1. No category

1. Diseño de reguladores de un solo lazo
En la práctica ocurre que el circuito de regulación es como el de la figura 1, donde es
manifiesto que la salida medida es diferente de la salida del proceso, ya que que el elemento de
medición tiene por lo general su propia característica dinámica. Además los actuadores presentan
por lo general su propio comportamiento dinámico ya que poseen características no lineales que
se manifiestan como límites superiores e inferiores y en una sensibilidad reducida, por lo cual
u(t) solamente cambia cuando ur(t) ha cambiado en un valor mínimo.
d(t)
Transmitancia
de perturbación
r(t)
+
e(t)
Regulador
ur(t)
-
Actuador
u(t) Transmitancia
directa
+
Medidor
y(t)
+
Planta
Figura 1: Estructura ampliada del circuito de regulación
1.1. Camino general hacia la solución
1.1.1 Restricciones y libertades en el desarrollo del regulador
1. Selección de la estructura de regulación:
Lo primero es establecer cuales acoples de señales deben ser establecidas por el
regulador. Identificar cuál es la salida a regular y cuál es la entrada de referencia.
Entonces debe de establecerse la estructura del circuito de regulación. Partiremos de aquí
en adelante del circuito estándar de regulación de la figura 2.
2. Selección de la estructura del regulador
Aquí es importante decidir cual regulador debe ser utilizado. Es importante decidir
si se va a utilizar un regulador PID o si los tipos de reguladores más simples son
suficientes para la solución de la tarea. La selección depende de los requisitos o
especificaciones de diseño y de las propiedades del circuito de regulación. Se da a
continuación algunas normas generales:
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D(s)
d(t)
R(s)
E(s)
K(s)
r(t) +
-
e(t)
U(s)
u(t)
+
Y(s)
G(s)
+
y(t)
Planta
Figura 2: Circuito general de regulación
Para hacer que el error de estado estacionario sea cero, la transmitancia de lazo
abierto debe de tener comportamiento integral. Esto es que si la planta ya posee un
comportamiento integral puede bastar con un regulador proporcional; si por el contrario la
planta tiene comportamiento proporcional, entonces el regulador debe contener una parte
integral (I, PI, PID).
Si se usa un regulador integrador, (I) y la entrada de referencia varía lentamente y
no cambia como escalón. El regulador I no puede reaccionar rápidamente a grandes
errores. Por lo tanto el lazo de regulación tendrá un comportamiento lento.
Las partes proporcional (P) y derivativa (D) aceleran el comportamiento del lazo
de regulación. Por otro lado debido a la parte derivativa, especialmente para valores
grandes de la ganancia derivativa KD, el circuito de regulación tiende a presentar grandes
oscilaciones o se vuelve inestable. Además las perturbaciones estocásticas como por
ejemplo el ruido de medición serán amplificadas por la parte derivativa.
3. Selección de los parámetros del regulador:
Los parámetros del regulador se escogen de tal forma que los requisitos exigidos al
circuito de regulación se obtengan. Se habla de cálculo o diseño del regulador.
El objetivo de todos estos pasos es diseñar un regulador que cumpla con las exigencias
citadas a continuación:
I. Estabilidad
El sistema en lazo cerrado debe ser estable.
II. Compensación de perturbaciones y seguimiento de la entrada de referencia
Para las clases de entradas de referencia y perturbación dadas, la salida debe seguir
asintóticamente la entrada de referencia:
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lim(r (t ) − y ( t )) = 0
t →∞
(1)
Debe definirse la clase de señal de perturbación o de referencia; puesto que
típicamente un regulador no puede cumplir las exigencias simultáneamente para cualquier
clase de señal. Lo más común es que se establezca que las señales de perturbación o de
referencia son escalones; ya que éstas son buenas aproximaciones al comportamiento de
aquellas señales reales que mantienen su valor durante largos periodos de tiempo.
También puede establecerse que la señales de perturbación o referencia son tipo rampa o
senoidales.
III. Comportamiento dinámico
Los principales parámetros dinámicos durante el transitorio son: el tiempo de
subida (tr), el sobreimpulso máximo (M) y el tiempo de estabilización (ts) en el dominio
del tiempo; o equivamentemente el ancho de banda (BW), la frecuencia de resonancia (ωr)
y el pico de resonancia ( G ( jω ) max ) en el dominio de la frecuencia.
hR(t)
Μ
ε
1
.9
.5
0
tr
tM
ts
Figura 3: Parámetros importantes de la respuesta ante un escalón
t
Dependiendo de cuáles son las exigencias al circuito de regulación que más lo
influencian, se distingue entre regulación de seguimiento y regulación de valor fijo.
