valores en
MeV tenemos:
⇒
EcC=1,53 MeV
8,10+6,43=13,0+EcC
Para producir la reacción nuclear Mg24(α,p)Al27 se aceleran las partículas α mediante
un ciclotrón que tienen unas D de 1m de radio y están sometidas a un potencial de
10000senωt voltios, estando sometido a un campo magnético de 1 tesla.
a) Calcular la velocidad y la energía que adquieren las partículas α
b) Factor de reacción. ¿la reacción es posible?
c) Cuantas vueltas da la partícula α en el ciclotrón antes de salir?
d) Que tiempo tarda en dar esas vueltas?
DATOS: Masas: mMg=23,9924, mα=4,0026, mAl=26,9899, mp=1,0076
1uma=1,66.10−27Kg, e=1,6.10−19C
a) La velocidad de salida, que depende del radio del ciclotrón es, teniendo en cuenta que
desde el punto de vista de un SRNI, la fuerza centrífuga del electrón la compensa la
fuerza magnética:
A partir de la conservación del momento lineal podemos escribir una ecuación para cada eje:
F=m
v=
v2
= qvB
R
⇒
v=
qBR
m
2 ⋅ 1.6 ⋅ 10 −19 ⋅ 1 ⋅ 1
= 4,816 ⋅ 10 7 n / s
4,0026 ⋅ 1,66 ⋅ 10 − 27
Se ha tenido en cuenta que la carga de la partícula α
es dos veces la del electrón, positiva.
Eje X ⇒
Eje Y ⇒
m H v H = m n v n cos α + m C v C cos β
0 = m n v n senα − m C v C senβ
La energía que adquiere la partícula α, que será cinética es:
Ec =
Con una de las ecuaciones es suficiente para resolver el problema, aunque antes de
sustituir debemos calcular el módulo de la velocidad de cada partícula a partir del valor
de su energía cinética, aunque dado lo engorrosos de los números hay un camino más
corto:
1
mv = 2m Ec
Ec = mv 2
⇒
2
1
1
mv 2 = 4,0026 ⋅ 1,66 ⋅ 10 − 27 (4,816 ⋅ 10 7 ) 2 = 7,7 ⋅ 10 −12 Julios = 48,1MeV
2
2
(la masa hay que expresarla en Kg para que la energía salga en julios. Luego dividiendo
por la carga del electrón la podemos pasar a eV y si dividios por 106 serían MeV)
b) El factor de reacción es:
Q = ∆m ⋅ c 2 = ( m Mg + m α − m Al − m p ) ⋅ c 2
Q = ( 23,9924 + 4,0026 − 26,9899 − 1,0076) ⋅ 1,66 ⋅ 10 −27 ⋅ (3 ⋅ 10 8 ) 2
Q = −3,735 ⋅ 10 −13 Julios = −2,33MeV
Como vemos, el factor de reacción es negativo, lo que indica que la reacción no es
espontánea y se requiere de un proyectil, en este caso la partícula α, que tenga una
energía como mínimo superior a 2,33 MeV. Como la partícula α acelerada en el
ciclotrón ha alcanzado una energía igual a 48,1 MeV la reacción ocurrirá sin problemas.
c) La partícula α cada vez que pasa de una D a otra es acelerada por el campo eléctrico
creado por la ddp que hay entre las D, de acuerdo con:
REACCIONES DE FISIÓN Y FUSIÓN NUCLEAR. JUSTIFICACIÓN A
PARTIR DE LA CURVA DE ESTABILIDAD NUCLEAR
Fisión nuclear: Consiste en la división de un núcleo pesado, de aproximadamente
A=200, como el uranio o el torio, en dos fragmentos mas pequeños de tamaño
comparable.
