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Unidad 8
Objetivos
Elasticidad
Al finalizar la unidad, el alumno:
• Interpretará la curva esfuerzo-deformación de diferentes
materiales sólidos, mediante gráficas.
• Aplicará fórmulas de esfuerzo para obtener deformación
laterales y axiales.
• Aplicará el modulo de elasticidad para la solución de diversos
problemas.
• Interpretará la constante de recuperación en la aplicación a
diferentes materiales.
Introducción
La ingeniería, además de basarse en cálculos para la construcción o diseño de
edificios, carreteras, maquinaria, herramientas, utensilios domésticos y otros más, debe
seleccionar materiales adecuados a utilizar, los cuales deben tener características especiales
para cada uso, como en el caso de los edificios estructurales (la resistencia para soportar
toneladas de compresión y tensión sin llegar a fracturarse) y las maquinarias (que deben
resistir movimientos constantes de oscilación y vibración), es decir, se deben seleccionar
materiales que cumplan con las condiciones químicas y físicas de resistencia.
En el capítulo anterior se considera el estudio del movimiento de rotación de
cuerpos rígidos, sin embargo es importante señalar que en realidad todos los cuerpos
son deformables, esto es, se puede cambiar la forma al aplicar fuerzas externas, pero
bajo ciertas condiciones, los cuerpos, al descargarlos de esfuerzos, toman nuevamente
su forma original. A esta propiedad se le conoce como Elasticidad.
8.1
Esfuerzo
En la armadura de la figura 8.1 los elementos AB, AC y BC de área transversal
constante a lo largo de cada elemento, están sujetos a modificación de su estructura
interna debido a la fuerza P.
P
C
A
B
Figura 8.1
197
CinemátiCa y dinámiCa

La fuerza P provoca en los elementos AC y BC un estado de compresión permanente.
Para el elemento AB se producen tensiones en sus extremos y en consecuencia estiramiento
imperceptible.
Si aislamos el elemento AB de la armadura como se indica en la figura 8.2 se nota que existe una
fuerza de tensión en los dos extremos, y además fuerzas uniformemente distribuidas en toda su longitud
y donde la sección recta también es uniforme. Note que la fuerza está aplicada perpendicularmente al
área transversal de cada extremo de la barra.
A
B
F
F
Figura 8.2. Para el elemento AB se producen tensiones en sus extremos y en consecuencia
estiramiento imperceptible en este elemento.
A la fuerza aplicada por unidad de área transversal se le llama esfuerzo y su magnitud está dada por
la siguiente fórmula:
σ=
F
A
(8.1)
Donde:
σ = es el esfuerzo, que está dado en pascales P = 1 N/m2 en el SI y en lb/in2 en el sistema inglés.
F = es la fuerza axial dada en newtons (N) en el SI y en libras (lb) en el sistema inglés.
A = es el área de la sección transversal en m2 en el SI y en in2 en el sistema inglés.
Para algunos cálculos técnicos en el área de ingeniería, las unidades que se manejan para el esfuerzo
están dadas en kgf /cm2.
8.2
Deformación
Cuando la barra indicada en la figura 8.2 es sometida a una carga (fuerza) de tensión uniforme, esta
barra experimenta un alargamiento.
La Deformación es el cambio relativo en las dimensiones o en la forma de un cuerpo como resultado
de la aplicación de un esfuerzo, y se define por la ecuación:
ε=
198
∆l
l
(8.2)
Unidad 8
ε = deformación, este valor es adimensional.
∆l = cambio en la longitud de la barra, en m (SI) o en in (sistema inglés).
l = longitud inicial de la barra, en m (SI) o en in (sistema inglés).
A esta deformación también se le denomina deformación unitaria ε =
∆l
, donde se maneja ∆l = l f – l i
.
l
En la figura 8.3 se observa el cambio en la longitud de la barra debido a las fuerzas aplicadas en sus
extremos.
