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Nº 53 Año 14
Mayo 2015
Editorial
CONJETURAS
En esta edición
cualquiera, si es par se divide por 2 y si
es impar se multiplica por 3 y se le suma
1 (o sea se forma el número: 3n + 1).
Con el número que se obtenga se repite
el proceso. Así se forma una sucesión de
números que siempre llega al número 1”.
Por ejemplo si se parte con el número 6,
el siguiente es el 3 (como el 6 es par se
dividió por 2), el siguiente será 10 (como
es impar el 3, se multiplicó por 3 y se
sumó 1), prosiguiendo así, se obtienen
sucesivamente: 5, 16, 8, 4, 2, 1. Así, hemos llegado al 1. Para algunos números
la secuencia de números que se forma es
más larga, por ejemplo si se parte con el
En Matemáticas, una conjetura es una
número 27, después de 111 pasos se lleafirmación que se supone que es verdagará al 1.
dera, pero no se ha demostrado que lo
sea ni tampoco se ha probado que sea Collatz expuso esta conjetura en la Unifalsa. Si se logra demostrar, deja de ser versidad de Siracusa (U.S.A.) por lo que
una conjetura y pasa a ser un teorema, el también se le conoce como el Problema
que podrá ser usado en adelante para de Siracusa y también, debido al propio
enunciado, como Problema 3n + 1.
otras demostraciones formales.
Hay muchas conjeturas famosas que resistieron mucho tiempo, algunas, siglos.
Como por ejemplo “El Último Teorema
de Fermat” (ABACOM N° 49) y “El
Mapa de Cuatro Colores” (ABACOM
N° 50). Otras se mantienen incólumes a
través de los años, como la existencia de
números perfectos impares, la Hipótesis
de Riemann, la Conjetura de Hodge,
entre otras.
Hay algunos que han pretendido haber
resuelto este problema, como Peter Shorer, en 2009 y Gerhard Opfer, en 2011,
quiénes propusieron “demostraciones”,
pero se ha probado que tienen errores.
Haciendo uso de computadores se ha
comprobado que la conjetura es válida
hasta el número 258, pero naturalmente
que esto no basta para afirmar que sea
cierta para todos los números enteros
En algunos casos el enunciado de la con- positivos, que son infinitos.
jetura es de una gran simplicidad, lo que En la enseñanza y aprendizaje de las
invita a muchos matemáticos aficionados Matemáticas es muy útil el proceso de
a intentar resolverla, pero rápidamente se conjeturar, lo que permite a los estudiandan cuenta de lo complejo de dicha tarea. tes visualizar e identificar características,
Una que está próxima a cumplir 80 años patrones y regularidades acerca de un
es la Conjetura de Collatz, planteada en cierto objeto – puede ser una construc1937 por Lothar Collatz (1910 – 1990, ción geométrica, o una estructura aritmématemático alemán). Es una de aquéllas tica como por ejemplo el Triángulo de
que tiene un enunciado muy sencillo y Pascal – para posteriormente tratar de
dice lo siguiente:
verificar la veracidad de la conjetura o la
“Se elige un número n, entero positivo falsedad de la misma.
Visítanos en: www.uach.cl/abacom
pág
Reflexiones
 ¿Cómo puedo ser un estudiante
exitoso? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
FISICOM
 La Función Seno: Reflejo del comportamiento de Sistemas de la Vida Cotidiana . . 3
Ciencia de Culto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Tips Matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Concurso
 Desafío a tu Ingenio . . . . . . . . . . . . . . 5
 Loopy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Problemas con Historia
 La Braquistócrona . . . . . . . . . . . . . .6
 La Paradoja de la Rueda de Aristóteles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
 La Cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
 Christiaan Huygens . . . . . . . . . . . . . . 7
Grandes Inventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Anécdotas de la Ciencia . . . . . . . . . . . . . 8
ABAQUIM
 Metales Pesados . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Ciencia Entrete
 Un Papel que no se Quema. . . . . . . .10
 La Física y el Amor . . . . . . . . . . . . . .10
 ¿Sabías que? . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
 El Día de Pi . . . . . . . . . . . . . . . . .11
 Humor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
 Sonriendo con Informática. . . . . . . . .11
Noticias
 ¡Se lo ganó, se lo ganooó! . . . . . . . . .12
 ATRAE te atrae a los Humedales . . . 12
 Nunca es tarde para vivir la Ciencia
Antártica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
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MAYO 2015
REFLEXIONES
¿Cómo puedo ser un estudiante exitoso?
Lorena Díaz Parra
Coordinadora Bachillerato en Ciencias de la Ingeniería
Facultad de Ciencias de la Ingeniería UACh.
La Real Academia
Española define el
concepto de estudiar
como “ejercitar el
entendimiento para
alcanzar y comprender algo” y estudiante como “persona
que estudia”. A simple vista algo obvio
y fácil, pero que
implica una serie de
factores que están
involucrados y que
debes
considerar
que no he logrado? Relaciona lo que aprendes con tu vida y tu futuro.
Retroalimenta lo estudiado, a mayor información, mayor interés.
Pregunta, investiga, reflexiona. Desarrolla la responsabilidad frente al
trabajo. Visualiza que premio o recompensa obtendrás después del
estudio. Recuerda los logros obtenidos, rescata siempre lo positivo
c. Voluntad: comienza con pequeños logros, hasta que alcances una
meta. Por ejemplo, tu meta será estudiar todos los días. Para lograrla
debes comenzar con pequeños actos, que desarrollan la perseverancia. Es decir, debes comenzar realizando un repaso de las materias
diariamente hasta que progresivamente se convierta en un hábito y
logres tu meta de estudiar todos los días. Para lograr un objetivo debes pensar ordenadamente lo que debes hacer para lograrlo. Siempre
debes planificar tus actividades y organizar tu tiempo.
d.- Habilidades sociales: discrimina situaciones conflictivas en su
real dimensión, debes analizar los problemas que se te presentan con
el afán de solucionarlos. Siempre pensar diversas soluciones para los
problemas y anticipar la consecuencia de tus actos. Es importante
mantener una actitud positiva con los que te rodean y pedir ayuda
cuando sea necesario, no debes pensar que puedes resolver todo sólo,
siempre hay personas dispuestas a ayudarte, ya sea en tu familia y/o
colegio. Si bien, debes argumentar y defender tus derechos, no obstante, es fundamental ponerse en el lugar del otro y relacionarte de
buena forma con tu grupo de pares.
para convertirte en un estudiante exitoso.
