1. No category

GEOMETRIA
A
�N6.ULO'¿, 'POLlf.D[Z.0'¿,. �N6.ULO
T[Z.lf.D[Z.0
Un ángulo triedro es un ángulo poliedro de
tres puntos.
IN
l.
G
Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
11. Los elementos de un ángulo triedro son
seis.
111. Un ángulo triedro es un ángulo poliedro de 3
aristas.
AC
AD
EM
IA
IV. Ángulo poliedro es la figura determinada por
una superficie piramidal.
A) FFFV
8) VFVF
D)FVFF
E) FVFV
C)FFVF
14U•):i0MZU02I
Dado el ángulo poliedro P - A8CD, se traza un
plano perpendicular a la arista PD en D con un
diedro que mide 90 y dicho plano intersecta a las
otras aristas en A, B y C; las caras adyacentes
a la arista PD miden 45 y las otras caras son
congruentes. Si BC = AD, cuánto mide la cara
C8P.
1
A) tg- (/2) 8) tg-1{/3) C) tg-\2)
D) tg-1(15) E) tg-1(/6)
¿Cuántos ángulos poliedros existen cuyas caras
midan 60 cada una?
A) 1
8) 3
D)5
E) 7
C)4
PROBLEMA
[l!]
Indique la verdad
proposiciones:
l.
de
las
En todo ángulo poliedro convexo, la suma
de las medidas de las caras es mayor que O
y menor que 360.
11. Si dos caras de un triedro son congruentes,
entonces los diedros opuestos a dichas
caras son congruentes.
111. Si dos diedros de un tríedro son congruentes,
entonces las caras opuestas a dichos diedros
son congruentes.
IV. Si un triedro tiene dos diedros desiguales,
las caras opuestas son desiguales y a mayor
diedro se opone mayor cara.
A) FWF
B) VWF
D)FVW
E) WFV
C)WW
14,t•MMfüVZUos l
Indique la verdad
proposiciones:
l.
de
las
siguientes
El menor ángulo poliedro es el triedro.
11. Al ángulo sólido también se le llama ángulo
poliedro o anguloide.
111: En todo triedro se cumple que la suma
de las medidas de todas sus caras está
comprendido entre O y 80.
A) VW
8)VFV
D)WF
E) VFV
PROBLEMA
C)VFF
[iI;)
Un plano interseca a las aristas de un ángulo
triedro con vértice O en los puntos A, B y C de
modo que:
m L AOB = m L COB = 60°
Geometria
siguientes
Geometría
Geometría
IQ;N=l•MtzA 121
Si OA + OC = 10cm, calcule OB en cm.
PROBLEMA
[iJl
En un triedro, dos de sus caras miden 45 y la
medida del diedro comprendido entre dichas
caras es 90°. Entonces la medida de la otra cara
es:
A) 30
B) 45
D) 90
E) 120
PROBLEMA
C) 60
lm]
(i)
E) are cos
B) are cos
1")
PROBLEMA
(l)
(Js)
D) are cos (¡)
B) are cos
1
E) are cos (- -)
/To
D) 61
E) 119
ffl
C) 59
Demuestre que en un ángulo triedro la medida de
una cara es menor que la suma de las medidas
de las otras dos caras.
m
Demuestre que en un ángulo triedro la suma de
las medidas de las caras es menor que 360.
B) 40, 161
D) 42, 162
E) 41, 163
ffl
C) 43, 161
(-i)
D) are cos (-i)
E) are cos (-�)
PROBLEMA
ffi
Dado el ángulo triedro P-ABC, las caras
adyacentes a la arista AP miden 54 y la cara
BPC mide 60. ¿Cuánto mide el ángulo diedro en
la arista OA .
A) are cos (5 + 12.)
B) are cos (./5 + 2)
D) are cos (5 -12.)
E) 88
14,t•J=l•=MfZG 22I
A) 90
B) 100
°
°
D) 115
E) 120
D) 60
C) 45°
E) 75
PROBLEMA
Se tiene un ángulo triedro, donde cada diedro
mide 120. Entonces, la medida de una cara del
ángulo triedro es:
°
m L BOC = 60 ° y OA = 8u.
Calcule la longitud de la proyección de
sobre la cara BOC.
4/6
3
A) 2 /6
3
B)
D) /6
E) 2 /6
PROBLEMA
C)
OA
8/6
3
En un ángulo triedro equilátero 0-ABC cuyas
caras miden 60° cada una, se ubican los
puntos M, N y Q en las aristas
y
respectivamente. Si OM = 6 cm, ON = 4 cm y
OQ = 2 cm, entonces el área (en cm2 ) de la
región triangular MNQ es:
OA , 08 OC
B) 6
D) 5/3
E) 10
Geometría
A) are cos
(-i)
C) are cos (-�)
B) are cos
(i)
D) are cos (�)
E) are cos (.;;)
•U•M=l!MtM241
ffl
A) 5
C) 110
IQ,M=l•Mf+W23I
ff:1
C) 512.
F.fi1
180º < a + 13 + y < 540 °
Geometría
D) 82
C) 76
B) 30°
En un ángulo triedro O - ABC los ángulos diedros
correspondientes miden a, 13, y y. Demuestre la
siguiente relación:
E). are cos (2./5)
B) 72
A) 15°
PROBLEMA
C) are cos (./5 - 2)
A) 68
En un triedro 0-MNQ. Si los ángulos diedros ON
y OQ miden 135, y la cara opuesta a la arista OM
mide 90, entonces la medida del diedro OM es:
m L. AOB = m L AOC = 45 ,
B) are cos
Los ángulos diedros de un ángulo triedro miden
102 y 42. Calcule la diferencia entre el mayor
y menor valor entero de la medida del tercer
ángulo diedro.
En un ángulo triedro 0-ABC, m L BOC = 90º
y la m L AOB = m L. AOC = 60 °. Entonces, la
medida del ángulo que forma OA y con el plano
OBC es:
En un ángulo triedro O - ABC tal que
AC
B) 45
mr
Las tres caras de un ángulo triedro miden 60
cada una. Halle la medida de un ángulo diedro.
(i)
C) are cos ()g)
A) 42, 160
PROBLEMA
D]
(-i)
C) are cos (-i)
ffl;]
A) 39
PROBLEMA
PROBLEMA
A) are cos
Dado un triedro cuyas medidas de sus caras
están en progresión aritmética de razón "K".
Calcular el máximo valor entero que puede
adquirir "K".
PROBLEMA
E) 152
En un ángulo triedro, la medida de cada ángulo
diedro es 120. ¿Cuánto mide una cara del
ángulo triedro?
3
D) are cos ( �)
(i)
D) 151
C) 150
AD
C) are cos (
B) 149
A) are cos
En un ángulo triedro 0-ABC, el ángulo diedro
en la arista OA mide 30 ° y las caras AOC y
AOB miden 30° y 45° . Entonces la medida del
ángulo BOC es:
A) are cos
A) 148
G
E) 8
IN
D) 6
Dos caras de un ángulo triedro miden 78 y 120
respectivamente. Halle los valores mínimo y
máximo de la medida de la tercera cara.
En un tetraedro O - ABC, OA = BC, OB = AC y
OC = AB, además se cumple que AC > OC >
AO. Halle la suma del máximo y mínimo valor
entero de la cara AOC.
C) 5
1Q;J,1:fN3M.tW21 I
ff;1
IA
B) 4
EM
A) 3
PROBLEMA
A
m L. AOC = m L. ABC = 90°
En un ángulo triedro O - ABC, m L. AOC = 90º
y la medida del ángulo diedro OA = medida del
ángulo diedro OC = 150. Calcule la medida del
ángulo diedro OB.
(-i)
C) are cos (-i)
E) are cos (-i)
A) are cos
(-¡)
D) are cos (-t)
B) are cos
Geometría
Geometría
Un poliedro convexo tiene por caras cinco
regiones pentagonales, tres regiones triangulares
y otras regiones cuadrangulares. Si el número
total de diagonales del poliedro es 70, entonces
el número de vértices del poliedro es:
A) 15
B) 16
D) 19
E) 20
Si F es la vista frontal,
P es la vista perfil derecho
Calcule el área de dicho poliedro
C) 17
D) 3
E) 4
D) 13
E) 14
Calcule:
=C+A
E
V
PROBLEMA
El número de caras de un tetraedro regular
es igual al número de vértices del mismo
poliedro.
l.
C) 12
ffi'I
C) a2./6
Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
11. El número de caras del octaedro regular es
numéricamente igual al número de vértices
del hexaedro regular.
111. El número de vértices del dodecaedro regular
es igual al número de caras del icosaedro
regular.
A) VFV
B) VFF
D) WF
E) FW
PROBLEMA
C) VW
m
solo
que
5
poliedros
existen 5
B) are cos (\;)
5
C) are cos ( �)
1
D) are cos (
E) are cos (
.r:)
1
PROBLEMA
4
1
�)
fm
Se traza un plano secante a un tetraedro ABCD,
tal que la sección determinada sea paralela a la
3rista AB y CD. Si estas aristas son cruzadas y
jeterminan un ángulo que mide a. Halle el área
<náxima de la sección determinada.
A. (AB)(CD)
)
sena
2
B)
(AB)(CD)
sena
4
·' (AB)(CD)
,� )
sena
8
D)
(AB)(CD)
sena
2
::.) (AB) (CD) sen a.