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La regulación de valor fijo o regulación de perturbación: Se calcula el
regulador para una entrada de referencia constante y con miras a una
compensación de la perturbación. La salida debe permanecer constante ante un
valor constante de la referencia (r(t) = const.); a pesar que el lazo de regulación sea
perturbado desde fuera.
La regulación de seguimiento: En este caso el seguimiento de la salida ante una
trayectoria de la entrada de referencia r(t) es la parte más importante de la
regulación. En este tipo de regulación se parte de que las perturbaciones son
pequeñas. Estas perturbaciones influencian naturalmente la salida y deben ser
compensadas por la regulación; aunque no juegan un papel importante en la
selección del regulador.
hD(t)
sin regulador
.4
.2
emax
0
ε
ε
ts
t
−.2
Figura 4: Respuesta de un sistema ante una perturbación
Las dificultades para la solución del problema de regulación provienen sobre todo de dos
razones:
Primero: las exigencias del diseño y especialmente las exigencias dinámicas son muy
variadas, de tal modo que no basta un único procedimiento; sino, que deben ser
desarrollados una cantidad de procedimientos múltiples.
Segundo: Los grados de libertad de los reguladores con los cuales la dinámica del lazo de
regulación debe ser influenciada son limitados.
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Magnitud
[dB]
Mr
-3
-1
0
10
10
ωr
1
BW
10
fase
[grados]
Φ(ωr)
Frecuencia angular [rad/s]
Figura 5: Parámetros importantes de la respuesta en frecuencia de lazo cerrado
Propiedades fundamentales de los circuitos de regulación
Las exigencias de compensación ante perturbaciones y seguimiento de la entrada de
referencia pueden ser descritas con las ecuaciones 2 y 3 como:
G D ( s) = 0
(2)
G R ( s) = 1
(3)
Estas ecuaciones presentan las exigencias en forma ideal ya que de ellas se tiene como
consecuencia que la salida sigue exactamente a la entrada de referencia
y( t ) = r ( t )
(4)
Los siguientes análisis mostrarán que no existe un regulador que haga que el lazo de
regulación obtenga esta propiedades.
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Si observamos las ecuaciones (5) y (6), obtenidas de la figura 2, será manifiesto que el
comportamiento de la salida respecto a la entrada no podrá ser influenciado independientemente
del comportamiento ante perturbación.
K ( s) G ( s)
1 + K ( s) G ( s)
1
GD ( s) =
1 + K ( s) G ( s )
G R ( s) =
(5)
(6)
Esto es consecuencia de dos hechos:
• La función de transferencia directa GR(s) según la ecuación (5) y la función de tranferencia de
perturbación según (6) contienen ambas el mismo factor
W ( s) =
1
1 + G O ( s)
(7)
en el que se encuentra la función de transferencia de lazo abierto GO(s).
G O ( s ) = K ( s) G ( s )
(8)
A W(s) se le llama el factor de regulación. Como se sabe los ceros del denominador de GD(s) o
de GR(s), o raíces de la ecuación característica,
1 + G O ( s) = 0
(9)
son los polos de lazo cerrado de la función de transferencia y juegan un papel importante en el
comportamiento de y(t). Son los mismos polos tanto para el comportamiento de seguimiento
como para el comportamiento ante perturbación. Entonces ambos comportamientos se forman a
partir de los mismos modos.
• Es válido que
G R ( s) + G D ( s) = 1
(10)
Esto significa que a través de la selección de un regulador K(s) el comportamiento ante
perturbación no se puede influenciar independientemente del comportamiento de seguimiento. El
objetivo ideal GR(s) = 1 sólo puede ser alcanzado si se alcanza simultáneamente la exigencia
GD(s)=0. En general ni lo uno ni lo otro es alcanzable. Para cada regulación debe establecerse un
compromiso entre el comportamiento ante perturbación y el comportamiento de seguimiento. De
la ecuación (10) sigue que las respuestas ante perturbaciones o ante la entrada de referencia
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tienen los mismos tiempos de estabilización (tS) y los mismos valores de sobreimpulso (M),
como se muestra en la figura 6.
h(t)
hR(t)
M
hD(t)
M
ts
t
Figura 6: Respuestas ante entrada de referencia y perturbación tipo escalón.
