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Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo I. El ensayo de tracción
El ensayo de tracción
1.1 Curva esfuerzo - deformación ingenieril
El Ensayo de tracción se realiza bajo la norma ASTM E-8, o bien la norma chilena NCH 200,
entre otras. Su importancia radica en que es válido y aceptado para especificación de
materiales en ingeniería.
La información básica que se puede extraer de un ensayo de tracción se resume en la figura
siguiente:
i 
P
A0
Offset yield strength: Límite elástico convencional
Resistencia tensil o UTS
Esfuerzo de fractura
Deformación
uniforme
Deformación a fractura
Figura 1. Diagrama esfuerzo – deformación.
i = esfuerzo ingenieril = P/A0
i = deformación ingenieril =
l
l0
i 
l
l0
en que P es la carga aplicada a A0 es el área inicial
siendo l = l – l0 el alargamiento de la probeta, l su
longitud instantánea y l0 su longitud inicial
El UTS (Ultimate Tensile Strength), se refiere al esfuerzo tensil en el punto de carga máxima.
Durante la deformación elástica el volumen no se mantiene constante.
Para esfuerzos comprendidos entre el esfuerzo de fluencia y el UTS se cumple que Al  A0 l 0
Deformación elástica y plástica. Por sobre el límite elástico, coexisten la deformación elástica
y plástica. En la figura 2 se muestra un diagrama esfuerzo-deformación, en el cual pueden
verse las zonas elástica y plástica, para dos niveles de deformación.
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1-1
Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo I. El ensayo de tracción
Carga
P2
P1
A'
a b
Deformación
B'
c
d
Figura 2. Diagrama esfuerzo – deformación mostrando las deformaciones elástica y plástica.
En la figura, el segmento b viene dado por: b 
y el segmento d: d 
P1
A0
E
 
P2
A0
E
Además d > b dado que P2  P1 y por lo tanto, la deformación elástica es mayor en P2 que en
P1.
1.2 Ductilidad
La ductilidad se mide por la deformación ingenieril de fractura  f
 y por la reducción de
área.
La deformación ingenieril a fractura se define como:
f 
l f  l0
l0
a su vez la reducción de área se define como:
q
A0  A f
A0
A
l
1
 0 
l0
A 1 q
l0 y l son las longitudes inicial e instantánea; A0 y A son las áreas inicial e instantánea. Af y lf
son el área y la longitud finales.
1-2
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Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo I. El ensayo de tracción
1.3 Módulo de elasticidad (módulo de Young)
El módulo de elasticidad corresponde a la pendiente de la parte lineal de la curva    .
Mide la rigidez del material y está relacionado con las fuerzas de enlace atómicas.
En general, se encuentra que el módulo de elasticidad es poco afectado por los elementos de
aleación, por tratamientos térmicos o por trabajo en frío. Al subir la temperatura, disminuye el
módulo de elasticidad, tal como se desprende de la tabla 1.
Tabla 1. Valores típicos del módulo de elasticidad a diversas temperaturas en GPa.
Material
Acero al Carbono
Acero inoxidable austenítico
Aleaciones de titanio
Aleaciones de aluminio
Tamb 477 K
207
186
193
176
114
97
72
66
700 K
155
159
74
54
810 K
134
155
70
922 K
124
145
1.4 Resiliencia
Es la capacidad de un material para absorber energía cuando se deforma elásticamente.
1.5 Módulo de Resiliencia
Corresponde a la energía de deformación por unidad de volumen requerida para deformar el
material hasta el límite elástico  0 .
2  J 
1
1 
U R   0 0   0 · 0  0  3 
2
2
E 2E  m 
De esta relación se deduce que el material ideal para construir un resorte debe poseer un alto
 0 y un bajo módulo de elasticidad. En la figura 3, se muestra una comparación entre dos
aceros, uno de los cuales resulta apropiado para la construcción de resortes.
En la tabla 2 se muestran valores del módulo de resiliencia para varios materiales.
Tabla 2. Módulos de resiliencia de varios materiales.
Material
E(GPa)  0 (MPa) UR(kPa)
Acero medio C
Acero alto C para resortes
Duraluminio
Cobre
Goma
Acrílico
207
207
72
110
0.0010
3.4
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310
965
124
28
2.1
14
232
2250
107
3.5
2140
28
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
Acero alto C (Resortes)
Acero estructural