En primer lugar, debes tener presente los factores cognitivos. Existen
diversas estrategias que te ayudarán:
Estrategias para desarrollar la concentración: debes tener un lugar
para estudiar, cómodo y ventilado, adquirir una buena postura corporal, ordenar el material de estudio, eliminar estímulos distractores
(televisión, celular, computador, etc.), respirar profundo para permitir
una buena oxigenación del cerebro, empezar a estudiar lo más fácil y
progresivamente lo que se te hace más difícil. Debes subrayar lo más
importante, realizar preguntas a medida que estudias. Finalmente
elaborar, resúmenes, esquemas, mapas conceptuales, ya que te permiten elaborar una síntesis de lo estudiado y te obliga a ordenar tu pensamiento.
Estrategias para desarrollar la memoria: debes darle un significado a lo que estudias, pensar por qué estás estudiando y para qué. De
todo lo estudiado hay contenidos que debes rnemorizar y que te sirven de base para aplicar los contenidos. Es importante ejercitar en
forma permanente para evitar el olvido de lo estudiado. Cuando estudias debes alternar períodos de estudio y descanso. Al estudiar se
retiene más fácilmente lo visto al principio y al final, por lo tanto, lo
que estudies al centro debe ser más enfatizado. Debes ordenar la información. Repasa antes de dormir, porque hay menos interferencias
de otras actividades. Es importante aprender a usar sistemas que te
permitan asociar lo aprendido por otros canales perceptivos
(auditivos, visuales, kinestésicos). Finalmente, debes escribir lo que
quieres recordar. Lo que su escribe se recuerda mejor que lo que se
lee. Lo que se ve se recuerda mejor que lo que se escucha.
En tercer lugar, es fundamental considerar los factores ambientales
y la organización para el estudio.
Para esto es fundamental considerar los siguientes aspectos:
a. Organización del lugar, el ambiente de estudio: ordenar el lugar
de trabajo, clasificar los elementos que utilizas según la prioridad y
utilidad. Idealmente tener una mesa o escritorio que contenga los
materiales de trabajo y permita apoyar el antebrazo. Antes de empezar a estudiar tener a mano todo el material y eliminar los distractores. La temperatura del lugar debe ser adecuada, ni mucho frío ni
mucho calor y con buena ventilación, es importante, renovar cada
cierto tiempo el aire del lugar de estudio y preocuparse de la iluminación. De preferencia luz natural o luz blanca. Luego de organizar el
lugar debes tener una actitud mental correcta, debe existir deseo de
estudiar. Lo ideal es un lugar solitario y silencioso, no debes estudiar
en cama acostado, porque obviamente te relajarás demasiado.
b. Posiciones adecuadas para el estudio: pies apoyados en el suelo,
columna vertebral recta, brazos apoyados en la mesa de trabajo y
relajados, cabeza inclinada levemente hacia delante, cuerpo ocupando
todo el espacio de la silla. Cabeza, ojos y oídos de frente al material
de estudio o de trabajo escolar. Para estudiar debes estar relajado.
c. Estrategias para estimular la organización del pensamiento:
debes analizar la estructura del libro que vas a estudiar, organizar los
contenidos en tu cuaderno, clasificar la información en esquemas y
resúmenes y para comprobar que has aprendido debes expresar verbalmente lo estudiado.
d. Estrategias para la organización del tiempo: trabaja sistemáticamente, teniendo el material a mano, confecciona un horario de estudio, organiza el tiempo que dedicarás a todas tus actividades. Deja
tiempo para repaso y revisión de materia, estudia todos los días una
misma cantidad de tiempo y en lo posible a la misma hora. Controla
tu tiempo de estudio, el hábito se hace en forma progresiva. Duerme
ocho a diez horas diarias. El tiempo de estudio depende de las necesidades personales, pero debe oscilar entre una o dos horas diarias.
En segundo lugar, debes considerar los factores afectivo-sociales.
a. Actitud: piensa que eres capaz y que lograrás tus objetivos. Participa activamente en clases, pregunta hasta que ya no tengas dudas.
Cuando logres una meta, por pequeña que sea siéntete feliz. No te des
por vencido ante los obstáculos. Ten una actitud positiva en clases,
atiende a tus profesores. Recuerda que ser estudiante exige desarrollar la autodisciplina. Tú eres el gestor de tu éxito.
b. Motivación: busca un interés personal a lo que aprendes. Investiga
sobre lo que estás estudiando, realiza ejercicios, cuanto más se conoce un tema, mejor se aprende. Interésate y profundiza algunos contenidos que te gusten más. Reflexiona ¿Por qué estoy estudiando? Define el objetivo de lo que estás haciendo. ¿Para qué debo hacerlo? ¿Qué
debo hacer? ¿Cómo debo hacerlo? Asocia el estudio a una situación
agradable. Ej. obtener una buena nota. Debes ponerte como meta
sacar buenas notas, no conformarte con lo mínimo. Tampoco frustrarte con los resultados. Frente a esta situación debes preguntarte ¿Cómo
puedo mejorar? ¿Qué no hice bien? ¿Cómo puedo aprender aquello
No olvides que puedes ser un estudiante exitoso, pero para ello debes
ser muy perseverante, todos los hábitos requieren esfuerzo.
2
ABACOM Boletín Matemático
F
I
S
O M
C
I
Dr. Mario González Montenegro
La Función Seno:
Reflejo del Comportamiento de Sistemas de la Vida Cotidiana
La función seno (sin) – al igual que coseno (cos) – es sin duda, ponde al movimiento del Péndulo de Foucault de Valdivia,
demasiado conocida e importante en el área de las Matemáti- mientras que el segundo corresponde a un sistema masacas, y tiene múltiples aplicaciones en la Física y Ciencias de la resorte.
Ingeniería. En este artículo no se pretende nombrar todas las
vinculaciones de la función seno, pues no sería posible.
Una aplicación relevante de la función seno – al igual que
coseno – es el hecho que corresponde a la solución de ecuaciones diferenciales que sirven para modelar ciertos fenómenos. He aquí dos casos:
1. Movimiento de un péndulo: consideremos un péndulo
ideal, el cual consiste de un objeto de masa m, conectado a
una cuerda de masa despreciable (es decir, mucho menor que
m) y largo L. Si el objeto oscila con pequeña amplitud respecto a su posición de equilibrio, su ecuación diferencial
asociada es:
θ  ωp2θ  0
(1)
Siendo θ = θ(t ) el ángulo que forma la cuerda respecto a la
vertical (en rad), θ la segunda derivada temporal de θ (en
rad/s2) y ωp la frecuencia angular natural del péndulo (en Fig. 1: Análisis en Tracker del Péndulo de Foucault de Valdivia.
rad/s). Esta última está definida por:
ωp =
1
2π
g
L
(2)
(g es la aceleración de gravedad terrestre, aprox. 9,8 m/s 2).