El método normal para provocar una reacción de fisión es bombardear el núcleo pesado
con neutrones previamente acelerados, por ejemplo:
235
92
92
1
U + 01 n →141
56 Ba + 36 Kr + 3 0 n
En una reacción de fisión hay dos hechos importantes:
•
1
mv 2 = qV
2
por tanto, para obtener la energía cinética máxima debe atravesar x veces ese potencial,
de manera que:
1
mv 2max = qV ⋅ x
2
de donde:
mv 2 4,0026 ⋅ 1,66 ⋅ 10 −27 (4,816 ⋅ 10 7 ) 2
x=
=
= 2408
2qV
2 ⋅ 2 ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 ⋅ 10000
Se libera energía. En la gráfica de estabilidad nuclear en la que se representa la
energía de enlace por nucleón ( ∆E / A ) en función del número de masa (A)
puede observarse que la energía por nucleón de los núcleos de A=200 es del
orden de 7,5 MeV/nucleón, mientras que las de los fragmentos de A=100 es del
orden de 8,5 MeV/nucleón, que por tanto son más estables (se necesita más
energía para romperlos).
como cada vuelta que da la partícula atraviesa dos veces el potencial acelerador, el
número de vueltas que tienen que dar es la mitad:
n º vueltas =
x
= 1204 vueltas
2
Observa que la energía que adquiere la partícula proviene del potencial eléctrico. El
campo magnético simplemente provoca una fuerza normal a la velocidad y por tanto
solamente es responsable de que gire.
d) Precisamente el funcionamiento del ciclotrón se basa en que el periodo de rotación
de una partícula cargada en el interior de un campo magnético uniforme es
independiente del radio y de la velocidad:
T=
Quiere decir que, en términos generales hay un aumento de estabilidad de 1
MeV/nucleón y si el núcleo pesado tuviera A=200, es decir 200 nucleones, pues
ganaría una estabilidad de 200 MeV
2πR
2π ⋅ 1
=
= 1,305 ⋅ 10 −7 seg
v
4,816 ⋅ 10 7
Esta energía aparece en forma de calor y de energía cinética de los productos
finales.
como da 1204 vueltas, el tiempo que estará dentro del ciclotrón será t = 1,57 ⋅ 10 −4 seg
•
En la fisión se absorbe un solo neutrón, pero se producen un promedio de 2 o 3
neutrones. Esto sugiere la posibilidad de una reacción en cadena, si no se
controla, ya que cada nueva etapa se producirán mas fisiones, creciendo
exponencialmente y dando lugar a lo que sería una bomba atómica de fisión.
Si la reacción de fisión se controla, de manera que solo uno de los neutrones emitidos
produzca una nueva fisión y así sucesivamente, tendríamos una reacción autosostenida
que es lo que ocurre en las centrales de energía nuclear.
En el núcleo de un reactor nuclear se coloca el combustible nuclear, que puede ser
Uranio−235 o Plutonio−239, y entre este se sitúan unas barras de control de grafito
(moderador), que tiene la propiedad de absorber neutrones. Introduciendo más o menos
las barras se consigue acelerar o frenar la reacción.
Fusión Nuclear: Es un proceso inverso al de fisión. En este caso se forma un núcleo más
pesado a partir de dos núcleos más ligeros que chocan.
Como ejemplo vamos a ver las reacciones del ciclo protón−protón que tienen lugar en
las estrellas:
H 1 + H1 → H 2 + e + + ν
H 2 + H1 → He 3
He 3 + He 3 → He 4 + H1 + H1
Las dos primeras reacciones ocurren 2 veces, así que el ciclo en su conjunto produce un
átomo de helio a partir de cuatro protones. La energía que se desprende en el ciclo
(despreciando la masa del positón y la de su neutrino) sería:
E = ∆m ⋅ c 2 = ( 4 ⋅ 1,007597 − 4,002603) ⋅ 1,6610 −27 (3 ⋅ 108 ) 2 = 4,15 ⋅ 10 −12 J = 25,94MeV
Como podemos ver en la gráfica de estabilidad nuclear, la energía de enlace de los
elementos muy ligeros, como el hidrógeno, es menor que la de los más pesados que se
obtienen por fusión, en este caso el helio, que por tanto es mucho más estable en más de
6 MeV según se ve en la gráfica. (En este caso al intervenir 4 átomos de hidrógeno la
energía que se desprende es algo más de 24 MeV, exactamente 25,94 MeV.)
