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Examen
Electromagnetismo FI2002-2014
Prof. Marcel G. Clerc
Auxiliar: Rodrigo Chi & Susana Márquez
Tiempo: 3:00 Hrs. Todos sus argumentos deben claramente ser explicitados.
I.
d
CAMPO MAGNÉTICO DE UNA HÉLICE
II.
GENERADOR DE CORRIENTE
Considere un disco metálico de radio a, el cual gira
con velocidad angular constante ω en torno al eje vertical. Por medio de cables verticales de resistencia R se
forma un circuito como se ilustra en la figura. Si todo
L
2
re
FIG. 2. Recipiente y capacitor dieléctrico.
IV.
FIG. 1. Generador de corriente.
el sistema esta bajo la influencia de un campo magnético
~ (ver figura) se establece una corrivertical constante B
ente. Encuentre la corriente que circula sobre la resistencia.
BOBINA INDUCTORA
Un selenoide de N vueltas por unidad de largo está
enrollado a un cilindro infinito de permeabilidad µ y de
sección transversal circular A. El cilindro atraviesa un
circuito el posee una resistencia R como se muestra en la
Figura 3.
3.1) Si la corriente del solenoide cambia de I1 a I2
(I2 > I1 ), ¿cuánta carga pasa a través de la resistencia
durante este cambio? ¿cuál es el sentido en que se mueve
esa carga?
3.2) Si la corriente en solenoide a través del tiempo es
I(t) = I1 e−t/τ + I2 (1 − e−t/τ )
III.
LÍQUIDO DIELÉCTRICO
Un capacitor de placas cuadradas paralelas de lado L y
separación d es cargado de un potencial V y desconectado
de la baterı́a. El capacitor, ya cargado, es verticalmente
insertado dentro de un gran recipiente lleno de un lı́quido
dieléctrico de permitividad ε y densidad de masa ρ hasta
que el lı́quido llene el espacio dentro del capacitor como
se muestra en la figura 2. Determine:
a) La capacitancia del sistema.
Determine la corriente que circula por la resistencia R.
3.3) Se coloca un condensador, inicialmente descargado,
en serie con la resistencia de tal forma que RC = τ (C capacidad del condensador). Determine la carga en función
del tiempo en el condensador si por el selenoide fluye la
misma corriente indicada en la parte anterior.
b
R
a
2.1) El campo eléctrico entre las placas.
2.2) La distribución superficial de carga libre sobre
las placas.
2.3) Ahora considere que el capacitor nunca fue desconectado de la baterı́a y fue insertado en el recipiente.
¿Cuál es la nueva altura alcanzada por el lı́quido?
I(t)
vueltas/largo=N
I(t)
FIG. 3. Solenoide y circuito.
Examen
Electromagnetismo FI2002-2014
Prof. Marcel G. Clerc
Auxiliar: Rodrigo Chi & Susana Márquez
Tiempo: 3:00 Hrs.
I.
CAMPO MAGNÉTICO DE UNA HÉLICE
Encuentre que forma que tiene el campo magnético a
grandes distancia.
Considere un circuito en forma de hélice circular con
su eje en z. Por la hélice circula una corriente I, y está
compuesta por 2N vueltas completas y tiene un paso p.
La ecuación paramétrica de la hélice es:
III.


x = R cos θ
y = R sin θ

z = p θ
2π
(1)
Las vueltas de la hélice están repartidas desde la cota
z1 = −pN hasta la cota z2 = +pN .
ELECTRONES DENTRO DE UN
CONDENSADOR
Considere dos cables coaxiales de radio a y b como
muestra la figura, cuyo espacio interior se encuentra
vacı́o. El cable exterior está conectado a una fuente de
modo que la diferencia de potencial entre los cables sea
V0 . El sistema está sometido a un campo magnético ho~ = B ẑ. Desde el cilindro interior se liberan
mogeneo B
electrones de carga −e y masa m. El objetivo del prob~ de modo que
lema es encontrar el valor máximo de B
los electrones liberados no choquen con el cilindro exterior (alcancen a dar la vuelta perfectamente). Para ello
proceda de la siguiente manera:
a) Encuentre el momentum angular del electrn en
función de carga q, el campo magnético B, y la
distancia al eje del cilindro r y constantes.
FIG. 1. Hélice
a) Determine la componente axiales del campo
magnético y del potencial magnético en el origen,
Bz (0) y Az (0).
b) Si la longitud del circuito helicoidal es L = 2pN ,
muestre que Bz (0) puede ser escrita de la forma
Bz (0) = B0 f (R, N, p) donde B0 es el campo
magnético creado con selenoide de longitud infinita.
Encuentre el valor de f (R, N, p) cuando R L.
¿Qué relación debe haber entre R y L para que el
Bz (0) sea un 99% del valor de B0 ?
b) Asumiendo que los electrones salen con un velocidad inicial v0 ≈ 0, encuentre la velocidad que tendr
en rmax , es decir en r = b.
c) Encuentre, mediante conservación de energı́a, otra
expresión para la velocidad recién calculada. A partir de este encuentre el valor que debera tener B,
de modo que a los más los electrones volviesen en
r = b.
b
a
II.
CAMPO MAGNÉTICO DEL ÁTOMO DE
HIDROGENO DE BOHR
Un modelo simple de átomo de hidrogeno, fue propuesto por Borh 1912, el cual esta compuesto por un
núcleo cargado positivamente y un électron realizando
una órbita circular a una distancia R (radio de Bohr ∼
10−10 m)
~
B
FIG. 2. Condensador Cilindrico
Control I
Electromagnetismo FI2002-2014
Prof. Marcel G. Clerc
Auxiliar: Rodrigo Chi & Susana Márquez
Tiempo: 3:00 Hrs.
I.
PEQUEÑAS OSCILACIONES
Considere una esfera metálica de radio R que se encuentra conectada a una fuente a potencial V0 . Frente a
ella se coloca un péndulo de largo ` atado a una muralla
a distancia d del centro de la esfera. El péndulo lleva en
su extremo una carga puntual q de masa m que forma
un ángulo φ con respecto a la horizontal. Despreciando
todos los efectos de la gravedad.
b
ρ2
a
q, m
R
ρ1
}
l
FIG. 2. Conductores acoplados.
`
V0
+
f
d
FIG. 1. Esfera frente a un péndulo
a) Determine el módulo de la fuerza que siente la carga.
b) Considere ahora que la fuente se apaga (V0 = 0).
Determine la frecuencia de pequeñas oscilaciones del
péndulo si es perturbado débilmente con respecto a la
horizontal.
II.
CONDENSADORES ACOPLADOS
g(x) = g0 (x + a)/a y una permitividad 0 , donde g0 es
una constante. Asuma que la corriente fluye a lo largo
del eje x desde la cara S hasta la cara opuesta S 0 .
Suponga que potencial eléctrico Φ dependiente sólo de
x, y que el valor del campo eléctrico en el borde es cono~ = 0, y) = E0 x̂.
cido E(x
a) Considerando que se ha alcanzado el régimen estacionario, encuentre una ecuación diferencial que describa el comportamiento del potencial dentro del
cubo. Use lo anterior para determinar la diferencial
de potencial entre las caras S y S 0 .
b) Determine la resistencia y la corriente total que circula entre S y S 0 . Encuentre en valor de la carga
Q que se acumula en el cubo.
