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ARTÍCULOS HISTÓRICOS
Henri Poincaré: La intuición y la lógica en las
Matemáticas
Henri
Poincaré publicó La
intuición
y
la
lógica
en
las
matemáticas como parte de El valor de la Ciencia, en 1905. Fue
traducido al Inglés por G.B. Halsted y publicado en 1907 como parte
de El valor de la Ciencia.
Parte I
Es imposible estudiar las obras de los grandes matemáticos, e incluso de los
matemáticos menores, sin observar y distinguir dos tendencias opuestas, o, más
bien, dos tipos de mentalidades completamente diferentes. La primera especie está
sobre todo preocupada por la lógica. Cuando se leen sus obras, uno se siente
tentado de creer que han avanzado férreamente, paso a paso, a la manera de un
Vauban que desplaza sus trincheras contra el lugar sitiado sin dejar nada al azar. El
otro tipo está formado por aquellos que están simplemente guiados por la intuición
y que desde el primer desarrollo quieren hacer conquistas rápidas aunque a veces
precarias, como jinetes audaces de la vanguardia de un ejército.
El método no está impuesto por la materia tratada. Aunque se dice a menudo de
los primeros que son analistas y se denomina a los otros geómetras, eso no impide
que la clase de los analistas lo siga siendo incluso cuando trabajan en la geometría,
mientras que los otros serán geómetras, incluso cuando se ocupan del análisis
puro. Es la propia naturaleza de su mente lo que hace que sean lógicos o
intuicionistas, y no podemos dejar este hecho de lado cuando nos acercamos al
estudio de un nuevo sujeto.
Tampoco es la educación lo que ha desarrollado en ellos una de las dos tendencias
y sofocado la otra. El matemático nace, no se hace, y parece que ha nacido un
geómetra o un analista. Quisiera citar ejemplos y hay sin duda un montón; pero
para acentuar el contraste comenzaré con un ejemplo extremo, tomándome la
libertad de buscar en dos matemáticos vivos.
M. Meray quiere demostrar que una ecuación binomial siempre tiene una raíz, o, en
palabras ordinarias, que un ángulo siempre se puede subdividir. Si hay alguna
verdad que creemos saber por intuición directa, es esta. ¿Quién podría dudar de
que un ángulo siempre se puede dividir en cualquier número de partes iguales?. M.
Meray no lo ve de esa manera; a sus ojos esta propuesta no es en absoluto
evidente y necesita varias páginas para demostrarlo.
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Por otro lado, observemos al profesor Klein: está estudiando una de las cuestiones
más abstractas de la teoría de funciones para determinar si en una superficie de
Riemann dada siempre existe una función de admisión de singularidades. ¿Qué es
lo que hace el célebre geómetra alemán?. Reemplaza a la superficie de Riemann
por una superficie metálica cuya conductividad eléctrica varía de acuerdo a ciertas
leyes. Se conectan dos de sus puntos con los dos polos de una batería. La señal,
dice, debe pasar, y la distribución de esta corriente en la superficie definirá una
función cuyas singularidades serán precisamente las pedidas por el enunciado del
problema.
Sin duda, el profesor Klein bien sabe que ha dado aquí sólo un esbozo; pero él no
ha dudado en publicarlo; y que probablemente cree que encuentra en ella, si no
una demostración rigurosa, por lo menos una especie de certeza moral. Un lógico
habría rechazado con horror tal concepción, o más bien, no habría tenido ni que
rechazarlo, porque en su mente nunca se habría originado.
Una vez más, me permito comparar ahora dos hombres de honor de la ciencia
francesa, que recientemente han sido estudiados por nosotros, pero que se han
introducido hace mucho tiempo en la inmortalidad. Hablo de M. Bertrand y M.
Hermite. Eran estudiosos de la misma escuela y en la misma época; tenían la
misma educación, estaban bajo las mismas influencias; y sin embargo, ¡qué
diferencia!. No sólo se manifiesta en sus escritos; también en su enseñanza, en su
forma de hablar, en su misma mirada. En la memoria de todos sus alumnos quedan
estampados sus rostros con líneas inmortales; para todos los que han tenido el
placer de seguir sus enseñanzas el recuerdo aún está fresco; es fácil para nosotros
poder evocarlo.
