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GUIA DE MATERIA
ESTADISTICA Y PROBABILIDADES
Basado en Material de Preuniversitario Pedro de Valdivia (Por favor no
distribuir y mantener para el uso personal)
CLASE 1: RAZÓN Y PROPORCIÓN
RAZÓN
Es una comparación entre dos cantidades a través del cuociente. Se escribe a : b o
a
, se
b
lee “a es a b”; donde a se denomina antecedente y b consecuente.
a
= k, siendo k el valor de la
El valor de la razón es el cuociente entre las cantidades:
b
razón
EJEMPLOS:
1. ESCALAS DE MAPAS Y PLANOS
Planta Primer Piso
Facultad de Derecho U. de Chile
Escala 1:100
2.
Paula tiene 18 años y su hermana 6 años. ¿En qué razón están las edades de Paula y
su hermana?
A)
B)
C)
D)
E)
1:3
2: 3
3:1
3:2
2:1
1
PROPORCIÓN
c
a
=
o a : b = c : d y se lee
b
d
“a es a b como c es a d”, donde a y d son términos extremos; b y c son términos medios.
Es una igualdad de dos razones. Se escribe
TEOREMA FUNDAMENTAL: “En toda proporción el producto de los extremos es igual al
producto de los medios”.
a
c
=
 a  d=b  c
b
d
a=c·k
a
c
= , existe una constante k ≠ 0 tal que
OBSERVACIÓN: Dada la proporción
b
d
b=d·k
EJEMPLO:
3.
El trazo AB de la figura 1, mide 90 cm y está dividido interiormente por un punto P en
la razón 2 : 3. ¿Cuánto mide la mitad del segmento mayor?
A)
B)
C)
D)
E)
18
27
36
45
54
cm
cm
cm
cm
cm
A
P
B
fig. 1
SERIE DE RAZONES
Es la igualdad de más de dos razones.
La serie de razones
x
y
z
=
= , también se escribe como:
a
b
c
x:y:z=a:b:c
PROPIEDAD BÁSICA
Para la serie de razones:
y
z
x
=
=
= k, se cumple que: x = k · a;
a
b
c
EJEMPLO:
4.
Si a : b = 2 : 3
A)
B)
C)
D)
E)
2
4
6
4
6
:
:
:
:
:
y
b : c = 6 : 7, entonces a : b : c =
6:7
6:7
9 : 21
3:7
18 : 21
2
y = k · b;
z=k·c
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Dos variables x e y son directamente proporcionales si el cuociente entre sus valores
correspondientes es constante.
x1
x
x
x
= 2 = 3 = ... = n = k , siendo k constante
y1
y2
y3
yn
Así por ejemplo, la tabla muestra la elaboración de jugo de manzana, por cada 15 kg de
manzana se obtiene 9 litros de jugo.
Peso (kg)
5
10
15
x
Volumen (Lt)
3
6
9
y
Podemos observar que
5
x
=
3
y
Aumenta
Litros de jugo
En una proporción directa, si una
magnitud aumenta (disminuye) n veces,
la otra aumenta (disminuye) el mismo
número de veces
9
6
Dos
magnitudes
son
directamente
proporcionales si al representar los pares
de valores, los puntos se sitúan en una
recta que pasa por el origen.
3
0
10
5
15
Aumenta
kg. de
manzanas
PROPORCIONALIDAD INVERSA
Dos variables x e y son inversamente proporcionales cuando el producto entre las
cantidades correspondientes se mantiene constante.
x1 · y1 = x2 · y2 = x3 · y3 = … = xn · yn = k (k constante)
Así por ejemplo, la tabla de la figura 5 muestra las medidas posibles de los lados de un
rectángulo de área 24 cm2.
Ancho
12
11
2
3
4
6
x
Ancho
12
8
6
4
y
Disminuye
Largo
10
9
8
7
6
5
4
Podemos observar que x · y = 24
3
2
1
El gráfico de una proporcionalidad inversa
corresponde a una hipérbola equilátera.
1
2
3
4
Aumenta
3
6
8
Largo
PROPORCIONALIDAD COMPUESTA
La proporcionalidad compuesta es la combinación de proporcionalidades directas,
inversas o ambas.
Si la variable A es directamente proporcional a la variable B y a su vez inversamente
A· C
proporciona a la variable C, entonces
se mantiene constante, es decir:
B
A1 · C1
A · C2
= … = k, siendo k constante.
= 2
B1
B2
OBSERVACIÓN:
Si la variable A es directamente proporcional a la variable B y a su vez directamente
A
proporcional a la variable C, entonces
=k.
B·C
 Si la variable A es inversamente proporcional a la variable B y a su vez inversamente
proporcional a la variable C, entonces A · B · C se mantiene constante.

EJEMPLOS
5.
250 gramos de cierto alimento aporta 0,5 calorías. ¿Cuántas calorías aporta 4,5 kg del
mismo alimento?
A) 2,25
B) 7,5
C) 8
D) 9
E) 10
6.
En la hipérbola equilátera de la figura 2, los valores de C y B son respectivamente
y
A) 8 y 9
B) 6 y 12
C) 4 y 18
D) 12 y 6
E) 24 y 3
C
fig. 2
8
6
3
4
7.
B
8
16
x
En un taller se han fabricado 1.000 piezas, trabajando 8 horas diarias durante 6 días.
¿Cuántos días son necesarios para fabricar 2.000 piezas trabajando 12 horas diarias?
A) 2
B) 8
C) 12
D) 18
E) 24
4
CLASE 2: PORCENTAJES
TANTO POR CIENTO
El tanto por ciento es un caso particular de proporcionalidad directa en que uno de los
términos de la proporción es 100:
Q
P
=
C
100

