1. No category

a.
1. Averiguar los valores reales que verifican las siguientes condiciones:
x−2 ≤ 2
b.
x+
c.
2x + 3 ≥ 6
1
=5
2
Solución.
El valor absoluto convierte cualquier expresión en positiva. Para eliminar el valor absoluto de
una ecuación habrá que tener en cuenta que la expresión bajo él puede ser positiva ó negativa, lo cuál se
consigue añadiendo un doble signo y resolviendo indistintamente para cada uno.
 (+ ) : x − 2 ≤ 2 : x ≤ 4
a.
x − 2 ≤ 2 : ± (x − 2 ) ≤ 2 : 
: x ∈ [0, 4]
(− ) : − x + 2 ≤ 2 : − x ≤ 0 : x ≥ 0
b.
1
9

(+ ) : x + 2 = 5 : x = 2
1
1

x + = 5: ±x +  = 5: 
1
11
11
2
2

(− ) : − x − = 5 : − x = : x = −
2
2
2

c.
3

(+ ) : 2x + 3 ≥ 6 : x ≥ 2
9 3


2 x + 3 ≥ 6 : ± (2 x + 3) ≥ 6 : 
: x ∈  − ∞, −  ∪  , + ∞ 
9
9
2 2


(− ) : −2 x − 3 ≥ 6 : − x ≥ : x ≤ −
2
2

2. Expresar en forma de valor absoluto los siguientes intervalos:
a. (−3, 5)
b. (−∞, 2] ∪ [5, +∞)
Solución.
Para expresar un intervalo mediante valor absoluto, se busca el punto medio del intervalo y el
radio del intervalo (diferencia en valor absoluto entre el punto medio y cualquiera de los extremos).
−3 + 5
= 1 . Radio = 1 − 5 = 1 − (− 3) = 4
2
|x − 1| < 4
a.
(−3, 5) Punto medio =
b.
(−∞, 2] ∪ [5, +∞) Punto medio =
2+5 7
7
7
3
= . Radio = − 5 = − 2 =
2
2
2
2
2
x−
1
7 3
≥
2 2
Calcular:
2
54
3
16 + 3 2 − 3
3
8
3.
a.
b.
2a
2b
1
−
+
b
a
2ab
c.
(x + 2)3 −
d.
a 2 m − a 2 n + 4 (m − n )2 ·b 4 + 6 c 6 ·(m − n )3
4x + 8 − x 3 + 2x 2
b 0,18a a 18b 2
2a
2
a 3 ·c 4
2
c
+
+
−
0,3 b 2
b
a
c 2 9c 2 0,125
Solución.
Se factoriza los radicándoos en busca de un radical común ya que solo se puede sumar y restar
radicales idénticos. Si es necesario se racionaliza para obtener el radical común.
e.
3
a.
16 +
23
54 3 4 2 3
2 ⋅ 33 3
2
3
2
3
2 − 3 3 = 2 ⋅ 2 3 + 3 2 − 3 2 = 23 2 + 3 2 − 3 2 =
2 −3
= 2 +
3
8
3
3
2
3
2
2
2 3 7