Mientras habla, M. Bertrand está siempre en movimiento; parece estar en combate
con un enemigo exterior; en ocasiones perfila con un gesto de la mano las cifras
que estudia. Es evidente que ve y que está ansioso para pintar, por lo que utiliza el
gesto como ayuda. Con M. Hermite, es todo lo contrario; sus ojos parecen rehuir el
contacto con el mundo; dentro de él busca la visión de la verdad.
Entre los geómetras alemanes de este siglo, dos nombres ilustres por encima de
todo son los de los dos científicos que han fundado la teoría general de funciones,
Weierstrass y Riemann. Weierstrass lleva todo a la consideración de la serie y sus
transformaciones analíticas; para expresarlo mejor, reduce el análisis a una especie
de prolongación de la aritmética; usted puede recorrer todos sus libros, sin
encontrar una figura. Riemann, por el contrario, llama siempre a la geometría en su
ayuda; cada una de sus concepciones es una imagen que no se puede olvidar una
vez que hemos cogido su significado.
Más recientemente, Lie es un intuicionista; esto podría haber sido puesto en duda
en la lectura de sus libros, pero nadie lo podría dudar después de hablar con él, que
habla a la vez que piensa en imágenes. Madame Kovalevski es un lógico.
Entre nuestros estudiantes nos damos cuenta de las mismas diferencias; algunos
prefieren tratar sus problemas mediante el análisis, otros se decantan por la
geometría. Los primeros son incapaces de "ver en el espacio”, los otros se cansan
rápidamente de cálculos largos.
Los dos tipos de mentes son igualmente necesarias para el progreso de la
ciencia; tanto los lógicos como los intuicionistas han logrado grandes cosas que los
otros no podrían haber hecho. ¿Quién se atrevería a decir que prefiere que
Weierstrass nunca hubiera escrito, o que nunca hubiera existido Riemann? Análisis
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y síntesis tienen en definitiva sus legítimos papeles. Pero es interesante estudiar en
la historia de la ciencia más de acerca de la parte que corresponde a cada uno.
Parte II
¡Extraño!. Si leemos las obras de los antiguos nos sentimos tentados a incluir a
todos ellos entre los intuicionistas. Y sin embargo, la naturaleza es siempre la
misma; es poco probable que hayamos comenzado precisamente en este siglo la
creación de mentes dedicadas a la lógica. Si pudiéramos sumergirnos en el flujo de
las ideas que reinaban en su tiempo, debemos reconocer que muchos de los
antiguos geómetras estaban dentro de la tendencia de los analistas. Euclides, por
ejemplo, erigió una estructura científica en la que sus contemporáneos no podían
encontrar ninguna pega. En esta vasta construcción, de la cual cada pieza, sin
embargo, se debe a la intuición, es posible todavía, a día de hoy y sin mucho
esfuerzo, reconocer la labor de un lógico.
No es la mente lo que ha cambiado, son las ideas; las mentes intuitivas siguen
siendo las mismas; pero los lectores han requerido de ellas mayores concesiones.
¿Cuál es la causa de esta evolución? No es difícil de encontrar. La intuición no nos
puede dar rigor, ni siquiera la certeza; esto ha sido reconocida cada vez
más. Citemos algunos ejemplos. Sabemos que existen funciones continuas que
carecen de derivada. Nada es más impactante a la intuición que esta proposición
que se nos impone por la lógica. Nuestros padres habrían podido decir: "Es
evidente que toda función continua tiene derivada, ya que cada curva tiene una
tangente".
¿Cómo puede la intuición engañarnos sobre este punto? Es porque cuando tratamos
de imaginar una curva, no podemos representarla sin ancho; sólo ocurre que,
cuando representamos una línea recta, lo vemos bajo la forma de una banda
rectilínea de una cierta amplitud. Bien sabemos que estas líneas no tienen
anchura; tratamos de imaginarla más y más estrecha y por lo tanto acercarnos al
límite; lo que hacemos en cierta medida, pero nunca vamos a alcanzar este
límite. Y luego está claro que siempre podemos imaginar estas dos bandas
estrechas, una recta, una curva, en una posición tal que se invaden una sobre otra
sin cruzarse. Deberíamos por lo tanto ser llevados, a menos que realicemos un
análisis riguroso, a la conclusión de que una curva siempre tiene una tangente.