Considere un sistema formado por dos casquetes
esféricos concéntricos de radio a y b, respectivamente.
Si el casque externo se conecta a un cilindro exterior de
dos cilindros con eje azimutal común de radios ρ1 y ρ2 ,
y altura l (ver figura 2).
Encuentre la capacidad de este sistema, especifique
claramente todos sus supuesto. En caso de no explicitar
su hipótesis, su resultado sera interpretado incorrecto.
III.
BLOQUE CONDUCTOR
z
S
y
a
Un bloque de material conductor con forma cubo de
lado a tiene una conductividad no uniforme dada por
S0
a
x
a
FIG. 3. Cubo Conductor
EJERCICIO 12
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2014-03
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIAR: RODRIGO CHI & SUSANA MÁRQUEZ
TIEMPO: 35 MINUTOS, JUSTIFIQUE CLARAMENTE SUS RESULTADOS!
Imán: Un imán se puede modelar como un cilindro que tiene un momento
magnético µ
~
Figure 1. Imán.
Encuentre el en coordenadas esféricas el potencial y el campo magnético, para
distancias suficientemente grandes.
Dificultad 3.0.
1
EJERCICIO 11
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2014-03
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIAR: RODRIGO CHI & SUSANA MÁRQUEZ
TIEMPO: 35 MINUTOS, JUSTIFIQUE CLARAMENTE SUS RESULTADOS!
Toca disco cargado: Considere un disco de radio R y cargado con densidad de
carga uniforme σ0 . Si el disco gira con velocidad angular uniforme ω con respecto
al eje azimutal (ver figura)
Figure 1. Modelo de materia.
Encuentre el campo magnético sobre el eje de simetrı́a. En el caso que use
esto como modelo de la materia, como cambiara sus resultados para el potencial
vectorial generado por un momento magnético.
Dificultad 4.5.
1
EJERCICIO 10
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2014-03
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIAR: RODRIGO CHI & SUSANA MÁRQUEZ
TIEMPO: 35 MINUTOS, JUSTIFIQUE CLARAMENTE SUS RESULTADOS!
Modelo de partı́cula: Una casquete esférico de radio R y densidad de carga
constante ρ0 gira con respecto al eje vertical con velocidad angular constante ω
~ = ωẑ
(ver figura)
ω
R
ρ0
Figure 1. Modelo de partı́cula.
Encuentre el campo magnético en el centro de la esfera.
Dificultad 4.0.
1
EJERCICIO 09
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2014-03
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIAR: RODRIGO CHI & SUSANA MÁRQUEZ
TIEMPO: 35 MINUTOS, JUSTIFIQUE CLARAMENTE SUS RESULTADOS!
Péndulo de Lorentz: Considere un péndulo esférico ideal de largo l, masa
puntual m y carga q, bajo la influencia del campo gravitatorio g y un campo
~ = B ẑ (ver figura).
magnético constante en la dirección vertical, B
Figure 1. Péndulo de Lorentz.
Muestre que el péndulo tiene una órbita circular como equilibrio.
Dificultad 4.0.
1
EJERCICIO 08
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2014-03
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIAR: RODRIGO CHI & SUSANA MÁRQUEZ
TIEMPO: 30 MINUTOS, JUSTIFIQUE CLARAMENTE SUS RESULTADOS!
Resistencias: Considere dos casquetes esféricos concéntricos conductores de
radios a y b, como se muestra en la figura. Las mitades del espacio entre los
casquetes están llenado por materiales conductores g1 y g2 , respectivamente (ver
figura).
Figure 1. Condensador radial.
Calcule la resistencia equivalente entre conductores, para esto suponga que el
casquete interior tiene una carga eléctrica q homogénea.
Dificultad 4.0.
1
EJERCICIO 07
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2014-03
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIAR: RODRIGO CHI & SUSANA MÁRQUEZ
TIEMPO: 30 MINUTOS, JUSTIFIQUE CLARAMENTE SUS RESULTADOS!
Condensador radial: Considere dos placas conductoras cuadradas de lado a,
las cuales forman un ángulo α. Las placas están a una distancia d del vértice como
se ilustra la figura
Figure 1. Condensador radial.
Si entre la placa inferior y la superior hay una diferencia de potencial V 1, encuentre la capacidad de este sistema.
Dificultad 5.0.
1Considere que la placa inferior tiene un potencial eléctrico nulo ϕ(θ = 0) = 0 y la superior
ϕ(θ = α) = V , donde θ da cuenta de la variable angular.
1
EJERCICIO 06
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2014-03
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIAR: RODRIGO CHI & SUSANA MÁRQUEZ
TIEMPO: 30 MINUTOS, JUSTIFIQUE CLARAMENTE SUS RESULTADOS!
Laplace: Considere dos placas conductoras paralelas de dimension l y muy
larga en la otra dimensión, separadas por un material aislante en una distancia
h. Los extremos horizontales del material aislante son sellados con un material
conductor—placas verticales—como se muestra en la figura.
Figure 1. Potencial.
Tanto la placa inferior y laterales son conectadas a tierra, la superior esta
sometida a una tension de la forma f (x) = a sin(πx/l), donde x da cuenta de la
coordenada horizontal. Encuentre la tensión—potencial electrostático—al interior
del materia aislante.
Dificultad 4.0.
1
EJERCICIO 05
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2014-03
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIAR: RODRIGO CHI & SUSANA MÁRQUEZ
TIEMPO: 30 MINUTOS, JUSTIFIQUE CLARAMENTE SUS RESULTADOS!
Carga efectiva: Considere una esfera conductora de radio R, a una distancia
d so coloca una carga puntual q (ver figura).
Figure 1. Pirámide tetraedrica.
Usando el metodo de las imágenes, encuentra la carga efectiva y la densidad de
carga sobre la superficie del conductor
Dificultad 5.0.
1
EJERCICIO 04
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2014-03
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIAR: RODRIGO CHI & SUSANA MÁRQUEZ
TIEMPO: 30 MINUTOS, JUSTIFIQUE CLARAMENTE SUS RESULTADOS!
Flujo Eléctrico en la cara de una pirámide tetraedrica: Un tetraedro
es un poliedro de cuatro caras triangulares, encontrándose tres de ellas en cada
vértice. Si las cuatro caras del tetraedro son triángulos equiláteros, iguales entre
sı́, el tetraedro se denomina regular (ver figura).
Figure 1. Pirámide tetraedrica.
Si al interior de un tetraedro regular de segmento a, en el centro de la pirámide
tetraedrica se coloca una carga q, encuentre el flujo que este genera sobre la cara
achurada.
Dificultad 2.5.
1
EJERCICIO 03
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2014-03
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIAR: RODRIGO CHI & SUSANA MÁRQUEZ
TIEMPO: 30 MINUTOS, JUSTIFIQUE CLARAMENTE SUS RESULTADOS!
Campo eléctrico: Considere un cilindro infinito macizo de radio R con una
densidad de carga uniforme σ, con dos agujero esféricos de radio Ro , los cuales
estan posicionados sobre el eje del cilindro, como se ilustra en la figura.
Figure 1. Cilindro con agujeros.