Q=
P
·C
100
Q = P% · C
TANTOS POR CIENTOS NOTABLES EXPRESADOS EN FRACCIÓN Y EN NÚMERO DECIMAL
TANTO POR CIENTO
1% de C
5% de C
10% de C
12,5% de C
20% de C
25% de C
33
1
% de C
3
50% de C
66
2
% de C
3
75% de C
120% de C
FRACCIÓN
1
C
100
1
C
20
1
C
10
1
C
8
1
C
5
1
C
4
1
C
3
1
C
2
2
C
3
3
C
4
6
C
5
3
C
1
300% de C
DECIMAL
0,01 · C
0,05 · C
0,1 · C
0,125 · C
0,2 · C
0,25 · C
0, 3 · C
0,5 · C
0, 6 · C
0,75 · C
1,2 · C
3,0 · C
EJEMPLO:
8.
En una jaula hay 48 aves entre canarios y catitas. Si 12 son catitas, entonces ¿qué
porcentaje de las aves son canarios?
A)
B)
C)
D)
E)
20%
25%
33,3%
66,6%
75%
5
OPERACIONES CON TANTOS POR CIENTOS

Dos o más tantos por cientos de una misma cantidad se pueden sumar o restar.
a% de C  b% de C = (a  b)% de C

El tanto por ciento del tanto por ciento de una cantidad es igual al producto de los tantos
por cientos.
El a% del b% de C =
a
b
·
· C
100
100
VARIACIÓN PORCENTUAL

AUMENTO : Al aumentar una cantidad C en su P por ciento se obtiene:
P
·C
100
C’ = C +

DISMINUCIÓN : Al disminuir una cantidad C en su P por ciento se obtiene la
cantidad:
C’ = C –
P
·C
100
EJEMPLOS:
9.
El 20% de 60 más el 55% de 60 es
A)
B)
C)
D)
E)
35
36
45
55
78
10. Los pasajes en avión a Puerto Montt subieron de $100.000 a $125.000. ¿En
qué porcentaje se incrementó su valor?
A)
B)
C)
D)
E)
20%
22%
25%
35%
45%
6
INTERÉS SIMPLE
Una cantidad C crece a una tasa del i% por unidad de tiempo en un período de n unidades,
en un régimen de crecimiento simple, si el crecimiento en cada unidad de tiempo es fijo.
La cantidad final CF después de cumplido el período n está dada por:
CF = C +
ni
·C
100
Ganancia =
Ganancia = CF – C
n·i· C
100
INTERÉS COMPUESTO
Una cantidad C crece a una tasa del i% en cada periodo de tiempo y en un total de tiempo
de n períodos, en un régimen de crecimiento o interés compuesto, el aumento total será la
suma de los incrementos de cada período de tiempo y este crecimiento total se agrega a C.
La fórmula para calcular la cantidad final CF después de cumplido el período n es
i n

C F = C · 1 +
100 

Ganancia = CF – C
EJEMPLOS
11. Un capital de $ 500.000 se deposita en un banco que ofrece un 3% de interés mensual.
Al cabo de 9 meses, en un régimen de interés simple, ¿cuánto es el nuevo capital?
A)
B)
C)
D)
E)
$
$
$
$
$
535.000
545.000
590.000
630.000
635.000
. ¿Cuál es la ganancia obtenida al depositar $ 5.000.000 durante 2 años a un régimen de
interés compuesto en un banco que da un 5% anual?
A)
B)
C)
D)
E)
$
$
$
$
$
500.000
501.250
512.500
550.000
551.250
7
CLASE 3: ESTADÍSTICAS Y GRÁFICOS
ESTADÍSTICA
Es una rama de la matemática que comprende Métodos y Técnicas que se emplean en la
recolección, ordenamiento, resumen, análisis, interpretación y representación de conjuntos de
datos.
La estadística se divide en:
Estadística descriptiva o deductiva: se ocupa de la recolección organización y presentación
de los datos.
Estadística inductiva o inferencial: se ocupa de interpretar los datos recogidos y obtener
conclusiones a partir de ellos.
Población:
Es un conjunto cuyos elementos poseen alguna característica común que se
quiere estudiar. Las poblaciones pueden ser finitas o infinitas.
Muestra:
Es un subconjunto de la población,
aleatoria.
que debe ser representativa de ella y
Variables:
Cualitativas
Son aquellas variables que no se pueden medir numéricamente, están
relacionadas con características. Los valores que toma este tipo de variables
representan categorías o cualidades.
Las variables cualitativas pueden ser medidas en escala:

Nominal: son aquellas en las cuales las observaciones del atributo de la
variable son clasificadas en categorías, y no existe ordenación. Por
ejemplo: estado civil: casado, divorciado, viudo, soltero, etc.

Ordinal: son aquellas en las cuales existe una relación de orden intuitivo,
por ejemplo: nivel educacional (básico, medio, superior), situación
económica (baja, media, alta), etc.
Son aquellas variables en que cada observación es resultado de una medición
Variables:
Cuantitativas o un conteo y por lo tanto tiene un valor expresado por un número real, por
ejemplo: peso, temperatura, número de personas en una sala, etc.
Las variables cuantitativas pueden ser:

Discretas: Son resultado de un conteo, por lo tanto, toman sólo valores
enteros, por ejemplo: número de hijos, número de departamentos en un
edificio, etc.

