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Coordinación de Matemática II (MAT022)
Primer semestre de 2013
Semana 3: Lunes 25 de Marzo – Viernes 29 de Marzo
CÁLCULO
Contenidos
• Clase 1: Problemas con valor inicial, Ley de Newton, Crecimiento de poblaciones y otras
aplicaciones.
• Clase 2: Integral de Riemann. Sumas superior e inferior. Sumas de Riemann. Definición de
función integrable.
CLASE 1
1.1 Problemas con valor inicial
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que aparecen derivadas de una función desconocida
Ejemplo 1.1.
Ejemplo 1.2.
dy
dx
⇣
+xy = y 2
dy
dx
⌘2
dy
dx
x y = cos y x
Como aplicación del cálculo de primitivas y la constante de integración vamos a resolver algunos problemas asociados
fenómenos físicos. En estos problemas aparecen ecuaciones del tipo
dy
= f (x ) g y
dx
que son llamadas ecuaciones en variables separables. Note lo siguiente, Si G y es una primitiva de
primitiva de f (x ) entonces de la relación
G y
derivando en forma implícita obtenemos
G0 y
F (x ) = C
dy
dx
F 0 (x ) = 0
1
g (y )
y F (x ) es una
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se sigue
dy
= g y f (x )
dx
por otro lado, si
dy
= f (x ) g y
dx
desde el punto de vista de las diferenciales
dy
= f (x ) d x
g y
de donde obtenemos
Z
dy
=
g y
Z
f (x ) d x + C
eso nos da un método para resolver este tipo de ecuaciones.
Ejemplo 1.3. Resolver
dy
dx
= eyx
Pasamos a diferenciales e integramos e
ydy
= xdx ) e
y
✓ ✓
y (x ) =
notar que si y (0) = 1 entonces
de donde obtenemos C = e
ln
1=
1
así
=
+ C se sigue
x2
+C
2
◆◆
ln ( C )
✓
ln e
y (x ) =
x2
2
x2
2
1
◆
1.1.1 Reacciones químicas y desintegración
No es difícil observar en la naturaleza diversas reacciones químicas entre elementos. Por ejemplo si moléculas de cierto
tipo se desintegran por acción del medio, el número de moléculas que se descomponen en una unidad de tiempo es
proporcional al número de moléculas total presente: Supongamos que en t = 0 se tienen x 0 gramos. Si denotamos por
x (t ) el número de gramos en el instante t entonces dd xt es el ritmo de variación de la cantidad. Si k > 0 es la constante de
proporcionalidad entonces
dx
= kx
dt
(la cantidad esta decreciendo) Notar que
se sigue que
Z
x 0 (t )
= k
x (t )
x 0 (t )
dt =
x (t )
Z
k d t ) ln |x (t )| = k t + C
se sigue
como x (t )
0 obtenemos x (t ) = K e
kt
|x (t )| = K e
kt
X (t ) = x 0 e
kt
además x (0) = x 0 de donde obtenemos
se llama semivida T al tiempo requerido para que la sustancia se reduzca a la mitad. De esta forma
x0
= x0e
2
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kt
)T =
ln 2
k
2
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Ejemplo 1.4. Desintegración radioactiva
El radio de carbono tiene una semivida de mas o menos 5600 años. Este se produce en la alta atmósfera por acción
de rayos cósmicos sobre el nitrógeno. El radio carbono por oxidación pasa a dióxido de carbono y este se mezcla por el
viento con el dióxido de carbono no radioactivo presente.
La proporción en el carbono ordinario ha alcanzado hace tiempo su estado de equilibrio. Todas las plantas y animales
que comen plantas incorporan esta proporsicón de radio carbono en sus tejidos. Mientras el animal o planta viven esta
cantidad permanece constante pero al morir deja de absorber radio carbono y el que había en el momento de morir
comienza a desintegrarse.
Así, si un fragmento de madera antigua tiene la mitad de radioactividad que un árbol vivo. Este vivió hace unos 5600
años. Si solo tiene la cuarta parte podemos determinar el tiempo en que vivió tenemos:
x0
= x0e
4
k t0
) ln 4 = k t 0
como T = lnk2 = 5600 se sigue t 0 = 2T = 11200 años.
Esto da un método para medir la edad de objetos orgánicos.
Ejemplo 1.5. Si el 25% de una sustancia se desintegra en 100 años. ¿Cuál es su vida media?
1.1.2 La ley de enfriamiento de Newton
Consideremos el siguiente modelo simplificado para el fenómeno de variación de temperatura en un cuerpo. Supongamos que se cumplen las siguientes hipótesis:
• En el instante t la temperatura en todo el cuerpo T (t ) es la misma.