Con la transmitancia de error ante la entrada de referencia TER(s) para el sistema de la
figura 2, mostrada en la ecuación (11)
TER ( s) =
1
1
=
= G D ( s)
1 + G O ( s) 1 + K ( s ) G ( s )
(11)
se puede dar una interpretación interesante al factor de regulación W(s) introducido en la
ecuación (7). Para ello se estudiará el sistema sin perturbación (D(s)=0). Sin regulador vale que
U(s)=0 y en consecuencia Y(s)=0. Para la desviación o error se tiene Esin regulador(s) = R(s). Con
regulador se obtiene la relación
E con _ regulador ( s) = TER ( s) R ( s) =
1
R ( s)
1 + G O ( s)
(12)
de esto se obtiene que:
E con _ regulador ( s)
E sin_ regulador ( s)
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=
1
= W ( s)
1 + G O ( s)
(13)
pág.7
Esto significa que el factor de regulación es la relación entre el error en el lazo de
regulación y el error que habría sin regulador. La magnitud del factor de regulación debe ser lo
más pequeña posible.
Por otro lado la ecuación (14) muestra que la magnitud del factor de regulación y la
magnitud de la función de transferencia de la perturbación son el mismo:
(14)
W ( s ) = G D ( s)
también aquí vale el objetivo de minimizar el factor de regulación.
En la figura 7 se muestra la característica de magnitud en función de la frecuencia, típica
del factor de regulación. Esta figura se obtiene para una función de transferencia de lazo abierto
estable. Se pueden observar tres tramos característicos de frecuencia:
⏐W(jω)⏐
1
I
II
III
ω→
Figura 7: Magnitud del factor de regulación
I. El tramo de realimentación negativa: La magnitud del factor de regulación es
significativamente menor que 1. La regulación hace que la salida siga a la entrada de
referencia. Las perturbaciones serán transmitidas a la salida disminuidas a ser
multiplicadas por un factor W ( jω ) pequeño. W( 0) es la desviación o error de estado
estacionario que ante una entrada de perturbación escalón aparece a la salida del lazo
de regulación.
II. El tramo de realimentación positiva: La magnitud del factor de regulación es
significativamente mayor que 1. Esto significa que la desviación o error del lazo
regulado es mayor al del sistema sin regulación. La perturbación será transmitida a la
salida del lazo de regulación amplificada por el factor W ( jω ) .
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III. El tramo de insensibilidad: La magnitud del factor de regulación es
aproximadamente igual a 1. La salida no seguirá a la entrada de referencia y la
perturbación será transmitida directamente a la salida del lazo de regulación.
La relación entre estos tres tramos es establecida por el Teorema del equilibrio de
Westcott dado a continuación y que es válido cuando la función de transferencia de lazo abierto
tiene un exceso de polos de al menos 2 (n-q ≥ 2):
+ j∞
+ j∞
1
− j∞
− j∞
1 + GO ( jω )
∫
lg W ( jω ) djω = ∫
lg
djω = 0
(15)
Interpretada de forma gráfica este teorema dice: Las áreas encerradas entre la curva de
W ( jω ) y la línea paralela al eje ω que pasa por 1 y que se encuentran arriba o abajo de esta
paralela son exactamente iguales. Para el diseño de reguladores esto significa que cada mejora
del comportamiento del lazo de regulación en el tramo de realimentación negativa conduce a un
empeoramiento del comportamiento del lazo de regulación en el tramo de realimentación
positiva.
El objetivo del diseño del regulador consiste por lo tanto en colocar la frontera entre el
tramo de realimentación negativa y el tramo de realimentación positiva de tal forma, que las
señales más importantes de entrada de referencia y de perturbación queden dentro del tramo de
realimentación negativa.
Los problemas fundamentales enunciados para el diseño de reguladores tienen como
consecuencia que la solución del problema de regulación por lo general no se obtiene con una
única pasada de los pasos enumerados al inicio de esta sección; sino, que esos pasos deben de ser
ejecutados iterativamente. Por ello no se habla del cálculo del regulador sino de la síntesis o
diseño del regulador. Por diseño del regulador se entiende la determinación de parámetros
adecuados para el regulador conociendo su estructura y por síntesis se entiende cuando la
estructura así como los parámetros del regulador deben ser determinados.
1.1.2 Influencia de las perturbaciones y el ruido
Se estudiará la influencia de las perturbaciones y el ruido en la salida del sistema de control
realimentado. En la figura 2 se mostró el circuito general de regulación de donde se obtuvieron
las expresiones dadas por las ecuaciones (5) y (6), repetidas por conveniencia.
