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BANCO DE PREGUNTAS DE MATEMÁTICAS EXACTAS
ÁLGEBRA
Tablas de verdad.
Desarrolle la tabla de verdad
1. (𝑝 ∨∼ ˅˺𝑞) ↔∼ ˺𝑟
2. [(𝑝˅ ∨ 𝑞)˄˺ ∧∼ 𝑝]˄ ∧ 𝑞
3. Complete la tabla de verdad poniendo los operadores lógicos correspondientes
(p
V
V
F
F
V
F
F
F
q)
V
F
V
F
V
V
V
F
(p
V
V
F
F
V
V
V
F
q)
V
F
V
F
4. Determine el valor de verdad de (𝑞 → 𝑝)˄ ∧ (˺ ∼ 𝑞 →∼ ˺𝑝) en el siguiente caso:
𝑝: 3 + 4 ≠ 7𝑞: 4 + 5 = 9
Operaciones con conjuntos.
1. Determine los elementos de los conjuntos B y C, si:
(B ∩ B) ∪( A∩ B) = ( c, d, e, h )
U= ( a, b, c, d, e,…………, m)
A= ( a, c, d, b)
( A∪ B ∪ C)= ( l, m)
2. Determine los elementos de los conjuntos A, B y C. Si, C y A son no intersecantes, B y C
son disjuntos( No intersecantes), A y B son no disjuntos ( Intersecantes), además:
( A∪ B)' = ( 10, 11 , 12, 13, 14, 15)
U – C = (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15)
B - A= (8, 9)
A ∩ B' = (2, 3, 4, 5)
3. 190 Estudiantes van a una biblioteca en la que hay 115 libros de Algebra, 80 libros Física,
80 libros de Química, 20 estudiantes solicitan los libros de Algebra y Física, 30
Estudiantes piden los libros de Algebra y Química, 40 estudiantes solicitan los libros de
Física y Química, cada estudiante lleva por lo menos un libro.
A)
B)
C)
D)
Cuántos estudiantes piden los tres libros?
Cuántos estudiantes piden Física pero no Química?
Cuantos estudiantes piden Algebra o Química?
Cuántos estudiantes piden Algebra y Químicao Física y Algebra?
4. Para realizar una encuesta se reparte el mismo número de productos A, B y C entre 1270
consumidores; los resultados de dicha encuesta revelan lo siguiente: 200 personas
consumen A y B, o A y C, o B y C, 370 personas consumen sólo C, el número de personas
que consumen sólo A, es igual al de personas que consumen sólo B, 30 personas consumen
los 3 productos.
a) Cuántos consumen sólo A y B?
b) Cuántos consumen A y C?
c) Cuántos consumen sólo A?
d) Cuántos consumen A o B?
Operaciones con números reales.
1. Clasificar los siguientes números como:
2. Efectúar y simplíficar:
3. Operar:
4. Un padre reparte entre sus hijos $ 1 800. Al mayor le da 4/9 de esa cantidad, al mediano
1/3 y al menor el resto. ¿Qué cantidad recibió cada uno? ¿Qué fracción del dinero recibió
el tercero?
Razones y proporciones.
1. Dos números son entre sí como 7 es a 13. Si al menor se le suma 140, el valor del otro
número debe multiplicarse por 5 para que el valor de la razón no se altere. Halle el mayor
de los dos números.
2. A es inversamente proporcional al cuadrado de T. Cuando A es 2, el valor de T es 3. Si
T = 2, entonces cual es el valor de A.
3. Para la preparación de una ensalada que rinde 10 porciones se necesitan 5 kilos de
zanahoria. ¿Cuántos kilos se necesitarán para 4 porciones de la misma ensalada?
4. Dos números están en la razón 2:3. Si el producto de ellos es 150. ¿Cuál es la suma de
los números?
Productos notables.
1.
(𝑥 2
1 2
− 𝑥) =
2
2. (𝑥 2 − 𝑥 + 1)2 =
3.