• La temperatura del medio es constante Tm
• El flujo de calor a través de las paredes del cuerpo dada por
del cuerpo y la temperatura del medio.
dT
dt
es proporcional a la diferencia entre la temperatura
La última condición la podemos formular como
dT
= k (T
dt
Tm )
donde k > 0 es la constante de proporcionalidad. El signo “ ” puede ser explicado de la siguientes forma Si T > Tm
entonces el cuerpo se enfría luego la temperatura decrece y así dd Tt < 0. Si T < Tm entonces la temperatura del cuerpo
crece luego dd Tt > 0.
Supongamos además que la temperatura inicial del cuerpo esta dada por T0 = T (0) entonces tenemos el problema
dT
dt
T (0)
=
=
k (T
Tm )
T0
con el método anterior podemos encontrar una expresión para T (t ), en efecto:
(T
dT
= kdt
Tm )
se sigue
note que T (0) = T0 de donde obtenemos
ln |T
ln |T0
así
|T (t )
MAT022 (Cálculo)
Tm | = k t + C
Tm | = C
Tm | = |T0
Tm | e
kt
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los valores absolutos los podemos quitar razonando sobre la temperatura inicial (note por el teorema del valor intermedio,
si la temperatura comienza bajo Tm no la puede superar de lo contrario existiría t 0 tal que 0 = |T0 Tm | e k t 0 .
Nos queda
T (t ) = Tm + (T0 Tm ) e k t
notar que limt !1 T (t ) = Tm
Ejemplo 1.6. Un cuerpo a 100 C es puesto en una sala a temperatura constante de 25 C . Después de 5 minutos la temperatura del cuerpo es de 90 ¿Cuanto tiempo tarda en estar a 50 ?
Ejemplo 1.7. Un cuerpo a 100 es puesto en una sala que esta a una temperatura constante desconocida. Si pasados 10
minutos el cuerpo esta a 90 y pasado 20 minutos esta a 82 calcular la temperatura de la sala.
1.1.3 Mezclas
Para obtener un remedio, una pintura del color adecuado o un trago es necesario mezclar diversos ingredientes.
Considere un recipiente con un dispositivo de agitación que en todo momento mantiene la mezcla homogénea Suponga
que tiene V litros de capacidad y contiene una mezcla de agua con sal. Si al recipiente le agregamos agua con c gramos
de sal por litro a una velocidad de a litros por segundo y del recipiente sacamos agua a la misma velocidad ¿Qué cantidad
de sal hay en el recipiente en el tiempo t ?
Sea x (t ) la cantidad de sal en el recipiente en el tiempo t , la
variación de la cantidad de sal es
dx
= (Sal que entra) - (Sal que sale)
dt
La sal que entra es a c . la cantidad de sal en el instante t es
x (t )
luego la cantidad de sal que sale es a xV(t ) , de esta forma la
V
ecuación que modela la variación de la cantidad de sal es
dx
= ac
dt
entonces
dx
=
x cV
a
x (t )
V
a
dt
V
se sigue
x (t ) = c V + K e
a
V
t
si la cantidad inicial de sal es x (0) = x 0 entonces
x (t ) = c V + (x 0
cV )e
a
V
t
Ejemplo 1.8. Suponga que el estanque contiene 100 litros de agua, entra agua con 500 gramos de sal por litro a razón de
5 litros por minuto, además sale agua a la misma velocidad del recipiente. ¿Cuanto tiempo tarda en tener 10 kilos de sal el
recipiente?
1.1.4 Crecimiento de poblaciones
Suponga que para modelar el crecimiento de una población en tiempos cortos utilizamos la siguiente regla "La tasa de
crecimiento de la población es proporcional a la población existente" entonces el modelo matemático para este fenómeno
es la ecuación:
dP
=kP
dt
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Donde P = P(t ) es la población existente en el tiempo t . Resolviendo por integración directa se tiene
Z
Z
dP
= k d t , ln(P) = k t + C , P(t ) = M 0 e k t
P
Donde M 0 representa la población inicial.
Ejemplo 1.9. La población de cierta ciudad se duplico de 1900 a 1960. Si la tasa de crecimiento natural de la población es
proporcional a la población en cualquier tiempo y la población en 1960 fue de 60000 habitantes, estime la población para
el año 2010.
Sean P = P(t ) la población en el tiempo t . El fenómeno queda modelado por la siguiente ecuación diferencial con valores
iniciales:
dP
= kP
dt
en t = 0
P(0)
=
30000
P(60)
=
60000
P(110) = 30000 · 2110/60 t 106907
habts.