2. Movimiento de un sistema masa-resorte: consiste de un
objeto de masa m conectado a un resorte ideal, es decir, la
masa del resorte es despreciable en comparación a m y además obedece a la Ley de Hooke. Al igual que al caso anterior,
si el objeto oscila con pequeña amplitud respecto a su posición de equilibrio, entonces el desplazamiento debe obedecer
a la siguiente ecuación diferencial:
y  ωR2 y  0
(3)
Siendo y = y (t ) la posición vertical de la masa (en m), y la
segunda derivada temporal de y (en m/s2) y ωR la frecuencia
angular natural del sistema (en rad/s), la cual está dada por:
Fig.2: Análisis en Tracker de un sistema masa-resorte.
1
k
(4)
En el lado derecho de ambas Figuras aparece un gráfico ge2π m
nerado por el software, punto a punto, siendo el tiempo la
(k es la constante de restitución del resorte).
variable independiente, en ambos casos. En el caso del PénProbablemente el lector entendido ya conoce la solución de dulo, la variable dependiente es la componente horizontal de
las ecuaciones (1) y (3), que son, respectivamente:
la bola, mientras que para el sistema masa-resorte corresponθ(t ) = θmax sin(ωpt +p ), y (t ) = ymax sin(ωR t +R ); con θmax , y max , p , R constantes. de a la posición vertical de la masa.
ωR =
Uso del software Tracker
El software Tracker permite realizar análisis de videos grabados digitalmente, cuadro por cuadro (la herramienta esta disponible en forma gratuita en Internet y puede ser descargada
en el siguiente link: https://www.cabrillo.edu/~dbrown/
tracker/). Lo anterior significa que es posible hacer un estudio
del movimiento de un cuerpo que varía su posición, y/o velocidad y/o aceleración, y obtener los datos y gráficos de dichas
variables en función del tiempo, de la misma forma que en
una medición experimental de laboratorio. Los datos pueden
ser registrados por una cámara de video o celular, y la información es procesada y organizada por el software.
A continuación se ilustran dos Figuras, en las cuales se han
analizado en forma separada dos videos. El primero corres-
3
Los resultados son sorprendentes pues, en ambos casos, el
movimiento de la masa en una de las direcciones es descrito
por una curva "experimental" (recordar que son datos y no
funciones definidas en forma previa) que nos recuerda a la
gráfica de la función sin. Por otro lado, tenemos que las soluciones de las ecuaciones (1) y (3) incluyen a la función sin
(también es posible expresarlas con la función cos). Esta comparación deja en evidencia que las funciones sin y cos son
extremadamente importantes en el modelamiento de sistemas mecánicos reales.
Referencias:
Software Tracker: https://www.cabrillo.edu/~dbrown/tracker/
Mecánica Técnica. S. Timoshenko, D.H. Young. Librería Hachette,
Argentina, 1957.
MAYO 2015
CIENCIA DE CULTO
Contacto entre dos Mundos
¿Parece una locura? Nos imaginamos que sí, porque de hecho muchos liceos se separan en científico y humanista, hay que elegir un
área de las dos. La PSU tiene pruebas obligatorias, pero también tiene dos electivas que son ciencias e historia. ¿Cuál es el afán de separar lo numérico o calculable de lo humano y social? ¿Por qué pareciera que lo numérico es más sólido que las declaraciones de alguien o
el pensamiento no comprobado? Un sin fin de dudas de algo que en
nuestra mente está muy normalizado y que poco sale a colación.
Por ahora hay que dar espacio para cuestionarnos un poco el tema.
En las próximas ediciones de ABACOM tomaremos una máquina del
tiempo para revisar toda la Ciencia de Culto y contactarnos con esos
mundos del pasado que
dejarán en claro la unión
científico-cultural
que
existió y que tenemos de
legado, pero que hoy
parecen materias separadas en lo educacional.
Todo sobre Ciencia y
Cultura y su apasionante
relación en un próximo
ABACOM. Hasta pronto.
¿Qué fue primero la Cultura o la Ciencia?
Muy, pero muy buen año les deseamos a todos. Aquí llega una nueva
sección de su boletín favorito de difusión matemática y científica en
general. Bienvenidos y bienvenidas a “Ciencia de Culto, contacto
entre dos mundos”, sólo en ABACOM.
En este primer artículo nos introduciremos en dos mundos que parecen lejanos, antagónicos e incluso paralelos, pero que en realidad su
relación es dialéctica, encontrando puntos de unión donde cabe la
pregunta ¿qué fue primero la cultura o la ciencia?
Partamos por algunas definiciones generales:
Ciencia es una rama del saber que se basa en generar conocimiento
objetivo y verificable sobre una materia determinada y donde se
emplea un método científico mediante la observación y experimentación guiada por una hipótesis. Existen en la actualidad dos tipos de
ciencias. Las formales, donde se encuentra la matemática y la lógica,
y las fácticas, donde se encuentran las naturales y las sociales.
Cultura, por su parte, es un término que tiene muchos significados
pero que de forma amplia se refiere a cualquier manifestación material o inmaterial que ha inventado el ser humano en un momento
histórico determinado. Sí, incluso las malas prácticas.
Ahora bien, reflexivamente podemos decir que tanto la ciencia como
la cultura son creaciones humanas por lo tanto existe una cultura
científica. Por otra parte, también se puede decir que ambas, a lo
largo de su existencia, se complementan y que no existe una sin la
otra o por lo menos no existe una cultura que no busque explicar su
entorno y arraigar conocimiento de sí misma.
ps
i
T
Julio Morales Muñoz
Más información en:
http://www.tiposde.com/ciencia/tipos-de-ciencia.html
http://perio.unlp.edu.ar/catedras/system/
files/1.t._hintze_el_surgimiento_de_las_ciencias_sociales.pdf
M AT E M ÁT I C O S
Juan Leiva Vivar
TRANSFORMACIÓN DE UNIDADES DE MEDIDA
En muchos problemas de matemáticas aparecen magnitudes
con unidades, como por ejemplo: para longitud, metro o kilómetro; para tiempo, segundo u hora.
Transformar una de estas unidades en otra es relativamente
sencillo.
