1. No category

BÚSQUEDA DE LA TASA INTERNA DE
RENDIMIENTO USANDO UNA HEURISTICA
RECURSIVA
DR. RAMÓN CANTÚ CUÉLLAR 1
UANL FIME
DR. LUIS CHÁVEZ GUZMÁN
2
UANL FIME
M.C. ROBERTO ELIZONDO VILLARREAL
3
UANL FIME
RESUMEN
En este documento se propone una nueva técnica para la solución de ecuaciones no lineales
(algebraicas y trascendentes) , de tipo numérico, que garantiza la localización de una raíz,
empleado para obtener la tasa interna de rendimiento de una inversión no simple pura..
Aunque en ocasiones el número de iteraciones puede ser excesivo, tiene como ventaja su
sencillez y que tiene una convergencia a la solución óptima para algún margen de error
seleccionado.
PALABRAS CLAVE
Tasa interna de rendimiento, Análisis numérico, Heurísticas .
LÍNEA DE INVESTIGACIÓN
Administración Industrial y Toma de Decisiones Financieras
1
2
3
Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, Universidad Autónoma de Nuevo León, Av. Universidad S/No, Cd.
Universitaria, San Nicolás de los Garza, N. L. C. P. 64451 Tel. (81)8354-8261, ramó[email protected]
Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, Universidad Autónoma de Nuevo León, Av. Universidad S/No, Cd.
Universitaria, San Nicolás de los Garza, N. L. C. P. 64451 Tel. (81)8478-5370, [email protected]
Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, Universidad Autónoma de Nuevo León, Av. Universidad S/No, Cd.
Universitaria, San Nicolás de los Garza, N. L. C. P. 64451 Tel. (81)8372-2810, [email protected]
R. Cantú, L. Chávez y R. Elizondo
1. Introducción
Un problema importante en el análisis financiero es el cálculo de la tasa interna de rendimiento
(TIR), la cual puede representar el rendimiento al vencimiento, usado comúnmente en la valuación de
bonos, y eficiencia marginal de capital. En los casos en los que existe un solo cambio de signo en los
coeficientes de la ecuación del valor anual equivalente o en la del valor presente neto, se emplean tanteos
para su cálculo, empleando interpolación. Para evitar un número excesivo de tanteos pueden utilizarse
fórmulas que determinan un valor aproximado de la TIR, lo que permite reducir el número de
evaluaciones de la tasa de interés i.
Pero si dichas ecuaciones presentan más de un cambio de signo en dichos coeficientes, ya
no es posible el empleo de dichas fórmulas para el cálculo inicial de la TIR, lo que ocasiona en
estos casos que la interpolación para el cálculo de una TIR se complique, por no tener un valor
inicial cercano antes de la aplicación del algoritmo de James C.T. Mao (Coss, 2006).
Las ecuaciones del valor anual equivalente y del valor presente son de tipo no lineal, las
cuales pueden ser resueltas de manera aproximada mediante el empleo del análisis numérico. Los
métodos mas eficientes son los que emplean derivadas, tales como el método de NewtonRaphson (Burden, Faires, 2010) ó el método de Bailey (McCalla, 1982), entre otros,
considerando un valor inicial, y tienen una convergencia a la solución analítica de acuerdo al
error permisible que haya sido establecido.
2. Marco teórico y/o antecedentes científicos (revisión de la literatura especializada
El algoritmo de James C. T. Mao y técnicas heurísticas
El algoritmo de James C.T. Mao es un procedimiento que se recomienda utilizar en la
evaluación de inversiones no-simples, las cuales pueden ser puras(una sola TIR) o mixtas(varias
TIR’s). Si la inversión es pura, el problema de tasas múltiples de rendimiento no existe y la
evaluación sería similar a la de las inversiones puras (una sola TIR). Además, en las inversiones
puras el saldo no recuperado de la inversión siempre es negativo, es decir, el proyecto de
inversión siempre nos debe y esta deuda se reduce a cero al final de su vida (Coss 2006).
En las inversiones mixtas el saldo no recuperado de la inversión puede ser positivo o
negativo. Si el saldo es negativo, entonces después de transcurrir un período el proyecto nos
deberá una cantidad que depende del rendimiento sobre el capital invertido o RCI, pero si el saldo
es positivo, significa que se dispone de cierta cantidad de dinero puede ser invertida a una tasa de
interés igual a la tasa de recuperación mínima atractiva (Mao 1969)
Por otra parte, debido a la dificultad práctica para resolver de forma exacta toda una gama