El problema de la fisión está en que para que choquen los dos núcleos deben vencer la
repulsión culombiana (barrera de Coulomb), y por tanto deben tener una cierta energía
cinética que les permita acercarse tanto como para que puedan actuar las fuerzas
nucleares de corto alcance (alrededor de 10−15 m).
(Este problema no existía en la fisión, ya que los átomos pesados se bombardean con
neutrones que al no tener carga no son rechazados por los núcleos que hacen de blanco.
Es más, en el caso de los neutrones el problema casi es el inverso, ya que si tuvieran una
energía cinética demasiado grande permanecerían muy poco tiempo cerca de los
núcleos disminuyendo así la probabilidad penetrar en ellos, por eso para la fisión se
utilizan neutrones lentos, llamados neutrones térmicos.)
Como puede verse en el esquema, la energía producida en el reactor, como
consecuencia de la fisión, calienta un líquido y éste en un cambiador de calor se utiliza
para generar vapor a presión que al chocar contra la turbina la hace girar.
La turbina hace girar una bobina en el seno de un campo magnético y como
consecuencia entre sus extremos se produce una corriente alterna.
La barrera de Coulomb puede entenderse si se compara con una cuesta. Para que una
bola suba la pendiente necesita una cierta energía cinética, pero una vez que se consigue
caería a un pozo con mayor estabilidad que la posición inicial. Aquí es lo mismo, a
grandes distancias los núcleos se repelen, pero si tienen una cierta energía cinética
pueden vencer esa barrera a una distancia ro y entonces ya se atraerían fuertemente.
La energía potencial correspondiente a dos cargas, en este caso dos núcleos de números
atómicos Z1 y Z2, separados una distancia de 10−14 m que es la distancia a la que
empiezan a actuar las fuerza nucleares de corto alcance sería:
Ep = K
Z Z (1,6 ⋅ 10 −19 ) 2
q ⋅ q´
= 9 ⋅ 10 9 1 2 −14
= 2,3 ⋅ 10 −14 Z1 Z 2 = 13855 ⋅ Z1 Z 2 MeV
r
10
Como vemos es enorme y, en todo caso, solo es razonable para núcleos muy ligeros, es
decir, de bajo número atómico Z.
Si la energía necesaria para poner en contacto los núcleos se le suministrara en forma de
energía cinética, teniendo en cuenta que la energía media de una partícula debido a su
temperatura es Ec = 3 2 kT donde k es la constante de Boltzman = 1,38.10−23 J/ºK, resulta
que para tener la energía calculada anteriormente debería tener una temperatura:
Ep = Ec
3
2,3 ⋅ 10 −14 Z1 Z 2 = 1,38 ⋅ 10 − 23 T
2
⇒
T = 1,1 ⋅ 10 9 Z1 Z 2 ºK
como puedes imaginar una temperatura del orden de 109 ºK (mil millones de ºK) es
muy elevada y por tanto la construcción de reactores de fusión presenta muchísimos
problemas de tipo práctico.
En la actualidad se está construyendo en Francia un prototipo que encierra el “plasma”
mediante un confinamiento magnético con forma toroidal, ya que es imposible construir
un confinamiento físico capaz de soportar esas temperaturas. No obstante, en las
estrellas, y por supuesto en el sol, ocurren reacciones de este tipo.
(El plasma, llamado también el cuarto estado de la materia, además de los tres
conocidos sólido, líquido y gas, es una especie de gas formado por electrones e iones
positivos debido a que por su elevada temperatura los átomos se han roto.)
A pesar del inconveniente de la gran energía que se requiere para iniciar las reacciones
de fusión y del inconveniente para conseguir un confinamiento adecuado, estas
reacciones presentan muchas ventajas sobre las de fisión y por lo tanto son un reto
importante a alcanzar
•
•
•
Son unas reacciones muy limpias, ya que prácticamente no producen residuos
radiactivos, al contrario que las de fisión donde los residuos son uno de sus
mayores problemas.
Tienen mayor rendimiento energético. En el ejemplo del ciclo protón−.protón
hemos visto que se producen 25,94 MeV para un desgaste de 4 umas de
combustible, mientras que en la de fisión teníamos 200 MeV para un desgaste de
200 umas.