(1900)
en t = 60 (1960)
Resolviendo como arriba:
P(t ) = 30000 · 2t /60
Para determinar la población en 2010, se debe evaluar en t = 110
Observación 1.1. Buscar otros ejemplos que puedan resolverse directamente a través del cálculo de primitivas.
CLASE 2
2.1 La integral definida
Observación 2.1. Vamos a introducir el concepto de función Riemann integrable a través de la integral superior e inferior,
es muy importante en un primer curso de cálculo integral establecer la interpretación gráfica de estas cantidades por las
dificultades que presentan los conceptos de supremo e ínfimo.
Definición 2.1. Sea [a ,b ] un intervalo cerrado. Diremos que P = {x 0 , x 1 , . . . , x n } es una partición de [a ,b ] si se cumple
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn
1
< xn = b
Observación 2.2. Notar que P tiene n + 1 elementos y determina n subintervalos de [a ,b ] de la forma [x i
usaremos la notación
xi = xi
xi
1
1 , x i ].
y llamaremos norma de la partición P al número
kP k = max { x i : i = 1, 2, . . . , n }
Ejemplo 2.1. Partición aritmética y geométrica de un intervalo [a ,b ]
por
Sea f : [a ,b ] ! R una función acotada y P = {x 0 , x 1 , . . . , x n } es una partición de [a ,b ]. Para i = 1, . . . , n denotaremos
mi
=
Mi
=
inf f (x ) : x 2 [x i
sup f (x ) : x 2 [x i
1, x i ]
1, x i ]
(Como [a ,b ] 6= ? y f es acotada se sigue que para cada i el conjunto f (x ) : x 2 [x i
existen su ínfimo y supremo).
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1, x i ]
es no vacío y acotado, por ende
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Definición 2.2. Si P = {x 0 , x 1 , . . . , x n } es partición de [a ,b ] se define la suma superior de f asociada a la partición P como
el número
n
X
S f ,P =
M i xi
i =1
de manera similar se define la suma inferior de f asociada a la partición P como el número
s f ,P =
n
X
mi xi
i =1
Observación 2.3. Representar gráficamente las cantidades anteriores para una función positiva.
Proposición 2.1. Para cada P partición de [a ,b ] se cumple s f , P  S f , P
En efecto, para cada i se cumple m i  M i . Se sigue
mi xi  M i xi )
n
X
i =1
mi xi 
n
X
M i xi
i =1
Si P es una partición de [a ,b ] y agregamos otro punto de [a ,b ] a la partición, digamos x i 0
formamos una particición P 0 del mismo intervalo que tiene la propiedad P ✓ P 0 además
1
< x ⇠ < x i 0 , entonces
s f ,P  s f ,P 0
y
S f ,P 0 S f ,P
Observación 2.4. Mostrar con ayuda de dibujos y enfocarse solo en el intervalo que se agregó un punto. Si x i 0
entonces
⇥
⇤
m i 0  m i0 0 = inf f (x ) : x 2 x i 0 1 , x ⇠
⇥
⇤
m i 0  m i000 = inf f (x ) : x 2 x ⇠ , x i 0
1
< x⇠ < xi0
así
mi0 xi0
xi0
1
de manera similar se muestra la otra propiedad.
Corolario 2.1. Si P1 ✓ P2 entonces
=
mi0 xi0
x⇠ + x⇠
=
mi0 xi0
x⇠ + mi0 x⇠
xi0
1

m i0 0 x i 0
x ⇠ + m i000 x ⇠
xi0
1
s f , P1
S f , P2
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

xi0
1
s f , P2
S f , P1
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Observación 2.5. Agregar los puntos uno a la vez.
Corolario 2.2. Si P1 y P2 son dos particiones arbitrarias de [a ,b ] entonces
m (b
a )  s f , P1  S f , P2  M (b
a)
Tomar la partición P = P 1 [ P2 para la desigualdad
s f , P1  s f , P  S f , P  S f , P2
Definición 2.3. Llamaremos integral inferior de f en el intervalo [a ,b ] al número real
Z
b
f (x ) d x = sup s f , P : P particiones de [a ,b ]
a
de manera similar se define la integral superior de f en el intervalo [a ,b ] como el número
Z
b
a
f (x ) d x = inf S f , P : P particiones de [a ,b ]
Observación 2.6. Notar que los resultados anteriores garantizan la existencia de tales números, además podemos decir
Z
Z
b
a
f (x ) d x 
b
f (x ) d x
a
Definición 2.4. Diremos que f es Riemann integrable si se cumple
Z
Z
b
b
f (x ) d x =
a
f (x ) d x
a
y en tal caso escribiremos
Z
b
f (x ) d x
a
para el número en común.