de importantes problemas matemáticos, para los cuales es necesario ofrecer alguna solución dado
su interés práctico, se han desarrollado diferentes métodos heurísticos, los cuales, aunque no
ofrecen la solución exacta al problema, se acercan a la solución en un tiempo de cálculo
razonable. Los métodos heurísticos son empleados entre otras circunstancias, cuando no se
necesita la solución exacta del problema, sino aproximada, (Díaz, Glover, 1996) la cual es una
característica fundamental de los métodos numéricos
2
BUSQUEDA DE LA TASA INTERNA DE RENDIMIENTO USANDO UNA HEURISTICA RECURSIVA
Una manera de definir esta clase de algoritmos es como procedimientos simples,
frecuentemente basados en el sentido común, que se supone ofrecerán una buena solución a
problemas difíciles, de un modo fácil y rápido (Díaz, Glover, 1996).
Se han formulado anteriormente técnicas heurísticas para la solución del difícil problema
de tasas múltiples de rendimiento combinado con el uso del algoritmo de James C. T. Mao. Para
el caso de inversiones puras, una manera de resolver este problema es mediante el procedimiento
que aparece en nuestros artículos anteriores (Cantú, Chávez, Elizondo, 2012) en el que se emplea
un método de tipo heurístico. Asimismo, cuando la inversión es mixta también puede ser
calculado el rendimiento sobre el capital invertido o RCI usando técnicas heurísticas (Chávez,
Cantú 2013)
En este trabajo será desarrollada otra técnica heurística para este tipo de problemas,
usando un punto inicial dado cercano a la raíz de dicha ecuación, que de manera iterativa da
como resultado la TIR del proyecto de inversión y que también se expresa en términos de los
sumandos de la función no lineal analizada de alguna de las técnicas de evaluación de proyectos
indicadas anteriormente
3. Planteamiento del problema y formulación de hipótesis.
La contribución del presente trabajo es ofrecer una nueva técnica numérica de tipo
heurístico como una alternativa a los métodos existentes para la solución de ecuaciones no
lineales, teniendo como principales característica que no emplea derivadas, ni conocer intervalos
iniciales de búsqueda, sino sólo un punto inicial de partida, por lo que el método propuesto es
más accesible que las otros métodos alternativas a las cuales reemplaza, al requerirse de menor
información sobre la función a analizar, así como la rapidez en que son efectuadas las iteraciones
y su sencillez.
Hipótesis
Existe un método más accesible que las técnicas alternativas a las cuales reemplaza, al
requerirse de menor información sobre la función a analizar, así como la rapidez en que son
efectuadas las iteraciones y su sencillez.
4. Diseño de la Investigación.
El método de solución que propondremos se basa en el hecho de que la suma de los
componentes de cualquier ecuación no lineal debe ser igual a cero, siendo la suma algebraica de
los términos con coeficientes positivos y negativos, a partir de este hecho se generará la
heurística, como analizaremos a continuación.
La heurística en la que basaremos el método propuesto consiste en descomponer la
función no lineal para la que se busca una raíz y expresarla como una suma de fracciones,
expresadas con los sumandos originales de los términos en el numerador, entre la suma de todos
los términos, pero todos con signo positivo, esta suma de términos será multiplicada por el valor
3
R. Cantú, L. Chávez y R. Elizondo
actual de la raíz, o por el valor inicial utilizado, determinándose de este modo la fórmula
recursiva asociada al método numérico propuesto que llamaremos “método heurístico”.
Consideremos la ecuación f(x) = 0, en el caso donde f es una función de variable real,
continua y diferenciable en algún intervalo (a,b) que contiene alguna raíz α. Tomando un punto
arbitrario x0 dentro del intervalo (a,b), se obtendrá un nuevo valor x1 más cercano a la raíz con la
fórmula.
X1= x 0
 x
(1)
Definiremos Δx con signo negativo o positivo, en términos de f(x), a partir de los
coeficientes de sus sumandos, expresando f(x) como
f(x) = g(x) + h(x)
(2)
donde g(x) representa los términos de f(x) con coeficientes positivos y h(x) los términos con
coeficiente negativo, para obtener x1 por medio de la fórmula
 h( x )  g ( x )   h( x )  g ( x )  2  h( x )  g ( x ) 3 
0
0
0
0
0
0
  