Continuas: Son resultado de una medición, por lo tanto, son susceptibles
de tomar cualquier valor, por ejemplo: el peso, la estatura, etc.
EJEMPLO:
13. De las siguientes afirmaciones, es verdadero que
A)
B)
C)
D)
E)
Una muestra no debe ser representativa de la población.
El color de pelo es una variable cuantitativa.
La estadística no proporciona información para analizar.
El número de computadores en una biblioteca es una variable continua.
La distancia entre el preuniversitario y las casas de los estudiantes es una variable
continua.
8
PRESENTACIÓN DE DATOS
TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
Dato (o intervalo) (X): Información (Variable) que se está estudiando en la estadística.
Marca de clase (c): Se define como el promedio de los extremos de un intervalo.
Frecuencia (f): Número de veces que se repite un dato (también se le denomina frecuencia
absoluta).
Frecuencia Acumulada (fac): Es la que se obtiene sumando ordenadamente las frecuencias
absolutas, hasta la que ocupa la última posición.
Frecuencia Relativa (fr): Es el cuociente entre la frecuencia absoluta de uno de los valores
de la variable y el total de datos.
Frecuencia Relativa Porcentual (fr%): Corresponde a la frecuencia relativa expresada en
porcentaje. Es decir fr% = fr · 100
Frecuencia Relativa Acumulada (frac): Es la que se obtiene sumando ordenadamente la
frecuencia relativa hasta la que ocupa la última posición.
EJEMPLO:
. En la tabla adjunta, se observa la cantidad de títulos obtenidos por los alumnos de
)LORVRItD de la Universidad GH &KLOH. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
La cantidad de alumnos titulados en el año 1980 es superior que los titulados
en el año 1975.
Hasta el año 1985 se titularon 60 estudiantes.
En los años 1985 y 1990 se titularon la misma cantidad de alumnos.
Sólo I
Sólo II
Sólo I y II
Sólo II y III
I, II y III
Año
Hombres
Mujeres
1975
1980
1985
1990
8
12
10
18
9
8
13
5
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Las medidas de tendencia central, son parámetros que indican valores cuyo objetivo es
resumir la información para un conjunto de datos, es decir, son representantes de una
muestra.
Media Aritmética ( x )
Es el cuociente entre la suma de todos los datos y el número de datos. Si se tienen n datos;
x1, x2, x3, …, xn, su media aritmética es
x =
x1 + x2 + x3 + ... + xn
n
9
Media Aritmética para datos organizados en una tabla de frecuencias
Si los datos son; x1, x2, x3, … xn, y las frecuencias respectivas son f1, f2, f3, … fn, entonces la
media aritmética es
Dato
x1
x2
x3
.
xn
Frecuencia
fi
f2
f3
.
fn
xi · fciai
x1 · f1
x2 · f2
x3 · f3
.
xn · fn
x =
x1 · f1 + x2 · f2 + x 3 · f3 + ... + x n · fn
f1 + f2 + f3 + ... + fn
Media Aritmética para datos agrupados en intervalo
Si las marcas de clase son; c1, c2, c3, … cn, y las frecuencias de los intervalos respectivos son
f1, f2, f3, … fn, entonces la media aritmética es
x=
c1 · f1 + c2 · f2 + c3 · f3 + ... + cn · fn
f1 + f2 + f3 + ... + fn
MODA (Mo)
Es el dato que aparece con mayor frecuencia, es decir, el que más se repite dentro de una
muestra.
La muestra puede ser:
AMODAL: Si no hay un dato que tenga mayor frecuencia.
UNIMODAL: Si existe un solo dato que tenga mayor frecuencia.
BIMODAL (O POLIMODAL): Si existen dos (o más) datos que tienen la misma frecuencia.
MEDIANA (Me)
Es el dato que ocupa la posición central de una muestra ordenada y por lo tanto, la divide en
dos partes. Si la muestra tiene un número par de datos, la mediana es la media aritmética de
los dos términos centrales.
EJEMPLO:
15. Un dado ha sido lanzado 30 veces, obteniéndose los resultados que se muestran en la
siguiente tabla de frecuencias adjunta. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
La mediana es 3,5.
La moda es el número 5.
La diferencia positiva entre la moda y mediana es 2,5.
Sólo I
Sólo II
Sólo I y II
Sólo I y III
I, II y III
10
Número
1
2
3
4
5
6
frecuencia
4
5
6
3
7
5
MEDIDAS DE POSICIÓN (FRACTILES)
Los fractiles dividen a una muestra ordenada en forma creciente, en la forma más igualitaria
posible. Los principales fractiles son: deciles, cuartiles y percentiles.
DECILES (D): Los deciles de una distribución de datos numéricos corresponden a los 9 valores
que dividen a éstos en 10 partes iguales. El decil de orden K se denota por DK.
OBSERVACIÓN
El dato que ocupa el Decil k significa que supera el k% de las observaciones.
CUARTILES (Q): Los cuartiles corresponden a los 3 valores que dividen a la muestra en cuatro
partes iguales. Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, 50% y 75% de los
datos, respectivamente.
Recorrido intercuartílico: es la diferencia positiva entre el Q3 y Q1.
PERCENTILES (P): Los percentiles corresponden a los 99 valores que dividen a la muestra en
cien partes iguales. El percentil de orden K se denota por PK.
OBSERVACIÓN:
 El dato que ocupa el Percentil k significa que supera el k% de los datos.
 El percentil 50 equivale a la mediana.
EJEMPLO:
16. La tabla adjunta muestra el tiempo aproximado en horas dedicadas al estudio de un