= 3 2 ⋅2 + −  = 3 2
3 2 6

2a
2b
1
2a
2b
1
−
+
=
−
+
=
b
a
2ab
b
a
2ab
b.
=
2ab
b2
−
2ab
a2
+
2ab
(2ab)2
=
2a ⋅ b
b⋅ b
2b ⋅ a
−
a⋅ a
1 ⋅ 2ab
+
2ab ⋅ 2ab
2ab
2ab
2ab
1 
2a − 2b + 1
1 1
−
+
= 2ab  − +
 = 2ab
b
a
2ab
2ab
 b a 2ab 
c.
(x + 2)3 − 4x + 8 − x 3 + 2x 2 = (x + 2)2 (x + 2) − 4(x + 2) − x 2 (x + 2) =
= (x + 2 ) x + 2 − 2 x + 2 − x x + 2 = x + 2 (x + 2 − 2 − x ) = 0 x + 2 = 0
d.
a 2 m − a 2 n + 4 (m − n )2 ·b 4 + 6 c 6 ·(m − n )3 = a 2 (m − n ) + 4 (m − n )·b 2
(
= a m−n +
e.
(m − n )·b 2
=
=
)
2
(
a 3 ·c 4
=
0,125
b
18a
a 18b 2
2a
2
+
+ 2c 2 − 2
2
3
b
a
100b
c
9c
10
10b 2 ⋅ 3 2 a
2 ⋅ 32 b 2
2a
2
+
+ 2c
− 2
2
3 10 2 b 2
9c
a
c
a 3 ·c 4
=
1
8
( )
2⋅ 22 a ⋅a 2 · c2
2
=
10b 3 2a 3 2 ⋅ a
2a
2
3 2a
4a
+
+ 2c
− 2 2ac 2 2a = 2a +
+ 2 2a −
2a =
3 10b
c
a
9
9c
a⋅ a
4a 
9a + 27 + 18a − 4a 2
 3
=  1 + + 2 −  2a =
9 
9a
 a
2
2a =
27 + 27a − 4a 2
9a
)
+ 6 c 2 ·(m − n )
+ c 2 ·(m − n ) = a m − n + b m − n + c m − n = (a + b + c ) m − n
2a
2
b 0,18a a 18b 2
+
+ 2c 2 − 2
2
0,3 b
b
a
c
9c
=
=
2a
3
=
Calcular:
4.
a.
3
b.
3 3
c.
3
2 3:
2
b
3
4
1 3
3
3
b
2
Solución.
Para introducir un factor dentro de un radical, se eleva el factor al índice del radical.
3
a.
2 3:
b.
3 3
c.
3
2
b
5.
3
4 =
3
2 3
3
3
=
4
1 3
3 =3 3
3
1
3
2
22 ⋅3
2×3
4
=
3×2
6
12
4
6
12
6
4
=6
12 6
= 3
4
⋅ 3 3 = 3 32×2 3 = 3 34 3 = 3
2
b 3  2  b 3×2 2 2 ⋅ b 6 2
=
=
=
=
 