Otra ventaja es la gran cantidad de materia prima, ya que hidrógeno y deuterio
hay en el agua del mar todo lo que se quiera, mientras que el uranio es limitado
y difícil de enriquecer a 235.
Al igual que ocurría en las reacciones de fisión, también aquí puede originarse una
reacción en cadena. En el caso de la fusión era porque para el inicio de cada reacción se
necesitaba un neutrón y en ella se producían dos o tres de manera que evolucionaría
exponencialmente. En la fusión ocurre parecido, solo que en este caso es la propia
energía producida en la reacción la que activaría nuevos núcleos para que la reacción
continúe. (Como ignición de una bomba de fusión se utiliza una bomba de fisión para
proporcionar la temperatura necesaria para iniciar los procesos de fusión.)
Ejemplo:
Las siguientes reacciones, llamadas ciclo del carbono, ocurren en el sol y son la causa
de la energía que radia:
C12 + H1 → N13
N13 → C13 + e+
13
C + H1 → N14
N14 + H1 → O15
O15 → N15 + e+
N15 + H1 → C12 + He4
Suponiendo que pudiésemos realizarlas de forma controlada en la tierra ¿Qué cantidad
de hidrógeno se necesitaría para abastecer de energía a nuestro país, suponiendo que el
consumo sea de 109 Kwh anuales?
DATOS: Masas: mH1=1,673.10−27Kg, mHe4=6,644.10−27Kg, me+=9,110.10−31Kg
Como puedes ver si sumas todas las reacciones, el C12 actúa simplemente de catalizador
ya que al final del ciclo se recupera, y el proceso se puede resumir en:
4 H1 → He4 + 2 e+
De acuerdo con la equivalencia masa−energía de Einstein la energía desprendida en la
reacción debido a la pérdida de masa es:
E = ∆m ⋅ c 2 = (4 ⋅ 1,673 ⋅ 10 −27 − 6,644 ⋅ 10 −27 − 2 ⋅ 9,110 ⋅ 10 −31 ) ⋅ (3 ⋅ 10 8 ) 2 = 4,222 ⋅ 10 −12 Jul
E = 4,222 ⋅ 10 −12 wat ⋅ seg = 4,222 ⋅ 10 −12 ⋅ 10 −3 Kw ⋅
h
= 1,173 ⋅ 10 −18 Kw ⋅ h
3600
Los 4 núcleos de H1 producen 1,173.10−18 Kwh, así que para obtener los 109 Kwh
necesarios necesitaríamos:
4 ⋅ 10 9
N=
= 3,41 ⋅ 10 27 átomosH1
1,173 ⋅ 10 −18
Teniendo en cuanta ahora que 1 mol de átomos de hidrógeno tiene una masa de 1 gr y
contiene un número de Avogadro de átomos (6,023.1023) podemos poner:
1 mol de át.de H −−− tiene una masa de 1 gr −−−− contiene 6,023.1023 át.de H
m −−−−−−−−−−−−−−−−−−− 3,41.1027 át.de H
m=
3,41 ⋅ 10 27
= 5661gr = 5,661 Kg de H
6,023 ⋅ 10 23
PARTÍCULAS ELEMENTALES. MODELO DE LOS QUARKS
Hasta el primer tercio del siglo XX se pensó que la materia era una combinación de
protones, neutrones y electrones en proporciones establecidas.
Hacia 1940 Yukawa, para poder explicar el origen de las fuerzas nucleares de corto
alcance, predijo la existencia en el núcleo de otras partículas que llamó mesones π.
En el estudio de las desintegraciones β vimos que se emitía una nueva partícula llamada
antineutrino
1
1
0
0 n →1 p + −1 e + ν
El estudio de la radiación cósmica ha sido un campo importante donde se han
descubierto muchas partículas elementales, sobre todo en los tiempos en los que no se
disponía de grandes aceleradores de partículas. En 1932 Anderson descubrió el positrón
estudiando la radiación cósmica con una cámara de niebla. El positrón e+ es una
partícula idéntica en todo al electrón, con la excepción de que tiene carga positiva. Se le
llama antipartícula del electrón.
