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MULTIPLICAR Y DIVIDIR RADICALES HETEROGÉNEOS
REDUCIR RADICALES A UN ÍNDICE COMÚN
Ejemplos
Recuerde
Dos o más radicales son homogéneos si
tienen el mismo índice.
1. Homogeneice los radicales 2 y 4 3 .
Solución
2 2
Se expresan los radicales en notación
de potencia.
1
2
1
4
3  34
MMC (2, 4) = 4
1
Se hacen homogéneas las fracciones
correspondientes a los exponentes.
2
22  2 4
1
34
2
2 4  4 22  4 4
Se escriben las expresiones
nuevamente en notación radical.
1
4
3  43
2. Homogeneice los radicales 6 2 , 4 3 y 5 .
Solución
1
6
Se expresan los radicales en notación
de potencia.
4
2  26
3 3
1
4
1
5  52
MMC (2, 4, 6) = 12
Se hacen homogéneas las fracciones
correspondientes a los exponentes.
1
2
2 6  212
1
4
3 3
3
12
1
6
5 2  512
2
12
22
12
33
12
56
212 
Se escriben las expresiones
nuevamente en notación radical.
3
312 
6
512 
3. Homogeneice los radicales
6
x2 ,
9
x5 y
3
x , con x  0 .
Solución
2
6
Se expresan los radicales en notación
de potencia.
x2  x 6
9
x x
3
x  x3
5
5
9
1
MMC (3, 6, 9) = 18
2
6
x 6  x 18
Se hacen homogéneas las fracciones
correspondientes a los exponentes.
5
10
x 9  x 18
1
3
x x
6
18
6
x 18  18 x 6
Se escriben las expresiones
nuevamente en notación radical.
10
x 18  18 x10
x
6
18
 18 x 6
4. Realice la operación 4 x  6 x , con x  0 .
Solución
MMC (4, 6) = 12
1
Se hacen homogéneos los radicales.
x  x 4  x 12  12 x 3
6
x  x 6  x 12  12 x 2
1
Se multiplican los radicales
homogéneos.
3
4
12
2
x3  12 x2  12 x3  x2  12 x5
5. Realice la operación  3 ab  3 a  26 b , con a  0 y b  0 .
Solución
MMC (2, 3, 6) = 6
Se hacen
homogéneos los
radicales.
3 ab  3  ab 
1
2
3
1
3
aa
2
6
3
 3  ab  6
a
 36  ab 
26 b
 6 a2
3
 36 a3b3
Se multiplican los
radicales
homogéneos.
36 a3b3  6 a2  26 b  3  2 6 a3b3  a2  b
 6 6 a5b4
6. Realice la operación 6 4  8 2 .
Solución
MMC (6, 8) = 24
6
8
4  6 22
Se hacen homogéneos los
radicales.
2
2
6
3
 2 24
8

 2 24

24
Se dividen los radicales
homogéneos.
24
1
2  28
28
28  24 23 
24
28  23

24
25

24
32
24
23
7. Realice la operación 2n4 m3  10 m3n , con m  0 y n  0 .
Solución
MMC (4, 10) = 20
10
3
Se hacen homogéneos los
radicales.
2n4 m3  2n  m4



 m3n
15
20
 2n  m
 2n20 m15
Se dividen los radicales
homogéneos.

m3n  m3n
2n20 m15  20 m6n2  2n20
 2n20
m15
m6n2
m9
n2

20

20
1
10
2
20
m n 
3
m6n2
2
Ejercicios
1. Homogeneice cada grupo de radicales.
3,
a)
6
b)
12
2
3
x5 ,
4
2m,
c)
d)
8
3
1
,
k
8
x2 ,
8
x5 , con x  0 .
m3 , 26 2m , con m  0 .
2
,
k3
1
, con k  0 .
k
2. Resuelva las siguientes operaciones:
a) 33 2  4 4
b)
3
2x  36 2x3 , con x  0 .
c)
6
ab  23 a2b  8 a5b7 , con a  0 y b  0 .
d) 83 4  26 2
e)  45 2a  210 2a , con a  0 .
Soluciones
1. Una manera de hacerlo es la siguiente:
a) 6 3,
8
2
5
12
Se expresan los radicales en notación
de potencia.
x 5  x 12
2
3
x2  x 3
5
8
x5  x 8
MMC (6, 8) = 24
Se hacen homogéneas las fracciones
correspondientes a los exponentes.
1
4
3 6  324
1
8
2 2
4
Se escriben las expresiones
nuevamente en notación radical.
b)
12
x5 ,
3
x2 ,
8
3
24
324 
24
34