Resiliencia
Figura 3. Curva esfuerzo – deformación para dos tipos de aceros.
1.6 Tenacidad
Es la capacidad para absorber energía en el rango plástico.
Corresponde al área bajo la curva    .
Esfuerzo y deformación verdaderos.
El esfuerzo y la deformación verdaderos se definen como
v 
P
A
d v 
l
dl
  v  ln  f
l
 l0



en que P es la carga aplicada, A el área instantánea y l la longitud instantánea
Se cumplen las siguientes relaciones

 v  ln 1   i 
 v   i 1   i 
En la figura 4 se muestran una comparación entre las curvas verdaderas e ingenieril.
Estas ecuaciones son válidas hasta la deformación uniforme. Más allá de este punto se cumple
que
 v  ln
A0
D
 2 ln 0
A
D
En que D0 y D son el diámetro inicial e instantáneo respectivamente.
Esfuerzo ingenieril a carga máxima. Se define como:
1-4
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 iu 
Pmáx
A0
El superíndice, a veces subíndice u, se utiliza para especificar el punto de carga máxima.

v-v
ii

Figura 4. Comparación entre curvas verdaderas e ingenieriles.
El esfuerzo verdadero en la carga máxima uv se define como:
 vu 
Pmáx
Au
A su vez, la deformación verdadera en la carga máxima corresponde a
 vu  ln
A0
Au
en que Au es el área en la carga máxima
Eliminando Pmáx se obtiene
 vu   iu
A0
Au
  vu   iu exp  vu 
1.7 Esfuerzo de fractura verdadero. Se define como:
v 
PFract
AFract
PFract la carga de fractura y AFract es el área en la fractura.
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1-5
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1.8 Deformación verdadera a fractura
Corresponde a
 vf  ln
 vf  ln
A0
Af
1
1 q
q corresponde a la reducción de área y Af es el área de la probeta fracturada, medida en el
cuello.
1.9 Deformación uniforme verdadera. Corresponde a la deformación verdadera en la carga
máxima y se calcula a partir de las áreas, a partir de.
 vu  ln
A0
Au
en que Au es el área a carga máxima.
1.10 Deformación verdadera local en el cuello
Es la deformación necesaria para deformar la muestra desde la carga máxima hasta la fractura.
Se calcula a partir de
 vn  ln
Au
Af
1.11 Ajuste de Hollomon
Para la zona de deformación plástica uniforme se puede relacionar el esfuerzo verdadero con
la deformación verdadera por:
 v  K v n
en que K es una constante y n corresponde a la pendiente de ln 0 vs ln v .n recibe el nombre
de índice de endurecimiento por deformación.
K es una constante.
n es el índice de endurecimiento por deformación.
Si
n=0 el material es perfectamente plástico.
n=1 corresponde a un sólido elástico.
Normalmente para la mayoría de los materiales, 0.10 < n <0.50
En la tabla 3 se muestran valores típicos de n y K para diversos materiales.
1-6
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Tabla 3. Valores para n y K para metales a temperatura ambiente.
Metal
Condición
n
K (MPa)
Acero 0.05%C
Recocido
0.26
530
SAE 4340
Recocido
0.15
640
0.10
1570
0.19
1230
0.54
320
Templado y Revenido a
540ºC
Templado y Revenido a
705ºC
Acero 0.6%C
Acero 0.6%C
Cobre
Recocido
Latón 70/30
Recocido
0.49
900
d
La expresión
corresponde a la velocidad de endurecimiento por deformación.
d
n se calcula graficando ln  v vs ln v hasta la deformación plástica uniforme. La pendiente de
la recta resultante corresponde a n.
n
d ln    d
 
d ln    d

d

n
d

1.12 Otros ajustes
Otros ajustes, son los que se muestran a continuación:
   0  K n
Ecuación de Ludwik
en que  0 es el Esfuerzo de fluencia
  c(1  me n )
Ecuación de Voce
En que c, m y n parámetros propios del material
  c( m   ) n
Potencia generalizada
c, m y n son parámetros del material