Encuentre el potencial eléctrico a una distancia ρ > R del cilindro y a una altura
h del agujero inferior.
Dificultad 4.0.
1
EJERCICIO 02
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2014-03
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIAR: RODRIGO CHI & SUSANA MÁRQUEZ
TIEMPO: 30 MINUTOS, JUSTIFIQUE CLARAMENTE SUS RESULTADOS!
Campo eléctrico: Considere un cilindro infinito macizo de radio R con una
densidad de carga uniforme σ, con un agujero esférico de radio Ro , el cual esta
posicionado sobre el eje del cilindro, como se ilustra en la figura.
Figure 1. Cilindro con un agujero.
Encuentre el campo eléctrico a una distancia ρ > R del cilindro y a una altura
h del agujero.
Dificultad 4.0.
1
EJERCICIO 01
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2014-03
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIAR: RODRIGO CHI & SUSANA MÁRQUEZ
TIEMPO: 30 MINUTOS, JUSTIFIQUE CLARAMENTE SUS RESULTADOS.
Punto de Equilibrio: Considere una barra infinita de densidad de carga lineal
λ. Sobre esta barra se cuelga un péndulo ideal de largo l y una masa puntual m y
carga q, bajo la influencia del campo gravitatorio como se ilustra en la figura.
Figure 1. Barra cargada.
Encuentre el ángulo de equilibrio del péndulo. En el limite que la carga q crece
el ángulo de equilibrio tiende a que valor.
Dificultad 3.0.
1
Examén
Electromagnetismo FI2002-2013
Prof. Marcel G. Clerc
Auxiliar: Rodrigo Chi,
Tiempo: 3:00 Hrs.
I.
PLANOS PARALELOS
del apantallamiento. Determine la densidad de carga
atómica.
Considere dos superficies infinitos paralelas con densidad de carga superficial σ y −σ, respectivamente, etiquetados por S 0 y S 00 . Estos planos están separados por
una distancia muy pequeña d 1, como se ilustra en la
figura 1.
FIG. 2. Representación esquemática de un átomo.
III.
FIG. 1. configuración de diplanos.
~
Encuentre el campo eléctrico E(r)
y potencial electrostático Φ(r) a una distancia muy lejana de las placas
r, donde r d, en el lı́mite d → 0, σ → ∞ y σdds → P ,
donde ds es el elemento de superfie.
II.
FUERZA ELECTROMOTRIZ
Un disco metálico de radio a, el cual gira con velocidad
angular constante ω en torno al eje vertical. Por medio
de cables verticales de resistencia R se forma un circuito
como se ilustra en la figura.
DENSIDAD DE CARGA DE UN ÁTOMO
ESFÉRICO
Un átomo de los elementos de los gases nobles
están caracterizado por tener una estructura electrónica
isotrópica, es decir, estos átomos tiene una estructura
electrónica esférica (ver figura 2). Por lo tanto, esta densidad de carga apantalla la carga del núcleo Z.
Si el potencial atómico efectivo (Coulomb efectivo)
tiene la forma
φ(~r) =
Zq −αr
e
(1 + αr),
r
donde q da cuenta de la carga del electrón y α da cuenta
Si todo el sistema esta bajo la influencia de un campo
~ (ver figura) se establece
magnético vertical constante B
una corriente. Encuentre la corriente que circula sobre la
resistencia.
Control II
Electromagnetismo FI2002-2013
Prof. Marcel G. Clerc
Auxiliar: Rodrigo Chi,
Tiempo: 3:00 Hrs.
I.
ESFERA GIRATORÍA
Considere una esfera de radio R, la cual esta cargada
uniformemente con una densidad de carga volumétrica ρo
constante. La esfera gira entorno a uno de sus diámetros
con una velocidad angular constante ωo , como se ilustra
en la figura.
2-1 Estime el campo magnético radial cerca del eje.
2-2 Si el resultado anterior vale para todo r (coordenada radial), determine cual es la corriente necesaria al
interior del imán.
FIG. 2. Moneda imantada.
III.
CAMPO MAGNÉTICO DE UNA ESPIRA
Considere una espira muy pequeña de área S sobre la
cual circula una corriente I, como se ilustra en la figura.
FIG. 1. Esfera cargada giratoria.
~ r = 0) y potencial
Encuentre el campo magnético B(~
magnético vectorial A(~r = 0) en el centro de la esfera.
II.
MONEDA IMANTADA
Considere un imán con forma de moneda de radio R y
espesor d (ver figura 2). El campo magnético generado
por este imán en el eje azimutal tiene la forma
FIG. 3. Espira pequeña.
~ = B0 (1 + νz 2 )ẑ,
B
donde z es la coordenada que describe el eje azimutal, B0
y ν parámetros que caracterizan el campo magnético.
Considere que al interior del imán la componete angu~ = 0φ̂)
lar del campo magnético es cero (B
3-1 Encuentre el potencial magnético vectorial A(r)
y el campo magnético B(r) lejano. Indicación considere
que la espira es muy pequeña y la corriente que circula
sobre este es muy intensa.
Control I
Electromagnetismo FI2002-2013
Prof. Marcel G. Clerc
Auxiliar: Rodrigo Chi,
Tiempo: 3:00 Hrs.
I.
CABLE PARALELOS
III.
Considere dos cables infinitos paralelos con densidad
de carga longitudinal λ y −λ, respectivamente, separados
por una distancia muy pequeña l 1, como se ilustra en
la figura 1.
CABLE EN UN VÉRTICE
Un cable infinito de densidad de carga lineal λ, está en
presencia de un vértice conductor de ángulo recto, como
se ilustra en la figura 3. El cable es paralelo a ambos
planos conductores que forman el vértice y está a una
distancia a y b respectivamente de los planos conductores
λ −λ
r
E,Φ
FIG. 2. Esfera conductora bajo la influencia de un campo
constante horizontal.
l
FIG. 1. Cables
verticales y horizontales, ver la figura 3 que representa un
corte en el plano transversal al cable.
~
Encuentre el campo eléctrico E(r)
y potencial electrostático Φ(r) a una distancia muy lejana de los cables
r, donde r l, en el lı́mite l → 0, λ → ∞ y λl → Q.
II.
CAMPO ELÉCTRICO
Considere una esfera conductora de radio R, la cual
es sometida a un campo eléctrico externo horizontal con~ o (ver figura 2).
stante E
2-1 Calcule el potencial y campo eléctrico, fuera de la
esfera, inducido por la presencia de la esfera conductora
en el campo uniforme.
2-2 Encuentre la densidad de carga en la superficie de
la esfera.
FIG. 3. Cable frente a un vértice conductor
3-1 Encuentre la densidad de carga inducida sobre el
conductor
3-2 Si el cable se suelta ¿hacia qué superficie se mueve?
justifique el lugar de colisión del cable y la pared.
EJERCICIO 10
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2013-02
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIAR: RODRIGO CHI
TIEMPO: 30 MINUTOS
~ Considere un cilindro hueco infinito de radio R sobre el
vector magnético A:
cual circula una corriente homogénea I (ver figura).
Figure 1. Cilindro con corriente.
~
Encuentre en todo el espacio el vector magnético A.
Dificultad .5 .