Por ejemplo:
1. ¿Cuántos centímetros (cm) tienen 5,84 kilómetros (km)?
Como es sabido, las unidades de longitud en el sistema
decimal van de 10 en 10: milímetro, centímetro, decímetro,
metro, decámetro, hectómetro y kilómetro. Así para transformar kilómetros a centímetros se multiplica por 100.000,
ya que el centímetro está “5 lugares más abajo” que el kilómetro.
Por tanto: 5,84 km = 5,84X100.000 cm = 584.000 cm.
2. ¿A cuántas horas (h) corresponden 25 minutos (min) con 40
segundos (s)?
Primero expresemos en segundos. Para ello los 25 minutos
se multiplican por 60, resultando:
25 min 40 s = 25X60 s + 40 s = 1.540 s.
Ahora para transformar esta cantidad de segundos en horas
debemos dividir por 3.600 (ya que se debe pasar primero a
minutos y luego a horas, debiendo dividir cada vez por 60).
Así: 25 min 40 s  1.540 : 3.600 h  0, 427 h.
Pero si se trata de velocidad o aceleración, esto se complica
un poco.
Por ejemplo:
1. ¿A cuántos m/s corresponde una velocidad de 180 km/h?
Una forma fácil de hacer la transformación es la siguiente:
km
1.000 m 180 1.000 m
m
 180 

 50
h
3.600 s
3.600 s
s
Así: una velocidad de 180 km/h corresponde a 50 m/s.
2. ¿A cuántos km/min2 equivale una aceleración de 720.000
m/h2?
En este caso tenemos:
m
0,001 km 720.000  0,001 km
km
720.000 2  720.000 

 0,2
2
2
2
h
(60min)
60
min
min 2
2
Por tanto: la aceleración de 720.000 m/h equivale a una
aceleración de 0,2 km/min2.
180
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ABACOM Boletín Matemático
rsoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcur
PROBLEMAS EDICIÓN Nº 53
Problema 1: El Fumador Empedernido
Un día decidió dejar el vicio, luego de fumar los últimos 27 cigarrillos que le quedaban.
¿Cuántos cigarrillos fumará antes de abandonar el
tabaco para siempre?
Un fumador empedernido acostumbraba a fumar sólo los
dos tercios de cada
cigarrillo. Para no
perder lo que sobraba, pegaba con cinta
adhesiva tres colillas
para formar un nuevo
cigarrillo.
El Juego del 2015
Sebastián Acevedo Álvarez
La idea del juego es unir los puntos con líneas horizontales y verticales, con las siguientes condiciones:




La cantidad de líneas que rodea un número debe
ser igual a la cantidad indicada por el número.
Todas las líneas deben crear una trayectoria cerrada (un loop).
Desde un punto no deben surgir más de dos líneas.
Las casillas que no tienen número dentro de
ellas, permiten la cantidad de líneas que sean
necesarias.
Por ejemplo:
LOOPY
Loopy:
EDICIÓN Nº 53
Problema 2: El Área del Hexágono
Sobre cada uno de los lados de un triángulo equilátero, se construye, hacia afuera, un cuadrado. Los seis
nuevos vértices forman un hexágono.
Si el lado del triángulo equilátero mide 2 cm.
¿cuánto mide el área de este hexágono?
Envía soluciones a PROBLEMAS y LOOPY
(indicando Nombre, Colegio y Curso) a
ABACOM Boletín Matemático
Casilla: 567 Valdivia Fax: (63) 2293730
email: [email protected]
Recepción de soluciones hasta:
26 de Junio de 2015
Solución
Publicación destinada a Estudiantes y
Profesores de Enseñanza Media.
Proyecto auspiciado por la Facultad de
Ciencias de la Ingeniería UACh.
Director: Juan Leiva V. Redacción Periodística: Julio Morales M. Web Master: Edinson Contreras R. Loopy y Gráficos:
Sebastián Acevedo A. Colaboraron en esta edición: Luz Alegría A., Lorena Díaz P. y Mario González M.
Centro de Docencia de CCBB para Ingeniería Facultad de Ciencias de la Ingeniería UACh.
Casilla 567 Valdivia Fono 632221828 Fax 632293730
[email protected]
www.uach.cl/abacom
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Impreso en IMPRENTA AMÉRICA
Presentación del juego
MAYO 2015
Problemas con Historia
Juan Leiva Vivar
La Braquistócrona es una curva que es la solución al
problema de menor tiempo de descenso.
Johann Bernoulli, habiendo resuelto el problema, lo
propuso a la sociedad matemática de su época (s.XVII)
ofreciendo un premio a quien también pudiese resolverlo. Varios lo intentaron, obteniendo soluciones parciales o muy complicadas, pero el gran Isaac Newton presentó una solución que a todos impactó por lo concisa
y elegante.
El primero en enfrentar el problema de la
Braquistócrona fue el astrónomo y físico
italiano Galileo Galilei (1564 – 1642),
quien se preguntó ¿qué forma debe tener
un canal metálico bien pulido que une dos
puntos fijos A y B para que sea mínimo el
tiempo que tarda una bola metálica pulida
en recorrerlo desde el punto A hasta el
punto B? A primera vista parecería que el
canal debe ser rectilíneo pues sólo en ese
caso la bola recorrerá el camino más corto
entre A y B. Pero se trata del camino de
tiempo mínimo y no del camino más corto y este tiempo, aparte de la longitud del
recorrido, depende también de la velocidad de la bola.
Johann Bernoulli (1667 – 1748) planteó,
en 1696, a los matemáticos de la Royal
Society el problema en los siguientes términos: “Hallar una curva que une dos
puntos A y B, con A a una elevación mayor que B, de modo que si un cuerpo cae
por ella, desde A, con velocidad inicial
cero bajo la acción de gravedad constante
y sin fricción, llega al punto B en el menor tiempo posible”. Él había hallado una
solución, pero lo planteó como un desafío
a los matemáticos de la época, ofreciendo
como premio un costoso libro científico
de su biblioteca . En particular iba dirigido a Isaac Newton (1643 – 1727), con
quien tenía una cierta rivalidad pues
Bernoulli había apoyado a Gottfried
Leibniz (1646 – 1716) en la controversia
que éste tuvo con Newton acerca de la
autoría del Cálculo Infinitesimal. Newton,
ya con 53 años, estaba retirado de la actividad científica.
La solución a este problema es una curva
llamada Braquistócrona (del griego:
brachistos „más corto‟, chronos „tiempo‟),
que es un arco de cicloide.