F
F
li
F
F
lf
Figura 8.3
Cuando la barra es sometida a una fuerza axial de tracción aumentará su longitud inicial. Este
fenómeno no siempre es perceptible ya que tiene valores muy pequeños detectados exclusivamente por
instrumentos de precisión.
8.3
Elasticidad y plasticidad
En la figura 8.3 cuando se alarga la barra, ésta no siempre regresa a la posición original; dependiendo
de los esfuerzos aplicados, la barra experimentará el regreso parcial o total a su posición inicial, análogo
a los choques elásticos.
La Elasticidad es la propiedad que tienen los cuerpos de recuperar su forma primitiva u original tan
pronto como cesa la acción que los alteraba, como por ejemplo, un resorte.
La Plasticidad es la capacidad de un material para deformarse bajo la acción de un esfuerzo y
retener dicha acción de deformación al retirarlo.
Para los ingenieros es importante distinguir en qué zona se está trabajando, si es en la zona elástica o
en la zona plástica, ya que las fórmulas difieren en cada zona. Las fórmulas a que se hace referencia en
el presente capítulo se enfocan a la teoría de la elasticidad.
199
CinemátiCa y dinámiCa
En ingeniería se utiliza la máquina universal, una máquina semejante a una prensa con la que es
posible someter materiales a ensayos de tracción y compresión para medir sus propiedades. La presión
se logra mediante placas o mandíbulas accionadas por tornillos o un sistema hidráulico.
Figura 8.4
En ingeniería, las propiedades mecánicas de los materiales son las características inherentes que
permiten diferenciar un material de otros, desde el punto de vista del comportamiento mecánico de los
materiales. También hay que tener en cuenta el comportamiento que puede tener un material en los
diferentes procesos mecanizados que pueda tener. Entre estas características mecánicas y tecnológicas
destacan:
•
Resistencia a esfuerzos de tracción, compresión, flexión y torsión, así como desgaste y fatiga,
dureza, resiliencia, elasticidad, tenacidad, fragilidad, cohesión, plasticidad, ductilidad,
maleabilidad, entre otros.
Debido a que cada material se comporta diferente, es necesario analizar su comportamiento mediante
pruebas experimentales. Entre las propiedades mecánicas más comunes que se miden en los materiales
están la resistencia a la tracción, la compresión, la deformación, el coeficiente de Poisson y el módulo
de elasticidad o módulo de Young.
8.4
Módulo de elasticidad
Para los materiales elásticos, existe una relación entre el esfuerzo y la deformación (módulo de
elasticidad), enunciada por primera vez por el investigador inglés Robert Hooke en 1678 por lo cual
lleva su nombre.
La ley de Hooke establece que, dentro de ciertos límites, el esfuerzo en un material es directamente
proporcional a la deformación que lo produce.
σ = Eε
Donde:
σ = es el esfuerzo, en N2 en el Sistema Internacional y en lb2 en el Sistema Inglés.
m
in
N
E = es el módulo de elasticidad del material en 2 (SI) y en lb (sistema inglés).
m
in2
ε = es la deformación, es adimensional.
200
(8.3)
Unidad 8
Al valor de E se le llama también módulo de Young, que asimismo es la constante de la relación
entre tensión y deformación específica.
Si despejamos a E de la ecuación 8.3 y sustituimos las ecuaciones 8.1 y 8.2, nos queda:
F
σ A
Fl
E = = E=
l
∆
ε
A ∆l
l
Por lo tanto, el módulo de elasticidad o módulo de Young está dado por: E =
La deformación de la barra se calcula por medio de: ∆l =
Fl
AE
(8.4)
Fl
A ∆l
(8.5)
En el cuadro anterior, en la ecuación se observa que el producto Fl es directamente proporcional a la
deformación total ∆l . Cuando un cuerpo se somete a una tensión (F, fuerza axial) no sólo se producirá
una deformación axial (L, alargamiento), sino también una deformación lateral (A, estrechamiento) que
es inversamente proporcional a ∆l .