1
EJERCICIO 09
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2013-02
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIAR: RODRIGO CHI
TIEMPO: 30 MINUTOS
Fuerza entre placas: Considere dos placas metálicas infinitas paralelas Π1 y
Π2 , separadas por una distancia d, si en sus respectivas placas, fluyen corrientes en
direcciones arbitrarias, las cuales tienen un ángulo α entre ellas como se ilustra en
la figura.
Figure 1. Fuerza de placas.
Encuentre la densidad de fuerza y fuerza entre las placas debido a estas corrientes.
Dificultad 3.5 .
1
EJERCICIO 08
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2013-02
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIAR: RODRIGO CHI
TIEMPO: 30 MINUTOS
Campo Magnético: Considere una espira circular de radio R sobre la cual
circula una corriente I en el sentido anti-horario (ver figura).
Figure 1. Campo de una espira.
~
Encuentre el campo magnético, B(z),
en un punto sobre el eje de la circunferencia
a una altura z (ver figura).
Dificultad 3.8 .
1
EJERCICIO 07
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2013-02
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIAR: RODRIGO CHI
TIEMPO: 30 MINUTOS
Tensión en una guı́a de onda: Considere una guı́a de onda, la cual es una
tuberı́a metálica de sección rectangular de alto b y ancho a (ver figura).
Figure 1. Sección transversal de guia de onda.
Si la placa inferior y laterales están conectadas a tierra, es decir el potencial
es cero en estas placas. La placa metálica superior tiene una tensión periódica de
periodo 2πn/a (donde n es un numero entero), V (x, y = b) = A cos(2πnx/a), A da
cuenta de la intensidad de la tensión. Encuentre la tensión al interior del canal,
V (x, y).
Dificultad 4.8 .
1
EJERCICIO 06
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2013-02
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIAR: RODRIGO CHI
TIEMPO: 30 MINUTOS
Circuito de condensadores: Considere dos condensadores formado por dos
casquetes esféricos conductores concéntricos de radios {R1 , R2 , ρ1 , ρ2 }, respectivamente. Cada conductor en su polo sur tiene una pequeña perforación para conectar
el casquete inferior (ver figura).
Figure 1. Circuito de condensadores.
Si apropiadamente se conecta cables a los casquetes exteriores y a los interiores,
como se ilustra en la figura, encuentre la capacitancia del condensador entre los
puntos A y C.
Dificultad 3.0 .
1
EJERCICIO 05
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2013-02
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIAR: RODRIGO CHI
TIEMPO: 30 MINUTOS
Imagenes: Considere un casquete esférico cargado de radio R y con una densidad de carga uniforme σ. Si este casquete esférico se situa a una distancia horizontal y vertical {a, b} respectivamente a un vertice rectangular conductor infinito
(ver figura).
Figure 1. Carga frente a un espejo.
Encuentre la expresión analı́tica de la densidad de carga sobre el vértice y
bosqueje su forma.
Dificultad 3.0 .
1
EJERCICIO 04
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2013-02
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIAR: RODRIGO CHI
TIEMPO: 30 MINUTOS
Modelo dipolar: Un dipolo esta compuesto por dos cargas opuestas. Para
modelar un dipolo considere dos esferas macizas de radios R, de densidad de carga
constante respectivamente ρ0 y −ρ0 , las cuales están conectadas en un punto (ver
figura)
Figure 1. Dipolo.
i) Encuentre el campo eléctrico en todo el espacio,
ii) Para distancias muy lejanas, que dependencia tiene el campo eléctrico con la
distancia.
Dificultad 4.0 .
1
EJERCICIO 03
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2013-02
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIAR: RODRIGO CHI
TIEMPO: 30 MINUTOS
Modelo de núcleo: considere el siguiente modelo para un núcleo de un átomo:
el núcleo esta compuesto por una esfera maciza de radio R, la cual tiene una densidad de carga volumétrica radial ρ(r) = ρ0 (1 − r2 /R2 ), donde ρ0 tiene dimensiones
de C/m3 y r es la coordenada radial.
Figure 1. Representación esquemática de un núcleo.
i) Cual es la carga total en el núcleo,
ii) Encuentre el potencial y campo eléctrico en todo el espacio.
Dificultad 3.5 .
1
EJERCICIO 02
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2013-02
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIAR: RODRIGO CHI
TIEMPO: 30 MINUTOS
Campo Eléctrico: Considere una esfera maciza de radio R, la cual tiene un
hueco esférico de radio σ < R/2, la cual esta separada a una distancia d del centro
del cilindro macizo, com se ilustra la figura.
Figure 1. Cilindro perforado.
Si la esfera con el hueco tiene una densidad de carga constante ρ0 . Encuentre el
campo eléctrico al exterior esfera hueca.
Dificultad 4.0 .
1
EJERCICIO 01
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2013-02
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIAR: RODRIGO CHI
TIEMPO: 30 MINUTOS
Campo Eléctrico: Considere una barra infinita de radio transversal r0 el cual
esta cargado con una densidad de carga uniforme σ, como se ilustra en la figura.
Figure 1. Barra cargada.
Encuentre el campo eléctrico al exterior de la barra y comente su resultado.
Dificultad 4.0 .
1
Examen
Electromagnetismo FI2002-2010
Profs. Jonathan Avila, Marcel G. Clerc, Enrique Cordaro & Claudio Romero,
P1.- Considere un disco metálico de radio a, el cual
gira con velocidad angular constante ω en torno al eje
vertical. Por medio de cables verticales de resistencia R
se forma un circuito como se ilustra en la figura.
χm fluye una corriente opuesta de intensidad I, como se
ilustra en la figura.
Encuentre la energı́a magnética por unidad de largo.
Si todo el sistema esta bajo la influencia de un campo
~ (ver figura) se establece
magnético vertical constante B
una corriente. Encuentre la corriente que circula sobre la
resistencia.
P2.- Sobre un cable co-axial fluye una corriente I en
el cilindro interior de radio a y en el tubo exterior de
radio exterior b e interior a de susceptibilidad magnética
P3 (PROBLEMA DE CONTROL 1 con media
deplorable). Un cono macizo de altura h, ángulo β
tiene una densidad de carga volumétrica constante ρ (ver
figura).
Si una carga puntual q es colocada en su eje de simetrı́a
a una distancia z de su vértice, como se ilustra en la figura
2. Encuentre la diferencia de potencial electrostático que
aparece al trasladar la carga puntual al vértice del cono.
Control III
Electromagnetismo FI2002-2010
Profs. Jonathan Avila, Marcel G. Clerc, Enrique Cordaro & Claudio Romero,
(Alumnos sección 1 deben responder problemas 1,2 & 3)Debe escoger y entregar tres problemas. Tiempo: 3:00 Hrs.
P1.- Un cilindro de sección circular recta de radio R
infinitamente largo es recorrido por una corriente I, cuya
densidad de corriente varı́a espacialmente según la ley
J~ = kr2 ẑ, para 0 < r 6 R siendo r la distancia al eje del
cilindro y ẑ a lo largo del eje del cilindro.