Entre los participantes del certamen se
encontraban grandes científicos como:
Robert Hooke, Edmond Halley y Gottfried Leibniz. Bernoulli estableció un
plazo máximo de seis meses para presentar las soluciones. Tras este tiempo, sólo
Leibniz había encontrado una solución,
pero no era del todo satisfactoria. Pasaron
seis meses más y nadie pudo mejorar la
solución de Leibniz. Bernoulli, viendo
que Newton no se interesaba en participar
le hizo llegar a través de Halley – muy
amigo de Newton –el enunciado del problema. Sólo 10 horas tardó Newton en dar
respuesta al problema, enviando ésta en
una carta sin firma al presidente de la
Royal Society. Sus desarrollos eran tan
perfectos y elegantes, que fueron publicados, también anónimamente, en el número de Febrero de 1697 de una prestigiosa
revista científica de la época. Bernoulli,
impresionado por la elegancia de las soluciones, no tuvo dificultad en identificar al
autor: “Es Newton”, afirmó. “¿Cómo lo
sabe?”, le preguntaron. “Porque reconozco las garras del león” – respondió.
Además de Leibniz y Newton, Johann y
su hermano Jackob Bernoulli consiguieron resolver el problema. La solución de
Leibniz era muy trabajosa, la de Johann
era elegante pero muy particular, la de su
hermano mayor Jackob era muy elaborada y aburridísima, pero más general. La
de Newton fue la mejor, breve, simple,
elegante, entretenida y general, nadie ha
podido superarla.
La Paradoja de la Rueda de Aristóteles
Esta paradoja, planteada por Aristóteles, fue tratada en
profundidad por Galileo en su obra Discorsi de 1638.
Se trata de dos circunferencias concéntricas; la de radio
mayor da un giro completo, sin resbalar, por tanto si se fija
un punto de ella, éste recorrerá exactamente la longitud de
esta circunferencia. Pero la circunferencia más pequeña
también da un giro completo en este lapso de tiempo, por
lo que un punto de ella recorre también su longitud, que es
menor que la longitud de la circunferencia mayor. Pero de
acuerdo al gráfico se observa claramente que el recorrido
de ambas es el mismo. ¿Cómo puede ser esto?
La explicación la entrega la curva Cicloide, pues el punto
de la circunferencia mayor – que rueda a lo largo de la línea recta, sin deslizar – describe un arco de cicloide, pero
el punto de la circunferencia menor, que no está en contacto con la recta por la cual se produce el deslizamiento, no
describe una cicloide, pues esta circunferencia al hacer
este recorrido rueda pero resbalando, ya que la circunferencia mayor la arrastra. Este punto describe una curva
llamada cicloide acortada.
•
6
ABACOM Boletín Matemático
La Cicloide
CHRISTIAAN HUYGENS
La cicloide es una curva que se genera por un punto ubicado en una
circunferencia que rueda sobre una línea recta, sin deslizarse.
Ver animación en :
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cycloid_animated.gif
Esta curva fue motivo de muchas disputas y controversias
entre los matemáticos del siglo XVII, por
lo que se le llamó la
“Helena de los Geómetras”, aunque hay quienes estiman que esta denominación poética
se debe a la belleza de sus propiedades y aplicaciones.
Galileo fue el primero en estudiarla, en 1599, y fue quien le dio el
nombre. En 1634 Gilles de Roverbal mostró que el área de la región
entre un arco de cicloide y el eje de las X es tres veces el área encerrada por la circunferencia que la genera (A = 3πr2). En 1658 Christopher
Wren probó que la longitud de una arco de la cicloide es igual a cuatro veces el diámetro de la circunferencia generatriz (L = 8r). En 1640
Pierre de Fermat obtiene ecuaciones para las rectas tangentes a la
cicloide. Christiaan Huygens probó, en 1673, que un arco de cicloide
invertida es “tautócrona” (del griego: tauto ‘igual’, chronos ‘tiempo’),
esto es si se dejan caer dos o más cuerpos – sin roce y a gravedad
constante – desde puntos diferentes de esta curva, ambos llegan a la
parte más baja al mismo tiempo.
Ver animación en: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/
commons/b/bd/Tautochrone_curve.gif .
Posteriormente, y basándose en el trabajo de Huygens, en1696,
Johann Bernoulli anuncia que la solución al problema de la Braquistócrona es, también, un arco de cicloide.
Un uso práctico de la cicloide es el diseño de toboganes utilizados en
la industria aeronáutica, pues esto permite una evacuación más rápida en caso de emergencia.
Ecuaciones de la Cicloide
Consideremos la figura adjunta que
representa una circunferencia de centro el punto C(0,r) y radio r. También
aparece la circunferencia que se ha
desplazado hacia la derecha rodando
sobre el eje X. P(x,y) es un punto
cualquiera de la segunda circunferencia. Si el ángulo <) PC’Q mide t (radianes) entonces se tiene que:
x = OQ  PR = rt  rsint ; y = RQ = C'Q  C'R = r  rcost
de donde se deduce que las ecuaciones paramétricas de la cicloide
son:
x = rt  rsint 
 t
y = r  rcost 
Para cada valor real de t se obtiene un par ordenado (x,y) que corresponde a un punto de la cicloide. Para t = 0 se obtiene (0,0) y para
t = 2π, se obtiene (2πr,0). Estos dos puntos son los extremos del
primer arco de la cicloide.
7
Fue un astrónomo, físico y matemático holandés. Nació en La Haya en 1629. Su padre
era un diplomático que lo introdujo desde
pequeño en los círculos intelectuales de la
época y le brindó una excelente educación,
relacionándose con matemáticos de renombre como Descartes, Mersenne, Pascal y
Newton.
Su formación universitaria la obtuvo en la
Universidad de Leiden, en Holanda. Formó
parte de la Royal Society de Londres donde
compartió con los mejores científicos ingleses. Su fama hizo que lo invitasen a participar de la Academia de Ciencias Francesa, la
que lideró e influyó en varios científicos
franceses.
Siempre fue un hombre solitario, no atrajo
estudiantes o discípulos y tardó mucho en
publicar sus descubrimientos. Nunca se casó
ni tuvo descendencia.
Sus aportes en Matemáticas fueron en Probabilidades, donde fue uno de los pioneros
en el estudio de esta disciplina y en Geometría, resolviendo numerosos problemas relativos a curvas como la cisoide y la cicloide.
Sus trabajos en Física se centraron en Mecánica – creó el primer reloj de péndulo – y en
Óptica – formuló la Teoría Ondulatoria de la
Luz.