K ( s) G ( s)
1 + K ( s) G ( s)
1
GD ( s) =
1 + K ( s) G ( s )
G R ( s) =
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(5)
(6)
pág.9
También se encontró que la transmitancia de error para la entrada de referencia TER(s) es
igual a la función de transferencia para la perturbación GD(s); esto es GD(s) = TER(s).
TER ( s) =
1
1
=
= G D ( s)
1 + G O ( s) 1 + K ( s ) G ( s )
(11)
De lo anterior se concluye que el error de estado estacionario del sistema para la entrada
de referencia es igual al error de estado estacionario para la entrada de perturbación. Esto
significa que si se diseña un controlador para minimizar o eliminar el error de estado estacionario
para la entrada de referencia o lazo directo, automáticamente se elimina el error de estado
estacionario para la perturbación.
Por ejemplo, para tener error de estado estacionario ante un escalón en la entrada de
referencia basta conque el sistema sea tipo 1. Esto significa que debe de haber un polo en el
origen en la función de lazo abierto GO(s) = K(s)G(s). Hasta aquí no tiene importancia si el polo
en el origen lo provee la planta G(s) o el controlador K(s) como se muestra en la ecuación (16) en
la cual se han expresado G(s) y K(s) como el cociente de dos polinomios en s, G(s) como
N(s)/M(s) y K(s) como P(s)/Q(s).
G D ( s) =
M ( s)Q( s)
M ( s) Q( s) + N ( s) P( s)
(16)
Perturbación en la entrada de la planta
Resulta que en la práctica, la perturbación no se encuentra siempre a la salida del sistema;
sino, que puede encontrarse directamente en el medio de la planta o la entrada de ésta; como se
muestra en la figura 8.
R(s)
D(s)
d(t)
+
E(s)
K(s)
r(t) +
-
e(t)
+
U(s)
Y(s)
G(s)
u(t)
y(t)
Planta
Figura 8: Circuito de regulación con perturbación a la entrada de la planta
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pág.10
Para este circuito, la función de transferecia para la entrada de perturbación esta dada por
la ecuación (17) mostrada a continuación:
G D ( s) =
G ( s)
1 + K ( s) G ( s )
(17)
Al sustituir G(s) por N(s)/M(s) y K(s) por P(s)/Q(s) como antes se obtiene la ecuación
(18):
G D ( s) =
N ( s) Q ( s )
M ( s ) Q ( s ) + N ( s) P ( s )
(18)
Ahora es claro que para tener un sistema tipo 1 con esta configuración no basta que la
planta tenga un polo en el origen; sino, que es necesario el controlador K(s) tenga un polo en el
origen.
En conclusión en términos generales para eliminar el error de estado estacionario a la
salida, producido por la entrada de perturbación, es necesario que el controlador tenga un polo en
el origen. De aquí proviene la importancia de los reguladores con comportamiento integral; por
ejemplo tipo I o PI.
Ruido aditivo en la realimentación de la salida
Es posible que el circuito de regulación tenga la estructura dada en la figura 9 donde es
visible que se ha modelado el ruido aditivo en el sensor que realimenta la salida.
R(s)
E(s)
0
r(t) +
-
e(t)
U(s)
Y(s)
G(s)
u(t)
Planta
y(t)
+
H(s)
+
N(s)
n(t)
Figura 9: Estructura del circuito de regulación con ruido aditivo
Con la entrada de referencia en cero, la función de transferencia del ruido del sensor a la
salida es la mostrada en la ecuación (19); donde se observa que para disminuir el ruido a la salida
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pág.11
producido por el sensor, se debe de mantener en un valor pequeño la ganancia de lazo.
Normalmente se requiere una ganancia de lazo grande para reducir las perturbaciones o reducir la
sensibilidad ante las variaciones de los parámetros de la planta. Por lo tanto debe de establecerse
un compromiso para la ganancia de lazo. Normalmente se tiene una ganancia de lazo grande para
bajas frecuencias y una ganancia de lazo pequeña para altas frecuencias.
G N ( s) =
− G ( s) H ( s )
Y ( s)
=
N ( s ) 1 + G ( s ) H ( s)
(17)
1.1.3 Vista general de los procedimientos de diseño
Son conocidos una gran cantidad de procedimientos para el diseño de reguladores de un
sólo lazo. Esta gran cantidad de procedimientos está justificada debido a que por las condiciones
de frontera prácticas para la solución del problema de regulación, existen diferentes condiciones
y objetivos. Por lo tanto se diferencian los procedimientos individuales en sus exigencias acerca
del conocimiento del lazo de regulación y en las exigencias más importantes al lazo de
regulación. Se Muestra a continuación una vista de los procedimientos:
Reglas de ajuste Heurísticas.