grupo de estudiantes de un colegio. ¿A partir de qué percentil se encuentran los
estudiantes que le dedican 4 horas de estudio?
A)
B)
C)
D)
E)
Menos del 60
Entre 65 y 70
Entre 70 y 75
Entre 76 y 78
Más de 80
Horas de
estudio
Número de
estudiantes
1
2
3
4
120
145
135
100
GRÁFICO DE CAJA Y BIGOTES
El diagrama de caja es una representación gráfica basada en cuartiles, que ayuda a ilustrar
una muestra de datos. Para elaborar este gráfico, sólo se necesitan cinco datos: el valor
mínimo, el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil y el valor máximo de la muestra.
TIPOS DE MUESTRA
Muestra Simétrica: Los valores intercuartílicos están igualmente dispersos.
Valor
mínimo
Q1
Q2
11
Q3
Valor
máximo
Muestra Positivamente Asimétrica: Los valores más grandes se encuentran más dispersos
que los más pequeños.
Valor
mínimo
Q1
Q2
Q3
Valor
máximo
Muestra Negativamente Asimétrica: Los valores más pequeños se encuentran más
dispersos que los más grandes.
Valor
mínimo
Q1
Q2
Q3
Valor
máximo
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos.
Desviación estándar o típica es una medida de dispersión que indica cuánto tiende a
alejarse cada dato de la muestra, de la media aritmética de éstos.
La desviación estándar () se calcula mediante la siguiente fórmula:
=
(x1  x)2 + (x2  x)2 + ... + (xn  x)2
n
EJEMPLOS
17. A dos empresas distintas se les aplicó el mismo test de prevención de riesgos en iguales
condiciones y a la misma cantidad de empleados, obteniéndose las desviaciones estándar
que se muestran en la tabla adjunta. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
La empresa A es la más homogénea.
La empresa B es la más homogénea.
La empresa A presenta mayor dispersión en los resultados.
Sólo I
Sólo II
Sólo I y III
Sólo II y III
Ninguna de ellas
Empresa
Promedio
Desviación
Estándar
A
B
6,6
6,2
1
0,8
18. Si el promedio de dos números es 5 y su desviación estándar es 1, entonces, ¿cuáles son
los números?
A)
B)
C)
D)
E)
3
4
5
1
2
y
y
y
y
y
7
6
5
9
8
12
REPRESENTACIÓN GRÁFICA E INTERPRETACIÓN DE GRÁFICOS
A menudo, una representación gráfica de una distribución de frecuencias nos da una mejor
idea de un estudio estadístico que un cuadro con números. Existen distintos tipos de gráficos
en los que podemos presentar nuestros datos, algunos de los más utilizados son
GRÁFICO DE BARRAS
Utilizado en variables de tipo cualitativa y cuantitativa discreta, este gráfico consiste en una
serie de barras que indican a los datos, cuyas alturas representan la frecuencia absoluta de
éstos.
X
Dato 1
Dato 2
F
A
B
Dato 3
C
Dato 4
D
Dato 5
E
Frecuencia (f)
Gráfico de Barras
A
C
fig. 1
D
B
E
Dato 1
Dato 2
Dato 3
Dato 4
Dato 5
Dato (x)
GRÁFICO CIRCULAR
Al igual que el gráfico de barras, el gráfico circular es utilizado en variables de tipo cualitativa y
cuantitativa discreta. El gráfico consiste en un círculo dividido en secciones proporcionales al
tamaño de la muestra y la frecuencia de los datos, generalmente se utiliza para representar
frecuencias relativas.
Gráfico Circular
X
f
Fr
Dato 1
a
a%
Dato 2
b
b%
Dato 3
c
c%
Dato 4
d
d%
Dato 5
e
e%
Dato 5
Dato 4
Dato 1
Dato 3
Dato 2
fig. 2
Dato 5
f
x°
=
total
360°
Dato 4
Dato 1
f
fr
=
total
100%
Dato 3
13
Dato 2
HISTOGRAMA
Se utiliza para representar a los datos agrupados en intervalos. El histograma se elabora
representando a los datos en el eje horizontal y a las frecuencias en el eje vertical, y trazando
barras cuyas bases equivalen a los intervalos de clase, y cuyas alturas corresponden a las
frecuencias de clase.
d
C
f
Intervalo 1
Clase 1
a
Intervalo 2
Clase 2
b
Intervalo 3
Clase 3
c
Intervalo 4
Clase 4
d
b
Frecuencia
x
fig. 3
c
a
1
2
3
4
Intervalos
f
fr
=
total
100%
POLÍGONO DE FRECUENCIAS
Al igual que el histograma, este
confeccionarlo, se debe unir con
frecuencia de los intervalos. Para
intervalo de frecuencia cero, antes
gráfico se utiliza en datos agrupados en intervalos. Para
una recta los puntos donde se intersectan la clase y la
“anclar” el polígono al eje horizontal, se debe agregar un
del primer y después del último intervalo.
X
C
f
Intervalo 1
Clase 1
a
Intervalo 2
Clase 2
b
Intervalo 3
Clase 3
c
Intervalo 4
Clase 4
d
Polígono de frecuencias
Frecuencia (f)
6
a5
c4
fig. 4
d3
b2
1
0
Clase
Clase 1
Clase 2
Clase 3
14
Clase 4
Clase
Clase (c)
CLASE 4: COMBINATORIA
TÉCNICAS DE CONTEO
Principio Multiplicativo: Si un determinado suceso A puede ocurrir de a maneras diferentes y
otro suceso B, puede ocurrir de b maneras diferentes, entonces el suceso compuesto “A y B”
puede ocurrir de (a ∙ b) maneras diferentes. Este principio se puede aplicar también a más de
dos sucesos.
Principio Aditivo: Si un determinado suceso A puede ocurrir de a maneras diferentes y otro
suceso B, puede ocurrir de b maneras diferentes, entonces el suceso compuesto “A o B” puede
ocurrir de (a + b) maneras diferentes. Este principio se puede aplicar también a más de dos
sucesos.
FACTORIALES
Definición: Sea n un número natural, se llama factorial de n o n factorial, al producto de
los n primeros números naturales y se denota por n!.
Se define:


1! = 1
n! = n ∙ (n – 1)!
Se deduce de lo anterior, que
n! = n · (n – 1) · (n – 2) · … · 3 · 2 · 1
OBSERVACIÓN:
0! = 1
EJEMPLOS
19. Al lanzar un dado y una moneda, ¿cuántos resultados distintos se pueden obtener?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 12
E) 36
20. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) igual(es) a 4!?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2! ∙ 2!
1! + 1! + 1! + 1!
12 ∙ 2
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo II y III
Ninguna de ellas
15
PERMUTACIONES
Definición: Se denomina permutación, a cada una de las diferentes ordenaciones que se
pueden realizar con todos los elementos de un conjunto.
Permutación Simple o Lineal: Son las permutaciones que pueden hacerse con los
elementos de un conjunto, sin repetirlos.
P(n) = n!
Permutaciones con repetición: El número de permutaciones de n elementos, de los
cuales, k1 son iguales, k2 son iguales,…. kr son iguales, está dada por
Prep =
n!
k1! · k2! · ... k r!
Permutaciones circulares: El número de maneras diferentes en que se pueden ordenar n
elementos diferentes a lo largo de una circunferencia está dado por:
Pcircul = (n – 1)!
VARIACIONES O ARREGLOS
Definición: En un conjunto de n elementos, se denominan variaciones o arreglos a los
diferentes grupos o conjuntos que se pueden formar con sólo r elementos (r < n).
Variaciones sin repetición: Dado un conjunto de n elementos, la cantidad de conjuntos de
r elementos que se pueden obtener, sin repetir ninguno de ellos, está dada por (r < n):
Vnr =
n!
(n  r)!
Variaciones con repetición: Dado un conjunto de n elementos, la cantidad de conjuntos
de r elementos que se pueden obtener, en los cuales se puede repetir uno o más de ellos,
está dada por (r<n):
Vrn = nr
EJEMPLOS
21. ¿De cuántas maneras distintas se puede sentar una familia de 7 integrantes alrededor
de una mesa circular?
A) 3! + 4!
B) 3! ∙ 4!
C) 6!
D) 7!
E) 7! – 1!
22. En un campeonato de fútbol participan 8 equipos locales. ¿De cuántas maneras
distintas pueden ser ocupados los tres primeros lugares?
A)
6
B) 21
C) 56
D) 336
E) 512
16
COMBINACIONES
Son los diferentes grupos que se pueden formar con un total de n elementos de modo que
cada grupo tenga r elementos, no interesando el orden de estos.
El número de combinaciones de n elementos tomados de r en r está dado por la fórmula:
Cnr =
n!
(n  r)! · r!
CUADRO RESUMEN
¿Se pueden
repetir los
elementos?
Permutación
si
no
Prep =
n!
k1! · k2! · ... · kr!
P(n) = n!
si
si
¿Intervienen
todos los
elementos?
no
¿Importa
el orden?
Variación
no
¿Se pueden
repetir los
elementos?
Combinación
si
no
Vrn = nr
Vnr =
n!
(n  r)!
Cnr =
n!
(n  r)! · r!
EJEMPLOS
23. En un jardín infantil hay 5 cupos para 8 niños que postulan, ¿de cuántas formas se
puede ocupar esas vacantes?
A) 13
B) 40
C) 56
D) 168
E) 336
24. Una señora tiene 9 amigos de confianza, ¿de cuántas maneras puede invitar a comer a
5 de sus amigos?
A)
5!
B)
9!
C) 45
D) 105
E) 126
14
CLASE 5: PROBABILIDADES
NOCIONES ELEMENTALES
Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo, bajo las mismas condiciones, un
número indefinido de veces.
Experimento aleatorio: Experimento cuyo resultado no se puede predecir, existiendo un
conjunto de resultados posibles (espacio muestral).
Evento (o suceso): Es un resultado particular del espacio muestral.
Evento cierto: Es el propio espacio muestral.
Evento imposible: Es aquel que no tiene elementos, es decir, el subconjunto vacío del
espacio muestral.
Eventos mutuamente excluyentes: Son aquellos eventos donde la ocurrencia de uno de
ellos impide la ocurrencia del otro.
Eventos complementarios: son aquellos que no tienen elementos comunes pero juntos
completan el espacio muestral.
PROBABILIDAD CLÁSICA
La probabilidad de un suceso A se obtiene como la razón entre el número de casos favorables
al evento A y el número total de casos posibles.
P(A) =
Número de casos favorables (A)
Número total de casos
OBSERVACIONES:

La probabilidad de que un suceso A no ocurra es igual a uno menos la probabilidad de que
ocurra.

0  P(A)  1
P(A’) = 1 – P(A)
o bien
A’ = A no ocurre
0%  P(A)  100%
EJEMPLO:
25. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener una suma igual a 7?
A)
B)
C)
D)
E)
1
18
1
12
1
6
11
36
1
3
TRIÁNGULO DE PASCAL
Representa una regularidad numérica que se ilustra en la siguiente figura:
1
1
1
1
2
1
1
3
4
1
1
3
1
6
5
4
10
1
10
5
1
Se pueden observar algunas regularidades y estas son:
Los coeficientes primero y último de cada fila son siempre 1.
Cualquier otro coeficiente de una fila se obtiene como la suma de los dos valores que
están justo arriba en la fila anterior.
 Si se suman los números de cada fila el resultado es siempre una potencia de 2.
 Existe una simetría en cada fila respecto a su centro.


El triángulo de Pascal también se utiliza en experimentos aleatorios que
tengan dos sucesos equiprobables de ocurrencia, como por ejemplo: lanzar una moneda,
el sexo de una persona, respuestas de preguntas del tipo verdadero o falso, etc.
OBSERVACIÓN:
EJEMPLO CON LANZAMIENTO DE MONEDA
Al lanzar una moneda cuatro veces (o lanzar 4 monedas a la vez) se obtienen 16 resultados
posibles, que al determinarlos a través del triángulo de Pascal son:
1
1
1
1
3
4
1
2
1
3
6
1
Cero lanzamiento 20
Un lanzamiento 21
Dos lanzamientos 22
Tres lanzamientos 23
Cuatro lanzamientos 24
1
4
1
Esta situación se grafica de la siguiente manera
1
1C
4
1C
3
1C2
3
4C S
1C
2
1S
2CS
3C S
2
6C S
2
3CS
2
1S2
4CS
3
1S3
1S4
CCCS
OBSERVACIÓN:
4C3S significa
CCSC
CSCC
SCCC
O sea, 4C3S indica que hay cuatro casos favorables para obtener 3 caras y 1 sello.
PROBABILIDADES DE EVENTOS
Si A y B son dos sucesos no excluyentes (pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la
probabilidad de que ocurran A o B o ambos está dada por:

P(A o B) = P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
Si A y B son dos sucesos excluyentes (no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la
probabilidad de que ocurra A o B está dada por:

P(A o B) = P(A  B) = P(A) + P(B)
Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia o no
ocurrencia de uno no influye sobre la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro.

P(A y B) = P(A  B) = P(A) · P(B)

Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. La probabilidad condicional de
A, dado B, se calcula como la probabilidad del suceso A, bajo la condición de que el suceso
B ha ocurrido.
P(A/B) =
P(A  B)
P(B)
EJEMPLOS:
26. En un curso se formaron tres grupos
para preparar un trabajo sobre la vida
y obra de: Pitágoras, Euclides y
Descartes como se muestra en la
siguiente tabla:
Grupo
1
2
3
Tema
Pitágoras
Euclides
Descartes
Damas
5
4
4
A)
B)
C)
D)
E)
Al lanzar tres dados, si la suma de los
puntos obtenidos es 4, entonces ¿cuál
es la probabilidad que aparezca un dos?
A)
Varones
3
4
6
La profesora elige al azar a un sólo
integrante de cada grupo para que exponga
el tema. ¿Cuál es la probabilidad de que en
los tres grupos la representante sea una
dama?
1
2
9
16
5
26
1
27.
B)
28.
C)
D)
E)
1
36
1
2
1
En una urna hay 20 fichas numeradas del
1 al 20. Si se saca una al azar, ¿cuál es
la probabilidad que sea número par o
múltiplo de 3?
A)
24
1
8
3
216
1
216
B)
16
20
19
20
3
20
13
D)
20
3
E)
10
C)
DEFINICIONES
Una variable es una cantidad o magnitud que no es constante, que es susceptible de variar.
Una variable aleatoria es una variable cuyos valores son determinados por el resultado de
un experimento aleatorio.
Una variable aleatoria X está determinada si se conoce:


Los valores que toma: x1, x2, x3, ... xk
La probabilidad con que toma cada uno de esos valores:
p1 + p2 + p3 + ... + pk = 1
p 1,
p2,
p3, ... Pk
donde
Con todo lo anterior se dice que se tiene definida una distribución de probabilidad.
El gráfico que representa las probabilidades de cada uno de los valores de la variable aleatoria
se denomina ley de probabilidad de la variable aleatoria.
EJEMPLOS
29. ¿Cuál de los siguientes enunciados define una variable aleatoria?
A)
B)
C)
D)
E)
El número accidentes automovilísticos que hay por día en la ciudad de Puerto Montt.
El número de autos blancos estacionados frente al preuniversitario.
El tiempo empleado en responder esta pregunta.
El número de varones de una familia con cinco hijos.
Todas las anteriores.
30. ¿Cuál(es) de los siguientes enunciados no define una variable aleatoria?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Soltar una piedra.
Las horas de duración de una pila.
El número de departamentos de un edificio.
Sólo I
Sólo I y II
Sólo I y III
Sólo II y III
I, II y III
CLASE 6: DATOS Y AZAR
RANGO
Rango o recorrido es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos.
DESVIACIÓN ESTÁNDAR o TÍPICA
Es una medida de dispersión y nos indica cuánto tienden a alejarse los datos del promedio
aritmético.
Para calcular la desviación estándar ( ) se utiliza la siguiente fórmula:
Para datos no agrupados
=
Para datos agrupados
en tablas de frecuencia
=
(x1  x)2 + (x2  x)2 + ... + (xn  x)2
n
f1 · (x1  x)2 +f2 · (x2  x)2 + ... + fn · (x n  x)2
f1 + f2 + f3 + ..... + fn
Donde xi : marca de clase
fi : frecuencia
OBSERVACIÓN:
Al trabajar con datos agrupados en intervalos se utiliza la marca de clase de cada uno de ellos,
en lugar de xi.
PROPIEDADES
Sea x una variable aleatoria y k un número real
1)  (x)  0
2)  (k) = 0
3)  (x + k) =  (x)
4)  (kx) = k·  (x)
EJEMPLO:
31. Con respecto a la tabla de frecuencias adjunta, ¿cuál(es) de la siguientes proposiciones
es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
El promedio es 6.
El total de datos es 5.
La desviación estándar es
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
12,8 .
Edad (años)
Nº de niños
[0 – 4[
[4 – 8[
[8 – 12[
2
1
2
VARIANZA
Es otra medida de dispersión que corresponde al cuadrado de la desviación estándar.
Var(x) = 2 =
Para datos agrupados
en tablas de frecuencia
(x1  x)2 + (x2  x)2 + ... + (xn  x)2
n
Var(x) = 2 =
f1 (x1  x)2 + f2 (x2  x)2 + ... + fn (xn  x)2
f1 + f2 + f3 + ... + fn
Donde xi : variable
fi : frecuencia
OBSERVACIÓN:
1. El valor de la varianza es siempre un número no negativo
2. Al trabajar con datos agrupados en intervalos se utiliza la marca de clase de cada uno de
ellos, en lugar de xi.
PROPIEDADES DE LA VARIANZA
Sea x una variable aleatoria y k un número real
1) Var (x)  0
2) Var (k) = 0
3) Var (x + k) = Var (x)
4) Var (kx) = k2 · Var(x)
EJEMPLO:
32. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
La varianza puede ser igual a la desviación estándar.
Si sumamos a todos los valores de la variable una constante, la varianza no
cambia.
La varianza es la raíz cuadrada de la desviación estándar.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
I, II y III
33. En una muestra de 10 datos se obtiene una desviación estándar igual a 1,5. Si a cada
elemento de la muestra se agregan 10 unidades, entonces, la nueva desviación estándar
y varianza son, respectivamente
Desv. Est.
A)
B)
C)
D)
E)
101,5
101,5
11,5
1,5
1,5
Varianza
102,25
12,25
12,25
102,25
2,25
VARIABLES ALEATORIAS
Se llama VARIABLE ALEATORIA a toda función que asocia un número real a cada elemento del
espacio muestral de un experimento aleatorio.
OBSERVACIÓN:
Se simbolizan con letras mayúsculas, por ejemplo: X ; Y ; Z ;…
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS (VAD)
Son aquellas que pueden tomar una cantidad finita de valores o una cantidad infinita
numerable de valores.
Ejemplos: Suma de puntos en el lanzamiento de dos dados, las preguntas correctas en una
prueba, números de hijos de una familia etc.
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (VAC)
Son aquellas que pueden tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo en los
números reales.
Ejemplos: peso de los alumnos de un curso, tiempo de funcionamiento de un dispositivo
electrónico, cantidad de agua consumida en mes por una familia, etc.
EJEMPLO:
Se define la variable aleatoria X como el número de hijos varones que puede tener un
matrimonio que tiene tres hijos. La tabla muestra los posibles resultados, representando con
m a las hijas y con v a los hijos, y los valores de la variable X:
Resultados posibles
(m,m,m)
(v,m,m);(m,v,m);(m,m,v)
(v,v,m);(v,m,v);(m,v,v)
(v,v,v)
Valores de X
0
1
2
3
EJEMPLO:
34. Se lanza dos veces un dado y se define la variable aleatoria X, como el valor absoluto de
la diferencia de los puntos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
X es una variable aleatoria discreta.
El recorrido de la variable tiene 6 elementos.
El conjunto de valores posibles de variable aleatoria X son {0,1,2,3,4,5}.
Solo I
Solo III
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
FUNCIÓN
DE
PROBABILIDAD
Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta “X” a la aplicación que
asocia a cada valor de xi de la variable su probabilidad pi.
Se denota por f(x) = P(X = xi)
PROPIEDADES
1. 0  f(xi)  1
2. f(x1) + f(x2) + … + f(xn) = 1
EJEMPLO
Definida la variable X como el número de hijos varones que puede tener un matrimonio que
con tres hijos. La tabla muestra la probabilidad para los diferentes valores de X:
Resultados
Valores de X
(m,m,m)
(v,m,m);(m,v,m);(m,m,v)
(v,v,m);(v,m,v);(m,v,v)
(v,v,v)
0
1
2
3
f(xi) = P(X = xi)
1/8
3/8
3/8
1/8
Función de probabilidad
f(x)
3
8
f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4) = 1
1
3
3
1
+
+
+
=1
8
8
8
8
1
8
0
1
2
3
Valores v.a.
EJEMPLO
35. Una bolsa contiene 4 cubos azules y 3 verdes, el experimento consiste en sacar dos
cubos uno tras otro sin reposición. Si se define la variable aleatoria X: número de cubos
azules obtenidos, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Los valores de la variable aleatoria son {0, 1, 2}
El máximo de cubos azules que se pueden obtener en el experimento es
cuatro.
4
P(1) =
7
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
Solo I y III
I , II y III
CLASE 7: DISTRIBUCIÓN
FUNCIÓN
DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
La función de distribución de probabilidad F(x) asocia a cada valor de x la probabilidad
acumulada, es decir F(x) = P(X  x).
PROPIEDADES
1.
2.
3.
Como F(x) es una probabilidad, se cumple que 0  F(x)  1
Si a < b, entonces P(a < x  b) = F (b) – F (a)
P(X > a) = 1 – P(X  a) = 1 – F(a)
OBSERVACIONES
En el caso de variable aleatoria discreta
la función de distribución de probabilidad
es una función escalonada.
En el caso de variable aleatoria
continua la función de distribución de
probabilidad es una función contínua.
Función de distribución
Función de distribución
F(x)
F(x)
1
EJEMPLOS:
1.
Para la variable X definida como el número de hijos varones que puede tener un matrimonio
que tiene tres hijos, la siguiente tabla muestra la función probabilidad para los diferentes
valores de X:
Valores de X
p(xi) = P(X = xi)
1
8
3
8
3
8
1
8
0
1
2
3
2.
Valores v.a.
contínua
Valores v.a.
discreta
1
8
F(x) = P(X  x) =
si x  0
1
3
4
+
=
8
8
8
si x  1
4
3
7
+
=
8
8
8
si x  2
7
1
+
=1
8
8
si x  3
La tabla adjunta muestra la función de probabilidad de una variable aleatoria W:
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
1
2
3
4
v.a.
W
1
2
3
4
P(W = wi)
0,1
0,3
0,2
0,4
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Para variables aleatorias continuas X, la función de probabilidad es denominada Función de
densidad de probabilidad, es una función continua y la probabilidad de que la variable esté
comprendida en el intervalo a, b está dada por el área bajo la curva de la función entre los
puntos a y b.
y
f(x)
P(a < x < b)
a
b
x
La distribución más importante dentro de las distribuciones continuas es la distribución
normal.
Es un modelo matemático, que recibe su nombre debido a que en cierto momento se pensó
que la mayoría de los fenómenos estaban distribuidos de dicha manera. Esta distribución
permite representar fenómenos estadísticos de manera probabilística.
El gráfico de la función de densidad de una variable
aleatoria con distribución normal es similar al
mostrado en la figura, es decir tiene una forma
conocida como Campana de Gauss, y es simétrico
con respecto a la media, . Esta distribución queda
definida por dos parámetros: la media () y la
desviación estándar (), y se denota X ~ N( ;).
CARACTERÍSTICAS
1.
El área bajo la curva es igual a la unidad
2. Es simétrica con respecto a x =  , y deja un área igual a 0,5 a la izquierda y otra de 0,5 a
la derecha, es decir, hay una probabilidad del 50% de observar un dato mayor a la media
y un 50% de observar un dato menor a la media.
3. Es asintótica al eje de las abscisas, es decir, la curva se acerca lo más posible al eje de las
X sin llegar a tocarlo.
4.
La media, moda y mediana coinciden.
5.
La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.
INTERVALOS DE UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Si una población tiene media  y desviación estándar , se tiene que
En el intervalo   2,   2
el área encerrada es 0,9544
es decir, 95,44% del total.
En el intervalo   ,   
el
área
encerrada
es
0,6826 es decir, 68,26%
del total.
–
 – 2
+
  3,   3
el área encerrada es 0,9973
es decir, 99,73% del total.
En el intervalo
 – 3
 + 2
 + 3
DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR
La distribución normal estándar o tipificada, es aquella que tiene media 0 y desviación
estándar 1. Se denota por X ~ N(0;1)
CARACTERíSTICAS:
1.
2. P(X  x1)
f(x)