Ejemplo 2.2. Las funciones constantes son integrables.
Ejemplo 2.3. La función
®
f (x ) =
no es integrable.
0
1
x2
x2
[0, 1] \ Q
[0, 1] \ R Q
Teorema 2.1. Considere una sucesión de particiones Pn de un intervalo [a ,b ] tales que limn !1 kPn k = 0 y
lim S f , Pn
n !1
s f , Pn
=0
Entonces f es integrable en [a ,b ] más aún
Z
lim S f , Pn = lim s f , Pn =
n !1
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n!1
b
f (x ) d x
a
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En efecto, para todo n se cumpliría
Z
s f , Pn 
entonces
Z
0
Z
b
f (x ) d x 
a
Z
b
f (x ) d x  S f , Pn
a
b
f (x ) d x  S f , Pn
f (x ) d x
a
b
a
s f , Pn
de donde obtenemos lo deseado al tomar el límite.
Ejemplo 2.4. f (x ) = x es integrable en [a ,b ] además
Z
b
b2
2
xdx =
a
En efecto Considere las particiones aritméticas de [a ,b ]
⇢
b
Pn = x i = a + i
a
a2
2
: i = 1, 2, . . . , n
n
entonces como e x es creciente se sigue que
mi
=
Mi
=
inf {x : x 2 [x i
1 , x i ]} = x i 1
sup {x : x 2 [x i
1 , x i ]} = x i
entonces
s f , Pn
n
X
=
✓
xi
1
i =1
✓
=
✓
=
✓
=
b
a
n
b
a
n
◆X
n ✓
a
n
b
a
◆✓
◆✓
1)
b
a
◆
n
◆
1) n b a
2
n
◆
b + an +bn)
(n
an +
n
=
a + (i
i =1
b
(b
◆
1
(a
2
a )2 b 2 a 2
+
2n
2
se sigue
lim s f , Pn =
b2
a2
2
n!1
De manera similar
S f , Pn
=
n
X
i =1
✓
=
✓
=
=
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✓
xi
b
a
n
b
a
◆
n
◆X
n ✓
a +i
i =1
a
n
(b
b
◆✓
b
a
2
+
b
a
◆
n
a +b
n
2
◆
a )2 b 2 a 2
+
2n
2
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de donde obtenemos
lim S f , Pn =
b2
se sigue que
Z
b
xdx =
a2
2
n !1
b2
a2
2
a
Observación 2.7. Relacionar el cálculo anterior con el área de un triángulo.
Definición 2.5. Sea f : [a , b ] ! R acotada y P una partición del intervalo [a , b ] . Una Suma de Riemann para la
función f respecto de la partición P es una suma finita de
la forma
S( f , P , "i ) =
donde los "i 2 [x i
1,
n
X
f ("k )(x k
xk
1)
k =1
xi ] .
Observación 2.8. Cuando las función considerada es continua las sumas superiores e inferiores corresponden a sumas
de Riemann.
Escribiremos
lim S f , P , "i = L
kP k!0
para denotar que para todo " > 0 existe un
> 0 tal que si P es una partición con kP k <
entonces S f , P , "i
L < ".
Teorema 2.2. Sea f : [a ,b ] ! R una función acotada entonces
Z
1.
2.
lim S f , P =
kP k!0
lim s f , P =
kP k!0
b
f (x ) d x
a
Z
b
f (x ) d x
a
Z
3. Si f es integrable en [a ,b ] entonces lim S f , P , "i =
kP k!0
b
f (x ) d x
a
El punto 3 es razonable pues
s f , P  S f , P , "i  S f , P
cualquiera sean las elecciones de "i realizadas.
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Observación 2.9. En los libros de cálculo se acostumbra a definir la integral de la siguiente forma: Sea f : [a , b ] ! R
acotada. Diremos que f es integrable Riemann si
lim S( f , P , "i ) = lim
kP k!0
kP k!0
r
X
f ("i )(t k
tk
1)
k =1
existe y no depende del tipo de particiones ní de los "i escogidos. En tal caso se denota
Z
lim S( f , P , "i ) =
kP k!0
b
f (x ) d x
a
(Decir que ambas definiciones son equivalentes)
Ejercicio 2.1 (Desafio para los alumnos). Muestre que f (x ) = e x es integrable en cada intervalo [a ,b ] más aún, muestre
que
Zb
exdx = eb
ea
a
Ind: Utilizar particiones aritméticas.
