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UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
SEMILLERO DE MATEMÁTICAS NIVEL 11
TALLER No 11 PERMUTACIONES Y CRIPTOGRAFÍA
BIOGRAFÍA:
Daniel Bernoulli era hijo de Johann Bernoulli . Nació en Groninga. Su hermano mayor era
Nicolaus(II) Bernoulli y su tío era Jacob Bernoulli así que él nació en una familia de grandes
matemáticos pero también en una familia donde había rivalidad, celos y amargura.
Cuando Daniel tenia cinco años, la familia regresó a su ciudad nativa de Basilea y su hermano más
joven Johann(II) Bernoulli nació. Los tres hijos se iniciaron a estudiar matemáticas pero éste no era
lo que Johann Bernoulli queria para Daniel.
En Venecia Daniel estaba seriamente enfermo y no podía viajar a Padua a realizar sus estudios
médicos. Sin embargo, mientras que en Venecia él trabajó en matemáticas, su primer trabajo
matemático fue publicado en 1724 cuando, con ayuda de s de Goldbach, los ejercicios
matemáticos fue publicada. Esto consistía de cuatro porciones separadas que eran cuatro asuntos
que habían atraído su interés estando en Venecia.
La primera parte describió el juego del faro y es de poca importancia con excepción de demostrar
que Daniel aprendía sobre probabilidad en este tiempo. La segunda parte estaba en el flujo del
agua de un agujero en las teorías de un envase (que eran incorrectas). Daniel no había
solucionado el problema de la presión por este tiempo pero el trabajo demuestra otra vez que su
interés se movía en esta dirección. Su trabajo médico sobre el flujo de la sangre y de la presión
arterial también le dio un interés en el flujo fluido. La tercera parte de ejercicios matemáticos
estaba en la ecuación diferencial de Riccati mientras que la parte final estaba en una pregunta de
la geometría referente a las figuras limitadas por dos arcos de un círculo.
OBJETIVO GENERAL:
Promover en los alumnos el desarrollo del razonamiento lógico.
GLOSARIO: permutaciones, criptografía.
ELEMENTOS TEÓRICOS
1. Factorial n!
La expresión n! Se lee n factorial y representa el producto de los primeros n enteros positivos.
Definición 0! = 1
Ejemplos:
3! = 1×2×3=6
5! = 1×2×3×4×5=120
Los factoriales tiene múltiples aplicaciones, pero muy especialmente aparece en la teoría de la
probabilidad.
2. Permutaciones.
Una permutación es un arreglo ordenado de n objetos de tamaño r , donde r puede ser menor o
igual a n. Se denota por n pr ,
2
La permutación de r objetos, sin repetición, seleccionados de entre n objetos distintos. se calcula
con la expresión
__n!__
0< r <n
n pr =
(n-r)!
Si no se impone la restricción "sin repetición", y se piden arreglos con n objetos de tamaño r,
donde los r objetos pueden ser de la misma clase; en éste caso el cálculo del número de arreglos
se puede realizar con la expresión
n
pr = n r
Cuando se dan n objetos algunos de ellos, repetitivos, para realizar arreglos de tamaño r el cálculo
del número de arreglos se hace con la expresión
n
pr =
n!
, donde los ri representan los elementos de n que se
r1!r2 !r3 !.......nk !
repiten.
Cuando se tienen n objetos y todos intervienen en los arreglos, esto es, r = n, el número de
arreglos se realiza con la expresión n p n = n!
3
PERMUTACIONES
1. ¿Cuántas señales distintas pueden
hacerse con siete banderas izando tres a
cada vez?
A. 21
B. 210
C. 64
D. 343
B. 105
C. 120
D. 240
7. ¿Cuántos números de 3 cifras es posible
formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 6, 8,
9?
A. 120
B. 210
C. 343
D. 720
2. Con 10 jugadores de microfútbol. ¿De
cuántos modos se puede disponer un
equipo de 5 jugadores si el
centrodelantero y el portero han de ser
siempre los mismos?
A. 30.240
B. 150
C. 184
D. 336
8. ¿Cuántas palabras se pueden formar
con todas las letras de la palabra
MISSISSIPPI?
A. 56720
B. 14120
C. 34650
D. 98570
3. ¿Cuántos números de 4 cifras distintas
pueden formarse con los números 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?.
A. 6561
B. 3024
C. 360
D. 1256
9. Se ordenan en una fila 5 bolos rojas, 2
bolos blancas y 3 bolas azules. Si las
bolas de igual color no se distinguen
entre sí, ¿De cuántas formas posibles
pueden ordenarse?
A. 10!
B. 10! / 3!
C. 7! / 5!.2!
D. 10! / 5!.2!.3!
4. Con 9 jugadores de béisbol. ¿De
cuántos modos se puede descomponer
una novena si el pitcher y el catcher son
siempre los mismos?
A. 3270
B. 5040
C. 7940
D. 2360
5. ¿De cuántos modos puede colocarse en
un estante 5 libros?
A. 120
B. 5040
C. 140
D. 24
6. Un comité de 5 personas ha de repartir
los 5 puestos directivos de presidente,
vicepresidente, secretario, tesorero y
vocal. ¿De cuántas maneras es posible
hacerlo?
A. 24
Responder las preguntas 10 y 11 de acuerdo
con la siguiente información
Cuatro libros distintos de matemáticas, 6
diferentes de física y dos diferentes de
química se colocan en un estante. ¿De
cuántas formas distintas es posible
ordenarlos si…
10. ¿ Los libros de cada asignatura deben
estas todos juntos?