La relación entre las longitudes de los lados
Geometría
A) 4 5
B) 60
D ) 100
E) 125
ffl
PROBLEMA
En un hexaedro regularABCD-EFGH, M y N son
puntos medios de E H y HG respectivamente, O
es el centro de la cara BCGF. Calcule la medida
del ángulo diedro que forman MNO y EFG.
(i)
B) are tg (�)
C) arc tg (�)
D) 30
La altura de un tetraedro regular es h. Calcule el
área de la superficie total del tetraedro.
A)
3/2h 2
2
B)
D)
3Í3h 2
4
E) h2 /3
PROBLEMA
::n un tetraedro regular ABCD se traza la altura
.A.H , en la cual se ubica el punto T. Calcule la
3Í3h 2
2
C)
3/2h 2
4
lffl
En un hexaedro regular ABCD-EFGH. P, Q
y R son puntos medios de AB, BC y HG
respectivamente; si AB = e, entonces el área
de la sección plana que pasa por P, Q, R al
intersectar al hexaedro es:
3Q 2 .fs
3Q 2 /2
3Q2 /3
A)
B)
C)
4
4
5
E)
·PROBLEMA
?Q2/3
3
lffl
En un hexaedro regular de arista a, halle la
distancia de un vértice al centro de una cara
opuesta.
3
A) -a
2
Geometría
C) 90
E) 45
A) are cos ( �)
1
4
medida del ángulo determinado por CD y TB
A) are tg
ffl
Indique verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
l.
L.F
E) 2a
AC
A es el número de aristas.
2
D) a
El gráfico representa al desarrollo de un poliedro,
donde:
V es el número de vértices
B) a2 /3
2
lif:1
C es el número de caras
E) VFF
IN
A) a2 ./s
Un poliedro convexo está formado por 8 regiones
triangulares, 9 regiones cuadrangulares y m
regiones pentagonales, y un total de 33 vértices.
Entonces "m" sería.
B) 11
D) FFV
C) VFV
En un tetraedro regular SABC, O es el centro de
la cara ABC, D es punto medio de la arista SA.
Si CE .L BS, calcule la medida del ángulo entre
las rectas 00 y CE.
p
C) 2
ffl
A) 10
B) WF
Demuestre
regulares.
AD
B)
A) FVF
PROBLEMA
ffl
A) O
PROBLEMA
111. La longitud de la arista de un hexaedro
regular es tres veces la longitud del poliedro
conjugado del poliedro que es conjugado
inscrito a dicho hexaedro regular.
ffl
caras
Un poliedro convexo tiene 2
cuadrangulares, 2 caras pentagonales y algunas
caras triangulares. Si se sabe que la suma de
las medidas de los ángulos interiores de todas
sus caras es 2160, entonces el número de caras
triangulares de dicho poliedro es:
PROBLEMA
11. El poliedro conjugado inscrito en un icosaedro
regular es el octaedro.
IA
PROBLEMA
PROBLEMA
de un tetraedro regular y su poliedro regular
conjugado es de 3 a 1.
i3
A
D) 3
ffl
C)
EM
PROBLEMA
3
2
9
E)
4
B)
A) �
3
G
1'0 LI f.DJZ-0. -POLI f.DJZ-0'5 JZ..f.6.U LAJZ..f.'5.
'51Mf.TJZ..ÍA f.N f.L f.'51'AC.IO.
a
D) ./5
3
B) a/2
E)
a./6
3
C)
a/3
2
Geometría
Geometría
En un hexaedro regular de arista a, se unen los
puntos medios de los lados de cada cara. halle
el área total del poliedro determinando.
B) a2(3 + /3)
A) 2a2
2
C) 6a
111. Existen poliedros regulares cuyas caras son
regiones hexagonales congruentes.
A) VW
B) WF
D)FFF
E) FFV
C) VFF
m
4
B)
A) VFVF
B) WFF
D)VWF
E) FVFV
PROBLEMA
Q2 /3
3
C)
Q2 /3
2
C) WVV
n
a
A) /6
B) /6
a
D) /6
3
a
E) /6
2
a
6
5
!f:1
a
C) /6
4
En un icosaedro regular. Diga el valor de verdad
de las siguientes proposiciones:
l.
Es un poliedro convexo.
11. Tiene 12 ángulos poliedros.
AD
IV Tiene 30 ángulos diedros.
In!
A) VFVF
A) L(2 + /3)
B) L(/5 + 1)
C) �(/5 + 1)
2
D) L(3 + /2)
E) �(
+ /2)
4 /6
D)WVV
C)VWF
E) FFW
AC
Dado un dodecaedro regular cuya arista mide
L. Calcule la longitud de arista de un hexaedro
regular inscrito en dicho dodecaedro, donde
cada arista está incluida en cada cara del
dodecaedro.
B) WFF
PROBLEMA
!'f,
Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
1.
A) VFVF
B) FWF
D)WW
E) WFF
La aristas opuestas de un tetraedro regular
se cruzan ortogonalmente.
11. La menor distancia entre dos aristas opuestas
Q/2
de un tetraedro regular de arista ( es - 2
Geometría
2Q /',',
-v
3.
3
C) FVW
Si distancia entre dos caras paralelas de un
octaedro regular es ª 16. entonces la arista del
3
poliedro regular es:
a
3
2
D) -a
3
A)
PROBLEMA
111. El número de caras más el número de
vértices es 32.
PROBLEMA
determinado por C, H y F es
Es un hexaedro regular de arista "a", halle la
distancia entre la diagonal del hexaedro y la
diagonal de una cara, si estas se cruzan.
PROBLEMA
Dado un tetraedro regular de arista igual a €, se
traza un plano de simetría por una arista. Halle
el área de la sección que determina el plano.
l/2
IV En un hexaedro regular ABCD - EFGH de
arista c. la distancia del vértice Á al plano
Se tiene un poliedro.
IV El ángulo poliedro triedro es equilátero.
11. El poliedro regular conjugado del tetraedro
regular es el octaedro cuyo volumen es 1 /2
del volumen del tetraedro.
A)
l.
111. Un ángulo poliedro, en un ángulo triedro.
m
Solo existen 5 poliedros regulares.
PROBLEMA
Diga el valor de verdad de las siguientes
proposiciones.
11. Se tiene 20 ángulos poliedros.
En las siguientes proposiciones decir cuáles son
verdaderas y/o falsos:
l.
Se tiene un dodecaedro regular.
IN
PROBLEMA
111.-En un hexaedro regular ABCD - EFGH de
arista f. la distancia entre los planos paralelos
que pasan por los vértices, C, H, F y B, D. E
Q/3
es--.
IA
E) a2 (
+ 1)
/6
f!1
A
PROBLEMA
G
rTi1
EM
PROBLEMA
B)
a
2
E) -a
4
En un hexaedro regular ABCD-EFGH se ubican
los puntos medios M y N de las aristas AD y FG
respectivamente. Calcule la medida del ángulo
que determinan MN y EF .
B) 53
D) 75
E) 90
PROBLEMA
C) 60
l.!t1
El área total de un tetraedro regular
conjugado cuyos vértices son los baricentros
de las caras de un tetraedro es la novena
parte del área total del tetraedro dado.
11. El poliedro regular conjugado del hexaedro
regular es el octaedro regular.
111. El tetraedro regular y el hexaedro regular
son poliedros conjugados.
A) WF
B) VW
D)FFF
E) FFV
Geometría
B) 2
D) _!
2
E) _!
4
PROBLEMA
C)VFF
C)1
ffl
Halle el área de la sección determinada por un
plano de simetría de un tetraedro regular de
arista a.
A)
a 2 /2
2
D)
a 2 18
8
B)
2
a /2
4
C)
2
a /2
6
ffl
Dado un tetraedro regular ABCD de arista igual a
6cm, en las aristas AB y CD se ubican los puntos
p y Q respectivamente tal que AP=QC=1 cm.
Calcule el menor recorrido (en cm)para ir de P
hacia Q pasando por un punto de AC.
A) /5
B) /7
D) 2/7
E) /TI)
PROBLEMA
En las siguientes proposiciones decir cuáles son
verdaderas y/o falsas:
t.
A) 3
PROBLEMA
rr:J
131
En un hexaedro regular KLMN - PQRS. Si V1
es el volumen del tetraedro KMSQ y V2 es el
volumen del poliedro conjugado del hexaedro
V
dado, entonces 1 es
V2
C) a
3
A) 45
PROBLEMA
C) 16
ffl
En un tetraedro regular calcule la medida del
menor ángulo diedro determinado por dos
planos de simetría.
A) 30
B) 45
D) 75
E) 90
PROBLEMA
C) 60
r,m
En un tetraedro regular O - ABC de arista "a", se
traza el respectivo poliedro simétrico, siendo C el
centro de simetría y produciéndose el tetraedro
o· -A' B' e ; entonces la distancia entre las caras
OAB y A' B' es:
o·
Geometría
Geometría
14,t•)=JOMZWs6I
Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
l.
Todo paralelepípedo
simetría.
tiene
centro
de
11. El octaedro regular tiene 9 planos de simetría,
9 ejes de simetría y un centro de simetría.
111. En un hexaedro regular sus ejes de simetría
pasan por su centro de simetría.
IV. En un tetraedro regular la intersección
de dos planos de simetría determina el
segmento perpendicular común a dos aristas
opuestas.