Tomaré como segundo ejemplo el principio de Dirichlet sobre el que descansan
tantos teoremas de la física matemática; hoy día lo establecemos por
razonamientos muy rigurosos, pero muy largos; hasta ahora, por el contrario, nos
quedabamos contentos con una prueba muy resumida. Un cierto integrante
dependiente de una función arbitraria nunca puede desaparecer. Por lo tanto se
concluye que debe tener un mínimo. La falla en este razonamiento nos llama la
atención de inmediato, ya que utilizamos la función abstracta localizada y estamos
familiarizados con todas las singularidades funcionales que se pueden presentar
cuando la palabra se entiende en el sentido más general.
Pero no sería lo mismo si tuviéramos que utilizar imágenes concretas, por ejemplo,
consideramos esta función como un potencial eléctrico; se habría pensado de forma
legítima afirmar que se puede lograr el equilibrio electrostático. Sin embargo, tal
vez una comparación física habría despertado cierta desconfianza vaga. Pero si se
hubiera tenido cuidado en traducir el razonamiento al lenguaje de la geometría
intermedia entre el análisis y la física, sin duda, esta desconfianza no se hubiera
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producido, y quizás se podría por lo tanto, aún hoy, siendo posible engañar a
muchos lectores no prevenidos.
La intuición, por lo tanto, no nos da certeza. Esta es la razón por la que la evolución
tenía que suceder; veamos ahora cómo sucedió.
No tardó en ser notado que el rigor no podría introducirse en el razonamiento a
menos que se proceda primero a entrar en las definiciones. La mayor parte de los
objetos tratados por los matemáticos eran tomados como definidos; se suponía que
debían ser conocidos porque se representaban por medio de los sentidos o de la
imaginación; pero sólo se tenía una imagen tenue de ellos y no una idea precisa
sobre la que el razonamiento pudiera afianzarse. Fue allí en primer lugar a donde
los lógicos tuvieron que dirigir sus esfuerzos.
Así, en el caso de los números inconmensurables. La vaga idea de continuidad, que
debemos a la intuición, se resolvió en un complicado sistema de desigualdades que
se refieren a números enteros.
Eso significa que las dificultades derivadas del paso al límite, o de la consideración
de los infinitesimales, se han finalmente eliminado. Hoy solo quedan en análisis los
números enteros o los sistemas numéricos, finitos o infinitos, de los números
enteros unidos por una red de relaciones de igualdades o deigualdades. La
Matemática, como dicen, es aritmetizable.
Parte III
Se nos ocurre una primera pregunta. ¿Se puso fin a esta evolución?. ¿Hemos
finalmente alcanzado el rigor absoluto?. En cada etapa de la evolución de nuestros
padres también pensaron que la habían alcanzado. Si se engañaron a sí mismos,
¿no nos engañamos a nosotros mismos del mismo modo?
Creemos que en nuestros razonamientos ya no apelamos a la intuición; los filósofos
nos dirán que eso es una ilusión. La pura lógica nunca nos podría conducir a otra
cosa que a tautologías; no podría crearse nada nuevo; de ella sola no podría surgir
nunca un tema científico. En cierto sentido, estos filósofos tienen razón; para
construir la aritmética, lo mismo que para la geometría, o para cualquier ciencia, es
necesario algo más que la pura lógica. Para designar esta otra cosa necesaria no
tenemos ninguna palabra que no sea intuición. ¿Pero cuántas ideas diferentes se
esconden bajo esta misma palabra?
Compare vd. estos cuatro axiomas:
(1) Dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre sí.
(2) Si el teorema es cierto para el número 1, y si se demuestra que es cierto
para n+1 cuando es cierto para n, entonces, ¿será cierto para todos los números
enteros positivos?.
(3) Si en una recta el punto C está entre A y B, y el punto D entre A y C , entonces
el punto D estará entre A y B .
(4) Por un determinado punto no hay más de una paralela a una recta dada.