Se puede observar en la ecuación 8.5 que bajo la misma carga pero con una longitud mayor de la
barra (l) aumenta la deformación total de la barra.
Cada material experimenta y tiene una constante de proporcionalidad E, como se muestra en la tabla 8.1.
Tabla 8.1 Módulos de elasticidad
Material
Módulo de elasticidad, E (N/m2)
Hierro colado
100 x 109
Acero
200 x 109
Latón
100 x 109
Aluminio
70 x 109
Concreto
20 x 109
Tabique
14 x 109
Mármol
50 x 109
Granito
45 x 109
Madera, pino (paralela al hilo)
10 x 109
Madera, pino (perpendicular al hilo)
10 x 109
Nylon
1 x 109
Hueso de extremidades
100 x 109
Tomada de Física, principios y aplicaciones, Douglas C. Giancoli, Editorial Prentice Hall, México, 1997, cuarta
edición, p. 243.
Para un mayor entendimiento de los límites de elasticidad y plasticidad es necesario conocer el
diagrama esfuerzo-deformación, además de la correcta interpretación de los puntos esenciales de éste.
Para el diseño de una maquinaria única, generalmente se utilizan materiales de resistencia mayores a
las que se calculan, pero si se realiza una producción en serie de cientos de construcciones de maquinaria,
es de suma importancia seleccionar el material adecuado, ya que reducirán enormemente los costos y
aumentará la seguridad.
201
CinemátiCa y dinámiCa
Otro ejemplo: cuando se va a utilizar un material para la construcción de edificios y miles de toneladas
de estructura, se deben hacer las pruebas no destructivas y destructivas para verificar que cumplan con
las condiciones de diseño. Para esto se hacen una serie de pruebas, entre ellas mencionaremos la prueba
a la tensión, que consiste en probetas maquinadas y tomadas del mismo material para construcción: la
probeta tiene una forma semejante a la mostrada en la figura 8.5.
φ
probeta de longitud “l” y
diámetro φ
l
Figura 8.5
Esta probeta de longitud l y diámetro φ se somete a tensión en los extremos hasta fracturarse,
generando la gráfica esfuerzo-deformación que se muestra y se describe en la figura 8.6, a continuación:
r
φ
l
U
Su
Sf
Sy
F
A
F
Y
E
P
Esfuerzo unitario
σ=
∆l
O A
εY
Deformación unitaria ε =
εU
∆l
l0
Figura 8.6 Curva esfuerzo-deformación.
Diseño de ingeniería mecánica, Joseph E. Shigley.
202
εF
Unidad 8
El análisis de la curva esfuerzo-deformación se muestra en la tabla 8.2 con relación a los puntos de esta
curva.
Punto
Nombre y descripción
P
Límite de proporcionalidad (límite de elasticidad proporcional). La probeta experimenta
elasticidad y su comportamiento es rectilíneo.
E
Límite de elasticidad (límite elástico verdadero). Si la carga se suprime en este punto no
se presenta ninguna deformación permanente en la probeta.
PyE
Entre estos dos puntos la gráfica tiene la forma de recta imperfecta, aunque el material
todavía es elástico y es hasta el límite elástico de proporcionalidad E que se cumple la ley
de Hooke.
Y
Límite elástico aparente o punto de cedencia. En este punto la deformación comienza a
crecer rápidamente sin que haya un incremento correspondiente a este esfuerzo (diámetro
de la probeta r), y sin que se invada la zona de deformación plástica (longitud de la
probeta).
U
Última resistencia (a la tensión). Es el valor máximo de esfuerzo que se alcanza en el
diagrama esfuerzo deformación.
F
Fractura. Después de la última resistencia U algunos materiales muestran tendencia
decreciente en el esfuerzo, después que han llegado al punto máximo y posteriormente
se rompen o fracturan. A este comportamiento también se le llama fatiga y usualmente
es la causa de un gran porcentaje de fallas en bielas y cigüeñales de máquinas, aspas de
turbinas de gas o de vapor, así como de otras partes sometidas a cargas cíclicas. En todos
estos casos, ocurrirá una fractura bajo un esfuerzo menor que el esfuerzo de cedencia del
material.