  
 
x1  x0 1  k 
 h( x0 )  g ( x0 )   h( x0 )  g ( x0 )   h( x0 )  g ( x0 )  

(3)
Repitiendo este procedimiento para obtener x2 a partir del punto obtenido x1 y (3), y así
para las demás aproximaciones x2, …, xi , se genera la fórmula recursiva del método
 h( x )  g ( x )   h( x )  g ( x )  2  h( x )  g ( x )  3 
i
i
i
i
i
i
  
  
 
xi 1  xi 1  k 
 h( xi )  g ( xi )   h( xi )  g ( xi )   h( xi )  g ( xi )  

(4)
Donde k es una constante y el signo del segundo término puede ser positivo o negativo.
En algunos casos se empleará (4) con signo positivo y en otros con signo negativo,
dependiendo en cuál de los dos casos se llegue a una convergencia del método para algún error
permisible ξ, que cumpla con la condición
x i 1  x i  
(5)
Si f(x) solo tiene términos con coeficientes positivos o negativos, puede reescribirse
sumando cero a
4
BUSQUEDA DE LA TASA INTERNA DE RENDIMIENTO USANDO UNA HEURISTICA RECURSIVA
f(x), con
f(x) = f(x) + 1 ― 1
(6)
lo que impide que g(x)/h(x) sea igual a cero cuando la función f(x) no tenga términos con
coeficientes negativos y provoque una falla del método en la búsqueda de la raíz, o que se
presente una división sobre cero si f(x) tiene solo términos con coeficientes positivos, la cual no
es permitida en matemáticas y conduciría a otra falla en la técnica propuesta en este documento.
Es importante aclarar que los signos de los sumandos deben ser los que se obtienen una vez que
se ha evaluado el punto inicial x0 en la función no lineal, si x0 es positivo, los signos de los
componentes de la función no cambian, pero si x0 es negativo puede haber cambios en el
coeficiente de los componentes de la función, asimismo en la evaluación de los demás valores xi
en las siguientes iteraciones del método.
Por otra parte, para ciertas situaciones presentadas en análisis financiero el segundo y tercer
sumando del término entre paréntesis en (4) ofrecen poco cambio en la nueva raíz, en especial el
tercer término, pero aun así permiten llegar a una convergencia en la búsqueda de la tasa interna
de rendimiento.
Los coeficientes de los términos de g(x) y h(x) empleados en (4) siempre serán positivos.
Resumen computacional del método
Paso 0: Leer x0 = aproximación inicial de la raíz de f(x) = 0.
 : Término de convergencia
N: Número máximo de iteraciones.
Paso 1: Hacer i = 0
Paso 2: Calcular aproximaciones sucesivas de la raíz α, con la fórmula
Calcular la condición de convergencia en cada iteración
 i 1  x i 1  x i  
Paso 3: Prueba de convergencia, divergencia o falla de convergencia
(a) Si D i +1≤  ir al paso 4.
(b) Si D i +1 > y si i ≤ N, hacer i = i +1 e ir al paso 2
c) Si D i +1 > y si i > N, seleccionar un nuevo x0 e ir al paso 1.
Paso 4: Salida de la raíz α. Hacer α = xi+1 . Escribir α
5
R. Cantú, L. Chávez y R. Elizondo
5. Presentación, análisis e interpretación de los hechos y resultados
Aplicación al análisis financiero.
Para el siguiente proyecto de inversión
__________________________________________________________________
Año
0
1
2
3
4
__________________________________________________________________
Flujo de efectivo
-200
600
-200
800
500
__________________________________________________________________
Se debe buscar una raíz de la ecuación:
f(x) = - 200 +
-
Sea h(x) = 200 +
(
(
)
)
+
(
)
, g(x) =
+
+
(
(
)
)
+
(
)
Tomando el segundo termino de (4) con signo positivo y k = 1, en la primera iteración
 h( x )  g ( x )   h( x )  g ( x )  2  h( x )  g ( x )  3 
0
0
0
0
0
0
  