Los cuatro se atribuyen a la intuición, y sin embargo, el primero es la enunciación
de una de las reglas de la lógica formal; el segundo es un sintético verdadero sobre
un juicio a priori, fundamento de la inducción matemática rigurosa; el tercero es un
llamamiento a la imaginación; el cuarto es una definición encubierta.
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La intuición no está necesariamente fundada en la evidencia de los sentidos; los
sentidos no tardarían en convertirse en impotentes; por ejemplo, no podemos
representarnos a nosotros mismos un chiliágono (polígono de 1000 lados), y sin
embargo, la intuición de polígonos en general incluye al chiliágono como un caso
particular.
¿Sabeis lo que Poncelet entendía por principio de continuidad?. Lo que es cierto
para una cantidad real, dijo Poncelet, debe ser verdad para una cantidad
imaginaria; lo que es verdad de la hipérbola cuyas asíntotas son reales, entonces
debe ser verdad de la elipse cuyas asíntotas son imaginarias. Poncelet fue una de
las mentes más intuitivas de este siglo; era apasionado, casi ostentosamente, así
consideraba el principio de continuidad como una de sus concepciones más audaces
y sin embargo este principio no se durmió en la evidencia de los sentidos. Asimilar
la hipérbola a la elipse era bastante para contradecir esta evidencia. Fue sólo una
especie de generalización precoz e instintiva que, además, no tengo ningún deseo
de defender.
Tenemos entonces muchos tipos de intuición; primero, la apelación a los sentidos y
a la imaginación; luego tenemos la generalización por inducción, reflejo, por así
decirlo, de los procedimientos de las ciencias experimentales, teniendo finalmente,
la intuición de número puro, de donde surge el segundo de los axiomas enunciados,
que es capaz de crear un razonamiento matemático real. He mostrado
anteriormente con ejemplos que las dos primeras, la apelación a los sentidos y la
imaginación, no pueden darnos la certeza; pero ¿quién va a dudar seriamente de la
tercera, que sería dudar de la aritmética?
Ahora en el análisis diario, cuando nos preocupamos de tomarnos la molestia de ser
rigurosos, no puede haber nada más que los silogismos o apelaciones a esta
intuición del número puro, la única intuición que no nos puede engañar. Se puede
decir que entonces alcanzamos el rigor absoluto.
Parte IV
Los filósofos hacen aún otra objeción: "Lo que se gana en rigor –dicen-, se pierde
en objetividad”. Pueden elevarse hacia los ideales de la lógica únicamente cortando
los lazos que les unen a la realidad. Su ciencia es infalible, pero pueden. Sólo que
permanecen encarcelados en una torre de marfil renunciando a toda relación con el
mundo externo. A partir de este aislamiento es como deben intentar la menor
aplicación ".
Por ejemplo, busco mostrar que alguna propiedad pertenece a un objeto cuyo
concepto me parece a primera vista indefinible, porque es intuitivo. Al principio no
llego o debo contentarme con pruebas aproximadas; pero finalmente me decido a
dotar a mi objeto de una definición precisa, y esto me permitirá establecer la
propiedad de manera irreprochable.
"Y entonces, -dicen los filósofos- todavía quedaría por demostrar que el objeto que
corresponde a tal definición es de hecho el mismo objeto dado a conocer por la
intuición, o bien que algún objeto real y concreto cuya conformidad con su idea
intuitiva que cree usted reconocer de inmediato corresponde a su nueva definición.
Sólo entonces se puede afirmar que tiene la propiedad de que se trata. Sólo se ha
desplazado la dificultad".
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Eso no es exactamente así; la dificultad no ha sido desplazada, se ha dividido. La
proposición que se estableció estaba en realidad compuesta por dos verdades
diferentes, al principio no distinguibles. La primera era una verdad matemática, y
ahora
queda
rigurosamente
establecida. La
segunda
era
una
verdad
experimental. Sólo la experiencia puede enseñarnos que un objeto real y concreto
corresponde o no corresponde a una definición abstracta. Esta segunda veracidad
no está matemáticamente demostrada, pero tampoco puede probarse más de lo
que pueden hacerlo las leyes empíricas de las ciencias físicas y naturales. No sería
razonable pedir más.