(3𝑥 2 + 5𝑦 3 )2 =
4.
(√𝑥 + 2𝑥𝑦)3 =
Factorización.
1.
3.
2.
4.
𝑥 6 − 15𝑥 3 + 36
2𝑥 3 − 7𝑥 2 + 8𝑥 − 3 =
Racionalización.
1.
2.
(5−√24)(√75+√50)
√75−√50
√5−√3
√5+√3
+
5√ 3
3.
√2
√72+√50−√8
4.
√54−√2−√96
1−√12+√27
√5
Ecuaciones de primer grado y grado superior con una incógnita.
1.
𝑥+1
2
+
𝑥−3
3
=
𝑥+3
4
+
𝑥+4
5
2.
2𝑥−1
3
−
5(𝑥+1)
8
−
𝑥+13
24
= 3𝑥
3. Hallar una de las raíces de la siguiente ecuación: 𝑥 3 + 2𝑥 2 − 11𝑥 = 12
4. Hallar la suma de todas las raíces de la ecuación:
9𝑥 5 − 6𝑥 4 + 13𝑥 3 − 13𝑥 2 + 6𝑥 − 9 = 0
Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales.
Resolver los sistemas de ecuaciones:
1.
2.
Descomposición en fracciones parciales.
Descomponer en fracciones parciales
3.
4.
1.
3.
2.
4.
Inecuaciones lineales, cuadráticas y racionales.
Obtenga el conjunto de soluciones de las desigualdades:
1.
3
𝑥(𝑥+1)2 (𝑥−3)
<0
2. 𝑥 2 + 13𝑥 − 30 ≥ 0
4𝑥 2+9𝑥+5
3.
𝑥 2 −3𝑥+2
≤2
4. 2𝑥 − 3 ≤ 5𝑥 + 4 ≤ 8𝑥 − 8
5.
6.
𝑥−5
(𝑥−2)(𝑥+3)
2
3
≥0
4
(4𝑥 + 2) − (𝑥 − 2) ≤ (4𝑥 + 5)
3
7. (𝑥 − 1)2 (𝑥 − 2)(𝑥 − 3)4 > 0
8. 6𝑥 2 − 𝑥 − 1 > 0
Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto
Obtenga el conjunto de soluciones de la ecuación:
1. |3𝑥 − 2| = |2𝑥 + 3|
2𝑥+1
2. |
𝑥−1
|=3
Obtenga el conjunto de soluciones de la desigualdad y expréselo como notación de
intervalos. Muestre el conjunto de soluciones en la recta de números reales.
𝑥
1
1. |𝑥 2 − 3𝑥 − 1| < 3
|≥
2. |
𝑥+1
2
Funciones: Dominio y recorrido
Determine el dominio y recorrido de las siguientes funciones:
1. 𝑓 (𝑥 ) = 7𝑥 2 − 6𝑥 + 3
3. 𝑓 (𝑥 ) =
2. 𝑓 (𝑥 ) = √𝑥 2 − 25
𝑥
𝑥 2 +𝑥−6
𝑥−2
4. 𝑓 (𝑥 ) = log (𝑥+2)
Graficación de funciones: Lineal, cuadrática, raíz cuadrada, exponencial, logarítmica
y por tramos.
Graficar las siguientes funciones.
1. 𝑓 (𝑥 ) = 3𝑥 − 2
2. 𝑓 (𝑥 ) = −2𝑥 2 + 8𝑥 − 5
3. 𝑆𝑒𝑎 𝑓 = {(𝑥, 𝑦)⁄𝑦 = √5 − 𝑥 }
4. 𝑓 (𝑥 ) = 2𝑥
Análisis y graficación de funciones racionales.
Realizar el análisis y gráfica de las siguientes funciones:
1. 𝑓 (𝑥 ) =
2.