O-E
Zona elástica. La región de la curva que va desde el origen hasta el límite de elasticidad.
E-F
Zona plástica. La región de la curva que va desde el límite de elasticidad hasta el punto
de ruptura.
Tabla 8.2 Límites de elasticidad y plasticidad.
Como se mencionó anteriormente, es de gran importancia conocer el diagrama esfuerzo-deformación
de materiales e identificar en qué parte de la curva se trabajará, ya sea en la zona elástica o en la zona
plástica; cabe recalcar que no todos los materiales tienden a comportarse de la misma forma.
Algunos tipos de hierros colados sufren fractura en el límite de elasticidad y no experimentan
deformación plástica, es decir, a medida que aumenta la resistencia de los materiales disminuye la
deformación específica y, por lo tanto, su ductilidad. Se dice entonces que el material va ganando en
fragilidad.
203
CinemátiCa y dinámiCa
Problemas resueltos
1. Una varilla de longitud igual a 120 in con un diámetro de 1/10 in soporta una carga de 200 lb
como se observa en la figura 8.7. Encuentre la deformación longitudinal en la varilla y el cambio en su
longitud si E =30x106 lb/in2.
Área
∆l
l
F = 200lb
Figura 8.7
Solución.
El esfuerzo en cualquier lugar de la varilla es de 200 lb por unidad de área.
El esfuerzo es, por lo tanto:
σ=
F
F
= 2
A πd
4
σ=
200lb
lb
= 25464.79 2
π (0.1)2
in
4
El esfuerzo y la deformación se relacionan por el módulo de elasticidad, en la ecuación 8.3.
σ = Eε
Despejando ε :
Si l =120 in sustituyendo en ε =
ε=
σ 25464.79
=
= 8.49 x 10–4
E 30 x 106
∆l
y despejando ∆l se tiene:
l
∆l = εl = 8.49 x10–4 (120 in ) = 0.102in
o ∆l = 2.59rr
204
Unidad 8
2. El poste está soportado por un pasador en C y por un alambre de acero AB como se observa en la
figura 8.8. Si el alambre tiene un diámetro de 0.2 in, determinar cuánto se estira cuando una fuerza
horizontal de 2.5 klb actúa en el poste E=29x103 klb/ft2.
B
3ft
2.5 klb
30°
4 ft
A
C
Figura 8.8
Realizando el diagrama de cuerpo libre de las fuerzas sobre el poste, se tiene lo indicado en la figura 8.9:
3ft
2.5 klb
30°
4ft
F
C
Cx
Cy
Figura 8.9
Se determina la magnitud de la fuerza F y la longitud inicial del cable, para después encontrar ∆l a
∆l
.
partir de la fórmula 8.2, dada por: ε =
l
Para encontrar la fuerza sobre el cable F se aplica sumatoria de momentos en C igual a cero, ya que el
sistema se encuentra en equilibrio.
∑ Mc = –25 klb(4 ft ) + Fsen30°(2 ft ) = 0
→F =
25 klb(4 ft )
= 2.857klb
sen30°(2 ft )
20
CinemátiCa y dinámiCa
Para el esfuerzo σ AB :
σ AB =
FAB
2.854
klb
=
= 90.94 2
A AB π (0.22 )
in
4
De la fórmula 8.4 σ = Eε despejamos a ε :
ε ΑΒ
klb
90.94 2
σ AB
in
=
=
= 0.003136
E 29 x10 3 klb
in2
∆l
y despejando a ∆l queda:
l
in
7 fl 12
ft
= ε ABl AB = (0.003136)
= 0.304 in
cos30°
El estiramiento total se obtiene de la formula 8.3 ε =
∆l ΑΒ
3. En una probeta de ensayo de material cerámico se realiza la prueba de tensión y se arrojan los
resultados en una tabla esfuerzo deformación, presentando que la curva es lineal entre el origen y
el primer punto. Trazar la curva, determinar el módulo de elasticidad, e interpretar los principales
puntos significativos.
