1. No category

UDB Física
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
Cátedra FÍSICA I
Facultad Regional Rosario
CAPITULO 2: Movimiento en una dirección [S.Z.F.Y. 2]
Cinemática:
La Cinemática se ocupa de describir los movimientos de los cuerpos.
Más adelante estudiaremos Dinámica, que se ocupará de las causas que originan los movimientos.
Ambas, dinámica y cinemática forman parte de la Mecánica Clásica que es una de las áreas o partes que
conforman esta Ciencia.
Movimiento de una partícula
En muchas situaciones, cuando sólo se considera movimiento de traslación en el espacio, un objeto
puede ser tratado como una partícula.
Definimos:
Movimiento: cambio continuo de posición de un objeto; a lo largo del tiempo, con respecto a otro
cuerpo tomado como referencia.
Sistema de referencia: cuerpo o conjunto de cuerpos considerados fijos respecto de los cuáles se
determina el movimiento del cuerpo en estudio.
Partícula: cuerpo considerado puntual, cuyas dimensiones son despreciables con respecto a su
movimiento. Si el cuerpo sufre cambios internos no afecta al movimiento de todo el cuerpo en conjunto.
La partícula constituye un MODELO para poder estudiar los cuerpos (modelo de partícula).
Trayectoria: es la línea, curva o recta dibujada por la partícula en movimiento.
Posición: dar posición a un cuerpo es ubicarlo en un punto respecto del sistema de coordenadas.
La posición queda representada por el vector posición; con origen 0 y extremo en el punto p.
y
Vector Posición
Si por ejemplo llamamos con r al vector posición, podemos expresarlo en
función de sus coordenadas:
P1(x1,y1,z1)
r
r = x1 i + y1j + z1 k
x
Donde │r│ ó r es el módulo del vector posición
El movimiento de una partícula queda determinado si se conoce su posición
en función del tiempo.
Referencias: (Sistema de coordenadas cartesianas)
P1
r
P2
r1
Desplazamiento: cuando la partícula se mueve desde una posición 1 hasta una
2; su desplazamiento será
r2
x
r = r2 - r1
z
Velocidad media

La velocidad media de una partícula se define como la razón entre su desplazamiento r y el intervalo de
tiempo t en que se produce dicho desplazamiento:


r
vm 
t
Donde:


dirección de vm coincide con la dirección de r


sentido de vm coincide con el sentido de r (pues t  0 ); vm 


r r final  rinicial

Analizando la expresión v m 
t t final  t inicial
r
t
Unidades: m/s, km/h
1
MOVIMIENTO EN UNA DIRECCIÓN
Desplazamiento:
(delta) significa cambio de una cantidad, siempre valor final menos inicial.
Para un movimiento rectilíneo, podemos representarlo por ejemplo en el eje x, puede ser positivo o negativo:
Salida u origen
Posición to = 0
x1
x
P1
P2
x
x2
Figura 1
x = x2 - x1 >0
Salida u origen
Posición to = 0
x2
x
P2
x1
P1
x
Figura 2
x = x2 - x1 >0
Un automóvil va hacia adelante y en reversa a lo largo de una línea recta. Ya que se tiene interés solo en el
movimiento trasnacional del automóvil, se le representa como una partícula. Aquí se han usado tres exhibiciones
para la información del movimiento del automóvil. La tabla es una exposición tabular de la información.
Posición del automóvil en varios tiempos
Posición
A
B
C
D
E
F
x (m)
t (s)
0
10
20
30
40
50
x (m)
30
50
38
0
--40
-50
B
50
38
30
C
A
D
0
10
20
-40
-50
30
40
50
t(s)
E
F
Figura 3
Componente de la Velocidad media
Es la componente x del desplazamiento, x, dividida entre el intervalo de tiempo t en el que ocurre el
desplazamiento.
vx = x = x2 - x1
(no es un vector; es escalar)
t t2 - t1
Entre A y B:
vx = 50 m - 30 m = 2,0 m/s
10 s - 0
Entre E y F:
vx = -50 m - (-40 m )= -1,0 m/s
50 s - 40 s
Si la velocidad media del auto es positiva. Esto significa que, durante el intervalo, la coordenada x aumentó y el
auto se movió en la dirección +x
2
Si una partícula se mueve en la dirección x negativa durante un intervalo de tiempo, su velocidad media en ese
lapso es negativa.
Para el desplazamiento a lo largo del eje x, la velocidad media es igual a la pendiente de una línea que conecta
los puntos correspondientes en la gráfica posición-tiempo (Figura 3)
Distancia: la distancia recorrida es la longitud de la trayectoria.
Velocidad instantánea:
Es la velocidad de una partícula en cualquier instante de tiempo.
Si anotamos las velocidades que indica el
velocímetro de un vehículo en cada instante
durante todo el recorrido, y luego graficamos las
velocidades en función del tiempo, resulta la
gráfica siguiente:
Cada punto de la gráfica representa la velocidad
que en cada instante tiene el móvil.
La línea curva representa la velocidad instantánea
de la partícula y la línea recta horizontal
corresponde a su velocidad media.
Si en la gráfica tomamos intervalos de tiempo
cada vez más chicos veremos que los valores de
velocidad media se acercan a los de velocidad instantánea. Podemos decir que a medida que el intervalo de
tiempo tiende (se aproxima) a cero (es lo suficientemente pequeño) la velocidad media tiende a la velocidad
instantánea, en cada intervalo considerado.
La definición “rigurosa” de velocidad instantánea utiliza el concepto matemático de límite, todavía no estudiado.
Sin embargo, en nuestro caso, lo importante no es usar este concepto sino la comprensión de lo que acabamos
de analizar.