A) VWF
8) VFW
D) VVVv
E) FV'N
C) VFVF
14;N=l!:fü4A s1I
Dado el tetraedro regular ABCD, P y Q son
puntos medios de AB y CD, O es el punto
medio de PQ y a su vez es un centro de simetría
para dicho tetraedro, entonces se afirma como
verdadero:
l.
Que el simétrico es otro tetraedro regular.
11. Que el simétrico es el mismo tetraedro
regular.
8) 11 y 111
D) 1, 11, 111
E) ninguno
14,M=ll:M4Wsal
C) 1, 111
Si un objeto es simétrico en relación a una recta,
entonces·
l.
A) FVF
8) FW
D) VFF
E) VFV
Si se superpone sin girar el objeto original
entonces estos
sobre el simétrico,
coinciden.
C) FFV
A) VFFF
8) VFFV
D) VFVF
E) WFF
•4íl•)=l!§M4W6o I
C) VFFF
Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
l.
El hexaedro regular tiene 8 ejes de simetría.
11. El tetraedro regular tiene un centro de
simetría y 6 ejes de simetría.
111. El octaedro regular tiene 6 ejes de simetría.
A) FFV
D) FFF
8) FW
C) WF
E) VFF
En un tetraedro regular, halle la medida del
ángulo diedro determinado por dos de sus
planos de simetría.
A) 30
8) 45
D) 75
E) 90
C) 60
D) 16
E) ./7
C) 15
A) �+ 1
3
�
A
D) +4
3
PROBLEMA
8)
A
+2
3
C) �+3
3
E) �+5
3
RJ
El prisma tiene 1 O ángulos poliedros.
E) FVFV
PROBLEMA
O) 60/3
E) 62/3
PROBLEMA
Geometría
O) 1 002
E) 500
A) 400
8) 410
D) 430
E) 440
G
Si
la
el
C) 56/3
ffi
Se desea construir un prisma sin tapa de una
lámina de cartón de forma cuadrada de lado .
L
Geometría
8) 2 002
C) 1 000
C) 429
H
F
En un prisma triangular regular ABC-DEF,
es baricentro de la región triangular ABC.
ASEO es una región cuadrada y el área de
región triangular DGF es 3/39cm2 . Calcule
volumen (en cm3 ) limitado por el prisma.
8) 54/3
A) 2 000
C) WFF
l'i'm
A) 50/3
14íl•)=IOMZA 611
•
IV. Se determina un poliedro.
D) VFVF
E) L
6
Determine el volumen.
111. Todos sus ángulos diedros son rectos.
8) VVVv
D) L
2
C) L
5
•4;t.M!=MUW 69!
11. El prisma tiene 15 ángulos diedros.
A) WFV
8) L
4
En un prisma recto de base triangular de Su
de altura, la circunferencia inscrita en la base
determine sobre un lado segmentos de 6u y Bu,
y su radio mide 4u, entonces el volumen (en u3)
es:
Se tiene un prisma recto pentagonal. Diga el valor
de verdad de las siguientes proposiciones:
l.
A) L
3
Un prisma tiene 6000 aristas, entonces el
número de caras es:
En un prisma regular. su número total de aristas
es A, entonces el número total de caras es:
11. La figura simétrica de CDG respecto del
plano OMN es ABF.
IV La figura s,metnca del segmento GH respecto
del plano MNO es FE.
8) 13
PROBLEMA
La figura simétnca de ABE respecto del
plano MNO es DCH.
111. La figura simétrica del punto D respecto al
plano NOM es el punto F.
./2
A)
ABCD-EFGH es un hexaedro regular, M, N y
O son puntos medios de AD, BC y centro de la
cara EFGH, respectivamente.
l.
�
En un prisma triangular regular las diagonales de
dos caras laterales se cruzan ortogonalmente, si
la longitud de una de ellas es 16 u. Calcular el
volumen del sólido limitado por el prisma (en
u 3).
•4,t•M!M4Ws9
AC
111. Que la intersección del dicho tetraedro con
su simétrico es un octaedro regular.
A) 1, 11
PROBLEMA
111 El volumen del objeto original y el simétrico
son iguales.
¿Cuál es la dimensión del cuadrado que se debe
de cortar en cada esquina para que el volumen
limitado sea máximo.
A
a
/6
4
11. t:1 area total del obJeto onginal y el s1métnco
son iguales.
a./3
3
G
E)
C)
IN
D) 3a/3
3
3
IA
3al6
EM
8)
AD
6
A) a./
3
,.. 3
,.,
A) 15
B) 16
D) 20
E) 21
PO
C) 18
•4íl•M!MiUA 101
Dado el prisma regular ABCDE-A' B' C' D' E'; 5,
4 y 2 son puntos medios de AB. BB' v C'D':
'&Ji
Geometría
Geometría
B) Hexágono
C) Heptágono
D)Octágono
E)6
C) 5
D)are tan 4...¡
•A•t•J:iM=iMZW141
Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
l.
B)Triángulo
C)Cuadrilátero
D)Hexágono
E) Heptágono
fil
fil
A) .isd
5
Sd
D)
7
Sd
3
2Sd
E)
3
B)
PROBLEMA
En un prisma triangular regular ABC - A' B' C'
en el cual todas sus aristas son congruentes,
se ubica un punto D en la prolongación de AB
AD
de modo que
= 3. . Halle la medida del
BD
1
ángulo diedro determinado por la base ABC y
C)
Sd
2
Fl:1
En un prisma hexagonal regular las caras
laterales son regiones cuadradas cuyos lados
tienen longitud "a". Calcular el área de la sección
que se determina en el prisma por un plano que
pasa por un lado de la base inferior y por el lado
opuesto a este de la base superior.
A)2a2
B) 2/3a 2
D) 3/3 ,/
E)4a2
E) 12./6
C)3a2
C) 10
ffl
3/v. 3/v
C) ./3v, 3/v
E) 3/v, /4v
3/v
(1
+ 2)
IV. Si V es el número de vértices de un prisma,
entonces el número de aristas es:
rnv)·
A)WFF
B)WFV
D)VFVF
E)FVW
PROBLEMA
C)VFW
ffl
PROBLEMA ·ffl
Diga el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
l.
KLMAN-PQRBS es un prisma recto no
convexo.
11. LMA-QRB /\ KAN-PBS
triangulares semejantes.
son
prismas
111. El volumen de cada prisma KLQ-MNR es la
mitad del prisma KLMN-PQRS.
IV. La intersección de los planos diagonales
KMRP y LNSQ es MB.
A) FFW
B)WFF
D)VWF
E)VFFF
PROBLEMA
C)VFVF
lffll
Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
Si A es el número de aristas de un prisma,
entonces el número de cara es (; + 2)·
Geometría
entonces el número de cara es
3
o) !vv � 3/v
' 2
2
KLMN-PQRS es un hexaedro regular, A y B
son los centros de las caras KLMN y PQRS.
Indicar el valor de verdad de las siguientes
proposiciones.
l.
entonces el número de vértices es 12.
2
111. Si V es el número de vértices de un prisma,
En un paralelepípedo recto ABCD-EFGH, M, N,
P y Q son puntos medios de AE, DH, AB y DC
respectivamente, 0 1 y 02 son los centros de las
caras ABFE Y DCGH.
IA
C)VFF
En un prisma triangular oblicuo, la distancia de
una arista lateral a la cara opuesta es "d" y el
área de dicha cara es S. Calcule el volumen del
prisma.
B
A)Pentágono
E)FVF
AC
FPD
D)FFF
PROBLEMA
A
8
B)WF
AD
A
A)VW
D) 48/2
3
EM
Determine la sección plana en el poliedro que
pasa por los puntos A, B y C.
B)24
Se tiene un rectoedro de base cuadrada de
volumen "V". Determine sus dimensiones cuya
área total sea el mínimo.
A)
B)
, 3/2.v
Un paralelepípedo es un prisma cuya base
es una región paralelográmica.
111. Si una cara lateral de un prisma es una
región rectangular, entonces todas las caras
laterales son regiones rectangulares.
P es la vista perfil derecho
A)36
PROBLEMA
11. Un paralelepípedo regular es un prisma
regular recto.
Si: F es la vista frontal
PROBLEMA
B)are tan 2...¡
IN
AA'. BB' y ce· son aristas laterales de un
prisma. M es punto medio de AA' y E es un punto
de ce·, BB' = 12. Si los volúmenes AMB'BCE y
EMA'C'B', son entre sí como 5 a 3. Entonces la
longitud de CE es:
D)5.5
rrr
3
rrr
3
...¡
rrr3
rrr
3
11. Si A es el número de aristas de un prisma,
ffl
Dado un prisma hexagonal regular ABCDEF­
A'B'C'D'E'F' cuya superficie lateral tiene por área
24/2u 2 . Si A'C' determina con DE' un ángulo
cuya medida es 60, calcule el volumen (en u3 )
del prisma.
E)are tan 5...¡
14,t•]=Jl3MtzU11 1
B)4.5
/Il-
C)are tan 3
E)Cuadrilátero
A)4
A)are tan
PROBLEMA'
A
A)Pentágono
el plano que pasa por DB' y F, F es punto medio
de AC .
G
AB = BB'. Determine la sección plana que
pasa por los puntos 2, 4 y 5 en el prisma y qué
polígono se forma.
Geometría
l.
EM0 1 PBF-HN0 2QCG es un prisma recto y
no convexo.
