1. No category

PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
1. Un peso de 8 lb. está unido al extremo inferior de un resorte que
está suspendido del techo y se encuentra en reposo en su posición de
equilibrio. El resorte está estirado 0.4 pies. Después, el peso se desplaza
6 pulgadas hacia abajo de su posición de equilibrio y se suelta en t = 0.
La resistencia del medio en libras es numéricamente igual a 2 veces su
velocidad instantánea en pies por segundo.
a. Establecer la ecuación diferencial y las condiciones iniciales que
modelen el problema.
b. Determinar el desplazamiento resultante del peso como una función
del tiempo.
c. Expresar la solución en su forma alterna.
d. Determinar el quasi-perı́odo del movimiento.
1
1 00
x + 2x0 + 20x = 0, x(0) = , x0 (0) = 0,
4
2
√
cos 8t
−4t sen8t
(b) x = e (
+
), (c) x = 5/4 e−4t cos(8t − δ), con δ =
4
2
0.46, (d) π/4 (segundos),
Solución: (a)
2. Un peso de 8 lb. está unido al extremo inferior de un resorte que está
suspendido de un punto fijo. El peso se encuentra en reposo en su
posición de equilibrio y el resorte se ha estirado 6 pulgadas. Después,
el peso se desplaza 9 pulgadas hacia abajo de su posición de equilibrio y se suelta en t = 0. El medio ofrece una resistencia en libras
numéricamente igual a 4 veces su velocidad instantánea en pies por
segundo. Determinar el desplazamiento resultante como una función
del tiempo. En qué instante pasa por su posición de equilibrio? Qué
nombre recibe este tipo de movimiento?
Solución: x = (6t + 3/4)e−8t
3. Un peso de 6 lb. está unido al extremo inferior de un resorte que
está suspendido del techo. La constante del resorte es 27 libras/pie. El
peso se encuentra en reposo en su posición de equilibrio y, al empezar en
t = 0, se aplica al sistema una fuerza externa dada por F (t) = cos 20t.
Determinar el desplazamiento resultante como una función del tiempo,
suponiendo despreciable el amortiguamiento.
2
Solución: x(t) =
cos 12t cos 20t
−
48
48
4. Un peso de 10 lb. cuelga del extremo inferior de un resorte que está
suspendido del techo. La constante del resorte es 20 libras/pie. El
peso se encuentra en reposo en su posición de equilibrio y, al empezar
en t = 0, se aplica al sistema una fuerza externa dada por F (t) =
10 cos 8t. El medio ofrece una resistencia en libras numéricamente igual
a 5 veces su velocidad instantánea en pies por segundo. Determinar el
desplazamiento resultante como una función del tiempo.
sen8t
.
Solución: x(t) = −2te−8t +
4