=0

3. P(X  x1) = 1 – P (X  x1)

x1
x1


4. P(X  -x1) = P(X  x1)


-x1
x1

Para calcular la probabilidad en distribuciones normales , cuando los límites de la variable sean
distintos de la media más o menos desviaciones estándar, se deben usar tablas que presentan
las áreas bajo las curvas y que permiten determinar la probabilidad en ese intervalo.
Para una variable aleatoria continua X con distribución normal estándar N(0,1), calcular la
probabilidad de que tome un valor menor o igual a 1,87
Solución: Determinar P (X  1,87)
Gráficamente: P(X  1,87) = 0,96926
Según tabla:
x
0,07
1,8
0,96926

1,87

Para una variable aleatoria X con distribución normal N(, ) ,los datos se pueden estandarizar
X  
con distribución normal N(0 , 1).
o normalizar utilizando una variable aleatoria Z =

Entonces la probabilidad en términos de la variable X puede calcularse en términos de Z,
utilizando las tablas de distribución tipificada, es decir:
x  

P(X  x) = P  Z 
σ 

Sea la variable aleatoria X con distribución N(23, 5), calcular la probabilidad de que tome un
valor
a) mayor a 30
b) entre 24 y 26.
Solución: a) P(X > 30) = 1 – P (X  30)
30  23 

= 1 – P Z 

5


= 1 – P(Z  1,4)
= 1 – 0,91924
= 0,08076
P(X > 30) = 1 – P(X  30)

23
30


1,4
(Tabla página 31)
P(Z > 1,4) = 1 – P(Z  1,4)

1,4


b) P(24 < X < 26) = P(X < 26) – P(X < 24)
26  23 
24  23 


 P Z <
= P Z <


5
5




= P (Z < 0,6) – P(Z < 0,2)
= 0,72575 – 0,57926
= 0,14649
P(0,6 < Z < 0,2)
P(24 < X < 26)

23 24 26


0,2 0,6

EJEMPLOS
36. La longitudes, en cm, de los palillos que fabrica una empresa, tiene una distribución
N(10 ;0,3). ¿Cuál es la probabilidad de que un palillo mida menos de 10 cm?
A)
B)
C)
D)
E)
1
0,7
0,5
0,4
0,3
37. En una distribución normal estándar si P(X  a) = m; entonces P(X > a) =
A)
B)
C)
D)
E)
-m
m
m–1
1–m
no se puede determinar.
38. Si X ~ N(0,1) , entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
La probabilidad P(X < 0) es 50%.
P(X > 2,1) = 1 – P(X < 2,1).
P(X = 0,5) = 0.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
TABLA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL N(01)
x
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
0,00
0,50000
0,53983
0,57926
0,61791
0,65542
0,69146
0,72575
0,75804
0,78814
0,81594
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