11. El prisma EMPBF-HNQCG tiene 7 caras.
111. El prisma E0 1 F-H0 2 G, tiene 6 ángulos
poliedros.
IV. El prisma 0 1 PBF-02 QCG tiene 12 ángulos
diedros.
A)FVW
B)VFW
D)VWF
E)WW
C)WFV
Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
l.
Todos los paralelepípedos tienen centro de
simetría.
11. Existe algún poliedro regular, tal que la suma
de las medidas de las caras que concurren
en un vértice es 300.
111. Un prisma regular es un poliedro regular.
A) FFV
B)FFF
D)WF
E)VW
VFF
ca.
Geometría
Geometría
iQ;t•)=J!#tiM 83!
A)
12
•Q;t•)=J!#M4W 84!
En un paralelepípedo recto el ángulo agudo de la
base es igual a a la sección del paralelepípedo,
trazada por un lado de la base, cuya longitud es
"a" y la arista opuesta a él tiene un área igual a S
y forma con el plano de la base un ángulo igual
a 90 - a.. Calcule la longitud de la otra arista de
la base.
A)
D)
s
28
a
38
E)
a
B)
a
s
3a
C)
AB = BC = CA' = 2 = BB' ,
)rn)
En una vasija cuya forma es un paralelepípedo
rectángulo de 72 cm de largo, 25 cm de ancho y
12 cm de altura se vierten 18 litros de agua. ¿A
qué distancia del borde llega el agua?
E) 2,0
™'
D)
E) 1
C) 1,5
C) 13
C) �/3
2
E) 3/3
m
A) 4V
7
8) 5V
12
O)
E) 9V
11
8
V
11
PROBLEMA
C) 7V
12
ffl
La base de un tronco de prisma regular es un
cuadrado de 3u de lado, las bases forman un
ángulo diedro de 45° entre sí, y dos aristas
laterales opuestas miden 8u cada una. Halle el
volumen del tronco de prisma.
El volumen de un prisma regular A8C-A'B'C'
es 18u3 ; M y N son puntos medios de BB'
= {Q};
y CC' respectivamente, Si
n
AÑ n
= {P} entonces el volumen (en u3 )
limitado por el poliedro PQBCMN es:
A) 64
A) 6
8) 8
D) 12
E) 14
D) 72
B) 68
C) 70
E) 76
AC
h
E) (S 1 + 82)¡
D) 1,8
B) 2/3
•4;t•)=J!#IM2W 89!
C) (S1+S2
B) 1,2
A) 3/3
12
B) 2/3
En un prisma triangular recto ABC - A'B'C' de
volumen , se ubican M y N puntos medios de
V
88' y ce· respectivamente, E E AA' tal que
EA' = ..!.. Calcule el volumen de EMN-ABC.
EA
3
A"
En un tronco de paralelepípedo oblicuo las
áreas de dos caras laterales opuestas son S 1 y
S2, siendo su distancia h. Halle su volumen.
13
D) �/3
2
A
•4;t•M!#l�,4- 8sl
A) 1,0
A)
PROBLEMA
2a
•4;t•)=l!3&4W 86!
ce· = 1.
Calcule el volumen.
s
ffl
En un triángulo equilátero ABC, por sus vértices
se trazan perpendiculares a dicho triángulo tales
como AM = 3, BN = 1,5 y CP = 4,5. Si el área
del desarrollo de la superficie lateral es 18 cm2,
entonces el volumen del tronco del prisma es:
En el gráfico es el desarrollo de un poliedro.
•4;t•)=l!3M2W 9ol
PROBLEMA
Se tiene un tronco de prisma recto ABCD­
EFGH; tal que EADH y FBCG son cuadrados de
lados "a" y "b", respectivamente; la cara ABCD
determina un diedro de 53 con la cara BCGF.
Si el área de la región ABCD es "S", calcule el
volumen del tronco.
Geometría
A'M AS
I\C
C) 10
ffl
En un tronco de prisma recto 0 1A 1 8 1 -0A8, la
base OA8 es un triángulo equilátero, el plano
0 1, A 1, 8 1, intersecta a las prolongaciones de
OA y 08 en M y N. Si MN = 4/13 u;
AA 1 = 3u, 00 1 = 4u y 88 1 = 2u; determine el
volumen limitado por el tronco de prisma (en
u3 )_
Geometría
A) 7/13
B) 9/3
D) 13/3
E) 15/3
C) 11/3
titl
PROBLEMA
A
E) 62,5
E) 220
abS
a+b
abS
E)
3(a + b)
IN
D) 62,5
C) 31,412
D) 215
PROBLEMA
C) 210
C)
IA
B) 31,212
B) 205
S(a+b)
O)
3ab
EM
12
A) 200
AD
A)
Las diagonales de tres caras diferentes de un
paralelepípedo rectangular miden 161 cm,
./74 cm y /85 cm. Entonces el volumen del
,.a·alelepípe::!o (en cm3 ) es:
B) S(a + b)
G
Es un paralelepípedo rectangular recto, su
diagonal mide 1O cm y forma con la base un
ángulo que mide 45 y con una cara lateral un
ángulo que mide 30. Calcule el volumen del
sólido cuyos vértices son los puntos medios de
las aristas básicas.
2
5 S(a+b)
El lado de un cuadrado ABC mide 12 u. Los
segmentos AE y CF son perpendiculares al
plano que contiene al cuadrado y miden 6u y 9u.
Halle el volumen del sólido limitado por E8FD
(u3).
A) 5
B) 10
D) 20
E) 25
PROBLEMA
C) 15
!:'f;I
Se tiene un tronco de prisma triangular ABC­
DBE cuyos aristas AD = a y EC = b. Entonces
la longitud del segmento que une los baricentros
de las bases es:
a+b
2
a+ b
D)
4
A)
B)
2(a+b)
3
C)
a+b
3
E) �(a+b)
5
m
PROBLEMA
El prisma ABC-A'B'C', se intersecta por un plano
determinando los puntos M, N y P, sobre las
aristas laterales AA'. BB' y ce·. respectivamente,
tal que AM = 2MA' y BN=PC'. Si el volumen del
prisma es , entonces el volumen del tronco
V
ABCMNP es:
A)
V
9
D) 5V
9
PROBLEMA
B)
2
V
9
C) 4V
9
E) 7V
9
r;T:'I
En un tronco de paralelepípedo oblicuo cuyas
áreas de dos caras laterales opuestas son S 1
y S2 unidades cuadradas y la longitud de su
distancia entre ellas es C unidades. Entonces el
volumen del sólido limitado por el tronco es:
Cüi
Geometría
PROBLEMA
�
A
El gráfico es el desarrollo de un poliedro. Las
caras ABED y CBFI son trapecios rectángulos,
ABC es un triángulo rectángulo isósceles,
AHGC es un rectángulo HGJ es un triángulo
equilátero. Si AB = 2a, AD = a y EB = 3a, calcule
el volumen.
B) �a 3
3
D) 8a3
E) 9a3
C) 5a3
AC
AD
3
A) !.2.a
3
EM
IA
IN
G
F
L.F
Geometría
Geometría
ii) Triángulo oblicuángulo.
Son seis: Las tres caras y los tres ángulos
diedros.
III. (F) Es de 3 caras.
IV (F) Ángulo poliedro, es el conjunto de todos
los rayos formado al trazar por un punto del
espacio tres o más rayos, de tal manera que
tres rayos no son coplanares.
(Claue1iJ
•U=i-1•J!•t3t•HI 021
= 6 BPC
�AB=BC=n
Por una simple inspección:
ABCD es un cuadrado.
Ahora por T3P :
PC .l BC
n
!::::::.. PCB: Ta0
- = ./2
n
o
[Claue!Z)
EM
p
e
A
Ahora observa: 6 APB
G
II . (V) Elementos de un ángulo triedro.
Si AD=PD = n =:> AP= n./2
PD =DC=n =:> PC=n .f2
RESOLUCIÓN ffl
l.
(V) Es el ángulo poliedro más importante.
ll. (V) Este triedro es isósceles.
II. (V) Se usa con más frecuencia el nombre de
ángulos poliedros.
IJI. (V) Veamos:
III. (F) En un triedro se cumple:
IN
(F) Un ángulo triedro es un ángulo poliedro de
tres caras.
�BC< AB
Oº<a+b+c<360º
IA
l.
B
Sía<e
GEOMETRIA
RESOLUCIÓN ffl
Con caras que miden 60° pueden formarse ángulos
poliedros de tres, cuatro o cinco caras.
Recuerda que:
AD
� 0°<60º+60º+60º<360º
º
°
°
º
º
º
º
º
°
°
� O <60 +60 +60 +60 <360
J;>-
º
º
O <60 +60 +60 +60 +60 <360
AC
l.
= !::::::.. PHF (A L A)
�PE= PF
º
Esto demuestra que; existen 3 ángulos poliedros
cuyas caras midan 60° cada uno.
En primer lugar, observar que PD ..L plano
ABCD.
!::::::.. PHE
(Claue11)
!::::::.. PEO = !::::::.. PFO (L L L)
:.
X= y
IV (V) Como en geometría plana, particularmente
en el capítulo de triángulos.
i)
Triángulo escaleno.
Si a
(V)
En segundo lugar, las caras APD y PDC son
perpendiculares.
Se cumple:
En tercer lugar, si las caras adyacentes miden 45°
cada uno, entonces los triángulos rectángulos APD
y PDC son isósceles.