Un proceso de producción de antipartículas es conocido como producción de un par y
puede ocurrir cuando un fotón de alta energía la pierde al chocar contra un núcleo:
Ejemplo:
Un positrón y un electrón se aniquilan al ponerse en contacto produciendo dos rayos γ
a) Cual es la energía de los fotones
b) Cual es su longitud de onda
DATOS: me=9,1.10−31Kg, h=6,626.10−34 J/s
a) Suponiendo que es despreciable la energía cinética inicial de las partículas, la energía
de los fotones provendrá exclusivamente de la masa de las partículas. Como las
partículas tienen la misma masa, la energía de cada fotón es:
E = mc 2 = 9,1 ⋅ 10 −31 (3 ⋅ 10 8 ) 2 = 8,19 ⋅ 10 −14 J
b) La longitud de onda de los fotones es:
E = hν = h
e − + e + → 2γ
Estos dos procesos son la prueba definitiva de la equivalencia masa−energía de
Einstein.
Todas las partículas tienen su correspondiente antipartícula, así para el protón existe el
antiprotón y para el neutrón existe el antineutrón aunque en este caso la diferencia no
radica en su distinta carga puesto que no tienen, sino en su spín, es decir en el sentido de
giro de las partículas sobre sí mismas:
⇒
λ=
hc 6,626 ⋅ 10 −34 ⋅ 3 ⋅ 108
=
= 2,42 ⋅ 10 −12 m
E
8,19 ⋅ 10 −14
Ejemplo:
Un fotón de 1,1 MeV se materializa produciendo un par electrón−positrón ¿Con qué
velocidad salen disparadas las partículas, supuesta igual para ambas?
Datos: me=9,1.10−31Kg, e=1,6.10−19C
γ → e− + e+
γ → e− + e+
Al proceso inverso se le llama aniquilación del par y consiste en que la partícula al
chocar con su antipartícula se aniquilan convirtiéndose sus masas en radiación:
c
λ
La energía del fotón es igual a energía que se invierte en materializarlas + la energía
cinética que adquieren, es decir:
E γ = 2mc 2 + Ec − + Ec +
sustituyendo, aunque teniendo en cuenta que hay que pasar los MeV a julios, y que la
energía cinética del electrón y del positrón son iguales por tener la misma velocidad:
1

1,1 ⋅ 10 6 ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 = 2 ⋅ 9,1 ⋅ 10 −31 (3 ⋅ 10 8 ) 2 + 2 9,1 ⋅ 10 −31 v 2 
2

de donde:
v = 1,14 ⋅ 10 8 m / s
Con los modernos aceleradores de partículas, que es donde se producen y detectan se
han llegado a conocer muchas otras, que se clasifican según su spín o según su
estructura:
los hadrones están constituidos por tres partículas más elementales denominadas quarks,
hoy día son 6 los quarks.
