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C U R S O : MATEMÁTICA
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 13
UNIDAD: GEOMETRÍA
CUADRILÁTEROS - POLÍGONOS
TRAPECIO
Trapecio es aquel cuadrilátero que tiene sólo un par de lados paralelos,
llamados bases.
DEFINICIÓN:
CLASIFICACIÓN:
Los trapecios se clasifican en trapecios escalenos y trapecios
isósceles. Los trapecios escalenos son aquellos que tienen los lados no
paralelos desiguales. Los trapecios isósceles son aquellos que tienen
los lados no paralelos iguales.
Trapecio Escaleno
Trapecio Escaleno Rectángulo
Trapecio Isósceles
PROPIEDADES:
P1:
En todos los trapecios, los ángulos colaterales internos entre las bases ( AB y DC ) son
suplementarios.
C
D
α + δ = 180º
γ
δ
P2:
En todo trapecio la mediana m es igual
m
F
G β + γ = 180º
a la semisuma de las bases
F y G puntos medios de los lados
β
α
AD y BC respectivamente
TRAPECIO ISÓSCELES
A
B
PROPIEDADES:
P.3.
P.4.
P.5.
Además de las propiedades generales de los trapecios,
tienen las siguientes propiedades: β
β
Diagonales congruentes.
Ángulos basales congruentes.
Ángulos opuestos suplementarios.
α
α
los isósceles
α
EJEMPLOS
1.
En el trapecio ABCD de la figura 1, AB // DC ,
Si el R ADC = 100º , entonces el R ABC mide
A)
B)
C)
D)
E)
2.
40º
50º
60º
70º
80º
En el trapecio ABCD de la figura 2,
ángulo ADC?
A)
B)
C)
D)
E)
AC es bisectriz del R DAB y AC = AB .
D
C
Fig. 1
B
A
AD = DC = CB y R ACB = 66º. ¿Cuánto mide el
D
38º
76º
104º
114º
142º
C
Fig. 2
A
B
TRAPEZOIDE
Trapezoide es aquel cuadrilátero que no tiene par de lados paralelos.
DEFINICIÓN:
CLASIFICACIÓN:
D
Los trapezoides se clasifican en asimétricos y simétricos.
C
C
A
TRAPEZOIDE
ASIMÉTRICO
B
D
AB ≅ AD y CD ≅ CB
B
A
TRAPEZOIDE
SIMÉTRICO (DELTOIDE)
PROPIEDADES DEL DELTOIDE
P1: Diagonales perpendiculares
a
a
b
b
P2: Diagonal mayor bisectriz
P3: Diagonal mayor simetral de la diagonal menor
a≠b
EJEMPLOS
1.
En la figura 1,
DEFG es un deltoide con GD = DE y GF = EF Si R FED = 130º
R GDE = 20º, entonces el ángulo FGE mide
F
A)
B)
C)
D)
E)
80º
75º
65º
55º
50º
y
E
G
Fig. 1
D
2.
En el deltoide ABCD de la figura 2, DC = BC y DA = BA . Si R ACB = 25º y R CBA = 115º,
C
¿cuánto mide el ángulo DAC?
A)
B)
C)
D)
E)
25º
32,5º
40º
65º
80º
B
D
Fig. 2
A
2
POLÍGONOS
DEFINICIÓN
Un polígono es una figura plana, cerrada, limitada por trazos llamados lados y que se intersectan
sólo en sus puntos extremos (no se cruzan).
Se clasifican en convexos y cóncavos.
POLÍGONO CONVEXO
DEFINICIÓN: Polígono convexo es aquel polígono que para todo par de puntos de su región
interior, el segmento que los une siempre está totalmente incluido en el interior del
polígono. De lo contrario se dice que el polígono es cóncavo.
PROPIEDADES: Todo polígono convexo de n
lados tiene las siguientes propiedades
generales:
P.1.
P.2.
P.3.
Suma de los ángulos interiores = 180º ⋅ (n - 2)
Suma de los ángulos exteriores = 360º
Diagonales que se pueden trazar desde un vértice = n - 3
n(n − 3)
Total de diagonales que se pueden trazar =
2
P.4.
EJEMPLOS
1.
¿Cuál de las siguientes figuras no es un polígono?
A)
2.
B)
C)
D)
E)
¿Cuál de los siguientes polígonos no es convexo?
A)
B)
C)
D)
E)
3. ¿Cuántos lados tiene un polígono, en el cual se pueden trazar 5 diagonales en total?
A)
B)
C)
D)
E)
5
6
8
9
10
3
POLÍGONOS REGULARES
POLÍGONO REGULAR
P2: α’ =
a
α
α
a
PROPIEDADES
(n − 2) 180º
P1: α =
n
α
a
Es aquel que tiene sus lados y sus ángulos
respectivamente congruentes. En caso contrario se dice que es
irregular.