~ y potencial vectoEncuentre el campo magnético (B)
~ en todo el espacio.
rial (A)
P2.- Una partı́cula de masa m y carga q que está
sometida a la influencia simultánea de un campo eléctrico
~ =
oscilatorio en la dirección vertical de la forma E
E0 cos(Ωt)ẑ y un campo magnético constante en la di~ = B0 x̂, como se ilustra en la figura.
rección horizontal B
z
P3. Considere una espira conductora rectangular en
forma de U tal como se ilustra en la figura. El circuito
se completa mediante una barra conductora que puede
deslizar. Cuando una corriente I circula por el circuito.
a) Calcule el campo magnético creado por la corriente
en un punto cualquiera de la barra.
b) Calcule la fuerza sobre la barra (magnitud) y dirección.
E=E0cos(Ωt)
y
x
B=B0
Sı́ la partı́cula parte del origen en reposo,
a) Encuentre las componentes x, y y z de la aceleración
de la partı́cula.
b) Encuentre la velocidad en función del tiempo.
c) Encuentre la trayectoria y discuta que ocurre cuando
la frecuencia es Ω = qB/m.
P4. Un disco plástico (aislador) cuyo momento de
inercia es I tiene adosadas sobre su superficie n cargas
positivas de magnitud q y distribuı́das sobre el perı́metro
de una circunferencia de radio a ( ver figura). En t = 0
se conecta un campo magnético uniforme, paralelo al eje
principal del disco y cuya magnitud varı́a en un cierto
intervalo de tiempo desde cero hasta que alcanza un valor
final constante B.
a) Encuentre la componente azimutal del campo
eléctrico inducido. Exprese su resultado en función
de ∂B/∂t.
b) Calcule la velocidad angular final del disco (magnitud y dirección) cuando el campo magnético ha
alcanzado su valor final B.
Control II
Electromagnetismo FI2002-2010
Profs. Jonathan Avila, Marcel G. Clerc, Enrique Cordaro & Claudio Romero,
Debe escoger y entregar tres problemas. Tiempo: 3:00 Hrs.
P1.-Un condensador de placas paralelas y área A
tiene una lámina dieléctrica de espesor t y permitividad
eléctrica adosada a una de sus placas. Un espacio vacı́o
de ancho s separa al dieléctrico de la otra placa conductora. La superficie del dieléctrico en contacto con el vacı́o
está cargada con una densidad superficial de carga libre,
uniforme, σ0 . Esta carga no puede moverse. Las placas
están conectadas a través de una resistencia R, tal como
se indica en la figura. Desprecie efectos de borde.
a) Cuando ambas placas de condensador están en reposo, calcule la densidad de carga sobre cada placa conductora. Nota. Estas cargas no tienen la misma
magnitud.
b) Considere que la placa de la izquierda se acerca al
dieléctrico con velocidad constante v0 . Calcule la diferencia de potencial que se genera entre los extremos de la
resistencia en función de la distancia s y el resto de los
datos del problema.
su largo natural. En t > 0 se cierra el interruptor S.
S
d
κ
V
x0
a)(5 ptos.) Encuentre la posición de equilibrio del extremo derecho del dieléctrico, medida desde la posición
en que el resorte está relajado.
b)(1 ptos.) Calcule la frecuencia con que el dieléctrico
realiza pequeñas oscilaciones en torno a la posición de
equilibrio.
P3.-El espacio entre dos cascarones esféricos de radios
a y b (a < b) está dividido en dos por un plano que pasa
por el centro del sistema. Las zonas tienen permitividas
y conductividades 1 , g1 y 2 , g2 , respectivamente (ver
figura). Los cascarones están conectados a una baterı́a
de modo que adquieren cargas Q y -Q.
P2.-Considere dos placas conductoras cuadradas de
lado a, paralelas y separadas por el vacı́o a una distancia
d. Entre las placas se conecta una baterı́a que mantiene
una diferencia de potencial constante V entre las placas,
una vez que se ha cerrado el interruptor S y el sistema
ha alcanzado el estado estacionario (ver figura).
En un extremo de las placas se introduce parcialmente
una lámina dieléctrica de espesor d y área A = a2 , tal
como se indica en la figura. La permitividad eléctrica
de la lámina es ε y su masa es m. El dieléctrico
puede deslizar sin fricción entre las placas. Además, la
lámina dieléctrica está conectada a un resorte de constante elástica κ que se encuentra inicialmente (t=0) en
a) Utilice la condición de borde para la componente
tangencial del campo eléctrico en la frontera entre las dos
zonas y concluya algo sobre la naturaleza de los campos
en ambas zonas. Use la ley de Gauss para calcular el
campo eléctrico en todo el espacio entre los cascarones.
NOTA. Si tiene dudas sobre sus conclusiones, recuerde
que el teorema de unicidad le permite verificar la corrección de éstas.
b) Calcule la diferencia de potencial entre los cascarones esféricos.
2
c) Calcule la corriente I entre los dos cascarones en el
estado estacionario. Recuerde que en un medio óhmico,
J = g E.
d) Exprese la corriente en función de la diferencia de
potencial, y encuentre la resistencia del sistema.
P4.-Considere un plano conductor en forma de letra
ele mayúscula (L), conectado a tierra. En un punto P
sobre la bisectriz, ubicado a una distancia d de la arista,
se coloca una carga q.
q
d
a) Encuentre la fuerza que el plano ejerce sobre la carga
q.
b) ¿Cuál es la carga inducida sobre el semiplano vertical y cuál es la carga inducida sobre el semiplano horizontal?
Control I
Electromagnetismo FI2002-2010
Profs. Jonathan Avila, Marcel G. Clerc, Enrique Cordaro & Claudio Romero,
El problema III y IV son electivos solo deben entregar uno. Tiempo: 3:00 Hrs.
I.
CABLE PARALELOS
Considere dos cables infinitos paralelos con densidad
de carga longitudinal λ y −λ, respectivamente, separados
por una distancia muy pequeña l ≪ 1, como se ilustra en
la figura 1.
2. Encuentre la diferencia de potencial electrostático que
aparece al trasladar la carga puntual al vértice del cono.
III.
FRECUENCIA DE OSCILACIÓN
Dos planos infinitos con densidad de carga superficial
σ y −σ se interceptan formando un ángulo α, uno de
los planos es horizontal, es decir, es ortogonal al campo
gravitatorio (~g ), como se muestra en al figura 3.
λ −λ
σ
E,Φ
r
g
m,l,q
l
FIG. 1. Cables
~
Encuentre el campo eléctrico (E(r))
y potencial electrostático (Φ(r)) a una distancia muy lejana de los cables
r, donde r ≫ l, en el limite l → 0, λ → ∞ y λl → Q.
II.
CONO CARGADO
Un cono macizo de altura h, ángulo β tiene una densidad de carga volumétrica constante ρ (ver figura).
q
z
β
h
ρ
FIG. 2. Cono
Si una carga puntual q es colocada en su eje de simetrı́a
a una distancia z de su vértice, como se ilustra en la figura
α
−σ
FIG. 3. Péndulo
Si entre los planos es colgado con respecto a un pivote
fijo un péndulo ideal de largo natural l, masa puntual m
y carga q.
Encuentre la frecuencia de oscilación del péndulo entorno a su equilibrio
IV.