σ = ( MPa)
e
mm
mm
( )
0
0
400
229
0.0008
350
314
0.0012
300
341
0.0016
250
355
0.0020
200
368
0.0024
150
100
50
0.0008 0.0012 0.0016 0.0020 0.0024
Figura 8.10
206
Unidad 8
La zona sombreada pertenece al límite de proporcionalidad y es hasta este punto es donde se aplica la
σ
ley de Hooke E = .
ε
E=
229 x106
= 286 GPa
0.0008
De 229 MPa a 314 MPa entra en la etapa del límite elástico aparente o punto de cedencia. En esta zona
el material presenta una recuperación no de 100%, ya que su estructura interna ha sufrido daños.
A partir de 314 MPa el material se comporta plásticamente y se fractura en 368 MPa, ya no presenta
r
última resistencia a la tensión. Incrementando su deformación a 0.0008 en la zona elástica y siendo
r
r
su máxima deformación de 0.0024 .
r
8.5
Constante de recuperación
En el tema anterior se analizó que un cuerpo se denomina elástico si al actuar una fuerza sobre él
sufre una deformación, de tal manera que al cesar de actuar la fuerza recupera su forma original; y si la
deformación supera un cierto punto de la curva esfuerzo-deformación (límite de elasticidad) el cuerpo
queda permanentemente deformada, invadiendo la zona plástica. Estas características las presentan los
resortes cumpliendo la ley de Hooke.
Los resortes son cuerpos elásticos que como se mencionó en el tema anterior se deforman cuando
se les aplica una fuerza su comportamiento puede estudiarse mediante la ley de Hooke que establece
lo siguiente:
La deformación que sufre un resorte al ser sometido a la acción de una fuerza es directamente
proporcional a dicha fuerza, si no se ha superado el límite elástico el resorte vuelve a su estado original
al cesar la acción de la fuerza.
La expresión matemática de la ley de Hooke se puede expresar como:
F = – K ∆l
(8.6)
Donde:
F = fuerza elástica del resorte, en N (SI); en lbf (sistema inglés).
K = Constante de recuperación, en N/m (SI); en lbf/in (sistema inglés).
∆l = Deformación del resorte, en m (SI); en in (sistema inglés).
La anterior expresión matemática se puede explicar con las figuras 8.11 a 8.13.
207
CinemátiCa y dinámiCa
l1
Figura 8.11. Posición inicial longitud l1 del resorte sin la acción fuerzas que lo deformen.
El signo negativo en la ley de Hooke significa que la fuerza ejercida en el resorte siempre está en
sentido opuesto al desplazamiento; cuando el desplazamiento ∆l es positivo (Figura 8.12), la fuerza del
resorte es hacia la izquierda o negativa. Cuando ∆l es negativo (Figura 8.13), la fuerza del resorte es
hacia la derecha o positiva. Desde luego que cuando ∆l es cero (figura 8.11), el resorte no se encuentra
deformado. Puesto que la fuerza del resorte siempre actúa hacia la posición de equilibrio, algunas veces
recibe el nombre de fuerza restauradora.
l2
∆l
l1
F
Figura 8.12 Incremento de longitud, ∆l positivo.
208
l2
∆l
l1
F
Figura 8.13 Decremento de longitud, ∆l negativo.
Unidad 8
Problemas propuestos
1. Una cinta métrica de acero de 30 m de longitud tiene una sección de 6mm por 0.8mm. Determinar
el alargamiento cuando se estira toda la cinta y se mantiene tirante bajo una fuerza de 8 kg. Para el
acero E = 2.1x106kg/cm2 .
Respuesta: 0.28 cm.
2. Un cable recto de aluminio de 30 m de largo está sometido a una tensión de tracción de
900 kg/cm 2. Determinar el alargamiento total del cable.