Si, a + b + c + d = 360°, no existe ángulo
poliedro alguno.
Dato: m+n = 10
Lqqd
.é
e
Por propiedad:
AB2 = x 2 +n2 - xn
-sc2 = x2 + m2 - xm
!::::::.. ABC: AB 2= AB 2+BC
m2 + n2 = 2x2
2x2
Oº<a+b+c+d<360°
Geometría
=
2
+ m2 + n2 - x(m + n)
x(m+n) � x
=
m+n
2
[Í:!auefl
Geometría
Cüi
Geometría
Geometría
Simplificando:
RESOLUCION (!íi
o
D emostración:
316
O<a+b+c<360
D emostración:
o
cos x = --
/
A
/
( Claueffi
IN
G
RESOLUCIÓN (!E
¡...
� 08A isósceles:
En la cara AOC, se traza 00, de modo que:
m 4 AOD =C y 00 = OB .
OA =AB = n => OA = n {2
;¡;. óAOD = t. A08 (LA L)
� 08C isósceles:
También:
(Claue!9
a+2k <a +a+k r¡¡-+- k <a
Sumando (1) y (2):
2k < 120 'Ir+- k < 60
....... (1)
EM
3a + 3k <360 'Ir+- a + k < 120
ó AOC equilátero.
Por la demostración anterior:
f)crJ+DC<f)tf5+BC
a +a+k +a+2k <360
A8 =8C = n => AC = n {2
En AO se toma E, obtenemos el triedro0-BCE.
;.;. óABC: � <A8+
8C
Por teoría:
� ABC isósceles:
IA
QAO=AB
08 = 8C = n => OC = n {2
....... (2)
AD
Máximo valor entero de "k" es: 59
;¡;. O bservar: t. 80C y t. DOC
n
Q a+b+c<360
Por existencia del triedro
O<a+b+c
m
a
-n
B
Si n< m => b - c <a
b<a+,e
( Lqqci9
AC
[Claue!9
C
0
4D
a< 180 - b+ 180 - c
DC<8C
� OAC: SiAC = n => OC = 2n A OA = n {3
� OA8 : OA = A8 = n {3 => 08 = n 16
t. ABC: 8C2 = 3n2 +n2 - 2n. n {3 .cos 30º
Simplificando: 8C = n
o
ó08C: n2 = 4n2 + 6n2 - 2.2n. nl6.cos x
Geometría
Geometría
CJi
6 AOB
=
6 CBO (L L L)
6 OBA: a + 9 = 180 - x
.............(1)
En el triedro 0-ABC:
120-78 <X< 120 + 78
Si OB= 1 => OA = 2 y AB = 13
.............(2)
Reemplazando (1) en (2):
4 = 3 + 3 - 2.3.Cose
............... (i)
6 Cose= 6 - 4 = 2.
Como m>a>n
Cose = 1/3 ,Y-.
a<xl
(+)
180 < 3x ,Y-. 60 <X
Usando el triedro polar o suplementario:
X< 162
.............(2)
De (1) y (2):
Luego:
X,,,¡n= 43°
X,,,áx=
161 °
lc1aue!:I
im%-i•)!•X3t•Ul1zl
IA
De (i) y (ii):
60º < x<90°
Obtenemos:
c. -
p
..............(ii)
X+ 78 + 120 < 360
42 º <X< 162 º
IN
�
a+e < 2x
180-x
.............(1)
También:
OA= OC= AC = 2
óABC·
X< 180-x
42 <X< 198
(Claueti)
6 AOC equilátero:
x<a +e
2x< 180 ,Y-. X< 90
Por teoría:
t::,.. OBA not. de 30° y 60º
A
=
G
6 OAC
Geometría
Geometría
t::,.. PAC = t::,.. PAB (A L A)
x,,,áx= 89º
(Claue!9
t::,.. O'A'B' not. de 30° y 60 °.
EM
X,,,¡n = 61o
AD
Si O'B' = 1 => O'A'= 2 y A'B'= 13
Q
AC = AB = 15 + 1 y PC= PB= 4
6 PBC equilátero
PB= PC= BC= 4
6 ABC; por ley de cosenos:
16= 2(15 +1)2 -2(15 + 1)2 Cos x
Simplificando: Cos x= 15 -2
t::,.. O'A'C' not. 30 y 60 .
°
15 + 1
Como Sen 54° = --4
°
Si OC = 1 => OA=2
6 O'B'C' equilátero:
[Clauef:l
= o·c· = B' C' = 1
t::,.. OAH isósceles:
AC
Si OA
B'H = C'H = l3
3
t::,.. OBC not. de 30° y 60°.
Si OB = 1 => OC= 2 y BC= 13
t::,.. OHC isósceles:
OC = CH = 1 => OH = ./2.
6 B'HC' isósceles:
t::,.. A'HC': Cos(180 - x)= .!
3
0A..
t::,.. OAC not. de 30° y 60°
Si O'A'= 2 => O'C' = 1 y A'C ' = 13
O'B'
Por teoría: OH es bisectriz del ángulo BOC y
proyección del
= 2 => OH = AH =
./2.
[c1aue!;J
.!.
- Cos x= .! ,Y-. Cos x = 3
3
Geometría
Geometría
'™
Geometría
Geometria
Ahora por propiedad
t:, OAC: b = 36 + 4 - 12=28
O < 180 - a + 180 -13 + 180 - e < 360
b=2ñ
t:, OBC: a2 = 16 + 4 - 8=12
213
a + 13 + O < 540°
A
También:
1
21?,
180 - a + 180 - 13 + 180 - e < 360
h\::s
1
180 < a + 13 +
../3
De (1) y (2):
B
= 28 - 3
'Ir- h
=5
OH: proyección de OA sobre el plano P.
Por teoría;
OH es bisectriz del ángulo BOC.
[Claue!D
� HCO not. de 30° y 60 °
X=
8
{2
EM
�l3 = 4{2 'lf"2
13
AD
(Claue!:J
e
180,a+l3+El<540
Demostración:
t:, OAB: c2
= 36
+ 16 - 24
c=2ñ
mr
= 28
AC
Usando el triedro polar o suplementario:
Por propiedad:
A'
+
o·
e ............. (2)
+ a < 540
IA
� OAC; isósceles; si OA = 8.
=> OC= CA=4/2
!,4
IN
1so <
� AHB: h2
········�····(l)
A
=
O'
O < 180 - a + 180 - p + 180 - O
G
a
Usando el triedro polar o suplementario:
De donde:
N'
[ Lggd11
� O'M'Q' isósceles :
O'M' = M'Q'
o
=n
=> O'Q'
= n{2
� O'M'N' isósceles:
O' M' = M'N ' = n => O'N' = n{2
� N'M'Q' isósceles:
M'N' =M'Q'=n => N'Q'=n {2
/':, N'O'Q' equilátero, por lo tanto:
180º -
Por la propiedad anterior demostrada:
180 < 102 + 42 +
X
60 º 'lf"-
Usando el triedro polar o suplementario.
A'
< 540
De donde : 36 < x
X=
.............(1)
Por propiedad:
X+ 102 < 180 + 42
De donde: x < 120
.............(2)
De (1) y (2):
36 <X< 120
Xmáx = 119 ; Xmín = 37
Luego:
Xmáx - Xm,n = 1 19 - 37
Xmáx - Xrnfn - 82"
e·
Geometria
o·
[Claue1!)
Geometria
'™
ó A'O'C' isósceles; por ley de cosenos:
2=4+4 - 2(2)(2) Cos(180 - x)
8 Cos(180 - x)=6
� A'C'O' not. de 30° y 60°
Como O'A'=2 � O'C'=1 y A'C'= ..f3
Cos(180 - x)=
En el cuadrilátero inscriptible
C=2+2+n q,--.- C=4+n
� A'QC': Cos 8= ..f3 1 =l.
3
{3
°
Pero: 0 =180 - x
3
2160=360(V - 2)
6=V- 2 r¡¡-.- V=8
Por propiedad:
Por teorema de Euler:
Por dato también
V=n+11 .......(1)
70 = C� - #dcaras- A
Por condición del problema:
2
140=V(V- 1) - 84- 8n
Por propiedad:
140=V(V-1)-2(25+2n+2n+17)
224 +8n=V(V- 1)
AD
Reemplazando (1) en (2):
.............(2)
224+8n =(n + ll)(n +10)
224+8n=n2 +21n +110
Si B'C'= 1 � O'C'=2
Como O'B'= {3 � B'A'=1 y O'A'=2
E.F
n
+19
x
n
-6
AC
� O'B'C' not. de 30º y 60°
O=n2+13n - 114
O=(n+ 19)(n-6) q,--.- n=6
6
\
\
\
[Ctaue1:)
)
70= V - l -(5(5)+3(0)+2n+AJ
2
(
5
-------�
3n
1= - - n r¡¡-.- 2=3n- 2n
2
IA
O'
3n
C+V=A+2 �4+n +8=9+ - +2
2
EM
Usando el triedro polar o suplementario:
4
Por el teorema de Euler:
(5)+3(3)+4n
r¡¡-.- A=2n +17
2
C+V=A+2 �8+n+V=2n+17 +2
3
2(4)+2 (5)+n (3)
2
IN
A= 5
2
3n
A=9+2
Por propiedad :
[ClaueE
A'B'=B'C'=1 � A'C'= f2.