Desde pequeño se interesó en la Astronomía
y construyó numerosos telescopios de gran
calidad con los que logró valiosos descubrimientos, entre ellos Titán, satélite de Saturno. En honor suyo se bautizó con su nombre a la sonda construida por ESA (Agencia
Espacial Europea), para exploración de este
satélite (sonda Huygens), en el cual aterrizó
en el año 2005.
Después de una larga enfermedad, falleció
en 1695.
MAYO 2015
GRANDES INVENTOS
Desde que el ser humano apareció sobre la tierra, ha estado permanentemente usando su ingenio para realizar diferentes
inventos que nos han hecho más cómodo nuestro diario vivir. En esta sección haremos un recorrido por los inventos más relevantes desde la antigüedad hasta nuestros días.
Entre los primeros inventos, que hicieron cambiar radicalmente la vida
de nuestros antepasados, tenemos: el arado,
usado por primera vez
en Egipto y Mesopotamia alrededor del 4000
a.C. La rueda y la escritura en el 3500 a.C., ambas
inventadas por los Súmeros. Estos inventos son
de la antigüedad, de la era antes de Cristo. En nuestra era tenemos
algunos, que también se destacaron. Entre ellos podemos nombrar:
fue inventada por los chinos en el siglo IV a.C., pero se usaba con fines
mágicos. Sólo desde el siglo XII, comenzó a ser usada en la navegación
marítima, lo que permitió tanto establecer rumbos y comprobar si
estos se seguían correctamente, como determinar la ubicación de otras
embarcaciones avistadas.
La Imprenta: Los chinos imprimían libros desde el siglo IX, donde tallaban en madera cada página, para luego entintarla y así traspasar a
papel. Pero no se considera como imprenta hasta que Johannes Gutenberg (1398 – 1468) hacia 1438 ideó un molde donde, con metal
fundido, confeccionó los tipos de cada letra, los que se unían y se enmarcaban para así formar las páginas, las que luego se trasladaban al
papel.
El Microscopio: Zacharias Janssen hijo del fabricante de anteojos holandés Hans Janssen, en 1590 fabrica el primer microscopio, usando
una lente biconvexa dispersora como objetivo y otra bicóncava como
concentradora, ambas montadas sobre un tubo de latón. La calidad de
la imagen era deficiente debido al mal pulido de los cristales, lo que se
realizaba a mano y sin instrumentos adecuados. Posteriormente Galileo logró mejorarlo, pero no fue hasta 1674 en que el también holandés Antonie van Leeuwenhoek, logró tallar una lente lo suficientemente poderosa que le permitía observar bacterias de 2 a 3 micrómetros
(0,002 a 0,003 milímetros) de diámetro.
El Reloj Mecánico: A pesar que los antiguos egipcios ya tenían relojes
de sol y de agua, no fue hasta el siglo X que el primer reloj mecánico
fue ideado por el monje benedictino francés Geberto de Aurillac
(945—1003), que llegaría a ser Papa (Silvestre II, en 999). El Mecanismo funcionaba mediante una rueda dentada, accionada por pesos y
contrapesos. Aunque no daba las horas con mucha exactitud, sirvió
para que, a partir de él, se multiplicaran las invenciones al respecto.
La Brújula: Al igual que otros instrumentos de navegación, la brújula
ANÉCDOTAS DE LA CIENCIA
EVITANDO ADUANAS
Joseph Louis Gay-Lussac (1778 –
1850) fue un químico francés, conocido actualmente por sus estudios
sobre propiedades físicas y químicas de los gases, enunciando las
famosas leyes que llevan su nombre. También intervino en política
integrando la Cámara de Diputados
y el Senado de Francia.
Investigó, junto al naturalista alemán Alexander von Humboldt
JOSEPH LOUIS GAY-LUSSAC
(1769 – 1859), la composición del
agua, descubriendo la, actualmente
conocida, relación de dos partes de
hidrógeno por una de oxígeno. Para
los experimentos de este trabajo
necesitaban de unos vasos de reacción especiales de paredes muy finas, los que debían comprarlos a un
proveedor en Alemania. Sin embargo los aranceles que se pagaban en
Francia sobre las importaciones alemanas en aquella época eran extremadamente altos, así que los vasos
salían muy caros.
Humboldt se las ingenió para evitar
las aduanas. Para ello dio instrucciones a los sopladores de vidrio
alemanes para que sellaran los largos cuellos de los recipientes y pusiesen en los envases una etiqueta
con la leyenda: “Manejar con cuidado. Aire alemán”. Los aduaneros
8
franceses no tenían instrucciones
respecto a tasar el aire alemán, de
modo que dejaron pasar el envío.
De esta forma Gay-Lussac y Humboldt tan solo tuvieron que cortar
los extremos de los recipientes sellados para poder continuar con los
experimentos.
ALEXANDER VON HUMBOLDT
ABACOM Boletín Matemático
A
B
A
Q
U
I
M
Metales Pesados
Existen
variadas y
extensas
definiciones de lo
que es un
metal pesado, pero,
en resumen se
puede decir que un
metal pesado es un
miembro
de un grupo de elementos
que exhiben propiedades metálicas, poseen una alta
densidad, alta masa atómica y algunas propiedades químicas o de toxicidad para los organismos vivos. Actualmente, el término metal pesado es considerado una mala denominación y hay consenso por la comunidad científica de utilizar el término metal tóxico.
Dra. Luz Alegría Aguirre
Desgraciadamente, la descontaminación de estos metales en aguas y suelos resulta muy difícil, por ejemplo, al
hervir el agua se puede controlar la contaminación bacteriana, pero no tiene resultado con estos metales, por
ello es imprescindible prevenir la contaminación de ellos,
evitando que lleguen al agua y al suelo. En concreto las
medidas sanitarias son principalmente de prevención:
identificar las fuentes de contaminación, controlar la difusión a partir de éstas, tratar de no incluir en los procesos industriales materia prima que contenga metales
pesados, y otras parecidas. Si ya existen suelos y aguas
contaminadas, se deben aplicar algunas medidas que se
llaman de remediación.
Cuando un ser vivo está contaminado por estos metales,
resulta muy difícil su eliminación, pero existen algunos
tratamientos, por ejemplo se puede tratar con sustancias que se llaman
quelantes, que son
compuestos químicos
que van a ir a capturar al metal para
luego eliminarlo por
las vías de excreción
de los seres vivos.
Los metales pesados más tóxicos conocidos son el mercurio, el plomo, el cromo, el cadmio y el arsénico. También se incluyen elementos tóxicos más ligeros como el
berilio y el aluminio.