2
b
b2 ⋅2
b 2
Racionalizar:
=
6
2
6
b
=
4
6
6
2 ⋅ b5
6
b ⋅ 6 b5
3 4 ⋅ 3 = 32×4 3 5 = 38 3 5
=
6
2 ⋅ b5
6
b6
=
6
2 ⋅ b5
b
3+2
2 3− 2
Solución.
(
)
Se multiplica y divide por el conjugado del denominador 2 3 + 2 .
( 3 + 2)⋅ (2 3 + 2 ) =
(2 3 − 2 )⋅ (2 3 + 2 )
=
6.
Racionalizar:
3 ⋅2 3 + 3 ⋅ 2 + 2⋅2 3 + 2 2
(2 3 ) − ( 2 )
2
2
2 9 + 6 +4 3+2 2
=
4⋅3− 2
=
2⋅3+ 6 + 4 3 + 2 2 6 + 6 + 4 3 + 2 2
=
10
10
3 6 +2 2
3 2 +2
Solución.
(
)
Se multiplica y divide por el conjugado del denominador 3 2 − 2 .
3 6 +2 2
3 2 +2
=
=
(3 6 + 2 2 )⋅ (3 2 − 2) = 3
(3 2 + 2)⋅ (3 2 − 2)
6 ⋅3 2 − 3 6 ⋅ 2 + 2 2 ⋅3 2 − 2 2 ⋅ 2
(3 2 )
2
− 22
=
9 12 − 6 6 + 6 4 − 4 2 9 2 2 ⋅ 3 − 6 6 + 6 2 2 − 4 2 9 ⋅ 2 3 − 6 6 + 6 ⋅ 2 − 4 2
=
=
=
9⋅2 − 4
18 − 4
14
=
7.
(
)
18 3 − 6 6 + 12 − 4 2 2 9 3 − 3 6 + 6 − 2 2
6−2 2 −3 6 +9 3
=
=
14
14
7
Racionalizar:
3 2 +2 3
3 2 −2 3
Solución.
(
)
(3 2 + 2 3 ) = (3 2 ) + 2 ⋅ 3 2 ⋅ 2 3 + (2 3 )
3)
=
3 ) (3 2 ) − (2 3 )
3 ( 2) − 2 ( 3)
Se multiplica y divide por el conjugado del denominador 3 2 + 2 .
3 2 +2 3
3 2 −2 3
=
(3
(3
)(
3 )⋅ (3
2 +2 3 ⋅ 3 2 +2
2 −2
2 +2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
=
32
=
8.
( 2)
2
+ 12 2 ⋅ 3 + 2 2
9⋅2 − 4⋅3
( 3)
2
=
(
2 3− 2
Racionalizar:
18
Solución.
Se multiplica y divide por el denominador
2 3− 2
18
=
(2
)
3 − 2 ⋅ 18
9.
=
18 ⋅ 18
2 3 ⋅ 18 − 2 ⋅ 18
( 18 )
2
Se multiplica y divide por el denominador
12
2 3 ⋅18 − 2 ⋅18 2 54 − 36
=
=
18
18
(
)
(2
6 −1
3
12
Solución.
=
=
2 3+ 2
Racionalizar:
2 3+ 2
( 18 ) .
2 2 ⋅ 33 − 6 2 ⋅ 3 2 ⋅ 3 − 6 6 6 − 6 6 ⋅ 6 − 1
=
=
=
=
18
18
18
18
=
)
9 ⋅ 2 + 12 6 + 4 ⋅ 3 30 + 12 6 6 ⋅ 5 + 2 6
=
=
= 5+ 2 6
18 − 12
6
6
)
3 + 2 ⋅ 12
=
12 ⋅ 12
=
( 12 ) .
2 3 ⋅ 12 + 2 ⋅ 12
( 12 )
2
3
=
2 3 ⋅12 + 2 ⋅12 2 36 + 24
=
=
12
12
(
)
2 ⋅ 6 + 2 ⋅ 3 12 + 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 6 + 6
6+ 6
=
=
=
12
12
12
6
3 6 +2 2
10. Racionalizar:
3 3+2
Solución.
(
)
Se multiplica y divide por el conjugado del denominador 3 2 − 2 .
3 6 +2 2
=
3 3+2
=
(3 6 + 2 2 )⋅ (3 3 − 2) = 3
(3 3 + 2)⋅ (3 3 − 2)
9 6⋅3 − 6 6 + 6 2⋅3 − 4 2
32 ⋅
( 3)
2
=
−4
(3 3 )
2
− 22
=
9 18 − 6 6 + 6 6 − 4 2 9 2 ⋅ 3 2 − 4 2
=
=
9⋅3− 4
27 − 4
9 ⋅ 3 2 − 4 2 27 2 − 4 2 23 2
=
=
= 2
23
23
23
11
11. Racionalizar:
=
6 ⋅3 3 − 3 6 ⋅ 2 + 2 2 ⋅3 3 − 2⋅ 2 2
+
1− 5
2 5 + 4 3+ 5
Solución.
Primero se racionaliza y luego se suma. Para racionalizar se multiplica y divide cada fracción por
el conjugado del denominador.
11
2 5 +4
=
+
1− 5
3+ 5
=
(
(1 − 5 )⋅ (3 − 5 ) 11⋅ 2 5 − 11⋅ 4 1⋅ 3 − 1⋅ 5 − 5 ⋅ 3 + ( 5 )
(2 5 + 4)⋅ (2 5 − 4) (3 + 5 )⋅ (3 − 5 ) = (2 5 ) − 4 +
3 − ( 5)
11 ⋅ 2 5 − 4
22 5 − 44
22 ⋅
( 5)
2
− 16
+
=
)
2
+
2
2
2
2
3 − 5 − 3 5 + 5 22 5 − 44 3 − 5 − 3 5 + 5 22 5 − 44 8 − 4 5
+
=
+
=
=
9−5
4 ⋅ 5 − 16
4
4
4
(
)
(
)
22 5 − 44 + 8 − 4 5 18 5 − 36 18 ⋅ 5 − 1 9 ⋅ 5 − 1
=
=
=
4
4
4
2
4
=
3
12. Opera y simplifica:
2
−
3− 2
3+ 2
Solución.
En este caso, los denominadores de las fracciones son conjugados entre si, por lo tanto, si se
suman las fracciones se eliminan los radicales del denominador y la expresión queda racionalizada.
3
2
3⋅ 3 + 2 − 2 ⋅ 3 − 2
3 3 +3 2 −2 3 +2 2
3 +5 2
=
=
= 3 +5 2
−
=
2
2
3−2
3− 2
3+ 2
3− 2 ⋅ 3+ 2
3 − 2
(
(
) (
)(
)
7− 5
13. Opera y simplifica:
)
( ) ( )
7+ 5
−
7+ 5
7− 5
Al igual que en el anterior, los denominadores de las fracciones son conjugados entre si, por lo
tanto, si se suman las fracciones se eliminan los radicales del denominador y la expresión queda
racionalizada.
7− 5
−
7+ 5
( 7)
2
=
( 7 − 5 )⋅ ( 7 − 5 )− ( 7 + 5 )⋅ ( 7 + 5 ) = ( 7 − 5 ) − ( 7 + 5 ) =
( 7 + 5 )⋅ ( 7 − 5 )
5
( 7 ) − ( 5)
5 + ( 5 ) −  ( 7 ) + 2 7 5 + ( 5 ) 