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Primer semestre de 2013
Semana 3: Lunes 25 de Marzo – Viernes 29 de Marzo
COMPLEMENTO
Contenidos
• Clase 1: Inversa. Cálculo de inversa por operaciones elementales.
• Clase 2: Determinantes, propiedades. Inversa por menores. Regla de Cramer.
CLASE 1
MATRIZ INVERSA Y OPERACIONES ELEMENTALES
Definición 1.1. Sea A una matriz cuadrada de orden n . Se dice que A es invertible si existe una matriz cuadrada de orden
n , que denotaremos por A 1 tal que AA 1 = A 1 A = I n
Observación 1.1. Si una matriz es invertible, también se suele decir que es no singular.
Observación 1.2. Si la inversa existe es única. Tarea: Verificar esta observación.
Observación 1.3. No todas las matrices son invertibles. Por ejemplo, si consideramos las matrices
Ç
å
Ç
å
1 3
2 2
A=
B=
1 1
1 1
entonces A es invertible y B no lo es. (Verificar directamente suponiendo la existencia y resolviendo ecuaciones)
Proposición 1.1. Sean A, B matrices cuadradas del mismo tamaño e invertibles, entonces:
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1. (A B )
2. A
1
=B
1
1
1A 1
=A
3. A T
1
= A
4. (↵A)
1
=
5. (A n )
1
= A
1
A
↵
1 T
1,
1 n
para todo ↵ 6= 0
para todo entero no negativo n .
No disponemos auń de un criterio para decidir si una matriz es o no invertible. El siguiente teorema nos provee un
método para calcular la matriz inversa (en caso de existir) de una matriz cualquiera.
Teorema 1.1. Sea A una matriz cuadrada de orden n invertible. Si una sucesión de operaciones elementales por filas
transforma la matriz A en la matriz identidad I n , entonces la misma sucesión de operaciones elementales convierte la
matriz I n en A 1 .
Demostración. En efecto, si A es equivalente por filas a la matriz I n , entonces existe una sucesión de operaciones elementales que convierte a la matriz A en la matriz I n ; esto quiere decir que existe una sucesión de matrices elementales
E 1 , E 2 , . . . , E k tales que E k E k 1 · · · E 2 E 1 · A = I n . Si anotamos B = E k E k 1 · · · E 2 E 1 , entonces B A = I n , es decir B = A 1 .
Método de Gauss-Jordan para calcular la inversa de una matriz
Sea A una matriz cuadrada de orden n e invertible. Si queremos calcular su inversa, entonces (gracias al Teorema anterior)
podemos proceder como sigue.
Construímos una nueva matriz, denominada matriz aumentada, de la forma (A, I n ). Sobre esta matriz aumentada (que
tiene orden n ⇥ 2n ), realizamos operaciones elementales hasta obtener en el lado izquierdo de esta matriz aumentada (es
decir en el lado donde esta la matriz A), la matriz identidad; al concluír este proceso en el lado derecho de la matriz
aumentada (es decir en el lado donde originalmente se encontraba la matriz identidad), aparece la inversa que estamos
buscando.
0
2
1
B
2
Ejemplo 1.1. Calcule la inversa, en caso de existir, de la matriz A = @ 1
0
1
Desarrollo: Formamos la matriz aumentada
0
1
2
1 1 1 0 0
B
C
2 0 0 1 0 A
@ 1
0
1 2 0 0 1
1
1
C
0 A
2
y calculamos mediante operaciones elementales:
0
1 0
1
0
2
1 1 1 0 0
1
2 0 0 1 0
1
2 0
B
C E 12 B
C E 21 ( 2) B
1
2
0
0
1
0
2
1
1
1
0
0
0
3
1
⇠
⇠
@
A @
A
@
0
1 2 0 0 1
0 1 2 0 0 1
0 1 2
0
0
1
0
1
1
2 0 0 1 0
1
2 0 0 1
0
1
E
E 32 B
C E 32 ( 3) B
C 3( 5 ) B
2 0 0
1 A ⇠ @
⇠@ 0 1 2 0 0 1 A ⇠ @ 0 1
0 3 1 1
2 0
0 0
5 1
2
3
0
1
0
1
4
3
2
1 0 0
1
2 0
0
1
0
5
5
5
E 23 ( 2) B
2
4
1 C E 12 (2) B
2
4
1 C
⇠ @ 0 1 0
⇠ @ 0 1 0
5
5
5 A
5
5
5 A
1
2
3
1
2
3
0 0 1
0 0 1
5
5
5
5
5
5
MAT022 (Complemento)
0
1
0
1
2
0
1
0
0
2
1
0
1
0
C
0 A
1
0
2
1
0
0
1
5
1
0
2
5
1
0
C
1 A
3
5
2
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se sigue que
0
A
Se puede verificar fácilmente que AA
1
=A
1A
1
B
=@
4
5
2
5
1
5
2
5
3
5
4
5
3
5
2
5
1
5
1
C
A
= I 3.