  1   
E
0

Ecuación de Ramberg-Osgood

3
7
m



m 1



1
n
o, E y m dependen del material
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1-7
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 E 

 y 
  y tgh 
Ecuación Prager
1.13 Inestabilidad en tensión. A continuación se estudia con algún detalle, el fenómeno de
formación de cuello.
El primer aspecto a tener en cuenta es que la formación de cuello ocurre en la carga máxima
En este punto, el incremento de esfuerzo debido a la disminución en la sección transversal
supera al incremento en la resistencia debida al endurecimiento por deformación.
Matemáticamente esto corresponde a dP  0
Dado que:
P vA
 v dA  Ad v  0
d v
dA

v
A

Pero dV=0, por lo tanto
con lo que
o bien:
d v
 v
d v
d v
v
dl
dA

 d v
l
A
 d v
ecuación que caracteriza al punto de inestabilidad.
El punto de inestabilidad en la curva  v   v puede ser encontrado:
a)
b)
Por el punto sobre la curva con subtangente unidad.
Por el punto de la curva donde la velocidad de endurecimiento por
deformación iguala al esfuerzo.
d v
d v
En la figura 5(a) al trazar una tangente a la curva v - v de tal forma que la distancia
horizontal entre la proyección del punto de tangencia al eje horizontal (u) y el punto de corte
con el mismo eje de la tangente, sea uno, se cumple que la pendiente de la tangente es v/1.
Además la pendiente de dicha tangente es igual a la de la curva, por lo tanto dv/dv = v.
1-8
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v
v
d v
v
d v
u
1
v

u
Figura 5. Determinación de la deformación uniforme. (a) Subtangente unidad (b) d/d = 0
En la figura 5(b) se muestra la relación se muestra la relación
d v
  v superpuesta a la v d v
v. En el punto de corte de ambas curvas se encontrará el UTS, dado que
d v
  v para ese
d v
punto.
1.13.1 Criterio de Considere
El criterio de Considere para la determinación del UTS, se basa en que en una gráfica  v   i ,
se cumple que
d v
v

(*).
d i 1   i
La demostración de esta ecuación puede verse a continuación:
dl
d v d v d i d v l 0
d v l d v





 
(1   i )   v
d v
d i d v
d i dl
d i l 0
d i
l
A partir de
d v
v

, se traza  v   i
d i 1   i
Se marca el punto  i  1 y se traza desde este punto la tangente a la curva  v   i .
Así se determina  vu cumpliéndose la ecuación (*).
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v
 vu
i
u
1
Figura 6. Esquema del criterio de Considere.
1.13.2 Relación entre la deformación verdadera uniforme y el índice de endurecimiento por
deformación.
Dado que
d v
  v y  v  K vn
d v
 Kn vn 1  K vn
  vu  n
Es decir, la deformación uniforme es igual al índice de endurecimiento por deformación.
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1.13.3 Distribución de esfuerzos en el cuello
Durante la formación de cuello aparece un estado triaxial de esfuerzos.
x
x
2a
r
R
t
x
Figura 7. Triaxialidad de esfuerzos durante la formación de cuello.
En la zona del cuello se producen esfuerzos radiales y transversales que elevan el valor del
esfuerzo para generar deformación plástica. Bridgman (Premio Nobel de Física en 1946),
demostró que:

 x AVG
 x  AVG
a 
 2R  
1 
 ln 1 

a    2 R 

es el esfuerzo promedio en la dirección axial = carga/área transversal mínima

es esfuerzo uniaxial correspondiente a aquel que habría si el cuello no introdujera
esfuerzos triaxiales.
R es el radio de curvatura del cuello y a es el radio de la probeta en el cuello.
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1.13.4 Variación de la ductilidad local con la posición
La elongación a rotura depende de la distancia que se use como referencia para medir
deformación. En este sentido, la deformación no constituye una propiedad del material.
En la figura 8, se muestra la dependencia de la deformación con el tamaño de la zona elegida
para medir la deformación.
Elongación
Local
Distancia
Figura 8. Deformación en función de la distancia.
1.14 Efecto de la velocidad de deformación sobre las propiedades
Uno de los parámetros importantes en la determinación de las propiedades mecánicas, lo
constituye la velocidad de deformación , definida por:
 
d
dt
s 
1
En general se observa que al aumentar , se produce un aumento en el límite elástico del
material, tal como puede apreciarse en la figura 9. Dicho aumento es más significativo a alta
temperatura.
El UTS no es tan influenciado por  como lo es el esfuerzo de fluencia. En la tabla 4 se
resumen los rangos de velocidad de deformación para varios tipos de ensayos.
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0 (Límite elástico) (MPa)
102
298 K
10
620
1
K
K
720
K
820
K
870
100
10-5
10-4
10-3
10-2