  
 
x1  x0 1  
 h( x0 )  g ( x0 )   h( x0 )  g ( x0 )   h( x0 )  g ( x0 )  
,
evaluando x0 = 1.9235, que es un valor obtenido empleando una fórmula para encontrar un valor
aproximado de la TIR, se obtiene x1= 2.0129 que comparado con x0 aún no se cumple la
condición de convergencia, en la quinceava iteración del método se encuentra x15 =2.162, con un
Δ =0.0001 para la cual el valor de f(x) es 0.0564, por lo tanto una TIR de la inversión es
216.20%..
Un resumen de las iteraciones totales del método se presenta en la tabla 1
Iteración i
xi
f(xi)
_____________________________________
1
2.0190
11.8905
6

BUSQUEDA DE LA TASA INTERNA DE RENDIMIENTO USANDO UNA HEURISTICA RECURSIVA
2
2.0662
7.8173
3
2.1013
4.8980
4
2.1239
3.0655
5
2.1385
1.9007
6
2.1474
1,1978
7
2.1532
0.7427
8
2.1566
0.4769
9
2.1587
0.3132
10
2.1598
0.2275
11
2.1608
0.1257
12
2.1614
0.1030
13
2.1618
0.0719
14
2.1620
0.0564
15
2.1620
0.0564
Tabla 1: Resultados de las iteraciones del método para una función que representa una
inversión no simple.
Posteriormente usando el algoritmo de James C. T. Mao se demuestra que para esta
inversión la TIR obtenida es la única, por lo tanto la inversión es pura y para determinar si el
proyecto se justifica debe de ser comparada con la TREMA (Tasa de recuperación mínima
atractiva)
6. Discusión y conclusiones
Se ha propuesto un método heurístico para obtener la solución de ecuaciones no lineales,
partiendo de un punto dado, siendo un método que da soluciones a problemas reales, teniendo
como ventaja la sencillez en la que se efectúan las iteraciones así como su rapidez de cálculo, sin
el empleo de derivadas y además puede emplearse como punto inicial alguno que no se encuentre
muy cerca de la raíz buscada.
7. Recomendaciones e implicaciones empresariales y/o sociales
Este método ofrece las ventajas de ser rápido, sencillo y sobre todo que es factible usarlo
en la solución de problemas reales que surgen en la toma de decisiones financieras.
Referencias bibliográficas
Coss Bu R. (2006). Análisis y Evaluación de Proyectos de Inversión. Limusa.
Burden, R. L. y Faires, J. D. (2010) Numerical Analysis, Belmont: Brooks-Cole.
Mc Calla T. R (1982). Introduction to Numerical Methods and FORTRAN Programming, New York: John Wiley
7
R. Cantú, L. Chávez y R. Elizondo
Díaz, A., Glover, F., Ghaziri, H., González Velarde, J.L., Laguna M., Moscazo, P., Tseng, F. T. (1996) Optimización Heurística
y Redes Neuronales. Madrid: Paraninfo.
Cantú, R, Chávez, L, Elizondo (2012) Cálculo de la Tasa Interna de Rendimiento usando un Nuevo Método Numérico, Libro de
Memorias de la 7ma Cátedra en Administración y Contabilidad Agustín Reyes Ponce, Segunda Sesión. Universidad de Sonora.
Chávez, L, Cantú, R (2013) Método Heurístico para el Cálculo de la Tasa interna de rendimiento para inversiones no-simples
Mixta, Libro de Memorias de la 8va Cátedra en Administración y Contabilidad Agustín Reyes Ponce, Primera sesión,
Universidad de Aguscalientes.
Mao, James C. T.(1969) Quantitative Analysis of Financieral Decisions, Mac Millan Publishing Co., Inc.
8