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POTENCIAS
Repasamos el concepto de potencia.
Potenciación: Consiste en multiplicar un número por sí mismo varias veces.
3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 35
ab = a · a · a · …· a (b veces)
ab
base
exponente
Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados; las de exponente 3 se llaman cubos.
El resultado de una potencia al cuadrado se llama cuadrado perfecto.
1, 4, 9, 16 son los primeros cuadrados perfectos.
Operaciones con potencias.
Producto de potencias de igual base
34 · 35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 ·3 · 3 · 3 = 34+5 = 39
n
m
m+n
a ·a =a
Para multiplicar potencias de igual base,
dejamos la misma base y sumamos los
exponentes
Cociente de potencias de igual base
3 3
Para dividir potencias de igual base, dejamos la
misma base y ponemos como exponente el del
numerador menos el del denominador.
Ten en cuenta:
3
3 3 3 3 3 3
3
3
33333
Toda potencia de exponente 1 es
igual a la base
3 1
Toda potencia de exponente 0
es igual a 1
Ejercicios
a. 23 · 22 · 2 =
b. 53 : 5 =
c.
Potencia de una potencia
5 53 · 53 = 53 · 2 = 56
Dejamos la misma base y
multiplicamos los
exponentes
Ejercicios
d. 4
e. 6 Potencia de un producto
(2 · 3)4 = 2 · 3 · 2 · 3 · 2 · 3 · 2 · 3 =24 · 34
La potencia de un producto es igual al
producto de las potencias
Ejercicios
f. (3 · 5 · 7)3 =
g. Simplifica:
(Ayuda: descompón las bases en factores primos, para que aparexcan potencias
de la misma base)
2 6 7 25
3 8 35
Todo lo visto es válido para potencias con base positiva. En caso de base negativa,
conviene considerar lo siguiente:
(-3)2 = (-3) · (-3) = 9 = 32
# $% &$ '(
El resultado de una potencia de
base negativa y exponente par es
positivo
(-3)5 = (-3) · (-3) · (-3) · (-3) · (-3) = -243 = -35
# # $% &$ %'(
El resultado de una potencia de
base negativa y exponente impar
es negativo
Potencias de base racional y exponente natural
Hemos repasado la potenciación empleando base entera. Lo específico de este curso es
el manejo de potencias de base racional (fracciones), con las que se opera de forma
semejante.
Cómo se eleva una fracción a una potencia
!" )
! " )
)
Producto de potencias de igual base
*
! " ! " ! "
Cociente de potencias de igual base
! " :! " ! "
Potencia de una potencia
,! " - ! "
Potencia de un producto
) ) ! " ! " ! "
0
0
Potencias de exponente 1 y 0
! " ! " Ejercicios
h. ! " ! " i. !" j. !." : !." Potencias de base racional y exponente entero
¿Qué ocurre cuando tenemos una potencia de exponente negativo? Veamos primero un
ejemplo con base entera.
3 : 3
3
3 ¿Qué significa 3-4?
3 3 3 1; si
3 3 1 entonces
3 Es decir,
1
3
1 4 14
1 3 4 2
2
En general, para potencias de base racional,
2 4
5 4
! " 1 3
5
2
Si cambiamos el exponente por su opuesto y la base
por su inverso, el resultado es el mismo
Ejercicios
Expresa como potencia de exponente positivo:
k. 3-4 =
l. (1/3)-2
m. (3/5)-1
n. (2/7)-3
En las operaciones con potencias de exponente entero procederemos igual que con las
potencias de exponente natural, aplicando correctamente las reglas de los signos.
Ejercicios
o
p
q
r
s
t
2 2 1 3 1 3 7
7
2 2 1 3 1 3 7
7
2 2 1 3 1 3 7
7
#2 #2 1 3 1 3 5
5
3 3 1 3 :1 3 5
5
3 61 3 7
11
u
v
w
x
y
3 61 3 7
11
3 61 3 7 11
3 61 3 7 11
2 2 1# 3 1 3 9
9
3 2 1 3 7 5
Notación científica
En matemáticas y ciencias, a menudo se suelen manejar números muy grandes o muy pequeños. Una
forma de evitar manejar demasiados dígitos (normalmente tendríamos problemas con las
calculadoras para introducirlos) es utilizar la notación científica. Todo número en notación científica
siempre viene expresado de la misma forma:
Una parte entera que consta de una cifra distinta de cero, seguida de una coma y de cifras
decimales, multiplicado todo ello por una potencia de diez, con exponente positivo o negativo.
,
· 10
1. ¿Cómo pasar un número grande a notación científica?
a. Se pone como parte entera el primer dígito de la izquierda. Seguidamente se pone una coma y
varias cifras decimales con los siguientes dígitos.
b. Como exponente de la potencia de 10 se pone el número de cifras no decimales que tiene el
número menos una. Es decir, contamos cuantos lugares hemos movido la coma decimal hacia
la izquierda. Es un exponente positivo.
Ejemplo: Poner en notación científica el número 3 897 000 000 000 000
a.
3,897
Parte entera
Cifras decimales
b. Exponente de la potencia de diez: +15 (hay 16 dígitos no decimales, menos uno da quince)
El número en notación científica sería: 3,897·1015
2. ¿Cómo pasar un número pequeño a notación científica?
a. Se pone como parte entera el primer dígito distinto de cero que encontremos empezando por
izquierda. Seguidamente se pone una coma y los siguientes dígitos, si los hay, quedan como
cifras decimales.
b. Como exponente de la potencia de 10 se pone el número de cifras decimales que tiene el número
hasta la primera que sea distinta de cero (incluida). Es decir, contamos cuantos lugares hemos
movido la coma decimal hacia la derecha. Es un exponente negativo.
Ejemplo: Poner en notación científica el número 0,000 000 000 003 897
a.
Parte entera
3,897
Cifras decimales
b. Exponente de la potencia de diez: -12 (hay 12 dígitos decimales, hasta la cifra 3, incluyendo
dicha cifra)
El número en notación científica sería: 3,897·10-12
3. ¿Cómo pasar un número en notación científica con exponente positivo a forma decimal
(número “normal”)?
Se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como indica el exponente positivo de la potencia
de diez. Cuando las cifras se acaban se añaden ceros.
Ejemplo: Expresar en forma decimal el número 4,567·1012
Ponemos 4,567
Desplazamos la coma hacia la derecha 12 lugares (después de la cifra 7 se añaden los ceros
necesarios)
El número que queda es: 45 670 000 00 000
4. ¿Cómo pasar un número en notación científica con exponente negativo a forma decimal
(número “normal”)?
Se desplaza la coma hacia la izquierda tantos lugares como indica el exponente negativo de la
potencia de diez. Cuando las cifras se acaban se añaden ceros. Al final se pone delante de la coma un
cero.
Ejemplo: Poner el número que representa 4,567·10-12
Ponemos 4,567
Movemos la coma hacia la izquierda 12 lugares (después de la cifra 4 se añaden los ceros necesarios)
El número que queda es: 0,000 000 000 004 567.
Si todas las medidas de una misma magnitud están expresadas en notación científica, para
compararlas sólo deberemos ver el exponente de la potencia de diez. Ese exponente representa lo
que denominamos orden de magnitud.