A=
Por condición del problema : C=8+n
1
�Cos(180- x)=-Cos x= 3
1 1
Por teoría:
4
1
3
- Cos x= - q,--.4
O'B'QC': B'Q= C'Q= /3 /3
� A'B'C' isósceles:
Por condición del problema:
A
Si O'B'=1 � O'A'=2 y B'A'= {3
G
�-A'B'O' not. de 30° y 60°
� O'B'A' not. de 30° y 60°
Geometría
Geometría
\
El sólido es un cubo, donde:
C=6 ; A=12 y V=8
Luego:
C = m+17 ; V= 33
m
(3 9 (4 )+5m
r¡¡-.- A= 30+5
A= 8 )+
2
2
Por el teorema de Euler:
[Clauefl
C+V=A+2
m
� m+17+33=30+ 5 +2
2
5m
5m - m
m+50 = 32+ - r¡¡-.- 18 = 2
2
36=5m - 2m q,--.- 3m =36
Luego: V=6+ 11
[Clauet:J
[c1auet:I
Geometría
Geometría
™
Geometría
Geometría
Por el teorema de Pitágoras:
2
h 2= � +a2 'Ir+ h= �15
4
2
)>
l.
(V) Veamos:
)>
m el número de caras del ángulo sólido del
poliedro.
S 4[ia ·ifs]
fs
............. (1)
A
C +V=A+2
............. (2)
Reemplazando (1) en (2):
C+
e
A
[Clauef3
nC
nC
= +2
m
2
G
2
S=a
6. PVQ- ó.MVN
� = 2n
y
3n
B
4m
C= -----2(m+n)-mn
'Ir+
J.
11. (F) El poliedro conjugado inscrito en un
icosaedro regular es el dodecaedro regular.
111. (F) Veamos:
EM
e
En el tetraedro regular:
C=4;V=4:::>C=V=4
11. (V)
AD
y
--- -
1
1
1
- - .._
M
E
F
AC
/',. MBD, PQ es base media, por teorema:
yÍ2=2x
= f2x
III. (V) El dodecaedro regular y el icosaedro regular
son conjugados.
[Claue !:)
[c1auell
Para m= 3
C=4 (Tetraedro regular)
Para m=4
C= 8 (Octaedro regular)
Para m=5
C=20 (Icosaedro regular)
=6
6-m
C=no existe.
Il. Si n=4 => C=�
8-2m
Para m= 3
C= 6 (Hexaedro regular)
Para m=4
C= no existe
4m
111. Si n=5 => C=
10-3m
Para m= 3
C=12 (Dodecaedro regular)
Para m = 4
C= no existe
4m
IV Si n=6 => C=
12-4m
Para m= 3 ; C= no existe
4m
V Si n= 7 => C=
14-5m
Para m= 3 ; C =no existe.
Esto demuestra que existen solo 5 poliedros
regulares.
Sea:
)>
Ecuación diofántica
=�
Para m
Por una simple inspección observamos
G: baricentro del 6. ASP.
Se traza LQ // PD
�x=?
6.ASR:
1
Cose= -
{3
6. QSL ; por ley de cosenos:
LQ
= nf3
6. QSE ; por propiedad:
QE
=
nill
3
6. QLE ; por ley de cosenos:
nill z
r;r 2
2
[ .f":r
[- -] =(nv3) +n - 2 nv3 ](n)C os x
3
Simplificando:
n el número de lados de las caras del poliedro.
Geometría
e
= 4m
Si n= 3 => C
IA
l. (V)
IN
2mC + 2nC - mnC
Hexaedro regular: V= 8
s
Por el teorema de Euler:
=
Octaedro regular: C = 8
W
A el número de aristas del poliedro.
Cumpliéndose. 2A=ne= mv
Área del poliedro:
RESOLUCIÓN
Geometría
'™
Geometría
Geometría
�OQN:
n�
_n_ = 12 q¡---.
2
n .fz
G
Toe
- =
A
(Claue7.J
IN
ld=ilM!ltat•nl31 I
CD 1- Plano ABM
B
En consecuencia; CD 1- a todas las rectas
contenidas en dicho plano, en particular:
co
e
(Clauet:J
x+y
x+y
�=-X- q¡-.. n=�
b x+y
x+y
.............. (!)
B
..............(2)
Nos piden hallar:
S = mnSen a
..............(3)
Reemplazando (1) y (2) en (3):
2n
ay
bx
S = --·--·Sena
(x+y) (x+y)
smáx . (x = y)
.·. S.=�Sena
,,
E
M
AC
S=abSena-�
(x+y)2
Para obtener :
,,
............... (i)
MNnDA = {M}" MNnDé = {N}
�MAP
H
NR, NRnCG = {T}
t;:,::,., TCN
B
QTnFG = {L}
�QCT
= t;:,::,., TGL => QT=TL
A continuación trazamos :
LRnEH = {K}
q¡---. a=h
2
13
Área de la superficie total del tetraedro regular
será:
h=a
.fz
./6
t;:,::,., RGL;;t;:,::,., RHK => KR = RL
Finalmente trazamos
MKnAE = {J}
t;:,::,., MAJ
= t;:,::,., JEK => AJ = JE y MJ=JK.
Esto demuestra que la sección plana determinada
es un hexágono regular, cuya área será:
= �NHM
S=6[ �r�
Q
�MN=NT
s = 3Q
2
6 NOT isósceles: OM =OT " ON 1- MT
[Claue!l)
= � TGR => CT=TG
Luego trazamos
Si MNnFG = {T}
�NGT
= t;:,::,., PBQ = t;:,::,.,QCN
Ahora trazamos :
e
2n
AD
�=_Y_ q¡-.. m = ¿L
a
EM
Por semejanza:
En primer lugar se prolonga PQ en ambos
sentidos, donde:
IA
El plano de Simetría ABM es perpendicular a la
arista es decir:
A
Por T3P : ON 1- MT
(Claue1!J
Geometría
Geometría
/3
4
(Claue'3
'™
Geometría
Geometría
11. (F) El tetraedro regular es conjugado consigo
mismo.
RESOLUCIÓN W
A
Observamos que el cubo inscrito en el dodecágono
regular tiene como aristas una diagonal de cada
cara.
III. (F) Ningún poliedro regular existe cuyas caras
con regiones hexagonales congruentes.
Como cada cara es un pentágono regular cuyo
lado mide "L", entonces su diagonal será:
A
RESOLUCIÓN ffl
J.
[�f
11. (V) El número de V = 20 e igual al número de
ángulos poliedros.
111. (V) Recordemos que:
III. (V) Si observamos en el problema anterior,
tenemos el dodecaedro, en el cual cada ángulo
poliedro es un triedro.
B
X
t1 BCD equilátero : BM =
a
f
IA
En el tetraedro regular : h=
IV. (V) El ángulo poliedro triedro es equilátero y
cada cara mide igual a 108° .
Q{6
3
13
RESOLUCIÓN ffl
EM
[Clauefl
(V) Es un poliedro o sólido geométrico.
C+V=A+2
2 (3)
Q 20+V= º
+2 Qr+- V= 12
2
IN
�AHO: x2= ª2 +
Por Euler :
!c1aueD
G
a
(V) Todo poliedro regular es convexo.
11. (V) El número de ángulos poliedros es igual al
número de vértices del poliedro, veamos:
A
(Claue!:J
l.
Por Euler:
A=
20(3)
2
A=30
C+V=30+2
C+V= 32
IV. (V) El número de ángulos diedros es igual al
número de aristas, es decir: 30.
RESOLUCIÓN ffl
l.
(V) Veamos:
Área total del poliedro:
S=6·[ �r+8·[ �f �
ª
:. S= a2(3+ 13)
ª
AC
AD
[Claue!J
E
Proy. de BH sobre el plano ACF es el punto P.
Luego la distancia entre BH y A F es PM = x.
t1 ACF equilátero: 3x =
(V ) Se ha demostrado en el problema Nº 32.
Geometría
Geometría
B
H H
Observa que BH .l plano ACF.
[Claue!!J
l.
G
ª� 13
Observa que e es perpendicular al plano de
simetría H.
En consecuencia, AB y CD son ortogonales.
JI. (V) Veamos:
Geometría
Geometría
� MQN; isósceles: MQ
A
111. (F) No cumple con la condición para que sean
poliedros regulares conjugados.
= QN = a
[ClaueYJ
RESOLUCIÓN tii]
A
(V) Veamos:
l.
e
III. (V)
=[Q;3r-� �
x
=Q{z
IN
�AMN:x 2
2
2
2
�=�� x2 =a2 �
6
6
Por una simple inspección:
otro
lado;
A-DBE
es
un
triedro
baricentro de ó DBE).
� AG .l HCF
ComoAG
AP =
=
2
¡,;
AAQ
€v.J
Q/3
AC
trirrectángulo, donde AQ .l DBE en Q (Q :
Q{3
= QP = PG = -
3
[ ClauefE)
/
/
E
/
B
2n
a
-=-�X=­
a/2 3n
3
Como los tetraedros regulares son conjugados,
entonces son semejantes;
Se cumple:
ST·Conj
ST· Dado
(Clauefl
ST·Conj
ST· Dado
= ¡a/3r
1
a
Recuerda que:
Luego:
9
11. (V) El hexaedro regular y el octaedro regular
son conjugados, porque el Nº de vértices de
uno es igual al Nº de caras del otro, así:
Ahora:
Luego:
La medida del ángulo buscado se consigue
trazando QN // EF.