Los quarks tienen números cuánticos fraccionarios, en particular una carga eléctrica
igual a +2/3, −1/3, +1/3 representan por las letras de la palabra que les da nombre:
Fermiones
Según su spín
Bosones
Leptones
Según su estructura
Hadrones
(formados por
quarks)
• Partículas con spín semientero (s=1/2, 3/2)
• Cumplen el principio de exclusión de Pauli (no
puede haber 2 partículas en el mismo estado
cuántico con los 4 números cuánticos iguales)
• Son partículas con masa (En el Modelo
Estándar todas las partículas de materia son
fermiones)
• Son fermiones: e−, p+, n
• Partículas con spín entero (s=0, 1, 2)
• No cumplen el principio de exclusión de Pauli
(muchos fotones pueden estar en el mismo
estado cuántico como pasa en el láser)
• Son partículas sin masa, salvo los W y Z
• Son bosones: el fotón y el gravitón, los
bosones W y Z de la interacción débil, los
gluones de la interacción fuerte y el bosón de
Higgs
• Son fermiones de masa ligera (de ahí su
nombre)
• No poseen interacción fuerte
• Son leptones: e−, muón µ− , tauón τ− y los
neutrinos y sus correspondientes antipartículas
Mesones
• Tienen masa intermedia y su spin
es cero
• Interacción fuerte
• Son mesones: los piones π+ π− π0
, los kaones y sus antipartículas
Bariones
• Son fermiones de mayor masa
• Interacción fuerte
• Son bariones: p+, n, lambda Λ0 y
sus antipartículas
En los 60 había tal número de partículas elementales que Wolfgang Pauli llegó a decir
“si lo hubiera sabido me habría hecho biólogo” . En el año 1963 Gell−Mann e
independientemente el físico suizo Zweig propusieron una hipótesis, según la cual todos
Símb Nombre
Carga
Masa (GeV)
u
up (arriba)
+⅔
0,3
d
down (abajo)
−⅓
0,3
c
charm (encanto)
−⅓
0,5
s
strange (extraño)
+⅔
1,5
t
top (cima)
−⅓
4,5
b
bottom (fondo)
+⅔
175
Toda partícula se hace con la unión de estos quarks, y la interacción se realiza con el
intercambio de los bosones portadores de las fuerzas llamados gluones (pegamento).
Por ejemplo:
•
•
El neutrón está formado por la unión de los quark udd (uno up y dos down) y
estos se mantienen unidos gracias a un intercambio mutuo de gluones. Viendo
las propiedades de los quarks que lo componen tendremos las características del
neutrón, (carga eléctrica nula, y masa aproximada de 930 MeV).
El Protón está formado por los quark uud
Por tanto, las partículas elementales realmente serían los leptones y los quarks
FUERZAS FUNDAMENTALES
De acuerdo con el tipo de interacción en el que participan las partículas elementales, las
fuerzas de la naturaleza se clasifican en cuatro tipos, que en orden de intensidad son:
1. Interacción nuclear fuerte: Se llama también interacción hadrónica, porque en ella
intervienen los mesones y bariones. Es una fuerza de muy corto alcance, del orden de
1fermi=10−15m, decreciendo muy rápidamente para distancias mayores. Es la responsable
de mantener unidos a los protones y neutrones y por tanto de la estabilidad nuclear.
2. Interacción electromagnética: Es debida a las partículas con la carga eléctrica. Es
mucho menos fuerte que la nuclear fuerte, pero tiene mayor alcance.
3. Interacción nuclear débil: Es debida a todas las partículas. Tiene una distancia de
interacción algo mayor que las fuerzas de corto alcance, alrededor de 10−16m y es la que
explica la desintegración β y la de muchas otras partículas inestables.
4. Interacción gravitatoria: Es debida a las partículas con masa. Tiene un alcance
infinito, como la electromagnética. Es la más débil de todas y solo tiene importancia en
cuerpos con gran masa, pero es insignificante para las partículas elementales.
La moderna Teoría Estándar considera las interacciones entre dos partículas como
consecuencia del intercambio de unas partículas especiales llamadas partículas
mediadoras o portadores de fuerza. Estas partículas mediadoras de fuerza son siempre
bosones.
•
•
•
•
La interacción electromagnética se explicaría mediante el intercambio de
fotones.
La fuerza nuclear débil se explicaría por el intercambio de dos tipos de bosones
muy masivos llamados W y Z.
La fuerza nuclear fuerte se explica mediante la existencia de unos portadores de
fuerza que actúan a un nivel más profundo, llamados gluones, que son bosones
sin masa.
La interacción gravitatoria que sería la más difícil de explicar se debería a la
existencia de unas partículas medidoras llamadas gravitones, pero que hasta
ahora nadie ha podido encontrar.
Distancia de
interacción
Nuclear fuerte
10−15 m
Electromagnética
infinita
Nuclear débil
10−16 m
Gravitatoria
infinita
Interacción
Partículas que
interaccionan
Hadrones
Con carga
Todas
Con masa
Partícula
Fuerza relativa
mediadora
Gluones
1
Fotones
10−3
Bosones W y Z
10−8
Gravitones
10−45