Bueno, ¿es que un gran avance se confunde erróneamente?. ¿Significa esto que no
queda nada de la objeción de los filósofos?. No tengo intención de decir eso; al ser
rigurosa, la ciencia matemática tiene un carácter tan artificial que puede impactar
en cualquier tema; No olvidemos sus orígenes históricos. Generalmente vemos
como ha de contestarse las preguntas, y no vemos porqué se hacen las preguntas.
Esto nos muestra que la lógica no es suficiente; que la ciencia de la demostración
no es toda la ciencia y que la intuición debe conservar su papel como complemento,
estaba a punto de decir, como contrapeso o como antídoto de la lógica.
Ya he tenido ocasión de insistir en el lugar que la intuición debe tener en la
enseñanza de las ciencias matemáticas. Sin ella las mentes jóvenes no podrían
tener un comienzo en la comprensión de las matemáticas; no podían aprender a
amarla y verían en ella no más que una logomaquia vana; sobre todo, sin la
intuición nunca llegarían a ser capaces de aplicar las matemáticas. Pero ahora me
gustaría antes de todo hablar del papel de la intuición en la ciencia misma. Si es útil
para el estudiante, lo es más aún para el científico creativo.
Parte V
Buscamos la realidad, pero ¿cuál es la realidad? Los fisiólogos nos dicen que los
organismos están formados por células; los químicos añaden que las propias
células están formadas por átomos. ¿Significa esto que los átomos o las células
constituyen la realidad, o más bien que son la única realidad?. La forma en la que
estas células se disponen y de la que resulta una unidad global ¿no es también una
realidad mucho más interesante que la de los elementos aislados?, y ¿debe un
naturalista que nunca ha estudiado al elefante, excepto por medio del microscopio,
creerse lo suficientemente familiarizado con el estudio de ese animal?.
Bueno, hay algo análogo a esto en las matemáticas. El lógico corta, por así decirlo,
cada demostración en un gran número de operaciones elementales; cuando hemos
examinado estas operaciones una tras otra y nos hemos cerciorado de que cada
una de ellas es correcta, ¿debemos pensar que hemos comprendido el verdadero
significado de la manifestación?. ¿Lo hemos entendido cuando, por un esfuerzo de
memoria, hemos llegado a ser capaces de repetir esta prueba mediante la
reproducción de todas estas operaciones elementales en tan sólo el orden en que el
inventor les había arreglado? Evidentemente, no; todavía no poseeremos toda la
realidad; que yo sepa, no poseeremos algo importante, que hace que la unidad de
la demostración nos eluda por completo.
El análisis puro pone a nuestra disposición una multitud de procedimientos cuya
infalibilidad garantiza; se abre a nosotros de mil maneras diferentes que podemos
emprender con toda confianza; estamos seguros de satisfacerlas sin que haya
ningún obstáculo, pero, de todas estas formas, ¿cuál de ellas nos llevará más
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rápidamente a nuestra meta? ¿Quién nos dirá cuál elegir? Necesitamos una facultad
que nos haga ver el final desde lejos, y la intuición es esta facultad. Es necesario
explorar para la elección de la ruta; ello no es menos importante que la tarea de
quien, tras su rastro, desea saber porqué tal ruta fue la elegida.
Si usted presencia el juego de ajedrez, no será suficiente para la comprensión del
juego conocer las reglas para mover las piezas. Este echo sólo le permitirá
reconocer si cada movimiento se ha hecho conforme a estas reglas y este
conocimiento realmente tiene muy poco valor. Sin embargo, esto es lo que el lector
de un libro sobre matemáticas haría si fuera sólo un lógico. Para entender el juego
es imprescindible otra cuestión, saber porqué el jugador mueve esta pieza en lugar
de aquella otra que podría haber movido sin romper las reglas del juego. Es decir,
percibir el motivo interior que hace de esta serie de sucesivos movimientos una
especie de todo organizado. Esta facultad es aún más necesaria para el propio
jugador de lo que lo es para el inventor.