Muchos problemas prácticos de regulación son caracterizados porque no se
dispone de ningún modelo de la planta y se busca un regulador, el cual debe satisfacer
exigencias débiles de regulación. En este caso se procede frecuentemente de tal forma que
el regulador se conecta en el lazo de regulación y con ayuda de experimentos se procede a
buscar los parámetros de ajuste adecuados del regulador. Los experimentos sirven por un
lado para conocer propiedades dinámicas importantes de la planta y por otro lado para
evaluar el comportamiento del lazo de regulación con los parámetros del regulador
escogidos.
Las condiciones para este procedimiento son que la planta sea estable y que se
pueda experimentar con ella..
La ventaja del ajuste del regulador consiste en que no se requiere un modelo
exacto de la planta y con ello no es necesario el paso del modelado.
Diseño del regulador con la gráfica de polos y ceros
La idea principal de una serie de procedimientos de diseño consiste en a través de
una selección adecuada de los parámetros del regulador, influenciar los valores propios de
la matriz del sistema (A), o equivalentemente la ubicación de los polos de la función de
transferencia de lazo cerrado. De la posición de los polos y ceros pueden inferirse las
principales características dinámicas del lazo de regulación. Están los polos en el
semiplano izquierdo, entonces el sistema es estable; se encuentran los polos muy cerca del
eje real entonces las oscilaciones son fuertemente amortiguadas.
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Estos procedimientos parten del modelo en variables de estado o de la función de
transferencia de la planta. Por lo general incluyen procedimientos de cálculo sistemáticos
a partir de los cuales los parámetros del regulador se pueden determinar. Ya que la
relación entre los valores propios predefinidos para el lazo cerrado y las exigencias
dinámicas a partir del problema de regulación no son claras, se añade a la determinación
de los parámetros del regulador una simulación del lazo cerrado. Si las exigencias no son
llenadas satisfactoriamente; entonces, serán definidos nuevos valores propios para el lazo
cerrado y el cálculo será hecho de nuevo.
Diseño del regulador a partir de la respuesta de frecuencia de lazo abierto
Existen procedimientos fundamentados en influenciar con un propósito
determinado y con ayuda de un regulador adecuado, la respuesta de frecuencia o la curva
de lugar de la función de transferencia de lazo abierto para lograr un comportamiento de
lazo cerrado deseado. Las características de frecuencia del regulador son determinadas a
partir de la comparación entre la respuesta de frecuencia de la planta y la respuesta de
frecuencia deseada para el lazo abierto.
Optimización de parámetros del regulador
Si las exigencias al lazo regulado son especificadas a través de una función de
calidad; entonces, puede formularse el problema de regulación como un problema de
optimización. Así es deseable por ejemplo que el error promedio en el tiempo, en la
medida de lo posible, sea muy pequeño; por lo que las desviaciones grandes serán
penalizadas más fuertemente que las desviaciones pequeñas. Esta exigencia puede ser
establecida en la forma de:
∞
I = ∫ e 2 (t ) dt
0
(20)
Al valor de I se le conoce como Área cuadrática de regulación. Depende dada
una planta y elegida la estructura del regulador de los parámetros utilizados para el
regulador. El objetivo del procedimiento de diseño es hacer lo más pequeño posible el
valor de criterio de calidad.
1.1.4 Diseño asistido por computador
La solución del problema de regulación abarca muchos pasos parcialmente iterativos, en
los cuales uno o varios procedimientos deben ser escogidos y aplicados de entre una gran
cantidad de posibilidades. El objetivo del diseño asistido por computador es hacer que el
computador ejecute la mayor cantidad de pasos posibles. El problema de diseño se reparte entre
el diseñador y la computadora para ser solucionado. Algunos programas adecuados para esta
tarea son Matlab/Simulink y CC.
Son tareas del computador:
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• La realización de operaciones numéricas y la solución de problemas de búsqueda,
• La administración de los datos que contienen el modelo de la planta, el regulador y
el lazo cerrado de regulación obtenido,
• La presentación gráfica de los resultados del diseño; por ejemplo, la presentación
gráfica de la respuesta ante la entrada de referencia.
Son tareas del diseñador:
• La selección del próximo paso de diseño a seguir, el procedimiento o algoritmo,
• La evaluación de los resultados del diseño con relación a las exigencias
propuestas,
• La decisión acerca de la continuación del diseño.
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