CONDUCTOR
Una densidad de carga uniforme ρ esférica de radio R,
está rodeada por un casquete conductor concéntrico con
ella, de radio interior a y radio exterior b. El casquete
conductor no tiene carga neta.
i) Encuentre las densidades de carga superficial en a y
en b.
ii) Encuentre el potencial electrostático en un punto
ubicado en r = R. Es decir, un punto al borde de la
distribución de carga.
iii) Ahora, el casquete exterior se conecta temporalmente a tierra y luego se desconecta de tierra, quedando
el sistema otra vez aislado. Indique como cambian sus
respuestas en las partes a) y b) como resultado de la
operación indicada.
2
q
z
β
h
ρ
FIG. 1. Cono
EJERCICIO 09
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2010-01
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIAR: IGNACIO ORTEGA
TIEMPO: 45 MINUTOS
Considere un circuito eléctrico formado por una resistencia (R), una capacitancia
(C), una inductancia (L) y un generador de corriente alterna (V = V0 sen(ωt)),
como se ilustra en la figura.
Encuentre la ecuación para la corriente
√ y la solución para parámetros iniciales
arbitrarios. Comente el caso que ω = 1/ LC.
Dificultad 4.5 .
1
EJERCICIO 08
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2010-01
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIAR: IGNACIO ORTEGA
TIEMPO: 45 MINUTOS
Considere una placa plana infinita de hierro de espesor d, la cual tiene una
magnetización constante que a punta en la dirección ortogonal a la placa M = M0 ẑ,
como se ilustra en la figura
d
M
M
Encuentre el campo magnético en todo el espacio
Dificultad 4.0 .
1
EJERCICIO 08
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2010-01
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIAR: IGNACIO ORTEGA
TIEMPO: 30 MINUTOS
Considere una varilla metálica de masa λ, por la cual fluye una corriente I. La
varilla cuelga de dos alambres verticales de largo l bajo la influencia de la fuerza
de gravedad y un campo magnético de intensidad B en la dirección opuesta a la
gravedad.
g
I
B
Si la varilla parte vertical y en reposo, encuentre la trayectoria de movimiento
que describe la varilla.
Dificultad 3.0 .
1
EJERCICIO 06
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2010-01
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIAR: IGNACIO ORTEGA
TIEMPO: 45 MINUTOS
Una casquete esférico de radio R y densidad de carga constante ρ0 gira con
respecto al eje vertical con velocidad angular constante ω
~ = ωẑ (ver figura)
ω
R
ρ0
Encuentre el campo magnético en el centro de la esfera.
Dificultad 4.5 .
1
EJERCICIO 05
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2010-01
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIAR: IGNACIO ORTEGA
TIEMPO: 45 MINUTOS
Un condensador de placas paralelas y área A tiene una lámina dieléctrica de
espesor t y permitividad eléctrica adosada a una de sus placas. Un espacio vacı́o de
ancho s separa al dieléctrico de la otra placa conductora. La superficie del dieléctrico
en contacto con el vacı́o está cargada con una densidad superficial de carga libre,
uniforme, σ0 . Esta carga no puede moverse. Las placas están conectadas a través
de una resistencia R, tal como se indica en la figura. Desprecie efectos de borde.
a) Cuando ambas placas de condensador están en reposo, calcule la densidad de
carga sobre cada placa conductora. Nota. Estas cargas no tienen la misma
magnitud.
b) Considere que la placa de la izquierda se acerca al dieléctrico con velocidad
constante v0 . Calcule la diferencia de potencial que se genera entre los extremos de
la resistencia en función de la distancia s y el resto de los datos del problema.
Dificultad 5.0 .
1
EJERCICIO 04
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2010-01
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIAR: IGNACIO ORTEGA
TIEMPO: 45 MINUTOS
0.1. Problema 3. Un condensador de placas paralelas, el cual esta compuesto por
dos placas cuadradas de lado L y separadas por una distancia d, y presenta una
diferencia de potencial V , el cual es mantenido por una bateria. El condensador
se sumerge verticalmente dentro de un gran recipiente lleno de un lquido dielctrico
hasta que ste llena la mitad del espacio entre ambas placas, tal como lo muestra la
figura ?? . El lquido est caracterizado por una constante dielctrica κ, una densidad
ρ y tensin de superficie despreciable.
V
g
d
Figure 1. Condensador variable
a) Cul es la capacidad del condensador?
b) Cul es la intensidad del campo elctrico entre las dos placas del condensador?
c) Cul es la distribucin de densidad de carga sobre las placas?
d) Cul es la diferencia en la altura vertical del lquido contenido entre las placas del
condensador con respecto al nivel del resto del lquido en el recipiente?
Dificultad 5.0 .
1
EJERCICIO 03
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2010-01
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIAR: IGNACIO ORTEGA
TIEMPO: 45 MINUTOS
Esfera cargada y espejo: Considere una esfera de radio R0 con una densidad
de carga superficial σ la cual esta a una distancia l del vértice de un espejo con
forma de escuadra como se ilustra en la figura
σ ,Ro
l
Encuentre la densidad de carga superficial en el espejo
Dificultad 4.5 .
1
EJERCICIO 02
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2010-01
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIAR: IGNACIO ORTEGA
TIEMPO: 45 MINUTOS
Esfera cargada: Considere una esfera de radio R con una densidad de carga
cos(kr)
r≤R
r2
ρ(r) =
0
r > R,
donde r da cuenta de la coordenada radial y k un parámetro con dimensiones de
inverso de longitud.
Encuentre el campo eléctrico en todo el espacio y grafique que forma tiene el
campo eléctrico.
Dificultad 4.5 .
1
EJERCICIO 01
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2010-01
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIAR: IGNACIO ORTEGA
TIEMPO: 45 MINUTOS
Campo Eléctrico: Considere una barra de longitud L el cual esta cargado
con una densidad de carga uniforme λ, como se ilustra en la figura.
x
A
λ
0
L
Encuentre el campo eléctrico en el punto A que se ubica a una distancia h con
respecto al barra centro de la barra.
En el limite L es muy grande, cual es el valor del campo eléctrico.
Dificultad 4.7 .
1
Examen
Electromagnetismo FI2002-2009-01
Prof. Marcel G. Clerc
Auxiliares: Daphnea Iturra & Alejandro Jara
Tiempo: 3:00 Hrs.
PACS numbers:
I.
FIG. 2: Cilindro perforado.
DIELÉCTRICO LIQUIDO
Dos cilindros coaxiales metálicos (conductores) de radios {a, b} (a < b) son sumergidos en forma perpendicular a un lı́quido dieléctrico de desnsidad ρ, suceptibilidad
eléctrica χ, el cual esta bajo la influencia del campo gravitatorio terrestre, como se ilustra en la figura.
Si sobre el cilindro perforado fluye una corriente I uniforme y el sistema esta inmerso en un medio magnétizable
de suceptibilidad magnética χ.
2-a Encuentre el Campo magnético y la intensidad
magnética en todo el espacio.
2-b Describa, de manera cualitativa que forma tendrı́a,
la corriente surperficial inducida (js ) sobre la superficie
perforada.
III.
FIG. 1: Cilindros sumergidos.
Si se aplica un voltaje de tensión V entre los cilindros.
1-a Encuentra la altura que se desplaza el lı́quido
dieléctrico.
1-b Encuentre la densidad de carga en la superficie del
cilindro de radio ”a”.
II.
