1. Educación

Facultad de Ingeniería - UNLP
VIBRACIONES – CURSO 2014
Trabajo Práctico 2
SISTEMAS DE 2 GRADO DE LIBERTAD
PRIMERA PARTE:
LAGRANGE
APLICACIÓN
DE
LAS
ECUACIONES
DE
Problema 1.
El sistema de la figura está
constituido por un cilindro circular de masa
m y radio r que rueda sin deslizar dentro de
la superficie circular de radio R, ubicada en
el móvil de masa M. Determinar las
ecuaciones diferenciales de movimiento del
sistema utilizando las coordenadas generalizadas que se indican.
Problema 2.
Un péndulo doble está unido a cuatro resortes de igual
constante de rigidez, como se indica en la figura. Utilizando como
coordenadas lagrangeanas los desplazamientos angulares de cada
péndulo, determinar las ecuaciones diferenciales del movimiento del
sistema.
Problema 3.
Las oscilaciones de baja frecuencia que constituyen el movimiento de ladeo de
un barco dependen de la posición del centro de presiones M en relación al centro de
gravedad G. El centro de
presiones M, localizado a
una distancia h desde G,
se determina por la
intersección de la recta
vertical central del barco
y la recta de acción de la
fuerza de flotación Fb.
Una cama ubicada en un
camarote se encuentra a
una distancia d2 desde la línea central del barco (figura b), montada sobre 4 resortes
idénticos de rigidez k, y con los siguientes parámetros:
W= 23 Kgf ; D1=1.82 m ; I=1.26 KgM/s2
Si X y θ son los desplazamientos absolutos vertical y angular de la cama y el
movimiento de ladeo del barco está caracterizado por ψ(t)=ψ0sen(ωt), determinar:
a) las ecuaciones diferenciales del movimiento de la cama
Página 1 de 5
Facultad de Ingeniería - UNLP
VIBRACIONES – CURSO 2014
Trabajo Práctico 2
SISTEMAS DE 2 GRADO DE LIBERTAD
b) la practicidad de intentar eliminar el 80% del movimiento oscilatorio de la cama
si la frecuencia del movimiento de ladeo es de 0.2 Hz.
Problema 4.
El puente grúa de puerto de la
figura transporta un contenedor de
masa m que pende de un cable de acero
de longitud l. La masa del puente es M
y la luz entre los apoyos es L. El viento,
debido
a
los
desprendimientos
vorticosos, genera una fuerza vertical
que puede considerarse armónica de la
forma F(t)=F0sen(ωt).
Modelando el puente como una
viga simplemente apoyada de acero de
sección constante y momento de inercia
J y el cable de sección transversal A,
escriba las ecuaciones diferenciales del
movimiento.
Problema 5.
Una varilla rígida de peso
despreciable y longitud 2L pivota en
su centro y está obligada a moverse
en el plano vertical por medio de
resortes y masas colocadas en sus
extremos, como se muestra en la
figura. Utilizando las coordenadas
lagrangeanas indicadas, determinar
las ecuaciones diferenciales del
movimiento del sistema.
Página 2 de 5
Facultad de Ingeniería - UNLP
VIBRACIONES – CURSO 2014
Trabajo Práctico 2
SISTEMAS DE 2 GRADO DE LIBERTAD
Problema 6.
Un cilindro de masa m y radio r rueda
sin deslizar sobre la plataforma de masa 2m.
Las coordenadas generalizadas x1 y x2 del
sistema
representan
los
desplazamientos
absolutos de la plataforma y del centro del
cilindro, respectivamente. Escribir la energía
cinética del sistema y determinar
a) Las
ecuaciones
diferenciales
de
movimiento.
b) Existencia de acoplamiento dinámico de las coordenadas.
SEGUNDA PARTE: FRECUENCIAS NATURALES Y MODOS DE
VIBRAR
Problema 7.
La esfera de masa m está ubicada en el extremo de
una viga cantilever que, a su vez, está fija a un carro de
masa 2m. Determine las pulsaciones naturales y los modos
de vibrar del sistema
generalizadas indicadas.
utilizando
las
coordenadas
Problema 8.