El siguiente esquema
muestra los posibles
síntomas y afecciones que puede sufrir
el ser humano y la
concentración máxima en partes por
millón (ppm) que es
permitida.
Las principales fuentes de contaminación de los metales
pesados se encuentran en procesos o materiales que son
el resultado de actividades humanas, por ejemplo los
combustibles derivados de la basura (no orgánica) generalmente aportan estos metales, actividades industriales
y mineras, etc.
Provoca
Temblores, gingivitis, alteraciones
psicológicas y aborto espontáneo
Mercurio (Hg)
Concentración permitida
Puede afectar
Principales Metales
Pesados
Plomo (Pb)
Concentración permitida
Provoca
Cromo (Cr)
Concentración permitida
9
0,358 ppm
La síntesis de hemoglobina, la
función renal, el tracto
gastrointestinal, las articulaciones y
el sistema nervioso
10,000 ppm
Irritación de la piel y úlceras. Problemas hepáticos, renales, al tejido
nervioso y al sistema circulatorio.
0,500 ppm
MAYO 2015
UN PAPEL QUE NO SE QUEMA
¿Sabías que?...
que?...
Puede hacerse un experimento en el cual, una tira de
papel no se quema, en la llama de una vela. Para esto
hay que arrollar fuertemente, como si fuera una venda,
una tira estrecha de papel a una barra de hierro. Si esta
barra, con su tira de papel, se somete a la llama de una
vela, el papel no arde. El fuego lamerá el papel y lo
tiznará, pero no lo quemará mientras la barra no se recaliente.
¿Por qué no se quema el papel? Pues porque el hierro,
como todo metal, conduce bien el calor y retira rápidamente del papel el calor que éste recibe de la llama. Si
la barra metálica se sustituye por una de madera, el papel se quemará, porque la madera es mal conductor del
calor. El experimento sale mejor aún si la barra es de
cobre.
Arrollando fuertemente un hilo a una llave, se puede
hacer el experimento del hilo incombustible.
La entropía es una magnitud que nos da el grado de desorden o caos de un sistema. En general, es frecuente que
las cosas tiendan a estropearse y no a arreglarse solas: Es
la entropía del mundo. La Segunda Ley de la Termodinámica lo afirma diciendo que el desorden de un sistema
aislado debe incrementarse con el tiempo o, como máximo permanecer constante. O sea, si algo se ordena es
porque recibe energía externa al sistema. Por ejemplo,
vemos que en la Tierra nacen plantas y animales, que son
formas bastante ordenadas de moléculas y átomos. Esto
es debido gracias a que las plantas utilizan la energía del
Sol (fuente de energía externa) y los animales utilizan la
energía de las plantas o de otros animales.
?????
Un imán puede desimantarse o mejor dicho, desmagnetizarse si se calienta lo suficiente como para que la fuerza
magnética de sus átomos se desordenen al azar. Para
volver a magnetizarlo basta con situarlo en un campo
magnético lo suficientemente fuerte para que esa fuerza
vuelva a ordenarse. Sólo hay unos pocos materiales que
son magnéticos de forma natural, como el hierro, el níquel y el cobalto. También son magnéticos algunas aleaciones, como el acero, pero los imanes permanentes más
potentes son aleaciones de hierro, boro y neodimio.
?????
Una neurona tarda en excitarse un tiempo del orden del
milisegundo (1x10-3 s), mientras que los circuitos electrónicos más veloces tardan un tiempo de un orden cercano
al picosegundo (1x10-12 s). Esto implica que los computadores procesan la información más rápidamente de
modo general. Determinadas tareas son, hoy día, imposibles de efectuar por los computadores o, al menos, estos
son más lentos que el hombre (por ej. procesamiento de
información visual o aprendizaje), aunque esto no se debe a la velocidad de nuestro cerebro en esas acciones
sino en la complejidad de su diseño, muy superior al
computador más potente que se pueda fabricar hoy día.
LA FÍSICA Y EL AMOR
Algunas Leyes
de la Física no es
posible aplicarlas
al amor, pues allí
no siempre funcionan.
Por ejemplo si tu
pareja te dice: “te
amo con todas
mis fuerzas”, tú
podrías pensar
que realmente no
te quiere ni un
poquito. ¿Por qué dirán Uds? Pues porque la suma
de todas las fuerzas es igual a cero.
Y si tu pareja te dice: “necesito tiempo y distancia”,
no vayas a creer que . . . va a calcular la velocidad
(pues v = d / t , o sea: la velocidad es igual a la distancia dividido por el tiempo).
?????
Debido a la ósmosis, cuando nos bañamos largo tiempo,
se nos arruga la piel, porque el agua ha traspasado la piel
pasando dentro de las células. La ósmosis indica que si
dos soluciones son separadas por una membrana, el agua
sólo, sin las moléculas de la solución, puede moverse a
través de la membrana, cambiando la concentración de la
solución a ambos lados de la membrana.
?????
10
ABACOM Boletín Matemático
EL DÍA DE PI
Sonriendo
Con Informática
Un niño le dice a su madre:
– ¿Mamá que haces en frente de la computadora con los ojos cerrados?
– Nada hijo, es que Windows me dijo que cierre las pestañas.
– No sé qué pasa con facebook, me dice “su
clave es incorrecta”, entonces yo escribo
“incorrecta” pero … ¡no abre! …
El día sábado 14 de Marzo pasado se vivió un día muy especial para
la Matemática, fue un día irrepetible, al menos en este siglo.
Como sabemos Pi (π) es el cuociente entre la longitud y el diámetro
de una circunferencia. Se trata de un número irracional, es decir
tiene infinitas cifras decimales y no se repiten en forma periódica.
Una aproximación de π con diez cifras es:
π ≈ 3,141592653.
La forma anglosajona de escribir una fecha es nombrar primero el
mes y luego el día, por eso es que todos los años se celebra el “Día
de Pi” el día 14 de Marzo, pues la fecha se escribe 3/14, que son las
primeras tres cifras de π. Pero este año 2015 hace que la fecha entregue cinco cifras pues se escribe 3/14/15. Si además consideramos la hora 9 de la mañana con 26 minutos y 53 segundos resulta:
3/14/15 - 9:26’:53’’
U
M
O
F1… mi mujer dice que soy subnormal por
estar toda la mañana mirando el teclado del mi
notebook . . .
En el cielo un ángel está hablando con Dios y
le dice:
– ¡Oh, Señor! en la Tierra descubrieron el código del Genoma Humano.