Teorema 1.2. Una matriz cuadrada de orden n es invertible si, y solo si, su rango es n , es decir, ⇢(A) = n .
Ejercicio 1.1. Suponga que A 3 = [0] Muestre que I
A es invertible.
CLASE 2
DETERMINANTES
Sea A una matriz cuadrada de tamaño n . El determinante de A (se usa la notación det(A) = |A|) es un cierto número
complejo asociado a A el cual podemos definir de manera inductiva como sigue.
• Para n = 1, det(a ) = a
Ç
å
a b
• Para n = 2, det
= ad
c d
Si n
bc
3, entonces necesitamos las siguientes definiciones.
Definición 2.1. La menor de orden i j de A, denotada por M i j , es el determinante de orden n
i-ésima fila y la j-ésima columna de la matriz A.
1 obtenido eliminando la
Definición 2.2. Se llama cofactor de orden i j de A, denotado por C i j , al número C i j = ( 1)i +j M i j
0
2
B
Ejemplo 2.1. Consideremos la matriz A = @ 0
5
0
2
B
A =@ 0
5
4
3
1
1
1
C
2 A
6
4
3
1
1
1
C
2 A. Eliminemos la primera fila y la tercera columna de A
6
obteniendo el menor M 13 =
Si eliminamos la segunda fila y la primera columna
0
1
2 4
1
B
C
A = @ 0 3 2 A obtenemos el menor M 21 =
5 1 6
0
5
4
1
3
1
= 15
1
6
= 25
Calculemos los cofactores
C 13 = ( 1)1+3 M 13 = 15,
MAT022 (Complemento)
C 21 = ( 1)2+1 M 21 = 25
3
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Departamento de Matemática
Definición 2.3. El determinante de A = (a i j )n ⇥n es el número dado por
8
det(A) =
>
>
<
>
>
:
n
X
i =1
n
X
( 1)i +j a i j M i j =
( 1)i +j a i j M i j =
j =1
n
X
i =1
n
X
a i j Ci j ,
para 1  j  n
(con j fijo)
a i j Ci j ,
para 1  i  n
(con i fijo)
j =1
0
2
B
Ejemplo 2.2. Calculemos el determinante de la matriz A = @ 0
5
Fijemos una fila i = 1, entonces
det(A) =
3
X
1
1
C
2A
6
4
3
1
( 1)i +j a 1j M 1j = a 11 M 11
a 12 M 12 + a 13 M 13
j =1
det(A) = 2
3
1
2
6
4
0
5
2
6
1
0
5
3
1
= 23
Si fijamos una columna, por ejemplo j = 1, se tiene
det(A) =
3
X
( 1)i +j a i 1 M i 1 = a 11 M 11
a 21 M 21 + a 31 M 31
i =1
det(A) = 2
3
1
2
6
0
4
1
1
6
5
4
3
1
2
= 23
2.1 Propiedades de los determinantes
Proposición 2.1. Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamaño n . Entonces las siguieetes propiedades valen.
1. det(A) = det(A T )
2. Si todos los elementos de una fila o columna de una matriz son cero, entonces el valor del determinante es cero.
3. det(I n ) = 1
4. El determinante de una matriz diagonal o triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal.
5. Si ↵ 2 C, entonces det(↵A) = ↵n det(A)
6. det(A B ) = det(A) det(B )
7. Si A tiene dos filas( o columnas) iguales o proporcionales, entonces det(A) = 0.
8. Si se intercambian dos filas (o columnas) en una matriz su determinante cambia de signo.
9. Si B se obtiene a partir de A multiplicando una fila (o columna) de A por un número ↵, entonces det(B ) = ↵ det(A).
10. Si B se obtiene a partir de A, sumando a una fila (o columna) otra fila (o columna) amplificada por un factor ↵,
entonces det(B ) = det(A).
MAT022 (Complemento)
4
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Ç
å
Ç
å
1 2
3 6
Ejemplo 2.3. Sea A =
, entonces el det(A) = 2. Si la primera fila de A se multiplica por 3, obtenemos B =
3 4
3 4
y det(B ) = 6 Ç
= 3 det(A).