Dejemos esta comparación y volvamos a las matemáticas. Por ejemplo, para ver lo
que ha ocurrido con la idea de función continua. Al principio esto era sólo una
imagen sensible, por ejemplo, de una marca continua trazada por la tiza en una
pizarra. Luego se convirtió poco a poco en algo más refinado; antes de mucho
tiempo se utilizará para construir un complicado sistema de desigualdades, que
reproducen, por así decirlo, todos los rasgos de la imagen original; esta
construcción que determinó el centrado del arco fue abandonada y la
representación en bruto que inicialmente tenía sirvió temporalmente como soporte
y por inútil fue rechazada después; sólo quedaba la construcción en sí, intachable a
los ojos de el lógico. Y sin embargo, si la imagen primitiva había desaparecido
totalmente de nuestro recuerdo, ¿cómo podríamos adivinar por qué capricho todas
estas desigualdades se erigieron de esta manera una sobre otra?
Tal vez ustedes piensan que utilizo demasiadas comparaciones; sin embargo me
van a perdonar otra. Ustedes han visto, sin duda, esos delicados conjuntos de
agujas silíceos que forman el esqueleto de ciertas esponjas. Cuando la materia
orgánica ha desaparecido, sólo queda un encaje de trabajo frágil y elegante. Es
cierto que no hay nada allí, excepto el sílice, pero lo que es interesante es la forma
actual que el sílice ha tomado, y no podríamos entenderlo si no supiéramos la
estructura estelar de la esponja, que le ha dado precisamente esa forma. Así es
como las viejas nociones intuitivas de nuestros padres, incluso cuando los hemos
abandonado, todavía imprimen su forma sobre las construcciones lógicas que
hemos establecido en su lugar.
Este punto de vista de la agregación es necesario para el inventor, y es igualmente
necesario para el que quiera realmente comprender al inventor. ¿Puede la lógica
dárnosla? No; los mismos nombres que los matemáticos le dan bastarían para
probar esto. En matemáticas lógica se denomina análisis y análisis significa
división, disección. No puede tenerse, por lo tanto, ninguna herramienta que no sea
el bisturí y el microscopio.
Por lo tanto, la lógica y la intuición tienen cada una su necesario papel. Cada una es
indispensable. La lógica, la única que puede dar certeza, es el instrumento de la
demostración; la intuición es el instrumento de la invención.
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Parte VI
Pero en el momento de formular esta conclusión me asaltan los escrúpulos. Al
principio distinguí dos tipos de mentes matemáticas, una es la de los lógicos y
analistas, la otra, la de los intuicionistas y geómetras. Pues bien, los analistas
también han sido inventores. Los nombres que acabo de citar hacen que mi
insistencia en esto sea innecesaria.
Aquí hay una contradicción, al menos aparentemente, que necesita una
explicación. En principio pensamos que los lógicos siempre han procedido de lo
general a lo particular, ya que las reglas de la lógica formal parecen requerirlo. No
podrían entonces haber extendido los límites de la ciencia; la conquista científica
debe ser hecha solamente por la generalización.
En uno de los capítulos de 'Ciencia e Hipótesis” he tenido ocasión de estudiar la
naturaleza del razonamiento matemático y he demostrado cómo este
razonamiento, sin dejar de ser absolutamente riguroso, podría hacernos avanzar de
lo particular a lo general por un procedimiento que he llamado inducción
matemática. Es por este procedimiento que los analistas han hecho avanzar la
ciencia y si examinamos con el mismo detalle sus manifestaciones se puede
encontrar allí en cada instante el silogismo clásico de Aristóteles. Nosotros, por lo
tanto, vemos que los analistas no son simplemente los encargados de crear
silogismos a la manera de los escolásticos.
Además, ¿podemos creer que siempre han marchado paso a paso sin ninguna
visión de la meta que deseaban alcanzar?. Deben haber adivinado el camino que
conduciría hasta ella, y para eso se necesita una guía. Esta guía es, primero, la
analogía. Por ejemplo, uno de los métodos de demostración muy queridos por los
analistas es la fundamentación del empleo de las funciones dominantes, que
sabemos que ha servido para resolver una multitud de problemas; en qué consiste
entonces el papel del inventor que desea aplicarse a un nuevo problema? En primer
lugar se debe reconocer la analogía del problema con los que ya han sido resueltos
por el mismo método; entonces debe percibir de qué manera se diferencia esta
nueva pregunta de las de problemas anteriores y de ahí deducir las modificaciones
necesarias para aplicar el método.