– ¡Malditos Hackers! – responde Dios – voy
a tener que cambiar la contraseña.
– ¿Qué haces tirando esos computadores al
río?
– ¡Pero mira como beben los PCs en el río!
Es decir diez cifras de π.
H
– Me encanta pasar el Domingo viendo la
R
– ¿Qué es un terapeuta?
– 1024 Gigapeutas
REALMENTE ENCUENTRO POCO SERIOS SUS
ESTUDIOS SOBRE CLONACIÓN, PROFESOR . . .
En los países de habla inglesa los informáticos
confunden la fiesta de Halloween con la Navidad porque:
31 Oct = 25 Dec
(31 en octal = 25 en decimal, ya que:
3x81 + 1x80 = 24 + 1 = 25)
Una impresora le dice a otra:
– ¿Esta copia es tuya, o es impresión mía?
11
MAYO 2015
oticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNotici
Julio Morales Muñoz, Periodista y Comunicador Social
¡Se lo ganó, se lo ganó, se lo ganoooó!
Mayo-Septiembre: Taller “Conociendo los personajes del humedal”. Taller teórico-práctico que apunta al reconocimiento de la
flora y fauna del humedal Angachilla, valorando su importancia
ecosistémica.
Agosto-Noviembre: Taller de Huertos Urbanos. Se enseñarán
técnicas de agricultura urbana en base a materiales reutilizados
y reciclados que les permita cultivar diferentes alimentos e incentivando una alimentación más sana.
Octubre: Cicletadas por el Humedal. Consisten en cicletadas en
los alrededores de humedales urbanos con el fin de reconocer
su conexión a través del territorio.
Julio-Octubre: Encuentros Ciudadanos. Buscan reunir a las personas del sector interesadas en la conservación de la naturaleza,
específicamente de los humedales, con el fin de generar estrategias de acción a nivel local.
Noviembre: VI Feria de la Biodiversidad. Busca reunir y difundir
iniciativas medio-ambientales que aporten al conocimiento de la
biodiversidad
de Chile y en
particular de
la Región de
Los Ríos.
El
humedal
Angachilla,
ubicado cerca
de la Villa
Claro de Luna
en Valdivia,
presenta fuertes amenazas, como el alto nivel de degradación,
tala indiscriminada de árboles nativos, caza de especies nativas
por diversión, creación de microbasurales, además de la realización de proyectos viales e inmobiliarios.
“Que venga la modelo”, diría Don
Francisco, porque John Nash
(estadouni- dense de 86 años) es el
ganador del Premio Abel de Matemáticas 2015, galardón que comparte con
su colega Louis Nirenberg (canadiense
de 90 años), ambos reconocidos por su
trabajo en Ecuaciones Diferenciales
Parciales, las que sirven como herramienta empleada para describir todo
tipo de fenómenos científicos, desde
la termodinámica hasta la física
cuántica.
El Premio, considerado el Nobel de
Matemáticas, fue establecido en el
año 2003 por la Academia Europea de Ciencias y Letras y es uno de los
más prestigiosos en su campo e incluye un premio de casi un millón de
dólares. John Nash, desde muy pequeño gustaba mucho de leer y fue
incentivado por su madre para avanzar en los estudios. A los catorce años
empezó a mostrar interés por la Matemáticas y la Química, tal vez influido
por el libro que publicó Eric Temple Bellen 1937: Men of Mathematics.
Estudió en Universidad de Princeton donde impartían clases Albert Einstein y John von Neumann, hecho que motivó más sus ansias por destacar.
De esta forma, inventó un juego matemáticamente perfecto y en 1949
escribió un artículo titulado Puntos de Equilibrio en Juegos de n-personas
en el que definió el equilibrio de Nash. Con 21 años se doctoró con una
tesis de menos de treinta páginas sobre juegos no cooperativos, bajo la
dirección de Albert W. Tucker. En 1994 obtuvo el Premio Nobel de Economía, por su Teoría de los Juegos.
Nash se casó con Alicia Lardé. Tras un año de matrimonio se le diagnosticó
esquizofrenia y todo se tornó complejo y confuso, ya que tuvo que aprender a vivir con sus alucinaciones. Su vida inspiró la película “Una Mente Más Información en: [email protected]
Brillante”. Las teorías del premiado matemático, han influido en negociaciones comerciales globales, en avances de la biología evolutiva y en relaEl pasado verano, en establecimientos educacionales de Valdivia
ciones laborales nacionales.
y Queilen, se realizaron Talleres de Ciencia Antártica, organizados por el Proyecto Anillo “Macroalgas Antárticas y Cambio CliLa Agrupación Transdiciplinaria de Estudiantes (ATRAE) lanzará durante el mático”, interesando de esta forma a grandes y chicos.
presente año distintas actividades que van en desarrollo de una cultura Entre las actividades realizadas se hicieron salidas a terreno para
ambiental desde la ciudadanía. El proyecto es financiado con recursos del recolección de algas, observación en microscopio y confección
Fondo de Protección Ambiental (FPA) del Ministerio del Medio Ambiente de algarios. Así mismo los grupos comenzaron investigaciones
en temas antárticos.
y se desarrolla entre Abril y Noviembre de 2015.
“Proyectando Cultura Ambiental desde la Ciudadanía”, es el nombre del Suena lamentable que los talleres se realizaran en verano y que
proyecto que desarrollan estudiantes de distintas carreras de la UACh en no nos enteramos antes, sin embargo, nunca es tarde para vivir
la Región de Los Ríos. Iniciativa que busca contribuir al desarrollo de una la Ciencia Antártica, ya que en la página web del Proyecto Anillo
cultura ambiental ciudadana, a través de instancias de participación y está disponible para descargar todo el material educativo del
dialogo local que aporte a la conservación de la biodiversidad y entorno taller. En él encontraran todos los apuntes para sugerir a sus
profesores los contenidos que desean aprender en ramos pertinatural de la ciudad de Valdivia.
En el marco del proyecto se realizará una serie de talleres y encuentros nentes al tema.
ciudadanos. Algunos de ellos:
Apuntes, rompecabezas y más, del interesante mundo de las
Mayo: Taller de Fauna Silvestre. Se entregarán conocimientos algas, se puede encontrar en:
acerca de la importancia de la conservación de la fauna nativa.
http://www.algasantarticas.cl/p/material-educativo-taller-ciencia.html
Nunca es tarde para vivir la Ciencia Antártica
ATRAE . . . ¡te atrae a los Humedales!
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