CARTILLA DE ESTÁTICA SISTEMAS DE FUERZAS EN EL ESPACIO - APOYOS - REACCIONES 1_ La estructura tubular soldad está unida al plano horizontal xy mediante una rótula en A y se apoya en el anillo con holgura situado en B. El cable CD impide la rotación en torno a la recta AB cuando se aplica la carga de 500 Kg y la estructura es estable en la posición presentada. Despréciese el peso de la estructura frente a la carga aplicada y determínese la tensión T del cable, las reacciones en el anillo y las componentes de la reacción en A. El sistema es evidentemente tridimensional sin ejes ni planos de simetría, por lo que habrá que analizar el problema como uno de sistema general de fuerzas en el espacio. Se realiza primero el diagrama de cuerpo libre en el cual se ha representado la reacción del anillo en función de sus dos componentes. Sumando momentos respecto al eje AB puede eliminarse todas las incógnitas menos T. La dirección de AB está especificada por el vector unitario n = 1/5(3j + 4k). El momento de T respecto AB es la proyección sobre AB del momento respecto al punto A. Así pues , el momento de T respecto AB está dado por r1*F*n. Las expresiones vectoriales de T, F, r1 y r2 son: La ecuación de momento se convierte ahora en: Efectuando las operaciones se tiene: Las componentes de T son: Las incógnitas restantes se encuentran fácilmente por suma de momentos y suma de fuerzas, de la siguiente manera: Los signos negativos de las componentes de A indican que tienen sentidos contrarios a los elegidos como positivos. Para los alumnos: a) ¿Cuál es la ventaja del empleo de notación vectorial en este problema? b) ¿Cuántos grados de libertad tiene la estructura? c) ¿Qué tipo de apoyo tiene? ¿Cuántos grados de libertad restringen cada uno? d) Compara la respuesta de b y c y extraiga conclusiones. e) ¿Si en A estuviera empotrado, cuál sería la respuesta b, c y d? f) ¿Si no existiera el cable T, cuál sería la respuesta a b, c y d? g) ¿Cuál es el punto de aplicación de la reacción que genera T? ¿Qué módulo, dirección y sentido tiene? h) Si el sentido positivo del eje “z” es descendente, y no ascendente como fué planteado, ¿existe alguna modificación? Explique y detalle escribiéndolas. 2_ Se aplica una fuerza de 50Kg a la manivela del torno en la forma que se indica. El cojinete A soporta el empuje (fuerza en la dirección del eje del árbol) mientras que el cojinete B soporta solamente la carga radial (carga normal al eje del árbol). Determinar el peso P que puede soportarse y la fuerza radial total ejercida por cada cojinete sobre el árbol. El sistema es claramente tridimensional sin ejes ni planos de simetría, por lo que habrá que analizar el problema como el de un sistema general de fuerzas coplanarias. Para ilustrar este método utilizaremos una solución con escalares. El diagrama de cuerpo libre correspondiente al árbol, manivela y tambor considerados como constituyentes de un cuerpo único, se representa mediante sus tres proyecciones ortogonales. La fuerza aplicada de 50Kg se resuelve según sus tres componentes y en cada uno de estos esquemas pueden verse dos de estas componentes. Pueden verse los sentidos correctos de Ax y Bx si se observa que la resultante de las dos fuerzas de 17.7 Kg ejerce un momento de sentido opuesto al de las agujas del reloj respecto A. Los sentidos correctos de Ay y By no pueden determinarse hasta haber obtenido los módulos de los momentos, por lo que podrán asignarse arbitrariamente. La proyección xy de las fuerzas de los cojinetes se indica por una flecha ondulada por ser desconocida su dirección. La adición de Az y P completan los diagramas de cuerpo libre. Obsérvese que las tres secciones representan tres problemas bidimensionales relacionados por las correspondientes componentes de las fuerzas. De la proyección xy: De la proyección xz De la proyección yz da: Las fuerzas radiales totales sobre los cojinetes resultan ser: Para los alumnos: a) Para el caso general de un sólido rígido en el espacio los grados de libertad son . . . . . . . . . b) De ellos la mitad corresponden a . . . . . . . . . . . . . . . y la otra mitad a . . . . . . . . . . . . . . . . . c) Los . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . se miden respecto a los ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . d) Las . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . se miden respecto a los . . . . . . . . . . . . . xy, xz, y . . . . . . . e) Para el ejercicio anterior responda de acuerdo con los puntos a) y b) f) Para el ejercicio anterior responda de acuerdo con los puntos c) y d) g) ¿Qué sucede si la fuerza de 50 kg se aplica en la dirección z? Resuelva el planteo matemáticamente, y analice los resultados. h) ¿Qué sucede si al eje “x” lo cambiamos por el “z” y viceversa? ¿cambia algo? Si existieran cambio escríbalos. i) Si utilizáramos un sistema de ejes no ortogonales ¿el resultado diferiría? Escriba las ventajas y desventajas de estos dos sistemas de ejes.