𝑓 (𝑥 ) =
3
3. 𝑔(𝑥 ) =
𝑥2
2𝑥−3
4. 𝑓 (𝑥 ) =
𝑥+1
4𝑥
𝑥 2 −25
(𝑥 2 −16)
𝑥−3
Operaciones con funciones. Función compuesta.
1
1. Sea 𝑓(𝑥 ) = √𝑥 − 2 y 𝑔(𝑥 ) = 𝑥. Encuentre 𝑓(𝑔(𝑥 ))
𝑥+3
2. Sea 𝑓(𝑥 ) = 3𝑥 + 2 y 𝑔(𝑥 ) = 2𝑥+1. Encuentre 𝑓(𝑔(𝑥 ))
1
2𝑥−1
3. Sea 𝑓(𝑥 ) = 2𝑥−1 y 𝑔(𝑥 ) = 2𝑥+1. Encuentre 𝑓(𝑔(𝑥 ))
𝑥+2
4. Sea 𝑓(𝑥 ) = 2𝑥+1 y 𝑔(𝑥 ) = √𝑥. Encuentre 𝑓(𝑔(𝑥 ))
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
3
1
2
1. 52𝑥−1 = √25𝑥 −4
2. 4𝑥+1 + 2𝑥−3 − 320 = 0
3. (𝑥 2 − 5𝑥 + 9)𝑙𝑜𝑔2 + 𝑙𝑜𝑔125 = 3
4. 𝑙𝑜𝑔√3𝑥 + 1 − 𝑙𝑜𝑔√2𝑥 − 3 = 1 − 𝑙𝑜𝑔5
GEOMETRÍA ANALÍTICA
Distancia entre dos puntos. Coordenadas del punto medio.
1. Utilizando distancias, demostrar que los puntos (12,1), (-3,-2), (2,-1) son colineales, es
decir, que están sobre una misma recta.
2. La ordenada de un punto es 8 y su distancia al punto (5,4) es √17 . Determinar la abscisa,
(dos soluciones).
3. Los vértices de un triángulo son A(-1,3), B(3,5) y C(7,-1). Si D es el punto medio del
lado AB y E es el punto medio del lado BC, demostrar que la longitud del segmento DE
es la mitad del segmento AC.
4. Si los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A(2,3) y B(-3,6),
calcular la distancia del centro de la circunferencia y el punto P(-4,-6).
Paralelismo y perpendicularidad. Angulo entre rectas.
1. Dos rectas son paralelas, la recta uno pasa por los puntos P(1, 2) y Q(10,7) y la recta dos
pasa por los puntos B(5,8) y por el punto A cuya abscisa es -1. Hallar la ordenada de A.
2. Una recta pasa por los puntos A(-2,1), B(3,7) si la mediatriz de AB mide √70, encuentre
las coordenadas de sus extremos.
3. Los vértices de un triángulo son los puntos A(-6,4), B(12,8) y C(-10,-6); calcular el valor
de los ángulos internos.
4. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45°. La recta inicial pasa por los puntos P(2,1) y Q(9,7) y la recta final pasa por el punto A cuya abscisa es -2. Hallar la ordenada
de A.
La circunferencia.
1. Una circunferencia tiene su centro en el punto C(0. - 2) y es tangente a la recta
12𝑦 + 2 = 0. Hallar su ecuación.
5𝑥 −
2. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección
de las rectas 3𝑥 − 2𝑦 − 24 = 0, 2𝑥 + 7𝑥 + 9 = 0.
3. Reduciendo la ecuación dada a la forma ordinaria, determinar si representa o n o una
circunferencia. Si la, respuesta es afirmativa, hallar su c e n t r o y su radio.
4𝑥 2 + 4𝑦 2 + 28𝑥 − 8𝑦 + 53 = 0.
4. Determinar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los tres puntos
dados.
(0. 0), (3, 6), (7, 0).
La parábola.