DEFINICIÓN:
a
α
α
a
(n: número de lados)
α
360º
n
P3: A todo polígono regular se le puede circunscribir e inscribir
una circunferencia.
0
α’
EJEMPLOS
1.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Existe un polígono regular tal que la suma de sus ángulos interiores es 5.400º.
Existe un polígono regular donde cada ángulo exterior mide 25º.
Existe un polígono regular donde cada ángulo interior mide 170º.
Sólo I
Sólo III
Sólo I y II
Sólo I y III
I, II y III
¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo exterior mide 12º?
A)
B)
C)
D)
E)
12
15
30
36
40
4
EJERCICIOS
1.
¿Cuál de los siguientes polígonos es convexo?
A)
2.
A)
B)
C)
D)
E)
E)
Existe un polígono convexo cuya suma de ángulos interiores es 1.620º.
La suma de los ángulos exteriores de un pentágono es 360º.
Un pentadecágono (15 lados) tiene en total 90 diagonales.
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
I, II y III
3600º
3240º
3060º
2520º
2160º
El pentágono de la figura 1, es regular. Si α = 72º, entonces ¿cuánto mide β?
A)
B)
C)
D)
E)
5.
D)
Si desde un vértice cualquiera de un polígono convexo se pueden trazar 17 diagonales,
entonces la suma de los ángulos interiores de este polígono es igual a
A)
B)
C)
D)
E)
4.
C)
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
3.
B)
108º
72º
60º
54º
36º
β
α
Fig. 1
β
Fig. 2
Si el hexágono de la figura 2, es regular, entonces α + β =
A)
B)
C)
D)
E)
60º
75º
90º
120º
150º
α
5
6.
En el deltoide ABCD de la figura 3, AB = AD . R BAD = 50º y R ADC = 150º. Entonces,
Rx=
C
A)
B)
C)
D)
E)
85º
75º
65º
55º
45º
D
Fig. 3
x
B
A
7.
En el cuadrilátero ABCD de la figura 4, las diagonales AC y BD se intersectan en E. Si
R ADC ≠ R ABC, DB bisectriz de los ángulos en D y en B y AC ⊥ BD , entonces ¿cuál(es)
de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
8.
AE = EC y
DE = EB
C
AC bisectriz de los ángulos en A y en C.
Ninguna de ellas
Sólo I
Sólo II
Sólo I y II
Sólo I y III
A
E
Fig. 4
B
¿Cuántas diagonales se pueden trazar en un polígono de 14 lados?
A)
B)
C)
D)
E)
9.
D
AD = DC y AB = BC
154
98
84
77
11
¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo interior mide 144º?
A)
B)
C)
D)
E)
15
14
13
12
10
6
10.
En el pentágono regular ABCDE de la figura 5, α mide
A)
B)
C)
D)
E)
72º
54º
36º
30º
18º
D
α
E
C
Fig. 5
A
11.
En el trapecio ABCD de la figura 6,
R ABD =
A)
B)
C)
D)
E)
12.
A)
B)
C)
D)
E)
AB // DC .
Si AD = DC = CB y AC = BA ,
A
Fig. 6
B
AB // CD ,
AD = DC = CB y R ADC= 2 R ABC,
D
20º
22,5º
30º
40º
Faltan datos para determinarlo
C
Fig. 7
x
A
13.
entonces
C
D
36º
60º
64º
68º
72º
En el trapecio ABCD de la figura 7,
entonces el R CAB mide
B
En el trapecio ABCD de la figura 8, DC // AB , AB = AC y AD = DC .
entonces el R ADC en función de β es igual a
D
A)
4β - 540º
B)
4β - 180º
C)
2β - 180º
D)
540º - 4β
E)
180º - 4β
A
7
B
Si R ABC = β ,
C
Fig. 8
β
B
14.
15.
En el cuadrilátero ABCD (fig. 9) se puede determinar la medida del ángulo ACD si:
D
(1)
AD ⊥ DC y AB ⊥ BC
(2)
BC = CD = DA
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por si sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
A
C
Fig. 9
B
El hexágono de la figura 10, es regular. Se puede determinar la medida del ángulo PMQ si:
(1)
PM = MR
(2)
PQ = QM
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por si sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
R
M
Q
P
RESPUESTAS
Págs.
Ejemplos
1
2
3
4
CLAVES PÁG. 5
1
2
D
E
B
D
C
C
E
C
3
1.
2.
3.
4.
5.
A
8
D
E
B
E
C
6.
7.
8.
9.
10.
A
B
D
E
C
11.
12.
13.
14.
15.
A
C
B
C
D
Fig. 10