s 
1
Figura 9. Esfuerzo de fluencia a 0.2% de deformación frente a velocidad de
deformación para aluminio 6063-0.
Tabla 4. Velocidades de deformación.
Rango (s-1)
10-8 – 10 –5
10-5 – 10-1
10-1 – 102
102 – 104
104 – 108
Tipo de Test
Fluencia (creep) a  = cte.
Ensayo de tracción estático
Ensayos de tracción o compresión dinámicos
Ensayos a alta velocidad usando barras de impacto
Ensayos a muy alta velocidad usando explosivos o propulsores de gas
1.15 Velocidad de la Cruceta. La velocidad a la que se desplaza la cruceta es usualmente una
forma de controlar el ensayo de tracción. Algunas máquinas de ensayos, poseen una cruceta
móvil en la parte superior, otras poseen la cruceta móvil en la parte superior. En cualquier
caso, dicha velocidad es:
v
dL 
L
dt
La velocidad de deformación i es
 L  Lo
d 
L
d
i  i   o
dt
dt
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

  1 dL  v  L
Lo dt Lo Lo
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cruceta
probeta
cruceta
Figura 10. Esquema de la cruceta durante el ensayo de tracción.
por lo que la velocidad de deformación ingenieril es proporcional a la velocidad de
desplazamiento de la cruceta.
La velocidad de deformación verdadera v es:


d ln  L 
L
d
1 dL v L
o 
v  v   

 
dt
dt
L dt L L
Se pueden relacionar i con v a través de:
v 
v Lo d i
1 d i



 i
L L dt 1   i dt 1   i
v 
i
1 i
v
, si la velocidad de la cruceta es constante, la velocidad de deformación
L
verdadera disminuirá a medida que se alarga la muestra.
dado que v 
1.16 Relación entre el esfuerzo de fluencia y la velocidad de deformación
A temperatura y deformación constantes, la relación entre el esfuerzo de fluencia y la
velocidad de deformación en que C es una constante.
  C m
m = sensibilidad a la velocidad de deformación y se obtiene de la pendiente de ln  vs ln  .
Otra forma de evaluar m es a través de un ensayo a  variable tal como se muestra en la figura
11, de acuerdo a:
1 - 14
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   
 ln  ln  2 /  1 
  ln  
m

  
 
ln 2 1 
  ln   ,T     ,T  ln 

 2
2
1
2  1
1
1

Figura 11. Dependencia del esfuerzo de fluencia con la velocidad de deformación.
En general, par metales a temperatura ambiente, m  0.1. Además, m crece con la
temperatura.
Para aceros, se puede escribir:
  k1  k2 ln

o
k1, k2 y o constantes:
Ejemplo: Para aluminio puro, deformado un 25%, los valores de C y m se muestran en la
Tabla 5.
Tabla 5. Coeficientes C y m para aluminio puro con  = 0,25.
294 K
713 K
C
70.3 MPa
14.5 MPa
m
0.066
0.211
Determinar el cambio en el esfuerzo de fluencia al cambiar  en dos órdenes de magnitud.
Respuestas
294 K
713 K
2/1=1.35
2/1=2.64
1.17 Enfoque microscópico
El valor de m se relaciona con la movilidad de las dislocaciones.
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1 - 15
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La velocidad de movimiento de las dislocaciones depende del esfuerzo aplicado a través de:
v  A m´
en que A es una constante.
A su vez la velocidad de deformación se relaciona con la movilidad de las dislocaciones por
  bv
en que  es la densidad de dislocaciones y b el vector de Burger asociado.
  ln  
m

  ln    ,T
1  ln   ln   ln v



m  ln   ln   ln 
 ln v
 m,
 ln 
pero

m, 
1  ln 

m  ln 
si no hay cambios en la densidad de las dislocaciones al cambiar el esfuerzo,
 ln 
 0 , por
n
lo tanto:
m, 
parámetro microscópico
1
m
parámetro macroscópico
Los valores de m para algunos materiales son:
Aleaciones Superplásticas
m
Vidrio caliente
m=1
Sólido Newtoniano
 =  
alto
En un metal normal el ablandamiento geométrico que constituye la formación de cuello se
d
  la muestra no forma cuello.
opone al endurecimiento por deformación y siempre que
d
Para un material superplástico, la velocidad de endurecimiento por deformación es baja y
d
d
1 - 16
  no forma cuello.
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1.18 Influencia del índice m en la formación de cuello
Para evaluar la influencia del índice m en la formación de cuello, se considerará una barra de
un material superplástico de área A que se carga con una fuerza P.
P
m
   C  
A
P
   