1. Hallar la ecuación de la parábola sabiendo que 𝐿𝑅 = 4, pasa por Q(-1,-2), su eje focal
es paralelo al eje 𝑥, y su vértice esta sobre la recta 𝑥 = 3.
2. Encuentre todos los elementos de la parábola dada por la ecuación
(𝑥 + 2)2 = −4(𝑦 + 1).
3. Encuentre todos los elementos de la parábola que tiene por ecuación 𝑦 2 = 16𝑥.
4. Redúzcase la ecuación dada a la segunda forma ordinaria de la ecuación de la parábola,
y hallar las coordenadas del vértice y del foco, las ecuaciones de la directriz y eje, y la
longitud del lado recto.
4𝑦 2 − 48𝑥 − 20𝑦 = 71
La elipse.
1. Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértice son los puntos (4,0) y (−4,0) y focos (3,0)
y (−3,0).
2. Obtener la ecuación de la elipse de focos 𝐹 (3,0) y 𝐹’(−3,0) y excentricidad de ¾.
3. Obtener el valor de los ejes, vértice y grafica de la ecuación a partir de la siguiente
ecuación. 4𝑥 2 + 9𝑦 2 = 36
4. Redúzcase la ecuación dada a la segunda forma ordinaria de la ecuación de la elipse, y
hallar los elementos centro, longitud de ejes, vértice, focos y gráfica.
25𝑥 2 + 9𝑦 2 − 18𝑦 − 216 = 0
La hipérbola.
1. Halle la ecuación reducida de la hipérbola y asíntotas, con vértices son 𝑉 (4,0) y
𝑉’(−4,0) y cuyos focos son 𝐹(5,0) y 𝐹’(−5,0)
2. Halle la ecuación general de la hipérbola cuyos vértices son 𝑉(1,3) y 𝑉’(7,3) y focos
𝐹(−1,3) y 𝐹’(9,3).
3. Redúzcase la ecuación dada a la segunda forma ordinaria de la ecuación de la hipérbola,
y hallar los elementos centro, vértice, focos y gráfica.
16𝑥 2 − 9𝑦 2 − 64𝑥 − 18𝑦 − 89 = 0
4. Determina la ecuación reducida de una hipérbola sabiendo que un foco dista de los
vértices de la hipérbola 50 y 2.
GEOMETRÍA PLANA
Segmentos.
1.
2.
3.
4.
Ángulos.
1
.
2
.
3
.
4
.
Ángulos en el triángulo.
1
.
3
.
2
.
4
.
Congruencia y semejanza de triángulos.
1.
3.
2.
4.
Área del círculo, sector circular y segmento circular.
Polígonos.
1. La suma de los ángulos internos de un polígono Q es igual a la suma de los ángulos
internos y externos de un polígono P. Calcular el número de lados de Q si P tiene 16
lados.
3
2. En un polígono regular, el radio mide 4,54cm. Y su apotema 3√2 cm. Calcular el lado
del polígono regular de doble número de lados. Si su apotema mide 14,93 cm.
3. La suma de los ángulos internos de un polígono regular vale 56 rectos. Cuál es el valor
del ángulo central de ese polígono.
4. .
Cuadriláteros.
1. Si la superficie de un rectángulo es 120 𝑚2 y su perímetro es 46 𝑚 , hallar la longitud de
su diagonal.
2. La entrada a una fortaleza tiene forma de trapecio isósceles. La base mayor mide 14,7; la
base menor 10,3 m y los laterales 8 m. ¿Qué ángulo forman los laterales con la base
inferior?
3. Una de las diagonales de un rombo mide 24 cm y el radio del círculo inscrito en dicho
rombo es 8 cm. Calcular el perímetro y el área del rombo.
4. Calcula el perímetro y el área de un trapecio rectángulo cuyas bases miden 42,2 y 113,8
y el ángulo que forma el lado oblicuo con la base mayor mide 38º.