Geometría
V¡
=
V1
=
i[ ª ;'31-[2ª;'3]
2
Vz =
H
.f3
h = 2a
3
También:
/
Q
s
p
x
AD
Por
8
x
IA
ª
EM
2
= QP = PH
Recuerda que el hexaedro regular y el octaedro
regular son conjugados, veamos la gráfica:
e
A
�OGM:[iJ =[ �J +[ ir
BQ
•�=l-1•)!*Xd[l]�i s1I
G
D
(c1aue!J
ª
3
3
2[l[ ª�f.[i]]
ª
6
-
V z=
............. (1)
3
..............(2)
lc1aue1!)
Geometría
RESOLUCIÓN
:.-
m
�QPH :
o
Geometría
Geometría
C-O'A'B' simétrico de C-OAB, donde C es centro
de simetría.
x2 = (3 {3)2 + 1 = 28
al6
Recuerda que: h =
3
(Claue,:O
(V) Todo paralelepípedo tiene centro de
simetría, pero no todo paralelepípedo tiene
ejes de simetría.
IN
B
G
(Claue1J)
l.
JI. (V) El octaedro regular tiene centro de
simetría.
Recuerda:
� 9 ejes de simetría.
ª ª
ª2{2
SAOM = M ;3][ ;6] =
RESOLUCIÓN
m
En el tetraedro regular se han trazado dos planos
de simetría.
El menor ángulo buscado es:
Esto se resuelve fácilmente en el desarrollo del
tetraedro regular; pero del modo siguiente:
A
RESOLUCIÓN
ffl
B'
Observar que
rectángulo:
AB // DC
�
CS = 3/3 �QH = 3/3.
l.
ti:'I
(F) La teoría dice.
11. (V) La teoría dice.
Dos figuras simétricas respecto de un eje son
inversamente congruentes.
III. (V) Como los objetos son simétricos, entonces
son congruentes.
Observación: dos regiones poligonales
simétricos son congruentes, en consecuencia
tienen áreas iguales, lo mismo sucede con
los sólidos geométricos, tienen volúmenes
iguales.
IV. (V) Veamos:
RESOLUCIÓN
[Claue1J)
ll1':1
e
aristas opuestas OA y BC.
(Claue,:O
A
Geometría
[Claueffl
Dos poliedros simétricos no pueden coincidir
por superposición.
Observación: sus ejes de simetría pasan por
su centro de simetría, ningún eje de simetría
contiene a las diagonales del hexaedro
regular.
B
MN es el segmento común perpendicular a las
o
Como:
RESOLUCIÓN
� 9 planos de simetría.
d
CQHS es un
QC = HS =l.
L.F
AC
D
(Clauefl
� 9 ejes de simetría.
AD
A'
IA
JII. (V) El hexaedro regular tiene centro de
simetría.
(Claue1J)
(V) La teoría dice. La figura simétrica de un
poliedro es otro poliedro.
III. (F) La intersección no determina un octaedro
regular.
� 9 planos de simetría.
EM
Luego:
l.
m
JI. (V) Dos figuras simétricas respecto de un centro
de simetría, son directamente congruentes.
A
RESOLUCIÓN ty1
RESOLUCIÓN'
Geometría
E
l.
H
(V) Recordemos la propiedad fundamental:
Dos figura simétricas respecto de un plano son
congruentes.
Geometría
Geometría
11. (F) La figura simétrica de CDG respecto al
plano MNO es BAF
l.
III. (F) La figura simétrica del punto D respecto al
plano MNO es el punto A.
1
1
1
h1
1
1
lo tanto GH y FE son simétricos respecto al
plano MNO.
III. (F) El octaedro regular- tiene 9 ejes de
simetría.
[Claue1l)
BN // AE � AE=BN= 16
Como AE y BF
entonces:
se
cruzan ortogonalmente,
FB .l BN
�FBN isósceles: FB =BN= 16
QFN=2.f3
6 FEN isósceles:
FE=EN=2
�BEN:
h2 = 6 - 4
'Ir-
h = f2
Volumen del prisma:
e
'lr--
AD
V= (2) {3 · {2
4
2
EM
En el tetraedro regular tracemos dos planos de
simetría:
l•üi..-t•)!ltat•UI sal
[Claue!l)
En un prisma regular n-angular, se cumple:
J>
J>
CB .l plano AON
OA .l plano BMC
A
A = 3n 'Ir- n = 3
AC
8
Observamos:
Designando por "x" el lado del cuadrado por
cortar, la arista del cuadrado basal medirá (L-2x)
y la altura de la caja será "x".
Por lo tanto, el volumen de la caja es:
l.
V =x(L - 2x)2
Ya se tiene lo fundamental: La función.
II. Se deriva: V= L2x - 4Lx 2 +4x 3
V'= 12x 2 - 8Lx + L 2
D
111. Se iguala la derivada a cero.
Datos : SDGF= 3./39
12x 2 - 8Lx +L2 = O � {�·�}
Por propiedad: S= S DGF·Cos 9
Analizadas estas dos raíces de la ecuación, se ve
que x = (U2) es un mínimo (volumen igual a
cero)
Q S= 3./39·[�'�]
Pero:
G'M =�{3 AGM =
6
El valor x = (U6) corresponde a un máximo y que
el mayor volumen es:
h./39
6
Reemplazando: S= 3./39· [:]
[Clauefl
Q 3S = SoE F= 9.f3
Luego el número total de caras será:
h
Pero·. 3./39= !h · ./39 'Ir- h = 6
2
C=n+2
6
Volumen del prisma:
Por teoría; los planos de simetría AON y BMC son
perpendiculares.
[Clauefl
G
En el plano ABED se traza:
L-2x
x
IN
11. (F) No tiene centro de simetría y tiene 3 ejes de
simetría, uno por cada par de aristas opuestas.
[ Claue!J
IA
(F) El hex aedro regular tiene 9 ejes de
simetría.
IV. (V) El sólido en poliedro.
N
--
�---213
F
120°
L
III. (F) Solamente los diedros en las bases son
rectos.
- __2_ ---- 1
[ Clauef¡l
l.
11. (F) Como tiene 15 aristas, entonces tiene 15
ángulos diedros.
A
IV. (V) E y H son simétricos, también F y G, por
(V) Como tiene 10 vértices, entonces tiene 10
ángulos poliedros.
Geometría
C=
[ Claue!!J
lctaue!!)
Geometría
Recordemos en un prisma:
A
3
+2
Por dato: A =6000
Reemplazando (1) en (2):
.............. (1)
..............(2)
Geometría
Geometría
En el prisma:
Volumen del sólido:
8V
V=
3 3 _..!..3 2 .3
X
3
( Claue11)
=
Luego se traza SBnNM = {U}
3
2
lc1aue!:I
RESOLUCIÓN ffl
Finalmente trazamos:
= �(6 +O+ 12- x)
3V
V
= s (18-x)� S
= 2- X
3
9 ..............(2)
De (1) y (2):
En el triángulo de la base:
54 = { M}
A continuación: M2nB'C' = {3}
Luego: 43n OC= {N}
= (a + 14)(a + 14- a- 6)
(a + 14 - 14)(a + 14 - a - 8)
16(a + 14) = 8·a·6 � a + 14 = 3a
a
=
7.
Ahora: N2nDD' = {l}
Volumen del prisma:
Si 32nfü = {Q}
V= (21)(4)(5) � -
QinEE' = {7}
En seguida: 54nNA = {T}
Q
(Claue!9
Finalmente se traza: T7nAE
EM
Se traza A'l3'n
= { 6}
AD
16(a + 14)2
IA
IN
5
Observamos el polígono convexo 1234567 es un
heptágono.
RESOLUCIÓN
A,..,,---------......
AC
3
m
6
3
2-x
(Clauefi)
(Claue!l)
A
D
e
RB : proyección de AB sobre el plano MNPQ.
MPnRB
=
{L}
Se levanta LK · (k E AB).
Trazamos
CKn GP
=a
CM = KL= JP= a /\ GJ= a
A continuación se traza:
Geometría
TF
= GJ
Geometría
=
IB
Si BD= 2 => BE = {3 y ED = 1
RL= LB
Q
B'B J.. plano ABC => B'B J.. BH
- Por T3P B'H J.. FO ; 9= ?
�BEO not. de 30° y 60°
Por una simple inspección:
Q
B'
Se traza DE J..
= {J}
�TFA =�AGJ:�JPS
B'
Esto demuestra que los puntos U, C, W, T son
colineales.
En consecuencia, la sección plana determinado es
un hexágono.
TAnNP = {S}
A'
�AMU:�CEW=�TFW
E,-,.--t-------r�=
CK // CM
6
UCnEF= {W}, unimos WT.
T
� ARB, si AR = 2a :::::, KL
Mi.--��
= {V}
�BPS:�BQV=�UMV
3V
3
UBnUQ
..............(1)
En el tronco de prisma:
vx = 27- 9
RESOLUCIÓN f:i:]
=
V
5(12)� S
A
6000
+2� c = 2002
3
G
c=
---- --------------------
JP= a /\ FA = AG = PS
Pero: FB= {3 => EF= 213.