A. 120.540
B. 207.360
C. 264.320
D. 362.146
11. Solamente los libros de matemáticas
deben estar juntos
A. 4!.6!.2!.3!.
B. 9!
C. 9!.4!
D. 6!.3!
4
12. ¿Cuántos números mayores que 2.000 y
menores que 3.000 se pueden formar
con los números 2,3,5 y 6?
A. 6
B. 120
C. 720
D. 64
13. ¿De cuántos modos pueden
descomponerse 11 muchachos para
formar una rueda?
A. 11!
B. 11!.10!
C. 10!
D. 11! / 9!.2!
Responda las preguntas 14 a 16 de acuerdo
a la siguiente información
Cuatro parejas de casados compran 8
asientos en una fila para un concierto. ¿De
cuantas maneras diferentes se pueden
sentar?
14.
A.
B.
C.
D.
Sin restricciones
3.620
384
40.320
578
15.
A.
B.
C.
D.
¿Si cada pareja se sientan juntas?
240
384
720
3.620
16. ¿Si todos los hombres se sientan juntos
a la derecha de todas las mujeres?
A. 720
B. 576
C. 270
D. 3.620
Responder las preguntas 17 a 19 de acuerdo
con la siguiente información
¿Cuántos números de 3 dígitos se pueden
formar con los dígitos 0, 1,4,5,6,7 y 8?
17. ¿Si cada dígito se puede utilizar una
sola vez?
A.
B.
C.
D.
105
240
180
320
18. ¿Cuántos de esos números serán
impares?
A. 24
B. 75
C. 720
D. 126
19.
A.
B.
C.
D.
¿Cuántos serán mayores que 330?
180
120
245
105
20. El equipo de una universidad juega 12
partidos de fútbol en una temporada.
¿De cuántas formas puede terminar la
temporada con 7 partidos ganados, 3
perdidos y 2 empatados?
A. 7.920
B. 2.460
C. 5.380
D. 3.940
CRIPTOGRAFÍA
Un criptograma es un mensaje escrito
mediante un sistema cifrado o codificado.
Los sistemas mas usados son los alfabéticos
por medio de transposición o sustitución de
letras, y los códigos indescifrables si no se
posee la clave.
1. A continuación se da un mensaje oculto
en el siguiente código secreto
TVROALTVAEDRE
¿Qué dice el mensaje?
¿Cómo escribiría el siguiente mensaje
en el mismo código?
LAS NOCHES SON HERMOSAS
2. Usted recibe un mensaje que dice:
5
NOS VEMOS EN EL ESTADIO
¿Puede descubrir lo que dice el mensaje
Así se ve el mensaje en el código secreto
NMEA OOLD SSEI VESO ENT
Usted quiere contestar:
ENTENDIDO ALLÍ ESTARÉ
completo?
¿Cómo lo escribiría en el código secreto?
3. Aquí hay un código secreto y un
mensaje
.
.
.
A
B
C
J
K
L
D
E
F
M
N
O
G
H
I
P
Q
R
.
S
W
T
V
X
Y
U
Z
.
. .
.
.
.
.
.
WD GDRTD DM XBFR ZJRYD TD
SKRJW LDBLF TD MJW LFZSJW
TD ZFKC
5. Aquí hay un código secreto y un
mensaje:
A
D
G
B
E
H
C
F
I
.
¿Puede describir el mensaje?
¿Cómo transcribiría: ES UNA NOCHE
SOLEADA, empleando el mismo código?
4. A continuación se da un mensaje
secreto, lo único que se sabe es que una
de las palabras es CAMPOS
6. Descifrar el mensaje dado el siguiente
código secreto
A
B C D
E F G H
I
J
K L
3
6
8
4
2
M N O P
Q R
S T
U V W X
Y Z
9
5
7
1
¿Puede descifrar el mensaje?
¿Cómo escribiría en el mismo código:
TRATARÉ DE HACERLO?
7. Descifrar el mensaje dado en el siguiente
código
44
0
0
0
0
0
4
1
0
0
3
33
2
0
0
0
0
0
5
0
0
0
11
0
22
0
8. En la pagina siguiente puede observarse
una tabla en forma matricial, llamada
"VIGENERE" como puede verse, esta tabla
esta basada en la palabra CONQUISTA y en
las restantes letras del alfabeto, en orden. Si
6
se elige una palabra clave, fácilmente puede
crearse una palabra propia. Todo lo que se
necesita para codificar un mensaje es una
segunda palabra clave.
I y A: F
R y T: Y
A y O: K etc.
Obsérvese por ejemplo que para M y G, se
busco la M en la primera fila y la G en la
correspondiente columna y que el valor
correspondiente en la tabla fue R. De la
misma forma se encontraron las demás letras
del mensaje codificado.
Por ejemplo, su ponga que el mensaje es:
MIRA EN LAS CAJAS
Y que la palabra clave es GATO. Luego, se
tiene:
Por lo tanto, siguiendo el mismo
procedimiento, se llega a que el mensaje
codificado es:
RFYKOJOKSLDBUS
MIRA EN LAS CAJAS
GATO GA TOGA ATOGA
Se mira en la
corresponden a:
M y G: R
C
O
N
Q
U
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S
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A
B
D
E
F
G
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L
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X
W
V
R
P
M
a) este es un mensaje escrito con el mismo
código. ¿qué dice?
LKOQOXDSUJDWU
que
B
K
J
H
G
F
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I
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b) la siguiente es la respuesta al mensaje. Esta vez se emplea la clave FELIZ ¿Qué es lo que dice?
QBLBMYDCM
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