Pero ¿cómo se perciben estas analogías y las diferencias?. En el ejemplo que
acabamos de citar casi siempre son evidentes, pero me podría haber encontrado
otros en los que habrían estado mucho más profundamente ocultas; a menudo para
su descubrimiento es necesaria una penetración muy poco común. Los analistas no
permiten que estas analogías ocultas escapen de ellos, es decir, con el fin de ser
inventores, deben, sin la ayuda de los sentidos y ni de la imaginación, tener una
comprensión directa de lo que constituye la unidad de la pieza del razonamiento, de
lo que hace, por así decirlo, su alma y su fundamento.
Cuando nos referíamos a M. Hermite, vimos que nunca evocaba una imagen
sensual y sin embargo pronto percibíamos que las entidades más abstractas eran
para él como los seres vivos. No las veíamos, pero percibíamos que no eran un
conjunto artificial y que tenían algún principio de unidad interna.
Pero se dirá que todavía es intuición. ¿Debemos concluir que la distinción que
hicimos al principio es sólo aparente?, ¿que sólo hay un tipo de mente y que todos
los matemáticos son intuicionistas, al menos aquellos matemáticos que son capaces
de inventar?.
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No, nuestra distinción corresponde a algo real. He dicho antes que hay muchas
clases de intuición. He dicho lo mucho que la intuición del número puro, de donde
viene la inducción matemática rigurosa, difiere de la intuición sensible a la que la
imaginación, propiamente dicha, es el principal contribuyente.
¿Es el abismo que los separa menos profundo de lo que al principio
parecía?. ¿Podríamos reconocer con un poco de atención que esta misma intuición
pura no podía hacerse sin la ayuda de los sentidos?. Esto es asunto del psicólogo o
del metafísico y yo no discutiré este asunto. Pero si la cuestión permanece dudosa
ello es suficiente para justificar el reconocimiento y la afirmación de una diferencia
esencial entre los dos tipos de intuición; que no tienen el mismo objeto y parecen
poner en juego dos facultades diferentes de nuestro intelecto; podríamos pensar en
dos luces de búsqueda dirigidas a dos mundos extraños entre sí.
Es la intuición del número puro, de las formas lógicas puras, lo que ilumina y
orienta a los que hemos llamado analistas. Esto es lo que les permite no solo
demostrar, sino también inventar. Por lo que perciben a simple vista el plan general
de un edificio lógico, y sin que los sentidos parezcan intervenir. Al rechazar la
ayuda de la imaginación, que, como hemos visto, no siempre es infalible, pueden
avanzar sin miedo a engañarse a sí mismos. Felices, por lo tanto, son los que
¡pueden prescindir de esta ayuda!. Debemos admirarlos, aunque son raros.
Entre los analistas entonces habrá inventores, pero serán pocos. La mayoría de
nosotros, si deseamos ver de lejos mediante la sola intuición pura, pronto
sentiremos el vértigo. Nuestra debilidad tiene necesidad de una ayuda personal
más sólida, y, a pesar de las excepciones de las que acabamos de hablar, no deja
de ser cierto que la intuición sensible es en matemáticas el instrumento más
habitual de invención.
A propósito de estas reflexiones, una pregunta me surge que no tengo tiempo, no
ya de resolver, sino incluso de enunciar con los desarrollos que la cuestión debería
admitir. ¿Hay algún espacio para una nueva distinción, para distinguir entre los
analistas a los que, sobre todo, utilizan esta intuición pura y los que están en
primer lugar preocupados solo por la lógica formal?.
M. Hermite, por ejemplo, que acabo de citar, no puede ser clasificado entre los
geómetras que hacen uso de la intuición sensible; pero tampoco es un lógico,
propiamente dicho. Él no oculta su aversión a los procedimientos puramente
deductivos que parten de lo general y terminan en lo particular.
Versión al castellano
Carlos S. Chinea
casanchi.com
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