La siguiente figura representa el
modelo de un sismógrafo de tipo
horizontal diseñado por un ingeniero
conocido como Abdul Aziz. Los
parámetros físicos del sismógrafo son los
siguientes:





M=1kg
m=4kg
k= 10 N/m
L=1m
a=0,2m
Determinar las frecuencias naturales y los modos de vibrar del sistema. Asumir
pequeñas variaciones de θ.
Página 3 de 5
Facultad de Ingeniería - UNLP
VIBRACIONES – CURSO 2014
Trabajo Práctico 2
SISTEMAS DE 2 GRADO DE LIBERTAD
Problema 9.
Determinar las frecuencias naturales y los modos de vibrar del Renault 12
(figura). Modele el sistema sabiendo que el auto tiene una masa M y una longitud L.
Los constante de rigidez de 2
resortes es K (tanto para
adelante como para atrás).
Desprecie la contribución de
los
neumáticos.
Las
coordenadas
generalizadas
son el desplazamiento vertical del baricentro y el giro en torno del mismo.
Problema 10.
Determinar las pulsaciones
naturales y los modos de vibrar del
sistema mecánico indicado en la
figura, en el cual el resorte de
acoplamiento tiene una constante de restitución variable con el parámetro n. Graficar
las pulsaciones naturales halladas en función de n y las formas modales para un valor
de n=4.
Problema 11.
Se desea conocer los modos de vibrar y
las frecuencias de resonancia del motor mono
cilíndrico del Trabajo Práctico de sistemas de
1 grado de libertad, considerando en este caso
la elasticidad de la biela. Se asumirán
vibraciones libres
 2k=ke=constante elástica equivalente de
suspensión obtenida en el TP1
 kbiela= 2x108 N/m
 M= 90.6kg masa total del motor
 Mp= 2.26kg masa efectiva del pistón y la
porción de biela
 r= 76.2mm radio del cigüeñal
 L= 304.8mm longitud de la biela
 ω= 600rpm velocidad de rotación
Página 4 de 5
Facultad de Ingeniería - UNLP
VIBRACIONES – CURSO 2014
Trabajo Práctico 2
SISTEMAS DE 2 GRADO DE LIBERTAD
Problema 12.
Un cable de línea de alta tensión de
densidad
lineal
de
masa
1.5
kg/m,
está
suspendido en un vano largo. Se sujeta un
absorbedor al cable, cerca de la torre de
suspensión, de manera de reducir la vibración inducida por efecto del viento, el cual se
caracteriza por una oscilación vertical del cable. El absorbedor cuenta con dos masas de
5 kg sujetas a un tramo corto de cable flexible. La frecuencia natural propia del
absorbedor es de 15 Hz. Dado la gran longitud del vano, el cable está siempre excitado
a, o cerca de cierta frecuencia natural, que se puede aproximar por fn=75/L, en donde
L es la longitud entre torres en metros. Determine el rango de frecuencias para el cual
es efectivo el uso del absorbedor.
Problema 13.
Para el sistema de la figura, m1=90Kg y el peso del absorbedor
de vibraciones es m2=23Kg. Si la masa m1 es excitada por un
desbalanceo de 22Kgf.mm rotando a 1800rpm, determinar el valor de K2
que anula el desplazamiento de la masa m1. Determinar además el valor
de la amplitud de m2.
Problema 14.
Un rascacielos edificado en una
región sísmica cuenta con un
absorbedor de vibraciones pasivo. Un
absorbedor pasivo consta de un
sistema
masa-resorte-amortiguador
sintonizado de manera tal que sean
minimizados los desplazamientos en la
cima del edificio. En la imagen se
muestra un sismograma de un evento
sísmico registrado en las costas de
Estambul, Turquía. Tomando el
sismograma como parámetro de diseño,
proponga los valores de masa, rigidez
y amortiguamiento para lograr una
atenuación de 80% del desplazamiento
en el extremo del rascacielos.
Página 5 de 5