C 
 
pero:
m
1
 
 A
1
m
1 dL
1 dA

L dt
A dt
dA
1 1  P 

 A  A m  
dt
C 

1
1
m
dA  P 

 
dt  C 
1
m
 1 
 1m  / m 
A

En la figura 11 puede observarse la dependencia de dA/dt con el área.
Si
m<1
cualquier disminución en el área produce una gran disminución en la
sección transversal. Esto significa que el cuello debería agudizarse, en el sentido de
acentuarse el estrechamiento.
Si m = 1
la deformación es viscoso Newtoniana y dA/dt es independiente de A;
cualquier cuello incipiente es preservado durante la elongación y no se propaga.
Si m 1
disminuye la velocidad del crecimiento del cuello.
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
dA
dt
m=1
m = 3/4
m = 1/2
m = 1/4
A
Figura 12. Dependencia de la velocidad de disminución de área con el área
transversal para diferentes valores de m.
Como consecuencia de este análisis, al crecer m, el valor de la elongación a rotura crece, tal
% Elongación
103
102
..
.
. .
.
.
.. .
..
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
m
Figura 13. Dependencia de la elongación con el índice m.
como se muestra en la figura 13, que resume resultados de las aleaciones: Zircalloy 4, Ti – 5
Al – 2.5 Sn y
Ti – 6Al – 4V.
1 - 18
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1.19 Efecto de la temperatura sobre las propiedades de flujo
La curva esfuerzo deformación depende fuertemente de la temperatura. Al aumentar la
temperatura disminuye la resistencia y aumenta la ductilidad, tal como se aprecia en la figura
14, para acero dulce.
i
-196ºC
Figura 14. Efecto de la temperatura sobre la
curva esfuerzo deformación para acero dulce.
25ºC
400ºC
i
En la figura 15 se muestra la dependencia entre el límite elástico y la temperatura para metales
BCC. El límite elástico de los metales FCC no es afectado por la temperatura.
Límite
Elástico (MPa)
Metales BCC
800
600
Ta
W
Ni (FCC) no es afectado
por la temperatura
400
200
Fe
Mo
Ni
-200 0
200 400 600 800 1000
T (ºC)
Figura 15. Efecto de la temperatura sobre el límite elástico para metales BCC.
En la figura 16 se muestra la influencia de la temperatura sobre el porcentaje de reducción de
área. Tal como se aprecia, no se produce un efecto importante en el porcentaje de reducción
de área en metales FCC, al subir la temperatura.
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% de reducción de
área
100
Ni
Ta
80
W
Mo
F
e
60
El W es frágil a 100 ºC
El Ni no cambia drásticamente su
ductilidad
40
20
-200 0
200 400 600 800 1000
T (ºC)
Figura 16. Efecto de la temperatura sobre el porcentaje de reducción de área.
La relación entre el esfuerzo y la temperatura a 
y  constante es:
 Q 

 RT   ,
  C2 exp 
en que C2 es una constante
Q es la energía de activación para deformación plástica (J/mol).
R = 8,314 (J/molK).
T es la temperatura en K.
Un aspecto importante a tener en cuenta es que durante los procesos de deformación cerca del
90% de la energía de deformación se transforma en calor. Sin embargo, a altas velocidades de
deformación, no hay tiempo para la disipación de calor. Entonces, se puede considerar que el
proceso se realiza adiabáticamente.
A bajas temperaturas el proceso de deformación genera caídas en la curva  /  , tal como se
puede apreciar en la figura 17.
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

Figura 17. Efecto de bajas temperaturas sobre la curva esfuerzo –
deformación.
De acuerdo al análisis propuesto por Backofen (1964)
P  A
dP  dA  Ad
Dado que d  
dA
A
dP 1
d
   
d A
d
Como   f ( , , T )
d   d  T





d
  d T 
   dT  d

 dP  Ad 




 
  T d  d

Para calentamiento adiabático
Si T es baja
dT 

d c

  dT
0 


  0

 T d
Por lo tanto si

 
se producirá inestabilidad.
 