x d r
v  lím t 0 vm  lím t 0

t dt
La rapidez instantánea de una partícula se define como la magnitud del vector velocidad instantánea (nunca
negativa).
Analizamos la velocidad instantánea en la gráfica:
A
B
C
D
E
F
Pendiente positiva vx > 0
Pendiente nula vx = 0
Pendiente negativa vx < 0
Pendiente negativa vx < 0
Pendiente negativa vx < 0 y < que en E
Pendiente nula vx = 0
x (m)
B
50
38
30
C
A
D
A
B
C
D
E
F
Movimiento en la dirección +x
Instantáneamente en reposo
Movimiento en dirección -x
Movimiento en dirección -x
Movimiento en dirección -x
Instantáneamente en reposo
0
10
20
30
40
50
t(s)
E
-40
F
-50
x
PARTÍCULA CON VELOCIDAD CONSTANTE
MRU
Si consideramos una partícula desplazándose a
velocidad constante; su velocidad instantánea en
cualquier momento de un determinado intervalo
de tiempo, es igual a la velocidad promedio en
dicho intervalo: v x  v x
x
2
x2
x1
Ordenada
al origen x0
1
pendiente vx = x
t
t1
t2
t
t
3
x
 x  x  x0  v x .t
t
x  x0  v x .t
vx  vx 
Si x0 es la posición en t0=0 ; entonces: x  x0  v x .t
ACELERACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA
Aceleración: la aceleración describe el cambio de velocidad de la partícula; en magnitud o en dirección, o ambas.



Cuando la a // v (tienen la misma dirección), trazando v se estima la dirección de la aceleración media.
  

v v2  v1
amed 

t t 2  t1
En el límite, cuando el intervalo de tiempo es infinitamente pequeño, definimos a la aceleración instantánea:

v dv

; igual que el vector velocidad:
a  lim

t 0 t
dt



 dv x  dv y  dv z 
 d 2x  d 2 y  d 2z 

a
i
j
k ; o sea : a  a x i  a y j  a z k ; o bien: a  2 i  2 j  2 k
dt
dt
dt
dt
dt
dt
MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN CONSTANTE
pendiente ax = vx
vx
ax
t
vx
vx= ax . t
vx
vxo
1
ax1 = ax2
vxo
to
t
t
ax =
t
to
t1
t
t
vx
v v
= x - xo
t
t - to
vx = vxo + ax . t (solo para aceleración constante) (1º ecuación)
Podemos encontrar un valor de velocidad media en x (vxmed ) si la ax es constante y la velocidad cambia de modo
constante; siendo también el promedio entre la velocidad final y la inicial:
vx med = vx + vxo = vxo + ax .t +vxo = vxo + ½ ax . t (a)
2
2
También podemos pensar a la velocidad media como:
vx med = x - xo (b)
t
Igualando (a) y (b)
vxo + ½ . ax . t = x - xo
t
x = xo + vxo . t + ½ . ax . t2
(2º ecuación)
La gráfica correspondiente a la segunda ecuación es siempre una parábola
4
MOVIMIENTO EN EL CAMPO GRAVITATORIO
vy = voy + ay . t
[1]
2
y = voy . t + ½ . ay . t
[2]
Caída Libre:
vy = voy - g . t
y = voy . t - ½ . g . t2 [2]
y
[1]
voy = 0
De [2] Para to = 0
0 - yo = - ½ . g . t2
yo = ½ . g . t2
t2 = 2 . yo / g
0
ay = - g
yo
De [1]
V1y = - g . t
V1y = - g . 2 . yo / g
1
x
v1y
Cuerpo lanzado hacia arriba:
Calculo de la altura máxima:
Entre 0 y 1:
De [1]
0 = voy - g . t0-1
t0-1 = voy/ g
Reemplazando en [2]:
y1 - yo = voy. voy/ g - ½ . g . (voy/ g) 2
y1 = yo + voy2/ g - ½ . voy2/ g
y1 = yo + voy2
2.g
y
1
y1
ymáx= y1
v1y = 0
voy
yo
0
Calculo de la velocidad un instante antes de tocar el suelo
Entre 0 y 2:
De [2]:
0 - yo = voy. t0-2 - ½ . g . t0-22
½ . g . t0-22 - voy . t0-2 - yo = 0
2
x
v2y
De [1]:
v2y = voy - g . t0-2
2.24- Compara el tiempo de ascenso de un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba con el tiempo de descenso
en el movimiento de caída libre. ¿Son iguales la velocidad inicial del ascenso y la velocidad final del descenso?
CAIDA LIBRE
y = vo . t - ½ . g . t2
y - yo = - ½ . g . t2
- yo = - ½ . g . t2
t2 = 2. yo/ g
v1 = vo - g . t
v1 = - g . t → t = v1/g (1)
v1 = - g . [2. yo/ g ] ½ (2)
v1 = - [2. g . yo ]½ (3)
TIRO VERTICAL
y = vo . t - ½ . g . t2
y - yo = vo . t - ½ . g . t2
y = vo . t - ½ . g . t2 (4)
v1 = vo - g . t → t = vo/g (5)
Reemplazando (4) en (5)
y = vo . vo/g - ½ . g . (vo/g)2
y = vo2/g - ½ . vo2/g
y = ½ . vo2/g → vo = [2 . g . y]½ (6)
v1 = 0
y
1
-g
y
vo
0
x
Observando la (1) y la (5) vemos que el
tiempo de ascenso de un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba es igual al tiempo de descenso en el
movimiento de caída libre.
Observando la (3) y la (6) vemos que son iguales la velocidad inicial del ascenso y la velocidad final del descenso.
5