Identidades trigonométricas
Pruebe la identidad
1.
2.
𝑡𝑎𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝜃−𝑡𝑎𝑛𝜃
𝑠𝑒𝑛5𝑦−𝑠𝑒𝑛4𝑦
𝑐𝑜𝑠5𝑦+𝑐𝑜𝑠4𝑦
= 𝑠𝑒𝑐2𝜃
=
3.
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
+ 1−𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
1−𝑡𝑎𝑛𝑥
1−𝑐𝑜𝑠𝑦
𝑠𝑒𝑛𝑦
4.
1−𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
1−𝑡𝑎𝑛𝑥
= 1+𝑡𝑎𝑛𝑥
Ecuaciones trigonométricas.
Resuelva las siguientes ecuaciones trigonométricas
1. 2𝑡𝑎𝑔 𝑥 – 3𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 − 1 = 0
3. 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 60°) + 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 30° ) = 0
2. 𝑐𝑜𝑠² 𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛² 𝑥 = 0
4. 𝑠𝑒𝑛² 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠² 𝑥 = 1/2
Problemas de aplicación de triángulos rectángulos.
1. El extremo superior de una escalera está apoyada en una pared de forma que alcanza una
altura de 3m. Si forma un ángulo 51º con el suelo, ¿Cuál es el largo de la escalera?
2. Un observador se encuentra en un faro al pie de un acantilado. Esta a 687m sobre el nivel del
mar, desde este punto observa un barco con un ángulo depresión de 23º. Se desea saber a qué
distancia de la base del acantilado se encuentra el barco.
3. Un observador tiene un nivel visual de 1,70 m de altura, y se encuentra a 30 m de una antena.
Al ver la punta de la antena, su vista forma un ángulo de elevación de 33 ° ¿Cuál es la altura
de la antena?
4. Un barco sale de puerto y durante 4 horas sigue en curso de 78° a 18 nudos. Después, la nave
cambia al curso de 168° y lo siguiente 6 h.
(a) Cuál es la distancia del barco al puerto
(b) Cuál es la orientación del puerto con respecto a la nave
Problemas de aplicación de triángulos oblicuángulos. (Ley de senos y cosenos)
1. Dos botes están separados por una distancia de 64,2m y un barco está a 74,1m del bote
más cercano. El ángulo que forman las visuales del barco a los botes es de 27°18’. Qué
distancia hay del barco al bote más cercano?
2. En la ladera de un monte con una inclinación de 14,2° respecto a la horizontal, se
encuentra una torre vertical. Un punto P se encuentra situado 62,5m ladera abajo desde
la base de la torre, desde aquí se mide el ángulo de elevación a la parte superior de la
misma, el cual es de 43,6°. Cuál es la altura de la Torre?
3. Un triángulo tiene por lados 2.8cm, 3.2cm y 4.1cm. Cuál es la medida del ángulo más
grande.
4. Dos puntos P y Q están de lados opuestos de un edificio. Para determinar la distancia
entre estos dos puntos, se selecciona un tercer punto R de manera que la distancia de P a
R sea 50.2m y la distancia de Q a R sea 61.4m. El ángulo formado por los segmentos
rectilíneos PR y QR miden 62.5°. Determine la distancia de P a Q, que no es medible
directamente.
Área y volumen de cuerpos geométricos.
1. El área total de un cubo es de 216𝑚2 . Calcular el área total de un prisma recto que tiene
la misma base del cubo y cuya altura es igual a la diagonal del cubo.
2. Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un prisma cuya base es un rombo de
diagonales 12 y 18 cm.
3. Un recipiente de forma cilíndrica de revolución de dimensiones R=10m y h=20m,
contiene agua en cantidad igual a los 3/5 de su volumen total. Calcule el nivel que alcanza
el agua.
4. Cuántos metros cúbicos de tierra hay que extraer para construir un túnel de 100m cuya
sección es un semicírculo de 12m de diámetro?