T c
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1.20 Fenómeno del punto de fluencia
El fenómeno de punto de fluencia se da en algunos materiales que contienen solutos
especialmente intersticiales como el acero de bajo contenido en carbono y consiste en la
aparición de una oscilación de la curva esfuerzo – deformación cerca del inicio de la
deformación plástica, tal como se muestra en la figura 18.
Figura 18. Oscilación en la curva esfuerzo – deformación en un acero de bajo contenido en carbono, utilizado en
barras de construcción denominado A 44.
Este fenómeno se debe a la interacción entre átomos de soluto (C y N en el caso de los aceros)
y las dislocaciones. En efecto, los átomos de soluto difunden hacia la zona de tracción de la
dislocación, generando una configuración de baja energía, conocida como atmósfera de
Cottrell. Esto hace que el límite elástico se incremente hasta uys (upper yield stress). A
medida que se incrementa el esfuerzo aplicado, se produce el destrabamiento de las
dislocaciones por los átomos de soluto, lo que se manifiesta en una caída del esfuerzo, ver
figura 18, hasta lys (low yield stress). Nuevamente se generan dislocaciones que se entraban
por los solutos, de tal manera que se requiere incrementar el esfuerzo para lograr deformación
plástica.
Este fenómeno también ha sido reportado en aleaciones Cu – Zn, Cu – 10% In y aleaciones de
Al.
La meseta (plateau) que caracteriza a este fenómeno está asociado en el acero a un avance de
la deformación a través de la probetas a carga constante, lo que se realiza mediante la
formación de bandas de Luders.
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A medida que la temperatura aumenta, el uys se elimina gradualmente y en su lugar, la curva
esfuerzo deformación muestra pequeñas oscilaciones que no se observan a bajas temperaturas,
lo que se conoce como efecto Portevin – Le Chatelier. En este caso, al elevar la temperatura,
los átomos de soluto son suficientemente móviles como para difundir hacia las dislocaciones,
entrabándolas, después de lo cual ocurre el destrabamiento de las mismas, tal como se muestra
en la figura 19.


Figura 19. Efecto Portevin-Le Chatelier.
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Estudio de la rotura a tracción por microscopía electrónica de barrido
En las siguientes figuras se muestra
cómo un material experimenta rotura
en tracción. El ensayo ha sido hecho
sobre una probeta de acero, en la
cámara de vacío de un microscopio
electrónico de barrido. Nótese cómo
la grieta se origina en el centro del
material y progresa hacia la periferia.
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Figura 20. La secuencia de imágenes
muestra cómo se rompe un material
por crecimiento de una grieta desde el
interior del mismo.
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Ejercicios propuestos
1.- Demostrar que para un material que tiene la siguiente ley constitutiva   K n el valor de
la deformación uniforme es  u  n
Solución:
Esfuerzo de fractura verdadero
v 
Pfractura
A fractura
Deformación uniforme verdadera
A 
 v  ln  0 
 Au 
Ajuste de Hollomon
  k n n: indica el endurecimiento por deformación.
La formación del cuello ocurre en la cara máxima y en este punto, el incremento de esfuerzo
debido a la variación en la sección transversal supera al incremento en la resistencia debido al
endurecimiento por deformación.
 dP  0
P vA
dP   v dA  Ad v

d v  dA

(1)
dA
A
como dV  0 
dL
dA

 d v (2)
L
A
reemplazando (2) en (1)
d v
 d v
v
d v
  v (3)
d v
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Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo I. El ensayo de tracción
como  v  K vn (4) y si derivamos esta expresión
d v
 K ·n· vn 1
d v
(5)
si reemplazamos (4) y (5) en (3) se obtiene:
Kn vn 1  K vn
n
 vn
  vu
 vn 1
la deformación verdadera uniforme es igual a n.
el valor de la deformación uniforme es
2.- Demostrar que
u  n
d v
v

d i 1   i
3.- Demostrar que durante la deformación elástica el volumen no se conserva.
4.- Sea un material sometido a tracción. Demostrar que:
d ln A   m    1
d ln A
m
en que
  ln  
m

  ln   
1 
 
 
Solución
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P   ·A
  f ( ,  )
dP
0
dL
dA
d

A
0
dL
dL
Pero:
d        




dL     L     L
   
  ln  
m
  

  ln      
1    
 
 

    

        
dA
 A



0
dL
   L    L 
Además,
AdL  LdA  0 
dA
dL

 d
A
L
d
1 dA
A


dt
A dt
A

dA  dA
A
A


d
dL
dL   1 dA  A dA

dL
A dL A 2 dL
A2
 
 dA
A dL
 
1 dA  m  1 dA A dA 

0


A dL
  A dL A2 dL 
    m A  dA  m dA
 



 A2  dL  A dL
A A
Pero,
  
A
A
1 dA



1    m dA   m dA  m    1  A dL  d LnA
1 dA d LnA
dL
m
A dL
A dL

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
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