24
81
3
224 
24
23

24
8
x5 , con x  0 .
1
Se expresan los radicales en notación
de potencia.
6
3  36
8
2  28
1
MMC (3, 8, 12) = 24
5
Se hacen homogéneas las fracciones
correspondientes a los exponentes.
2
16
x 3  x 24
x
5
8
10
24
x
15
24

24
x10
x 24 
24
x16
24
x15
x
Se escriben las expresiones
nuevamente en notación radical.
10
x 12  x 24
16
x
15
24

4
2m,
c)
m3 , 26 2m , con m  0 .
1
2m  2m2
3
Se expresan los radicales en notación de
potencia.
4
m3  m 4
1
26 2m  22m6
MMC (6, 8) = 12
1
6
2m2  2m12
Se hacen homogéneas las fracciones
correspondientes a los exponentes.
3
4
m m
9
12
1
2
22m6  22m12
6
2m12
 12 2m
6
 12 64m6
9
12
Se escriben las expresiones nuevamente en
notación radical.
m
 12 m9
2
2 2m12  212 2m
2
 212 4m2
d)
3
1
,
k
8
2
,
k3
1
, con k  0 .
k
3
Se expresan los radicales en
notación de potencia.
1 1

k  k 
2
 2 8
8
 3
3
k
k 
1
1  1 2

k  k 
MMC (3, 8, 2) = 24
1
Se hacen homogéneas las
fracciones correspondientes
a los exponentes.
1
1
3
8
 1  3  1  24
   
k 
k 
1
3
 2  8  2  24
 3  3
k 
k 
1
12
 1  2  1  24
   
k 
k 
1
k 
 
Se escriben las expresiones
nuevamente en notación
radical.
8
24
3
1
 24  
k 

24
12
 2  24
 k3  
 
8
1
k8
3
24

2
 k3 
 
24
8
k9
12
 1  24
k  
 
24
1
k 
 

24
1
k12
2. Una forma de realizar las operaciones es la siguiente:
a) 33 2  4 4
MMC (3, 4) = 12
3
3 2  32
Se homogeneizan los radicales.
1
3
4
4  4 22
2
4
12
 32
12
3 2
2
4

312 24  12 26  312 24  26
Se multiplican los radicales
homogéneos.
 312 210
 36 25
 36 32
2
4
6
12
12
26
b)
3
2x  36 2x3 , con x  0 .
MMC (3, 6) = 6
3
1
2x  2x 3
2
 2x  6
Se homogeneizan los radicales.

6
36 2x3
2x 
2
 6 4x2
6
Se multiplican los radicales
homogéneos.
c)
6
4x2  6 2x3  6 4x2  2x3
 6 8x5
ab  23 a2b  8 a5b7 , con a  0 y b  0 .
MMC (3, 6, 8) = 24
6
Se homogeneizan los
radicales.
4
   2  a b
 a b   a b  
23 a2b  2  a2b
8
Se multiplican los radicales
homogéneos.
1
ab  ab6  ab24  24 a4b 4
a5b 7
24
5
1
7 8
1
3
2
5
8
24
3
7 24
 224 a16 b 8
24
a15b 21
a4b4  224 a16b8  24 a15b21  224 a35b33
 2ab24 a11b9
d) 83 4  26 2
MMC (3, 6) = 6
8 3 4  8 3 22
2
Se homogeneizan los radicales.
 8  23
4
 8  26
26 2
 8 6 24
 8 6 16
8 6 16  2 6 2   8  2  6 16  2
Se dividen los radicales
homogéneos.
 4 6 8
 4 6 23
 4 2
e)  45 2a  210 2a , con a  0 .
MMC (5, 10) = 10
1
4 5 2a  4  2a5
Se homogeneizan los radicales.
2
 4  2a10
210 2a
 410 4a2
4 5 2a  210 2a  410 4a2  210 2a
Se dividen los radicales
homogéneos.
  4  2  10 4a2  2a
 210 2a