� FEO: FD 2= (213)2 + 1
FD
=
ill
�FDE-�FBH
f
=: � n=fli
Geometría
Geometría
� B'BH: Ta0 =
a=2
2
--
- ¡¡;
l.
Volumen del prisma:
V=
2
e::::: arcTg2{JI
(Claue1]
III. (F) Si una cara lateral de un prisma es una
región rectangular, las otras pueden ser regiones
cuadradas.
Luego:
2 +
ªJ·a
S=2[ \
-----, ' '
S=3a2
[Clauefl
[Clauefl
EM
2
Reemplazando en (1):
V =:i.�.,
2 ,
AD
S= ab " SR= ..!. bd
F'
E'
l.
2
Se deriva: S,.'= 4x+4V(-l)·x-2
Igualando a cero: x = v.x-2 f/r+"
A
= 3n
SL=24./2 " m <r ( A'C',DE')=60
'Ir+" n
Pero: C=n+2
A
3
.............(1)
.............(2)
+2
II. (F) Por el teorema de Euler:
V=x3
C+V=A+2
Q 1+7+V=A+7
A
V=A--
[Claue!J
2
V= -A
3
3
III. (V) También por Euler:
=
A+2 => C+V
= 3v +2
2
Se traza BA' !! DE'.
C= --V+2
Si B'C'=a=> A'C'=A'B= C'B= a/3
V
+2
e= 2
3V
como BA' =BC' => ó A'BC' equilátero:
[Clauet5I
A
= 3
Reemplazar (1) en (2):
C +V
°
tml
(V) Si las bases del prisma son regiones
poligonales de "n" lados, entonces:
C=
4V
2x2+­
x
Por condición del problema:
AC
Por condición del problema:
.............(1)
1
De estas dos expresiones:
•füi-·MK•X9t•U•zgl
Iv. (F) La intersección de los planos diagonales
KMRP y LNSQ es AB.
RESOLUCIÓN
y
S,.= 2x +4xy " V=x y
A'
Por teoría, volumen del prisma oblicuo:
I
X
ST=
III. (V) Como el sólido es regular, entonces el
plano diagonal KNRQ divide en dos partes
congruentes.
[ClaueD
En el gráfico tenemos un rectoedro de base
cuadrada.
2
11. (V) Son congruentes, también son semejantes
ya que la razón de semejanza es uno.
1
1
0:
IN
II. (F) Un paralelepípedo regular es un prisma
cuadrangular regular.
De la figura: PQ = 2a y ER=2a
IA
(V) Un paralelepípedo es un prisma cuya base
es una región paralelográmica.
G
[Claue!IJ
l.
{3·2'1'26
4
A
/13
Ta0
- = 2 Ya
2
(V) Un prisma es un poliedro dos de cuyas caras
son regiones poligonales paralelas limitadas
por polígonos congruentes, y las demás caras
son regiones paralelográmicas.
� BB'C': BB'=a {2
V. (V) Por Euler:
Por dato: 24 {2 =6.a {2
2
Geometría
Geometría
Geometría
Geometría
A+7
V
=
A
A-3
V
=
3A-A
--
V
=
2A
3
Por condición del problema.
De(l) y (2):
y con cinco caras que concurren en un vértice,
sumados da 300º .
18€=72.25(12-x)
[Claueto
[Clauef¡)
•íl41•)!1riu,):jss l
A
i,j:J-i,)i•tat,n1s11
Q
=
512; �M: AN
2
a2 =
(5-./3) -
a2 =
25 ,¡,. a
(512)2 =
=
=
5-./3
75-50
5 /\ b = 5
-[ª +dl
2
IA
�ABM: e
S 1-
Luego:
--m
S2
=
25
·512
V=
2
(V) Cumple con la definición de prisma.
V
11. (V) El prisma E MP BF-HNQCG tiene 5 caras
regiones rectangulares y 2 caras regiones
poligonales no convexas.
AD
[Claue1J
111. (V) Tiene 6 vértices, entonces tiene 6 ángulos
poliedros.
IV. (V) T iene 12 aristas y por cada una tiene 12
ángulos diedros.
de
AC
[Claue1]
(V) Teorema: Las diagonales
paralelepípedo se bisecan.
5 1 + 52
II. (V) El icosaedro regular, tiene 12 ángulos
poliedros equiláteros cuyas caras miden 60°,
lQ = 12- X ,¡,.
[Claue1]
e]
a
De la figura: S = ah,¡,. h = �
a
� ABQ
=�
Q X= h
De la figura:
=
m
(a + b +e ++d)
2
....(1)
Pero; volumen del tronco de paralelepípedo:
a+b
[=sR[
§l
e:)
+ b2 = 74
b2 +c 2 = 61
ª2 + c 2 = 85
.............(1)
a2
............. (2)
.............(3)
Sumando (1) y (2):
mh
V = -(a +b+e+d)
4
.............(2)
_s
2
�+ + 2b = 135
85 + 2b2 = 135 ,¡,. 2b2 = 50
b2 = 25
De (1) y (2):
V
=
p1'h. 2(51 + S2) ,¡,.
4
p{
h
V =-(51+SJ
2
b=5
e:)
a2
+ 25 = 74 ,¡,. a = 49
2
a
=
7
49 +c 2 = 85 ,¡,. c2 = 36
c
un
Estas diagonales se intersectan en un punto, el
cual es centro de simetría.
rw
EM
Volumen pedido:
l.
Simplificando:
b+
[ - -m
2
Sumando:
•d:fi•)u@t•)�l s21
18000=72.25(12 - x)
IN
(Claueg
l.
Pero: 1 litro = 1000 cm3
Q
A
=
G
A
V
-+7+
3
=
6
Volumen del paralelepípedo:
V = a be ,¡,. V = 7·5·6
............. (1)
V= 210 cm3
P QB(A LA)
[Clauefi
............. (2)
Geometría
Geometría
Geometría
Geometría
1-'0r dato:
Pero del gráfico:
4 5 1 5
4 5 1 5
18=¡ , ; , ]n +[ , ; , ](Zn)
a+b
-- = 8 � a + b=16
2
e·
V=1(16
V= 72
+
18=3n + 6n � 9n=18 � n=2
16)
Volumen del tronco de prisma es :
G
A
En (1):
V= 2 ;3¡ 4, 5 +;+1, 5 )
3
µ.
2
V=13(¡) �
RESOLUCIÓN ffl
e
b
(Claueg
A
bl
V= {3
+
+
'F
º]
a
E
3
[c1aue!:J
H
AD
AC
[c1aueE
:
8+8
1
9
V=-(a+b+ 16)
4
.............(1)
Vx =
De la figura:
SS
V-Vx = -(n)
3
V=S( 4n)
Dividiendo (1) + (2):
B'
s[ 2
ª
ª]
ª+
\
8Sa _ 4Sa
4Sa
=
2
3
3
.............(1)
Por dato: S(2a) = 18
4Sa=36
.............(2)
Reemplazar (2) en (1):
36
Vx=
�
3
V
1¡311•l!•mM�l 94l
............. (1)
.............(2)
V - Vx
=2.. � 12V - 12Vx =5V
12
V
o
M
(Claue!:J
B"
Geometría
Geometría
[Claue!'.D
o,
12Vx = 12V - 5V= 7V
El volumen de todo tronco de paralelepípedo es:
a+b
2n
Vx = i(4S)(2a) -
4
8
V=32 .r
2n
Sea Vx el volumen pedido.
SR=S.Cos 37° � SR= -S.
5
Volumen del sólido:
3
e
IA
¡2 :31¡2 !
V=
2
1
a
EM
El poliedro es un tronco de prisma recto.
Volumen del tronco.
IN
RESOLUCIÓN �
tl ONM; por propiedad:
(4fü)2 = (2n)2 + (4n)2 - (2n)( 4n)
Simplificando:
'™
Geometría
Geometría
/3 1313
--=-4
3
n
En el trapecio NMCE, por propiedad:
2
13:3[1]
(n- Sa)(n - a)=O
(Claue!9
e
A
Factorizando:
A
Vx=
2]
G
:1:[4
+�+
O=5a2- 6an+ n2
2 (S + S�2�)
a+ b+ c+ d= _ _ ....a1..... _
m
Volumen pedido:
Vx=
Simplificando:
Pero:
3x=a+ b
[Claue fD
2n
[Claue!!)
IN
IA
B'
-[!3
3
2
3
f2. f2.
f2. . f2.
.
· 9]
· 6+ l_
2
3
Volumen pedido:
sf
Vx=V-
2
n
4
+ 3n
VX=V --Sn
3
vx = 5+ 5- 2- 3 = 10 - 5
[Claue!J
VX=
;
¡. +
1-]
A
r¡¡-..
4 V
VX=V -3 ·3
9V-4V
9
(ClauefD
i�:J..·M••ríJt•)�igs ¡
Recordemos que el volumen de todo tronco de
paralelepípedo es igual a:
Donde:
SR es el área del paralelogramo "mC''
Geometría
2a/2
2
2
2
1:::::,.. JQG : (2a f2.) =(3a- n) + (2a)
AD
2
V
Sn =3
AC
x
EM
V =S(3n) r¡¡-..
f2. · f2. 6+ 9
f2. · f2. 6+ 9
V =
]+
[
][
n=a
Volumen del poliedro:
2
3a
a+ ª
2
V =( ;) . [
/ ]
J
Por dato:
Volumen pedido "Vx".
De donde:
Geometría
[ClaueS,
e