Si
la
primera
fila
de
A
la
multiplicamos
por
-3
y
se
la
sumamos
a
la
segunda
fila
de
A,
obtenemos
å
1 2
la matriz B =
y det(B ) = 2 = det(A).
0
2
Ejemplo 2.4. Calculemos el siguiente determinante usando la propiedad 10
1
2
3
3
5
1
4
1
0
=
1
0
0
3
1
10
4
7
12
= 1 · M 11 =
1
10
7
12
= 58
Definición 2.4. La adjunta de una matriz A, denotada por adj(A), es definida por
adj(A) = C T
donde C = (C i j ) es la matriz de cofactores. Es decir, la matriz adjunta es la traspuesta de la matriz de los cofactores.
Ç
a
Ejemplo 2.5. Sea A =
c
å
Ç
b
d
. La matriz de cofactores es C =
d
b
Ç
adj(A) =
0
2
B
Consideremos la matriz A = @ 4
2
3
0
1
d
c
b
a
å
c
. Por lo tanto,
a
å
1
0
1
5
C
B
5 A, la matriz de cofactores es C = @ 2
1
15
0
1
5 2 15
B
C
6 A
adj(A) = @ 14 4
4 8
12
14
4
6
1
4
C
8 A. Por lo tanto,
12
Teorema 2.1.
A · adj(A) = det(A) · I n
adj(A) · A = det(A) · I n
Note que, sí det(A) 6= 0, entonces A es invertible y además
A
1
=
1
adj(A)
det(A)
Notemos que si A es no singular, entonces
1 = det(I n ) = det(AA
1
) = det(A) det(A
con lo que concluimos que
det(A
MAT022 (Complemento)
1
)=
1
) =) det(A) 6= 0
1
det(A)
5
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Teorema 2.2. Si A es una matriz cuadrada, entonces A es no singular sí y solo sí det(A) 6= 0
Ejercicio 2.1. Calcular el determinante
a
a
a
a
a
b
b
b
a
b
c
c
a
b
c
d
Desarrollo:
a
a
a
a
a
b
b
b
a
b
c
c
a
b
c
d
=
a
0
0
0
a
=
a (b
1
a) 0
0
=
a (b
a ) (c
b
b
b
a
a
a
a
b
c
c
a
a
a
a
b
c
c
b
c
d
a
b
b
a
a
a
b
c
d
b ) (d
b
a
b
a
c
a
b
b
(c
= a (b
1
a) 1
1
b
c
c
a
a
a
b
c
d
a
a
a
= a (b
a ) (c
b)
1
1
c
d
b
b
b )) = a (b
a ) (c
b ) (d
c)
Ejercicio 2.2. Resolver la ecuación
x
x
a
c
c
1
1
1
=
x
=
x (x
b
x
a +b
x c
x c
a
b
a
x
b
b
a
c
x
b
b
a
a
c
c
x
x
c
1
0
0
=x
c
b
a
c
c
=
x
x
a +b
c a
c a
b
b
a
x
b
b
b
a +b
x c
x c
=0
c
x
b
b
a
c
b
0
x
a
c
x
x
=x
b
x
x
x
=
a +b
x c
x c
c
c
a
a
b
b
a
x
b
b
c
0
x
a
c
b
(a + b + c ))2
las soluciones son x = 0 y x = a + b + c .
Ejercicio 2.3. Muestre que
y1 + z 1
y2 + z 2
y3 + z 3
z 1 + x1
z 2 + x2
z 3 + x3
x 1 + y1
x 2 + y2
x 3 + y3
x1
= 2 x2
x3
y1
y2
y3
z1
z2
z3
Desarrollo:
y1 + z 1
y2 + z 2
y3 + z 3
z 1 + x1
z 2 + x2
z 3 + x3
x 1 + y1
x 2 + y2
x 3 + y3
=
y1
y2
y3
y1
2 y2
y3
z 1 + x1
z 2 + x2
z 3 + x3
x 1 + y1
x 2 + y2
x 3 + y3
=
y1
2 y2
y3
z 1 + x1
z 2 + x2
z 3 + x3
=
x1
2 x2
x3
y1
y2
y3
MAT022 (Complemento)
x1
x2
x2
z 1 + x1
z 2 + x2
z 3 + x3
x1
x2
x3
x 1 + y1
x 2 + y2
x 3 + y3
y1
= 2 y2
y3
=
2y 1
2y 2
2y 3
z1
z2
z3
x1
x2
x3
z 1 + x1
z 2 + x2
z 3 + x3
x 1 + y1
x 2 + y2
x 3 + y3
x1
= 2 x2
x3
z1
z2
z3
=
y1
y2
y3
z1
z2
z3
6
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2.2 Regla de Cramer
La regla de Cramer es un método para resolver sistemas lineales de ecuaciones. Este método radica en poder expresar las
soluciones en términos de determinantes, lo que bajo condiciones de simetría adecuadas permite concluir propiedades
de las soluciones.