CILINDRO PERFORADO
MOTOR LINEAL
Considere dos rieles paralelos ideales (conductores sin
resistencia ni mecánica ni eléctrica ), en el cual se desplaza una barra de largo L y resistencia R, que conecta
estos rieles. Sobre los rieles se aplica una tensión V .
La barra es conectado a una masa m por medio de una
cuerda ideal y una polea (ver figura). La masa esta bajo
la influencia de la fuerza de gravedad.
V
Considere un cilindro macizo de radio R, el cual tiene
una perforación cilı́ndrica de radio σ < R/2, la cual esta
separada a una distancia d del centro del cilindro macizo.
R
σ
FIG. 3: Motor Lineal
d
Si todo el sistema esta bajo la influencia de un campo
magnético uniforme Bo . Encuentre la velocidad de la
barra
Control II
Electromagnetismo FI2002-2009-01
Prof. Marcel G. Clerc
Auxiliares: Daphnea Iturra & Alejandro Jara
Tiempo: 3:00 Hrs.
PACS numbers:
I.
II.
CAPA DIPOLAR
Considere dos superficies arbitrarias paralelas cargadas
con densidad de carga σ(r′ ) y −σ(r′ ), respectivamente.
Las cuales están etiquetadas por S ′ y S ′′ , separadas por
d(r′ ). Donde r′ es el vector que representa cada punto
de la superficie S ′ . Además sea n el vector normal a las
superficies (ver figura).
Considere una carga puntual q, la cual es colocada en
la bisectriz de dos conductores ideales planos que forman
un ángulo de 45 grados (ver figura).
Si la carga tiene una una distancia d (ver figura) a los
conductores y el medio es un medio dieléctrico isotropo
y lineal caracterizado por una permeabilidad eléctrica ǫ,
encuentre la forma del potencial electrostático entre los
conductores.
III.
‘
REFLEJO DE CARGA
LÍQUIDO DIELÉCTRICO
Un problema complejo es medir la constante dieléctrica
de un fluido dieléctrico. Para resolver esto considere un
tubo en ”U” de radio r bajo la influencia de la fuerza de
gravedad, el cual es llenado con un fluido dieléctrico de
constante ǫ, como se muestra en la figura 3a
FIG. 1: Capa dipolar.
1-a Encuentre la componente dominante del potencial
electrostático ϕ(r − r′ ), cuando |r − r′ | ≫ d(r′ ) .
1-b En el caso particular que las superficies son planas
y están uniformemente cargadas, que expresión toma la
componente dominante del potencial electrostático.
a)
b)
g -q
g
q,Α
h=?
ρ,r
FIG. 3: Fluido dieléctrico
d
q
45
FIG. 2: Reflejo de carga
[1] Explicité cada uno de sus supuestos.
ε
Si un extremo del tubo se coloca un condensador suficientemente grande de placas paralelas de carga q y área
A (cf. figura 3b). Encuentre la altura de desnivel de los
fluidos como consecuencia del condensador y comente la
relación entre la altura y constante dieléctrica del fluido
[1].
Control I
Electromagnetismo FI2002-2009-01
Prof. Marcel G. Clerc
Auxiliares: Daphnea Iturra & Alejandro Jara
Tiempo: 3:00 Hrs.
PACS numbers:
I.
II.
CABLE COAXIAL
Considere un cable coaxial infinito y rectilı́neo, el cual
esta compuesto por un cilindro central y diferentes casquetes cilı́ndricos, de radios R1 , R2 , R3 y R4 respectivamente, como se ilustra en la figura. Cada material
tiene respectivamente una densidad de carga volumétrica
ρ1 , ρ2 , ρ3 y ρ4 (Ver figura).
ÁTOMO
Un átomo esta caracterizado por tener una gran concentración de cargas positivas en un pequeño núcleo, el
cual esta rodeado por una nube de cargas negativas.
Si la densidad de cargas tiene una distribución radial–
esférica–de la forma
ρ(r) = Zeα
R1
e−αr
(1 − αr),
4πr
donde r es la coordenada radial, Z es el numero átomico,
e es la carga del electrón, y α es parámetro de apantallamiento. Encuentre el campo en todo el espacio.
R2
R3
R4
R1,ρ1=0
R4,ρ4
R2,ρ2
R3,ρ3=0
FIG. 1: Cable coaxial.
En el caso que el cilindro y segundo casquete cilı́drico
(de radio R3 ) tienen densidad de carga cero (ρ1 = ρ3 =
0), Encuentre el campo eléctrico en todo el espacio.
III.
OSCILACIÓN
Un anillo de radio R0 tiene una carga Q positiva, la
cual está distribuida de manera uniforme sobre el anillo,
como se ilustra en la figura.
Considere una carga puntual de carga negativa q (q <
0) y masa m, la cual es depositada en reposo sobre el
eje central del anillo cerca del centro representado por el
punto A, además la carga esta soldada a un resorte ideal
de constante élastica ko y largo natural cero con extremo
fijo en el punto A. Calcule la frecuencia de oscilación
partı́cula puntual q [1].
Q
R0
x
A
k0
q
FIG. 3: Anillos cargado
FIG. 2: representación de átomo
[1] Indicación Considere que la partı́cula se mueve sobre el eje
central del anillo.
B
EJERCICIO 13 & 14
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2009-01
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIARES: DAPHNEA ITURRA & ALEJANDRO JARA
TIEMPO: 60 MINUTOS
13-Interacción de dos cables infinitos: Considere dos cables paralelos separados por una distancia d, sobre los cuales circula una corriente I e I 0 , respectivamnte (ver figura 1a)
a)
I
I’
b)
d
Encuentre la fuerza por unidad de largo que un cable ejerce sobre el otro. Comente cual es la dependencia funcional de la fuerza como función de {I, I 0 , d} y si
esta es atractiva o repulsiva.
14-Bobina Helmholtz: Considere dos espiras circulares paralelas de radio R,
sobre la cual circula una corriente I (ver figura 1b).
A que distancia ”a” deben ser separadas las expiras para que el campo magnético
en el eje de simetrı́a de las espiras es lo más uniforme posible.
Dificultad 3.5 & 4.7 .
1
EJERCICIO 15
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2009-01
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIARES: DAPHNEA ITURRA & ALEJANDRO JARA
TIEMPO: 40 MINUTOS
Medio magnet́ico: Considere un alambre cilı́ndrico de radio transversal R y
largo infinito sobre el cual circula un flujo de corriente uniforme J (ver figura).
R
J
χ
Si el cable esta sumergido en un medio magnético uniforme e isótropo de suceptibilidad magnética χ. Encuentre la intensidad magnética en todo el espacio
~ Campo magnético (B),
~ la magnetización (M
~ ), corriente magnética inducida
(H),
(superficial y volumetrica) y la densidad inducida de monopolos (superficial y volumetrica).
Dificultad 2.9 .
1
EJERCICIO 12
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2009-01
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIARES: DAPHNEA ITURRA & ALEJANDRO JARA
TIEMPO: 30 MINUTOS
Cilindro cargado: Considere un casquete cilı́ndrico infinito de radio R0 , el cual
tiene una densidad de carga uniforme superficial σ
ω
B(r)?
σ
Si el casquete esta girado con velocidad angular ω, encuentre el campo magnético
en todo el espacio.
Dificultad 3.5 .