 7 − 2 7 ⋅ 5 + 5 − (7 + 2 7 ⋅ 5 + 5) − 4
7+ 5
7−
2
=
2
2
−2 7
2
2
2
2
=
7−5
=
2
35
2
= −2 35
1
14. Opera y simplifica:
3
1−
1
+
3
1+
1+ 3
1− 3
Solución.
Primero se operan los denominadores:
1
1
1
1+ 3
1− 3
1
+
=
+
=
+
=
3
1⋅ 1 + 3 − 3 1⋅ 1 − 3 + 3 1 + 3 − 3 1 − 3 + 3
3
1−
1+
1+ 3
1− 3
1+ 3
1− 3
(
=
)
(
)
1+ 3 1− 3
+
= 1+ 3 +1− 3 = 2
1
1
a+ b
15. Racionalizar:
a− b
Solución.
( a + b ).
2
(
(
b)
a + b)
a) +2 a b +( b)
a + 2 ab + b
=
=
=
2
2
a−b
a−b
b) ( a ) −( b)
Se multiplica y divide por el conjugado del denominador
a+ b
a− b
=
( a + b )⋅ ( a +
( a − b )⋅ ( a +
2
2
x+y
16. Racionalizar:
x+ y
Solución.
(
Se multiplica y divide por el conjugado del denominador
x+y
x+ y
=
(
(x + y )⋅ (
x− y
)(
x+ y ⋅
)
x− y
=
(x + y )⋅ (
x− y
) ( x) −( y)
2
5
2
)
x− y .
) = (x + y)⋅ (
x− y
x−y
)
=
a+ b
17. Racionalizar y simplificar:
Solución.
a+ b
b a −a b
=
(
(b
b a −a b
)(
b )⋅ (b
a + b ⋅ b a +a b
a −a
a +a b
ab + (a + b ) ab + ab
2
)
2
ab − a b
6
)
=
=
b a 2 + a ab + b ab + a b 2
(b a ) − (a b )
2
2ab + (a + b ) ab
ab(b − a )
2
=