Desafortunadamente, si bien este método es útil teóricamente hablando, su implementación computacionnal para
resolver sistemas específicos es muy malo (ver al final de estas notas una comparación entre los métodos de Gauss y
Cramer)
Sea
8
a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n
>
>
< a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2n x n
..
>
>
.
:
a n 1x 1 + a n 2x 2 + . . . + a n n x n
b1
b2
=
=
..
.
=
bn
un sistema lineal con n ecuaciones y n incógnitas.
Resolver este sistema es equivalente a resolver la ecuación matricial AX = B , donde
0
1
0 1
0 1
a 11 a 12 · · · a 1n
x1
b1
B
C
B C
B C
B a 21 a 22 · · · a 2n C
Bx2 C
Bb 2 C
C
C
A =B
X =B
B =B
..
..
.. C
B ..
C,
B .. C ,
B .. C
.
.
.
.
.
.
@
A
@ A
@ A
a n 1 a n2 · · · a n n
xn
bn
Si det(A) 6= 0, entonces el sistema tiene una única solución dada por:
x1 =
|A 1 |
,
|A|
x2 =
|A 2 |
,
|A|
x3 =
|A 3 |
,
|A|
...
,
xn =
|A n |
|A|
donde A i es la matriz obtenida a partir de A al reemplazar su i-ésima columna por la matriz B .
La demostración se basa en escribir
1
X = A 1B =
adj(A)B
det(A)
e identificar los elementos de adj(A)B como los determinantes señalados.
Ejemplo 2.6. Resolvamos el sistema
0
2
B
@1
2
10 1 0 1
1
x1
1
CB C B C
1A @x 2 A = @ 4 A
1
x3
3
3
2
1
Como det(A) = 2, obtenemos
x1
x2
x3
MAT022 (Complemento)
=
=
=
1
4
3
2
1
2
2
1
2
3
2
1
|A|
1
4
3
|A|
3
2
1
|A|
1
1
1
1
1
1
1
4
3
=
=
4
=2
2
=
6
=3
2
8
=4
2
7
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2.2.1 Una observación para solución de sistemas
• Los sistemas que aparecen en muchas aplicaciones son de gran tamaño. Un sistema de 1000⇥1000 hoy se considera
de tamaño moderado y en algunas aplicaciones deben resolverse sistemas de ecuaciones con cientos de miles de
incógnitas.
• El tiempo de cálculo del computador necesario para resolver el sistema debe ser lo menor posible. Una medida
standard del costo operacional es la cantidad de operaciones aritméticas (+, , ·, /) que requiere un método. Este
usualmente se expresa en flop (floating point operations) por segundos.
• Hay métodos que en teoría permiten resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales, pero que en la práctica
requieren tiempos de cálculo prohibitivos. Por lo tanto sólo sirven para sistemas de orden pequeño.
• Mal ejemplo: Regla de Cramer. Permite calcular explícitamente la solución de un sistema Ax = b mediante:
xi =
det (A i )
para i = 1, 2, · · · , n
det (A)
donde A i se obtiene a partir de A reemplazando en ésta su columna i-ésima por el segundo miembro (o lado derecho) del sistema, b . Si los determinantes se calculan mediante la fórmula recursiva usual de desarrollo por fila (o
por columna), el costo operacional de la Regla de Cramer es de aproximadamente (n + 1)! flop.
• Buen ejemplo: Método de Eliminación Gaussiana. Este procedimiento se basa en el método algebraico de transformaciones elementales. Su costo operacional es de aproximadamente 23 n 3 flop.
• Comparación: Una calculadora opera en un rango entre 10 y 100 flop. Un ejemplo comparativo en un computador
de 1 Gflop (109 flop) por segundo (que corresponde a un Pentium 4 o Athlon 64) sería:
n
10
15
20
100
1000
2000
5 ⇥ 1019
1500 años
10160
“1”
“1”
“1”
“1”
“1”
5333
0.s
7 ⇥ 105
0.s
7 ⇥ 108
0.73s
5 ⇥ 109
4.88s
Regla de Cramer
flop
tiempo
4 ⇥ 107
0.04 s
2 ⇥ 1013
5.5 horas
Eliminación Gaussiana
flop
tiempo
MAT022 (Complemento)
666
0.s
2250
0.s
8