1
EJERCICIO 10 & 11
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2009-01
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIARES: DAPHNEA ITURRA & ALEJANDRO JARA
TIEMPO: 60 MINUTOS
10-fuerza de Lorenz : Considere una partı́cula puntual de masa m y carga q,
bajo la influencia de un campo magnético constante (ver figura A).
Si la partı́cula inicialmente tiene una velocidad ~v , encuentre explı́citamente la
trayectoria de la partı́cula.
a)
b)
J0
B(r)?
11-Cilindro conductor: considere un cilindro hueco conductor de espesor despreciable, radio R, sobre el cual fluye una corriente uniforme de flujo de carga
J~ = J0 ẑ (ver figura B).
Usando la ley de Biot-Savart, encuentre el campo magnético generado por esta
corriente al interior y exterior del cilı́ndro
Dificultad 4.0 & 4.7.
1
EJERCICIO 09
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2009-01
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIARES: DAPHNEA ITURRA & ALEJANDRO JARA
TIEMPO: 30 MINUTOS
Plano conductor : Considere un plano conductor de longitud L, ancho l y
resistividad η. Si sobre el plano conductor se establece una corriente estacionaria y
el potencial eléctrico satisface que en el segmento AB vale ϕ(AB) = 0 y en segmento
CD vale ϕ(CD) = ϕ0 .
D
A
L
l
C
B
Encuentre el campo eléctrico, el flujo de corriente y que valor debe tomar el
potencial en los otros segmentos 1.
Dificultad 4.0 .
1Explı́cite todos sus argumentos.
1
EJERCICIO 08
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2009-01
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIARES: DAPHNEA ITURRA & ALEJANDRO JARA
TIEMPO: 45 MINUTOS
Energı́a configuracional : Considere dos cilindros metálicos concéntricos de
radios R1 y R2 , respectivamente, y longitud L. Los cuales tienen densidad de carga
superficial σ1 y σ2 , respectivamente.
εο
ε
h
L
Figure 1. Condensador Variable
Si uno introduce un material dieléctrico de permeabilidad ε entre los cilindros,
el cual llena un porción de los cilindros de manera que la mitad de la sección
transversal esta llena y en la dirección vertical esta llena hasta una altura h menor
que L. Encuentre o estime la energı́a ”eléctrica” de este sistema.
Dificultad 4.3 .
1
EJERCICIO 07
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2009-01
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIARES: DAPHNEA ITURRA & ALEJANDRO JARA
TIEMPO: 45 MINUTOS
Susceptibilidad anisotrópica : Un modelo mecánico microscópico de un material anisotrópico es considerar que las cargas de los átomos están descrita por una
carga positiva y negativa e y −e respectivamente, donde la carga positiva y negativa
solo se puede mover en el eje horizontal y vertical, respectivamente. Además cada
carga esta conectada a un resorte de constante elstica K1 , K2 y largos naturales
ceros, ver figura
-e
E
K2
e
K1
Figure 1. Modelo mecánico de átomo anisotrópico
Si considera un gas de N átomos por unidad de volumen, encuentre la formula
para la susceptibilidad.
Dificultad 5.0 .
1
EJERCICIO 07
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2009-01
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIARES: DAPHNEA ITURRA & ALEJANDRO JARA
TIEMPO: 40 MINUTOS
Susceptibilidad anisotrópica : Un modelo mecánico microscópico de un material anisotrópico es considerar que las cargas de los átomos están descrita por una
carga positiva y negativa e y −e respectivamente, donde la carga positiva y negativa
solo se puede mover en el eje horizontal y vertical respectivamente. Además cada
carga esta conectada a un resorte de constante elstica K1 y K2 y largo natural cero,
ver figura
Encuentre la formula para la susceptibilidad.
Dificultad 3.0 .
1
EJERCICIO 05
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2009-01
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIARES: DAPHNEA ITURRA & ALEJANDRO JARA
TIEMPO: 45 MINUTOS
Espejismo: Un espejo esta compuesto por un pelı́cula delgada de un material
conductor, es decir por un plano conductor. Considere un espejo plano muy grande–
para efectos prácticos es un plano conductor infinito–en frente de una carga puntual
q a una distancia d (Ver figura)
q
d
E(r)
Encuentre el campo eléctrico en la zona donde esta la carga.
Dificultad 3.5 .
1
EJERCICIO 04
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2009-01
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIARES: DAPHNEA ITURRA & ALEJANDRO JARA
TIEMPO: 45 MINUTOS
Cable de tensión: Los cables de alta tensión tı́picamente están separados
por torres a distancias L del orden de los 400 metros a una altura h del orden
de 15 metros con respecto al piso, como consecuencia del campo gravitatorio los
cables se pandean (se curvan, ver figura). El radio de curvatura R0 de estas curvas
tı́picamente son del orden de un kilómetro
Si la torre sustenta dos cables paralelos separados por una distancia l = 3 metros
y cada cable tiene una densidad de carga σ y −σ, respectivamente. Describa la
forma que tiene el campo eléctrico y potential electrostático ϕ(r) generado por
estos cables en la superficie de la tierra
Dificultad 4.0 .
1
EJERCICIO 03
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2009-01
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIARES: DAPHNEA ITURRA & ALEJANDRO JARA
TIEMPO: 45 MINUTOS
Trayectoria: Considere dos planos infinitos–Π1 y Π2 –con densidad de carga σo ,
los cuales forman un ángulo α como se ilustra en la figura.
q
Π2
vo
α
Π1
Si una carga eléctrica de magnitud q situada a una distancia muy lejana h (cf.
Figura), es liberada con una velocidad vo vertical al plano Π1 , encuentre la trayectoria que describe esta partı́cula.
Dificultad 4.0 .
1
EJERCICIO 02
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2009-01
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIARES: DAPHNEA ITURRA & ALEJANDRO JARA
TIEMPO: 45 MINUTOS
Anillo misterioso Un anillo de radio R0 tiene una carga Q positiva, la cual
está distribuida de manera uniforme sobre el anillo, como se ilustra en la figura.
Q
R0
x
A
q
B
2-1 Calcular el campo eléctrico generado por el anillo sobre en el eje central de
este representado por segmento AB (ver figura).
2-2 Considere una carga puntual de carga negativa q (q < 0), la cual es depositada en reposo sobre el eje central del anillo cerca del centro representado por el
punto A. Describa el movimiento que exhibe la partı́cula puntual.
Dificultad 5.0 .
1
EJERCICIO 01
ELECTROMAGNETISMO FI2002-2009-01
PROF. MARCEL G. CLERC
AUXILIARES: DAPHNEA ITURRA & ALEJANDRO JARA
TIEMPO: 45 MINUTOS
Electroscopio Un modelo más realista de un electroscopio consiste en tres
conductores de masa m. Uno de estos conductores está adherido a una columna
aislante. Los otros dos conductores están conectados por una cuerda conductora
ideal de largo 2l (ver figura). Si al acercar una carga q, el conductor superior se
carga con carga −q, y los dos inferiores con carga q/2, formando un vértice de
ángulo 2θ como se ilustra en la figura.
-q
l
θ θ
q/2
l
q/2
m
m
Encuentre la relación explı́cita que determina cual es el ángulo θ como función
de la carga.
Dificultad 4.5 .
1