Respuesta: 3.86cm
3. Dos barras prismáticas están unidas rígidamente y soportan una carga de 8000 kg como se muestra
en la figura 8.14. La barra superior es de acero con una densidad de 0.0078 kg/cm3, una longitud de
10 m y una sección de 60cm2. La inferior es de bronce con densidad de 0.008 kg/cm3, una longitud
de 6 m y una sección de 50 cm2. Para el acero E = 2.1x106 kg/cm2 y para el bronce E = 9x105 kg/cm3.
Determinar las tensiones máximas en cada material.
Respuesta: σ B–B =164.8 kg/cm2 y σ A–A=145.13 kg/cm2
A
A
10 m
B
B
6m
C
C
8000 kg
Figura 8.14
4. Una barra de sección uniforme está sometida a atracción axial. La sección es de 6 cm2 y la longitud
de 4 m si el alargamiento total es de 0.40 cm bajo una carga de 12,600kg. Hallar el módulo de elasticidad
del material.
Respuesta: 2.x106 kg/cm2
209
CinemátiCa y dinámiCa
Glosario
Cohesión: es una fuerza que representa la atracción entre moléculas que mantiene unidas las partículas
de una sustancia.
Compresión: es la fuerza que actúa sobre un material, suponiendo que esté compuesto de planos
paralelos, lo que hace la fuerza es intentar aproximar estos planos, manteniendo su paralelismo.
Ductilidad: es la propiedad que presentan algunos metales y aleaciones cuando, bajo la acción de una
fuerza, pueden deformarse sin romperse permitiendo obtener alambres o hilos.
Dureza: es una propiedad que se define como la resistencia de un material a ser rayado.
Elasticidad: es la habilidad de un material para recuperar sus dimensiones originales al retirar el esfuerzo
aplicado.
Esfuerzo: es la magnitud de la fuerza por unidad de área.
Flexión: es el esfuerzo debido a un momento actuante sobre el eje transversal de una estructura.
Fatiga: es la disminución de la resistencia mecánica de los materiales al someterlos a esfuerzos
repetidos.
Fragilidad: es lo opuesto de ductilidad. Cuando un material es frágil no tiene resistencia a cargas de
impacto y se fractura aún en carga estática sin previo aviso.
Fuerza interna: es la resistencia interior de un cuerpo a una fuerza externa.
Límite de proporcionalidad: es el punto de la curva en la gráfica de esfuerzo-deformación, hasta donde
la deformación unitaria es proporcional al esfuerzo aplicado.
Maleabilidad: es la propiedad de la materia, que presentan los cuerpos al ser labrados por deformación;
la maleabilidad permite la obtención de delgadas láminas de material sin que el material se rompa.
Módulo de elasticidad: es la pendiente de la parte recta del diagrama de esfuerzo deformación, y por
consiguiente, la constante de proporcionalidad entre el esfuerzo y la deformación unitaria.
Plasticidad: es la capacidad de un material para deformarse bajo la acción de un esfuerzo y retener dicha
acción de deformación al retirarlo.
Punto de cedencia: es el punto en donde la deformación del material se produce sin incremento sensible
en el esfuerzo.
Resiliencia: es la cantidad de energía que puede absorber un material, antes de que comience la
deformación irreversible, esto es, la deformación plástica.
210
Unidad 8
Resistencia a la ruptura: es el esfuerzo basado en la sección original que produce la fractura del
material.
Resistencia: la resistencia de un material es la propiedad que tienen para resistir la acción de las
fuerzas.
Resistencia última: es el esfuerzo máximo basado en la sección transversal original que puede resistir
un material.
Rigidez: la propiedad que tiene un material para resistir deformaciones.
Tenacidad: es la resistencia que opone un mineral u otro material a ser roto, molido, doblado o
desgarrado, siendo una medida de su cohesión.
Tracción: es el esfuerzo a que está sometido un cuerpo por la aplicación de dos fuerzas que actúan en
sentido opuesto y tienden a estirarlo.
211